2017届山西怀仁县一中高三上学期开学考数学(文)试题(解析版)

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山西省朔州市怀仁一中2017届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数i（i﹣1）对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|y=lg（x+3）}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B3．“φ=π”是“函数y=sin（2x+φ）为奇函数的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知圆O的半径为R，若A，B是其圆周上的两个三等分点，则的值等于（）A．B．C．D．5．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．7 B．6 C．5 D．46．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2 B．C．D．7．已知x、y满足约束条件，则z=3x+5y的最小值为（）A．17 B．﹣11 C．11 D．﹣178．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．209．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1、F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（）A．或B．或2 C．或2 D．或10．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，若，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．等比数列{a n}共有奇数项，所有奇数项和S奇=255，所有偶数项和S偶=﹣126，末项是192，则首项a1=（）A．1 B．2 C．3 D．412．设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2 B．﹣ln2 C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=1，a3=2，则S4=．14．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．15．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子（2tan）⊗lne+lg100⊗（）﹣1的值为．16．已知，则f17．设函数．（1）求f（x）的最小正周期以及单调增区间；（2）若，，求sin2x的值．18．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．（1）求证：BC∥平面A1B1C1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC；（3）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积．20．已知椭圆方程为x2+=1，射线y=2x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求△AMB面积的最大值．21．设函数f（x）=x（1+x）2，x∈（﹣∞，0]，（1）求f（x）的极值点；（2）对任意的a＜0，以F（a）记f（x）在[a，0]上的最小值，求k=的最小值．选修题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t 为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数i（i﹣1）对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】对所给的复数利用i2=﹣1进行化简，求出对应的点，再判断所在的象限．【解答】解：由题意知，i（i﹣1）=﹣1﹣i，故此复数对应的点是（﹣1，﹣1），故选C．2．已知集合A={x|y=lg（x+3）}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B【考点】对数函数的定义域；元素与集合关系的判断．【分析】先求出集合A，根据元素和集合之间的关系分别进行判断．【解答】解：∵A={x|y=lg（x+3）}={x|x+3＞0}={x|x＞﹣3}，∴﹣3∉A，∴A错误．∵B={x|x≥2}，∴3∈B，∴B错误．A∩B={x|x≥2}=B，∴C正确．A∪B={x|x＞﹣3}=A，∴D错误．故选：C．3．“φ=π”是“函数y=sin（2x+φ）为奇函数的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数奇偶性的性质，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若函数y=sin（2x+ϕ）为奇函数，则ϕ=kπ，k∈Z，∴“ϕ=π”是“函数y=sin（2x+ϕ）为奇函数的”充分不必要条件．故选：A．4．已知圆O的半径为R，若A，B是其圆周上的两个三等分点，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意求出两个向量的夹角，直接利用向量的数量积运算即可．【解答】解：因为圆O的半径为R，A、B是其圆周上的两个三等分点，所以||=||=R，＜，＞=，，，所以=cos＜，＞=﹣R2cos=﹣R2．故选D．5．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义进行判断即可．【解答】解：∵粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=40：10：30：20=4：1：3：2，∴根据分层抽样的定义可知，抽取的植物油类的种数为，抽取的果蔬类食品种数为，∴抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6，故选：B．6．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴，解得．∴其渐近线的斜率为．故选：B．7．已知x、y满足约束条件，则z=3x+5y的最小值为（）A．17 B．﹣11 C．11 D．﹣17【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x+5y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=﹣2且y=﹣1时，z取得最小值﹣11．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣2，﹣1），B（3，4），C（10.5，1.5）．设z=F（x，y）=3x+5y，将直线l：z=3x+5y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值．2，﹣1）=﹣11．∴z最小值=F（﹣故选：B8．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．20【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图苹果几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图的几何体是四棱锥，底面的边长为2、6的矩形，四棱锥的顶点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是4，所以几何体的体积为：×6×2×4=16．故选C．9．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1、F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线C的离心率等于（）A．或B．或2 C．或2 D．或【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率．【解答】解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=；|PF1|﹣|PF2|=2m＜|F1F2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于=，故选：D．10．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，若，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理以及条件可得sinB=cosB，sinC=cosC，B=C=，A=，从而得到△ABC的形状是等腰直角三角形．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得，再由可得sinB=cosB，sinC=cosC，∴B=C=，A=，故△ABC的形状是等腰直角三角形，故选D．11．