相似多边形及位似--巩固练习--无答案

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苏科版九年级下册 6.6 图形的位似巩固练习(含答案)

图形的位似--巩固练习一、选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似.其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（）A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），1，把△ABO缩小，则点A的对应点以原点O为位似中心，相似比为3A '的坐标是（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣9，18）C ．（﹣9，18）或（9，﹣18）D ．（﹣1，2）或（1，﹣2）第4题第7题5.下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6．如果点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式不正确的是（）7.已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= （）二、填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．第9题第10题10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.A B C D E'''''A B C D E'''''12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为___________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似1，变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的21，经第，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的21，…，依次规三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的2律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．第13题第14题14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC 边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=___________.三、综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B ． 2．【答案】D. 3．【答案】C. 4.【答案】D.【解析】∵A （﹣3，6），B （﹣9，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A 的对应点A ′的坐标为（316313⨯⨯-，）或[)31(6)31(3-⨯-⨯-，]，即A ′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）． 5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B. 6．【答案】D.【解析】∵ AC ＞BC ，∴ AC 是较长的线段，,AB ACAC ≈0.618AB ．故选D ．7.【答案】B. 【解析】∵ AB=1，设AD=x ，则FD=x -1，FE=1， ∵ 四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，二、填空题 8.【答案】50cm. 9.【答案】4.5．【解析】∵ △ABC 与DEF 是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A 点坐标为（1，0），D 点坐标为（3，0）， ∴ AO=2，DO=5，∴==，∵ AB=1.5，∴ DE=4.5．故答案为：4.5．11x =-10.【答案】1：2．【解析】∵ 五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′位似，OA=10cm ，OA ′=20cm ，∴ 五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，且相似比为：OA ：OA ′=10：20=1：2，∴ 五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比为：OA ：OA ′=1：2．故答案为：1：2． 11.【答案】2:2 .【解析】由BC ∥DE 可得△ADE ∽△ABC ，所以，故.【解析】矩形ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD ∽ 矩形BFEA ，设矩形的长为a ，宽为b ．则AB=CD=b ，AD=BC=a ，BF=AE=13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得：2561256)21(=⨯n ，解得n =16． 14. 【解析】∵ AB=AC ，∠A=36°，∴ ∠ABC=∠C=72°，又BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD=∠CBD=36°，∴ ∠BDC=72°，∴ BC=BD=AD ，三、解答题 15.【答案与解析】(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC 所以∠ADE=∠B 所以DE∥BC.16.【答案与解析】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，理由：∵ AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．17.【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，（2）存在．所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，.。

中考数学专题复习：相似多边形与图形位似

中考数学专题复习：相似多边形与图形位似一、相似多边形1.两个多边形相似的条件是 ( )A.对应角相等B.对应边成比例C.对应角相等或对应边成比例D.对应角相等且对应边成比例 2.下面图形是相似图形的为 ( )A.所有矩形B.所有正方形C.所有菱形D.所有平行四边形 3.只增加一个条件，使矩形ABCD 与矩形A'B'C'D'相似，这个条件可以是________. 4.若五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，且AB=25cm ，A'B'=20cm ，则五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为________. 5.如图1，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.(1)α=________；(2)边x ，y 的长度分别为________，________.图16.如图2，取一张长为a ，宽为b 的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a ，b 应满足的条件是( )图2A.a=√2bB.a=2bC.a=2√2bD.a=4b 7.如图3，四边形ABCD∽四边形EFGH ，连接对角线AC ，EG 。

求证：AC EG=AD EH.图38.在AB=20m，AD=30m的矩形花坛四周修筑小路.(1)如果四周的小路的宽均相等，都是xm，如图4∽，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗?请说明理由；(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为xm，ym，如图∽，那么小路的宽x与y 的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD?图4二、位似图形1.下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是( )图52.如图6，以点O为位似中心，把∽ABC放大为原图形的2倍得到∽A'B'C'，以下说法中错误的是( )图6A.∽ABC∽∽A'B'C'B.点C，O，C'在同一直线上C.AO∽AA'=1∽2D.AB∽A'B'3.如图7，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，位似中心为点O，OC=6，CC'=4，AB=3，则A'B'=________.图74.如图8，∽ABC与∽DEF是位似图形，点B的坐标为(3，0)，则其位似中心的坐标为________.图85.如图9，∽ABC三个顶点的坐标分别为A(-1，3)，B(-1，1)，C(-3，2).(1)请画出∽ABC关于y轴对称的∽A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将∽A1B1C1放大为原来的2倍，得到∽A2B2C2，请在第三象限内画出∽A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值.图96.如图10，在5×6的方格中，每个小正方形的边长均为1，∽ABC的顶点均为格点，D为AB的中点，以点D为位似中心，位似比为2，将∽ABC放大，得到∽A'B'C'，则BB'等于( )图10A.√52B.√5 C.3√52D.√52或3√527.在平面直角坐标系中，∽ABC和∽A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是________.8.如图11，∽ABC与∽A'B'C'是位似图形，点A，B，A'，B'，O共线，点O为位似中心.(1)AC与A'C'平行吗?为什么?(2)若AB=2A'B'，OC'=5，求CC'的长.图119.如图12所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(-1，1)，点C的坐标为(-4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是________.图12参考答案一、相似多边形 1.D2.B [解析] ∽相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∽所有正方形都是相似多边形；∽菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∽所有菱形、所有矩形都不一定是相似图形；∽平行四边形的对应角不一定相等，边不一定对应成比例，∽所有平行四边形不一定是相似图形.3.答案不唯一，如ABA'B' = BCB'C' [解析] ∽矩形的四个角都是直角，∽只要矩形的对应边成比例，则两个矩形相似，∽这个条件可以是ABA'B' = BCB'C'(答案不唯一).4.45 [解析] ∽A'B'AB = 2025 = 45，五边形A'B'C'D'E'∽五边形ABCDE ，∽五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为45. 5.(1)83° (2)12332[解析] (1)∽四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∽∽A'=∽A=62°，∽B'=∽B=75°，∽α=360°-62°-75°-140°=83°.故答案为83°.(2)∽四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∽x 8 = y 11 = 96，解得x=12，y=332.6.B [解析] 对折两次后的小矩形的长为b ，宽为14a.∽小矩形与原矩形相似，∽a b = b14a，∽a=2b.7.证明：∽四边形ABCD∽四边形EFGH ，∽AD EH = CD GH ，∽D=∽H ，∽∽ADC∽∽EHG ，∽ACEG =AD EH.8.解：(1)如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD 不相似.理由：∽四周的小路的宽均为x m ，∽A'D'AD=30+2x 30=15+x 15，A'B'AB=20+2x 20=10+x 10.∽x>0，∽15+x 15≠10+x 10，即A'D'AD ≠ A'B'AB，∽小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD 不相似.(2)A'D'AD =30+2y 30=15+y 15，A'B'AB =20+2x 20=10+x 10.当15+y 15=10+x 10时，小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD ，解得x y =23，∽小路的宽x 与y 的比值为23时，能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD. 二、位似图形 1.C2.C [解析] ∽以点O 为位似中心，把∽ABC 放大为原图形的2倍得到∽A'B'C'，∽∽ABC∽∽A'B'C'，点C ，O ，C'在同一直线上，AB∽A'B'，AO∽OA'=1∽2，故选项C 错误.故选C.3.5 [解析] ∽四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'位似，其位似中心为点O ，OC=6，CC'=4， ∽AB A'B'=OCOC'=610= 35.∽AB=3，∽A'B'=5.4.(1，0) [解析] 如图，连接各对应点A 与D ，C 与F ，直线AD ，CF 的交点Q 即为位似中心，∽位似中心的坐标为(1，0).5.解：(1)如图所示，∽A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示，∽A 2B 2C 2即为所求.∽将∽A 1B 1C 1放大为原来的2倍得到∽A 2B 2C 2，∽∽A 1B 1C 1∽∽A 2B 2C 2，且位似比为12，∽S △A 1B 1C 1∽S △A 2B 2C 2=14.6.D [解析] 如图.∽AC=1，BC=2，∽AB=√5.∽∽A'B'C'∽∽ABC ，位似比为2，∽ABA'B' = 12， ∽A'B'=2√5，∽BB' = 12(A'B'-AB) =√52.同理可得，BB″=A″B″-A″B=3√52.故选D.7.(4，8)或(-4，-8) [解析] ∽∽ABC 和∽A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，而点A 的坐标为(2，4)，∽点A 的对应点A 1的坐标为(2×2，2×4)或(-2×2，-2×4)，即(4，8)或(-4，-8).8.解：(1)AC∽A'C'.理由如下：∽∽ABC 与∽A'B'C'是位似图形，∽∽ABC∽∽A'B'C'，∽∽A=∽C'A'B'，∽AC∽A'C'.(2)∽∽ABC∽∽A'B'C'，∽ABA'B' = ACA'C'.∽AB=2A'B'，∽ACA'C' =2.∽AC∽A'C'，∽OCOC' = ACA'C' = 2. ∽OC'=5，∽OC=10，∽CC'=OC -OC'=10-5=5. 9.(2，0)或-43，23[解析] 本题分两种情况讨论：∽当两个位似图形在位似中心O'同旁时，位似中心就是直线CF 与x 轴的交点.设直线CF 的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将点C(-4，2)，F(-1，1)的坐标代入，得，解得，∽y=-，，+23.令y=0，得x=2，∽点O'的坐标是(2，0).∽当位似中心O'在两个正方形之间时，可求直线OC 的函数表达式为y=-12x ，直线DE 的函数表达式为y=14x+1，由，解得，即O'-，，23.故答案为(2，0)或-43，23.。

