数学物理方程第七章_变分法及其应用
变分原理与变分法
变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。
它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。
变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。
变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。
它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。
作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。
换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。
在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。
通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。
变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。
泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。
在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。
这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。
变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。
这个变化就是变分，通常用符号δ表示。
然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。
最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。
在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。
它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。
总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。
它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。
变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。
变分法理论与应用
变分法理论与应用变分法是数学中的一个重要分支，通过对函数的变分求解，可以求出其最值或最优解，应用广泛，例如在物理学中经常用于研究粒子的运动，友情学中应用于最小能量曲线的求解，化学中应用于量子化学中分子的电子结构计算等等。
本篇文章将着重介绍变分法的理论基础以及其在各个领域中的应用。
一、变分法理论1.1 变分基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分中的一些基本概念。
函数是指把数域上的任意数 $x$ 映射到数域上的一个确定数$y$ 的规则，而变分则是指沿着某个函数进行微小的变化，并据此研究该函数的性质变化。
我们将一个函数 $y=f(x)$ 的变分记作$y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其中 $\varepsilon$ 是一个无穷小量，$g(x)$ 是一个任意函数。
1.2 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一种重要方程，它的本质是通过对泛函进行变分求解，求出泛函的最值或最优化解。
泛函是一类函数，它映射函数到实数集合，例如以 $y=f(x)$ 表示的函数 $f$，它的变分为 $y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其泛函表示为：$$J[f]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx$$其中 $L(x,y,y')$ 是 Lagrange 函数，$y'=\frac{dy}{dx}$。
