最大度为6的平面图是13-线性可染的

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最大度是6不含相邻k-圈的可平面图的边染色

Ｅｄｇｅｃｏｒｎｇａｒｇａｏｌｉｏｆｐｌｎａｒｐｈｓｆａｍｕｍｇｒｅｓｘｉｈｏｕｔｏｒｍｘｉｄｅｅｉｗｔ
ａｊｃｎ－ｙｌｓｄａｅｔｋｃｃｅ
ＮＩＷｅ— ｉｇｉｐｎ
（ｅａｔｎｔｅｔｓａｄＩｆｒｔｎＳｉｃ，ａｚｕｎｎｖｒｉ，ＤｐｒｍｅｔｆｏＭａｈｍａｃｎｏｉｎｍａｏｃｎｅＺｏｈａｇＵｉｓｙｉｅｅｔ
Ｚａｚｕｎｈｎｏｇ２７６，ＣｈｎｏｈａｇＳａｄｎ７１０ｉＡｂｓｒｔＢｙａｐｙｎｉｃａｇｎｔｏｎｓｎｈｒｐｅｔｅｆｃｉｉａｒｐｓｔａｃ：ｐｌｉｇｄｓｈｒｉｇｍｅｈｄａｄｕｉｇｔｅｐｏｒｉｓｏｒｔｃｌｇａｈ，
文中考虑的图都是简单、无向有限图．图Ｇ可以表示在平面上，若并且任意两条边仅在
其端点处才可能相交，则称Ｇ是可平面图，Ｇ的这种平面上的表示法称为Ｇ的一个平面嵌图
入，称为平面图．别用符号（，Ｇ，Ｇ） △（（或分Ｇ）Ｅ（）Ｆ（，Ｇ）简记为 △）示Ｇ的顶点集合，表边
ｗｅｐｏｅｈａｖｒｉｌｌｎｒｇａｈＧｔ：６ｉｆｌｓ１ｉａｙｔ－ｙｌｓｏｒｖｄｔｔｅｅｙｓｍｐｅｐａａｒｐｗｉｈＡｓｏｅ．ｆｎｗｏｋｃｃｅｆｃｍ
集合，面集合，最大度．ｄｘ表示Ｘ在Ｇ中的度数，中Ｘ∈ｖ（ｕＦ（．用（）其ａ）Ｇ）用（）ｕ表示顶点Ｖ的度数为ｋ的邻点的个数，（）ｄ＋Ｖ表示顶点Ｖ的度数不小于的邻点的个数．度数为ｋ的

不含3-圈平面图的线性染色

和最小度．Ｇ的围长ｇＧ是指Ｇ中最短圈的长度．（）
图Ｇ的一个正常染色是从顶点集合（）Ｇ到颜色集合｛，，，｝１２ … ｋ的一个映射，得任意２个相邻使的顶点染不同的颜色；Ｇ的一个线性｜染色是一个正常染色，图ｉ｝一使得染任意２种颜色的顶点集合导出的子图是一些点不交的路的并；Ｇ的线性色数ｌ（）义为Ｇ的所有线性｜染色中最小的ｋ．图ｃＧ定ｊ｝一值
１ｇ）１ △ ）３ｌＧ：ｆ；）（ ≥ 且（ ≥，。）Ｉ＋若Ｇ６Ｇ则（垒１
２ｇ）１贝ｃ）ＦＩ；）（ ≥ ，ｌＧ－若Ｇ００（＜＋２
３ｇ）８ｌＧ『Ｉ．）（ ≥，）＋若Ｇ则（≤ ３
定理２设Ｇ是一个平面图，则
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１７ｌ０１２）浙江省自然科学基金重点资助项目（６９１０１７１９；１７２３；ｚ００５）作者简介：王侃（９１一）男，１８，浙江义乌人，讲师．研究方向：运筹学；图论．
１６３
２极小反例的性质
假设定理４不成立．Ｇ是一个极小反例，Ｇ是一个没有３圈的平面图，足 △（ ≤Ｍ，设即一满Ｇ）且
第２期
王
侃：不含３圈平面图的线性染色更的没．的面，足△Ｈ≤ （），ｃ）Ｊ＋，任的个数小、有３平图满（） △Ｇ≤ 有（但圈

最大度为6且不含5-圈和相邻4-圈的平面图是7-全可染的

ｏｔ－ｃｅｎｄａｅｔ－ｙｌｓｅｅ７ｔａｙｃｌａｌ．Ｔｉｉｐｏｅｅｋｏｎｒｓｌｔａｒｓｕｃｌａｄａｊｃｎｃｃｒ－ｔｌ—ｏｒｂｅｈｓｍｒｖｄｔｎｗｅｕｔｉｌｅｔｅ．５ｙｓ４ｅｗｏｌｏｈｓｎｉｒｕＫｅｒｓｐａｅｇａｈｏａｃｌｉｇａｉｍｄｇｅ；－ｙｌｓｄａｅｔ－ｙｌｓｙｗｏｄ：ｌｐ；ｔｌｏｏｎ；ｍｍｕｅｅ５ｃｃ；ａｊｃｎｃｃｎｒｔｒｘｒｅ４ｅ
第３４卷第３期２１年８月０１
浙江师范大学学报（自然科学版）ＪｕａｏｈｊｎｏｍｌＵｉｅｓｙＮｔｃ．ｏｒｌｆｅａｇＮｒａｎｖｒｔ（ａ．Ｓｉ）ｎＺｉｉ
ｖ１４。ｏ０．３Ｎ．３Ａｇ０１ｕ．２１
ＡｂｔａｔｙｕｉｇｔｅｄｓｈｒｉｇｍｅｈｄＩｉｗｓｐｏｅａｌｎｒｐｓｗｔｘｍｕｄｇｅｎｔ — ｓｒｃ：Ｂｓｎｉｃａｇｎｔｏｔａｒｖｄｔｔａｅｇａｈｉｍａｉｍｅｅ６ａｄｗｉｈｈｐｈｒｈ
ＺＨＡＮＧＪｎｗｅｉｇｎ
（ｏｌｅｆＭａｈｍｔｓｈｓｓａｄＩｏｍｔｎＥｇｎｅｉＺｊｎｒａｎｖｒｔ。Ｊｈｈｊｎ３１０ＣｉａＣｌｇｅｏｔｅａｉ，Ｐｙｉｎｆｒａｉｎｉｅｒｇ。ｈｉｇＮｏｍｌＵｉｓｙ￣ｎＺｉｇｃｃｎｏｎｅａｅｉｎａｅａ２０４。ｈｎ）
第３期