《相似》全章复习与巩固(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.43《相似》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【要点梳理】【知识点一】成比例线段1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2、性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；反之，若ad bc =(),,,0a b c d 都不等于，那么a c b d =（2）等比性质：如果()==0a c m b d n b d n =+++≠ ，那么a c m a b d n b +++=+++ （3）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ++=，a b c d b d --=【知识点二】平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例【知识点三】相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点四】相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点五】黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即:0.618:1AC AB ≈【知识点六】位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ⋅≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数()0k k ≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k【典型例题】类型一、成比例线段和平行线分线段成比例1．已知三条线段a b c ，，满足1324a b c +==，且17a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值．【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k 法”用k 表示出a 、b 、c 可以使计算更加简便．【变式1】已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．解：∵:2:3a b =，:3:4b c =，∴设2a k =，3b k =，4c k =，∴()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k =　，解得：2k =，∴24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．，的长；（1）求AM DM（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若25DE EF =，AC=14，（1）求AB 的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE 的长．【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【变式1】如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．【变式2】如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点.（1）请用尺规作图法，在ABC ∆内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若2AD DB =，求AE EC的值.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.类型二、相似三角形判定和性质3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析(2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅ ，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵EF 垂直平分CD ，∴90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()EDF ECF SSS ≅ ，∴12∠=∠，∵90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∴233490∠+∠=∠+∠=︒，∴421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴OCE OFD ．（2）解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．=．∴AF4【变式2】如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，4．如图，在ABC交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF()1求证：四边形AFCD是平行四边形．()2若GB3=，BC6=，3BF=，求AB的长．2【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为E，交AC于点F.求证：(1)△ABF∽△BED；(2)求证：AC BD BE DE=.【变式2】如图，已知▱ABCD．（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．解：（1）如图所示：；（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF ∽△AFD ，∴=，∵E 为BC 的中点，∴BE=BC=AD ，∴EF ：FA=1：2．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键．5．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅；(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥．【变式1】已知ADE C ∠=∠，AG 平分BAC ∠交DE 于F ，交BC 于G ．(1)求证：ADF ∽ACG ；(2)连接DG ，若DG AC ∥，25AF AG =，6AD =，求CE 的长度．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；(1)求AE的长．(2)求证：△ADE∽△DFE．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．类型三、相似三角形拓展与提升6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式1】已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见分析(2)AE CF =(3)平行四边形，证明见分析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．【变式2】已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转DAG CAE∴∠=∠12AG AD AE AC == GAD EAC ∴ ∽ 82AB =，22AG =82AD AB ∴==,AG =,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC AC =由（2）知△ADG∽△【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应点位置是解题关键．【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2；(2)直接写出点A1的坐标和△A1BC1的面积．(2)如图所示1A ：()3,7；11Δ116846222A BC S =⨯-⨯⨯-⨯【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，【变式二】如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()2,1B ，()5,2C （正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O 为位似中心，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ．(1)请在第一象限内画出A B C '''V ；(2)若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)见分析(2)()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -【分析】（1）根据点O 为位似中心，()1,3A ，()2,1B ，()5,2C ，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ，求出点'A ，'B ，'C 的坐标，在网格中描点顺次连线即得；C(2)设D(x,y)，∵平行四边形的对角线互相平分，且综上，()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -．【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．。

25.7相似多边形及图形的位似(1)

新课导入
符合国家标准的两面共青团团旗的形状相同吗？大小呢？
新课导入
四阶魔方和三阶魔方形状相同吗？大小呢？
知识要点
完全相同两个图形的形状 ________ ，但图形的大小不一定相同，这样的图形叫做相似图形。 __________
相似图形的关系：
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。
4.在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示．飞机从台湾直飞上海的距离上海约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为 3858 _______千米． 3cm 5.4cm
香港
3.6cm
台湾
5.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么它们的相似比是 1:3 ,周长比是 1:3 ,面积比是 1:9 .
10.如图，矩形ABCD中，E，F分别在BC，AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝2，S矩形ABCD＝3S矩形ECDF。试求S矩形ABCD。
A2
B2
D2 C2
C1 B1 想一想：四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是
多少？面积比是多少？
类比与探索:
连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与 △A2B2C2相似吗？△A1C1D1与A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ A1 D1 A2 B2 D2
8.两个相似多边形最长的的边分别为10cm和25cm，它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分 A 40cm、100cm 别为______________. 9.如图，在△ABC中，DE∥BC，且 S△ADE：S四边形BCED＝1：2，BC＝ 2 6 求DE的长。

《相似多边形和图形的位似》

《相似多边形和图形的位似》汇报人：日期:•相似多边形的基本概念•相似多边形的判定方法•图形的位似变换目录•相似多边形与位似变换的关系•相似多边形和位似变换的应用举例•总结与展望01相似多边形的基本概念如果两个多边形的对应角相等，则它们是相似的。

对应角相等如果两个多边形的对应边成比例，则它们是相似的。

对应边成比例对应边成比例相似多边形的对应边成比例。

面积比等于相似比的平方相似多边形的面积比等于相似比的平方。

对应角相等相似多边形的对应角相等。

等边三角形矩形三边都相等的三角形。

四个角都是直角的四边形。

等腰三角形等腰梯形正方形两边相等的三角形，其中两边为腰，另一边为底。

有一组对边平行且另一组对边相等的四边形。

四边相等且四个角都是直角的四边形。

02相似多边形的判定方法平行线的性质是判定定理的基础，通过平行线的性质可以推导出相似多边形的判定定理。

平行线性质相似三角形的判定相似多边形的定义首先证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质推导出两个多边形相似。

根据相似多边形的定义，如果两个多边形的对应角相等，则它们相似。

030201判定定理可以应用于实际问题中，例如在建筑设计、工程绘图等领域中，需要利用相似多边形的性质进行计算和设计。

判定定理也可以应用于数学问题中，例如在几何证明、代数运算等领域中，可以利用相似多边形的性质进行证明和计算。

数学问题中的应用实际问题中的应用首先根据相似三角形的性质，证明两个三角形相似；然后利用相似三角形的性质，推导出两个多边形相似。

证明过程具体证明过程需要使用到平行线的性质、相似三角形的性质等知识点，通过逻辑推理和数学运算来证明判定定理的正确性。

03图形的位似变换如果一个图形经过某种变换后，其形状和大小保持不变，但各对应点间的相对位置关系发生了改变，那么这种变换称为位似变换。

定义位似变换保持了图形间的相对位置关系，但改变了图形的形状和大小。

位似变换的特性位似变换保持了图形间的相对位置关系，即图形中的点在变换后仍然保持它们之间的相对位置不变。

冀教版九年级数学上册25.7相似多边形和图形的位似同步测试(含答案)

