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灰色关联分析
灰色关联分析灰色关联分析(Grey Relational Analysis, GRA)什么是灰色关联分析灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。
灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。
此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。
与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。
灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。
灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。
[2]关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。
而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。
[2]灰色关联分析的步骤[2]灰色关联分析的具体计算步骤如下：第一步：确定分析数列。
确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。
反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。
影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。
设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k = 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）X i={X i(k)| k = 1,2,Λ,n},i = 1,2,Λ,m。
(整理)灰色关联度分析法
灰色关联度分析法为了适应瞬息万变的市场需求, 企业不断调整自己的核心能力, 在产品的开发设计中更重视供应商的作用。
作为供应链合作关系运行的基础, 供应商的评价选择是一个至关重要的问题, 供应商的业绩对企业的影响越来越大,影响着企业的生存与发展。
因此, 进行科学全面的供应商评价就显得十分必要。
（1）确定比较对象产品质量、技术水平、供应能力、经济效益、市场影响度指标属于效益型指标；产品价格、地理位置、售后服务指标属于成本型指标。
i 指五个待选供应商编号，,5,,1 =i j 指八个指标8,,1j =，ij a 是第i 个供应商第j 个指标变量为了使每个属性变换后的最优值为1 且最差值为0，对数据进行标准0－1变换利润型指标标准化公式)/()(min maxmin j j j ij ij a a a a b --=成本型指标标准化公式)/()(min max max j j ij j ij a a a a b --=数据结果见下表。
（2）计算灰色关联系数)()(max max )()()()(max max )()(min min )(0000t x t x k x k x t x t x t x t x k s tsi s ts s ts -+--+-=ρρξ为比较数列对参考数列在第个指标上的关联系数，其中为]1,0[∈ρ分辨系数。
称式中)()(min min 0t x t x s ts-、)()(max max 0t x t x s ts-分别为两级最小差及两级最大差。
一般来讲，分辨系数ρ越大，分辨率越大；ρ越小，分辨率越小。
在这里ρ取0.5。
（3）计算灰色加权关联度 灰色加权关联度的计算公式为∑==nk i i k w r 1)(ξ这里i r 为第i 个评价对象对理想对象的灰色加权关联度。
关联系数和关联度值（4）评价分析根据灰色加权关联度的大小，对各评价对象进行排序，可建立评价对象的关联序，关联度越大其评价结果越好。
灰色关联分析
灰色关联分析简介灰色关联分析是一种用于评估多个因素之间相关性的统计分析方法。
它可以帮助我们理解一组因素对于某个指标的影响程度，并且可以用来预测未来的趋势。
原理灰色关联分析基于灰色理论，其核心思想是将样本数据转化为灰色数列，然后通过计算灰色相关度来评估因素之间的关联性。
在灰色关联分析中，我们首先需要确定一个参考数列和一个比较数列，然后根据数列的发展趋势和规律性对它们进行排序。
最后，通过计算两个数列之间的关联度来评估它们之间的关联程度。
灰色关联度的计算方法灰色关联度可以通过以下公式计算：$$ \\rho(i,j) = \\frac{{\\min(\\Delta^*+(k-1)\\Delta^*,\\Delta^*+\\delta^*+(k-1)\\Delta^*,\\Delta^*-\\delta^*+(k-1)\\Delta^*)}}{{\\max(\\Delta^*+(k-1)\\Delta^*,\\Delta^*+\\delta^*+(k-1)\\Delta^*,\\Delta^*-\\delta^*+(k-1)\\Delta^*)}} $$其中，$\\Delta^*$表示相邻数据的差值绝对值的最大值，$\\delta^*$表示数列中数据的最大值与最小值之差。
