公因数公倍数应用

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最大公因数和最小公倍数的定义

最大公因数和最小公倍数的定义在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个常见的概念，它们在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。

本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的定义、性质和相关应用。

一、最大公因数的定义最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数公有的约数中最大的一个。

例如，12和30的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和30的最大公约数是6。

最大公因数的求法有多种方法，其中最常用的是辗转相除法。

该方法的基本思想是，用较大的数去除以较小的数，再用余数去除以刚才的除数，如此反复，直到余数为0为止。

最后一次除数即为最大公约数。

例如，求出120和84的最大公约数：120÷84=1 (36)84÷36=2 (12)36÷12=3 0因此，最大公约数是12。

二、最小公倍数的定义最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。

例如，6和8的公倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，其中最小的是24，所以6和8的最小公倍数是24。

最小公倍数的求法也有多种方法，其中最常用的是分解质因数法。

该方法的基本思想是，将每个数分解成质因数的乘积，然后将这些质因数的最高次幂相乘即可。

例如，求出12和18的最小公倍数：12=2×318=2×3将它们的质因数分解乘起来，得到2×3=36，因此最小公倍数是36。

三、最大公因数和最小公倍数的性质最大公因数和最小公倍数有许多重要的性质，下面列举其中的几个：1. 最大公因数和最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。

即，设a、b为两个整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab。

证明：设a=p^α×p^α×…×p^α，b=p^β×p^β×…×p^β，其中p、p、…、p是不同的质数，α、α、…、α、β、β、…、β是非负整数。

公倍数和公因数的应用题

10 道公倍数和公因数的应用题题目一：有一张长48 厘米、宽36 厘米的长方形纸，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是多少厘米？解析：求剪出的小正方形的边长最大是多少厘米，就是求48 和36 的最大公因数。

48 的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36 的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。

它们的公因数有1、2、3、4、6、12，其中最大公因数是12。

所以剪出的小正方形的边长最大是12 厘米。

题目二：把两根分别长24 分米和30 分米的木料锯成若干相等的小段而没有剩余，每段最长是多少分米？解析：求每段最长是多少分米，就是求24 和30 的最大公因数。

24 的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；30 的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。

它们的公因数有1、2、3、6，其中最大公因数是6。

所以每段最长是 6 分米。

题目三：用96 朵红花和72 朵黄花做成花束，如果每个花束里的红花同样多，黄花也同样多。

那么最多能做几束花？每束花里有几朵红花和几朵黄花？解析：求最多能做几束花，就是求96 和72 的最大公因数。

96 的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96；72 的因数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。

它们的公因数有1、2、3、4、6、8、12、24，其中最大公因数是24。

所以最多能做24 束花。

96÷24 = 4（朵），72÷24 = 3（朵），每束花里有4 朵红花和 3 朵黄花。

题目四：有一批图书，总数在1000 本以内。

若按24 本包成一捆，最后一捆差 2 本；若按28 本包成一捆，最后一捆还是差 2 本；若按32 本包成一捆，最后一捆是30 本。

这批图书有多少本？解析：由题意可知，这批图书的数量加上 2 本后，就是24、28、32 的公倍数。

24 的倍数有24、48、72、96、120、144、168、192、216、240、264、288、312、336、360、384、408、432、456、480、504、528、552、576、600、624、648、672、696、720、744、768、792、816、840、864、888、912、936、960、984；28 的倍数有28、56、84、112、140、168、196、224、252、280、308、336、364、392、420、448、476、504、532、560、588、616、644、672、700、728、756、784、812、840、868、896、924、952、980；32 的倍数有32、64、96、128、160、192、224、256、288、320、352、384、416、448、480、512、544、576、608、640、672、704、736、768、800、832、864、896、928、960、992。