25.7 相似多边形和图形的位似班级：姓名：成绩：一、单选题1．在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，如果矩形AB CD∽矩形EFCB，那么它们的相似比为（）A．2B．2 C．12D．222．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）3．下列图形中不是位似图形的是（）A．B．C．.D．4．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）A．1：2 B．1：5 C．1：100 D．1：105．用同一张底片洗出两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图像的大小比例为( )A．13B．23C．12D．不能确定6．如图，点O是五边形ABCDE和A1B1C1D1E1的位似中心，若OA∶OA1＝1∶3，则C1D1∶CD＝( )A．1∶2B．1∶3C．3∶1D．1∶47．下列说法中，正确的是A．任意两个矩形都相似B．任意两个菱形都相似C．相似图形一定是位似图形D．位似图形一定是相似图形8．已知五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为1：2，若五边形ABCDE的周长和面积分别为6和15，则五边形FGHIJ的周长和面积分别为（）A．12和30B．12和60C．24和30D．24和609．在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是（）米2．A．410mabB．4210mabC．410abmD．2410abm10．如图，是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（）A ．B．C．D．11．如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（）A．位似中心是点B，相似比是2：1 B．位似中心是点D，相似比是2：1C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1 D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：212．下列结论中，错误的有：（）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个13．如图，已知点E（﹣4，2)，点F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，把△EFO放大为原来的2倍，则E点的对应点坐标为（）A．（2,﹣1）或（﹣2，1）B．（8，-4）或（﹣8，4）C ．（2，﹣1）D ．（8，﹣4） 14．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是（） A ．②③B ．①②C ．③④D ．②③④15．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA =，则FGBC＝（）A ．47B ．43C ．34D ．7416．如图，ABC △与A B C '''是位似图形，点O 是位似中心，若OA=2AA′,S △ABC =8，则A B C S '''=（）A ．18B ．12C ．32D ．1617．如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，且AC ：AF=2：3，则下列结论不正确的是（）A ．四边形ABCD 与四边形AEFG 是相似图形B ．AD 与AE 的比是2：3C ．四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：918．如图，已知点P是四边形ABCD对角线AC上一点，PF//CD交AD于点E，PE//BC交AB于点F.若23APPC=，则四边形AFPE的周长1l与四边形ABCD的周长2l之比为（）A．12ll=23B．12ll=49C ．12ll=25D．12ll=425二、填空题19．在四边形ABCD与四边形''''A B C D中，3AB=，5BC=，50D∠=，''6A B=，要使四边形ABCD∽四边形''''A B C D，则''B C=________，'D∠=________°．20．如图，△ABC与△DEF位似，点O位似中心，且12ODOA=，则DEFABCSS=______．21．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则∠1=___，AD=____.22．如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A＝4∶3，则△ABC与___________是位似图形，相似比是_________．23．ABC与DEF是位似图形，且对应面积比为4：9，则ABC与DEF的位似比为______．24．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点A为位似中心，把△ABC放大3倍后得到△AEF，则∠E ＝__________.25．若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为_____．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点()24A ，，()40B ，，以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA B ''.若B '的坐标为()20，，则点A '的坐标为_______．27．如图，O 点是△ABC 与△D 1E 1F 1的位似中心，△ABC 的周长为1.若D 1、E 1、F 1分别是线段OA 、OB 、OC 的中点，则△D 1E 1F 1的周长为12；若OD 2＝13OA 、OE 2＝13OB 、OF 2＝13OC ，则△D 2E 2F 2的周长为13；…若ODn ＝13OA 、OEn ＝13OB 、OFn ＝13OC ，则△DnEnFn 的周长为__________．(用正整数n 表示)三、解答题28．如图，在四边形ABCD 内选一点O 为位似中心将它放大为原来的两倍(保留作图痕迹)．29．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BC 于E 点，连接DE 交OC 于F 点，作FG ⊥BC 于G 点，则△ABC 与△FGC 是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．30．如图，在13x13的网格图中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （2，4）、B （3，2）、C （6，3）．（1）以点M （1，2）为位似中心，在第一象限把△ABC 按相似比2：1放大，得△A'B'C'，画出△ABC 的位似图形；（2）写出△A'B'C'的各顶点坐标．31．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；ED F，使得它与EDF的相似（2）以点E为中心，在位似中心的同侧画出EDF的一个位似11比为2:1；ED F的面积比．（3）求ABC与11参考答案1-5.ABCCA6-10.CDBDA11-15.CBBAA16-18.ABC19.10 50120.421.70° 2822.△A′B′C′；7∶4.23.2：324.72°25.12+26.(1，2)27.1 n28.解：如图，四边形A′B′C′D′为所作．29.解:△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C. 因为在矩形ABCD中，AD∥BC，所以∠FAD＝∠FCE，∠FDA＝∠FEC，所以△AFD∽△CFE，所以CF CE AF AD=因为AD＝BC，所以CF CE AF CB=因为∠ABC＝90°，OE⊥BC，所以OE∥AB.因为OA＝OC，所以CE＝12 BC，所以CFAF＝12所以CFAC＝13.即△ABC与△FGC的相似比为3∶1.30.解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）． 31.解:()1AB 25AC 5BC 5EF 10FD 2ED 22，，，，，======，∴BC 10AC 510AB 2510EF 2FD 2ED 210222======，，，∴BC AC ABEF FD ED==， ∴ABC DEF ∽；（2）延长ED 到点1D ，使12ED ED =，延长EF 到点1F ，使12EF EF =，连结11D F ，则11ED F 为所求，如图；()113ABC DEF DEF D EF ∽，∽，∴11ABC D EF ∽， ∴11ABC ED F 与的面积比2211AC 55()(D F 822===．。

相似多边形及位似知识讲解

相似多边形及位似知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=∵ ∴ ∴∴(舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形ABAP AP PB =x -1ABAP AP PB =11x x x =-x x -=12618.0215≈-=x1.如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.，而，∴∴矩形ABCD与矩形EFGH 的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a ，宽BC=b ．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A. 2：1B. ：1C. 3：D. 3：2542016221616EFAB==++=652420222020EHAD==++=6554≠EHADEFAB≠AB CDEF GH【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF ，∴AF=AB=a ，∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故选B ．2.如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）．A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm【答案】C.【解析】设留下的矩形的宽为x ，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，∴x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm 2）故答案为：8．故选C ．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．类型二、位似22223. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′. 这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 A B C DE4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）.（2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=OA ，OB ″=OB ，O C ″=OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.41212121【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE，GD；∴四边形DEFG即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ．即矩形DCEF 为黄金矩形．证明：在正方形ABCD 中，取，∵ N 为BC 的中点，∴ ．在中，．又∵ ，∴ ．122AB a =12NC BC a ==Rt DNC△ND ===NE ND=1)CE NE NC a =-=B C A BC D EFM N∴ ．故矩形DCEF 为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.∵该女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，∴此女士下半身长是165×0.60=99cm ，设需要穿的高跟鞋是xcm ，根据黄金分割的定义得：0.618，解得：x ≈8．故选D ．CE CD ==99+=165+x x。

