第11章二阶电路-1零状态响应和全响应、冲激响应
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电路原理课件 二阶电路的冲激响应讲解
冲激响应电流为
i(t) ?
C duC (t) ? dt
s1
I0 ? s2
( s1e s1t
?
s2e s2t )ε(t )
s1 ? ? α ?
uc(t) ? 2C
I0
( e s1t ? e s2t ) ε ( t )
α2
?
ω
2 0
s2 ? ? α ?
α 2 ? ω02 α 2 ? ω02
i (t ) ? C du C ? dt 2
解：将R、L、C的值代入计算出固有频率
R s1，2 ? ? 2L ?
则
??
R
2
?? ?
1
? ?3?
? 2L ? LC
32 ? 52 ? ? 3 ? j4
uC(t) ? e?3t[ K1 cos(4t) ? K2 sin(4t)]
(t ? 0? )
uC (t )
?
e? 3t [
K1 cos4t
?
K2 sin(4t) ]
初始条件为
uC (0? ) ? uC (0? ) ? 0
uC?(0? ) ?
i(0? ) ? C
I0 C
A1 ? 0
? ?
? αA1 ?
A2
?
I0 ? C ??
A1 ? 0
A2 ?
I0 C
uC (t ) ?
I0t e?? t?(t)
C
i(t) ?
C
du dt
?
(1 ?
?
t)I0e?? t?(t)
非振荡放电（临界阻尼放电）
R s1,2 ? ? 2L ?
?
R
2
?
?? 2L ??
电路理论第11章二阶电路
R2
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
16第十六讲 二阶电路的零状态响应和全响应阶跃和冲激响应
等幅振荡 π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 无阻尼 2
δ = cos β ω0 ω = sin β ω0 ω β = arctg δ
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 −δ t i = −C = e sin ω t ωL dt di ω0 u L = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt
(2)求通解 自由分量） 求通解(自由分量 求通解 自由分量）
特征方程
特征根
P 2 + 200 P + 20000 = 0
P= -100 ± j100
通解 i L (t ) = Ke−100t sin(100t + β )
(3)求特解（强制分量，稳态解） 求特解（强制分量，稳态解） 求特解
" iL = 1A
U0 uc uC 0
β
π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 2
等幅振荡 无阻尼
ω0 U 0 e − δt ω
t
i
β π π+β 2π-β πβ 2π π
π-β β
t
uL
ω0 − U 0 e −δt ω
L ４ 、R = 2 临 情 界 况 C
R P = P = P2 = − = −δ 1 2L
uC = e −δ t ( A1 + A2 t )
由初始条件 uC (0 + ) = U 0 → A1 = U 0 解出
du C ( 0 + ) = 0 → A1 ( −δ ) + A2 = 0 dt
A1 = U 0 A2 = δU 0
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
2
ω δ
若R=0，则 0 0
L
t = 0 + uL – C
2
uc
p1, 2 j0
i
–
uC
+
i
t
uC u L U 0 sin(0t ) 2
C i U 0 sin( 0t ) L
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t ) U m cos st
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例
+ R
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
iL
L 微分方程为： +
d 2uC duC LC RC uC U S dt dt
US (t)
uC
- C
特征方程为:
uC u C uC
特解 通解
LCp 2 RCp 1 0
可推 广应 用于 一般 二阶 电路
L R2 临界阻尼， 非振荡放电 C t t
uC A1e
p1t
A2e
p2t
uC A1e
A2te
L R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uC Ae
t
sin(t )
uC ( 0 ) 定常数 由初始条件 duC (0 ) dt
(4)定常数
100t
sin(100t )
iL (0 ) 1 A sin 2 100 A cos 100 A sin 0 uL (0 )
45 A 2
iL 1 2e 100 t sin( 100 t 45 )