公因数、公倍数的实际应用

公因数、公倍数的实际应用1. 公因数的实际应用公因数是指能够整除两个或多个数的公共因子。

公因数在实际应用中有多种用途。

1.1 简化分数一个实际的应用是简化分数。

当分数的分子和分母有公因数时，可以通过将分子和分母都除以公因数来简化分数。

例如，有一个分数8/12，其分子和分母都可以被2整除，因此可以简化为4/6，或者继续简化为2/3。

通过寻找分子和分母的公因数，并将其约去，可以得到最简形式的分数。

1.2 最大公约数另一个常见的实际应用是求解最大公约数。

最大公约数是指能够整除两个或多个数的最大的公因数。

最大公约数在很多数学问题中都有重要作用。

例如，在分数运算中，要求两个分数的最小公分母，就需要求解它们的最大公约数。

最大公约数还可以用于分解多项式或方程，帮助我们简化问题。

2. 公倍数的实际应用公倍数是指能够被两个或多个数同时整除的数。

公倍数也有很多实际应用。

2.1 最小公倍数最小公倍数是指能够同时整除两个或多个数的最小的公倍数。

最小公倍数在很多实际问题中都有用途。

例如，当我们要将两个分数的分母找到最小公倍数时，可以通过求解它们的最小公倍数来实现。

最小公倍数还可以用于计算多个周期性事件重复的周期，如音乐节奏、电路波形等。

在生活中，最小公倍数也经常被用于时间调度、资源规划等问题。

2.2 公倍数的应用除了最小公倍数，公倍数还可以应用在其他领域。

例如，在日程安排中，如果两个活动的周期分别为5天和7天，我们可以通过求解它们的公倍数来找到两个活动在何时同时发生。

公倍数也可以用于计算多个速度的整体周期，例如定速轮船和定速火车之间的重合周期等。

结论公因数和公倍数在实际应用中有许多用途，包括简化分数、求解最大公约数、计算最小公倍数以及帮助解决时间调度、资源规划等问题。

熟练使用公因数和公倍数的概念，有助于我们在实际问题中进行简化、计算和规划，提高解决问题的效率。

公因数及公倍数的应用

公因数及公倍数的应用一．考点、热点回顾：一、公因数和最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个因数叫做它们的最大公因数。

例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12。

30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公因数有：1，2，3，6，其中6是12和30的最大公因数。

2、求最大公因数的一般方法：（1）分解质因数：把各个数分别分解质因数，公有质因数的乘积，就是这几个数的最大公因数。

例如：求18和24的最大公因数。

18＝2×3×324＝2×2×2×318和24都含有质因数2和3，所以它们的最大公因数是2×3＝6。

（2）短除法：把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，然后把所有除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。

例如：求36，24，42的最大公因数。

2 36 24 423 18 12 216 4 7此时4与7互质，这三个数的公因数只有1，停止短除。

36，24，42的最大公因数是2×3＝6。

3、求两个数最大公因数的特殊情况：（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。

（2）互质的两个数最大公因数是1。

二、公倍数和最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

例如：8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72，…12的倍数有：12、24、36、48、60、72，…8和12的公倍数有：24，48，72，…其中24是8和12的最小公倍数。

2、求最小公倍数的一般方法：（1）分解质因数：先把每个数分解质因数，再把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，积就是它们的最小公倍数。

