高考数学复习高中所有数学公式课件
高中高考数学公式大全
高中高考数学公式大全1.代数公式- 二次方程根公式：若ax^2+bx+c=0 (a≠0)，则 x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
-二次三项全解公式：若知二次三项完全分解为(x-a)(x-b)(x-c)=0，则x=a,b,c。
- 余弦和公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB。
- 余弦差公式：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。
- 正弦和公式：sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinB。
- 正弦差公式：sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB。
- 二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^n^(n-2)b^2+…+C(n,n)na^0 b^n。
2.几何公式-长方形面积公式：面积=长×宽。
-正方形面积公式：面积=边长×边长。
-圆面积公式：面积=πr^2-平行四边形面积公式：面积=底边×高。
-梯形面积公式：面积=(上底+下底)×高÷2-三角形面积公式：面积=底边×高÷2- 三角形余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
- 三角形正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c。
- 三角形正弦面积公式：面积 = (1/2)abSinC。
-三角形内切圆半径公式：r=面积/半周长。
3.数列和数列项公式-等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d。
-等差数列前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)。
-等差数列等差公式：dn = an+1 - an。
-等差数列求和公式：Sn=(2a1+(n-1)d)n/2-等比数列通项公式：an = a1 * q^(n-1)。
-等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
高考数学知识点总复习pppt课件
• ak＋2＋(a＋1)2k＋1
• ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a
＋1)2
27
＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被 a2＋a＋1 整除．
即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对于任意 n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1 能被 a2 ＋a＋1 整除．
＋
1 2k＋1－1
－
1 2k＋1
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1
＝
k＋11＋1＋
k＋11＋2＋…
＋k＋11＋k＋
1 k＋1＋k＋1
＝右边，
13
• 所以当n＝k＋1时等式也成立．
• 综合(1)(2)知对一切n∈N* ，等式都成立．
• (2)(n归＝k纳＋1递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时 命题成立，推出当__________时命题也成 立．
3
• 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取 第一个值后面的所有正整数都成立．上述证 明方法叫做数学归纳法．
• 质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系？
• 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了 递推思想，第一步是递推的基础，第二步是 递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会 导致错误．
第十一章 复数、算法、推理与 证明
第5节 数学归纳法
1
• 1．了解数学归纳法的原理． • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命
题．
2
• [要点梳理]
• 数学归纳法
• 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
高考数学复习考点知识讲解课件20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2 cos(45°－ 15°) ＝
2×
3 2
＝
6 2.
(3)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10°
＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°
＝4sins3in02°－0°10°＝4.
— 返回 —
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用， 如 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
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角度 2：辅助角公式的运用 【例 2】 化简：(1)sin1π2－ 3cos1π2； (2)cos15°＋sin15°； (3)sin110°－sin830°； (4)3 15sinx＋3 5cosx.
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[解析]
(1)a ＝
3 2
cos29°－
1 2
sin29°＝
sin(60°－
29°)
＝
sin31°，
b
＝
1－c2os66°＝
2sin16° 2sin2233°＝ sin33°， c ＝ 1＋2tatann1261°6°＝ 1＋cocssoi1ns62211°66°°＝ 2sin16°cos16°＝ sin32°， 显 然
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2．已知 cosα＝－45，α∈π，32π，则 sinα＋π4等于( C )
A．－
2 10
B．
2 10
高考数学公式大全