ω δ
若R=0，则 0 0
L
t = 0 + uL – C
2
uc
p1, 2 j0
i
–
uC
+
i
t
uC u L U 0 sin(0t ) 2
C i U 0 sin( 0t ) L
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t ) U m cos st
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例
+ R
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
iL
L 微分方程为： +
d 2uC duC LC RC uC U S dt dt
US (t)
uC
- C
特征方程为:
uC u C uC
特解 通解
LCp 2 RCp 1 0
可推 广应 用于 一般 二阶 电路
L R2 临界阻尼， 非振荡放电 C t t
uC A1e
p1t
A2e
p2t
uC A1e
A2te
L R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uC Ae
t
sin(t )
uC ( 0 ) 定常数 由初始条件 duC (0 ) dt
(4)定常数
100t
sin(100t )
iL (0 ) 1 A sin 2 100 A cos 100 A sin 0 uL (0 )
45 A 2
iL 1 2e 100 t sin( 100 t 45 )
二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应
uLLd d ti U 00e ts i n t ()
uL
衰减振荡放电 欠阻尼现象
•9
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C -
L- C
L- C
L
R
0 < t <
R
R
< t < - - < t <
•10
uCU 00ets i nt ()
i U0 et sin( t) L
o U0 i(t)
Im o
Im
+ C uC
-
结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
t
场和磁场之间往返转移，这
种周而复始的过程称为“振
t 荡”。
i
若元件为理想的，称等幅
振荡；若电路中存在电阻，
L 幅度逐渐衰减为零，称衰减
振荡，也称阻尼振荡。
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼
情况（无振荡）。
•21
• 求二阶电路全响应的步骤
(a)列写t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0)
(e)由
初
值df dt
(0)
定常数
•22
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例 uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC dd 2utCRC ddutCuCUS
uL
衰减振荡放电 欠阻尼现象
•9
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C -
L- C
L- C
L
R
0 < t <
R
R
< t < - - < t <
•10
uCU 00ets i nt ()
i U0 et sin( t) L
o U0 i(t)
Im o
Im
+ C uC
-
结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
t
场和磁场之间往返转移，这
种周而复始的过程称为“振
t 荡”。
i
若元件为理想的，称等幅
振荡；若电路中存在电阻，
L 幅度逐渐衰减为零，称衰减
振荡，也称阻尼振荡。
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼
情况（无振荡）。
•21
• 求二阶电路全响应的步骤
(a)列写t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0)
(e)由
初
值df dt
(0)
定常数
•22
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例 uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC dd 2utCRC ddutCuCUS
§12-2 二阶电路的零状态响应和全响应
§12-2 二阶电路的零状态响应和全响应一、零状态响应：零状态网络[]0)0(,0)0(==−−L c i u 对外加激励产生的响应。
例3：t <0时电路处于稳态，求t ≥0时的电感电流。