围长至少为6的平面图的线性染色

些点不交的路的并，则称这个正常染色为图Ｇ的线性染色．图Ｇ的线性色数用ｌａ）ｃ表（
示，指Ｇ的所有线性染色中所用的最少颜色的个数．论文证明了对于每一个最大度是
为△（围长至少为６Ｇ）的平面图Ｇ有ｌ（ｆ］，ｃＧ）垒＋３并且当Ａ（｛，，一，２时，Ｇ）４５・１）
相邻的顶点染不同的颜色．图Ｇ的一个线性染色是一个正常染色，得染任意两种颜色的顶点。使
集合导出的子图是一些点不交的路的并．图Ｇ的线性色数ｌｆ定义为Ｇ的所有线性染色中最ｃＧ）一小的ｋ．值
Ｙｓｅ［首先研究了图的线性染色，明了任意图Ｇ的线性色数满足ｌ（＝Ｄｆ）且构ｕｔｒ】证ｃＧ） △ ，造出了一类图使得ｌＧ）ｃ（＝Ｑ（）事实上， △ ．这个概念是图的无圈染色的一种特殊情形．图Ｇ的
定理１２７设Ｇ是一个平面图．１］
（）１若存在一个有序对（ｇ ∈｛３７，７９，５ｌ）（，３） △，（，）（，）（，１，３１）使得△（Ａ￣ａＧ）ｇ那Ｇ）（，么ｌＧ）『］．ｃ：（＋１ △（Ｇ＋４．（）若９Ｇ）６￣ｌ（２（，ＪＧ）］ｃ＋１４（）（５￣ｌＧ）３若ｖｏ），Ｊ（ｃ２
为６的平面图Ｇ有ｌ（『］，ｃＯ）＋３并且ＮＡ（）｛，，，２时，ｃＧ）『１．Ｇ４５… １）ｌ（＋２对于一个平面图Ｇ，用Ｆ（表示它的面集合．意的ｆ∈Ｆ（，Ｇ）任Ｇ）如果＿，２… ，是． “ ｔ，ｌｔ厂边界上依序排列的顶点，则记为，＝ｆ１ … ｔ１注意到点的重复出现是允许的．ｔ１ｔ，ｔ，２面的度是指它的边界上边的条数，中割边被计算两次．其对于任意的ｚ∈ｖ（ＵＦ（，ａ表示Ｇ中的度．ｃ）Ｇ）用ｄ（）在

最大度是6且不含有弦的小圈的可平面图的边染色

ｌａｔｉｈｓｏｌｓ．Ｂｙａｐｙｎｓｈｒｉｇｍｅｈｄｅｓｇｔｉｆｃａｓ１ｅｐｌｉｇａＤｉｃａｇｎｔｏ．ｗｒｖｈｔｅｅｙｓｍｐｅｐａａａｈＧｗｔｅｐｏｅｔａｖｒｉｌｌｎｒｇｐｉｒｈ△ ＝６ｉｆｓｏ
ＮｉｅｐｎＷｉｉｇ
（ｃｏｌｆＭｔｅｔｓａｄＳａｓｃ，ＺｏｈａｇＵｉｅｓｙＺｏｈａｇ２７６ＣｉａＳｈｏａｈｍａｃｎｔｉｉｓａｚｕｎｎｖｒｉ，ａｚｕｎ，７０，ｈｎ）ｏｉｔｔｔ１
ＡｓａｔＬｔｅａｐａａａｈｏｍｘｍｍｄｇｅ △，ｓａｅｃｓ１ｆＧ △ ａｄｃａｓｘ（）＝＋ｂｔｃ：ｅＧｂｌｎｒｒｐｆａｉｕｅｒｅＧｉｓｉｔｂｌｓＸ（）：ｎｌｓ２ｉＧＡｒｇｄｏａｉｆ１ｈｒＸ（，ｗｅｅＧ）ｄｎｔｓｈｒｍｔｄｘｆ．Ｉ１６，ｉｎｒｖｄｔｔｖｒｌｎｒａｈｏｘｍｍｄｇｅｔｅｏｅｅｃｏａｃｉｅｎ９５ＶｚｇｐｏｅａｅｅｙｐａａｐｆｔｈｉｎｏＧｉｈｒｇｍａｉｕｅｒｅａ
（４≤ ｋ≤ ７．）
［关键词］平面图，边染色，最大度，圈
［中图分类号］Ｏ５．［１７５文献标志码］Ａ［文章编号］０１６６２１）３０１－６１０－１（０１０－９０４０
ＥｄｇｌｒｎｆＰｌｎｒＧｒｐｉｈ △ ＝６ｅＣｏｏｉｇｏａａａｈｓＷｔＷｉｈｏｈｏｔＣｙｌｓＣｏｔｉｔｕｔＳｒｃｅｎａｎＣｈｏｄｓｒ

