构造法求数列通项公式

怎么利用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式

求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。例1:数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11 ( ) A ．n 2 B ．12+n C ．12-n D ．12+n 解法1：121+=+n n a a

)1(22211+=+=+∴+n n n a a a

又211=+a 21

11=++∴+n n a a

{}1+n

a 是首项为2公比为2的等比数列

12,22211

-=∴=⋅=+-n

n n n n a a ,所以选C

解法2

归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。

例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。解：)(2112n n n n a a a a -=-+++

212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。

1

12

--=-n n n a a ，（n>1）

n>1时

1

22

12

1122

2)()()(2

1

12211-=--=

++++=+-++-+-=-----n

n

n n n n n n n a a a a a a a a

显然n=1时满足上式

(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式

上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁

在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：

一．利用倒数关系构造数列。

例如：中，若求a n }{n a 数列),(411,

211N n a a a n

n ∈+==++4,

n n n

n b b a b ==+1,1

则设即＝４，n n b b -+1｝是等差数列。

n b {∴可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ a n }的通项。

n b 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求a n

),(,311

,2

111N n a a a n

n ∈+==+2)数列{ a n }中，求a n 通项公式。,2

2,111+=

=+n n

n a a a a 3)数列{ a n }中,求a n .),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且二．构造形如的数列。

2

n n a b =例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52

2

11∈-==+ 解：设4

,4,112

-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则

(完整版)数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式的常用求法

构造法求数列通项公式

一、构造等差数列求数列通项公式

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =1

2

，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.

解析：由31

3n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，

=-+n n a a 11

1

31

，

设b n =n a 1

，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知，数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，

根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35

∴数列通项公式为a n =53

+n

例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1

2

22-n n S S (n ≥2)，

求S n 与a n 。

解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =12

22-n n S S 得，S n -S n-1=12

22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列

构造法求数列通项公式典型例题解析

构造法是一种求解数列通项公式的技巧，它可以在给定数列中发现出某些共同的特征，从而构建出数列的通项公式。这种技巧的本质是人们通过观察数列的特点，并尝试推测通项的类型、公式和系数，从而找到数列的通项公式。

二、构造法的应用

1.比数列的通项公式

对于等比数列来说，它的通项公式的结构为：

a_n = a_1 q^(n-1)

其中a_1是数列的第一项，q是数列的公比。为了求出等比数列的通项公式，我们可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4

我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项乘以某个常数，也就是公比q得到的，所以q可以用以下的公式表示：

q = a_2/a_1

接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。

2.差数列的通项公式

对于等差数列来说，它的通项公式的结构为：

a_n = a_1 + (n-1)d

其中a_1是数列的第一项，d是数列的公差。为了求出等差数列的通项公式，我们也可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4

我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项加上某个常数，也就是公差d得到的，所以d可以用以下的公式表示：

d = a_2 - a_1

接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。

三、构造法的优点

1.以让我们省去求解数列通项公式的一系列步骤，使用构造法求解数列通项公式的过程简单易懂，用时也短。

2.造法可以使我们更加清晰地观察数列的特征，从而更快地找到数列的通项公式。

高考数学构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(三)

【必备知识点】

◆构造六:取对数构造法

型如a n +1=ca n k ,a n =ca n -1k

或者a n +b =c (a n -1+b )k ,b 为常数.

针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.

【经典例题1】数列a n 中, a 1=2,a n +1=a n 2

,求数列a n 的通项公式.

【解析】取以a 1=2为底的对数(不能取c 为底,因为c =1,不能作为对数的底数),得到log a n +1

2=log a

n

2

,log a n +1

2=2log a n

2,设b n =log a n

2,则有b n +1=2b n ,所以b n 是以b 1=log a 1

2=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n =2n -1,所以log a n

2=2n -1,a n =22n -1

.

【经典例题2】数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n 2

,求数列a n 的通项公式.