专题27.6 相似多边形(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练

专题27.6 相似多边形（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为8cm，则剩下的小矩形的较短边长为（）A．B．8C．4D．12-2．下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰梯形B．两个矩形C．两个直角三角形D．两个等边三角形3．如果一个矩形与它的一半矩形是相似形,那么大矩形与小矩形的相似比是()B∶2C．2∶1D．1∶2AA．a B．a＝2b C．a＝b D．a＝4b5．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）A．2B C D6．小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，点A 是位似中心，且:2:3AC AF =，则四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积之比等于（）A ．2:3B ．4:9C ．1:4D ．1:28．如图，在矩形ABCD 中，2,1AD CD ==，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形11AB C C ，再连接1AC ，以对角线1AC 为边作矩形11AB C C 的相似矩形221AB C C ，…按此规律继续下去，则矩形1n n n AB C C 的周长为（）A ．3n⨯⎝⎭B ．13n -⨯⎝⎭C ．6n⨯⎝⎭D ．16n -⨯⎝⎭9．如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝2m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE ADAD AB=，那么a 的值为（）A B ．C ．D ．二、填空题10．四边形ABCD 和四边形A 'B 'C 'D '是相似图形，点A 、B 、C 、D 分别与A '、B '、C '、D '对应，已知BC ＝3，CD ＝2.4，B 'C ′＝2，那么C ′D '的长是____．11．如图，四边形ABCD 四边形EFGH ，100A D ∠=∠=︒，65G ∠=︒，则F ∠=__________．12．把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD 的面积的一半，若AC ，则平移的距离是________.13．下列命题中，正确命题的个数为________． ∶所有的正方形都相似 ∶所有的菱形都相似 ∶边长相等的两个菱形都相似 ∶对角线相等的两个矩形都相似14．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，AB ＝2．点E 在矩形ABCD 的边BC 上，连结AE ，将矩形ABCD 沿AE 翻折，翻折后的点B 落在边AD 上的点F 处，得到矩形CDFE ．若矩形CDFE 与原矩形ABCD 相似，则AD 的长为__．15．如图，在矩形ABCD 中，截去一个正方形ABFE 后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD ：AB=_________．16．将一张长方形纸片对折，若得到的小长方形与原长方形相似，则原长方形的长与宽的比是_________．17．将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB =2AD ，则ba的值为________.18．如图，在矩形ABCD 中，2AD =，1CD =，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形11AB C C ，再连接1AC ，以对角线1AC 为边作矩形11AB C C 的相似矩形221AB C C ，……，按此规律继续下去，则矩形1n n n AB C C 的面积为______．三、解答题19．如图，四边形ABCD ∶四边形A B C D ''''．(1) ∶B ＝ °． (2) 求边x ，y 的长度．20．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∶BC，A′D′∶B′C′，∶A＝∶A′．AD ＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．21．如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；（2）这样的直线可以作多少条？22．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∶菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB＝GD；GD的长．（2）若∶DAB＝60°，AB＝2，AG23．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．24．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知ABC ∆，AC=6，BC=8，AB=10，将ABC ∆按图3的方式向外扩张，得到DEF ∆，它们对应的边间距都为1，DE=15，求DEF ∆的面积．参考答案1．D 【分析】一个矩形剪掉一个面积最大的正方形是以矩形的宽为边长的正方形，根据相似比求解即可．解：如图，设剩下的小矩形的较短边长为x cm ，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x ）cm ，由题意得：∶剩下的小矩形与原来的矩形相似∶888x x x-=-，解得：x 12=±∶128x =>（舍去）∶12x =- 故选：D【点拨】本题主要考查了相似的定义，对应边成比例的图形就是相似图形，熟练的掌握相似的定义并正确运用相似比求解是解题的关键．2．D 【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可．解：A 、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；B 、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；C 、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；D 、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确．故选D ．【点拨】本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键．3．A 【分析】由题意得，小长方形长：宽=大长方形长：宽，相似比为大矩形的长：小矩形的长，据此求解．解：设小长方形的宽为x ，长为y ，则大长方形的宽为y ，长为2x ，由题意得：y ：x=2x ：y ， ∶x ：y=1设x=k ，，则2x=2k ， ∶相似比=2x ：y=2k1．故选A ．【点拨】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比等于相似比． 4．B 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．解：对折两次后的小长方形的长为b ，宽为14a ，要使小长方形与原长方形相似，只要满足14ab b a =即可，∶2a b =．故选：B ．【点拨】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 5．B 【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．解：∶四边形ABCD 是矩形，宽BC ＝ycm ，∶AD=BC=ycm ，由折叠的性质得：AE=12AB=12x ， ∶矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似，∶AE ADAD AB=，即12x y y x =， ∶x 2=2y 2，y ，∶xy．故选：B ．【点拨】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．6．C 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合的即可得到答案. 解：A.内外都是等边三角形，符合相似的定义，对应角相等，∶两个三角形相似，故不符合题意；B.内外都是正方形，对应角都相等，对应边都成比例，∶两个正方形相似，故不符合题意；C.两个矩形的对应角都相等，对应边不成比例，∶两个矩形不相似，符合题意；D.两个正五边形对应角都相等，对应边都成比例，∶两个正五边形相似，不符合题意.故选C.【点拨】此题主要考查相似多边形的定义，对应角都相等，对应边都成比例的多边形是相似多边形，熟记定义并应用解题即可正确解答.7．B 【分析】根据位似的性质得到四边形ABCD 和四边形AEFG 的相似比为2：3，然后根据相似多边形的性质求解．解：∶四边形ABCD 和四边形AEFG 是以点A 为位似中心的位似图形AC ：AF =2：3，∶四边形ABCD 和四边形AEFG 的相似比为2：3， ∶四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比为4：9．故选：B ．【点拨】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的两个图形相似；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．8．C【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC ，AC 1，AC 2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n 个矩形的周长．解：∶四边形ABCD 是矩形，∶AD ∶DC ，2,1AD CD ==∶AC =∶按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，∶矩形AB 1C 1C 的边长和矩形ABCD2∶矩形AB 1C 1C 的周长和矩形ABCD2，∶矩形ABCD 的周长=（2+1）×2=6，∶矩形AB 1C 1C 的周长6，依此类推，矩形AB 2C 2C 1的周长和矩形AB 1C 1C2∶矩形AB 2C 2C 1的周长=26⨯ ∶矩形AB 3C 3C 2的周长=36⨯ ……按此规律矩形1n n n AB C C的周长为：6n ⨯ 故选：C ．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．9．C【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．解：∶使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∶1232a a =，解得a＝−∶a ＝故选：C ．【点拨】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 10．1.6．【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．解：∶四边形ABCD∶四边形A'B'C'D'，∶CD ：C′D′＝BC ：B′C′，∶BC ＝3，CD ＝2.4，B'C′＝2，∶C′D′＝1.6，故答案为：1.6．【点拨】本题考查了相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 11．95︒【分析】利用相似图形的性质即可求.解：∶四边形ABCD ~四边形EFGH∶∶A=∶E ，∶D=∶H∶100A D ∠=∠=︒∶∶E=∶H=100°∶65G ∠=︒∶∶F=360°-∶E -∶H -∶G=95°故答案为95°.【点拨】本题考查的知识点是相似图形的性质，解题关键是熟记相似图形对应角相等. 121##1-【分析】先根据大小正方形的面积关系求出大小正方形的相似比，再结合AC 差求得1AA 即可.解：∶重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，即重叠部分与正方形的面积的比是1：2．则相似比是1∶1A C ：AC =1，∶A 1C =1，∶AC，∶1AA =AC -1A C -1，1.【点拨】本题主要考查了相似图形的性质、正方形的性质等知识点，确定大小两正方形的相似比成为解答本题的关键.13．1【分析】根据多边形的判定方法对∶进行判断；利用菱形的定义对∶进行判断；根据菱形的性质对∶进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对∶进行判断．解：所有的正方形都相似，所以∶正确；所有的菱形不一定相似，所以∶错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以∶错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以∶错误；故答案是：1．【点拨】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．14．1【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．解：∶矩形CDFE ∶矩形ADCB ， ∶CD AD ＝DF CD ，即2AD ＝22AD -，整理得，AD 2﹣2AD ﹣4＝0，解得，AD 1＝1AD 2＝1+，故答案为：1【点拨】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．152．解：∶ABFE 是正方形，∶AB=EF=AE ，∶矩形GFCH 和矩形EGHD 全等，∶EG=DH=GF=HC ，设ED=x ，EG=y ，∶AD=2y x +，AB=2x ，∶矩形ABCD 和矩形EGHD 相似， ∶AD GH AB GF =或AD GF AB GH=， ∶当AD GH AB GF =时， ∶22y x x y y+=，解得：2x y =， ∶AD ：AB=:2:2:1x y y y ==，∶当AD GF AB GH=时，22y x y y x +=，解得：y x =，∶AD ：AB=::y x y y ==故答案为：2．考点：相似多边形的性质．16∶1【分析】设AE ＝ED ＝a ，AB ＝b ，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知2a b b a=，再由a ，b 均为正数可知b a ，由此即可得出结论．解：设AE ＝ED ＝a ，AB ＝b ，∶每一个小长方形与原长方形相似， ∶2a b b a= ， ∶b 2＝2a 2，∶a ，b 均为正数，∶b ，∶2AD a AB b === ∶1．1．【点拨】本题考查的相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比叫做相似比．利用相似比列出比例式是解题的关键．17 【分析】如图，设FH =EJ =AK =x ，则PF =5a +2b -x ，AB =4a -2b ，首先证明x =3b -2a ，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．解：如图，设FH =EJ =AK =x ，则PF =5a +2b -x ，AB =4a -2b ，∶JR =DQ =5a -x ，AB =2CD ，∶CD =2a -b ，∶KQ =PF ，∶x +2a -b +5a -x =5a +2b -x ，∶x =3b -2a ，∶∶EHF =∶P =∶EFT =90°，∶∶HFE +∶PFT =90°，∶PFT +∶FTP =90°，∶∶EFH =∶FTP ，∶∶EHF ∶∶FPT ， ∶EH HF FP PT=， ∶43252(32)2a b a a b b a b -=+--，整理得，3b 2-15ab +14a 2=0，∶b a ， ∶4a -2b ＞0， ∶b a＜2，∶b a ．．【点拨】本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．18．2152nn - 【分析】根据相似多变形的面积比等于边长比的平方，找出相似比，列出面积的表达式；解：∶四边形ABCD 是矩形，∶AB ∶BC ，AB =CD =1，BC =AD =2，∶AC =， ∶相邻两矩形的面积比为：54，设S 0为四边形ABCD 的面积，则S 0=2×1=2，∶S 1=54S 0，S 2=54S 1=54×54S 0，S 3=54S 2=54×54S 1=555444⨯⨯S 0,……Sn =054nS ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2152n n - 【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．19．(1)69︒(2)4x =，18y =【分析】（1）直接利用相似多边形的性质，对应角相等，结合四边形内角和进行求解，即可得到答案；（2）直接利用相似多边形的性质，对应边成比例即可得到答案．(1)解：四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，135C C '∴∠=∠=︒，360609613569B ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，故答案为：69︒；(2)解：四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，612812y x ==，解得4x =，18y =．【点拨】此题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是正确得出对应边关系进行求解．20．(1)k ＝2∶3；(2)A ＇B ＇＝9，BC ＝8；(3)3∶2．【分析】根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可求出.解：∶梯形ABCD ∶梯形A ′B ′C ′D ′相似，∶AD ：A ′D ′=4:6=2:3;（2）由（1）知AB: A ′B ′= AD ：A ′D ′=2:3，∶AB=6，∶A ′B ′=9；同理可得，BC ＝8；（3）∶梯形ABCD ∶梯形A ′B ′C ′D ′相似，∶D ′C ′∶DC= A ′D ′：AD=3:2.【点拨】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键．21．见分析解：（1）相似．理由如下：因为EF 将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，所以可设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ．于是有11()?()?22x AF a b x b AF a +=-+-，所以x ＋AF ＝b －x ＋b －AF ，即AF ＝b －x ．又EC ＝b －x ，所以AF ＝EC ．在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD∶BC ，所以DF ＝BE ，∶AFE ＝∶FEC ，∶DFE ＝∶BEF ，∶A ＝∶B ＝∶C ＝∶D ＝90°．所以在四边形ABEF 与四边形CDFE 中，有∶A ＝∶C ＝90°，∶B ＝∶D ＝90°，∶AFE ＝∶FEC ，∶BEF ＝∶DFE ，1AB AF BE EF CD CE DF EF====，所以四边形ABEF 与四边形CDFE 相似，相似比为1．（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．22．（1）见分析；（2）GD【分析】（1）用SAS 证明∶AEB∶∶AGD 即可得到EB ＝GD ；（2）连接BD.由（1）可知，求出EB 即可得到GD 的长.依次求出BP 、AP 、EP 的长即可解决问题.（1）证明：∶菱形AEFG∶菱形ABCD ，∶∶EAG ＝∶BAD ，∶∶EAG+∶GAB ＝∶BAD+∶GAB ，∶∶EAB ＝∶GAD ，∶AEFG 是菱形，ABCD 是菱形，∶AE ＝AG ，AB ＝AD ，∶∶AEB∶∶AGD ，∶EB ＝GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP∶AC ，∶∶DAB＝60°，∶∶PAB＝30°，AB＝1，∶BP＝12APAE＝AG∶EB∶GD【点拨】本题考查了相似多边形的性质及菱形的性质，利用菱形对角线互相垂直平分构造的直角三角形进行计算是解题的关键.23．（12）相似，理由见分析【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；（2）根据相似图形的判定解答即可．解：（1）如图1，设AB＝x，由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∶ACF＝∶HDF，∶ACB＝∶HDB，∶ECF=45°∶∶BCF＝∶BDF=90°又∶∶ACE＝∶ACB+∶ECB=∶BCF=∶BCE+∶ECF∶∶ACB=∶ECF=45°∶x∶BD ＝BCx ，AD ＝AB +BD+1）x ，∶EF ＝CE ＝AD）x ，∶DE ＝AC ＝AB ＝x ，∶DF ＝DE +EF）x ，∶2x DF AD ===（2）由（1）知：A 5纸长边为A 4）x ，A 5）x ，∶对A 5纸，长边：短边1x ==⎝⎭∶A 4纸与A 5纸相似．故答案为：相似．【点拨】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答． 24．（1）观点一正确；观点二不正确；理由见分析；（2）54【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确；（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∶C 是直角，根据相似三角形的性质可求出∶DEF 的边长，进而求出∶DEF 的面积．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：∶如图（1）连接并延长DA ，交FC 的延长线于点O ，∶∶ABC 和∶DEF 对应的边的距离都为1，∶AB //DE ，AC //DF ，∶∶FDO ＝∶CAO ，∶ODE ＝∶OAB ，∶∶FDO+∶ODE＝∶CAO+∶OAB，即∶FDE＝∶CAB，同理∶DEF＝∶ABC，∶∶ABC∶∶DEF，∶观点一正确；∶如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∶6342=，10584=，∶610 48≠，∶新矩形于原矩形不相似，∶观点二不正确；（2）∶AC＝6，BC＝8，AB＝10，∶∶ABC是直角三角形，∶∶ACB=90°，由（1）知∶ABC∶∶DEF，∶∶DFE=90°，23 AC BC ABDF EF DE===，∶623DF=，823EF=，∶DF＝9，EF＝12，∶∶DEF的面积为：12⨯9×12＝54．【点拨】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．。