等比数列{a n}共有奇数项，所有奇数项和S奇=255，所有偶数项和S偶=﹣126，末项是192，则首项a1=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为a1（1+q2+q4+…+q2n）=a1，求出公比，代入数据求出项数，然后求解首项．（q+q3+q5+…+q2n﹣1）+a2n+1【解答】解：设等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q，得到奇数项为奇数项为a1（1+q2+q4+…+q2n）=255，偶数项为a1（q+q3+q5+…+q2n ﹣1）=﹣126，=255q，所以qa1（1+q2+q4+…+q2n）=255q，即a1（q+q3+q5+…+q2n﹣1）+qa2n+1可得：﹣126+192q=255q，解得q=﹣2．192，=所以所有奇数项和S奇=255，末项是=255，即：解得n=3．是共有7项，a7=a1（﹣）6，解得a1=3．故选：C．12．设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2 B．﹣ln2 C． D．【考点】简单复合函数的导数．【分析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．【解答】解：对f（x）=e x+a•e﹣x求导得f′（x）=e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y0），则，得或（舍去），得x0=ln2．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=1，a3=2，则S4=6．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出前4项和．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，a3=2，∴，解得a1=0，d=1，∴S4=4×=6．故答案为：6．14．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．15．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子（2tan）⊗lne+lg100⊗（）﹣1的值为13．【考点】选择结构．【分析】根据流程图，a≥b时，a⊗b=a（b+1）；a≤b时，a⊗b=b（a+1），可得结论．【解答】解：根据流程图，a≥b时，a⊗b=a（b+1）；a≤b时，a⊗b=b（a+1），可得=2×（1+1）+3×（2+1）=13故答案为：13．16．已知，则f=f（x），k为正整数，f=f（﹣3），再代入第二段解析式，由对数的运算可得．【解答】解：由，可得x≥0时，f（x+5）=f（x+5﹣5）=f（x），即有f（x+5k）=f（x），k为正整数，则f=f（2）=f（﹣3）=log33=1．故答案为：1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数．（1）求f（x）的最小正周期以及单调增区间；（2）若，，求sin2x的值．【考点】正弦函数的单调性；正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为一个三角函数的形式，进而利用周期公式可求f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性可求f （x）的单调增区间．（2）由已知可求，由范围，利用同角三角函数基本关系式可求，进利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1），∴f（x）的最小正周期为=π．∵由，得+kπ，k∈Z．∴f（x）的单调增区间为：．（2）∵，∴，∵，可得：，∴，可得：，∴．18．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【考点】频率分布表；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）累积各组组中与频数的积，可得这15名乘客的这15名乘客的总和，除以15可得这15名乘客的平均候车时间；（2）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为8，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案．【解答】解：（1）=min．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）候车时间少于10分钟的概率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以候车时间少于10分钟的人数为人．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2．从6人中任选两人有包含以下15个基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．（1）求证：BC∥平面A1B1C1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC；（3）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明BC∥B1C1，然后证明BC∥平面A1B1C1．（2）证明CB⊥AB．CB⊥BB1，推出CB⊥面AA1B1B，得到CB⊥AB1，然后证明AB1⊥A1B，即可证明AB1⊥面A1BC．（3）过B作BD⊥A1B1于D，说明BD⊥面AA1B1B，然后求解几何体的体积即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形BCC1B1为矩形，∴BC∥B1C1，∵BC⊄平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴BC∥平面A1B1C1．（2）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，满足AC2=AB2+BC2，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB．又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1，又，所以CB⊥面AA1B1B，又因为AB1⊂面AA1B1B，所以CB⊥AB1，又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1⊥A1B，又，所以AB1⊥面A1BC．（3）解：过B作BD⊥A1B1于D，由第（1）问已证CB⊥面AA1B1B，∴C1B1⊥面AA1B1B，∴C1B1⊥BD，∴BD⊥面AA1B1B，由题设知，∴=．∴三棱锥C﹣A1B1C1的体积是．20．已知椭圆方程为x2+=1，射线y=2x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求△AMB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设k＞0，求得M的坐标，则可表示出AM的直线方程和BM的直线方程，分别与椭圆的方程联立求得x A和x B，进而求得AB的斜率．（2）设出直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用判别式大于0求得m的范围，进而表示出三角形AMB的面积，利用m的范围确定面积的最大值．【解答】解：（1）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2），直线MA方程为y﹣2=k（x﹣），直线MB方程为y﹣2=﹣k（x﹣）．分别与椭圆方程联立，可解出x A=﹣，x B=﹣．则y A=2﹣k（x﹣），y B=2+k（x﹣），k AB==2；∴k AB=2（定值）．（2）设直线AB方程为y=2x+m，与x2+=1联立，消去y得16x2+4mx+（m2﹣8）=0由△＞0得﹣4＜m＜4，且m≠0，点M（，2）到AB的距离d=．设△AMB的面积为S．∴S2=|AB|2d2=m2（16﹣m2）≤•=2．当m=±2时，得S max=．21．设函数f（x）=x（1+x）2，x∈（﹣∞，0]，（1）求f（x）的极值点；（2）对任意的a＜0，以F（a）记f（x）在[a，0]上的最小值，求k=的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导f′（x）=（1+x）2+2x（1+x）=（1+x）（1+3x）；从而确定函数的单调性及极值点；（2）由（1）判断f（x）在[a，0]上的单调性，从而求f（x）在[a，0]上的最小值，从而得到F（a），从而求得k=，再求最小值．【解答】解：（1）f′（x）=（1+x）2+2x（1+x）=（1+x）（1+3x）；由f′（x）=0解得：x1=﹣1，x2=﹣；当x＜﹣1或x＞﹣时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0；所以，f（x）有两个极值点：x1=﹣1是极大值点，f（﹣1）=0；x2=﹣是极小值点，f（﹣）=﹣．（2）过点（﹣，﹣）做直线y=﹣，与y=f（x）的图象的另一个交点为A （x，﹣），则﹣=x（1+x）2，即27x3+54x2+27x+4=0；已知有解x=﹣，则（3x+1）（9x2+15x+4）=0；解得A（﹣，﹣）；当a＜﹣时，F（a）=f（a）；k==（1+a）2＞；当﹣≤a≤﹣时，F（a）=﹣，k=≥=，其中当a=﹣时，k=；当﹣＜a＜0时，F（a）=f（a），k==（1+a）2＞；所以，对任意的a＜0，k的最小值为；（其中当a=﹣时，k=）．