【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取a 1=1为底数的对数了吧),得到log a n +1

2=log 2a n

2

2,log a

n +1

2

=log 22+2log a n

2,log a n +1

2=1+2log a n

2设b n =log a

n

2,则有b n +1=1+2b n ,这又回归到构造二的情况,接下来的步

骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出b n +1+1=2(b n +1),所以b n +1 是以b 1+

数列求通项公式及求和的常用方法

数列求通项公式与求和的常用方法

求通项公式

一.公式法：（高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比） 1、等差数列公式

例1．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式.

2、等比数列公式

例2.设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式.

3、通用公式:

(若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。一

般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式)

例3．已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式.

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法

1、叠加法:(一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a )即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+

+-1a +(2)n ≥；

例4．数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且()*+∈-=N n a a b n n n 1．若则12,2103=-=b b ，则=8a ( )

数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式是指将数列中的每一项用一个公式来表示的方法，可以根据数列的规律和性质来确定。通项公式的确定可以有常用求法和构造法两种方法。

常用求法包括找规律、列方程和用递推式三种方法。

1.找规律法：通过观察数列中的数字之间的规律性质，总结出一般规律，并将其转化为代数表达式。这种方法适用于数列有简单规律的情况。

例一：已知数列的前四项依次为1、3、6、10，求数列的通项公式。

观察可得：数列的第n项是由前一项加上n-1得到的，即第n项为n-1加上前一项。因此，可以得出通项公式：a_n=a_(n-1)+(n-1)。

2.列方程法：根据已知的前n项的数值，列出方程，然后解方程得到通项公式。

例二：数列的前四项依次为1、4、9、16，求数列的通项公式。

将数列的第n项用a_n表示，则有：

a_1=1

a_2=4

a_3=9

a_4=16

根据观察可得：数列的通项公式应该是平方函数，即a_n=n^2、通过验证可以发现，对于任意正整数n，都满足该公式。

3.用递推式法：通过已知的前n项与通项之间的关系，构造递推关系式，然后解递推关系式得到通项公式。

例三：数列的前四项依次为1、2、4、8，求数列的通项公式。

将数列的第n项用a_n表示，则有：

a_1=1

a_2=2

a_3=4

a_4=8

观察可得：数列的通项公式应该是指数函数，即a_n=2^(n-1)。通过验证可以发现，对于任意正整数n，都满足该公式。

构造法是另一种确定数列通项公式的方法，其思路是通过构造一个满足数列性质的函数，并验证其是否满足数列的每一项。

构造法求数列通项公式

精心整理

构造法求数列通项公式

求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。

一、构造等差数列求数列通项公式

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =12

解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1a n 设b n =n a 1

，则b n+1-b n =31数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差根据等差数列的通项公式得b n =∴数列通项公式为a n =53

+n

评析：n

a 1

的例2n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =

1

222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。

解析：当a n =1

222-n n S S 得，S n -S n-1=

1

2

22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1=S n S n-1两边除以S n S n-1得，n

S 1-1

1-n S =2，

∴｛n

S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列

∴

n

S 1

=1+2（n-1）=2n-1,∴S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121

-n (n ≥1)

当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321

数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式的常用求法

构造法求数列通项公式

一、构造等差数列求数列通项公式

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =1

2

，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.

解析：由31

3n n a

n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，

=-+n n a a 11

1

31

，

设b n =n a 1

，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知，数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，

根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35

∴数列通项公式为a n =53

+n

例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1

2

22-n n S S (n ≥2)，

求S n 与a n 。

解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =12

22-n n S S 得，S n -S n-1=12

22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1？两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列

(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式

上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁

在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：

一．利用倒数关系构造数列。

例如：}{n a 数列中，若),(411,

211N n a a a n

n ∈+==+求a n n n n

n b b a b ==+1,1

则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。

练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311

,2

111N n a a a n

n ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,2

2,111+=

=+n n

n a a a a 求a n 通项公式。 3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2

n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52

2

11∈-==+ 解：设4,4,112

-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则

构造法求数列通项的八种技巧(三)(学生版+解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(三)

【必备知识点】

◆构造六:取对数构造法

型如a n+1=ca n k,a n=ca n-1k或者a n+b=c(a n-1+b)k,b为常数.