最大度为6图是19-线性可染的

６
绍兴文理学院学报（自然科学）
第３卷１
（Ｇｖ）ＵＮ（，＼）Ｎ（，ｃｖ）｛中的颜色染仉Ｉ（Ａｖ）ｕＮ（）｛ｔＩ｝Ｎｃｖ＼ｖ）
５的禁用颜色数至多为５＋２×４＋５＝１，．８可用ｃ中的颜色染好仉
侃
金华３１０）２０４
数理与信息工程学院，浙江
要：Ｇ的一个正常染色满足染任意两种颜色的顶点集合导出的子图Ｇ是一些点不交的路的并，称这个正常染色图则
为图的线性染色．图Ｇ的线性色数是指Ｇ的所有线性染色中所用的最少颜色的个数．证明了：最大度为６的图是ｌ９一线
第３卷第９期１２１年９月０１
绍
兴
文
理
学
院
学
报
Ｖ０．１Ｎ．１３ｏ９ＯＸＩＨＡＮＧＩＲＳＴＹＵＮＶＥＩ
最大度为６图是１线性可染的９一
王
（浙江师范大学摘
（）＝１１．
用不在｛（（ｃｖ）ｉ＝１２３４，，），，，５６｝和
（（）｛｝（ ⅣＧ＼秽）ｉ＝１２３４５，）中的颜色染．因为，，，，６
Ｉ（（＼｝ｌ — Ｊ』 — Ｊ２的用色至为＋×：，用 ⅣＶ｛）Ｉｌ，禁颜数多６２６１可Ｃｃ）Ｉ；ｉＬＬｓ：８
（．）恰有２对顶点染相同颜色．２２
！二 ± ！
２
２Ｉ二＜
Ｉ一
不妨设ｃ口）＝ｃ）＝１ｃ（（，，（）＝ｃｖ）＝２用不在｛，，（，（｝ｃ（。＼口）ｉ，（，１２ｃ）ｃｖ），Ｎ（｛｝（＝４）

平面图的缺陷DP-染色

摘要本文主要证明了两个结果：一是任意的平面图G都存在一个最大度不超过6的子图H，使得G−E(H)是2-退化的。

作为这个结果的推论，我们知道任意平面图G都是6-缺陷DP-3可染的；另一方面本文证明了存在平面图不是3-缺陷DP-3可染。

当d=4,5时，平面图是否为d-缺陷DP-3-可染的，仍然是一个未解决的问题。

关键词：平面图；2-退化的平面图；缺陷染色；无圈定向；DP-染色。

AbstractThis paper proves that every planar graph G contains a subgraph H withΔ(H)≤6such that G−E(H)is2-degenerate.As a consequence of this result,every planar graph G is6-defective DP3-colorable.On the other hand,we show that there is a planar graph which is not3-defective DP3-colourable.It remains an open problem whether every planar graph is d-defective DP3-colourable,for d=4,5.Keywords:planar graphs;2-degenerate planar graphs;defective colouring;acyclic orientation;DP-coloring.目录摘要⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅i Abstract⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅iii 目录⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅v 第一章绪论⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1基本概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1.1图的相关概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1.2DP染色概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21.2平面图的缺陷DP-染色研究现状⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅51.3本文主要结果⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6第二章k d的一个下界⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅92.1定理1.2的证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9第三章主要定理⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅133.1预备知识⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅133.2定理3.1的证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅14参考文献⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21攻读学位期间取得的研究成果⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅23致谢⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅25浙江师范大学学位论文独创性声明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅28学位论文使用授权声明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅28vi学位论文诚信承诺书⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅29第一章绪论1.1基本概念1.1.1图的相关概念一个图G由一个顶点集和一个边集组成，我们一般把图G的顶点集合和边集合分别记为V(G)和E(G)，用⋃︀V(G)⋃︀来表示图G的顶点数(或阶数)，用⋃︀E(G)⋃︀来表示图G的边数。

最大度为10的图的列表全可染色问题

网络出版时间：２０１４ —１１ —１４１４：５１网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３３．１２７３．Ｚ．２０１４１１１４．１４５Ｌ００６．ｈｔｍｌ
孙燕玲
（张店区第七中学，山东淄博２５５００ｏ）
摘要：对于一个给定的最大度为１Ｏ的平面图Ｇ，若图Ｇ不含相邻的三角形，则Ｇ是ｌ１－列表全可染色
的，更进一步证明了列表全染色的猜想．
嘉兴学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｘｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
第２６誊第６期２０１４年¨ 月。Ｖｏ１．２６ ’ Ｎｏ．６２０１４．１１
最大度为１Ｏ的图的列表全可染色问题
称Ｃ是Ｇ的一个正常全染色．
图Ｇ的正常ｋ一全染色是将ｋ种颜色分配给其顶点集（Ｇ）和边的边颜色不同，定义色数（Ｇ）＝＝＝ｍｉｎ｛ｋＩＧ有正常的ｋ一全染色｝．
孙燕玲：最大度为１Ｏ的图的列表全可染色问题
（ｏｃ）∈ Ｌ（），则称Ｇ是Ｌ一全可染色的，设ｋ是一个正整数，如果对于图Ｇ的任意给定的全列表指
派Ｌ，当｝Ｌ（）｝ ≥尼对每一个，２Ｃ∈Ｅ（Ｇ）Ｕ（Ｇ）都成立时，Ｇ都是Ｌ一全可染色的，则称Ｇ是ｋ一列