选修题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t 为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣6，t1t2=2．|AB|=|t1﹣t2|===8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由题意可得a﹣m≤x≤a+m，比较题意可得，解之可得答案；（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，不等式可化为|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t，①分类讨论：当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于，或，或，解之综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，结合题意可得，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，所以f（x）+t≥f（x+2t）可化为|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t，①当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于，或，或，解得x＜2﹣2t，或2﹣2t，或x∈ϕ，即x≤2﹣；综上，当t=0时，原不等式的解集为R，当t＞0时，原不等式的解集为{x|x≤2﹣}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年3月11日。

【全国百强校】山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第一次月考(开学考)文数(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，{}|0A x x =≤，{}|1B x x =≥，则集合()U AB =ð（）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x << 【答案】D考点：1、集合的表示；2、集合的并集及集合的补集. 2.复数212ii +-的共轭复数是（） A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i【答案】C 【解析】试题分析：因为()()()()212251212125i i i i i i i i +++===--+，所以212ii+-的共轭复数是i -，故选C. 考点：1、复数的运算；2、共轭复数.3.已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝：（） A ．x R ∃∈，sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．x R ∃∈，sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】试题分析：因为全称命题的否定是将“全称量词”改成“存在量词”，然后否定结论，所以命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤的否定p ⌝是x R ∃∈，sin 1x >，故选C.考点：全称命题的否定.4.已知向量a ，b 满足(1,3)a b +=， (3,7)a b -=，则a b ⋅=（）A ．12-B ．20-C ．12D ．20 【答案】A考点：1、向量的运算；2、平面向量的数量积.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．96B ．80+C ．961)π+D ．961)π+-【答案】C 【解析】试题分析：由几何体的三视图可知，几何体为边长为四的正方体，挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥所得的组合体，其表面及是正方体的表面面积减去圆锥底面积，加上圆锥侧面积，226422964πππ⨯-⨯+⨯⨯=-+，故选C.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.6.下表是某工厂1—4月份用电量（单位：万度）的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y x a =-+，则a =（）A ．10.5B ．5.25C ．5.2D ．5.15【答案】B考点：线性回归直线的性质和应用. 7.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A ．22cos y x = B ．22sin y x =C ．1sin(2)4y x π=++D ．cos 2y x =【答案】A 【解析】试题分析：因为sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1 个单位得到y 2cos 212cos x x =+=的图象，故选A.考点：1、三角函数的平移变换；2、诱导公式及余弦的二倍角公式.8.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若{}2log n a 是公差为1-的等差数列，且638S =，则1a 等于（）A ．421B ．631C ．821D ．1231【答案】A 【解析】试题分析：因为{}2log n a 是公差为1-的等差数列，所以21log 112211log log 1,22a n n n n a a n a a -+-+=-+==，61111131...,24328S a a ⎛⎫=++++== ⎪⎝⎭421，故选A. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式.9.执行下图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（） A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.11.已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F ⋅的值为（）A ．3B ．2C ．3-D ．2-【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程2213y x -=得1,2a c ==，由双曲线定义得212PF PF -=，因为2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，所以由正弦定理得122PF PF =，可解得124,2PF PF ==，由知124F F =，根据余弦定理可知211cos 4PF F ∠=，22112211cos 4224F P F F PF PF PF F ⋅=∠=⨯⨯=，故选B. 考点：1、双曲线的定义及正弦定理、余弦定理；2、平面向量的数量积公式.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及正弦定理、余弦定理、平面向量的数量积公式，属于难题.以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，结合圆锥曲线的几何性质和定义，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、正弦余弦定理一定要熟记并灵活应用，特别是圆锥曲线的定义和性质更要熟练掌握.12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()sin f x x x =-，若不等式2(4)(2)f t f mt m ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．()C ．(),0(2,)-∞+∞ D ．((2,)-∞+∞【答案】A考点：1、函数的奇偶性、函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④定义域为R 的一元二次不等式恒成立可以根据判别式小于零求解；本题是利用方法④求得a 的最大值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.观察下图： 1 2 3 43 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10……则第行的各数之和等于22017．【答案】1009 【解析】试题分析：因为此图各行的数字排列规律是：第n 行第一个数是n ，该行共有21n -个数，构成以1为公差的等差数列，所以第n 行的各数之和为()()()22122214412n n n n n n ---+=-+，2441n n -+22017,212017,1009n n =-==，故答案为1009.考点：1、等差数列前n 项和公式；2、归纳推理的应用.14.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则logab为整数的概率为．