灰色关联分析步骤1.数据预处理：将原始数据进行标准化处理，使其具有可比性。
2.建立关联矩阵：根据参考数列和比较数列计算灰色关联度，并构建关联矩阵。
3.确定权重：根据关联矩阵的行列和大小确定各因素的权重，权重越大表示因素对目标的影响越大。
4.计算综合关联度：将灰色关联度与权重相乘并求和，得到各个因素的综合关联度。
5.分析结果：根据综合关联度的大小对因素进行排序和评估，得出各因素对目标的贡献程度。
适用领域灰色关联分析在许多领域都有广泛的应用，包括经济、环境、工程等。
它可以用于评估多个因素对某个现象的影响程度，帮助决策者制定合理的决策和策略。
优势与局限灰色关联分析具有以下优势：•可以在样本数据不完整或不完全的情况下进行分析。
(整理)灰色关联度分析方法模型
灰色关联度分析方法模型灰色综合评价主要是依据以下模型：R=Y×W式中，R 为M 个被评价对象的综合评价结果向量；W 为N 个评价指标的权重向量；E 为各指标的评判矩阵，（矩阵略）)(k i ξ为第i 个被评价对象的第K 个指标与第K 个最优指标的关联系数。
根据R 的数值，进行排序。
（1）确定最优指标集设],,[**2*1n j j j F =,式中*k j 为第k 个指标的最优值。
此最优序列的每个指标值可以是诸评价对象的最优值，也可以是评估者公认的最优值。
选定最优指标集后，可构造矩阵D （矩阵略）式中i k j 为第i 个期货公司第k 个指标的原始数值。
（2）指标的规范化处理由于评判指标间通常是有不同的量纲和数量级，故不能直接进行比较，为了保证结果的可靠性，因此需要对原始指标进行规范处理。
设第k 个指标的变化区间为],[21k k j j ,1k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最小值，2k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最大值，则可以用下式将上式中的原始数值变成无量纲值)1,0(∈i k C 。
i k k k i k i kj j j j C --=21，m i ,2,1=，n k ,,2,1 =（矩阵略）（3）计算综合评判结果根据灰色系统理论，将],,,[}{**2*1*n C C C C =作为参考数列，将],,,[}{21i n i i C C C C =作为被比较数列，则用关联分析法分别求得第i 个被评价对象的第k 个指标与第k 个指标最优指标的关联系数，即i k k k i i k k i k k k i i k k k iC C C C C C C C k -+--+-=****i max max max max min min )ρρξ（式中)1,0(∈ρ，一般取5.0=ρ。
这样综合评价结果为：R=ExW若关联度i r 最大，说明}{C 与最优指标}{*C 最接近，即第i 个被评价对象优于其他被评价对象，据此可以排出各被评价对象的优劣次序。
灰色预测+灰色关联分析
灰色预测+灰色关联分析灰色关联分析法根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，来衡量因素间关联程度。
灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
根据评价目的确定评价指标体系，为了评价×××我们选取下列评价指标：收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略）将m 个指标的n 组数据序列排成m*n 阶矩阵：'''12''''''1212'''12(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,,,)()()()n n n n x x x x x x X X X x m x m x m ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对指标数据进行无量纲化为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，在进行关联度计算之前，我们首先对各要素的原始数据作...变换。