25.7 相似多边形和图形的位似

做一做 △ABC的边长缩小到原来的一半.
连AO，并延长至A’，使
OA ' OA
1 2
B ‘
A’
连BO，并延长至B’，使
OB ' OB
1 2
C‘
连CO，并延长至C’，使 OC ' 1
OC 2
连接三个顶点就可以得到△A’B’C’.你能解释原因吗？
同时满足下面两个条件的两个图形才叫做位似图形．两条件缺一不可．
1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都经过同一点．
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
随堂练习
2. 一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为__1_8___ 。
3. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？
A 3D 2
E 1. H 15
F
G
B
C
解：矩形ABCD ∽ 矩形EFGH
因为它们的对应角相等，对应边的比也相等。
D1
在下列图形中，找出形状相同的图形。
相似多边形
定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫
做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做他们的相似比
D A
H E
F
GБайду номын сангаас
B
C
如图，记作:四边形ABCD∽四边形EFGH
注意字母的对应顺序
如图，四边形A1B1C1D1∽A2B2C2D2，相似比为k.
D1 A
A
D2
1
如图四边
形ABCD，
现要对其放大两倍，
A1
该如何操
作？
D

北京四中九年级上册数学图形的相似全章复习与巩固--巩固练习(基础)

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) .A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）.A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）.A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. 在□ABCD中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在B EFC H DA G 面上的影长为40米，则古塔高为________.13. 若, 则的值为 .14．如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝_____________.15.如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

新冀教版九年级上《25.7相似多边形和图形的位似》练习题

25.7 相似多边形和图形的位似一、选择题1.（2019山东省聊城，11，3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（）A.BC=2DEB. △ADE ∽△ABCC.D.第1题图第2题图第3题图2.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝MABN 的面积是（）A． B ．C． D ．3.（2012山东泰安，17，3分）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FC 与△DG 的面积之比为（）A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：95.（2012贵州铜仁，8，4分）如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1，则下列结论正确的是（）A ．∠E=2∠K B. BC=2HI C. 六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D. S 六边形ABCDEF=2S 六边形GHIJK6.（2012陕西5，3分）如图，在是两条中线，则（）A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶47.（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为（）．A ．(，0) B ．(，) C ．(，) D ．(2，2)第5题图第6题图第7题图8.(2012山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，ACAB AE AD =AD E ABC S S ∆∆=3B 'B 'BE AD ABC ,中，∆=∆∆ABC ED C S S :22232322连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则的值是（） A. B. C. D. 9.（2012贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（）A ．9B ． 10C ．12D ．13二、填空题1.（2012·湖南省张家界市·10题·3分）已知与相似且面积比为4∶25，则与的相似比为．2.（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

相似多边形及位似--巩固练习

相似多边形及位似--巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（）A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5.（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.D.7.（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）二.填空题8. （2016春•淄博期末）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是．9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.'''''，已知OA=10cm，10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12.（2015春•庆阳校级月考）图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】C．【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴=，∵AB=12，CD=15，A1B1=9，∴C1D1==．6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，AB ACAC≈0.618AB．故选D．7.【答案】A．【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．二、填空题8.【答案】②③．【解析】①所有的等腰三角形都相似，错误；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误．故答案为：②③．9.【答案】2个；全等.10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．11.【答案】；【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故. 12.【答案】63，85°.【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，∴ 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．故答案为63，85°．13.14.【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D点是AC的黄金分割点，三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C 是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.16.【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．OE=。

冀教版九年级上册：25.7《相似多边形和图形的位似》同步练习(含答案)

25.7 相似多边形和图形的位似基础巩固JICHU GONGGU1．下列说法中，正确的是( )A．两个菱形一定相似B．两个正五边形一定相似C．两个梯形一定相似D．两个等腰梯形一定相似2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A．87°B．60°C．75°D．120°3．若五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且AB＝20cm，A′B′＝16cm，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为__________．4．如图，△ABC与△DFE是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DF的长为__________．5．已知两个相似六边形一组对应边的比是3∶5，如果它们的面积之差为80cm2，则较大的六边形的面积是__________．6．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C 的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是__________．7．如图，在△ABC内任意取一点O，连接OA，OB，OC，在OA，OB，OC上分别取点A′，B′，C′，使得A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，则△A′B′C′与△ABC是位似图形吗？为什么？(第6题图)(第7题图)能力提升NENGLI TISHENG8．我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．(1)选择：如图，点O 是等边三角形PQR 的中心，P′，Q′，R′分别是OP ，OQ ，OR 的中点，则△P′Q′R′与△PQR 是位似三角形．此时△P′Q′R′与△PQ R 的位似比、位似中心分别为( )A ．2，点PB ．12，点P C ．2，点OD ．12，点O (2)如图，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上；②连接OE 并延长，交A B 于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA 于点C′，作E′D′∥ED，交OB 于点D′；③连接C′D′，则△C ′D′E′是△AOB 的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．9．如图：已知A(0，－2)，B(－2，1)，C(3，2)．(1)求线段AB，BC，AC的长．(2)把A，B，C三点的横坐标，纵坐标都乘以2，得到A′，B′，C′的坐标，求A′B′，B′C′，A′C′的长．(3)△ABC与△A′B′C′的形状相同吗？(4)△ABC与△A′B′C′是位似图形吗？若是，请指出位似中心和位似比．参考答案1．B 点拨：对应角相等，对应边成比例的两个多边形是相似多边形，对于菱形，各边对应成比例，但各角不一定对应相等，所以两个菱形不一定相似；对于两个梯形或两个等腰梯形，它们的各角不一定相等，各边也不一定成比例，所以选项C ，D 错误；只有正五边形同时满足这两个条件．2．A 点拨：相似多边形的对应角相等．3．5∶4 点拨：相似多边形的周长比就是对应边的比． 4．6 点拨：位似图形的对应线段的比等于位似比，AB DF ＝23，DF ＝6. 5．125cm 2点拨：因为两个相似六边形的相似比是3∶5，所以其面积比为9∶25，设较大的六边形面积为x cm 2，较小的六边形面积为(x －80)cm 2，列比例式解答即可．6．(2，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23 点拨：(1)当两个位似图形在位似中心O′同旁时，位似中心就是CF 与x 轴的交点，设直线CF 解析式为y ＝kx ＋b ，将C(－4，2)，F(－1，1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝2，－k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝23，即y ＝－13x ＋23.令y ＝0，得x ＝2，∴O′坐标是(2，0)．②当位似中心O′在两个正方形之间时，可求直线OC 解析式为y ＝－12x ，直线DE 解析式为y ＝14x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y ＝14x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝23，即O′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23.7．分析：△A′B′C′与△ABC 是位似图形要满足两个条件：对应顶点所在直线交于一点，两三角形相似．解：∵A′B′∥AB，∴∠A′B′O＝∠ABO. ∵B′C′∥BC，∴∠OB′C′＝∠OBC. ∴∠A′B′C′＝∠ABC. 同理，∠A′C′B′＝∠ACB，∴△A′B′C′∽△ABC.又∵直线AA′，BB′，CC′都经过点O ， ∴△A′B′C′与△ABC 是位似图形．8．分析：(1)根据中位线定理，可知△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1∶2，所以位似比是1∶2，位似中心为点O.∵△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1∶2， ∴位似比是1∶2，位似中心为点O.故选D.(2)根据作法，可知E′C′∥EC ，E′D′∥ED ，可证得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根据相似可证对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE∽△C′D′E′，即可得结果．解：(1)D(2)因为EC∥E′C′，所以∠CEO＝∠C′E′O. 又∠COE＝∠C′OE′，所以△OCE∽△OC′E′. 所以CE C′E′＝OE OE ′.因为ED∥E′D′，所以∠OED＝∠OE′D′. 又∠DOE＝∠D′OE′，所以△ODE∽△OD′E′.所以ED E′D′＝OEOE′. 所以CE C′E′＝ED E′D′，∠CED＝∠C′E′D′.因为△CDE 是等边三角形，所以CE ＝ED ，∠CED＝60°.所以C′E′＝E′D′，∠C′E′D′＝60°. 所以△C ′E′D′是等边三角形． 9．解：(1)AB ＝13，BC ＝26，AC ＝5， (2)A′(0，－4)，B′(－4，2)，C′(6，4)， A′B′＝213，B′C′＝226，A′C′＝10. (3)∵AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′＝12，∴△ABC∽△A′B′C′，即此两个三角形形状相同． (4)△ABC 与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O ，位似比为12.文档说明(Word文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档：小学试卷教案合同协议施工组织设计、期中、期末等测试中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间，提高读者的工作效率，读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多，审核有可能疏忽，如果有错误或侵权，请联系本店马上删除。