针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.

【经典例题1】数列a n

中, a1=2,a n+1=a n2,求数列a n

的通项公式.

【经典例题2】数列a n

中,a1=1,a n+1=2a n2,求数列a n

的通项公式.

【经典例题3】已知a1=2,点a n,a n+1

在函数f x =x2+2x的图像上,其中n∈N*,求数列a n

的通项公式.【经典例题4】在数列a n

中, a1=1,当n≥2时,有a n+1=a n2+4a n+2,求数列a n

的通项公式.

◆构造七:二阶整体构造等比

简单的二阶整体等比:关于a n+1=Aa n+Ba n-1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n+1-a n=(A-1)a n-a n-1

,利用a n+1-a n

成等比数列,以及叠加法求出a n.还有一小部分题型可转化为a n+1+a n=(A+1)a n+a n-1

,利用a n+1+a n

成等比数列求出a n.

【经典例题1】已知数列a n

满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n n∈N*

,求数列a n

的通项公式.

【经典例题2】已知数列a n

中,a1=1,a2=2,a n+2=2

3a n+1+

1

3a n,求数列a n

求一般数列通项公式的四种常用方法（基础篇）

对于等差数列与等比数列，我们可以通过求出基本量：首项与公差（或公比），然后代入对应的通项公式，求出其通项公式.

而对于一般数列求通项公式，常用的方法有：an与Sn关系式法、累加法、累乘法与构造法.

一、an与Sn关系式法

an=Sn-Sn-1适用的条件是n≥2，利用此公式求得an后，一定要验证n=1时是否满足所求出的an，若不满足，则应用分段形式来表示.

二、累加法

累加法是根据递推公式，依次将n换为1，2，…，n-1，然后将n-1个式子相加.

其等价形式是an=(an-an-1) (an-1-an-2) …(a3-a2) (a2-a1) a1=f(n-1) f(n-2) … f(2) f(1) a1.

三、累乘法

累乘法是根据递推公式，依次将n换为1，2，…，n-1，然后将n-1个式子相乘.

四、构造法

2024年高考数学专项突破构造法求数列通项的八种技巧(一)(解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(一)

【必备知识点】

◆构造一:待定系数之a n +1=Aa n +B 型构造等比数列

求关于a n +1=Aa n +B (其中A ,B 均为常数,AB (A -1)≠0)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为a n +1+M =A a n +M ,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.

【经典例题1】已知a n 满足a 1=3,a n +1=2a n +1求数列a n 的通项公式.

【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n +3,求数列a n 的通项公式.

【经典例题3】已知数列a n 中,a 1=1,a n +1=3a n +4,求数列a n 的通项公式.

【练习1】数列a n 中,a n +1=2a n -1,a 3=2,设其前n 项和为S n ,则S 6=(

)A.874 B.634 C.15 D.27

【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2018=()

A.22018-1

B.22018-6

C.12 2018-72

D.13 2018-103

【练习3】在数列a n 中,a 1=2,a n +1=2a n +1,则a 5=_______.

【练习4】已知数列a n 满足a 1=3,a n +1=2a n +1,则数列a n 的通项公式a n =______.

构造法求数列通项的八种技巧(一)(解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(一)

【必备知识点】

◆构造一:待定系数之a n +1=Aa n +B 型构造等比数列

求关于a n +1=Aa n +B (其中A ,B 均为常数,AB (A -1)≠0)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为a n +1+M =A a n +M ,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.

【经典例题1】已知a n 满足a 1=3,a n +1=2a n +1求数列a n 的通项公式.