对该泛函进行变分：$$\delta J=\delta\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx=\int_{a}^{b}\frac{\partialL}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'dx $$用分部积分法将第二项转换为：$$\delta J=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\deltaydx+\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y\right)\biggr|_{a}^{b} $$由于 $\delta y(x)$ 在 $x\in[a,b]$ 的端点 $a$ 和 $b$ 处任意，因此求解泛函的变分问题可以转化为求解边界条件。
第七章 数学物理方程的变分原理
P(3)
其中T ： ={( x, y ) | x, y C1[ s1 , s2 ], x( s1 ) x( s2 ), y ( s1 ) y ( s2 )}.
解：设曲线 x x( s ) 的参数方程为 y y ( s )
S D
y
s1 s s2 ,
且满足(1)x( s1 ) x( s2 ), y ( s1 ) y ( s2 ), (2) 曲线周长为定值l , 即
s
0
s2
1
x1
x2
x
dx 2 dy 2 ( ) ( ) ds l. ds ds 条件
a b x0 x0
| x x0 | , others
C0 [ a, b]
uv0 ( x)dx 0 矛盾.
由变分法的基本引理，知 F d F ( ' ) 0 Euler方程 y dx y 这就是函数 y 在集合 K 内使泛函 J ( y ) 达到最小的 必要条件，通常称为Euler方程. 注：10 . 若函数 y f ( x) 在某一区间上可导，则 f ( x) 在 x 处的微分为 dy f ' ( x)dx f ' ( x)x f ( x x) f ( x) f ( x x) f ( x) lim x lim 0 0 x
b ' y K , J ( y ) F ( x , y , y ) dx , 1 a 求 y , 使 得 J ( y ) J ( w ), w K 1 ,
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
数学物理方程第七章变分法{1}
考虑含参数 的函数族
y ( x) y0 ( x) ( x)
y ( x) y0 ( x) ( x)
J ( y) F ( x, y, y ' )dx （1.1）
Fy ( x, y, y ' ) Fy' x ( x, y, y ' ) Fy' y ( x, y, y ' ) y ' Fy' y' ( x, y, y ' ) y '' 0 （1.6）
若 F ( x, y, y ' ) 呈特殊形式，则 Euler 方程（1.6）可简化。当
F F ( x, y )
则 ( x) 在 [a, b] 上两次连续可微，且 (a) (b) 0
由假设，应有 但事实上
b a
b
a
M ( x) ( x)dx 0
2 1
M ( x) ( x)dx ( x 1 )4 ( x 2 )4 M ( x)dx 0
这就发生矛盾，表明存在 x0 使 M ( x0 ) 0 的假设是错误的。
i 0 a x b
k
d0 ( f , g ) max f ( x) g ( x) , d1 ( f , g ) max f ( x) g ( x) max f ( x) g ( x) ,
a xb a xb a xb
假设泛函 J ( y ) 的定义域为 D( J ) C[ a, b] ，如果对于 y0 D( J ) ，存在 0 ，使 得当 y D( J ) 且 d0 ( y, y0 ) 时，有 J ( y0 ) J ( y) ，则称泛函 J ( y ) 在 y0 ( x) 处取强 极小值，也称 y0 ( x) 是泛函 J ( y ) 的强极小函数。
经典物理学中的变分问题
经典物理学中的变分问题变分问题是数学中的一个重要分支，也是物理学中的一个基础性问题。
它通过一个函数的最大值或最小值来描述物理系统的性质。
变分问题的研究直接涉及到很多领域的问题，包括力学、电磁学、热力学等等。
本文将重点讨论经典物理学中的变分问题，介绍变分问题的基本定义和求解方法，同时介绍变分问题在物理学中的应用。
1. 变分问题的基本定义变分问题是一个在函数空间内的极值问题，它是一种求解特定函数的变化情况和性质的方法。
通常情况下，变分问题描述的是给定函数的最小值或最大值。
它的基本形式为：Minimize J(y) = ∫ a b f(x, y, y') dx其中，f(x, y, y')是与函数y及其导数有关的函数，a、b是区间端点。
变分问题不仅是数学中的一个重要问题，同时也是物理学中的一个基础性问题。
物理学中的变分问题主要源于拉格朗日力学和哈密顿力学，通过解决变分问题可以得到物理系统的规律和性质。
2. 变分问题的求解方法为了求解变分问题，需要采用数学中的一些工具和方法。
下面是求解变分问题的一些基本方法：2.1 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是用来求解变分问题的一种重要方法。