无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：01010101(1)(2)(1)(2)(2)(2)(,,,)()()()n n n n x x x x x x X X X x n x n x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭确定参考数据列为了比较...【评价目的】，我们选取...作为参考数据列，记作''''0000((1),(2),,())TX x x x n =计算0()()i x k x k -，得到绝对差值矩阵求两级最小差和两级最大差011min min ()()min(*,*,*,*,*,*)*nmi i k x k x k ==-==011max max ()()max(*,*,*,*,*,*)*n mi i k x k x k ==-==求关联系数由关联系数计算公式0000min min ()()max max ()()()()()max max ()()i i ikiki i i ikx k x k x k x k k x k x k x k x k ρζρ-+⋅-=-+⋅-，取0.5ρ＝，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数，得关联系数如下：计算关联度分别计算每个评价对象各指标关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联度，记为：011()mi i k r k m ζ==∑。
灰色关联分析方法
灰色关联分析方法灰色关联分析方法（Grey Relational Analysis，GRA）是一种多指标决策方法，它用于研究因素之间的关联程度。
与传统的关联分析方法相比，灰色关联分析方法具有较强的适用性和灵活性。
它可以用于分析多个指标之间的关联程度，对于复杂决策问题具有较强的应用能力。
灰色关联分析方法的基本思想是将系统的各个指标转化为灰色数列，再利用灰色关联度来评估指标之间的关联程度。
该方法可以对多个指标进行综合评价，找出各个指标之间的关联程度，并根据关联程度来进行排序和决策。
灰色关联分析方法的具体步骤如下：1. 数据预处理：将原始数据进行标准化处理，以确保各指标在同一数量级上进行比较。
2. 构建灰色数列：将标准化后的数据转化为灰色数列，通过建立灰色微分方程来描述数据序列的发展趋势。
3. 确定关联度测度：根据灰色数列的特点，选择适当的关联度测度方法来计算指标之间的关联程度。
4. 计算关联度：根据所选择的关联度测度方法，计算每个指标与其他指标之间的关联度。
5. 排序和决策：根据计算得到的关联度值进行排序，并作出相应的决策。
灰色关联分析方法的优点有以下几个方面：1. 适用性广泛：灰色关联分析方法适用于各种类型的指标数据，包括定量指标和定性指标。
2. 考虑了指标之间的时序关系：灰色关联分析方法考虑了指标数据的时序性，能够更好地反映指标之间的演变趋势。
3. 简单易行：灰色关联分析方法不需要过多的统计方法和复杂的计算过程，容易被理解和操作。
4. 提供了多指标综合评价的能力：灰色关联分析方法可以将多个指标之间的关联程度综合考虑，对于决策问题的综合评价有着较好的效果。
然而，灰色关联分析方法也存在一些限制和局限性：1. 灵敏度不高：由于灰色关联分析方法只考虑了指标之间的线性关联程度，对于非线性关系的刻画较为困难，灵敏度较低。
2. 依赖于初始数据：灰色关联分析方法对初始数据的选取较为敏感，不同的初始数据可能导致不同的关联度结果。
灰色预测+灰色关联分析
灰色关联分析法根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，来衡量因素间关联程度。
灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
根据评价目的确定评价指标体系，为了评价×××我们选取下列评价指标： 收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略）将m 个指标的n 组数据序列排成m*n 阶矩阵：'''12''''''1212'''12(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,,,)()()()n n n n x x x x x x X X X x m x m x m ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K M M M M K对指标数据进行无量纲化为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，在进行关联度计算之前，我们首先对各要素的原始数据作...变换。
无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：01010101(1)(2)(1)(2)(2)(2)(,,,)()()()n n n n x x x x x x X X X x n x n x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭K K K M M M M K 确定参考数据列为了比较...【评价目的】，我们选取...作为参考数据列，记作''''0000((1),(2),,())TX x x x n =K计算0()()i x k x k -，得到绝对差值矩阵求两级最小差和两级最大差011min min ()()min(*,*,*,*,*,*)*nmi i k x k x k ==-==011max max ()()max(*,*,*,*,*,*)*n mi i k x k x k ==-==求关联系数由关联系数计算公式0000min min ()()max max ()()()()()max max ()()i i ikiki i i ikx k x k x k x k k x k x k x k x k ρζρ-+⋅-=-+⋅-，取0.5ρ＝，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数，得关联系数如下：ζ=(ζ1(1)⋯ζn (1)⋮⋱⋮ζ1(n )⋯ζn (n))=()计算关联度分别计算每个评价对象各指标关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联度，记为：011()mi i k r k m ζ==∑。
