平面问题有限元解法(公式推导讲解)
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[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
![[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/25867d5d31b765ce050814be.png)
单元2 ： l，m，n 或：
单元1 ： l，m，n
3，4，1
1，2，3
单元2 ： l，m，n
1，3，4
单元e的刚度矩阵分块形式为：
Kll K e K ml K nl
Klm K mm K nm
Kln K mn K nn
33子块
整体刚度矩阵分块形式为： K11 K12 K K 22 21 K K 31 K 32 K 41 K 42
n 1 i j m n
(q)
若写成分块矩阵的形式，则
K11 K i1 K K j1 K m1 K n1 K1i K ii K ji K mi K ni K1 j K ij K jj K mj K nj K1m K im K jm K mm K nm K1n K in K jn K mn K nn
⒋ 刚度矩阵[K]是一个稀疏矩阵。 如果遵守一定的节点 编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线附 近呈带状。 前面在讨论总刚子矩阵的计算时曾指出，总刚中第 r双行的子矩阵[Krs ]，有很多位置上的元素都等于零， 只有当第二个下标s等于r或者s与r同属于一个单元的节 点号码时才不为零，这就说明，在第r双行中非零子矩 阵的块数，应该等于节点r周围直接相邻的节点数目加 一。可见，[K]的元素一般都不是填满的，而是呈稀疏 状（带状）。 以图4-6a所示的单元网格为例，其整体刚度矩阵中 的非零子块（每个子块为2行2列）的分布情况如图4-6b 所示。
有限元分析——平面问题
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 10 /33
单元应力 σ=Dε=DBqe
⑶单元分析 单元刚度矩阵 根据虚位移原理，可得单元刚度方程 Fe=Keqe 其中单元刚度矩阵为
Ke=
BT DBt dx dy
A
对于三节点等厚三角形单元，B、D均为常数矩阵，则单元刚度矩阵可表示为
Ke=BTDBtA 3、非节点载荷移置
N=
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0 0 N3
其中
Ni=
2
1 A
(ɑi +bix
+
ciy)
，i=1、2、3。
⑵单元的应变与应力
单元应变
ε=B qe
式中应变矩阵B为
B= 21Ab01
0 c1
b2 0
0 c2
b3 0
0 c3
c1 b1 c2 b2 c3 b3
节点位移列阵qe
qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
3
R1Y 1
Py R1X
R3X P
Px
R2Y
2
R2X
虚功原理如下：
O
X
图4 集中力作用的单元
= 单元原载荷在虚位移上做的虚功 移置后节点载荷在相应虚位移
上做的虚功。
⑵体力的移置
单元所受的均匀分布体力为PV=[X Y]T，则由虚功原理得
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
一、 位移模式 由于单元是一个二维弹性体，单元内任意点的位移分量是坐标 x 、 y 的函数，为了要用单元的节点 位移表示单元内任一点的位移，需要假定位移模式。对于三角形单元，只需选取包括 x 、 y 的线性项作 为位移函数，即
u x, y 1 2x 3y v x, y 4 5x 6y
于是，常应变三角形单元的位移模式写成矩阵形式
Ni 0 N j 0 u {u} 0 Ni 0 N j v
式中 N i ( x, y )
Nm 0 e e { } N 0 Nm
(2-1-2)
1 (a i bi x ci y) 2A
(i , j , m )
（2-1-4b）
每个单元中的应力分量也是常数， 但不同的单元将具有不同的应力和应变值。 这样从一个单元到相 邻的另一个单元，越过公共边界，应力和应变值将有突变。但是，随着网格加密，单元逐渐取小，这种 突变将会减小，使有限元解答收敛于正确解。 3、单元刚度矩阵 [ k ]
e
[ k e ] [ B]T [ D][B ]dv [ B ]T [ D][ B] tA
（ 2-1-2a）
a i x j y m xm y j
而
bi y j ym ci ( x j x m )
(i , j , m)
(2-1-2b)
u x, y 1 2x 3y v x, y 4 5x 6y
于是，常应变三角形单元的位移模式写成矩阵形式
Ni 0 N j 0 u {u} 0 Ni 0 N j v
式中 N i ( x, y )
Nm 0 e e { } N 0 Nm
(2-1-2)
1 (a i bi x ci y) 2A
(i , j , m )
（2-1-4b）