例如：求12和30的最小公倍数。

12＝2×2×330＝2×3×512和30公有的质因数有2和3，独有的质因数有2和`5。

公因数和公倍数讲解

公因数和公倍数讲解以公因数和公倍数为话题，我们来探讨一下这两个概念以及它们在数学中的应用。

公因数是指两个或多个数共有的因数，而公倍数则是指能够同时整除两个或多个数的数。

让我们从公因数开始讲解。

公因数是指能够整除两个或多个数的因数。

比如，对于数字12和18来说，它们的公因数有1、2、3和6。

这是因为这些数都能整除12和18，没有余数。

公因数可以帮助我们找到两个或多个数的共同因数，这在数学运算中是非常有用的。

公因数在分解质因数和求最大公因数的过程中起着重要的作用。

分解质因数是将一个数分解为质数的乘积的过程。

通过找到两个或多个数的公因数，我们可以通过不断分解这些数，最终得到它们的质因数。

例如，我们可以将数字12分解为2 * 2 * 3，而数字18可以分解为2 * 3 * 3。

通过分解质因数，我们可以更好地理解和比较不同数的因数之间的关系。

最大公因数是指能够整除两个或多个数的最大的数。

求最大公因数的方法有很多种，比如质因数分解法、辗转相除法等等。

这些方法都是通过找到两个或多个数的公因数，然后比较它们的大小，最终得到最大的公因数。

最大公因数在简化分数、求最小公倍数等问题中起着关键的作用。

接下来，我们来讨论一下公倍数。

公倍数是指能够同时整除两个或多个数的数。

比如，对于数字4和6来说，它们的公倍数有12、24、36等等。

这是因为这些数都能够同时整除4和6，没有余数。

公倍数可以帮助我们找到两个或多个数的共同倍数，这在数学运算中也是非常有用的。

公倍数在求最小公倍数和比较分数大小的过程中起着重要的作用。

最小公倍数是指能够同时整除两个或多个数的最小的数。

求最小公倍数的方法通常是通过列举两个或多个数的倍数，然后找到它们的共同倍数中的最小值。

最小公倍数在将不同分数转化为相同分母的分数时非常有用。

总结一下，公因数和公倍数在数学中起着重要的作用。

公因数可以帮助我们分解质因数和求最大公因数，而公倍数可以帮助我们求最小公倍数和比较分数大小。

最大公因数和最小公倍数的应用

一、最大公因数的应用1、有三根铁丝，长度分别为18、24、30。

现要把它们截成长度相等的小段若干段，每根都不允许有剩余，问每一小段最长是多少厘米？一共截了多少段？2、把20个梨和25个苹果平均分给若干个小朋友，分完后发现剩下2个梨，缺两个苹果，问最多有多少个小朋友？3、把一个2002×847的长方形分解成若干个完全相同的小正方形且没有剩余，则最少可以分解出多少个这样的小正方形？4、求435、783、928的最大公因数？5、将2004×1169×334的长方体，分成一些完全相同的小正方体，那么至少可以分成多少个？6、有三根铁丝分别长336厘米，444厘米，516厘米，把它们截成等长且尽可能长的整厘米小段（无剩余）。

若把这些整厘米小段铁丝焊接成正方体框架，能得到多少个这样的正方体框架？二、最小公倍数的应用1、动物园里的饲养员给三群猴子分花生。

如果只分给第一群猴子，则每只猴子可分得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可分得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可分得20粒；那么，把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子最少可分得花生多少粒？2、文化补习班的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本英语课本，全班共用了91本课本，问全班有多少人？3、加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时完成48个零件；第二道工序每个工人每小时完成32个零件；第三道工序每个工人每小时完成28个零件；问每道工序至少要安排多少名工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压和停工等等？4、A、B、C三匹马在一个环形跑马场上同时同地出发，A每2分钟跑一圈，B每3分钟跑一圈，C每4分钟跑一圈，那么它们多久以后能再同时经过出发点？5、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯，则下一次既响铃又亮灯是几点？6、甲、乙、丙三人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米，已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后三人可以首次相聚？。