它的基本形式为：∂f/∂y- d/dx (∂f/∂y')=0其中 f(x, y, y')是拉格朗日量，y(x)是定义在区间[a,b]上的未知函数。
欧拉-拉格朗日方程的解是y(x)的一条光滑曲线。
2.2 经典极小化方法经典极小化方法是另一种用来求解变分问题的方法，它的基本思想是极小化给定函数J(y)。
此方法的优点是可以求解非线性、高阶和多维问题，但缺点是计算量较大。
2.3 线性变分法线性变分法是一种求解变分问题的特殊方法，仅适用于一些简单的线性问题。
线性变分法的基本思想是将变分问题转化为一个线性问题，然后再求解它。
3. 变分问题在物理学中的应用变分问题在物理学中有广泛的应用。
下面介绍几个典型的例子：3.1 悬链线问题悬链线问题是最早的变分问题之一。
数学物理中的变分方法
数学物理中的变分方法在数学和物理学中，变分方法是一种重要的数学工具，用于研究函数的极值问题。
它的基本思想是将问题转化为求解某个泛函的极值，通过变分运算来找到泛函的极值条件。
变分方法在许多领域中都具有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、力学以及最优控制等。
本文将介绍数学物理中的变分方法的基本原理和应用。
1. 变分运算的基本概念变分运算是对函数进行微小改变，并计算这种改变对泛函的变化量。
我们考虑一个函数f(x)，其中x是自变量。
对函数f进行微小变化，可以表示为f(x+δx)，其中δx是一个无穷小量。
定义变分算子为∂/∂x，它表示对函数f进行微小的变化。
通过计算变分算子作用在函数f上的结果，可以得到泛函的变化量。
2. 泛函的极值条件对于一个泛函J[f]，我们希望找到函数f的一个极值，使得J[f]取得最小或最大值。
为了得到这个极值条件，我们需要求解变分方程。
变分方程的一般形式为：δJ[f] = 0如果函数f满足这个方程，那么它就是泛函J的一个极值。
3. 单变量变分法单变量变分法是变分方法中最简单的一种形式。
它适用于只有一个自变量的函数。
假设我们有一个泛函J[f]，其中f=f(x)，x是自变量。
首先，我们引入辅助函数g(x)，其中g(x)在与f(x)相等的区域内任意变化，在其他区域内为零。
然后，考虑泛函J的一个线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)其中ε是一个无穷小量。
通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]现在，我们需要将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x)。
4. 多变量变分法多变量变分法适用于有多个自变量的函数。
假设我们有一个函数f=f(x1,x2,...,xn)，其中xi是自变量。
类似于单变量情况，我们引入辅助函数g(xi)，并考虑泛函J的线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)同样地，通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]类似于单变量情况，我们将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x1,x2,...,xn)。
变分法与变分方程的基本概念与应用
变分法与变分方程的基本概念与应用变分法和变分方程是数学中重要的概念和工具，在科学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍变分法和变分方程的基本概念，探讨其原理和应用，并列举一些实际问题中的案例。
一、变分法的基本概念1.1 变分的定义变分是函数对输入参数微小改变的响应，用于描述函数在其定义域上的变化情况。
1.2 变分的原理变分原理是变分法的核心思想，它基于极值原理，寻找函数使得变分为零的条件。
也就是说，通过变分法可以找到使得泛函（函数之间的映射）取得极值（最大值或最小值）的函数。
1.3 变分的求解变分的求解可以通过欧拉方程来实现，欧拉方程是变分法的求解工具。
通过求解欧拉方程，可以得到函数的极值条件。
二、变分方程的基本概念2.1 变分方程的定义变分方程是函数的导数方程，其中函数可以是标量函数、矢量函数或函数的集合。
变分方程描述了泛函的最小化问题，即在给定的约束下，找到使得泛函取得极值的函数。
2.2 变分方程的原理变分方程的原理是利用变分法求解方程，通过求解约束条件下使得泛函取得极值的函数，可以得到变分方程的解。
2.3 变分方程的求解变分方程的求解需要将方程转化成一个变分问题，然后使用变分法进行求解。
具体求解方法与问题的性质和约束条件有关。
三、变分法与变分方程的应用3.1 物理学中的应用在物理学中，变分法和变分方程有着广泛的应用。