高考数学公式大全1. 二次方程的求根公式：对于二次方程$ax^2+bx+c=0$，其中$a\neq0$，它的根可以通过以下公式得出：$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$2. 两点间距离公式：设平面上点A（$x_1,y_1$）和点B（$x_2,y_2$）的坐标，则点A与点B之间的距离为：$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$3. 等差数列前n项和公式：设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，前n项和为$S_n$，则$S_n$可以通过以下公式计算：$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$4. 等比数列前n项和公式：设等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，前n项和为$S_n$，若$r\neq1$，则$S_n$可以通过以下公式计算：$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$5. 平方差公式：对于任意实数$a$和$b$，有以下公式成立：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$6. 三角函数的和差化积公式：$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$7. 二项式展开公式：对于任意实数$a$和$b$，以及正整数$n$，有以下公式成立：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$，其中$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$表示组合数8. 正弦定理：对于任意三角形ABC，边长分别为$a$，$b$，$c$，以及对应的内角分别为$A$，$B$，$C$，有以下公式成立：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$9. 余弦定理：对于任意三角形ABC，边长分别为$a$，$b$，$c$，以及对应的内角分别为$A$，$B$，$C$，有以下公式成立：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$10. 三角函数的倒数关系：$\sin(\frac{\pi}{2}-A)=\cos A$$\cos(\frac{\pi}{2}-A)=\sin A$。
高考数学所有公式大全
高考数学所有公式大全一、集合。
1. 集合的基本运算。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}- 补集：∁_U A={xx∈ U且x∉ A}（U为全集）2. 集合间的关系。
- 若A⊆ B，则A中的元素都在B中，n(A)≤ n(B)（n(A)表示集合A的元素个数）- 若A = B，则A⊆ B且B⊆ A二、函数。
1. 函数的定义域。
- 分式函数y = (f(x))/(g(x))，其定义域为g(x)≠0的x的取值范围。
- 偶次根式函数y=sqrt[n]{f(x)}（n为偶数），其定义域为f(x)≥0的x的取值范围。
2. 函数的单调性。
- 设x_1,x_2∈[a,b]且x_1 < x_2- 增函数：f(x_1)，则y = f(x)在[a,b]上是增函数，其导数f^′(x)≥0（x∈(a,b)）。
- 减函数：f(x_1)>f(x_2)，则y = f(x)在[a,b]上是减函数，其导数f^′(x)≤0（x∈(a,b)）。
3. 函数的奇偶性。
- 奇函数：f(-x)= - f(x)，图象关于原点对称。
- 偶函数：f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称。
4. 一次函数y = kx + b（k≠0）- 斜率k=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)5. 二次函数y=ax^2+bx + c(a≠0)- 对称轴x =-(b)/(2a)- 顶点坐标(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})- 当a>0时，函数图象开口向上，在x =-(b)/(2a)处取得最小值frac{4ac -b^2}{4a}；当a < 0时，函数图象开口向下，在x=-(b)/(2a)处取得最大值frac{4ac -b^2}{4a}。
6. 指数函数y = a^x(a>0,a≠1)- 指数运算法则：a^m× a^n=a^m + n，frac{a^m}{a^n}=a^m - n，(a^m)^n=a^mn，(ab)^n=a^nb^n，((a)/(b))^n=frac{a^n}{b^n}- 当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a<1时，函数在R上单调递减。
高考数学复习知识点讲义课件46---二倍角的正弦、余弦、正切公式
7
·cos
7
2sin ＝－
7
·cos
7 π
·cos
7
2sin7
4sin7
4π 4π
8π
＝－2sin87sin·cπ7os 7 ＝－s8isnin7π7＝18.
(2)cos51ππ6－sin51ππ6＝cos51π6cos1π6π－sinπ51π6sin1π6＝c1os38ππ＝2cosπ2－π π8＝2sinππ8＝2.
(2)对于 S2α 和 C2α，α∈R ，但是在使用 T2α 时，要保证分母 1－tan2α≠0 且 tan α 有意义，即 α≠π4＋kπ 且 α≠－π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z )．当 α＝π4＋kπ 及 α＝－π4＋kπ(k∈Z )时，tan 2α 的值不存在；当 α＝π2＋kπ(k∈Z )时，tan α 的 值不存在，故不能用二倍角公式求 tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出 tan 2α＝tan(π＋2kπ)＝0.
答案：C
3．(2021·全国乙卷)cos21π2－cos251π2＝
()
1 A.2
C.
2 2
3 B. 3
D.
3 2
解析：因为1π2＋51π2＝π2，所以 cos51π2＝cosπ2－1π2＝sin 1π2，所以 cos21π2－cos251π2 ＝cos21π2－sin21π2＝cos2×1π2＝cosπ6＝ 23.故选 D.
矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成
的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在
圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦 AB 等于 6
米，其弧田弧所在圆为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面
高考数学复习课件：排列组合与二项式定理
直接法：在处理有限制条件的排列，优先排 特殊元素，后再排其他元素。
定元定位优先排
间接法：先不考虑特殊元素，而列出所有元 素的全排列数，从中减去不满足特殊元素 要求的排列数。
注意：不重不漏
• 成才后翻P56 T13
• 六个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或已，最右端不 能排甲，则不同的排法？
那么 完成这件事共有
种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步
骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同
的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有
种不同的方法.