不含特殊短圈平面图的无圈边染色

平面图．
图Ｇ的正常．边染色是指映射ＣＥ（）｛，，，｝得相邻的边染不同的颜色；Ｇ有一个ｋｉ｝．：Ｇ一１２ … ｋ使若一边染色，称图Ｇ是．可染的；圈．染色是指图Ｇ的一个正常的Ｊ边染色，其不产生双色圈；则边无边ｉ｝一使无圈边色数口（是指使得图Ｇ有一个无圈一染色的最小整数ｋＧ）边．无圈边染色的概念最早是由Ｆａｉｌ提出的．ｌｎ等证明了：任何图Ｇ有ａ（￣６Ａ（；ｉｋ１ｍＳＡｏ对Ｇ）４Ｇ）＜Ｍｏｌｌｙ和Ｒｅｌ将这个界改进到０（ｏｅｄ３Ｇ）≤１Ａ（；０５年，ｔｕ等证明了当ｇ（６Ｇ）２０ＭｕｈＧ）≥２０时，２
Ｋｅｒｓｌｎｒｇａｈ；ｃｃｅｃｃｉｅｇｏｏｉｇｃｃｉｅｇｈｏｔｕｅｙｗｏｄ：ｐａａｐｒｙｌ；ａｙｌｄｅｃｌｒ；ａｙｌｄｅｃｒｍａｉｎｍｂｒｃｎｃｃ
０引言
本文仅考虑有限简单图．定一个图Ｇ，ＶＧ）Ｅ（，Ｇ）（分别表示它的顶点集、集、给用（，Ｇ）△（，Ｇ）边
最大度、最小度．删 ∈ Ｇ，若Ｅ（）则称点ｕ为点的邻点，并用Ｎ（）表示点的邻点集合．点的度ｄ＝ｌ（）；．（点，一点）（）ｔＩ点ｋ．ｋＮ）表示度是ｋ至少为ｋ至多为ｋ的顶点．（，）若能将图Ｇ画在平面上，使得它的边仅在端点处相交，称Ｇ是可平面图．则图的这种平面图上的画法称为图的平面嵌入，或称为

关于最大度为7的平面图全染色的一个注记

第０１２月３年期２４卷第１１
．Ｊｕｎｌｆｈｊｎｏｍｌ自然科ｔ（ａ．Ｓｉ）ｏｒａ浙师范大学学报ｎｖｒｉ版）ｃ江ｅｉｇＮｒａ（ｉｅ学ＮｔｏＺａＵｓｙ
Ｖ１３，Ｎ．１ｏ．４ｏ
Ｆｂ０ｌｅ．２１
文章编号：０１５５（０１Ｏ－１－８１０－０１２１）ｌ０４００
关于最大度为７的平面图全染色的一个注记
王应前，孙强，工程学院，江金华３１０）浙浙２０４
摘要：给最大度为 △的图进行全染色至少要用 △＋１种颜色．全染色猜想断言每个图都是（ △＋２一）全可染
ｌ］１那样简洁的结果似乎非常困难．本文研究了△＝７的平面图的全可染性，得到如下结果：定理１若Ｇ是 △＝７且不含带弦４圈和带弦５圈的平面图，Ｇ是８全可染的．．一则－
１结
构
假设定理１不成立，Ｇ是定理１的一个使（）＝Ｉ＋ｌｌ小的反例，Ｇ本身不是８全可染设ＧＩ最即一的，它的每个真子图都是８全可染的，Ｇ有以下几个性质：但一则
的．即使对于平面图，但全染色猜想依然未得到证实．该研究方向已证明满足下述条件之一的最大度为 △ 在的平面图是（＋１一可染的：） △ ）全１ △≥９２ △：８不含相邻三角形。明了最大度为７且不含带弦４圈和带；）且证．

图论6平图及着色

• 定义３设G是一个平图，则G把平面划分成若干个连通区域，每个连通区域的闭包称为G的一个面，其中恰有一个无界的面，称为外部面。
• 定理1 若G是连通平图，则 υ－ε＋f＝２，其中，f是G的面数. (这个公式称为Euler公式) • 证明对G的边数ε用归纳法， ……
• 推论1 给定平面连通图G，则G的所有平面嵌入有相同的面数。
平面图
• 定义1 如果一个图能画在平面上，使得它的边仅在端点相交，则称这个图为平面图，或说它是可平面嵌入的，平面图G的这样一种画法，称为G的一个平面嵌入。
• 平面图G的平面嵌入称为平图。
• K3,，K4，K5
(a )
(b )
• 定义２一条连续的、自身不相交的封闭曲线称为Jordon曲线。 • J的外部，extJ，外点，extJ与J之并称为extJ 的闭包，记为ExtJ；另一部分(不含曲线J)称为J的内部，记为intJ，intJ的点称为J的内点， intJ与J之并称为intJ的闭包，记为IntJ。 • 引理设J是一条Jordon曲线，任何连接J 的内点与外点的曲线必与J相交。
顶点着色
• 定义设G是一个图，对G的每个顶点着色，使得没有两个相邻的顶点着上相同的颜色，这种着色称为图的正常着色 • 若图G的顶点可用k种颜色正常着色，称G为 k可着色的 • 使G是k可着色的数k的最小值称为G的色数，记为χ(G)，如果χ(G)＝k，则称G是k色的。
(a )
(b )
• 假设G是简单连通图。 • 定理1 (1)对于完全图Kn，有χ(Kn)＝n，χ(～Kn)＝1。 (2)对于n个顶点构成的圈Cn，当n是偶数时， χ(Cn)＝2，当n是奇数时，χ(Cn)＝3。 (3)对于非平凡树T，有χ(T)＝２。 (4)G是二分图，当且仅当χ(G)＝２。