【答案】1 6考点：1、排列组合的应用；2、对数的性质.15.已知变量x，y满足20,230,0,x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2z x y=+的最大值为．【答案】4【解析】试题分析：作出20,230,0,x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如图，有图知，平移2y x z=-经过B点时，2z x y=+有最大值，由20,230,x yx y-=⎧⎨-+=⎩得()1,2B，所以2z x y=+的最大值为2124⨯+=，故答案为4.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属中档题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.已知()f x为偶函数，当0x≤时，1()xf x e x--=-，则曲线()y f x=在点()1,2处的切线方程是．【答案】2y x =考点：1、函数的奇偶性及函数的求导法则；2、利用导数求切线方程.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性及函数的求导法则、利用导数求切线方程，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=∙-.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在锐角△ABC 中， 2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）.【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由||||cos 126AB AC AB AC π⋅==，可得||||83AB AC =，进而可得△ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin )B B B B B =+- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=．又A 为锐角，∴6A π=．（2）||||cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴||||83AB AC =，∴111||||sin 2622ABC S AB AC π∆==⨯= 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.设n S 为各项不相等的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3573a a a =,39S =．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求1nnT a +的最大值．【答案】（1）1n a n =+；（2）116.考点：1、等差数列的通项及前n项和公式；2、利用“裂项相消法”求数列前n项和.19.某市公交公司从60名候车乘客中抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从表第三、四组的乘客中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【答案】（1）10.5min；（2）32；（3）8 15.【解析】试题分析：（1）直接用平均数公式求解；（2）先求候车时间少于10分钟的概率，再乘以60即可；（3）列举出从6人中任选两人包含以下基本事件共15个，其中两个恰好来自不同组包含8个基本事件，利用古典概型概率公式求解即可.试题解析：（1）11(2.527.5612.5417.5222.51)157.510.5min 1515⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=．（2）候车时间少于10分钟的概率为3+681515=，∴候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人．（3）将第三组乘客编号为1a ，2a ，3a ，4a ，第四组乘客编号为1b ，2b ．从6人中任选两人包含以下基本事件：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，11(,)b b ，其中两个恰好来自不同组包含8个基本事件，所以所求概率为815．考点：1、样本平均数的求法；2、频率与频数及古典概型概率公式.20.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析.考点：1、线面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理.21.已知椭圆C ，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为6π，直线过点(1,0)E -且与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的椭圆方程；（2）△AOB 的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆C ，过上顶点和左焦点的直线的倾斜角为6π列方程组求出,a b 的（2）因为直线过点(1,0)E -，所以可设直线的方程为1x my =-或0y =（舍）．由条件得221,41,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得22(4)230m y my +--=，22(2)12(4)0m m ∆=-++>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中12y y >．解得12224m y y m +=+，12234y y m -=+，则21||y y -=，则211||||2AOB S OE y y ∆=-==设t =1()g t t t=+，t ≥，则()g t在区间)+∞上为增函数，所以()g t ≥．所以AOB S ∆≤0m =时等号成立，即max ()AOB S ∆=．所以存在△AOB 面积的最大值．AOB S ∆．考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，函数单调性法求三角形面积最值的.22.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（3）是否存在实数a ，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，有2121()()f x f x a x x ->-恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．【答案】（1）2ln 2-；（2）当20a -<≤时，()f x 在()0,a -(),2,+∞为增函数，()f x 在(,2)a -，为减函数，当2a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 为增函数，当2a <-时，()f x 在()0,2,(,)a -+∞为增函数，()f x 在()2,a -时为减函数；（3）存在1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦.（2）∵22(2)2(2)()'()(2)a x a x a x x a f x x a x x x+---+=-+-==，（3）假设存在实数a 使得对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，有2121()()f x f x a x x ->-，即2211()()f x ax f x ax ->-．令()()g x f x ax =-，只要()g x 在()0,+∞为增函数，又函数21()2ln 22g x x a x x =--．考查函数22222(1)12'()2a x x a x a g x x x x x-----=--==．要使'()0g x ≥在(0,)+∞恒成立，只要120a --≥，即12a ≤-，故存在实数1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，有2121()()f x f x a x x ->-恒成立．考点：1、利用导数研究函数单调性及求最值；2、利用导数研究不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小．：。

山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第一次月考(开