九年级数学寒假作业之相似多边形及位似图形

九年级数学寒假作业之相似多边形及位似图形一、基础知识1、已知，如图2，Aprime;Bprime;∥AB，Bprime;Cprime;∥BC，且OAprime;∶Aprime;A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________;△OAB与________是位似图形，位似比为________.2、如图，，则与的位似比是________.3、如图所示，E、F分别是平行四边形的边BC、AD的中点，且平行四边形ABFE∽平行四边形ADCB，则 =___4、在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形(图中的阴影部分)，•若留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____5如图，△ABC和△Aprime;Bprime;Cprime;是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AAprime;，△ABC的面积=8，则△Aprime;Bprime;Cprime;的面积为_______二、能力提升1、如图，若五边形ABCDE与五边形Aprime;Bprime;Cprime;Dprime;Eprime;位似，对应边CD=2，Cprime;Dprime;=3.若位似中心O到A的距离为6，则点O到Aprime;的距离为_________2、如图，表示△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A(1，2)、B(3,0)、D(4，0)，则点C的坐标是_________3、如图，△EDC是由△ABC缩小得到的，A(-3，5)，那么点E的坐标是_________4、如图，用放大镜将图形放大，应属于_________变换5、如图，五边形ABCDE与五边形Aprime;Bprime;Cprime;Dprime;Eprime;位似五边形，且P Aprime;= PA，则AB：Aprime;Bprime;=_________三、综合拓展1、在#9649;ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于O，S△ODE=12cm2.则S△AOB等于 ( )2、下列图形中不是位似图形的是( )3、的顶点坐标分别是A(-3，3)、B(3，3)、O(0，0)，试将放大，使放大后的与对应边的比为1#65533;U2，则点E和点F的坐标分别为由精品小编为大家提供的这篇九年级数学寒假作业之相似多边形及位似图形就到这里了，希望这篇文章可以帮助到您!数学寒假作业：中心对称图形九年级数学寒假作业：圆。

北师大初中数学中考总复习：图形的相似--巩固练习(提高)

•中考总复习：图形的相似--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=1，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD 的距离为1，则点P的个数为（）．A．1B．2C．3D．42.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为D E，则△SB CE：△SB DE等于（）．A.2：5B.14:25C.16:25D.4:213.（2015•甘南州）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点△O，设OCD的面积为△m，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）A．m=5B．m=4C．m=3D．m=104.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长()．A．63-3 B.43 C.63 D.3-235．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD②△ADC是等腰直角三角形③∠ADB=∠AEB④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个=，③∠B+∠2=90°④BC∶AC∶AB=3∶4∶5，⑤AC⋅BD=AC⋅C D，②6．如图，△A BC中，CD⊥AB于D，一定能确定△A BC为直角三角形的条件的个数是（）．①∠1=∠A，CD DBAD CDA．1B．2C．3D．4二、填空题7.如图已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点△F，则AEF的面积等于__________（结果保留根号）.第7题第8题8.已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为．9.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD= 60°，则CD的长为．第9题第10题10．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为．11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S，S，则S+S的1212值为．3．．．．．．．．．．．．．．．．12. （2015•湖州）已知正方形 ABC 1D 1 的边长为 1，延长 C 1D 1 到 A 1，以 A 1C 1 为边向右作正方形 A 1C 1C 2D 2，延长 C 2D 2 到 A 2，以 A 2C 2 为边向右作正方形 A 2C 2C 3D （如图所示），以此类推…．若 A 1C 1=2，且点 A ，D 2，D 3，…，D 10 都在同一直线上，则正方形 A 9C 9C 10D 10 的边长是．三、解答题13.（2015•杭州模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E ，F 分别是 DC 和 BC 两边上的动点且始终保持∠EAF=45°，连接 AE 与 AF 交 DB 于点 N ，△M ．下列结论：① △A D M∽ NBA ；②△CEF 的周长始终保持不变其值是 4；③AE×AM=AF×AN；④DN 2+BM 2=NM 2．其中正确的结论有哪些？14. 如图（△1）， ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB =EF =9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°，固定△ABC ，将△EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE 、DF （或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G 、H 点，如图（2）. （△1）问：始终与 AGC 相似的三角形有及；（2）设 CG ＝x ，BH ＝y ，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；（3）问：当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？15.已知:直角梯形 OABC 中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB 为直径的圆 M 交 OC 于 D ．E ，连结 AD 、BD 、BE.(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图 1 中的两对相似三角形._____________________，______________________；(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点.①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于△N，使得PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.16．（2011上海）在△R t ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=1213．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（△3）若AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．图1图2备用图【答案与解析】一．选择题1．【答案】B．2．【答案】B．3．【答案】B；【解析】∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E 是 AB 的中点， ∴2EB=AB=CD，∴=（）2，即=（）2，解得 m=4 ．故选 B ． 4．【答案】B ． 5．【答案】Ｄ；【解析】①利用 SAS 证明△BAD ≌△CAE ，可得到 CE=BD ，②利用平行四边形的性质可得 AE=CD ，再结合△ADE 是等腰直角三角形可得到△ADC 是等腰直角三角形； ③利用 SAS 证明△BAE ≌△BAD 可得到∠ADB=∠AEB ；④利用已知得出∠GFD=∠AFE ，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF ，进而得出△CGD ∽△EAF ，得出比例式． 6．【答案】Ｃ；【解析】①因为∠A+∠2=90°，∠1=∠A ，所以∠1+∠2=90°，即△ABC 为直角三角形，故正确；②根据 CD 2=AD•DB 得到 AD CD =CD DB，再根据∠ADC=∠CDB=90°，则△ACD ∽△CBD ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B ，根据三角形内角和定理可得：∠ACB=90°，故正确；③因为∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，无法得到两角和为 90°，故错误；④设 BC 的长为 3x ，那么 AC 为 4x ，AB 为 5x ，由 9x 2+16x 2=25x 2，符合勾股定理的逆定理，故正确； ⑤由三角形的相似无法推出 AC•BD=AD•CD 成立，所以△ABC 不是直角三角形，故错误．所以正确的有三个．故选 C ．二．填空题7．【答案】 3 - 3 4．8．【答案】 3 8．29．【答案】；3【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°， ∵∠APB=∠PAC+∠C ，∠PDC=∠PAC+∠APD ，∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC ，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP ∽△PCD ，∴ AB BP 3 1 = ，即 = ，PC CD 2 CD2∴CD= ．310．【答案】７；【解析】根据已知条件可以推出△CEF ∽△OME ∽△PFN 然后把它们的直角边用含 x 的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出 x 的值答题． 11.【答案】17；【解析】如图，设正方形 S 2 的边长为 x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC= 2 x ，x= 2 CD ，∴AC=2CD ，CD=2，∴EC 2=22+22，即 EC=2 2 ，∴S 2 的面积为 EC 2=8， ∵S 1 的边长为 3，S 1 的面积为 3×3=9， ∴S 1+S 2=8+9=17．12．【答案】．【解析】延长 D 4A 和 C 1B 交于 O ， ∵AB∥A 2C 1，∴ AOB∽ D △2OC 2，∴ = ，∵AB=BC 1=1，DC 2=C 1C 2=2，∴==∴OC 2=2OB ， ∴OB=BC 2=3， ∴OC 2=6，设正方形 A 2C 2C 3D 3 的边长为 x 1，同理证得： D △2OC △2∽ D 3OC 3，∴= ，解得，x 1=3，∴正方形 A 2C 2C 3D 3 的边长为 3，设正方形 A 3C 3C 4D 4 的边长为 x 2，同理证得： D △3OC △3∽ D 4OC 4，∴=，解得 x 2= ，∴正方形 A 3C 3C 4D 4 的边长为；设正方形 A 4C 4C 5D 5 的边长为 x 3，同理证得： D △4OC △4∽ D 5OC 5，∴= ，解得 x= ，∴正方形 A 4C 4C 5D 5 的边长为以此类推…．；正方形 A n ﹣1C n ﹣1C n D n 的边长为； ∴正方形 A 9C 9C 10D 10 的边长为．故答案为．三.综合题 13．【解析】解：①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，∴△ADM∽△NBA，①正确；②如图△1，把ADE顺时针旋转90°得到△ABG，则BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴DG=EF，∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FG=4，②正确；③当MN∥EF时，AE×AM=AF×AN，∵MN与EF的位置关系不确定，∴③错误；④如图△2，把ADN顺时针旋转90°得到△ABH，则BH=DN，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN45°，在△NAM和△HAM中，，∴△AEF≌△AGF，∴MN=MH，又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，∴BH2+BM2=MH2，即DN2+BM2=NM2，④正确．∴正确的结论有：①②④.14．【解析】（△1）HGA及△HAB；（2）由（△1）可知AGC∽△HAB∴CG AC=AB BHx9，即=，9y所以，y=81 x 1（3）当CG＜BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH2∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；当CG=12BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；99此时，GC=2，即x=2221当CG＞BC时，由（△1）可知AGC∽△HGA2所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9或92时，△AGH是等腰三角形．2∴ DC∴1 = ， ∴ a2 = 1 ， ∴CP = = =24．在 Rt△CPM 中，∵sin ∠EMP = ，∴CM = CP = ⨯ 24 =26．，∴PE = x ．在 Rt△MPE 中，∵sin∠EMP = ，∴ = ．∴EM = PE = ⨯ x = x ．∴PM =PN = ME2 - PE2 = x ⎪ - x ⎪ = x ． ∵AP +PN +NB =50，∴x + x +y =50．∴y = - x + 50 (0<x <32)．15．【解析】（△1）OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB；（2）①（1，－4a ）；②∵△OAD ∽△CDBCB=OA OD∵ax 2－2ax －3a=0，可得 A （3，0）又 OC=－4a ，OD=－3a ，CD=－a ，CB=1，-a - 3a 3∵ a < 0 ，∴ a = -1．故抛物线的解析式为： y = - x 2 + 2x + 3 ．③存在，设 P （x ，－x 2+2x+3），∵△PAN 与△OAD 相似，且△OAD 为等腰三角形， ∴PN=AN ．当 x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x 2+2x+3)，x 1=－2，x 2=3(舍去)， ∴P （－2，－5），当 x>0（x>3）时，x －3=－(－x 2+2x+3)，x 1=0，x 2=3(都不合题意舍去)，符合条件的点 P 为（－2，－5）．16.【解析】（1）∵∠ACB =90°，∴AC = AB 2 - BC 2 = 502 - 302 =40．∵S = 1 ⋅ AB ⋅ CP = 21 2⋅ AC ⋅ BC ,AC ⋅ BC 40 ⨯ 30AB 501213CP 12 ∴ = ．CM 1313 1312 12（△2）由 APE ∽△ACB ，得 PE AP =BC AC ，即 PE x 3= 30 40 412 PE 1213 ME 1313 13 3 1312 12 4 16⎛ 13 ⎫2 ⎛ 3 ⎫25 ⎝ 16 ⎭ ⎝ 4 ⎭ 16 51621 16设AP=x，由（2）知EM=x，AM=x-PM=x-x=x，NB=-x+50．∴ x⎪=x⋅(-x+50)∴CE=AC=．设AP=x，易得BE=(50-x)，∴CE=30-(50-x)．（3）①当点E在线段AC上时，△AME∽△ENB，AM ME=EN NB．∵EM=EN，∴EM2=A M⋅NB．135112116161616⎛13⎫21121⎝16⎭1616解得x1=22，x2=0（舍去），即AP=22．②当点E在线段BC上时，根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴AC EP12==．CE MP55501235353550∴30-(50-x)=．33解得x=42．即AP=42．∴AP的长为22或42．。