最大外平面图和最大平面图的性质

最大外平面图和最大平面图的性质最大外平面图和最大平面图的性质冯纪先武汉大学电子信息学院,湖北武汉摘要对最大外平面图的区数、边数、度数和色数等性质进行了研讨.利用步进法,证明了最大外平面图的色数为,且是唯一可着色的结论.利用最大外平面图的性质,对最大平面图的区数、边数、度数和色数等性质进行了讨论,并证明了色数为的那种最大平面图,是唯一可着色的结论.关键词最大外平面图;最大平面图;图着色;唯一是可着色中图分类号. 文献标识码文章编号本文首先对外平面图及最大外平面图最大平面图不一定含有圈‘.定义嵋的基本特性进行了若一个最大平面图存在圈,分析和讨论,得到一些有用的结果.然后,将这些结则称此最大平面图为最大平面图.果用来对平面图和最大平面图显然,不存在圈的最大平面图为非最大平面图.的某些性质作进一步的研讨,由此又得到另一些有意义的结果.本文也对最大外平面图的着色定义设图的边数为,令,则称为问题进行了探讨,求得最大外平面图的色数为,并图的度数.显然,也为图的所有点的度数之和.证明了最大外平面图为唯一可着色的.最大外平面图的性质定义若平面图的所有点在同一个区上,性质设最大外平面图‰有咒个点,,≥一般将这个区选为外部区无限区,则称此平面图,那么外平面图为最大外平面图的充要条件为在圈为外平面图。

.当然,也可通过“测地投影”法将外部区无限区转化成内部区有限区.设外平面图。

内的所有区均为三角形,也即最大外平面图为一多边形边数不小于的一个三角剖分图的阶数点数为,外部区无限区的边界也就.成为圈。

.显然,外平面图的边要么在圈。

上,要性质。

设最大外平面图的点数为咒,么在圈内.为了方便,本文将圈上的边称为周当咒≥时,圈外的外部区的区数为,圈内的边,圈内的边称为弦边.通过“测地投影”法,当将内部区的区数为挖一.外部区无限区转化为内部区有限区时,外平面性质设最大外平面图的点数为,图的边,有的在圈。

上,有的在圈外,此时圈外的边也就称为弦边. 当”≥时,圈外的边数为,圈上的边数即周定义叼若外平面图不能再加上边而不失边数为以,圈内的边数即弦边数为~.去外平面性,则称此外平面图为最大外平面图. 性质最大外平面图加的色数为,且最由定义和定义可见,外平面图和最大外平大外平面图是唯一可着色的.证明面图的外部区无限区的边界,即挖点圈。

平面图的各种染色综述

（山东大学数学学院，山东济南２５０１００）
摘要：文章首先介绍平面图的一些结构和性质，给出了关于点（边，全）方面的染色概念，并综述了一些染色在平面图方面的结果．主要的染色有图的正常点染色、点荫度、线性点荫度、均匀染色、均匀点荫度、无圈点染色、正常边染色、无圈边染色、强边染色、（ｐ，ｑ）－边标号、邻点（和）可区别边（全）染色，荫度、线性荫度、线性ｋ－荫度，全染色以及这些染色的列表情况等．关键词：平面图；染色；列表染色中图分类号：Ｏ１５７５文献标志码：Ａ
本文考虑的是简单无向图．有关概念和术语可以参考文献［１－２］，染色方面的书籍有文献［３－６］，一篇关于平面图染色的英文综述见文献［７］．图一般由它的点集和边集组成．首先第１节介绍平面图的概念及其结构性质，介绍几个特殊的平面图；第２节介绍只染点方面的染色概念并综述部分染色在平面图方面的结果；第３节介绍只染边方面的染色，并综述一些染色在平面图方面的结果；第４节介绍图的全染色，列表全染色，邻点（和）可区别的全染色，无圈全染色等概念并叙述平面图相关的结果；第５、６节首先介绍一些前面没有提到的染色，罗列一些主要结果，并提供一些可以继续研究的问题．
等．把左边括号内的值分别定义为点或面的初值
ｃｈ．由于右边是个负数，点和边中肯定有元素的初
值是负的．这个变形在研究平面图的染色问题时
非常有用，因为如果某个染色结果不成立，可以通
过从初值为正的元素传一些值给初值为负的元
基金项目：国家自然科学基金重点资助项目（１１６３１０１４）；国家自然科学基金面上资助项目（１１９７１２７０）；山东省自然科学基金资助项目（ＺＲ２０１８ＭＡ００１）

△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色

△(G)=8且不含三角形的平面图的完备染色图的染色是指给图中的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不相同。