LL t=0i s)()()(t i t i t i Lh Lp L +=sL LL i i dt di R L dt i d LC =++22解：)(t i Lp 取决于激励的形式)(t i Lh 其形式与零输入响应相同1) 21p p ≠（不相等实根）tp t p Lh e K e K t i 2121)(+=设ωαj p +−=1)cos sin ()sin()(21t K t K e t Ke t i t tLh ωωϕωαα+=+=−−或2) （共轭）21∗=p p ptLh e t K K t i )()(21+=3) p p p ==21（重根）注意：零初值代入i L 而非i Lh例4：图示电路，t<0时电路处于稳态。
t=0时开关K 由位置b 换到位置a 。
求t ≥0的u C 和i L 。
已知4,1,1,2s U V L H C F R ====Ω。
i L+-u c K (t =0)R U s0)0()0(==−+c c u u 0)0()0(==−+L L i i 解：0122=++p p 12,1−=p tch e t K K t u −+=)()(21Vt u cp 4)(=4)()(21++=−tc e t K K t u 代入初值0)0(=+c u 0)0(0==++C i dt du L csc ccU u dt du RC dt u d LC =++22401+=K 120K K −=41−=K 42−=K ()(44) 4 0tc u t t e V t −=−−+≥()()4 0tc L du t i t C te A t dt −==≥二、全响应两种求法：(1) 全响应= 零输入响应+ 零状态响应(2) 与零状态响应求法相同例5：图示电路t<0时电路处于稳态，t=0时开关K 由位置1换到位置2，求换位后电容电压的变化规律。
二阶电路的零状态响应和全响应
f (0 )
⑤由初始值
df dt
(0 )
定。常数
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7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+
L iL +
微分方程为
LC d2uC RC duC
dt
dt
uC
US
- US
R
特征方程为
uC
-
C
uC uC uC
LCp2 RCp 1 0
特解
通解
特解: uC US
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uC解答形式为
0
过阻尼， 非振荡放电
uC
Ae p1t 1
A e p2t 2
0 临界阻尼， 非振荡放电 uC A1e t A2te t
0 欠阻尼， 振荡放电
uC Ae t sin( t )
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3.求二阶电路全响应的步骤
①列写t >0+电路的微分方程。
②求通解。
③求特解。
④全响应=强制分量+自由分量。
uC
US
A e p1t 1
A e p2t 2
( p1 p2 )
uC US A1e t A2te t ( p1 p2 )
uC US Ae t sin(t ) ( p1、2 j)
由初值uC(0Leabharlann ),du(0 dt
)
确定两个常数
uC
US
t
O
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例6-1 求电流 i 的零状态响应。
d2i 8 di 12i 12 dt 2 dt
解答形式为 i i i 第二步求通解 i。
一二阶电路阶跃、冲激响应
稳态时，电感相当于短路，因 此电路中的电压为零，电流等 于输入电压除以电阻。
时间常数概念及计算方法
时间常数是一阶电路的重 要参数，它表示了电路过 渡过程的快慢程度。
时间常数越大，电路过渡过 程越缓慢；时间常数越小， 电路过渡过程越迅速。
ABCD
时间常数τ的计算方法根据电路 类型不同而有所不同。对于RC 电路，τ=RC；对于RL电路， τ=L/R。
阶跃信号与冲激信号介绍
阶跃信号
阶跃信号是一种特殊的信号，其值在某一时刻突然发生变化 ，并保持不变。在电路中，阶跃信号常用于测试系统的瞬态 响应。
冲激信号
冲激信号是一种具有突变性质的信号，其值在极短时间内发 生巨大变化。在电路中，冲激信号常用于模拟雷电、开关操 作等瞬间过程。
响应类型及分析方法
响应类型
一二阶电路阶跃、冲激响应
目录
• 电路基本概念与分类 • 一阶电路阶跃响应分析 • 二阶电路阶跃响应分析 • 冲激响应概念及分析方法 • 实际应用场景举例与仿真实验 • 总结与展望
01 电路基本概念与分类
电路定义及组成要素
电路定义
电路是由电气元件（如电阻、电容、 电感等）按照一定方式连接而成，用 于传输和转换电能的系统。
同，但同样受到阻尼比和自然频率等参数的影响。
阻尼比、自然频率等参数影响
阻尼比
阻尼比决定了电路的振荡性质，不同阻尼比下电路的响应形态不 同。
自然频率
自然频率决定了电路振荡的频率，与电路元件的参数有关。
参数变化对响应的影响
当电路元件的参数发生变化时，阻尼比和自然频率等参数也会随之 变化，从而影响电路的响应。
二阶电路冲激响应求解方法
1 2
经典法
通过求解二阶微分方程得到冲激响应表达式。
时间常数概念及计算方法