文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，{}|0A x x =≤，{}|1B x x =≥，则集合()U A B =ð（）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x <<2.复数212ii +-的共轭复数是（） A ．35i - B ．35iC ．i -D ．i3.已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝：（） A ．x R ∃∈，sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．x R ∃∈，sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >4.已知向量a ，b 满足(1,3)a b +=，(3,7)a b -=，则a b ⋅=（） A ．12-B ．20-C ．12D ．205.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．96B ．80+C．961)π+D ．961)π+6.下表是某工厂1—4月份用电量（单位：万度）的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y z a =-+，则a =（）A ．10.5B ．5.25C ．5.2D ．5.157.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（） A ．22cos y x =B ．22sin y x =C ．1sin(2)4y x π=++D ．cos 2y x =8.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若{}2log n a 是公差为1-的等差数列，且638S =，则1a 等于（） A ．421 B ．631C ．821D ．12319.执行下图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =（） A ．3B ．4C ．5D ．610.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（） A ．2-B ．1-C ．0D ．111.已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F ⋅的值为（）A ．3B ．2C ．3-D ．2-12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()sin f x x x =-，若不等式2(4)(2)f t f m m ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．(,-∞ B．()C ．(),0(2,)-∞+∞D．((2,)-∞+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.观察下图： 1 2 3 43 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10……则第行的各数之和等于22017．14.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则log a b 为整数的概率为．15.已知变量x ，y 满足20,230,0,x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为．16.已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．18.设n S 为各项不相等的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3573a a a =,39S =．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求1nn T a +的最大值． 19.某市公交公司从60名候车乘客中抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从表第三、四组的乘客中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．20.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．21.已知椭圆C6π，直线过点(1,0)E -且与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的椭圆方程；（2）△AOB 的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由． 22.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（3）是否存在实数a ，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，有2121()()f x f x a x x ->-恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．怀仁一中2016—2017学年高三年级第一次月考答案一、选择题二、填空题 13.1009 14.1615.4 16.2y x = 三、解答题17.解：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin ()()2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=．又A 为锐角，∴6A π=．（2）||||cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴||||83AB AC =解得10,3d a =⎧⎨=⎩（舍去）或11,2d a =⎧⎨=⎩， ∴2(1)11n a n n =+-⨯=+．（2）∵11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， ∴12231111n n n T a a a a a a +=+++…111111()()()233512n n =-+-++-++11222(2)nn n =-=++．∴2211142(2)2(44)162(4)n n T n n a n n n n n +===≤=+++++，当且仅当4n n=，即2n =时“=”成立，即当2n =时，1nn T a +取得最大值116．19.解：（1）11(2.527.5612.5417.5222.51)157.510.5min 1515⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=．（2）候车时间少于10分钟的概率为3+681515=，∴候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人．（3）将第三组乘客编号为1a ，2a ，3a ，4a ，第四组乘客编号为1b ，2b ．从6人中任选两人包含以下基本事件：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，11(,)b b ，其中两个恰好来自不同组包含8个基本事件，所以所求概率为815． 20.解：（1）证明：因为点E 是AC 中点，点D 为PA 的中点，∴//DE PC ．又因为DE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ．（2）证明：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，又PA ⊂平面PAC ，PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，且PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB ．（3）解：当点F 是线段AB 中点时，过点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行．取AB 中点F ，连接EF ，连接DF ．由（1）可知//DE 平面PBC ．因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点，所以//EF BC ．又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ．又因为DEEF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行． 21.解：（1）由题知：2c a =，3b c =，解得2a =，1b =，故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）因为直线过点(1,0)E -，所以可设直线的方程为1x my =-或0y =（舍）．由条件得221,41,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得22(4)230m y my +--=，22(2)12(4)0m m ∆=-++>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中12y y >．解得12224m y y m +=+，12234y y m -=+，则21||y y -=，则211||||2AOB S OE y y ∆=-2==，设t =1()g t t t=+，t ≥ 则()g t在区间)+∞上为增函数，所以()g t ≥．所以2AOB S ∆≤，当且仅当0m =时等号成立，即max ()2AOB S ∆=．所以存在△AOB 面积的最大值．AOB S ∆的最大值为2．22.