例如，在经典力学中，变分法被用来推导和求解拉格朗日方程，描述物体在给定约束下的最小作用量原理。
此外，变分法还应用于量子力学、电磁学和热力学等领域。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法和变分方程被广泛应用于结构力学、电子学和材料科学等领域。
例如，在结构力学中，变分法可以用于求解复杂结构下的应力和位移分布，以及优化设计问题。
3.3 经济学中的应用在经济学领域，变分法和变分方程也有一些应用。
例如，在经济学中，变分法可以用来优化生产函数和成本函数，以及求解最优控制问题。
四、变分法与变分方程的案例分析4.1 案例一：自然界的最小作用量原理自然界的很多现象都可以通过最小作用量原理进行解释。
数学物理方程的变分原理
A
B
0
l
xx
u
根据力的平衡条件，u( x)满足微分方程 Tu f ( x), 0 x l (2.1)
和边值条件
u(0) 0, u(l) 0 T是弦的张力。
(2.2)
这样，求弦的平衡位置就归结为解两点边值问题.
另一方面，由力学“极小位能原理”弦的平衡位置 u* u*( x)是满足边值条件的一切可能位置中，使总势能 最小。
变分问题：求泛函极值的问题
1.2 二次函数的极值（Rn中的变分问题）
考虑n个变量的二次函数 :
J (x) J (x1, x2,
xn )
1 2
n
aij xi x j
i, j1
n i 1
bi xi
(1.1)
1 ( Ax, x) (b, x) 2
其中 A (aij )nn,aij aji , x (x1......xn )T ,b (b1......bn)T
例1 试建立与两点边值问题
Lu d ( p du ) qu f , x (a,b) (2.1)
dx dx
u(a) 0,u(b) 0
(2.2)
(, )为R n中的内积。
设二次泛函J 在 x0 达到极小，则对于一切
x Rn , x 0, R
J (x) 1 (Ax, x) (b, x) 2
有 ( ) J ( x0 x) J ( x0 ) (0) . 若A对称，
( )
J ( x0
x)
1 2
( Ax0
Ax(0) ( Ax0 b, x) 0，对任意x Rn
特别的取x Ax0 b,则得Ax0 b 0 反之,若 Ax0 b 0，显然有
( Ax0 b, x) 0，对任意x Rn
变分原理及其应用
变分原理及其应用在物理学和工程学中，变分原理被广泛应用于探究自然界和工程问题中涉及的基本定律和最优解。
变分法是一种将问题转化为“寻找使某个变量极小或极大”的数学方法，通过求解变分以获得问题的解决方案。
变分原理基础变分原理最早由伯努利家族的哥哥丹尼尔·伯努利在18世纪提出，也是最早应用变分法的学者之一。
变分原理的基本思想是将一个问题的求解转化为求解特定的函数。
例如，对于固体力学问题，我们希望求解固体的应力分布，也就是求解固体中任意两点间的内应力。
这种情况下，通过变分法，我们可以将问题简化为求解某个应变能的变分，从而推导出最小能量原理。
变分的意义在于确定使所求函数取得最值的“变量”，通过对变量的操作来得到一组动态的函数。
变分也可以被看作一种一阶微分运算。
具有不同但至关重要的现实意义的两个经典例子是勒让德原理和哈密顿-雅可比原理。
勒让德原理勒让德原理是力学的一个基本原理。
勒让德原理的本质是最小化能量的原理（最小作用量原理），它体现了自然界中存在的最小基本作用量。
对于力学问题，勒让德原理是在保证物理系统动力学表现为微扰线性的情况下，以引入变分运算来表述一个完整的力学原理。
在使用勒让德原理进行力学系统建模时，我们需要：首先确定系统的能量，系统数学表示为拉格朗日量；其次，使用变分法求解系统拉格朗日量的变分，从而确定系统遵循的运动方程；最后，利用运动方程分析系统的行为。
哈密顿-雅可比原理哈密顿-雅可比原理是关于机械运动理论的一个基本原理。
该原理强调机械作用与物质粒子的动力学特性和几何特性之间的紧密联系。
在哈密顿-雅可比原理之中，能量被视为基本概念，被公认为是一个机械运动的根本特性，机械运动使能量的变化具有一个特定的意义，这一变化往往是非线性的。
应用实例通过变分原理的应用，人们已经在许多物理学和工程学的领域中发现了许多有趣的现象。
以下是一些具体细节：建筑工程建筑工程中可以使用变分方法来寻求最小表面积问题的解决方案。
变分法及其应用
变分法及其应用1．变分问题2．泛函与泛函的极值3．变分基本定理4．无约束泛函的极值问题5．带约束泛函的极值问题6．变分法在最优控制中的应用1. 变分问题变分法是17世纪末开始发展起来的一个数学分支。
微积分研究了函数的极值。
变分法是为了研究泛函的极值问题而产生的。
而泛函的极值问题在力学、最优控制等领域经常遇到。
为了解变分法所研究问题的特点，先介绍几个例子。
例 1.1（最速降线问题）。
设一质量为m 的质点，在重力作用下，从定点A 沿曲线下滑到定点B ，试确定一条曲线，使质点下滑的时间最短。