时间常数是一阶电路的重 要参数，它表示了电路过 渡过程的快慢程度。
时间常数越大，电路过渡过 程越缓慢；时间常数越小， 电路过渡过程越迅速。
ABCD
时间常数τ的计算方法根据电路 类型不同而有所不同。对于RC 电路，τ=RC；对于RL电路， τ=L/R。
阶跃信号与冲激信号介绍
阶跃信号
阶跃信号是一种特殊的信号，其值在某一时刻突然发生变化 ，并保持不变。在电路中，阶跃信号常用于测试系统的瞬态 响应。
冲激信号
冲激信号是一种具有突变性质的信号，其值在极短时间内发 生巨大变化。在电路中，冲激信号常用于模拟雷电、开关操 作等瞬间过程。
响应类型及分析方法
响应类型
一二阶电路阶跃、冲激响应
目录
• 电路基本概念与分类 • 一阶电路阶跃响应分析 • 二阶电路阶跃响应分析 • 冲激响应概念及分析方法 • 实际应用场景举例与仿真实验 • 总结与展望
01 电路基本概念与分类
电路定义及组成要素
电路定义
电路是由电气元件（如电阻、电容、 电感等）按照一定方式连接而成，用 于传输和转换电能的系统。
同，但同样受到阻尼比和自然频率等参数的影响。
阻尼比、自然频率等参数影响
阻尼比
阻尼比决定了电路的振荡性质，不同阻尼比下电路的响应形态不 同。
自然频率
自然频率决定了电路振荡的频率，与电路元件的参数有关。
参数变化对响应的影响
当电路元件的参数发生变化时，阻尼比和自然频率等参数也会随之 变化，从而影响电路的响应。
二阶电路冲激响应求解方法
1 2
经典法
通过求解二阶微分方程得到冲激响应表达式。
典型rlc二阶电路公式大全
典型rlc二阶电路公式大全
RLC二阶电路的公式包括阻抗公式、复数阻抗公式、零输入响应公式、零状态响应公式等。
阻抗公式为Z=R+j(ωL−1/ωC)，其中R表示电阻，j表示虚数单位，ω表示角频率，L表示电感，C表示电容。
复数阻抗公式为Z=R+j(Xr+Xl)，其中R表示电阻，Xr表示串联谐振阻抗，Xl表示并联谐振阻抗。
零输入响应公式包括过阻尼情况、临界阻尼情况和欠阻尼情况。
过阻尼情况为Z1=R+j(ωL−1/ωC)，欠阻尼情况为Z2=R+j√(ω0^2−ω^2)，临界阻尼情况为Z3=R。
零状态响应公式包括全响应情况、非全响应情况和强迫响应情况。
全响应情况为fai(t)=e−αt[fai(0)+fai'(0)t]，非全响应情况为fai(t)=e −αt[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]，强迫响应情况为fai(t)=e−
s1t[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]+e−s2t[fai'(0)t+βt^2]，其中fai表示全响应，α表示自然衰减系数，β表示强迫衰减系数，s1和s2分别表示实部和虚部等于零的频率点。
二阶电路
t=2 tm时 uL 最大
di U0 p t p t uL L ( P1e 1 P2e 2 ) dt ( P2 P1 )
iC=i为极值时的tm即uL=0时的 t,计算如下:
( P1 e
p1t
P2 e
p2 t
)0
P2 e P1t m Pt P1 e 2 m
p2 n p1 tm p1 p2
i
uc(0－)=0 ,iL(0－)=0
微分方程为： +
L R
L
Ee( ) t
C -
u C
d uc duc LC RC uc E dt dt
求通解的特征方程为；
2
LCP 2 RCP 1 0
uc u u
' c
" c
特解: 特解
u E
" c
通解
uc解答形式为：
uc E A1e
t
小结：
L R2 过阻尼， 非振荡放电 C
uc A1e
p1t
A2 e
p 2t
L uc A1e t A2 te t R2 临界阻尼， 非振荡放电 C L uc Ae t sin(t ) R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uc ( 0 ) 由初始条件 duc (0 ) dt
t=0+ ic=0 , t= i c=0
ic>0 t = tm 时ic 最大 0< t < tm i增加, uL>0
di U0 p1t p2 t uL L ( P1e P2e ) t > t i 减小, u <0 m L dt ( P2 P1 )
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
例1：电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。
t=0时S闭合，试求：t >0时电容电压uC和电流iC、
i1和i2
解：用。三要素法求解
求初始值 uC (0 )
1
+ 6V
- t=0
2
S
1
u
C
+
C
2
3
- 5μF
由t=0-时电路
uC(0)12 6333V +
uC(0)uC(0)3V
6V -
1 2
i(0 )
3
+ uC-(0 )
1.5e 5 1.7 15 0 tA
2021/6/7
31
第四章 动态电路的时域分析
例2 t<0时电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。求电容 电压uC和电流i.