解：（1）显然函数()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，22(2)(1)'()x x x x f x x x---+==． ∴当()0,2x ∈时，'()0f x <，()2,x ∈+∞时，'()0f x >． ∴()f x 在2x =时取得最小值，其最小值为(2)2ln 2f =-．（2）∵22(2)2(2)()'()(2)a x a x a x x a f x x a x x x+---+=-+-==， ∴①当20a -<≤时，若()0,x a ∈-时，'()0f x >，()f x 为增函数；(,2)x a ∈-时，'()0f x <，()f x 为减函数；()2,x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 为增函数． ②当2a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 为增函数；③当2a <-时，()0,2x ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；()2,x a ∈-时，'()0f x <，()f x 为减函数；(,)x a ∈-+∞时，'()0f x >，()f x 为增函数．（3）假设存在实数a 使得对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，有2121()()f x f x a x x ->-，即2211()()f x ax f x ax ->-．令()()g x f x ax =-，只要()g x 在()0,+∞为增函数，又函数21()2ln 22g x x a x x =--．考查函数22222(1)12'()2a x x a x a g x x x x x-----=--==．要使'()0g x ≥在(0,)+∞恒成立，只要120a --≥，即12a ≤-，故存在实数1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，有2121()()f x f x ax x ->-恒成立．。

数学---山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试(文)

山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试（文）选择题部分（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合{}1221,log 0xA xB x x ⎧⎫⎪⎪=≥=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则R A B = ð（）A ．()1,+∞B ．[]0,1C ． [)0,1D ．[)0,2 2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin ()(sin sin )b a A b c B C -=-+ ,则C 等于（）A ．π3 B ．π6 C ． π4 D ．2π33．,,αβγ为不同的平面，,,a b c 为三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβB ．若//,//a a b β，则//b βC ．若//,//,,a b c a c b αα⊥⊥，则c α⊥D ．若,a b γγ⊥⊥，则//a b4．设函数()[](]2sin ,0,πcos ,π,2πx x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，若函数()()g x f x m =-在[]0,2π内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[]1,2C ． (]0,1D ．()1,25．已知12F F 、是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若2aPH =，则此椭圆的离心率为（）A B C ． D ． 26．已知数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“{}n a 为递增数列”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．对任意的π(0,)2θ∈，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．[]3,4-B ．[]0,2C ． 35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]4,5-8．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=o ，沿BD 将△ABD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则当三棱锥A BCD -体积最大时，异面直线AD BC 与所成的角的余弦值为（）A ．58 B ．14 C ． 1316 D ．23非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．） 9．已知空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 ,几何体的表面积是．10．函数()π2sin(2)sin(2π)2f x x x =+-+的最小正周期是 ,函数()f x 的最大值是．11．已知数列{}n a 满足11a =，12 (*)nn n a a n +=+∈N ，则3a = ,通项公式n a = ．12．若实数,x y 满足不等式43120y x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值是 ,22(1)x y +-的最小值是．13．已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，其图象过点(4,，1F ，2F 是其两个焦点，若双曲线上的点P 满足1||7PF = ，则2||PF =_______．14．直线40mx y +-=与直线40x my --=相交于点P ，则P 到点(5,5)Q 的距离||PQ 的取值范围是．15．已知O 为△ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=,则A 角的值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分14分）已知函数ππ()sin() (0,0,)22f x A x B A ωϕωϕ=++>>-<<的定义域为R ，值域为[4,8]-，图象经过点(0,5)，直线π6x =是其图象的一条对称轴，且()f x 在ππ(,)32上单调递减．( I ) 求函数()f x 的表达式；（II ）已知ππ(,)62α∈，且()4f α=，求sin α的值．17．(本题满分15分) 如图，在四棱柱1111ABCD A BC D - ，底面ABCD 是边长为2的菱形， =60BAD ∠，14AA =，且1AC ABCD ⊥底面． ( I ) 证明：1111ACC A DBB D ⊥平面平面；（II ）求直线1AC 与平11DBB D 面所成角．18．(本题满分15分)已知正项等差数列{}n a 满足：23333123n n S a a a a =++++ ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． ( I ) 求数列{}n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足：222nnn a na b S ++=，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．A19．(本题满分15分)已知抛物线24y x =，焦点为F ，过点(2,0)且斜率为正数的直线交抛物线于,A B 两点，且11FA FB =-．( I ) 求直线AB 的方程；（II ）设点C 是抛物线上 ()AB A B 不含、两点上的动点，求ABC △面积的最大值．20．（本小题满分15分）设函数()2f x x ax b =++(,)a b ∈R ．( I )若1b =，函数()f x 在[]1,1-的值域是[],m n ，求函数()h a n m =-的表达式；（II ）令24a tb =-，若存在实数c ，使得()()1+21f c f c ≤≤与同时成立，求t 的取值范围．参考答案一、选择题1-8 BADA CCDB 二、填空题9 ．132+，10．π 11 7, 21n n a =- 12．962，13．13 14． 15．π4三、解答题16．解：( I ) （1）由于函数()f x 定义域为R ，值域为[4,8]-，且0A >，则84A B A B +=⎧⎨-+=-⎩ ，得62A B =⎧⎨=⎩（2）由于图象过点(0,5)，代入，得6sin 25ϕ+=，即1sin 2ϕ=，又因为ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=（3）由于直线π6x =是()f x 图象的一条对称轴，则ππsin()166ω+=±，则ππππ()662k k ω+=+∈Z ，即62()k k ω=+∈Z ，且0ω>，故62()k k ω=+∈N （4）由于()f x 在ππ(,)32上单调递减，故ππ112π2322T ω-≤= ，得6ω≤ ，故只有当0k =时，2ω=满足条件．