完备染色是指对于图中任意的三角形，其三个顶点的颜色构成一个完备集合，即包含所有可能的颜色。

在给出平面图的完备染色的前提下，我们需要说明不含三角形的平面图的完备染色问题。

我们需要理解平面图和三角形的概念。

平面图是指可以画在平面上，使得图中的边不相交的一类图。

平面图的顶点可以表示为平面上的点，边可以表示为连接这些点的曲线。

三角形是由三条边和三个顶点组成的一种多边形。

三角形有一些特殊性质，比如任意两边之和大于第三边。

在染色问题中，对于不含三角形的平面图，我们需要找到一种完备染色方案。

为了解决不含三角形平面图的完备染色问题，我们可以利用Hajós定理。

Hajós定理指出，任意两个平面图可以通过添加足够多的边和顶点来构造出一个完全平面图。

根据Hajós定理，我们可以得出结论：任意平面图的完备染色问题可转化为完全平面图的完备染色问题。

接下来我们来介绍如何给完全平面图进行完备染色。

完全平面图是一种特殊类型的平面图，它的任意两个顶点之间都有边相连。

给完全平面图进行完备染色可以使用以下的算法：1. 给完全平面图的一个顶点染色，该顶点可以为任意一个颜色。

2. 对于剩余的顶点，按照以下的规则进行染色：a. 对于每个顶点，找出与之相连的已经染色的顶点，并记录其颜色。

b. 选择一个未被记录的颜色，将该顶点染色。

c. 如果所有的颜色都已经记录，即所有的颜色都与相连的顶点有关，则在已经染色的颜色中选择一个未被使用的颜色，将该顶点染色。

d. 重复步骤b和c，直到所有的顶点都被染色。

在实际应用中，不含三角形的平面图的完备染色可以应用于任务分配、资源分配等问题中。

在一个任务分配的问题中，如果每个任务可以被不同颜色的员工执行，且任意两个员工之间存在合作关系，那么可以通过不含三角形的平面图的完备染色来解决任务分配问题。

吉林省重点高中2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

吉林省重点高中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（） A ．524B ．724C ．1124D ．17242．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．323．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B 子集的个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．324．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．2B ．24C ．16D ．147．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（）A ．256B ．-256C ．32D ．-328．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-9．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．10．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（） A ．24 B ．36 C ．48D ．6411．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（）A ．且B ．且C ．且D ．且12．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

最大度是6的平面图是第一类图的一个充分条件

最大度是6的平面图是第一类图的一个充分条件
杨星星;宋杨
【期刊名称】《淮北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2012(033)003
【摘要】对于最大度是Δ的可平面图G,如果χ＇（G）=Δ,称G为第一类图;如果χ＇（G）=Δ＋1,称G为第二类图,χ＇（G）表示G的边色数.文章运用Discharge 方法证明：最大度是6且任意一个3-圈与任意一个5-圈不相邻接的简单平面图是第一类图.
【总页数】6页(P18-23)
【作者】杨星星;宋杨
【作者单位】宿州学院数学与统计学院,安徽宿州234000
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.最大度是6的平面图是第一类图的一个充分条件 [J], 杨星星;宋杨
2.最大度是6的平面图是第一类图的一个充分条件 [J], 杨星星;苗连英;宁群
3.最大度是4的可平面图是第一类图的充分条件 [J], 倪伟平
4.最大度为5的可平面图是第一类的充分条件 [J], 丁伟;段娟娟;王徐民
5.平面图为第一类图的一个充分条件 [J], 李晓东
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最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表和全列表