区别1 区别2
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关 键词“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关 键词“分步”
解：（2）设f（x）=(3x-1)8 分别赋予x=1，-1
a0+a2+a4+a6+a8=[f(1)+f(-1)]/2
一般来说 多项式f（x）各项系数和为f（1） 奇数项系数和为1/2[f(1)-f(-1)] 偶数项系数和为1/2[f(1)+f(-1)]
求值、等式与不等式证明问题
（2）求证：5555+1能被8整除；
解:采用“隔板法” 得: C259 4095
类似练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
3、方程x+y+z=12的非负整数解的个数为多少？ 正整数解的个数呢？
2024版高考数学总复习：条件概率与全概率公式课件
( × )
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表
示事件A，B同时发生的概率．
( √ )
(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
( √ )
1
2
3
4
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状
完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球
一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽
到的是卡口灯泡的概率为(
3
A．
10
2
B．
9
7
C．
8
)
7
D．
9
D
解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2
3
3 7
7
次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝ ，P(AB)＝ × ＝ ，则所求的
10
10 9 30
概率为P(B|A)＝
2
C．
17
)
17
D．
38
解析：记事件A：抽到的至少1张钞票是假钞，记事件B：抽到的
2张钞票都是假钞，
C15 C115 +C25
85
17
C25
1
则P(A)＝
＝ ＝ ，P(AB)＝ 2 ＝ ，
2
C20
190 38
C20 19
因此，P(B|A)＝
1 38
2
＝ × ＝ ．
19 17 17
根据条件概率的概念(公式)计算条件概率的两种方法：
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称
条件概率
高考数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论１. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2．德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.３.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=４.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个;非空子集有2n–１个;非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(１)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; （2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； （３）零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根，与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件．特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1）当ａ>0时，若[]q p abx ,2∈-=,则{}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a=-=; []q p abx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当ａ＜0时,若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =,若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =． 10.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则(1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；(3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1）在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(２）在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥（t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉．(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.１２１14.四种命题的相互关系１5．充要条件(1)充分条件:若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（２）必要条件：若q p ⇒,则p 是q 必要条件.(3)充要条件：若p q ⇒,且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件;反之亦然. １６.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数．1８.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数．19．若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+.２0.对于函数)(x f y =(R x ∈)，)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.21．若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=，则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22.多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零． ２3.函数()y f x =的图象的对称性（1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.（2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性（1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (３）函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=ｘ对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.2６．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.2７.若函数)(b kx f y +=存在反函数，则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. ２８．几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=．(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠．（3）对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠． (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==．(5）余弦函数()cos f x x =，正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,()(0)1,lim1x g x f x→==. 2９.几个函数方程的周期（约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T ＝a ； （２）0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f , 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T ＝2a; （3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期Ｔ＝3a; (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期T ＝4a;(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期Ｔ=6a ．3０.分数指数幂 (１)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. （2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈,且1n >）.31.根式的性质（1）na =．(2)当na =； 当n 为偶数时,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32.有理指数幂的运算性质 （1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.（2) ()(0,,)r srs a a a r s Q =>∈． （３)()(0,0,)r rrab a b a b r Q =>>∈.注: 若a>0,p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.３3.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >，且1m ≠,1n ≠， 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞０,a ≠1，Ｍ>0，Ｎ＞０，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-； (３)log log ()na a M n M n R =∈.３６．设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ，则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验．３７. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = （1）当a b >时，在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时，在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数．推论:设1n m >>,0p >,0a >,且1a ≠,则 (１)log ()log m p m n p n ++<． （2)2log log log 2a a am nm n +<. 38． 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+．３9.数列的同项公式与前ｎ项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前ｎ项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. ４１．等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩．４2．等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩;其前ｎ项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩． ４3.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44.常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.（2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(３） |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=. 4６.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47．和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=．22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式）; 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定，tan baϕ= ).４８.二倍角公式sin22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 5０.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+,x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R （A,ω,ϕ为常数,且Ａ≠0,ω>0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(Ａ,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T πω=．51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. ５2.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、ｃ边上的高)． （２)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.（３)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.54.三角形内角和定理在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. ５5． 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈．s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈．sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈．cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈．tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1） 结合律：λ(μa )=（λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λａ+μａ; （３)第二分配律：λ（a ＋b ）=λａ+λb ． 5８.向量的数量积的运算律:(1） ａ·ｂ= ｂ·a （交换律）; (２）(λａ）·b= λ(a ·b)=λa ·b = a ·(λb ）； (3）(a ＋b)·c= a ·ｃ +b ·c ． 59.平面向量基本定理如果e １、ｅ 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2,使得a ＝λ1ｅ1+λ2e ２.不共线的向量e １、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60.向量平行的坐标表示设a ＝11(,)x y ,b =22(,)x y ，且ｂ≠0，则a b(ｂ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. ａ与ｂ的数量积(或内积） ａ·b ＝|ａ｜|b |cos θ. 61． a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|ｂ｜c ｏs θ的乘积. ６２.平面向量的坐标运算（１）设a =11(,)x y ，ｂ=22(,)x y ,则ａ+b ＝1212(,)x x y y ++.(２）设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a-ｂ＝1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ,Ｂ22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.（4)设a ＝(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ．(５)设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 6３．两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ，ｂ＝22(,)x y ）.64.平面两点间的距离公式 ,A B d=||AB AB AB =⋅=Ａ11(,)x y ,Ｂ22(,)x y ).6５.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，且ｂ≠０,则 A |｜b ⇔b ＝λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠０)⇔ａ·b ＝０12120x x y y ⇔+=． 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ,222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ＡB Ｃ三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. ６8．点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（１)点(,)P x y 按向量ａ＝(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++．(２) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.（3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =，则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a ＝(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.（5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y ．70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则 （1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=． (5)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式:（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a=b 时取“=”号）．（２）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当ａ＝ｂ时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4)柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-． 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时，||y x +最大; 当||y x -最小时,||y x +最小．（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小; 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号,则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外,异号两根之间．121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.7４.含有绝对值的不等式 当a ＞ 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<．22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式(()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.(22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.７6.指数不等式与对数不等式 (1）当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩．（2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩7７.斜率公式2121y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k ). （２）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距）.(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠）(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、） (５）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直（1）若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠；②12121l l k k ⊥⇔=-．(2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且Ａ1、A ２、Ｂ1、B 2都不为零，①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；８0.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+． (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线ｌ1与ｌ2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+．(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(２)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l １到l 2的角是2π. 8２.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数．（3）平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率ｋ一定而ｂ变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量.（4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= （A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=，λ是参变量.83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=）．84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=,则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是:若0B ≠,当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域．简言之,同号在上,异号在下．若0B =,当A 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的右方的区域;当A 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85． 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠)，则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是: 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.(2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0）.(３）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩．(4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y )．87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2）过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3） 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．８８.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外；d r =⇔点P 在圆上；d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90．两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为Ｏ1,O 2,半径分别为r 1,r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=.①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=． 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ，这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b,必有两条切线.(2)已知圆222x y r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=,)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(１）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>．95. 椭圆的切线方程(1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.９6.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b⇔->.（2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<．98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(１）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.（2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x (0>λ,焦点在x 轴上，0<λ,焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程（１)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=． （2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.10１.抛物线px y 22=上的动点可设为Ｐ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.1０2.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;（2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-;（３)准线方程是2414ac b y a--=.10３.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>． （2）点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3）点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>． 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>． (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程（1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+．（3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =．105.两个常见的曲线系方程（1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).（2）共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时，表示双曲线.1０６．直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-(弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率）.1０7.