公因数和公倍数

公因数和公倍数初中数学中，公因数和公倍数是一个非常重要的概念。

理解公因数和公倍数的概念，对于解决数学问题、进行数学推理和提高数学思维能力都有着重要的作用。

本文将从实际问题入手，通过举例和分析，详细介绍公因数和公倍数的概念、性质和应用。

一、公因数的概念和性质公因数是指两个或多个数共有的因数。

比如，对于数5和10来说，它们的公因数有1和5。

公因数的性质主要有以下几点：1. 公因数是两个或多个数的因数，因此，公因数一定是这些数的约数。

2. 公因数中最大的一个数，称为最大公因数。

最大公因数是两个或多个数的公共约数中最大的一个。

3. 如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数被称为互质数。

通过以下例子，我们可以更好地理解公因数的概念和性质：例1：求出12和18的公因数。

解：首先，我们列出12和18的所有因数：12的因数有：1、2、3、4、6、1218的因数有：1、2、3、6、9、18根据以上列出的因数，我们可以发现12和18的公因数有1、2、3、6。

其中，最大公因数为6。

例2：求出24和36的最大公因数。

解：同样地，我们列出24和36的所有因数：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、2436的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36根据以上列出的因数，我们可以发现24和36的公因数有1、2、3、4、6、12。

其中，最大公因数为12。

二、公倍数的概念和性质公倍数是指两个或多个数共有的倍数。

比如，对于数3和5来说，它们的公倍数有15和30。

公倍数的性质主要有以下几点：1. 公倍数是两个或多个数的倍数，因此，公倍数一定是这些数的倍数。

2. 公倍数中最小的一个数，称为最小公倍数。

最小公倍数是两个或多个数的公共倍数中最小的一个。

通过以下例子，我们可以更好地理解公倍数的概念和性质：例3：求出6和8的公倍数。

解：首先，我们列出6和8的所有倍数：6的倍数有：6、12、18、24、30、36、...8的倍数有：8、16、24、32、40、48、...根据以上列出的倍数，我们可以发现6和8的公倍数有24。

公因数公倍数典型例题

公因数公倍数典型例题公因数和公倍数是数学中常见的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。

下面我们来看几个典型的例题。

例题一：求两个数的最大公因数和最小公倍数。

问题描述：求48和60的最大公因数和最小公倍数。

解答：首先，我们可以列出48和60的所有因数，然后找出它们的公因数，再从中找出最大的一个作为最大公因数。

48的因数为1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，而60的因数为1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。

它们的公因数有1、2、3、4、6、12，所以48和60的最大公因数为12。

接下来，我们可以列出48和60的所有倍数，然后找出它们的公倍数，再从中找出最小的一个作为最小公倍数。

48的倍数为48、96、144、192、240、288、336、384、432、480，而60的倍数为60、120、180、240、300、360、420、480。

它们的公倍数有240和480，所以48和60的最小公倍数为240。

例题二：利用公因数求未知数的值。

问题描述：某数的最大公因数是24，最小公倍数是120，求这个数是多少。

解答：假设这个数为x，根据最大公因数和最小公倍数的定义，我们可以得到以下等式：x的因数可以整除24，x的倍数可以被120整除。

因此，x的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，x的倍数为120、240、360、480、600、720、840、960、1080、1200。