综上所述，π()6sin(2)26f x x =++ （II ）π()6sin(2)246f αα=++=，即π1sin(2)63α+=因为ππ(,)62α∈，所以ππ7π2(,)626α+∈，故πcos(2)63α+=-ππππππ11cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 66666632αααα=+-=+++=+=而211cos 26sin 22αα-===，又因为ππ(,)62α∈，则sin α=== 17．解：( I )证明：∵ABCD 是菱形 ∴AC ⊥BD又∵1AC ABCD ⊥底面 ∴1AC ⊥BD ，∴BD ⊥面1ACA ,即BD ⊥面11ACC A ，而BD ∈11DBB D 面∴1111ACC A DBB D ⊥面面（II ）法1：设四棱柱上下底面平行四边形的对角线交点分别是1O O 、，连接1OO ，由于11ACC A 为平行四边形，易知1OO 与1AC 相交，且交于各自的中点，设交点为E ，过1A 作1OO 的垂线，垂足为F∵1111ACC A DBB D ⊥面面11111ACC A DBB D OO ⋂=面面 , 11A F O O ⊥ ,1A F ∈11ACC A 面 ∴1A F ⊥11DBB D 面故直线1AC 与11DBB D 面所成角就是∠1A EF∵底面ABCD 是边长为2的菱形， =60BAD∠，14AA =∴O C =12AC 190ACA =，O E =1212AA =, ∴sin OC OEC OE ∠== ∴60OEC ∠=x故∠1A EF 60OEC =∠=即直线1AC 与11DBB D 面所成角为60（法2）设底面菱形对角线的交点为O ，由于AC ⊥BD ，如图建立空间直角坐标系O -xyz则计算可知，OC12AC ==1(((0,1,0),(0,1,0)C A B D A -，由于11AB A B 与的中点重合，故求得1(,2)B -则11(0,0,2),(0,2,0),(AC BD BB =-=-=- ，设11DBB D 面的法向量为(,,)n x y z =则1200200y n BD z n BB ⎧-=⎧=⎪⎪⎨⎨-+==⎪⎪⎩⎩，即，令1x =，则0,y z ==n = 则设直线1AC 与11DBB D 面所成角为θ，则11||sin ||||AC n AC n θ=== 60θ= 即直线1AC 与11DBB D 面所成角为6018．解：( I ) ∵23333123n n S a a a a =++++ ，∴2311233212S a S a a ⎧=⎨=+⎩， ∵{}n a 为正项等差数列，解之得1212a a =⎧⎨=⎩ 则1d = ，所以1(1)1n a n n =+-= （II ）211222211(1)22(1)22(1)22n n n a n n n n n a n n b n n S n n n n +++++++====-+++ 12311111111111128824243222(1)22(1)n n n n n T b b b b n n n ++=++++=-+-+-++-=-++ 即11122(1)n n T n +=-+ 19．解：( I )设直线AB 为2(0)x my m =+>，221212(,), B(,)44y y A y y ,(1,0)F224x my y x =+⎧⎨=⎩ ，消x ，得2480y my --=，则212121632048m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩则2222222212121212121212(1,)(1,)(1)(1)14444164y y y y y y y y FA FB y y y y y y +=--=--+=-++ 21616418114m +=-+-=- 得21m =，又因为0m >，故1m =，即直线AB 的方程2x y =+，即20x y --=（II ）设20(,)4y C y ，224x y y x =+⎧⎨=⎩，解得1,22y =±，故022y -<+设点C 到直线AB的距离为022001|2||(2)3|y y y d ----==当02y =，max d =，而||AB =故max 1||2ABC S AB d ==△20．解：（Ⅰ）()2221()124a a f x x ax x =++=++-22, 2(1),2(),221, 2224(1),22, 2a a f a a a m f a a f a a a -≥⎧-≥⎧⎪⎪⎪⎪=--≤≤=--≤≤⎨⎨⎪⎪≤-+≤-⎪⎪⎩⎩ ，(1),02, 0(1),02, 0f a a a n f a a a -<-<⎧⎧==⎨⎨≥+≥⎩⎩则222, 21, 024()1, 2042, 2a a a a a h a n m a a a a a ≥⎧⎪⎪++≤<⎪=-=⎨⎪-+-≤<⎪⎪-<-⎩（Ⅱ）()222()24a a f x x axb x b =++=++-（1）当214a b ->时，()2||()14a f x f x b =≥->，不满足题意． (2) 当2014a b <-≤，即2440a b --≤<时，()||1()1f x f x ==由方程，即，210x ax b ++-=，得12x 、，则当12[,]x x x ∈时，()||1f x ≤，而12|2x x -<，故+2c c 与必然不能同时满足12[,]x x ∈，故不满足题意．(3) 当2104a b -<-≤，即2404a b -<≤时，()||1()1f x f x ==由方程，即，210x ax b ++-=，得12x 、，则当12[,]x x x ∈时，()||1f x ≤，而12|2x x -≥，故必然存在+2c c 与同时满足12[,]x x ∈，故满足题意，则2(1,0]4a tb =-∈-（4）当214a b -≤-，即244a b -≥时，()||1()1f x f x ==±由方程，即，210x ax b ++-=，得12==22a a x x -- ，210x ax b +++=，得x x 34，则由图可知，当1342[,][,]x x x x x ∈⋃时，()||1f x ≤，而12|2x x ->，（有可能同时存在+2c c 与满足条件）且13||=22x x -=≤<.则+2c c 与若要满足条件，则必须满足13[,]c x x ∈，422[,]c x x +∈，故若同时存在+2c c 与满足条件，则必须要求34||2x x -≤而34|2x x -≤，解得248a b -≤，即2[2,1]4a t b =-∈-- 综上所述，2[2,0]4a t b =-∈-。

【全国百强校】2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末考试数学(文)试卷(带解析)

绝密★启用前【全国百强校】2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末考试数学（文）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．202、已知，函数的导函数是，且是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（） A ．B ．C ．D ．3、等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是，则首项（）A ．1B ．2C ．3D ．44、在中，分别是的对边，若，则的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5、设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（）A ．或B ．或2C ．或2D ．或6、已知、满足约束条件，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．7、若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A ．B ．C ．D ．8、某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类种数 40 10 30 20现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A. 7B. 6C. 5D. 49、已知圆的半径为，是其圆周上的两个三等分点，则的值等于（）A． B． C． D．10、“”是“函数为奇函数的”（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11、已知集合，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．12、在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知，则等于__________．14、如图，定义某种运算，运算原理如下图所示，则式子的值为__________．15、图是甲、乙两人在次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .16、等差数列的前项和为，若，，则__________．三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲已知函数. （1）若的解集为，求实数的值；（2）当且时，解关于的不等式.18、选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.