圆锥曲线的两类对称问题（1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. (2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++．108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ,用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线,切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.１09．证明直线与直线的平行的思考途径 （1)转化为判定共面二直线无交点； (２)转化为二直线同与第三条直线平行； （3)转化为线面平行； (４)转化为线面垂直； (5）转化为面面平行.１1０．证明直线与平面的平行的思考途径 (1）转化为直线与平面无公共点; （2）转化为线线平行; (3)转化为面面平行．111．证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (２）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 (１)转化为相交垂直; （2）转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直； （4)转化为线与形成射影的斜线垂直． 11３．证明直线与平面垂直的思考途径 (1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 1１4.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2）转化为线面垂直.115．空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 （１)加法交换律:a ＋ｂ=b +a ．(2)加法结合律：(a ＋b ）＋c =a +(b ＋c ). (３)数乘分配律:λ(a +ｂ)＝λａ+λｂ．1１6.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.1１7.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb .P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.1１８．共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+, 或对空间任一定点Ｏ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.1１9.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=),则当1k =时，对于空间任一点O ，总有Ｐ、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时,若O ∈平面ABC,则P 、A 、B 、Ｃ四点共面;若O ∉平面ＡBC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面.C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++(O ∉平面A ＢC)．120．空间向量基本定理 如果三个向量a 、b 、ｃ不共面，那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x,y,ｚ,使p =ｘa ＋y b ＋z c .推论 设O 、Ａ、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,ｙ，z,使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量．作A 点在l 上的射影'A ,作B 点在l 上的射影'B ,则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e12２．向量的直角坐标运算设ａ＝123(,,)a a a ，b =123(,,)b b b 则 (1)a +ｂ=112233(,,)a b a b a b +++; (2)a -b =112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa =123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； （4)a ·ｂ＝112233a b a b a b ++;1２３.设A 111(,,)x y z ，Ｂ222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124.空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩;a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.１２5.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ,ｂ=123(,,)b b b ，则 ｃos 〈a ，b 〉．推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.１26. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中， AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.1２7.异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+(其中θ(090θ<≤)为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量) 1２8．直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=（m 为平面α的法向量）.1２９．若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ，BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+．特别地，当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 130．若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.13２.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线,且ＢC ⊥ＡC ，垂足为C ，又设AO 与A Ｂ所成的角为1θ,A Ｂ与AC 所成的角为2θ，ＡO 与ＡＣ所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.１３3. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ,则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).１34.空间两点间的距离公式若Ａ111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=13５.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ,向量b ＝PQ ).1３6.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点,d 为12,l l 间的距离）.1３7.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线,A α∈）. 1３8.异面直线上两点距离公式2cos d mn θ=. ',d EA AF =.d =('E AA F ϕ=--).(两条异面直线a 、b 所成的角为θ,其公垂线段'AA 的长度为h.在直线ａ、b 上分别取两点E 、Ｆ,'A E m =,AF n =，EF d =). 1３９.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、,夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.1４1. 面积射影定理'cos S S θ=.（平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.１43.作截面的依据三个平面两两相交,有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 14４．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F)．（1)E ＝各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形,则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =; （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=.１47.球的组合体(1）球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2）球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (３) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,a . 1４8.柱体、锥体的体积13V Sh =柱体(S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高).1４９.分类计数原理(加法原理）12n N m m m =+++．150．分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯. 15１．排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.15２.排列恒等式(1)1(1)m m n n A n m A -=-+；（2)1mmn n n A A n m -=-； (３)11m m n n A nA --=;(４）11n n nn n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-．１53.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅（n ∈Ｎ*，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ; (２) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .15５.组合恒等式（１)11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-;(3)11mm n n n C C m--=；（4）∑=nr r nC0=n2；（５）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6）nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (８)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 ． （10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .1５６.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157.单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1)“在位”与“不在位”①某(特)元必在某位有11--m n A 种;②某(特)元不在某位有11---m n m n A A (补集思想)1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素)种．(２）紧贴与插空(即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种．②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种．注：此类问题常用捆绑法;③插空：两组元素分别有k 、ｈ个(1+≤h k ),把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.(３)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法？当1+>m n 时,无解；当1+≤m n 时,有n m n nn m C A A 11++=种排法.(４)两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个,各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 15８.分配问题（１）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人,各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- ． (２）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--．（3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ,…，m n 件，且1n ，2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.（４)(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完,分别得到1n ，2n ，…，m n 件,且1n ,2n ，…,m n 这m 个数中分别有a 、b 、ｃ、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =．(5)（非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ，…,m n 件无记号的m 堆,且1n ,2n ,…,m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.(６）（非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ，…,m n 件无记号的m 堆，且1n ,2n ,…,m n 这m 个数中分别有ａ、ｂ、ｃ、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.。
2025高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式【课件】
(3)常见的互余和互补的角
互余 的角
π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－ α等
互补 的角
π3＋θ 与23π－θ；4π＋θ 与34π－θ 等
考点二 同角三角函数基本关系式的应用
角度 1：“知一求二”问题 【例 1】 (1)已知 sinα＝13，且 α 为第二象限角，求 tanα. (2)已知 sinα＝13，求 tanα. (3)已知 sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα.