假定（1）A ，B 两点不在同一铅直线上，（2）质点在A 点处的初速为0v ，（3）不计曲线上的摩擦力和周围介质的阻力。
取坐标系xOy ，A 点的坐标为00(,)x y ， B 点的坐标为11(,)x y ，过A ，B 两点任取一条 光滑曲线l ，设其方程为01:(),l y y x x x x =≤≤。
若质点从点A 沿曲线l 下滑到任意一点(,)P x y 处的速率为v ，由能量守恒定律可得22001()()2m v v mg y y -=-， 其中g 为重力加速度。
记 图1.1 最速降线2002v y gα=-， 则v =若s 表示弧 AP 的长度，由微分学知识，dsv dt=，并且ds =，则ds dt v ==。
沿曲线l 从A 点下滑到B 点所需时间为1xTldsT dtv===⎰⎰⎰。
（1.1）对于过A，B两点的每一条光滑曲线l，由积分（1.1）都有唯一确定的T值与之对应，即T是依赖于曲线()y y x=的，不妨记[]T T y=。
如果记集合1010011{()|()[,],(),()}D y x y x C x x y x y y x y=∈==，则最速降线问题归结为在集合D上求泛函[]T T y=的极小值问题，即求()y x D∈，使得1minxx=⎰。
这个问题由约翰.贝努利（Johann Bernoulli）1696年提出并研究。
变分法及其应用 物理、力学、工程中的经典建模
变分法及其应用物理、力学、工程中的经典建模变分法是一种在数学和物理学中常用的方法，用于求解包含未知函数的泛函的极值问题。
所谓泛函，指的是将函数映射到实数的函数。
在物理、力学和工程中，变分法的经典建模被广泛应用于求解最优控制、最小作用量原理、波动方程等问题。
变分法最初由勒让德提出，他用其来导出了经典力学中的最小作用量原理。
最小作用量原理认为系统的运动路径是让作用量（通常为拉格朗日函数与时间的积分）取得极小值的路径。
通过应用变分法，我们可以将最小作用量原理转化为一个变分问题，从而求解出系统的运动轨迹。
在物理学中，变分法还可以用于求解波动方程。
波动方程描述了波动在空间和时间中的传播规律，其解可以用变分法得到。
假设波的传播过程可以用某个物理量的波函数表示，通过将该波函数代入波动方程，然后应用变分法，我们可以求解出波函数的形式。
在力学中，变分法被用于求解最优控制问题。
最优控制是研究如何通过调节外界控制使得系统达到最优性能的问题。
通常我们希望系统在满足一些约束条件的情况下，使得某个性能指标最大化或最小化。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个变分问题，从而求解出最优的控制策略。
工程中的经典建模也经常使用变分法。
例如，在结构力学中，我们希望找到一种材料的形状和尺寸，使得结构在给定的载荷下具有最小的能量耗散。
通过应用变分法，我们可以将这个问题转化为一个变分问题，然后求解出最优的结构形状和尺寸。
除了上述应用，变分法还可以用于求解其他的极值问题，如最小曲面原理、变分不等式和变分最佳估计等。
变分法在实际应用中具有广泛的适用性和灵活性，可以用于多种不同的问题求解。
总结起来，变分法是一种在数学和物理学中常用的方法，用于求解包含未知函数的泛函的极值问题。
在物理、力学和工程中的经典建模中，变分法被广泛应用于求解最优控制、最小作用量原理、波动方程和结构力学等问题。
通过应用变分法，我们可以将这些问题转化为变分问题，并求解出其极值解。
变分法在数学物理问题中的应用
变分法在数学物理问题中的应用在混沌动力系统中，由于系统的演化对初值非常敏感，想要预言其动力学量是不可能的，有意义的是对这个系统的一些平均量进行描述。
在这些非线性的动力系统中，传统的方法往往会失效。
本论文首先介绍一种计算动力学平均的新方法：周期轨道理论。
在此理论中，周期轨道由于有着拓扑不变性等特点，起着核心的作用。
系统物理量的平均值可以通过一些短的不稳定周期轨道来计算。
接着我们介绍了该理论在时空混沌系统Kuramoto-Sivashinsky方程(KSe)上的应用，通过多点打靶法计算出了该系统所有短的周期轨道。
为了克服在高维系统中寻找周期轨道数值方法的困难，我们介绍了一种有效寻找周期轨道的新方法：变分法。
应用变分法，本文研究了其在寻找混沌系统相空间起组织作用的重要轨道，如周期轨道，同宿异宿轨道的重要应用。
我们首先以动力系统的观点研究了对静态KSe的周期轨道进行系统地分类。
我们找出了L=43.5时KSe重要的不动点，这些不动点对动力系统起到了组织作用。
当固定的积分常数取c=0.40194时，我们以静态KSe四条最简单的周期轨道作为组成单元，在此基础上构建寻找更长周期轨道的初始化条件，随后我们建立了符号动力学，以拓扑的方式分类所有的短周期轨道。
我们也适当的选取了一个庞加莱截面，得到了这些周期轨道在截面上的回归映射，从而显示出了动力系统的复杂性。
我们研究了四条基本轨道的分岔情况，为在一定周期范围内寻找轨道提供了追溯的途径。
