数学物理方程第七章_变分法及其应用

而 ∆y 表示的是同一个函数 y(x) 因 x 的不同值而产生的差异。在本书，我们总是假定
y(x) 和 F (x, y, y′) 都是充分光滑的，且 y(x) 在两个端点处固定，即
y(a) = y1, y(b) = y2
式中， y1, y2 是两个常数。
下面我们考虑泛函
∫ J[ y(x)] = b F (x, y, y′)dx a
cot θ 2
dx dθ
=
r sinθ
dx = 2r sin 2 θ = r(1− cosθ )
dθ
2
x = r(θ − sinθ ) + x0
根据曲线过原点 (0,0) 及 ( p, q) 可求出 x0 = 0 及 r ，这样，所求曲线为
是旋轮线的一段。
⎧x = r(θ − sinθ )
⎨ ⎩
y
=
dt = 1+ y′2 dx = 1+ y′2 dx
v
2gy
由于点 O, A 的横坐标分别是 0, p ，则质点 m 从 O 点运动到 A 点所需时间为
∫ t = J ( y) = p 1 + y′2 dx
0 2gy
（7.1.4）
这样，质点由 O 点运动到 A 点所需时间 t 是 y(x) 的函数，最速降线问题就是满足边界条
则有
∫ δJ ( y) =
b
[
∂F
εϕ
(x)
+
∂F
εϕ
′( x)]dx
a ∂y
∂y′
∫=
b
[
∂F
δy
+
∂F
δy′]dy
=
0
a ∂y ∂y′
应用分部积分，我们作进一步的分析，有
∫ 0 =
b
[
∂F
ϕ
(x)
+
∂F
ϕ
′(
x)]dx
a ∂y
∂y′
∫ ∫ = b∂F ϕ(x)dx + b∂F ϕ′(x)dx
a ∂y
y2 x2
− −
y1 x1
(x − x1) +
y1
∫ J[ y(x)] = p 1+ y′2 dx 0 2gy
且
y(0) = 0, y( p) = q
这样
F (x, y, y') = F( y, y') = 1+ y′2 2gy
其 E-L 方程为
由于 所以有
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
y(x0 ) = y0 , y(x1) = y1
的一切可微函数 y(x) 的集合，这里的每一个元素对应着 xy 平面上由点 P0 (x0 , y0 ) 到点
P1(x1, y1) 的一条光滑曲线 y = y(x) 。用 L 表示曲线上 P0 P1 段的弧长，则
∫ L = x1 1+ y′2 dx x0
∫ J[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx x0
取最小值。这就是所说的泛函极值问
题。
下面我们研究一下著名的最速降
O
x
线问题（捷线问题）：设 O, A 是高度
不同，且不在同一铅垂线上的两定点，
如果不计摩擦和空气阻力，一质点 m
y
在重力作用下从 O 点沿一曲线降落至
A 点，问曲线呈何种形状时，质点降
当一个实际现象已知其有唯一的极值存在，而这时也只得到一个驻留函数，则可以判定
这个驻留函数就是极值函数。
下面我们来解决本章开始部分的两个例题。
例 1 最短距离问题
解
∫ J[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx x0
因为 F = 1− y′2 ，所以
E-L 方程为 则有
∂F = 0, ∂F = y′
大（小）值、取极值的必要条件是 dy dx
x= x0
= 0 。下面我们仿照函数微分的概念来定义泛
函的变分概念，进而导出泛函极值存在的必要条件。
设 y, y0 是集合 C 的元素，称 δy = y − y0 为函数 y 在 y0 处的变分。
这里的 δy 是 x 的函数，它与 ∆y 的区别在于：变分 δy 反映的是整个函数的改变，
第 7 章 变分法及其应用
在数学物理中能够精确求解的边值问题或固有值问题并不多。因此，在实际工作中，经 常采用各种近似的方法来解决具体的问题，变分法就是其中最有力的方法之一。所谓变分法 就是求函数极值的方法，下面先介绍什么是泛函以及泛函极值，然后再简要介绍求泛函极值 的方法以及它的一些应用。
7．1 泛函和泛函极值
=
0
d [F ( y, y′) − y′ ∂F ]
dx
∂y′
=
∂F ∂y
y′ +
∂F ∂y′
y′′
−
y′′
∂F ∂y′
−
y′
d dx
⎜⎜⎝⎛ −
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