灰色预测+灰色关联分析
灰色关联分析法根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，来衡量因素间关联程度。
灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
根据评价目的确定评价指标体系，为了评价×××我们选取下列评价指标：收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略）将m 个指标的n 组数据序列排成m*n 阶矩阵：'''12''''''1212'''12(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,,,)()()()n n n n x x x x x x X X X x m x m x m ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对指标数据进行无量纲化为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，在进行关联度计算之前，我们首先对各要素的原始数据作...变换。
无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：01010101(1)(2)(1)(2)(2)(2)(,,,)()()()n n n n x x x x x x X X X x n x n x n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭确定参考数据列为了比较...【评价目的】，我们选取...作为参考数据列，记作''''0000((1),(2),,())TX x x x n =计算0()()i x k x k -，得到绝对差值矩阵求两级最小差和两级最大差011min min ()()min(*,*,*,*,*,*)*nmi i k x k x k ==-==011max max ()()max(*,*,*,*,*,*)*n mi i k x k x k ==-==求关联系数由关联系数计算公式0000min min ()()max max ()()()()()max max ()()i i ikiki i i ikx k x k x k x k k x k x k x k x k ρζρ-+⋅-=-+⋅-，取0.5ρ＝，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数，得关联系数如下：计算关联度分别计算每个评价对象各指标关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联度，记为：011()mi i k r k m ζ==∑。
灰色关联分析模型
模型优化
01
改进灰色关联分析模型的计算方 法，提高模型的准确性和稳定性 。
02
引入人工智能和机器学习技术， 实现灰色关联分析模型的自适应 和智能化。
应用拓展
将灰色关联分析模型应用于更多领域 ，如金融、能源、环境等，挖掘各领 域数据之间的关联关系。
结合其他数据分析方法，形成更为综 合和全面的数据分析体系。
THANKS
感谢观看
通过灰色关联分析，可以挖掘出数据之间的内在联系，为决策提供依据，有助于提 高决策的科学性和准确性。
灰色关联分析模型的基本概念
灰色关联分析
灰色关联分析是一种基于因素之间发 展趋势相似或相异程度的分析方法， 用于衡量因素之间的关联程度。
灰色关联序
灰色关联序是根据灰色关联度的大小 对因素进行排序，从而找出主要影响 因素和次要影响因素。
灰色关联分析模型
• 引言 • 灰色关联分析模型的理论基础 • 灰色关联分析模型的实例应用 • 灰色关联分析模型的优缺点 • 灰色关联分析模型的发展趋势和展望
01
引言
灰色关联分析模型的背景和意义
灰色关联分析模型是一种用于处理不完全信息或不确定信息的数学方法，广泛应用 于经济、社会、工程等领域。
在实际应用中，由于数据的不完全性和不确定性，许多问题难以得到准确的分析和 预测。灰色关联分析模型的出现，为这类问题提供了有效的解决方案。
灰色关联度
灰色关联度是灰色关联分析中的核心 概念，表示因素之间的关联程度。通 过计算灰色关联度，可以判断各因素 之间的相似或相异程度。
灰色关联矩阵
灰色关联矩阵是表示因素之间关联程 度的矩阵，通过矩阵可以直观地看出 各因素之间的关联程度。