九年级数学上册第25章图形的相似25.7相似多边形和图形的位似第1课时相似多边形练习冀教版(202

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25.7 相似多边形和图形的位似[第1课时相似多边形]知｜识｜目|标1．通过观察图形,了解相似多边形的性质，会利用相似多边形的性质求多边形的边与角．2．通过对相似多边形概念的理解，会判定两个多边形相似．目标一利用相似多边形的性质求多边形的边或角例1 教材例题针对训练在如图25－7－1所示的两个相似的四边形中，求未知数x，y的值和∠α的度数．图25－7－1例2 教材补充例题两个相似多边形的相似比为5∶3，其中较小多边形的周长为15，则较大多边形的周长为________．【归纳总结】相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．目标二利用相似多边形的定义判定两个多边形相似例3 教材补充例题如图25－7－2，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，A′，B′，C′，D′分别在OA，OB，OC，OD上，且错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，试判断菱形A′B′C′D′与菱形ABCD是否相似，并说明理由．图25－7－2【归纳总结】判定相似多边形的方法由定义可知,若两个多边形各角对应相等，各边对应成比例,则这两个多边形相似，两个条件缺一不可．知识点一相似图形________相同的图形叫做相似图形．知识点二相似多边形一般地，如果两个多边形的____________________________，那么这两个多边形就叫做相似多边形．相似多边形的对应边________，对应角________________．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．如图25－7－3,矩形草坪长20 m，宽10 m,沿草坪四周外围有1 m宽的环形小路．小路内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？图25－7－3教师详解详析备课资源详解详析【目标突破】例1解：∵这两个图形是相似图形，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

九年级数学上册 25.7 相似多边形和图形的位似专题五位似复习讲练素材 (新版)冀教版

写作文要有哪几个步骤希望对你有所帮助：一、细观察细致观察是提高写作水平的金钥匙。

文章是客观事物在作者头及中反映的产物，要反映客，不必须对客观事物作仔细的观察。

只有仔细地观察，才能从生活现象的矿藏中发现碎金璞玉，于泥沙混杂中攫取闪光的宝物。

不掌握，“观察”这把开门的金钥匙，作文的“铁门限”是决然跨不进去的。

二、多阅读广泛阅读是提高作文水平的前提条件。

要写出好文章，就必须多读书。

“读书破万卷，下笔如有神。

”“熟读唐诗三首，不会作诗会吟。

”鲁迅先生也提倡多读书，“必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来，倘叮在一处，所得就非常有限，枯燥了。