最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表和全列表姚潇彦【摘要】It was studied the list chromatic index of plane graph G with maximum degree △(G) = 6, it was proved the list chromatic index was A and the list total chromatic number was △ + 1 if △(G) = 6 and G had no 4-cycles and 7-cycles by using the discharing method.%令G是一个最大度为△(G)的平面图.运用Dischanging方法,进一步探究△(G)≥6的平面图的边列表色数,得到了最大度为6且不含4-圈和7-圈的平面图的边列表色数为△,全列表色数为△+1.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)003【总页数】5页(P267-271)【关键词】平面图;列表染色;圈;最大度【作者】姚潇彦【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004【正文语种】中文【中图分类】O157.50 引言本文考虑的图都是简单、有限的无向图．文中未加定义的术语和记号参阅文献［1］．用V(G)，E(G)，F(G)，Δ(G)和δ(G)分别表示平面图G的顶点集、边集、面集、最大度和最小度(在不引起混淆的情况下简记为 V，E，F，Δ 和δ)．图G的一个k-边染色是一个映射φ:E(G)→{1，2，…，k}，其中k是整数．若映射φ还满足对于G中的每一对相邻边e和e'，有φ(e)≠φ(e')，则称这个k-边染色是正常的;若G有一个正常的k-边染色，则称G是k-边可染的;G的边色数χ'(G)是使得G是k-边可染的最小的整数k;称映射L为图G的一个边列表，如果它给每条边e∈G一个颜色集合L(e);若有一个正常的边染色φ，使得每一条边e满足φ(e)∈L(e)，则称G是L-边可染的，或称φ是G的一个L边染色;若对任意表L和每条边e∈E(G)，都有|L(e)|≥k，且G是L边可染的，则称G是k-边可选的．G 的边列表色数χ'l(G)是使得G是k-边可选择的最小的整数k．类似地，可定义同时染顶点和边的G的全列表色数χ"l(G)．由定义可直接得到χ'l(G)≥χ'(G)≥Δ(G)和χ"l(G)≥χ"(G)≥Δ(G)+1．下面是著名的边列表染色和全列表染色猜想:猜想1 如果G是一个多重图，则:1)χ'l(G)= χ'(G);2)χ"l(G)= χ"(G)．对于二部重图、奇阶完全图、多重圈、外平面图，已证明猜想1的1)成立．文献［2］证明了对于Δ≥12可嵌入非负特征曲面上的图，猜想1成立;文献［3］证明了对于最大度至少为7且不含4-圈的平面图及最大度至少为6且不含4-圈和6-圈的平面图，猜想1成立．本文研究Δ≥6的平面图的边列表染色和全列表染色问题，得到以下结果:定理1 若G是Δ≥6且没有4-圈和7-圈的平面图，则G是6-边可选的和7-全可选的．1 引理方便起见，先引进一些定义和记号．把度为k或度不小于k或度不大于k的点(或面)分别称做k-点(面)，k+-点(面)，k--点(面);一个面f的度d(f)，是指关联f的边的条数，其中割边被计算2次．用nv(f)表示任意一个关联f的点v经过f的闭途径的次数．假设定理1不成立，并设G是定理1的一个使σ(G)=|V|+|E|最小的反例，即G本身不是6-边可选的和7-全可选的，但它的每个真子图都是6-边可选的和7-全可选的，则G有以下几个性质:引理1 G是连通的．引理2 设∀e=uv∈E．若6+-点相邻，3-点只与 5+-点相邻．引理3 G不含2-交替圈．由G的极小性容易证明引理1，引理2和引理3的证明可参阅文献［4］．引理4 令G'是G中所有关联2-点的边导出的子图，则G'是一个森林．设T是G'中的一棵极大树，由引理2知，T的所有叶子都是6+-点，由归纳法容易证明G'中存在一个饱和所有2-点的匹配M．如果给每个极大树配一个极大匹配，并设v是G中任意一个2-点，那么称v的被匹配饱和的邻点为v的master．引理5 G具有以下性质:2)每个关联3-面的面是5-面或8+-面;3)若一个2-点关联一个3-面，则它关联的另一个面是6-面或9+-面;4)若一个3-点关联一个3-面和一个5-面，则它关联的另一个面是8+-面;5)设 f1，f2，f3是v关联的面，且依顺时针方向排列，如果f1，f3都是3-面，那么 f2是8+-面．证明:1)，2)和3)易证，下证4)和5)．4)设v是一个3-点，f1，f2，f3是v关联的3个面，不失一般性，假设它们是依顺时针方向排列的，且d(f1)≤d(f2)，其中 f1是 5-面，f3是 3-面．用反证法．设d(f1)=d(f2)=5，且 f1=［vuu1u2u3］，f2=［vuv1v2v3］，若 f1和 f2正常相邻，则会产生一个7-圈C=［uu1u2u3v3v2v1u］．事实上，{u1，u2，u3}∩{v1，v2，v3}=Ø．否则，若 u1=v1，则 u 是一个 2-点，与引理 2 矛盾;若 u2=v1，则会产生一个 4-圈 C=［v1(=u2)u3vuv1］;若u3=v1，则会产生一个 4-圈 C=［v1(=u3)u2u1uv1］．所以v1≠u1(u2，u3)．类似地可验证v2≠u1(u2，u3)，v3≠u1(u2，u3)．所以，f1和f2不可能正常相邻，但 f1和 f2也不可能非正常相邻．不然，u是一个2-点，与引理2矛盾．若d(f2)=6，可类似证明会产生4-圈或7-圈，得到矛盾．所以，若d(f1)=5，则由d(f1)≤d(f2)可得d(f2)≥8．5)设v是f1，f2，f3的公共点，u1，u2和u3，u4分别是f1和f3关联的另外2个顶点，且按顺时针方向排列．对u2，u3分3种情形讨论:①d(u2)≥3，d(u3)≥3．因为G不含4-圈，所以f2不可能是3-面或4-面．事实上，G也不是5-面或6-面．否则，若 f2=［vu2x1x2u3v］是 5-面，则 C=［vu1u2x1x2u3u4v］是 7-圈;若 f2=［vu2x1x2x3u3v］是 6-面，则C=［vu2x1x2x3u3u4v］是7-圈．但 G 不含7-圈，所以 f2是 8+-面．②d(u3)≥3，d(u2)=2，或d(u2)≥3，d(u3)=2．由对称性，不妨考虑d(u2)≥3，d(u3)=2．由引理4的2)知，f2一定是5+-面．若f2=［vu2x1u4u3v］是5-面，则会产生一个 4-圈 C=［vu2x1u4v］;若 f2=［vu2x1x2u4u3v］是 6-面，由于 G 不含4-圈，所以u1≠x1且u1≠x2，则 C=［vu1u2x1x2u4u3v］是7-圈．但 G 不含7-圈，所以 f2是8+-面．③d(u2)=d(u3)=2．由引理4的2)知，f2一定是5+-面．若 f2=［vu2u1x1u4u3v］是5-面，则会产生一个4-圈 C=［vu2u1u4v］;若 f2=［vu2u1x1u4u3v］是6-面，则会产生一个4-圈 C=［vu1x1u4v］．综上所述，f2是8+-面．引理5证毕．2 定理1的证明设G是定理1的一个使σ(G)=|V|+|E|最小的反例．以下将运用Discharging方法导出完成定理1证明所需要的矛盾．首先，给G的任意的x∈V∪F分配初始权ch(x)=d(x)－4，由平面图的欧拉以下将定义一个权转移规则，重新分配点和面的权，并设ch'(x)是重新分配点和面的权后元素x∈V∪F的新权．将要证明对每个x∈V∪F都有一方面，由于权的转移只是在同一个图的点和面之间进行，权的总和应该保持不变，因此得到-8≥0，即得到了证明定理1所需要的矛盾．权转移规则如图1所示．R1:每个与3-面关联的2-点由mas-R2:每个与3-面 f关联的3-点由不R3:每个5+-点与其关联的3-面各R4:每个5+-面向每个关联的点转图1 权转移规则图下面只需验证对于每个x∈V∪F都有ch'(x)≥0．先考察面的新权．因为G是简单图，所以对每个面f都有d(f)≥3．又由权转移规则知:若d(f)≥4，则ch'(f)≥0．所以，下面只需验证3-面．设f为3-面，则ch(x)=-1，由引理2知，f至多关联1个3--点．若f关联一个3--点，则由引理2知，其余2个均为5+-点，由R3知0．设v为3-点，则ch(v)=-1，由引理5的1)知，f至多关联1个3-面．若v关联1个3-面，则由引理4的2)和引理4的4)知，v关联的另2个面要么是5-面和8+-面，要其次考察点的新权．设 v为 2-点，则 ch(v)=-2．若v关联一个3-面，则由引理5的3)知，v关联的另一个面是6+-面，由R1和R4知，ch'(v)=设v为4-点，则ch'(v)=0，由引理5的1)知，v至多关联2个3-面．又由权转移规则知，v只向3-面转权．所以，当v关联2个3-面时 ch'(v)最少．由引理5的5)知，v还关联2个8+-面，所以ch'(v)≥设t是v关联的3-面的个数．称关联3-面的3-点为坏3-点．用b3(v)表示v相邻的坏3-点的个数．设v为5-点，则ch'(v)=1，由权转移规则知，v只向3-面和3-点转权，由引理5的1)知，v至多关联2 个3-面．1)t=0，此时v只向3-点转权，且至多与5个坏3-点相邻，则2)t=1，此时v至多与3个坏3-点相邻，则3)t=2，此时v至多与1个坏3-点相邻，由引理5的5)知，v至少关联1个8+-面，则ch'(v)≥1-设v为6-点，则ch(v)=2．下面将根据v与2-点相邻的情形对6-点的新权逐一进行验证．1)v是一个2-点 u的 master．①v不与三角形关联，那么v至多关联2个3-面．若t=0，则v至多与5个坏3-点相邻，从而至少关联1个8+-面，从而②v与三角形关联，由于G不含4-圈，故v至多关联3个3-面．t=1，此时v至多与4个坏3-点相邻．若b3(v)=0，则v只向正常3-点转权，且至多与4个坏3-点相b3(v)=2，则v至少关联1个8+-面和1个6+-面，此时v 至多与2个正常3-点相邻，从而ch'(v)≥2-1个正常3-点相邻，从而少关联3个8+-面，此时v不与正常3-点相邻，从而t=2，此时v至多与2个坏3-点相邻．若 b3(v)=0，则由引理5知，v至少关联1个6+-面，从而;若b3(v)=1，则由引理5知，v至少关联1个8+-面，此时v至多与1个正常3-点相邻，从而至少关联2个8+-面，从而t=3，此时v不需要向3-点转权，由引理5的5)知，v至少关联3个8+-面，从而2)v不是任意2-点的master，此时v至多与3个3-面关联．①t=0，此时v只向3-点转权，且至多与6个坏3-点相邻，因此②t=1，此时v至多向4个坏3-点转权，因此③t=2，此时v至多向2个坏3-点转权，因此④t=3，此时v不向任何3-点转权，且由引理5的4)知，v至少关联3个8+-面，因此ch'(v)≥2-至此，对∀x∈V∪F，ch'(x)≥0都已得到验证．定理1得证．参考文献:［1］Bondy J A，Murty U S R．Graph theory［M］．Berlin:Springer，2008．［2］Borodin O V，Kostochka A V，Woodall D R．List edge and list total colorings of multigraphs［J］．J Combin Theory，1997，71(2):184-204．［3］Liu Bin，Hou Jianfeng，Liu Guizhen．List edge and list total colorings of planar graphs without short cycles［J］．Information Processing Letters，2008，108(6):347-351．［4］Wang W F，Lih K W．Structural properties and edge choosability of planar graphs without 6-cycles［J］．Combin Probab Comput，2001，10(3):267-276．。