02
灰色关联分析模型的理论基础
灰色关联度分析法
灰色关联度分析法引言灰色关联度分析法是一种用于揭示变量之间关联程度的方法。
它可以在缺乏足够数据的情况下，通过对变量之间的相关性进行评估，帮助分析人员做出决策。
在本文中，我们将介绍灰色关联度分析法的原理和应用，并探讨其在实际问题中的价值和局限性。
一、灰色关联度分析法的原理灰色关联度分析法是在灰色系统理论基础上发展起来的一种关联性分析方法。
灰色关联度分析法的核心思想是通过模糊度量的方法，将样本数据的数量化描述量和次序特征结合起来，通过计算变量间的关联度，得出它们之间的相关性。
具体而言，灰色关联度分析法的步骤主要包括以下几个方面：1. 数据标准化：将原始数据进行归一化处理，以消除变量之间的量纲差异，使其具有可比性。
2. 确定参考序列：在给定的多个序列中，根据研究目标和实际需求，选择一个作为参考序列，其他序列将与之进行比较。
3. 计算关联度指数：通过计算每个序列与参考序列之间的关联度指数，来评估它们之间的关联程度。
关联度指数的计算通常有多种方法，如灰色关联度、相对系数法等。
4. 判别等级：根据关联度指数的大小，将序列划分为几个等级，以便更直观地评估变量之间的关联程度。
二、灰色关联度分析法的应用灰色关联度分析法在许多领域和问题中都有广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用情况：1. 经济领域：灰色关联度分析法可以用于评估经济指标之间的关联性，识别影响经济发展的主要因素，帮助政府和企业做出相应的调整和决策。
2. 工业制造业：在工业制造领域，灰色关联度分析法可以用于优化生产工艺，提高产品质量，降低成本。
通过分析不同因素对产品质量的影响程度，可以找出关键因素，并制定相应的改进措施。
3. 市场调研：在市场调研中，灰色关联度分析法可以用于分析消费者行为和市场趋势，预测产品的需求量和销售额。
通过对多个变量之间的关联性进行评估，可以为企业的市场营销决策提供有价值的参考和支持。
4. 环境管理：在环境管理领域，灰色关联度分析法可以用于评估各种环境因素对生态系统的影响程度，为环境保护和可持续发展提供科学依据。
2016数模选修——灰色预测与灰色关联度分析
解之得，即80%转化为7．
19
4．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较 序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 x0 (k ) xi (k ) （ k 1,, m i 1,, n ）n 为被评 价对象的个数）． 5．确定 min min x0 (k ) xi (k )
i 1 k 1 n m
i k i k
i (k )
x0 ( k ) xi ( k ) maxmax x0 ( k ) xi ( k )
i k
（ 12 5)
k 1,, m
式中为分辨系数，在（0，1）内取值，若 越小， 关联系数间差异越大，区分能力越强。通常 取0.5
21
如果{ x0 ( k )}为最优值数据列， i( k )越大，越好； 如果{ x0 ( k )}为最劣值数据列， i( k )越大，越不好。
x0 (1) , x0 2 , , x0 m X0
T
16
3．对指标数据进行无量纲化
无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：
x0 1 x0 2 X 0 , X1 , , X n x0 m x1 2 x1 m x1 1 xn 1 xn 2 xn m
28
存在的问题及解决方法
29
《灰色预测与决策模型研究》 党耀国 刘思峰等著 科学出版社 本书中提及了一些其它的灰色关联度，如绝对 关联度，相对关联度等 等，并且针对各自的适 用范围进行了讨论。
所以如果是在数学建模的过程中，我们可以根 据实际的需要，确定我们的关联度的计算公式。
30
生成数
31
灰色关联分析
灰⾊关联分析
灰⾊关联分析法
对于有m个评价对象，n个评价指标的问题，⽤灰⾊关联分析来选择，可以针对⼤量的不确定因素以及相互关系，⽤定性和定量有机结合的⽅式，使原本复杂的决策问题变得更加清晰简单，⽽且计算⽅便，主要是排除了决策者的主观任意性，得出的结论很客观，有⼀定的参考价值。
主要步骤
1. 确定评价对象和评价标准。
（以⼀个评价对象为例）
评价对象为x={x(k)|k=1,2,3,...,n}，评价标准为x0={x(k)|k=1,2,3,...,n}
k是指该评价对象的第k个评价指标
2. 确定各个评价指标的权重
主要是为了最后对求出的各个指标的灰⾊关联系数进⾏总和，若⽆权重也可以直接求平均值
3. 计算灰⾊关联系数
将每⼀个评价对象的评价指标都与评价标准相减并求绝对值，即
令c=|x(k)−x0(k)|
那么我们可以得到⼀个新的矩阵C
取C中的每⼀列中的最⼩值在每⼀⾏中的最⼩值，即两级最⼩差
a=min i min j c ij
再取每⼀列中的最⼤值在每⼀⾏中的最⼤指，即两级最⼤差
b=max i max j c ij
灰⾊关联系数为
ξi(j)=a+ρb c ij+ρb
式中，ρ⼀般取0.5，ρ属于0到1.