接着我们提出了一种变分法用来寻找非线性动力系统中的同宿轨道和异宿轨道，甚至是具有螺旋形状的连接轨道。
通过对一条连接轨道做出初始猜想，圈演化方程将把这条猜想的连接轨道逐渐修正成为系统真实的连接轨道。
对于寻找结构简单的连接轨道，该方法一个巨大的优势就在于，我们甚至不需要做线性化计算。
我们也举了一些典型的非线性动力系统中寻找同宿异宿轨道的例子。
特别要指出的是，静态KSe的一些异宿轨道也可以通过变分法计算出来，这些轨道显示出了有趣的拓扑结构，与该系统对应的周期轨道有着紧密的联系。
变分法在物理和数学中的应用
变分法在物理和数学中的应用变分法是数学和物理学中的一个重要理论工具，它的应用范围广泛，包含了各个领域。
变分法本身是一种优化方法，它通过寻找某个函数的最值来解决问题。
在数学中，变分法主要是在微积分和函数分析中应用，而在物理学中，变分法在最小作用量原理和哈密顿原理中有着广泛的应用。
本文将介绍变分法在物理和数学中的应用，以及它们的实际意义。
一、变分法在微积分中的应用在微积分中，变分法通常被用来求极值问题。
变分法首先会定义一个特定的函数，例如，f(x)=x²，然后找到它的变分，即f(x+ε)，ε为无穷小量。
如果函数的变分小于等于0，说明它是一个函数的极小值，反之则是函数的极大值。
例如，在计算微积分中的斯蒂尔切斯积分时，就需要使用变分法。
二、变分法在函数分析中的应用在函数分析中，变分法通常被用来计算最小化问题。
最小化问题主要是指将一个函数的值尽可能地减小到一个最小值，而变分法可以帮助我们找到函数的最小值。
例如，在偏微分方程和泛函分析中，变分法都有着广泛的应用。
三、变分法在物理学中的应用在物理学中，变分法的应用主要体现在最小作用量原理和哈密顿原理中。
最小作用量原理是物理学中的一个基本原理，它通过寻找某个力学系统的动力学路径来找到力学系统的实际路径。
而哈密顿原理则是描述力学系统中能量守恒的基本原理。
最小作用量原理最小作用量原理是物理学中的一个基本原理，它指出，在一个力学系统中，它的实际动力学路径是一条使作用量最小的路径。
那么，什么是作用量呢？简单地说，作用量就是系统在某个时间段内所采取的路径对系统的影响。
作用量通常用S来表示，即S=∫Ldt，其中L表示系统的拉格朗日量。
因此，最小作用量原理的本质就是通过寻找拉格朗日量中的最小值来寻找系统的实际动力学路径。
哈密顿原理哈密顿原理是物理学中另一个重要的原理，它描述了力学系统中能量守恒的基本原理。
哈密顿原理通常是以哈密顿量的形式表示，即H=p·v-L，其中p是系统的动量，v是系统的速度，L是系统的拉格朗日量。
变分法求解方程步骤
变分法求解方程步骤
在数学和物理学中，变分法是一种重要的数学工具，用于求解
微分方程和极值问题。
在本文中，我们将介绍使用变分法求解方程
的基本步骤。
步骤一，建立泛函。
首先，我们需要将要求解的方程转化为一个泛函，即一个函数
的积分。
通常情况下，我们将方程中的未知函数表示为一个变量，
然后构建一个与该未知函数相关的积分表达式。
步骤二，引入变分。
接下来，我们引入一个新的函数，称为变分函数，它与原始未
知函数有一定的关系。
我们将原始未知函数表示为变分函数加上一
个小的扰动，然后利用这个扰动来构建一个新的泛函。
步骤三，计算变分。
通过计算变分函数对应的泛函的变分，即对变分函数进行微分，
然后代入原始方程，得到一个新的方程，称为欧拉-拉格朗日方程。
步骤四，解欧拉-拉格朗日方程。
最后，我们解欧拉-拉格朗日方程，得到原始未知函数的解。
这通常需要一些数学技巧和方法，如积分、微分、边界条件等。
总结。
使用变分法求解方程的步骤包括建立泛函、引入变分、计算变分和解欧拉-拉格朗日方程。
这种方法在物理学和工程学中有着广泛的应用，能够帮助我们求解复杂的微分方程和极值问题。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
变分法
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
适合物理专业的变分法教材
适合物理专业的变分法教材变分法是物理学中常用的一种数学工具，它广泛应用于各个物理学领域，尤其是在传统和现代力学以及场论中。
在这篇文章中，我们将一步步地介绍变分法的基本概念和使用方法。
首先，让我们从一个基本问题开始，即如何利用变分法求解一个简单的极值问题。
假设我们有一个函数f(x)，我们希望找到使得f(x)取得极小值的函数x。
为了做到这一点，我们可以通过对函数f(x)进行微小的变化，来确定x的变化对应的f(x)的变化。
这种微小的变化可以使用符号δ来表示。
接下来，我们需要确定f(x+δ)和f(x)之间的关系。
根据泰勒展开定理，我们可以将f(x+δ)在x 处展开成一个幂级数，并忽略高阶无穷小量。
这样，我们可以得到f(x+δ)的近似表达式：f(x+δ)≈f(x)+δf'(x)，其中f'(x)表示f(x)对x的导数。
