2018年高三理科数学复习选修4-5 不等式选讲

选修4-5不等式选讲
考点1不等式的性质
1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(++)2≥6, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式
2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.
3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).
(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;
(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.
4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].
(1)求m的值;
(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.
5.设函数f(x)=-+-的最大值为M.
(1)求实数M的值;
(2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.
6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.
考点3证明不等式的基本方法
7.已知a>0,b>0,求证:+≥+.
8.已知a,b∈R,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥.
9.已知a,b,c均为正实数.求证:
(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;
(2)若a+b+c=3,则++≤3.
考点4柯西不等式
10.已知x,y是两个不相等的正实数,求证:(x2y+x+y2)·(xy2+y+x2)>9x2y2.
答案
1.解法一因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c2≥3(abc)①,
因为++≥3(abc)-,
所以(++)2≥9(abc)-②.
故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc)+9(abc)-.
又3(abc)+9(abc)-≥2=6③,
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.
当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立,
即当a=b=c=时,原式等号成立.
解法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得
a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①.
同理,++≥++②.
故a2+b2+c2+(++)2=a2+b2+c2++++++≥ab+bc+ac+++≥6③.
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.
2.(1)由题意知f(x)=|x-1|+|x-2|=-,, ,, -,
当x<1时,由f(x)>2,得3-2x>2,解得x<,所以x<; 当1≤x≤2时,f(x)>2无解;
当x>2时,由f(x)>2,得2x-3>2,解得x>,所以x>.综上,不等式f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞).
(2)因为f(x)=|x-1|+|x-2|,则f(x)≥1,又函数y=ln x在其定义域内为增函数.所以函数g(x)=ln f(x)的值域为[0,+∞).
3.(1)由题意可得f(x)=---, -,
-, -,
,
画出函数f(x)的图象,如图D 1所示,
图D 1
函数f(x)与x轴围成的三角形为△ABC,易求得A(-2a-1,0),B(-,0),C(-a,-a-1).
所以S△ABC=[--(-2a-1)]×|-a-1|=(a+1)2≥4(a>0),解得a≥-1.
(2)由图D 1可知,f(x)min=f(-a)=-a-1.
对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即f(x)min+2≥0,即-a-1+2≥0,解得a≤1,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,1].
4.(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,
∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.
∵不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4],∴-,
,
即m=3.
(2)由(1)知a+b=3,
解法一(利用基本不等式)
∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),
∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.
解法二(消元法求二次函数的最值)
∵a+b=3,∴b=3-a,
∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(-)+≥,
∴a2+b2的最小值为.
5.(1)f(x)=-+-≤2(-)(-)=3,
当且仅当x=时等号成立.故函数f(x)的最大值M=3.
(2)由(1)知M=3.由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|(x-)-(x+2)|=3.所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.
由绝对值的几何意义得,当且仅当-2x≤,|x-|+|x+2|=3,
所以不等式|x- 2 |≤M 的解集为{x|-2 ≤x ≤ .
6.(1)当a=-3时,f (x )≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔ ,- 或 , 或 , - ,
解得x ≤1或x ≥4. 故当a=-3时,不等式f (x )≥3的解集为{x|x ≤1或x ≥4}.
(2)由题意可得f (x )≤|x-4|在区间[1,2]上恒成立⇔
|x+a|+2-x ≤4-x 在区间[1,2]上恒成立⇔
-2-x ≤a ≤2-x 在区间[1,2]上恒成立⇔
-3≤a ≤0,即实数a 的取值范围是[-3,0].
7.解法一 (作差比较法)因为a>0,b>0,所以 +
-( + )= ) ) = )( - ≥0, 所以 +
≥ + . 解法二 (作商比较法)因为a>0,b>0,
所以 = ) ) ( )= )( ) ( )=
= - ) ≥1,所以 +
≥ + . 8.解法一 (放缩法)因为a+b=1,
所以(a+2)2+(b+2)2≥2[( ) ( ) ]2= [(a+b )+4]2=
(当且仅当a+2=b+2,即a=b= 时,等号成立). 解法二 (反证法)假设(a+2)2+(b+2)2< ,则 a 2+b 2+4(a+b )+8< .
因为a+b=1,则b=1-a ,所以a 2+(1-a )2+12< .
所以(a- )2<0,这与(a- )2≥0矛盾,故假设不成立.所以(a+2)2+(b+2)2≥ . 9.(1)要证(a+b )(ab+c 2)≥4abc ,
可证a 2b+ac 2+ab 2+bc 2-4abc ≥0,
需证b (a 2+c 2-2ac )+a (c 2+b 2-2bc )≥0,
即证b (a-c )2+a (c-b )2≥0,当且仅当a=b=c 时,取等号, 由已知,上式显然成立,故不等式(a+b )(ab+c 2)≥4abc 成立.
(2)因为a ,b ,c 均为正实数,由不等式的性质知
· ≤ =
,当且仅当a +1=2时,取等号,
·≤=,当且仅当b+1=2时,取等号,
·≤=,当且仅当c+1=2时,取等号,
以上三式相加,得(++)≤=6,
所以++≤3,当且仅当a=b=c=1时,取等号.
10.因为x,y是正实数,所以x2y+x+y2≥33xy,当且仅当x2y=x=y2,即x=y=1时,等号成立;
同理:xy2+y+x2≥3=3xy,当且仅当xy2=y=x2,即x=y=1 时,等号成立.
所以(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)≥9x2y2,当且仅当x=y=1时,等号成立.
因为x≠y,所以(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)>9x2y2.。