解: (1) 求uC(0+)和i(0+). t=0-时，电容C相当于开路，故
u C (0)R R 11 R R 33Is3 3 6 636 V
求电容电压u第四章动态电路的时域分析33第四章动态电路的时域分析34第四章动态电路的时域分析35第四章动态电路的时域分析36第四章动态电路的时域分析37据换路定则可求得时开关合上由图b求出第四章动态电路的时域分析382求稳态值2010第四章动态电路的时域分析391020第四章动态电路的时域分析404代入三要素公式得出或者第四章动态电路的时域分析41rlrl直接从直流电源断开直接从直流电源断开可能产生的现象可能产生的现象1刀闸处产生电弧刀闸处产生电弧2电压表瞬间过电压电压表瞬间过电压第四章动态电路的时域分析42解决措施解决措施接续流二极管接续流二极管vvdd接放电电阻接放电电阻第四章动态电路的时域分析43图示电路中rl是发电机的励磁绕组其电感较大
二阶电路的响应汇总
当 t 时, 电流有最大值, 即 : t
P
3
866
1.2ms
电流最大值为:
imax 11.5e
500*12*103
sin 866 *1.2 *103 5.44mA
变化曲线为:
u i
u (t )
0
t
i (t )
4、无阻尼等幅震荡
例题4： 右图电路中，已知 C 3800F ,U 0 14.14k 若线圈用很粗的导线绕制， 则在近似估 算中可以把它的电阻忽略不计。
代入公式：
U0 P2t 268t 3732t uc ( P2e P1t P e ) ( 10 . 77 e 0 . 773 e ) 1 P2 P 1 U0 i (e P1t e P2t ) 2.89(e 268t e 3732t )ma L( P2 P uc u L i 1)
可见，放电电流的峰值可达16.9kA 电容电压为:
uc u L U 0 sin( 0t ) 10 2 *10 sin( 314t ) 2 2
3
则：
A1 0 1
103 A1 A2 0
A1 1; A2 103
uc iL ic
变化曲线:
uc
故阶跃响应为：
iL
t ms
diL 6 103 t u L (t ) L 10 te e(t ) dt
0
ic
duc 3 103 t ic c (1 10 t )e e(t ) dt
解： 换路后电路微分方程为：
d 2 iL di LC 2 GL L iL is dt dt
uc iL ic
P
3
866
1.2ms
电流最大值为:
imax 11.5e
500*12*103
sin 866 *1.2 *103 5.44mA
变化曲线为:
u i
u (t )
0
t
i (t )
4、无阻尼等幅震荡
例题4： 右图电路中，已知 C 3800F ,U 0 14.14k 若线圈用很粗的导线绕制， 则在近似估 算中可以把它的电阻忽略不计。
代入公式：
U0 P2t 268t 3732t uc ( P2e P1t P e ) ( 10 . 77 e 0 . 773 e ) 1 P2 P 1 U0 i (e P1t e P2t ) 2.89(e 268t e 3732t )ma L( P2 P uc u L i 1)
可见，放电电流的峰值可达16.9kA 电容电压为:
uc u L U 0 sin( 0t ) 10 2 *10 sin( 314t ) 2 2
3
则：
A1 0 1
103 A1 A2 0
A1 1; A2 103
uc iL ic
变化曲线:
uc
故阶跃响应为：
iL
t ms
diL 6 103 t u L (t ) L 10 te e(t ) dt
0
ic
duc 3 103 t ic c (1 10 t )e e(t ) dt
解： 换路后电路微分方程为：
d 2 iL di LC 2 GL L iL is dt dt
uc iL ic
二阶电路阶跃响应和冲激响应讲解
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或设解答形式为： iR 1 Ae100t sin(100t )
50W
定常数
R iR
50 V
2A
iC
i
R
(0
)
diR dt
(0
)
1
iC ?