关于3-流猜想的研究

关于3-流猜想的研究图论是数学的一个分支,是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴学科。

许多实际问题都可以通过图来得以解决。

其中,图着色问题是最著名的NP-完全问题之一。

它是解决如运输问题、时间表问题、电路设计及贮藏问题等涉及任务分配的实际问题的一种基本方法。

1950年,Tutte提出：一个平面图是面k-可染的当且仅当其存在一非零k-流。

从而引进非零整数流理论作为研究着色问题的工具,并提出相应的猜想。

因此,着色问题可以转化为整数流问题来研究,所以整数流问题成为图论研究的重要问题。

非零3-流是非零整数流的一种特殊情况,前人对它有过许多研究,最为人熟知的莫过于Tutte的3-流猜想。

他猜想：每个4-边连通图都存在一个非零3-流。

在理论上,3-流猜想是图论界公认的一个漂亮的猜想。

很多著名数学家都在对这个课题进行研究,并且得到了许多非常好的结果。

目前对于3-流猜想解决最大贡献的当属弱3-流猜想的解决,即6-边连通图存在非零3-流。

本人在前人研究的基础上,研究了比3-流存在性更强的Z3-连通性。

同时,对3-流猜想的等价形式的最小反例进行研究,从相反角度促进3-流猜想的解决。

本文的主要内容分三个章节。

第一章,我们首先介绍图与整数流的一些基本概念和定义,并且介绍3-流的一些基本性质。

接下来,我们给出了3-流猜想及其等价形式的一些现有结果。

第二章,我们主要对一类只包含12个顶点并且最小度为4的简单二部图的群连通性进行研究,从而使已有的关于最小度为[n/4]+1的二部图的结论更加完整。

第三章,主要刻画3-流猜想的一个等价形式的最小反例的图形特征。

通过考虑3-流猜想的最小反例,我们从相反角度研究3-流猜想。