【解析】根据原式,设a n +1+m =2a n +m ,整理得a n +1=2a n +m ,题干中a n +1=2a n +1,根据对应项系数相等得m =1.∴a n +1+1=2a n +1 ,令b n =a n +1+1,b 1=a 1+1=3+1=4,所以a n +1 是4为首项,2为公比的等比数列.即a n +1=4⋅2n -1,a n =2n +1-1.

【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n +3,求数列a n 的通项公式.

【解析】设a n +1+t =2a n +t ,整理得a n +1=2a n +t ,题干中a n +1=2a n +3,根据对应项系数相等,解得t =

3,故a n +1+3=2a n +3 .令b n =a n +3,则b 1=a 1+3=4,且b n +1b n

构造法求数列通项

对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根据数列递推公式的特点，还有以下几种构造方法．

构造法1 一阶线性递推(形如a n＋1＝pa n＋q，p≠0，其中a1＝a 型)

(1)若p＝1，数列{a n}为等差数列；

(2)若q＝0，数列{a n}为等比数列；

(3)若p≠1且q≠0，数列{a n}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．

例1 在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3，求{a n}的通项公式．

解∵a n＋1＝2a n＋3，∴a n＋1＋3＝2(a n＋3)，

又a1＋3＝4，∴数列{a n＋3}是首项为4，公比q＝2的等比数列，∴a n＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴a n＝2n＋1－3.

变式若例1中“a n＋1＝2a n＋3”变成“a n＋1＝2a n＋3n”，其他条件不变，求{a n}的通项公式．

解∵a n＋1＝2a n＋3n，

∴a n＋1＋λ·3n＋1＝2(a n＋λ·3n)，

即a n＋1＝2a n－λ·3n，∴λ＝－1，

即a n＋1－3n＋1＝2(a n－3n)，

又a1－3＝－2，∴{a n－3n}是首项为－2，公比q＝2的等比数列，∴a n－3n＝－2·2n－1＝－2n，∴a n＝3n－2n.

构造法2 二阶线性递推(形如a n＋1＝pa n＋qa n－1，其中a1＝a，

a2＝b型)

可以化为a n＋1－x1a n＝x2(a n－x1a n－1)，其中x1，x2是方程x2－px －q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n－a n－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n}．例2 (1)在数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n，则a n＝________.

用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式汇总构造法是一种在数学中广泛使用的解题方法，特别是在求解数列的通项公式时，我们可以通过构造一些新的数列，将问题转化为已知的问题，从而达到求解的目的。以下是几种用构造法求数列通项公式的汇总：

1.等差数列构造法：

对于形如 an+1 = an + d 或者 an+1 = an - d 的递推式，我们可以通过累加法来求通项公式。即：令n = 0,1,2,n-1，然后将其各项相加，可得：a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + , + [a1 + (n-1)d] = n(a1 + n-1)d。

对于等差数列，我们还可以使用前 n 项和公式求解通项公式：an = Sn - Sn-1。

2.等比数列构造法：

对于形如 an+1 = q an 或者 an+1 = an q 的递推式，我们可以通过连乘法来求通项公式。即：令n = 0,1,2,n-1，然后各项相乘，可得：a1 * a1q * a1q^2 * , * a1*q^(n-1) = a1^n * q^(1+2+,+(n-1))。

3.常见数列构造法：

对于形如 an+1 = an^2 或者 an+1 = an^2 + 1 等无法直接求出通项公式的递推式，我们需要通过构造新的辅助数列来求解。例如，令an+1 + x = (an +

x)(an + x)，可以构造出新的等比数列，从而求得通项公式。

对于形如 an+2 = an+1 + an 或者 an+2 = an+1 * an 等无法通过递推直接求出通项公式的递推式，我们可以通过对原式变形，构造出两个独立的等差或者等比数列，从而利用对应的方法求出通项公式。例如，对于 an+2 = an+1 + an，我们可以令an+2 + an+1 = 2(an+1 + an)，得到一个等差数列；对于 an+2 = an+1 * an，我们可以令an+2 / an+1 = an+1 / an，得到一个等比数列。