易错易混 5．已知 θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝ 32－1，则 tanθ 的值为__－___3___．
【解析】 解法一：将 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方，得 1＋2sinθcosθ＝1－ 23，即
sinθcosθ＝－ 43，易知 θ≠π2.
故 sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝－ 43，解得 tanθ＝－
cosα
－cosα □10 sinα □11 －sinα
□14 －tanα □15 －tanα
提醒：(1)诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指 函数名称的变化． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)若 α∈R，则 tanα＝csoinsαα恒成立．( × ) (3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( × ) (4)若 sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sinα＝13.( × )
高中高考数学公式大全
高中高考数学公式大全1.代数公式：- 二次方程的根公式：对于二次方程ax²+bx+c=0，其根的公式为x=(-b±√(b²-4ac))/2a；- 韦达定理：对于三次方程ax³+bx²+cx+d=0，其根之和为-S₁/a，其根之积为S₃/a；-分式的倒数：若x是不等于0的实数，则x的倒数为1/x；- 二项式定理：(a+b)ⁿ的展开式为aⁿ+naⁿ⁻¹b+...+bⁿ；2.几何公式：-直角三角形的勾股定理：若a、b、c分别为直角三角形的两条直角边和斜边的长度，则a²+b²=c²；- 正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别是三角形中对应的边，A、B、C分别是相对的角；- 余弦定理：在三角形ABC中，c²=a²+b²-2abcosC，其中a、b、c分别是三角形中对应的边，C是夹角；-长方形面积公式：长方形的面积等于长乘以宽；-圆的面积公式：圆的面积等于πr²，其中r为圆的半径；3.数列公式：-等差数列通项公式：如果数列{an}是等差数列，公差为d，首项为a₁，则其通项公式为an=a₁+(n-1)d；-等差数列前n项和公式：如果数列{an}是等差数列，公差为d，首项为a₁，前n项和为Sn，则其公式为Sn=(a₁+an)n/2；-等比数列通项公式：如果数列{an}是等比数列，公比为q，首项为a₁，则其通项公式为an=a₁qⁿ⁻¹；-等比数列前n项和公式：如果数列{an}是等比数列，公比为q≠1，首项为a₁，前n项和为Sn，则其公式为Sn=a₁(qⁿ-1)/(q-1)；4.概率公式：-事件A的概率：P(A)=A事件发生的可能性/所有可能性；-互斥事件的概率：P(A或B)=P(A)+P(B)；-相关事件的概率：P(A且B)=P(A)×P(B，A)，其中P(B，A)为在事件A发生的条件下事件B发生的概率；5.导数公式：-基本函数的导数：-常数函数的导数为0；- 幂函数f(x)=xⁿ的导数为f'(x)=nxⁿ⁻¹；-指数函数f(x)=eˣ的导数为f'(x)=eˣ；- 对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x；-基本运算法则：-f(x)=u(x)±v(x)的导数为f'(x)=u'(x)±v'(x)；-f(x)=c·u(x)的导数为f'(x)=c·u'(x)，其中c为常数；-f(x)=u(x)·v(x)的导数为f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)；-f(x)=u(x)/v(x)的导数为f'(x)=(u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x))/v²(x)；这仅仅是高中高考数学公式的部分内容，还有很多其他的公式。
高考数学复习考点知识讲解课件21 简单的三角恒等变换
(新教材) 高三总复习•数学
2．积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 cosα·cosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sinα·sinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sinα·cosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cosα·sinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
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(新教材) 高三总复习•数学
(2)和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sinα＋2 βcosα－2 β； sinα－sinβ＝2cosα＋2 βsinα－2 β； cosα＋cosβ＝2cosα＋2 βcosα－2 β； cosα－cosβ＝－2sinα＋2 βsinα－2 β.