”我们强调既要多读，又要选择地读，更要读进去，理解所读文章的结构技艺，语言特点，从中掌握作文定得深刻些，变化多一些。

三、巧选材精心选择是提高作文水平的加速器。

选材的要求是要新颖，所谓新颖，就是批要选择一般人没有接触过的，或熟视无睹崦实含表深刻意义的。

一经作者笔之于书，就会发人深思令人感奋的材料。

选材角度要小，要以小见大，写人人眼中有，人人笔下无的材料。

为此，必须在头脑中把各种材料比较、分析、综合，进行去粗取精，改造加工，只有这样，才能使材料新颖。

而这种积极思考、反复推敲的选析工夫，对提高作文水平很有帮助。

四、常练笔经常练笔是提高作文水平的关键。

要想入作文的大门，并求得不断进步，更重要的是多练。

谚语说的好：“文章读十篇，不如写一篇。

”这就道出了作文实践出真知的道理。

我们学习了一篇文章之后，弄懂了文章的结构方法，弄清了文章的写作特色，就要学着运用这些知识与方法去实践，去练习，使之变成自身的作文能力。

实际上，我们第学习一篇课文后都可以进行练笔。

而片断练习是练笔的一种好方式，片断练习所花的时间不长，又达到了练笔的目的。

写日记也是一种有效的练笔方式，天天坚持写日记，以后俄文就有了坚实的基础。

五、勤修改反复修改是提高作文水平的催化剂。

修改是作文必不可少的步骤，是提高作文质量的有效措施。

相似多边形图形的位似一周强化

相似多边形图形的位似一周强化一、一周知识概述1、相似多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2、相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例．性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．例如：如图所示，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且．则：(1)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′；(3)四边形ABCD的周长︰四边形A′B′C′D′的周长=k；(4)S四边形ABCD︰S四边形A′B′C′D′=k2．3、位似图形两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形．位似图形的两个相关概念：(1)位似中心：每组对应点所在的直线都经过的那一点，叫做位似中心．(2)位似比：位似图形是相似图形，所以有相似比，这个相似比就是位似比．说明：位似图形必须满足的两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．4、位似图形的性质位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．5、图形的相似与位似图形的区别与联系：两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．6、以原点为位似中心的位似变换的性质在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．若原图形上的点的坐标为（x,y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，-ky）．二、典型例题讲解例1、如图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和α、β的大小．解：由相似多边形对应边成比例，得====．∴ x=3，y=6，z=3．由于对应角相等，∴α=∠D=180°-∠A=118°．β=∠B′=180°-∠C′=64°．点评：①应用相似多边形特征求边和角时，关键是找对对应边和对应角，从而列出等式，通过解方程求解．②一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角；最大(小)的边是对应边；最大(小)的角是对应角．例2、如图所示，在一块长和宽分别为a和b(a＞b)的长方形黑板的四周，镶上宽度为x(x≠)的木条，得到一个新的长方形．试判断原来的长方形与新长方形是否相似．解：新长方形的长为a+2x，宽为b+2x．⑴-==∵ a ＞b ,x≠0∴≠.⑵-===∵a＞b，x≠，∴≠.由⑴、⑵知，这两个长方形对应边不成比例．∴这个新长方形与原长方形不相似．点评：①此题看对应边是否成比例，用了作差的方法．若差等于零，则两比值相等；若差不等于零，则比值不相等．②找对应边时，注意矩形的长宽都要检查，不能只考虑一种情况．例3、某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图所示)，以给人一种和谐的感觉，那么这样的两个矩形是怎样设计出来的呢？分析：如图所示，在封面矩形ABCD中，我们先作出一条横向分割线EF，此时要作出纵向分割线GH，使矩形AEPG与矩形PHCF相似，关键要确定两条分割线的交点P．当然，利用相似比可以算出或画出EP来，但是在设计时，两个相似矩形的大小会根据不同需要而改变，每次都计算显然很麻烦，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P点位置的规律就更好了．现在假设两个相似的矩形已经作出来了，如图所示，连接AP，PC，则(对应边成比例)，∠AEP=∠CFP=90°(对应角相等)，于是△AEP∽△CFP，则有∠APE=∠CPF，这样A，P，C三点共线，即P点必在对角线AC上．解：如图所示，连接AC，在AC上根据需要取一点P，过P作EF∥BC，GH∥AB．则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形．因为矩形的每一个内角都是直角，又由AE∥FC，AG∥CH，可得△AEP∽△CFP，△AGP∽△CHP．所以矩形AEPG∽矩形CFPH，则于是△AEP∽△CFP．这样A，P，C三点共线，即P点必在对角线AC上．例4、如图所示，分别按下列要求作出四边形ABCD以O为位似中心的位似四边形A′B′C′D′．(1)沿OA方向放大为原图形的2倍；(2)沿AO方向放大原图形的2倍．分析：此题两问都是将原图形放大2倍，也就是位似比为2︰1，而(1)问是沿OA方向，即从O点向A点的方向放大；而(2)问是沿AO方向，即从A点向O点的方向放大．解：(1)如图（1）所示．①连接OA，并延长OA到A′，使A A′=OA．②连接OB，并延长OB到B′，使BB′=OB．③连接OC，并延长OC到C′，使CC′=OC．④连接OD，并延长OD到D′，使DD′=OD．⑤连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′．则四边形A′B′C′D′是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2︰1．（1）（2）(2)如图（2）所示．①连接AO，并延长AO到A′，使O A′=2OA．②连接OB，OC，OD，并延长BO，CO，DO到B′，C′，D′，使OB′=2OB，OC′=2OC，OD′=2OD．③连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′．则四边形A′B′C′D′是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2︰1．例5、将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．分析：作平移、对称后的图形与原图全等，点的坐标发生变化，可根据平移、对称的特征，求出平移、对称变换后图形的坐标．位似变换如果以原点为位似中心可按位似变换的点的坐标求法求点的坐标．解：变换后的图形如下图所示．(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(－5,－1)，B1(0,2)，C1(0,－1)．即横坐标不变，纵坐标减小．(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(－5,0)，B2(0,－3)，C2(0,0)．即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3，显然，A3(－5×1.5,0)，B3(0,3×1.5)，C3(0,0)，即A3(－7.5,0)，B3(0,4.5)，C3(0,0)．反思：本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问求变换后图形的点的坐标的方法，注意此时的位似中心是原点．一、数据的收集、整理及表示1、数据处理的基本过程：收集、整理、描述和分析数据.2、数据的收集的一般过程：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论.3、收集数据常用方法：一般有全面调查和抽样调查两种，实际中常常采用抽样调查的方式，调查时，可以用不同的方式获得数据，除了问卷调查、访问调查等外，查阅文献资料和实验也是获得数据的有效方法.4、总体与个体：为了一定的目的而对考察对象进行全面调查，叫普查，其中要考察对象的全体叫总体，组成总体的每一个考察对象叫个体.5、抽样调查、样本与样本容量：从总体中抽取部分个体进行调查称为抽样调查，其中从总体中抽样取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数量叫样本容量.抽样调查是一种非全面的调查，它是按照随机原则从总体中抽取一部分作为样本进行调查，并依据样本的数据对总体的数量特征作出具有一定可靠性的估计和推断的一种统计方法．抽样调查具有以下几个特点：(1)按随机的原则从总体中抽取调查单位．抽样调查在选择调查单位时要完全排除人的主观意识．哪个单位被选中，哪个单位不被选中，完全是偶然的．随机抽样要关注抽样的随机性、代表性和广泛性.当样本的容量较大时，通常采用抽样调查.由于抽样调查的目的在于推断总体，因而在抽样的时候就应保证每个单位有同等的机会被选中，这样就有较大的可能性使所选中的样本和总体有相似或相同的分布．(2)根据所选中的部分单位的统计资料对全部总体的数量特征作出推断估计．通过抽样调查可以取得部分的单位资料，并据以计算抽样指标，对总体指标作出估计．例如，根据全国一部分职工家庭收人和支出情况来推断全国所有职工家庭的收入、支出水平；根据一部分农作物收获面积的实际产量来推断全县、全省、全国的农产量；根据抽中的一部分商品的质量来推断所有商品的质量等等．6、表示数据的两种基本方法：一种是利用统计表，一种是利用统计图．利用表格处理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律，利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据规律．7、频数与频率：频数：每个对象出现的次数为频数.频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率.8、三种常见的统计图：扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．扇形统计图中各部分所占百分比之和一定等于100%，每个扇形所表示的部分之间无重叠部分.条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目；折线统计图：能反映事物的变化情况；二、平均数、中位数、众数、方差 1、平均数：一组数据中，有n 个数据，分别记为，，……，，则它们的平均数为： =,如果这n 个数据比较大，而且批次之间接近，我们就可以采用“选基准数”求和的简便算法. 2、加权平均数：在统计学中，经常把下面的这种算术平均数看成加权平均数：在求n 个数得算数平均数时，如果出现次，出现次，…，出现次，这里(=n) ,那么这n 个数的算术平均数为：= ,也叫做…这k 个数的加权平均数，其中，，…，分别叫做，，…，的权. 3、中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小顺）的顺序进行排列，如果数据个数为奇数，则中间的那个数就是中位数，如果数据的个数为偶数，则中位数应是中间两个数据的平均数． 4、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数一样，都是最大，那么这些个数据是这组数据的众数. 如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数，譬如：1，2，3，4，5 没有众数. 当一组数据有较多重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量. 5、平均数、众数和中位数对一组数分别从不同的方面进行描述平均数反映这组数据中各数据的平均大小；众数反映的是这个值出现的次数最多；中位数不易受极端值影响. 6、方差⑴极差：极差=数据的最大值-最小值. ⑵方差的计算：①基本公式：2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++-. ②简化公式：22222121[()]n S x x x nx n=+++-或22222121()n S x x x x n=+++-.⑶标准方差：S ==⑷方差与标准方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数（或衡量一组数据相对于它们的平均数的离散程度）.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据单位的平方，标准方差的单位与原单位相同.6．A、B农场各养奶牛200头，为了了解两农场一天牛奶的产量，随意抽取10头奶牛，称得它们的牛奶产量如下：（单位：kg）A农场：6.5，6.0，6.5，7.9，7.1，7.1，7.8，6.1，8.0，7.1；B农场：6.8，7.3，7.5，6.6，7.0，7.0，6.6，6.9，6.9，7.0．（1）根据10头奶牛牛奶产量的平均数，估计A、B农场中200头奶牛一天的牛奶总产量；（2）如果学校要实行“学生奶”工程，你认为选择哪个农场作为学校的长期供货方最好？为什么？分析：先根据平均数的概念计算出10头奶牛牛奶产量的平均数，然后估计A、B农场中200头奶牛一天的牛奶总产量，根据产量的稳定性选择农场．解答：解：（1）A、B农场抽取的10头奶牛牛奶产量的平均数分别是（6.5+6.0+6.5+7.9+7.1+7.1+7.8+6.1+8.0+7.1）÷10=7.01 kg；（6.8+7.3+7.5+6.6+7.0+7.0+6.6+6.9+6.9+7.0）÷10=6.96 kg．据此可估计A、B两农场200头奶牛一天的牛奶总产量分别是7.01×200=140.2kg；6.96×200=139.2kg．（2）A农场牛奶产量的标准差为0.692kg，B农场牛奶产量的标准差为0.265kg，两者相差较大，因此可以认为B农场的牛场产量较为稳定，应选择B农场作为供货方．点评：本题考查了用样本估计总体和方差、标准差的运用．7．某校为了了解一个年级的学习情况，在这个年级抽取了50名学生，对某学科进行测试，将所得成绩（成绩均为整数）进行了整理（如下表所示），请你画出频数分布直方图，并回答下列问题：（1）这次测试90分以上（包括90分）的人数有多少？（2）本次测试这50名学生成绩的及格率是多少？（60分以上为及格，包括60分）分析：求出各组人数（频数），即可画出频数分布表．（1）根据总人数=频数÷频率计算；（2）得出60分以上的频率和除以总即为本次测试这50名学生成绩的及格率=96%；（3）由及格率很高，故由频数分布表可以看出该年级此学科的成绩较好．解答：解：各组人数分别为：2人，2人，8人，17人，21人．频数分布直方图如下：（1）由题意可知：测试90分以上（包括90分）的人数为50×0.42=21人；（2）本次测试这50名学生成绩的及格率是=96%；（3）由频数分布表可以看出该年级此学科的成绩较好．点评：本题是考查频数的计算，以及由频数统计表画频数直方图的能力．8．在生产纤维尼纶的过程中，测得100个样品的纤度（表示纤维粗细的一种量）如下：（1）这100个纤度的最大值、最小差、极差、平均值、标准差分别是多少？（2）将数据适当分组，并绘制出频数分布直方图或频数折线图．分析：（1）根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值．找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数；根据方差的定义计算方差，再求标准差．（2）按照画频数分布直方图的步骤完成．解答：解：（1）这100个纤度的最大值是1.55，最小值是1.27，极差是0.28，平均值==1.38；（2）将这些数据分为6组，按组距0.05分段．点评：本题综合考查了统计的有关知识，如极差，平均数，直方图等．注意求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数．统计数据时要认真仔细，要有耐心．9．为了调查学生的身体状况，对某校毕业生进行了体检，在前50名学生中有49名是合格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校毕业生体检合格率在90%以上，则该校毕业生人数最多为多少人？分析：该校毕业生体检合格率就是合格总人数所占毕业生总人数的百分比；再根据不等式的意义求出该校毕业生人数的最大值．解答：解：∵以后每8名中有7名是合格的，∴设除去前50名学生以外，还有以“8名学生为一小组”的小团体的个数为x，则合格学生为49+7x，毕业生总人数为50+8x，∴校毕业生体检合格率=×100%≥90%解得x≤20根据题意，x最大值为20．∴该校毕业生人数最多为：50+8×20=210（人）．点评：弄清合格率的含义和毕业生合格人数与毕业生总人数的表示方法是解决此题的关键所在．要合理设未知数和熟练运用不等式的知识。