每个单元中的应力分量也是常数， 但不同的单元将具有不同的应力和应变值。 这样从一个单元到相 邻的另一个单元，越过公共边界，应力和应变值将有突变。但是，随着网格加密，单元逐渐取小，这种 突变将会减小，使有限元解答收敛于正确解。 3、单元刚度矩阵 [ k ]
e
[ k e ] [ B]T [ D][B ]dv [ B ]T [ D][ B] tA
（ 2-1-2a）
a i x j y m xm y j
而
bi y j ym ci ( x j x m )
(i , j , m)
(2-1-2b)
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
1 x x2 x3 x4 x5 x4 y x3 y x2 y x3 y2 xy x2 y2 y y2 xy 2 x2 y3 y3 xy 3 y4 xy 4 y5
常数项 线性项 二次项 三次项 四次项
五次项
对称轴
巴斯卡三角形
第八节
有限元分析的步骤
根据前面的讨论，现以三角形常应变单元为例来说明应用 有限元法求解弹性力学平面问题的具体步骤： ①力学模型的确定根据工程实际情况确定问题的力学模型， 并按一定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。 ②将计算对象进行离散化，即弹性体划分为许多三角形单元 ，并对节点进行编号。确定全部节点的坐标值，对单元进行 编号，并列出各单元三个节点的节点号。 ③ 计算载荷的等效节点力（要求的输入信息）。 ④ 由各单元的常数bi 、ci 、bj 、cj 、bm 、cm 2，计算单元刚度矩阵。 及行列式
K11 1015 K21 K31 K41 K12 K22 K32 K42 K13 K23 K33 1015 K43 K14 u1 1 K11 1015 K24 v1 R2 K34 u2 3 K33 1015 K44 v 2 R4
例如，图4-11(a)所示受纯弯曲的梁，其结构对于x、y 轴都是几何对称的，而所受的载荷则是对于x轴对称，对于
x轴反对称。可知，梁的应力和变形也将具有同样的对称特
平面问题有限单元法教程
1. 六结点三角形单元
6) 六结点三角形单元的形函数
形函数矩阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0
N3
结点位移向量
e ui vi u j vj um vm u1 v1 u2 v2 u3 v3
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
x3 x3
)
)
1
( (
x0 x2
x1 x1
)( )(
x0 x2
x3 x3
)
)
2
( (
x0 x3
x1 x1
)( )(
x0 x3
x2 x2
)
)
3
第三章 平面问题有限单元法
八、几种常用的平面单元
1. 六结点三角形单元 2. 四结点矩形单元 3. 等参数单元
第三章 平面问题有限单元法
八、几种常用的平面单元
)!
l
l
注：此处不能有 Lm ，在i-j边上，Lm 0
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数
确定形函数的两种方法： 广义坐标法－需求逆矩阵 试凑法－根据形函数的特点
平面问题的有限元分析
ai x j ym y j xm
bi y j ym
ci xm x j
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标与直角坐标之间的关系
面积坐标用直角坐标表示的矩阵表达式为
Li Lj
Lm
1 2A
ai
a
j
am
bi bj bm
ci cj
由于应变矩阵是常数矩阵，若 单元厚度h也是常数。
K e BTDBhA
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 3）单元刚度矩阵
K e BTDBhA
代入 应变矩阵式 平面应力问题的弹性矩阵
平面应力问题中常应变三角形单元的刚度矩阵为
Kii Kij Kim
Ke
K
ji
K jj
K
jm
Kmi Kmj Kmm
《有限元基本理论及应用》
平面问题的有限元分析
有限元分析实质是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且
按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设 的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
1）问题及求解域定义。 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
2）求解域离散化。 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有
限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网格划分。 单元越小(网格越细)则离散域的近似程度越好，计算结果
弹性力学平面问题的有限元法
按照形状分类