=
0
Hale Waihona Puke BaiduF(
y,
y′)
−
∂F ∂y′
=
C
将（7.1.2）代入式（7.1.13）
1+ y′2 − y'
y'
=C
2gy
2gy 1+ y'2
由此得
当函数 y(x) 有微小改变且变为 y(x) + δy(x) 时，利用
（7.1.5） （7.1.6）
上式可推出
F
(
x,
y
+
δy,
y′
+
δy′)
=
F
( x,
y,
y′)
+
∂F ∂y
δy
+
∂F ∂y′
δy′
∫ J ( y + ∆y) − J ( y) =
b
[
∂F
δy
+
∂F
δy′]dx
a ∂y ∂y′
上式称为 J ( y) 的变分，记为δJ ( y) ，即
m
∫ ∑ ∑ J[ y(x)] = Cmϕm (x) ⋅ L[ Cnϕn (x)] n
∑∑ ∫ =
CnCm ϕn (x)L[ϕn (x)]dx
mn
∑∑ ∫ =
CnCmλn ϕm (x)ϕn (x)dx
∫ δJ ( y) =
b
[
∂F
δy
+
∂F
δy′]dx
a ∂y ∂y′
（7.1.7）
下面我们证明，泛函 J ( y) 取极值的必要条件是
δJ ( y) = 0
或者
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
=
0
设 y = y(x) 使泛函 J ( y) 取极值，取函数 y(x) 变分的特殊形式为
（7.1.8） （7.1.9）
J[ y(x) + εϕ(x)] ε =0
=
0
由于
J[
y(x)
+
εϕ ( x)]
=
J[ y(x)]
+
∫b ∂F [ a ∂y
εϕ ( x)
+
∂F ∂y′
εϕ ′(x)]dx
则有
∫b ∂F [
εϕ ( x)
+
∂F
εϕ ′(x)]dx
=
0
a ∂y
∂y ′
（7.1.10）
以 ε 乘式（7.1.10），且
δy(x) = εϕ(x)
∑ y(x) = Cnϕn (x) n
（7.2.2） （7.2.3）
(7.2.4) （7.2.5）
式中
Cn = ∫ϕ(x) y(x)dx
假定 y(x) 也是归一化的函数，即
（7.2.6）
∫ y2 (x)dx = 1
由式（7.2.5）及式（7.2.4）可得
∑C
2 n
=1
n
由式（7.2.1）、式（7.2.2）及式（7.2.3）可知
（7.1.1）
显然，弧长 L 的值取决于曲线段 P0 P1 的形状，也就是取决于函数 y(x) 的形状。对不同的曲
线 y(x) ， L 的值可能不同，这样，我们就在函数 y(x) 与实数 L 之间建立了一种对应关系。
为了描述这种对应关系，我们引入了泛函这个概念。
设 C 是一个由函数组成的集合，对于 C 中的任何一个元素 y(x) ，数集 B 中都有一个元
∂y
∂y′ 1+ y′2
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
=
0
∂F ∂y′
=
C1
这里 C1 是积分常数，即
解得 所以
y′ 1+ y′2
= C1
y′ = C1 = a 1 − C12 y = ax + b
由 y(x0 ) = y0 , y(x1) = y1 ，可得
例2 捷线问题 解
y
=
ρ = 1 的斯－刘型固有值问题，其固有值满足
相应的固有函数
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 <L
ϕ1(x),ϕ2 (x),ϕ3 (x), L
它们相互正交，并且组成了完备的函数系，假定它们已经归一化，即
∫ϕm (x)ϕn (x)dx
=
⎧0, ⎩⎨1,
m≠n m=n
这样，对任意的有连续导数的平方可积函数 y(x) ，都可以按固有函数系展开
r(1
−
cosθ
)
7.2 变分法在固有值问题中的应用
本节我们介绍利用变分法解决固有值问题。在第 2 章里我们学过，所谓固有值问题就是在一 定的边界条件下，求解含有参数的微分方程。为了表达上的方便，将需要求解的常微分方程 写为
L[ y(x)] = λy(x)
(7.2.1)
其中 L 是一个作用在函数 y(x) 上的线性微分算符，假定所讨论的固有值问题是劝函数
J[ y(x)] 是 y(x) 的泛函，这样我们就引出一系列重要结论。
（7.2.10）
引理 1 泛函式（7.2.10）的极小值等于相应的固有值问题的最小固有值 λ1 ，而使
J[ y(x)] 取这一极小值的极值函数就是相应于固有值 λ1 所对应的固有函数ϕ1(x) 。