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(新教材) 高三总复习•数学
对点训练
1．(2022·河南郑州联考)已知 sinα＋ 3cosα＝ 32，则 cos76π－α＝( B )
A．
2 6
B．－
2 6
C．
34 6
D．－
34 6
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[解析]
因为 sinα＋
3 cosα ＝ 2sin α＋π3 ， 所 以
高考数学复习考点知识讲解课件
第三节 三角恒等变换 第二课时 简单的三角恒等变换
基础知识夯实 核心考点突破
(新教材) 高三总复习•数学
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考试要求：能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切 公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要 求记忆)．
∴tan(α＋β)＝11－＋mmtanα.
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(新教材) 高三总复习•数学
高考总复习数学两角和与差及二倍角的三角函数公式ppt课件
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【方法与技巧】切化弦，合理使用倍角公式.三角函数式的 化简要遵循“三看”原则：
①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别 与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定 使用的公式，常见的有“切化弦”；
③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到 变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.
6
1．下列各式的值为14的是( D )
A．2cos2 1π2－1
B．1－2sin275°
2tan22.5° C.1－tan222.5°
D．sin15°cos15°
2．在△ABC 中，若 cosA＝45，cosB＝153，则 cosC 的值是( A )
A.1665
B.5665
C.1665或5665
D．－1665
即ffxxmmainx＝＝－2＋1＋a＋a＋1，1， ∴2a＋3＝3，即 a＝0.
14
考点 2 三角函数式的求值
例 2：化简求值：(1)tan15°； (2)1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°； (3)11－＋ttaann1155°°； (4)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°. 解：(1)体会正用公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝ 1t＋an6ta0n°6－0°ttaann4455°°＝1＋3－13＝2－ 3. (2)体会逆用公式：1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°＝tan(42°＋18°)＝tan60° ＝ 3.
预计 2015 年高考仍将以同角
3．能利用两角差的余弦公 三角函数的关系及利用诱导公式、
式导出两角和的正弦、余 和差公式及二倍角公式进行恒等变
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高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅Ø2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有21n-个；非空子集有21n-个；非空的真子集有22n-个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。
（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时，设为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假 56 ）充要条件： (1)、p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；（2）、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。
D 则就是f （x ）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。
D 则就是f （x ）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或， 则f （x ）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间；（3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性： 定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ； （2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)、1()()f x m f x +=-，此时周期为2m 。
10常见函数的图像：11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b ax -=对称. 12 分数指数幂与根式的性质： (1)m n a=0,,a m n N *>∈，且1n >）.（2）1m nm naa-==0,,a m n N *>∈，且1n>）.（3）n a =.（4）当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.指数性质： (1)1、1ppaa-=； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()mn m na a = (4)、(0,,)rsr sa a a a r s Q +⋅=>∈ ； (5)、m na = ；指数函数：(1)、 (1)xy a a =>在定义域内是单调递增函数；（2）、 (01)xy a a =<<在定义域内是单调递减函数。
注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a MM N N-= ； (3)、 log log m a a b m b =⋅ ；(4)、 log log m na a nb b m=⋅ ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 l o g a ba b =对数函数：(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 l o g 0,(0,1),(1,a x a x a x >⇔∈∈+∞或 (4)、log 0(0,1)(1,)a x a x <⇔∈∈+∞则 或 (1,)(0,1)a x ∈+∞∈则 14 对数的换底公式 :log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).对数恒等式：log a NaN =(0a >,且1a ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a ≠, 0N >). 15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)mn a a nN N n m R m=∈。
16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 17 等差数列：通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。
（2）推广： ()n k a a n k d =+-（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）前n 项和： （1）1()2n n n a a S +=；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。
（2）1(1)2n n n S na d -=+ （3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （4）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差。
（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。
（3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。
（4）、,,0p q p q a q a p a +===则 ；（5） 1+2+3+…+n=2)1(+n n 等比数列：通项公式：（1） 1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。
（2）推广：n k n k a a q -=⋅（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）（2）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）（3）11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ；注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比。
（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ⋅为等比数列。
18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1n nab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 19三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.20 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ， 21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 23 二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=22tan 1tan αα=+.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+.22tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==24 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ↔R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ↔R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=.三角函数的图像：25 正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=26余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.27面积定理：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=2,2a b c S r r a b c ∆∆∆+==++斜边内切圆直角内切圆－28三角形内角和定理 ：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa+λb . 30a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b|cos θ。