2019版高考数学大一轮复习备考讲义(浙江专用)第五章 三角函数、解三角形5.2word版含答案

§5.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α(α≠π2＋k π，k ∈Z ).2.三角函数的诱导公式知识拓展1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2.[P19例6]若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝________. 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3.[P22B 组T3]已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________.答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4.[P28T7]化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________.答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5.已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 6.已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A.－255B.255 C.±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －18，x >2 000，则f (f (2 018))＝________.答案 －1解析 ∵f (f (2 018))＝f (2 018－18)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2π3＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用1.已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A.－513B.513C.－125D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2.已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)等于( )A.2125B.2521C.45D.54 答案 A解析 sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝⎛⎭⎫－342－⎝⎛⎭⎫－34⎝⎛⎭⎫－342＋1＝2125.3.已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A.－1B.－2C.12D.2答案 D解析 ∵sin α＋cos α＝2，∴(sin α＋cos α)2＝2， ∴sin αcos α＝12.∴tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2.思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.题型二 诱导公式的应用典例 (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________.答案 32解析 由已知得tan θ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 0解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝－a ， sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0. 引申探究若本例(1)中原题条件不变，求 cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (－π－θ)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－θ＋sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋θ的值.解 原式＝－sin θ－sin θ－sin θ＋cos θ＝－2tan θ－tan θ＋1＝3.思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.跟踪训练 (1)化简： sin (α＋π)cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2－αtan (－α)cos 3(－α－2π)＝________.答案 －1解析 原式＝(－sin α)·(－cos α)·cos α－tan α·cos 3α＝－1.(2)已知角α终边上一点P (－4,3)，则 cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________.答案 －34解析 原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用典例 (1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225＜0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值. 解 若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练 (1)若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ等于( )A.1B.－1C.3D.－3答案 D解析 由已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，∴tan θ＋1tan θ－1＝12，故tan θ＝－3.(2)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A.－1 B.1 C.3 D.－3 答案 D解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3.分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2} (2)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝________.思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论. 答案 (1)C (2)52或－52解析 (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.所以A 的值构成的集合是{2，－2}. (2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角.tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52；②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.1.已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )A.±12B.12C.32D.±32答案 D解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，cos α＝±1－sin 2α＝±32.2.(2017·湖州二检)若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A.－15B.15C.35D.－35答案 D解析 ∵tan α＝12，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α－11＋tan 2α＝－35， 故选D.3.(2017·舟山模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是( ) A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD.－1－a 2答案 B解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.4.若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ等于( )A.sin θ－cos θB.cos θ－sin θC.±(sin θ－cos θ)D.sin θ＋cos θ答案 A 解析 因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2 ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.5.cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ等于( ) A.13 B.223 C.－13D.－223答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝13. 6.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12B.2C.－12 D.－2 答案 B解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋2tan α＋1tan 2α－1＝9＋6＋19－1＝2.7.若sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于( ) A.－25B.－15C.25或－25D.25 答案 A解析 由sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， 可得sin α＝－2cos α， 则tan α＝－2，sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 8.若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A.3B.－3C.1D.－1 答案 B解析 由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2 ＝－3.9.在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. 答案 2211解析 因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角， 由tan A ＝sin A cos A ＝23以及sin 2A ＋cos 2A ＝1可求得sin A ＝2211. 10.已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝__________. 答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－74， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－74. 11.若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝________.答案 －32解析 f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 12.若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________. 答案 －23解析 由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α＝53， sin(π－α)＝sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝±23， ∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α＝－23.13.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－ 5 C.1±5D.－1－ 5答案 B解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2， 解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.14.已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________. 答案 0解析 原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α ＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|， 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0， 即原式等于0.15.若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A.－79B.－13C.13D.79 答案 A。