有限元可以分为一维、二维和三维有限元，分别适用于线弹性、平面应力和空间应力等问题。
按照未知量分类
有限元可以分为位移法和力法，其中位移法是最常用的一种方法。
03
CHAPTER
弹性力学平面问题的有限元法
离散化方法
弹性力学平面问题的离散化
将连续的弹性力学平面问题划分为有限个小的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
边界条件和载荷
描述物体所受的外部力和约束条件。
弹性力学的基本概念
03
02
01
平衡方程
描述物体内部各点的应力分布情况，根据力的平衡原理建立。
几何方程
描述物体内部的应变分布情况，根据应变与位移的关系建立。
本构方程
描述应力与应变之间的关系，根据材料的弹性特性建立。
弹性力学的基本方程
只在平面内受力的情况，不考虑厚度方向的应力。
编程实现过程中，需要将连续的弹性力学问题离散化为有限个单元，并建立单元的力学模型和数学模型，然后通过编程语言实现单元分析、整体分析、边界条件处理等计算过程。
编程实现有限元法需要掌握一定的计算机编程语言和数值计算方法，同时需要具备弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元法的编程实现
有限元法的软件应用是指利用已经开发好的有限元分析软件进行弹性力学问题的求解。
软件应用有限元法需要掌握相关软件的使用方法和操作技巧，同时需要具备一定的弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元可以分为一维、二维和三维有限元，分别适用于线弹性、平面应力和空间应力等问题。
按照未知量分类
有限元可以分为位移法和力法，其中位移法是最常用的一种方法。
03
CHAPTER
弹性力学平面问题的有限元法
离散化方法
弹性力学平面问题的离散化
将连续的弹性力学平面问题划分为有限个小的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
边界条件和载荷
描述物体所受的外部力和约束条件。
弹性力学的基本概念
03
02
01
平衡方程
描述物体内部各点的应力分布情况，根据力的平衡原理建立。
几何方程
描述物体内部的应变分布情况，根据应变与位移的关系建立。
本构方程
描述应力与应变之间的关系，根据材料的弹性特性建立。
弹性力学的基本方程
只在平面内受力的情况，不考虑厚度方向的应力。
编程实现过程中，需要将连续的弹性力学问题离散化为有限个单元，并建立单元的力学模型和数学模型，然后通过编程语言实现单元分析、整体分析、边界条件处理等计算过程。
编程实现有限元法需要掌握一定的计算机编程语言和数值计算方法，同时需要具备弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元法的编程实现
有限元法的软件应用是指利用已经开发好的有限元分析软件进行弹性力学问题的求解。
软件应用有限元法需要掌握相关软件的使用方法和操作技巧，同时需要具备一定的弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元法求解平面问题
求解三元一 次方程组
1
um xm ym 1 xi yi 1 xj yj 1 xm y m
u 1 2 x 3 y ui xi yi 4 j 5 x 6 y uv j xj y
4 5 xm 6 ym vm
m xm ym
j xj yj
限 元 分 析
2A 1 y 4 m[a a j v j am vm ] ximviym 2A 1 5 [bi vi j bx v jy bm vm ] j j j 2A xi yi i 1 6 [ci vi c j v j cm vm ] x 2A
节点载荷：作用在节点上的载荷（外力）。
[FL ]e [FLi FLj FLm ]T [FLi x FLi y FLj x FLj y FLmx FLm y ]T
单元位移：单元内位移分布（u(x,y), v(x,y)）
合 肥 工 业 大 学
d u v
T
第二节 结构离散化
2 单元类型
合 肥 工 业 大 学
复习:
虚位移：在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量。
数学意义：位移函数变分 u, v 2. 弹性力学能量原理
有 限 元 分 析
位移变分方程
U f x u f y v dxdy
A
有限元2-弹性力学平面问题(24矩形单元,25六节点三角形单元)
2 4 4
v 5 6 7 8
有限单元法
土木工程学院
P-8/44
位移函数是单值连续的。在平行于x轴的直线 上，位移分量是x的线性函数；在平行于y轴的直 线上，它是 y 的线性函数，故 2-4-4 称为坐标 x, y 的双线性函数。 位移协调性
将各结点坐标代入位移模式
a b T 1 1 T
对于矩形单元,
计算可得按结点分块后的矩阵为:
K1 1 K1 2 K1 3 K2 2 K2 3 K K3 3 对称 K1 4 K2 4 K3 4 K4 4
有限单元法
土木工程学院
P-17/44
子矩阵为:
Et K 1 K 2 K rs 2 K K 41 3 4
y
m
P(x,y)