4. 计算灰⾊加权关联度
就是计算每⼀个评价对象的灰⾊关联度的加权和
r i=
n
∑
j=1w i∗ξi(j)
灰⾊关联度越⼤则效果越好Processing math: 100%。
第六章 灰色关联分析(新)
社会系统、经济系统等抽象系统包含多种因素， 这些因素之间哪些是主要的，哪些是次要的， 哪些需要发展，哪些需要拟制，这些都是因素 分析的内容。回归分析是一种较通用的方法， 但大都只适用于只有少量因素的、线性的问题。 对于多因素的、非线性的问题则难以处理。灰 色系统理论提出了一种新的分析方法，即系统 的关联度分析方法。这是根据因素之间发展态 势的相似程度来衡量因素间关联程度的方法。
多目标决策的一个显著特点是目标间的 不可公度性，在评价前应对计算关联程 度的数列进行标准化处理，转化为无量 纲的数据。常用的方法有以下2种：
1、标准化函数方法
成本型标准化函数：
x j (max x j x j ) /(max x j min x j )
效益型标准化函数：
x j ( x j min x j ) /(max j min x j )
灰色系统是贫信息的系统，统计方法难 以奏效。灰色系统理论能处理贫信息系 统，适用于只有少量观测数据的项目。 灰色系统理论是我国学者邓聚龙教授于 1982年提出的。它的研究对象是“部分 信息已知，部分信息未知”、开发，实现对现实世界的确切 描述和认识。
* * 1 * 2 * n
C C , C , , C
i k
* * min min Ck Cki max max Ck Cki i * C Cki max max Ck Cki i k k * k i k
min max i k x0 k xi k max
绝对关联度的一般表达式为：
1 n ri i k n k 1
绝对值关联度是反映事物之间关联程度的一种 指标，它能指示具有一定样本长度的给定因素 之间的关联情况。但它也有明显的缺点，就是 绝对值关联度受数据中极大值和极小值的影响， 一旦数据序列中出现某个极值，关联度就会发 生变化。另外计算绝对值关联度时，需要对原 数据作无量纲化处理，比较繁琐。而且，分辨 系数的取值不同，也会导致关联系数的不惟一。
灰色关联分析方法
1.4 0.066 1.4
0.955
1 (3)
1.4 1(3) 1.4
1.4 0.166 1.4
0.894
1 (4)
1.4 1(4) 1.4
1.4 0.25 1.4
0.848
1 (5)
1.4 1(5) 1.4
1.4 0.686 1.4
0.679
1 (6)
0.1, 0.25, 0.16, 0.23, 0.21, 0.13, 0.24, 0.17, 0.26, 0.19)
根据关联系数求关联度得 r1 0.41（年径流量与输沙量的关联程度） r2 0.21（年平均降雨量与输沙量的关联程度） r3 0.23 （平均汛期降雨量与输沙量的关联程度）
数列的增值性
数列的增值性是指原来两数列发展态势相同，经初值化后， 初值大的发展态势变慢了，初值小的发展态势相对增大。所 谓增值性是指：
作为经济序列，指“初值”放在银行内，经过一定的时间 后， 由于利息引起的增值。 作为资金序列，指在正常经营下，资金周转一定时间后带 来的利益。 作为价格上涨的情况，指初值的折算货物经一定时间后价 格上涨所带来的增值。
1.4 1(6) 1.4
1.4 1 1.4
0.583
作关联系数 1(k)在各个时刻的值的集合，得关联系数序1
1 (1(1),1(2),1(3),1(4),1(5),1(6)) (1, 0.955, 0.894, 0.848, 0.679, 0.583)
同理有
0.44, 0.42, 0.34, 0.61, 0.51, 0.36, 0.4, 0.23, 0.34, 0.33)
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3. 建立 GM(1,1) 灰微分方程模型 ???1? ?? + ???1? ?? = ??0 ?? + ???1? ?? = ??，并确定其参数。
x(0) (2)
z(1)(2) 1
x(0) (3)
Y
B
令
，
x(0) (n)
z(1)(3) z(1)(n)
1
，则 Y=B
1
a 。
b
用 MATLAB最小二乘法求解参数 ?,? P=(BT B)-1BT Y=(a,b)T 。
ζ= ? ? ? = ζ1 ?? ? ζ??( ??)