证明 将展开式（7.2.5）代入泛函式（7.2.10），则
我们以前研究的函数是指这样一种现象，对于数集 A 中的任一个元素 z ，数集 B 中存在
一个元素 w 与之对应，我们就说 w 是 z 的一个函数，记为 w(z) 。在自然现象中，不仅存在
这样的数与数的对应，还存在着其他种种性质不同的对应关系。我们看下面的问题。
设 C 为区间[x0 , x1] 上满足条件
式（7.1.11）称为欧拉－拉格朗日方程，简记为 E-L 方程，这就是泛函 J[ y(x)] 有极限
的必要条件，也就是说， y = y(x) 使泛函式（7.1.6）取极小值，则 y = y(x) 一定使欧
拉－拉格朗日方程式（7.1.11）满足边界条件式（7.1.5）的解。
我们把满足 E-L 方程边值问题的解称为驻留函数，对应的积分曲线称为驻留曲线。 严格地讲，E-L 方程边值问题的解满足变分问题的必要条件，因此它是否是极值函数， 还需作进一步的判别。在实际问题中，极值的存在性通常给出问题时己经肯定了，这样，
1
=C
2gy 1+ y'2
y(1 +
y′2) =
1 2gC 2
= 2r
引入变量代换 x = x(θ ) ，并设
则由式（7.1.14）可得
y′ = cot θ 2
（7.1.12） （7.1.13） （7.1.14）
上式对θ 求导，得
即
所以
y = 2r sin 2 θ = r(1− cosθ ) 2
y′ dx = r sinθ dθ
素 J 与之对应，称 J 是 y(x) 的泛函数，记作
J = J[ y(x)]
（7.1.2）
由此可见，泛函与普通函数是不一样的，其差别在于普通函数的值是数，自变量也是数；
而泛函的值是数，自变量却是函数，泛函的概念是函数概念的推广。由此可知，式（7.1.1）
表示了一个泛函。
一般情况下，泛函式（7.1.2）常用积分形式表示
件
y(0) = 0, y( p) = q
的所有连续函数 y(x) 中，求出一个函数 y* 使泛函式（7.1.4）取最小值。
对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称 为极值函数。
在微分学中，求函数 y = y(x) 的 极值是求自变量 x 的值，当 x 取这些值时， y 取极
∫ J[ y(x)] = x1 F (x, y, y′)dx x0
（7.1.3）
式中，被积函数 F (x, y, y′) 称为核。
在实际工作中，为了完成某项任务，我们首先要分析实际问题特殊现象与一般规律 之间的关系，然后建立数学上的表达式。如求连接两个定点的曲线段中弧长最短的曲线
方程 y(x) ，即求自变量 y = y* ，使泛函
a ∂y′
∫ ∫ =
b ∂F a ∂y
ϕ ( x)dx
+
∂F ∂y′
ϕ
(
x)
b a
−
bϕ ( x)
a
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞dx
∫=
b
[
∂F
a ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞]ϕ ( x)dx
由ϕ(x) 的任意性，可得
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
=
0
（7.1.11）
落的时间最短。
设曲线为 y = y(x) ，坐标如图 7－
y
图 7-1
1，质点由 O 点开始运动，它的速度 v 与它的纵坐标有关系 v2 = 2gy
式中， g 是重力加速度。
在曲线上点 (x, y) 处，质点的运动速度为
x
。 A( p,q)
v = ds = 1+ y′2dx
dt
dt
式中， s 表示曲线的弧长， t 表示时间，于是
δy(x) = εϕ(x)
式中， ε 是任意小的实数；ϕ(x) 是充分光滑的任意函数，并且满足条件
ϕ(a) = 0, ϕ(b) = 0
这样，函数
y(x) + εϕ(x)
满足边界条件式（7.1.5）。因此，泛函
J[ y(x) + εϕ(x)]
当 ε = 0 时取最小值 J[ y(x)] ，从而有
d dε
L[ϕn (x)] = λnϕn (x)
这样，将线性微分算符 L ，同时作用在式（7.2.5）两侧，则
∑ ∑ L[ y(x)] = L[ Cnϕn (x)] = L[Cnϕn (x)]
n
n
以 y(x) 乘上式，同时作积分并记为 J[ y(x)] ，即
（7.2.7） （7.2.8） （7.2.9）
J[ y(x)] = ∫ y(x)L[ y(x)]dx