(0
)
1
iR
50 R
uc
5Ω 解 （1） uc(0－)=25V iL(0－)=5A
（2）开关打开为RLC串 联电路，方程为：
LC
d 2uc dt
RC
duc dt
uc
0
特征方程为： 50P2+2500P+106=0
P 25 j139
uc Ae25t sin(139t )
uc Ae25t sin(139t )
0
A U0 ， arctg
sin
ω，ω０，δ间的关系:
ω0
ω
sin
0
A
0
U
0
δ
uc
0
U0e
t
sin(t
)
uc
0
U0e
t
sin(t
)
uc是其振幅以
0
U0为包线依指数衰减的正弦函数。
t=0时 uc=U0
uc U0
0
U0
e
t
uc零点：t = -，2- ... n- uc极值点：t =0， ，2 ... n
L
di dt
电路理论：一阶电路的冲激响应
RC
(t)
1
t
e RC (t )
RC
uC
iC
R
1
阶跃响应
o
to
t
uC 冲激响应 1
C
o
iC
(1)
t
1
t
RC
二、直接求冲激响应
iC +
分二个时间段来考虑：
iS
R C uC
t
0 0
0
电容充电 电容放电
uC(0-)=0
1. t 从 0 0+
C duC uC (t )
dt R
uC 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立
dt
证明：
(t)
s(t) 零状态
(t)
h(t)
零状态
f(t)
1
f (t) 1 (t) 1 (t Δ)
Δ
Δ
Δ
o
Δ
t
1 s(t) Δ
1 s(t Δ) Δ
h(t) lim 1 [s(t) s(t Δ)] d s(t)
Δ0 Δ
dt
注意： (1) s(t)定义在( ，)整个时间轴。
(2) 阶跃响应s(t)可由冲激响应(t)积分得到。
6.9 一阶电路的冲激响应
单位冲激响应：电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响应。 (Unit impulse response)
(t)
h(t)
零状态
一、 由单位阶跃响应求单位冲激响应
单位阶跃函数 单位阶跃响应
(t)
s(t)
单位冲激函数 单位冲激响应
(t)
h(t)
(t) d (t)
dt h(t) d s(t)
二阶电路经典篇
1. 二阶电路的零输入响应 + - C i uc
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u + u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc = E + A e 1
uc = E + A e 1
p1t
−δ t
+ A2e
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
2
U0 di = dt t =0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP + 1 = 0
R R 2 1 − R ± R2 − 4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
uc
U0
设|P2|>|P1|
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u + u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc = E + A e 1
uc = E + A e 1
p1t
−δ t
+ A2e
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
2
U0 di = dt t =0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP + 1 = 0
R R 2 1 − R ± R2 − 4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
uc
U0
设|P2|>|P1|
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( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
R iL L + uL - + C uC –
uC(0+)=0, iL(0+)=1/L
uC A1e p1t A2e p2t
uC ( A1 A2t )e pt
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
(t 0)
iR (t)
50 uL (t) 50
1
2e 100t
sin100t
A
(t 0)
小结
经典法解线性二阶电路过渡过程的一般步骤： (1) 列写换路后(t>0)电路的微分方程并确定初始条件； (2) 求特征根，由根的性质写出自由分量(积分常数待定)； (3) 求强制分量(稳态分量)； (4) 全解=自由分量+强制分量； (5) 将初值r(0+)和r (0+)代入全解，定积分常数； (6) 讨论物理过程，画出波形等。
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
uC Ke t sin(t )
由初始值
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 )
1 L
iL (0 )