从中我们可以找到24是x的因数，而120是x的倍数。

因此，这个数为24的倍数，同时也是120的因数，即x=24。

通过以上例题，我们可以看到公因数和公倍数在解决实际问题中的重要性。

它们不仅可以用于求解最大公因数和最小公倍数，还可以用于解决一些未知数的问题。

因此，我们在学习数学的过程中要重视公因数和公倍数的学习，掌握它们的求解方法和应用技巧，提高自己的数学应用能力。

最大公因数和最小公倍数的概念

最大公因数和最小公倍数的概念最大公因数和最小公倍数是初中数学中非常重要的概念。

在数学中，我们经常需要求两个或多个数的最大公因数或最小公倍数，这两个概念在数学中的应用非常广泛。

本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的概念、性质和应用。

一、最大公因数的概念最大公因数，简称“最大公约数”，是指两个或多个数中能够同时整除它们的最大的正整数。

例如，12和18的最大公因数是6，因为6是12和18的公因数中最大的一个。

最大公因数有以下几种求法：1.因数分解法：将两个或多个数分别分解质因数，然后找出它们的公因数，最后将这些公因数相乘即可得到最大公因数。

2.辗转相除法：将两个数中较大的数除以较小的数，然后用余数代替较大的数，继续进行相除操作，直到余数为0，那么最后一次相除的除数就是这两个数的最大公因数。

最大公因数有以下几个性质：1.最大公因数是唯一的，也就是说，两个数的最大公因数只有一个。

2.如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数就是互质数。

3.如果两个数中有一个是质数，那么它们的最大公因数就是1或这个质数本身。

4.如果两个数的最大公因数是d，那么这两个数可以表示成d的倍数。

二、最小公倍数的概念最小公倍数，简称“最小公倍数”，是指两个或多个数中能够被它们同时整除的最小正整数。

例如，4和6的最小公倍数是12，因为12既能被4整除，也能被6整除。

最小公倍数有以下几种求法：1.因数分解法：将两个或多个数分别分解质因数，然后找出它们的公因数和非公因数，最后将这些因数相乘即可得到最小公倍数。

2.公式法：最小公倍数等于这两个数的积除以它们的最大公因数。

最小公倍数有以下几个性质：1.最小公倍数是唯一的，也就是说，两个数的最小公倍数只有一个。

2.如果两个数中有一个是1，那么它们的最小公倍数就是另一个数。

3.如果两个数的最大公因数是d，那么它们的最小公倍数就是d的倍数。

三、最大公因数和最小公倍数的应用最大公因数和最小公倍数在数学中的应用非常广泛，下面列举一些常见的应用：1.分数的通分和约分：分数的通分和约分都需要用到最小公倍数和最大公因数。

最大公因数和最小公倍数应用

1、求15,36和90的最大公因数和最小公倍数
2、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90.求这两个数
3、图书馆批入甲、乙两种书，甲厚12毫米，乙厚15毫米。分别叠放起来，高度第一次一样时，各叠几本？
4、有两根绳子分别长12米，18米，现在要把他们分别截成相等的小段而且没有剩余，那么每段最长的是多少米？
5.有一筐梨，每次拿出4个或者每次拿出6个或每次拿出8个，若干次后都恰好拿完，这筐梨至少有多少个？
6、少先队员参加登高比赛，分成若干组，如果分成4人，5人，30人一组都余2人，至少有多少个少先队员参加？
7 .一个长方形的操场，长90米，宽 66米，在四角和四周种上树苗，使得相邻的两棵苗间的距离都相等。问：最远应每间隔多少米种一棵? ห้องสมุดไป่ตู้共需要树苗多少棵？
8、小丽妈妈和小杰妈妈同一天去超市。小丽妈妈每隔6天去一次超市，小杰妈妈每隔8天去一次超市。问：
（1）再过几天两位妈妈同一天去超市？（2）第一次去超市时间是 3月6日，下一次是几月几日？