Aj
i
Am
Ai p(x, y)
o
j
x
有限单元法
土木工程学院
P-23/44
2．面积坐标Li和整体坐标x,y之间的关系
1x y A 1 1 i L 1 x y x y x y y y x x x y i j j j m m j j m m j A2 A 2 A 1x m y m i, j,m
r , s 1 , 2 , 3 , 4
b 1 1 a 1 K 1 1 1 r s r s r s r s a 3 2 b 3 1 K 2 r s r s 2 1 K 3 r s r s 2 a 1 b 1 1 K 1 1 4 r s r s r s b 3 a 3 2
平面问题有限元例题
u2 u3 v3 v4 T q / 3E q / 3E q / E q / ET
所以
q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
返回
例3-2 图3-16所示为一平面应力问题离散化以后的结构图，
其中图（a）为离散化后的总体结构，图（b）为单元1，
2，3，4的结构，图（c）为单元3的结构。用有限元法计
0 0
1 0
1 0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 3
3 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 00 0 0 00 0
1 3
4
1
1
2
33
称
1 3
0
3
返1回
由于单元2若按341对应单元1的123排码时,则这两个单元刚 度矩阵内容完全一样，故有:
3
4
1
1
0 1
1 1 0 3
1 1 1
1
3
0
3
33 3 3
K 2 66
9E 16
4 3 对
2 1 33
1 3
4
平面问题有限单元法
i
uj
Fjx
ui Fix
vm
Fmy
m x
um
Fmx
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
• （5）将每一单元中的各种外荷载，按虚
功等效原则移置到结点上，化为结点荷载，
表示为
F L ( F Li F Lj F Lm .
e
e
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
3.整体分析
作用于结点i上的力有：
收敛性条件
• FEM中以后的一系列工作，都是以位移
模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x , y 0 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保 证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用 于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和 非线性问题，并得到迅速发展。
•
1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应 用和发展。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
基本物理量： 体力: f ( f x
平面问题的有限元分析
图１２－２
图１２－３
2.建立模型
（1）进入主菜单，前处理器， 建立圆环 运行主菜单：Main Menu> Preprocessor> Modeling> Create> Areas> Annulus（见 图１２－４），弹出“Annulus Circular Area”对话框（见图１ ２－５），输入圆心（0，0）， 内径1400mm，外径1500mm。 点击【OK】按扭后，图形窗口 生成圆环面（见图１２－６）。 SAVE.
图１２－３２ 图１２－３３
图１２－３４
图１２－３５
(2)主应力云图
运行主菜单Main Menu > General Postproc >Read Results >First Set 和Main Menu > General Postproc >Plot Results >Contour Plot >Nodal Solu （见图１２－３２， 图１２－３３），弹出“Contour Nodal Solution Data”对话框（见图 １２－３６）．选择应力，左边框 选“Stress”，右边框选“1st principal S1”，即选择第一主应 力．另选择“Def shape only”复选 框．图形窗口出现应力云图（见图 １２－３７）．同样，可获得第二 主应力云图和第三主应力云图（见 图）
图１２－３
2.建立模型
（1）进入主菜单，前处理器， 建立圆环 运行主菜单：Main Menu> Preprocessor> Modeling> Create> Areas> Annulus（见 图１２－４），弹出“Annulus Circular Area”对话框（见图１ ２－５），输入圆心（0，0）， 内径1400mm，外径1500mm。 点击【OK】按扭后，图形窗口 生成圆环面（见图１２－６）。 SAVE.