然后，我们需要定义一个度量函数，用来评估f(x)的变化对应的f(x+δ)的变化。
这个度量函数通常称为泛函，并用F表示。
泛函通常取决于f(x)和f'(x)。
在这个例子中，我们可以选择F[f]=∫[a,b]L(x,f(x),f'(x))dx作为我们的泛函。
这里，L(x,f(x),f'(x))是一个关于x、f(x)和f'(x)的函数，它通常称为拉格朗日量。
接下来，我们的目标是找到一个函数f(x)，使得泛函F[f]取得极小值。
为了实现这一目标，我们可以考虑对f(x)进行微小的变化，即f(x+δ)，并计算泛函F[f+δ]−F[f]。
通过将这个表达式展开并忽略高阶无穷小量，我们可以得到一个近似的表达式：F[f+δ]−F[f]≈∫[a,b][∂L/∂fδ+∂L/∂f'δ'] dx，其中δ'=d(δ)/dx。
现在，我们可以利用分部积分法将上述表达式进行重写。
通过将表达式中的导数部分进行分部积分，并考虑边界条件，我们可以得到F[f+δ]−F[f]≈∫[a,b][(∂L/∂f−d/dx(∂L/∂f'))δ+∂L/∂f'δ']dx。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
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在数学物理中能够精确求解的边值问题或固有值问题并不多。因此，在实际工作中，经 常采用各种近似的方法来解决具体的问题，变分法就是其中最有力的方法之一。所谓变分法 就是求函数极值的方法，下面先介绍什么是泛函以及泛函极值，然后再简要介绍求泛函极值 的方法以及它的一些应用。
7．1 泛函和泛函极值
∫ J[ y(x)] = x1 F (x, y, y′)dx x0
（7.1.3）
式中，被积函数 F (x, y, y′) 称为核。
在实际工作中，为了完成某项任务，我们首先要分析实际问题特殊现象与一般规律 之间的关系，然后建立数学上的表达式。如求连接两个定点的曲线段中弧长最短的曲线
方程 y(x) ，即求自变量 y = y* ，使泛函
1
=C
2gy 1+ y'2
y(1 +
y′2) =
1 2gC 2
= 2r
引入变量代换 x = x(θ ) ，并设
则由式（7.1.14）可得
y′ = cot θ 2
（7.1.12） （7.1.13） （7.1.14）
上式对θ 求导，得
即
所以
y = 2r sin 2 θ = r(1− cosθ ) 2
y′ dx = r sinθ dθ
J[ y(x) + εϕ(x)] ε =0
=
0
由于
J[
y(x)
+
εϕ ( x)]
=
J[ y(x)]
+
∫b ∂F [ a ∂y
εϕ ( x)
+
∂F ∂y′
εϕ ′(x)]dx
则有
∫b ∂F [
εϕ ( x)
+
∂F
εϕ ′(x)]dx
=
0
a ∂y
∂y ′
（7.1.10）
以 ε 乘式（7.1.10），且
δy(x) = εϕ(x)
r(1
−
cosθ
)
7.2 变分法在固有值问题中的应用
本节我们介绍利用变分法解决固有值问题。在第 2 章里我们学过，所谓固有值问题就是在一 定的边界条件下，求解含有参数的微分方程。为了表达上的方便，将需要求解的常微分方程 写为
L[ y(x)] = λy(x)
(7.2.1)
其中 L 是一个作用在函数 y(x) 上的线性微分算符，假定所讨论的固有值问题是劝函数
δy(x) = εϕ(x)
式中， ε 是任意小的实数；ϕ(x) 是充分光滑的任意函数，并且满足条件
ϕ(a) = 0, ϕ(b) = 0
这样，函数
y(x) + εϕ(x)
满足边界条件式（7.1.5）。因此，泛函
J[ y(x) + εϕ(x)]
当 ε = 0 时取最小值 J[ y(x)] ，从而有
d dε
y(x0 ) = y0 , y(x1) = y1
的一切可微函数 y(x) 的集合，这里的每一个元素对应着 xy 平面上由点 P0 (x0 , y0 ) 到点
P1(x1, y1) 的一条光滑曲线 y = y(x) 。用 L 表示曲线上 P0 P1 段的弧长，则
∫ L = x1 1+ y′2 dx x0
大（小）值、取极值的必要条件是 dy dx
x= x0
= 0 。下面我们仿照函数微分的概念来定义泛
函的变分概念，进而导出泛函极值存在的必要条件。
设 y, y0 是集合 C 的元素，称 δy = y − y0 为函数 y 在 y0 处的变分。
这里的 δy 是 x 的函数，它与 ∆y 的区别在于：变分 δy 反映的是整个函数的改变，
式（7.1.11）称为欧拉－拉格朗日方程，简记为 E-L 方程，这就是泛函 J[ y(x)] 有极限
的必要条件，也就是说， y = y(x) 使泛函式（7.1.6）取极小值，则 y = y(x) 一定使欧
拉－拉格朗日方程式（7.1.11）满足边界条件式（7.1.5）的解。