求解公因数、公倍数的应用题

求解公因数、公倍数的应用题问题描述求解公因数和公倍数是数学中常见的问题，它们在实际生活中有很多应用。

下面将给出一些求解公因数和公倍数的应用题。

问题一：公因数的应用问题描述：小明家乡最近发生了一场水灾，许多农田被淹没。

小明的家里有两个农田，一个面积为180平方米，一个面积为240平方米。

小明需要将这两个农田尽可能均分成相同的小块，且每个小块面积要相同。

请问小明应该将这两个农田均分成怎样的小块？解题思路：将两个农田的面积分别求出其因数，然后找出它们的公因数，即能被两个农田面积整除的数字。

然后将两个农田面积分别除以这个公因数，得到每个小块的面积。

解题步骤：1. 求第一个农田的面积180的因数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180。

2. 求第二个农田的面积240的因数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240。

3. 找出这两个农田面积的公因数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60。

4. 将两个农田面积分别除以公因数，得到每个小块的面积：180 / 2 = 90 平方米，240 / 2 = 120 平方米。

所以，小明应该将这两个农田均分成每个小块面积为90平方米的小块。

问题二：公倍数的应用问题描述：小红和小兰是好朋友，他们分别从家里到学校的路程是10公里和15公里。

他们约定在路程的某个地方一起出发，并且在同时到达学校。

请问他们应该在多少公里处出发才能同时到达学校？解题思路：小红和小兰同时到达学校的条件是他们走相同的路程，即他们走的路程应该是10公里和15公里的公倍数。

因此，我们需要找出他们两个路程的公倍数，并选择最小的公倍数作为他们出发的地方。

解题步骤：1. 小红的路程10的倍数：10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...2. 小兰的路程15的倍数：15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ...3. 找出这两个路程的公倍数：30, 60, 90, ...4. 最小的公倍数为30，所以他们应该在30公里处出发才能同时到达学校。

最大公因数最小公倍数应用题

最大公因数最小公倍数应用题最大公因数和最小公倍数的应用题1）有25个桃子和75个橘子，要分给若干名小朋友，每人分得的桃子和橘子数相等。

问最多可分给多少个小朋友？每个小朋友分得桃子和橘子各有多少个？解：首先求出25和75的最大公因数，为25.因为每个小朋友分得的桃子和橘子数相等，所以每个小朋友分得25个桃子和25个橘子。

那么最多可分给3个小朋友。

2）XXX的父母在外地工作，她住在奶奶家。

妈妈每6天来看她一次，爸爸每9天才来看她一次。

问至少多少天爸爸和妈妈能同时来看她？两个月内他们全家能团聚几次？解：首先求出6和9的最小公倍数，为18.因为18天后，爸爸和妈妈都会来看兰兰。

那么两个月内他们全家能团聚的次数为4次（60天÷18天≈3余6天，所以最后一次不能算作团聚）。

3）有三根铁丝，长度分别为18米、24米和30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有多少米？一共可以截成多少段？解：首先求出18、24和30的最大公因数，为6.所以每段最长可以有6米。

分别将这三根铁丝截成3、4和5段，一共可以截成12段。

4）一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的正方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余。

正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？解：首先求出60和36的最大公因数，为12.所以正方形的边长可以为12厘米。

将长方形纸分别截成5×3、4×3和2×3个正方形，一共可以截成60个正方形。

5）要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数相等。

问最多可以扎几束花？每束花里有几朵红玫瑰花和几朵白玫瑰花？解：首先求出96和72的最大公因数，为24.因为每束花里的红白花朵数相等，所以每束花里有24朵红玫瑰花和18朵白玫瑰花。

那么最多可以扎4束花。

6）公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每5分钟发车一次，第二路车每10分钟发车一次，第三路车每6分钟发车一次。

最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)

最大公因数与最小公倍数应用(一)一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如:（24,54)=6，24=4×6,54=9×6，（4，9)=1。

2、性质2:两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积.a与b的最小公倍数[a，b]是a与b的所有倍数的最大公因数,并且a×b=［a，b]×（a,b）.例如：（18,12）= ，[18,12]= （18，12）×［18，12］=3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。

3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72.已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。

练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。

例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210.这两个自然数的和是77,求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11,求这两个自然数。

"例3 已知a与b,a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12,15］=60的倍数.再由［a，b，c］=120知， a只能是60或120。

［a,c]=15，说明c没有质因数2,又因为［a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

练一练：已知两数的最大公因数是21,最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,求这两个自然数。