图１２－３２ 图１２－３３
图１２－３４
图１２－３５
(2)主应力云图
运行主菜单Main Menu > General Postproc >Read Results >First Set 和Main Menu > General Postproc >Plot Results >Contour Plot >Nodal Solu （见图１２－３２， 图１２－３３），弹出“Contour Nodal Solution Data”对话框（见图 １２－３６）．选择应力，左边框 选“Stress”，右边框选“1st principal S1”，即选择第一主应 力．另选择“Def shape only”复选 框．图形窗口出现应力云图（见图 １２－３７）．同样，可获得第二 主应力云图和第三主应力云图（见 图）
有限元分析第4章 平面问题的有限元法-离散化及形函数
式中：
Re ke e
——单元刚度矩阵
ke BT DBdxdydz
v
（4-4） （4-5）
5. 建立整体结构的刚度方程
用直接刚度法将单刚k e 组集成总纲K ，并将Re 组集成
总载荷列阵 R，形成总体结构的刚度方程：
K R
（4-6）
6. 求解修改后的整体结构刚度方程
考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（4-6） 式就变成以节点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可 求出节点位移。
３.对称性的利用 尽量用对称性，以减少计算量。
在划分单元之前，有必要先研究一下计算对象的对称或反
对称的情况，以便确定是取整个物体，还是部分物体作为计
算模型。
例如，如图所示梁，其结构对于x、y轴都是几何对称的，
而所受的载荷则是对于y轴对称，对于x轴反对称。
y
y
R
R
R
o R
(a)
x
o
x
R
(b)
四、有限元计算中要解决的二个问题
问题： 单元的选取、结构的离散化应考虑哪些因素?
3. 选择单元的位移模式
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来获
得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单
元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的
项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数
结构有限元分析-第2章-平面问题
2. 平面问题
用有限元求解力学的平面问题，不仅本身具有实际意义，而
且还带有一定的典型性。其中的
三角形单元又其中的基础。
2.1 弹性力学基础
1弹性力学的基本假定如下：
1）物体是连续的
2）物体是完全弹性的
3）物体是均匀的
4）物体是各向同性的
5）位移和形变是微小的，即小变形
满足条件1）～4）的物体，称之为理想弹性体。
2 弹性力学中的基本变量：
弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。
体力——体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
面力——面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。
应力——物体受到外力作用，或由于温度改变，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。
3 应力状态
物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量、、、、、来表示。
x σy σz σxy τyz τzx
τ
4 位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x ，y ，z 坐标轴上的投影u 、v 、w 表示。5 应变
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。
物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示。
zx yz xy z y x γγγεεε、、、、、
6 平面应力问题
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平
面
应
力
问
题
设有很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
有限元平面问题
μ
D为弹性矩阵，上式只适用于平面应力问题，对于平面应 变问题，将E、μ分别换成E/1-μ2和μ/1-μ即可。
平面问题有限元分析的步骤： （1）连续体离散：用虚拟的直线把连续体 分割成有限个单元，这些直线是单元的边 界，几条直线的交点为单元节点 （2）节点位移为基本未知量 （3）选择位移函数 （4）确定单元应变场和应力场 （5）利用能量原理求出单元刚度矩阵 （6）等效节点荷载 （7）利用节点平衡方程求出整体刚度矩阵
e
（3）单元应力的表达
由弹性力学平面问题的物理方程有：
⎡σ x ⎤ ⎢ ⎥ e e σ ( x, y ) = ⎢σ y ⎥ = [ D] ⋅ ε ( x, y ) = S ⋅ δ ⎢τ ⎥ ⎣ xy ⎦
⎡1 E ⎢ μ [ D] = 2 ⎢ 1− μ ⎢ ⎣0 ⎤ ⎥ 1 ⎥ 0 1 − μ 2⎥ ⎦ 0 0
4.2 三角形常应变单元
首先，我们要建立单元节点位移与单元内任 意一点位移之间的关系。如图示一个典型的 三角形单元，其结点i、j 和m 按逆时针排 列。每个节点位移在单元平面内有两个分 量。整个单元将有六个节点位移分量。
（1）单元位移场的表达 考虑到简单性、连续性、完备性以及待定系数唯 一确定性原则，选取位移模式为：
第四章
连续体平面问题
杆梁结构系统由于本身存在有自然的连接关系 即自然节点，所以他们的离散化均叫做自然离 散，这样的计算模型对原始结构具有很好的描 述，而连续体结构不同，它本身内部不存在有 自然的连接关系，而是以连续介质的形式进行 物质间的相互关联，所以，必须人为地在连续 体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连 续的形式来逼近原来复杂的几何形状，这种离 散过程叫做逼近性离散。
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一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方 向沿着哪一个坐标轴。
弹性力学中的基本假定
连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。
完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。
均匀性——假定整个物体有同一材料组成的，物体的所有 各部分具有相同的弹性。
通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
弹性力学中的几个基本概念
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性
力。
为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方 向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点，
各向同性——假定物体的弹性在所有各个方向都相同。 小变形——假定位移和形变是微小的，物体受力之后，整
个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，因而 应变和转角都远小于1。
平面问题的基本理论
任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如 果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的 是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为 近似的平面问题。
求解方法
经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）
载荷
约束
平面问题的有限单元解法
有限元单元法基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。
用结构力学方法进行求解
有限元单元法分析步骤（一）
结构离散化
将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。 结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下 三个方面：
单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。
单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
单元 节 点
节点力
平面问题有限单元法基本概念
有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起 来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。
平面问题的有限单元法求解
将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元）
分析单元力学性质 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元 节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。
计算等效节点力 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。
有限元单元法分析步骤（三）
节点编码。