定常数A1 , A2 或 K ,
返回首页
t >0+ 为零输入响应
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
R iL L + uL - + C uC –
uC(0+)=0, iL(0+)=1/L
uC A1e p1t A2e p2t
uC ( A1 A2t )e pt
iL(0+)=2A , uC(0+)=0 （已知）
di L dt
0
1 L
uL
(0
)
1 L
uC
(0
)
0
diL 100Ke100t sin(100t ) 100Ke100t cos(100t )
dt
i
L
(0
)
2
1 K sin 2
di L dt
0
0
100K sin 100K cos 0
特征根
p1,2= 100 j100
通解
i
' L
(
t
)
K e 100t
s in( 1 0 0 t
)
(3) 求特解（强制分量，稳态解）
i
" L
1A
(4) 全解
i L (t ) 1 K e 100t s in(100t )
全解 iL (t ) 1 Ke100t sin(100t )
(5) 由初值定积分常数
0
1 L
uL
(0
)
u1 (0 ) 2 2 4V uL (0 ) 0.5u1 (0 ) 2 u1 (0 )
8V
(3) 确定解的形式 d2i di 8 12i 12 dt 2 dt 解答形式为：
i i i
通解i' :
特解i'' :
p2+8p+12=0 p1=2 ，p2 =6
i'' =1A
1 L
iL (0 )
由方程来判断t =0 ~ 0+的变化：
+
LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
(t)
(t)
-
R iL L
+ uL - + C uC –
uC是跳变和冲激上式都不满足
uC(0)=0, iL(0)=0
设uC不跳变，duC/dt 发生跳变
0
LC
0
d 2 uC dt 2
返回首页
二阶电路的冲激响应
R iL L
t =0 ~ 0+：
+
+ uL - +
uL (t)
Δ
0
0 uLdt 1
(t)
-
C uC –
uC(0)=0, iL(0)=0
iL
(0
)
iL
(0
)
Δ
L
1 L
(电感储能)
uC (0 ) uC (0 ) 0
结论:
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 )
二阶电路
第二讲 （总第五十二讲）
二阶电路的零状态响应和全响应 二阶电路的冲激响应
二阶电路的零状态响应和全响应
一、 零状态响应
0.5u1
求左图所示电路中
+
2W i1 1/6F
电流 i(t)的零状态响应。 1H
2A
S u1 2W
- 2-i
2W
i
解：(1) 列写微分方程
由KVL
2(2 i) 2i1 6
dt
0
RC
duC
dt
0
dt
0
0 uCdt
0
(t)dt
0
有限值
有限值
L C[ duC dt
0
duC dt
0 ] RC[uC (0 ) uC (0 )] 1
相等
0
LC duC dt
0
1
C duC dt
0
iL (0 )
1 L
t >0+ 为零输入响应
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
i1dt
di dt
2i
i1= i 0.5 u1 =i 0.5 2 (2 i) = 2i 2
整理得
d2i di dt 2 8 dt 12i 12
二阶非齐次常微分方程
(2) 求初值
0.5u1
2A
+
2W
1/6F
+
uL
u1 2W
-
-
2W i
0+电路模型：
i(0 ) i(0 ) 0
di dtL LC NhomakorabeaC
uC Ke t sin(t )
由初始值
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 )
1 L
iL (0 )
定常数A1 , A2 或 K ,
返回首页
50 - L diL dt
R
iL
C
duC dt
uC
uL
L diL dt
RLC d2iL dt 2
L diL dt
Ri L
50
d2iL dt 2
200 diL dt
2 104 iL
2 104
d2iL dt 2
200 diL dt
2 104 iL
2 104
(2) 求通解(自由分量）
特征方程 p2 200 p 20000 0
解得 K 2, 45o
iL (t ) 1 2e 100t s in(100t 45)A (t 0)
求 iR(t):
+ 50V
–
R
iR
+
+
uL L C
uC –
– iL
iC
i L (t ) 1 2e 100t s in(100t 45)A (t 0)
uL
L diL dt
100e100t sin100t V
i ' A1e2t A2e6t
解的形式为 i(t ) 1 A1e 2t A2e 6t
(4) 定常数
0 8
1 A1 A2 2A1 6A2
A1 A2
0.5 1.5
i(t ) 1 0.5e2t 1.5e6t A (t 0)
求特解 i''的另一种方法:
i() = 0.5 u1() u1()=2(2-0.5u1())
u1()=2V 2A i()=1A
0.5u1
+ 2W u1 2W
-
稳态模型
2W i
二、全响应
R
已知： iL(0)=2A，uC(0)=0， R=50W， L=0.5H，
+
C=100F 求：iL(t) , iR (t) 。
50V –
iR
+
+
uL L C
uC –
– iL
iC
解：先求iL(t) (1) 列微分方程