例5 已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60，求这两个数。

习题四1．已知某数与24的最大公因数为4,最小公倍数为168，求此数。

公因数和公倍数的应用

，要求每小段尽可能的长，问每段可以
截多长，一共可以截出多少根？
4、有一筐苹果，每次拿5个或12个都可以正
好拿完，已知这筐苹果的个数不超过400个，
问：框里至少有几个苹果，最多又有几个
苹果？
*5、在训练团体操时，要求队伍分成排成6列、
8列、10列时都是一个矩形，至少要多少人
每隔60米竖一根电线杆，问：除了两端的
两根电线杆不动外，中间是否还有电线杆
不必移动？若有，求出不必移动的根数；
若没有，请说明理由.
参加排练？
*6、一筐苹果500多个，每次拿3个，每次拿4
个，每次拿5个都恰好多1个，这筐苹果共
有多少个？
*7、有一批书平均分给6个小朋友结果多3本，
平均分给8个小朋友也多5本，平均分给9个
小朋友还多9本，这批书最少有多少本？
**8、从甲地到乙地原来每隔45米竖一根电线
杆，加上两端的2根，共有53根，现在改为
公因数和公倍数的应用
1、一块砖长22cm，宽18cm，要铺成一个正
方形地面，铺成的正方形边长至少为多少
厘米？至少要多少这样的砖？
2、小丽每隔5天去一次超市购物，小杰每隔7
天去同一家超市购物，国庆节这一天小丽
和小杰都去了这家超市购物，问至少再经
过多少天，他们又会在同一天去超市购物？
3、有两根管道，分别长36米，24米，由于工

公因数与公倍数基本概念及应用汇总

公因数与公倍数基本概念及应用汇总1、公因数：几个数共有的因数，叫这几个数的公因数。

最大公因数：公因数中最大的一个叫这几个数的最大公因数。

2、公倍数：几个数共有的倍数，叫这几个数的公倍数。

最小公倍数：公倍数中最小的一个叫这几个数的最小公倍数。

3、三种关系的数如何求最小公倍数与最大公因数：①当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍是它们的积；②当两个数是倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数，较大的数是这两个数的最小公倍数；③当两个数是一般关系时，用短除法求这两个数的最大公因数与最小公倍数。

由此可知，最大公因数是公有质因数连乘的积，最小公倍数是公有和独有因数连成的积。

可见，最小公倍数是最大公因数的倍数，最大公因数是最小公倍数的因数。

掌握这一点是解决此类问题的关键。

4、最大公因数与最小公倍数实际应用例题。

例1、A=2×3×5×7，则A因数有（）个。

分析：一个合数分解质因数后，其因数是一个或几个质因数连成的积。

因此，数A的因数为;一个质因数构成的，2、3、5、7；两个质因数构成的6、10、14、15、21、35；三个质因数构成的30、42、105、70；四个质因数构成的210；除此之外还有1.共16个。

例2、A=2×2×3 B=2×3×5则A、B的最大公因数与最小公倍数分别是（）（）分析：因为“最大公因数是公有质因数连乘的积”，所以A、B的最大公因数为2×3=6；“最小公倍数是公有和独有因数连成的积”A、B的最小公倍数为2×3×2×5=60练习①已知甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。

分析：“最小公倍数是公有和独有因数连成的积，因此最小公倍数是最大公因数的倍数，”解析36÷6=6 6即为独有因数的积，6=1×6或6=2×3因此甲乙两个数分别为（1×6=6 6×6=36）或（2×6=12 3×6=18）②两个数最大公因数是12，最小公倍数是180，且大数不是小数的倍数，求这两个数。

最大公因数与最小公倍数的实际应用

最大公因数和最小公倍数基础知识与实际应用相关基础知识几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

最大公因数和最小公倍数的性质（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。

（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：（a，b）x [a，b]=a x b。

6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。

36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。

两个数A, B,①如果A是B的倍数，那么最大公因数就是B,最小公倍数是A; ②如果AB互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是A*B;欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。

《九章算术》更相减损术找最大公因数短除法找最大公因数与最小公倍数短除符号就是除号倒过来。

短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质，最大公因数是 1的两个数叫互质数，如8和9）。

而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。

直到剩下每两个都是互质关系。

求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。

（公因数：如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。

）图1 图2实际应用例：有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。

如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？2 1218 3 69 2 3最大公约数 2作6解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公因数。