注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计 算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
有限元单元法分析步骤（二）
单元特性分析
选择未知量模式 选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法； 选节点力作为基本未知量时，称为力法； 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。
整体分析
集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后，单元之间通过节点传递 力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。
组成整体刚度矩阵K ，得到总体平衡方程：
K＝F
引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。
而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于
一定的极限f，即:
lim V 0
F V
＝
f
这个极限矢量f就是该物体在P点所受体力在集度。 f的方向就是
△F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点
趋于一定的极限 f ，即:
lim S 0
Βιβλιοθήκη BaiduF S
＝f
这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是
△F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体
在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为
负。
弹性力学中应力的方向规定
每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。 正应力用σ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。 切应力用τ表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前
的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
弹性力学中的几个基本概念
面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。
为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含
P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将
有限单元法的分析步骤如下：
物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
物体变形及受力情况的描述
基本变量
u
εσ
σ =E ε
（位移） （应变） （应力）
E 弹性模量
基本方程
力的平衡方程 几何方程 物理方程
即： 三大方面
三大方程
弹性力学中的基本假定
连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。
完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。
均匀性——假定整个物体有同一材料组成的，物体的所有 各部分具有相同的弹性。
通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
弹性力学中的几个基本概念
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性
力。
为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方 向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点，
各向同性——假定物体的弹性在所有各个方向都相同。 小变形——假定位移和形变是微小的，物体受力之后，整
个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，因而 应变和转角都远小于1。
平面问题的基本理论
任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如 果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的 是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为 近似的平面问题。
求解方法
经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）
载荷
约束
平面问题的有限单元解法
有限元单元法基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。
用结构力学方法进行求解
有限元单元法分析步骤（一）
结构离散化
将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。 结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下 三个方面：
单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。
单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
单元 节 点
节点力
平面问题有限单元法基本概念
有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起 来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。
平面问题的有限单元法求解
将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元）
分析单元力学性质 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元 节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。
计算等效节点力 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。
有限元单元法分析步骤（三）
节点编码。
注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计 算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
有限元单元法分析步骤（二）
单元特性分析
选择未知量模式 选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法； 选节点力作为基本未知量时，称为力法； 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。
整体分析
集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后，单元之间通过节点传递 力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。
组成整体刚度矩阵K ，得到总体平衡方程：
K＝F
引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。
而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于
一定的极限f，即:
lim V 0
F V
＝
f
这个极限矢量f就是该物体在P点所受体力在集度。 f的方向就是
△F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点
趋于一定的极限 f ，即:
lim S 0
Βιβλιοθήκη BaiduF S
＝f
这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是
△F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体
在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为
负。
弹性力学中应力的方向规定
每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。 正应力用σ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。 切应力用τ表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前
的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
弹性力学中的几个基本概念
面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。
为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含
P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将
有限单元法的分析步骤如下：
物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
物体变形及受力情况的描述
基本变量
u
εσ
σ =E ε
（位移） （应变） （应力）
E 弹性模量
基本方程
力的平衡方程 几何方程 物理方程
即： 三大方面
三大方程