我们把满足 E-L 方程边值问题的解称为驻留函数，对应的积分曲线称为驻留曲线。 严格地讲，E-L 方程边值问题的解满足变分问题的必要条件，因此它是否是极值函数， 还需作进一步的判别。在实际问题中，极值的存在性通常给出问题时己经肯定了，这样，
件
y(0) = 0, y( p) = q
的所有连续函数 y(x) 中，求出一个函数 y* 使泛函式（7.1.4）取最小值。
对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称 为极值函数。
在微分学中，求函数 y = y(x) 的 极值是求自变量 x 的值，当 x 取这些值时， y 取极
而 ∆y 表示的是同一个函数 y(x) 因 x 的不同值而产生的差异。在本书，我们总是假定
y(x) 和 F (x, y, y′) 都是充分光滑的，且 y(x) 在两个端点处固定，即
y(a) = y1, y(b) = y2
式中， y1, y2 是两个常数。
下面我们考虑泛函
∫ J[ y(x)] = b F (x, y, y′)dx a
L[ϕn (x)] = λnϕn (x)
这样，将线性微分算符 L ，同时作用在式（7.2.5）两侧，则
∑ ∑ L[ y(x)] = L[ Cnϕn (x)] = L[Cnϕn (x)]
n
n
以 y(x) 乘上式，同时作积分并记为 J[ y(x)] ，即
（7.2.7） （7.2.8） （7.2.9）
J[ y(x)] = ∫ y(x)L[ y(x)]dx
m
∫ ∑ ∑ J[ y(x)] = Cmϕm (x) ⋅ L[ Cnϕn (x)] n
∑∑ ∫ =
CnCm ϕn (x)L[ϕn (x)]dx
mn
∑∑ ∫ =
CnCmλn ϕm (x)ϕn (x)dx
我们以前研究的函数是指这样一种现象，对于数集 A 中的任一个元素 z ，数集 B 中存在
一个元素 w 与之对应，我们就说 w 是 z 的一个函数，记为 w(z) 。在自然现象中，不仅存在
这样的数与数的对应，还存在着其他种种性质不同的对应关系。我们看下面的问题。
设 C 为区间[x0 , x1] 上满足条件
y2 x2
− −
y1 x1
(x − x1) +
y1
∫ J[ y(x)] = p 1+ y′2 dx 0 2gy
且
y(0) = 0, y( p) = q
这样
F (x, y, y') = F( y, y') = 1+ y′2 2gy
其 E-L 方程为
由于 所以有
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
当函数 y(x) 有微小改变且变为 y(x) + δy(x) 时，利用
（7.1.5） （7.1.6）
上式可推出
F
(
x,
y
+
δy,
y′
+
δy′)
=
F
( x,
y,
y′)
+
∂F ∂y
δy
+
∂F ∂y′
δy′
∫ J ( y + ∆y) − J ( y) =
b
[
∂F
δy
+
∂F
δy′]dx
a ∂y ∂y′
上式称为 J ( y) 的变分，记为δJ ( y) ，即
J[ y(x)] 是 y(x) 的泛函，这样我们就引出一系列重要结论。
（7.2.10）
引理 1 泛函式（7.2.10）的极小值等于相应的固有值问题的最小固有值 λ1 ，而使
J[ y(x)] 取这一极小值的极值函数就是相应于固有值 λ1 所对应的固有函数ϕ1(x) 。
证明 将展开式（7.2.5）代入泛函式（7.2.10），则
当一个实际现象已知其有唯一的极值存在，而这时也只得到一个驻留函数，则可以判定
这个驻留函数就是极值函数。
下面我们来解决本章开始部分的两个例题。
例 1 最短距离问题
解
∫ J[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx x0
因为 F = 1− y′2 ，所以
E-L 方程为 则有
∂F = 0, ∂F = y′
∫ δJ ( y) =
b
[
∂F
δy
+
∂F
δy′]dx
a ∂y ∂y′
（7.1.7）
下面我们证明，泛函 J ( y) 取极值的必要条件是
δJ ( y) = 0
或者
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
=
0
设 y = y(x) 使泛函 J ( y) 取极值，取函数 y(x) 变分的特殊形式为
（7.1.8） （7.1.9）
=
0
d [F ( y, y′) − y′ ∂F ]
dx
∂y′
=
∂F ∂y
y′ +
∂F ∂y′
y′′
−
y′′
∂F ∂y′
−
y′
d dx
⎜⎜⎝⎛ −
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
=
0
F(
y,
y′)
−
∂F ∂y′
=
C
将（7.1.2）代入式（7.1.13）
1+ y′2 − y'
y'
=C
2gy
2gy 1+ y'2
由此得
素 J 与之对应，称 J 是 y(x) 的泛函数，记作
J = J[ y(x)]
（7.1.2）