计算关联度
分别计算每个评价对象各指标关联系数的均值， 以反映各评价对象与参考序
列的关联关系， 并称其为关联度， 记为： r0i
1m mk 1
i (k ) 。经过计算得到关联度：
R r01 r02 r03 ...
[ 注] 如果各指标在综合评价中所起的作用不同， 可对关联系数求加权平均值
q(k)
x(0) (k) x?(0) (k)
(k) (0)
100%
(0)
x (k)
x (k)
(avg)
1
n
| (k) |
n 1k 2
p (1 (avg)) 100%
100%
当ε(k) =****<10%， p=****>90%时，模型精度较高，可进行预报和预测。
x0 (1) x1(2)
xn (1)
( X0 , X1, , X n)
x0 (2) x1 (2)
xn (2)
x0 (n) x1 (n)
xn (n)
确定参考数据列
为了比较 ... 【评价目的】，我们选取 ... 作为参考数据列，记作
X
' 0
(x0' (1), x0' (2),
, x0' ( n)) T
性。
x (1) (k ) 即
k
x(0) (m), k
m1
1,2...n ，那么有 x(0) (k )=x(1) (k 1)-x(1) (k) 。
对 x(0) (k) 序列做紧邻均值生成 z(1) (k) 序列 即 z(1) ( k) 0.5 x(1) ( k) 0.5 x(1) ( k 1), k 2,3... n 。 2. 建立 GM(1,1) Verhulst 模型 ??0 + ???1? = ??( ??1 ) 2 ，并确定其参数。
【 j 代表的指标】。
[ 注] 常用的无量纲化方法有均值化法 ( 见公式 (1.1)) 、初值化法 ( 见公式
(1.2)) 和标准化变换 ( 见公式 (1.3)) 等．或采用内插法使各指标数据取值范围 （或
数量级）相同．
xi( k)
'
xi(k )
1m '
(1.1)
x m k 1 i (k )
xi( k)
还原值）为 ??(0) = ??0 1 , ??0 2 ,…, ??0 (??) = ( )。
5. 残 差检验 ：
序号 1 2
时间（年 / 月 /... ）
原始值
预测值
残差
相对误差
n
残差 q(k) 、相对误差 ε(k) 、平均相对误差 ε(avg) 与精度 p 的定义如下： q (k) x (0) (k) x?(0) (k)
性。
x (1) (k ) 即
k
x(0) (m), k
m1
1,2...n ，那么有 x(0) (k )=x(1) (k 1)-x(1) (k) 。
对 x(0) (k) 序列做紧邻均值生成 z(1) (k) 序列 即 z(1) ( k) 0.5 x(1) ( k) 0.5 x(1) ( k 1), k 2,3... n 。
i (k)
min min x 0 (k ) xi (k )
i
k
max max x0 (k)
i
k
xi ( )
max max x0 ( k) xi ( k)
i
k
＝0.5 ，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数， 得关联系数如
下：
ζ1 (1) ? ζ??(1)
建模步骤 设原有数据序列 x(0) (1), x(0) (2)...... x(0) (n)，它们满足 x(0) (k) 0,k 1,2...n 。 [ 注意剔除异常数据；如原始数据不是非负时作平移变换，令 ?+?0 ?? =
??0 ?? + ??] 。
1. 求级比，并作建模可行性分析
根据级比公式
x(0) (k 1)
即 r0 i
1m Wk
mk 1
i ( k)
（ k=1, , m）式中 Wk 为各指标权重。
根据关联度矩阵得出综合评价结果 如果不考虑各指标权重 （认为各指标同等重要） ，* 个被评价对象由好到劣依
次为： 。
如果存在多个参考数据列， 则为优度分析问题， 类似的得到关联度矩阵如下：
r11 r12 r13
根据其时间响应函数
x (1) (t)
a x (0) (1) b x (0) (1) ( a b ) e at
解得时间响应序列为：
x (1) ( k 1)
a x (0) (1) b x (0) (1) (a b)e ak 。
由累减生成 x?(0) (k 1) x?(1) (k 1)-x?(1) (k) ，得原始数据序列 ??(0) 的预测值 （模型
x1' (1) x2' (1)
(
X
' 1
,
X
' 2
,
,
X
' n
)
x1' (2) x2' (2)
x'n (1) xn' (2)
x1' (m) x2' (m)
xn' ( m)
对指标数据进行无量纲化
为了消除量纲的影响， 增强不同量纲的因素之间的可比性， 在进行关联度计 算之前，我们首先对各要素的原始数据作 ... 变换。无量纲化后的数据序列形成 如下矩阵：
灰色关联分析法
根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度” ，来衡量因 素间关联程度。 灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度 来判断其联系是否紧密。
根据评价目的确定评价指标体系， 为了评价×××我们选取下列评价指标：
收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略）
将 m个指标的 n 组数据序列排成 m*n 阶矩阵：
'
xi '
(k
)
(1.2)
xi (k )
xx
s (1.3)
灰色系统预测模型 GM(1,1)
使用条件 1. 数据量不少于 4 个（大数据、小数据都可精准预测） 2. 灰色预测适用于原始数据非负的， 具有较强指数规律的序列。 3. 对于 GM (1,1)发展系数 a与级比 (0) k 有： a 的可容区间为 ( 2, 2) 当 a 0.3 时， GM(1,1) 可以用作中长期预测； 当 0.3 a 0.5 时， GM(1,1) 可用作短期预测中长期慎用； 当 0.5 a 0.8 时， GM(1,1) 作短期预测慎用； 当 0.8 a 1时，用残差修正 GM(1,1) 模型； 当 a 1 时，不宜采用 GM(1,1) 模型。 (0) k 的可容区间为 (e 2 ,e2 ) =(0.1353,7.3891)
R r21 r 22 r23
r31 r32 r33
从上述关联度矩阵，可以得到如下几点结论：
由 max i
1i = 表明，在．．．中，【ｉ代表的指标】 占有最大的优势， 它对．．．【参
考指标】的贡献最大，其次是， ，，。
由 max i
ij = 表明，在 * 、* 、* 中，与... 【 i 代表的指标】 联系最为紧密的是 ...
接下来求解上面得到的基本模型 ??0 ?? + ????1 ?? = ??。
4. 建立白化形式的近似微分方程：
dx (1) +ax(1) =b ，其中 a 为发展系数， b 为灰色作用量 dt
根据其时间响应函数
x (1) (t) 解得时间响应序列为：
(x (1) (1)
b )e
at
b
a
a
由累减生成 x?(0) (k
x?(1) (k 1)
(x (0) (1)
b? )e
a?k
b? 。
a?
a?
1) x?(1) (k 1)-x?(1) (k) ，得原始数据序列 ??(0) 的预测值 （模型
还原值）为
??(0) = ??0 1 ,??0 2 , …,??0 (??) = ( )。
5. 残 差检验 ：
序号 1 2
时间（年 / 月 /... ）
n 1k 2
p (1 (avg)) 100%
当ε(k) =****<10%， p=****>90%时，模型精度较高，可进行预报和预测。
Verhulst 模型
Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程， 即 S 形过程，常用于人
口预测、生物生长、繁殖预测及产品经济寿命预测等。 1. 数据处理 对 x(0) ( k ) 序列做一次累加生成 x(1) (k ) 序列，以弱化原始序列的随机性和波动
x(0) (2)
Y x(0) (3) B
令
，
x(0) (n)
z(1)(2) z(1)(3)
z(1)(n)
z(1)(2) 2
z(1)(3) 2 z(1) (n) 2
，则 Y=B
a 。
b
用 MATLAB最小二乘法求解参数 ?,? P=(BT B)-1BT Y=(a,b)T 。