（Ⅰ）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.19、已知函数，.（1）求的极值点；（2）对任意的，记在上的最小值为，求的最小值.20、已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（异于）.（1）求证直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值.21、如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.22、城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率.23、设函数.（1）求的最小正周期以及单调增区间；（2）若，，求的值.参考答案1、C2、A3、C4、D5、D6、B7、B8、B9、D10、A11、C12、C13、14、15、.16、17、（1）；（2）详见解析.18、（1）详见解析；（2）19、（1）是极大值点，是极小值点；（2）.20、（1）为定值；（2）21、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.22、（1）；（2）人；（3）23、（1）最小正周期为，单调增区间为；（2）.【解析】1、试题分析：由正视图与侧视图可知底面为长，宽的矩形，由俯视图可知此集合体为四棱锥，其高与正视图三角形的高相同，为，由四棱锥的体积公式可求出体积，由图可求得底面积为，所以此四棱锥体积为，故本题正确选项为C.考点：三视图，棱锥的体积.【思路点睛】解答本题，关键是要能从三视图正确判断出几何体的具体形状，要利用正视图与俯视图等长，正视图与侧视图等高，俯视图与侧视图等宽，以及题中所给的条件，能够判断出此几何体实为一个底面为矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，并从图中网格得出相关数据，再利用面积公式求其表面积即可.2、试题分析：对求导得，又是奇函数，故，解得，故有，设切点为，则，得或（舍去）得，故选A. 考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数求切线的斜率.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及等差数列求通项，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题是根据(2)求求解的.3、试题分析：末项为奇数项的一项，设等比数列共有项，则，则，解得，而，解得，故选C.考点：等比数列求和4、由正弦定理得，即，故，故为等腰直角三角形.点睛：本题主要考查解三角形中正弦定理的应用.在正弦定理中，原本的公式是,由此可以变形为，即可以进行边和角的互化.在进行边角互化的过程中，要注意方程左右两边的次数要相同，不相同不能进行互化.5、依题意有：若曲线为椭圆，则，若曲线为双曲线，则.点睛：本题主要考查：椭圆和双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法.由于题目没有说明圆锥曲线具体是哪一种，所以必须分类讨论，在几种圆锥曲线中，有两个焦点的是椭圆或者双曲线，如果是椭圆，按照椭圆的定义，可以求出离心率，同理，如果是双曲线，也可以利用双曲线的定义，求出其离心率.6、试题分析：作出不等式组所表示的可行域如下图所示，联立，得，作直线，则为直线在轴上的截距的倍，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，故选B.考点：线性规划7、试题分析：双曲线的离心率，所以，其渐近线的方程为，其斜率为，故选B.考点：1.双曲线的离心率；2.双曲线的渐近线8、依题意有：种.9、依题意有：. 点睛：本题主要考查平面向量的线性运算与数量积，考查化归与转化的数学思想方法.题目要求的是向量和向量的数量积，首先将向量转化为，然后再利用数量积的公式来求解.把所求向量转化为同起点的向量的方法，是解决此类问题的常用解法.10、试题分析：函数为奇函数，则当时，，即，因此“”是“函数为奇函数” 的充分不必要条件，故选A.考点：1.三角函数的奇偶性；2.充分必要条件11、试题分析：，，故A选项错误，B选项错误，，所以，故C选项正确，，D选项错误，故选C.考点：1.函数的定义域；2.集合间的包含关系12、试题分析：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义13、依题意有当时，函数是周期为的周期函数，故.14、程序框图的作用是先比较两个数的大小，如果大，则计算，如果不是，则计算.由于，所以所求式子的值为.15、试题分析：设被污损的数字为，则且，甲的平均成绩为，，解得，故的可能值有个，即甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.考点：1.茎叶图；2.平均数；3.古典概型16、依题意有：，解得，故.点睛：本题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式和前项和公式.在等差数列中，一共有个基本元素，其中包括首项，公差，末项，项数和前项和，在这些已知条件中，如果知道其中两个，就可以利用解方程组的方法求出其它的项.同理等比数列也有个基本元素.17、试题分析：（1）根据绝对值不等式的概念，大于在两边，小于在中间，可得，故，解得；（2）当且时，原不等式化为，对分成两类，去绝对值，讨论得的取值范围，用的值来表示.试题解析：（1）由得，所以，解得为所求.（2）当时，，所以，当时，不等式①恒成立，即；当时，不等式或或解得或或，即；综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.18、试题分析：（1）对曲线的极坐标方程两边乘以，可化得其直角坐标方程为，这是顶点在原点，焦点为的抛物线；（2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点，依题意直线又过点，由此求得直线方程为，倾斜角为，故直线的参数方程为，代入抛物线的直角坐标方程，写出韦达定理，利用求得弦长为.试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，故曲线是顶点为，焦点为的抛物线.（2）直线的参数方程为（为参数，），故经过点，若直线经过点，则.∴直线的参数方程为（为参数）代入，得，设对应的参数分别为，则，，∴.19、试题分析：（1）利用导数求出函数的两个极值点，并结合导数符号确定相应的极大值点与极小值点；（2）在（1）的基础上，对与极小值的大小作分类讨论，结合图象确定的表达式，然后再根据的表达式确定相应的最小值.试题解析：（1），由解得：，，当或时，，当时，所以，有两个极值点：是极大值点，；是极小值点，；（2）过点作直线，与的图象的另一个交点为，则，即，已知有解，则，解得，当时，；；当时，，，其中当时，；当时，，；所以，对任意的，的最小值为（其中当时，）.考点：1.利用导数求函数的极值；2.分类讨论.20、试题分析：（1）由点斜式设出直线的方程联立直线的方程和椭圆的方程，求出点的横坐标，同理设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点的横坐标，由此利用两点的斜率公式求得斜率的定值为；（2）先设出直线的斜截式方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，并求出弦长，利用点到直线的距离公式求出到的距离，代入三角形的面积公式，化简后利用基本不等式求的最大值.试题解析：（1）∵斜率存在，不妨设，求出，直线方程为，分别与椭圆方程联立，可解出，同理得，直线方程为，，∴，为定值.（2）设直线方程为，与联立，消去得，由得，且，点到的距离为.，设的面积为，∴，当时，得.21、试题分析：（1）由于这是一个三棱柱，两个底面平行，故其中一个面内的直线就和另一个面平行；（2）利用勾股定理证明，由矩形可得，故平面，所以，根据菱形可得，故平面；（3）过作，而，所以平面，故可作为三棱锥的高，利用体积公式求得体积.试题解析：（1）证明：∵四边形为矩形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）证明：在中，，，满足，所以,即.又因为四边形为矩形，所以，又，所以面，又因为面，所以，又因为四边形为菱形，所以，又，所以面.（3）解：过作于，由第（1）问已证面，∴面，∴，∴面，由题设知，∴.∴三棱锥的体积是.22、试题分析：（1）对于频率分布直方图计算平均数，是利用每一组数的中点值作为代表，然后乘以频率，再求和，就可以得到平均值；（2）通过样本计算得候车时间少于的频率为，以此作为概率，估计人中有人候车事件少于分钟；（3）第三组有人，第四组有人，从中抽取两人，基本事件总数有种，通过列举法可得符合题意的有种，故概率为.试题解析：（1）.（2）候车时间少于10分钟的概率为.所以候车时间少于10分钟的人数为人.（3）将第三组乘客编号为，第四组的乘客编号为，从6人中任选两人有包含以下基本事件：，，，，，，，.其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为.23、试题分析：（1）根据降次公式、二倍角公式和辅助角公式，可化简，利用求得周期为，将代入可求得增区间为；（2）依题意有，，由于所以，所以，利用两角差的正弦公式，可计算.试题解析：（1），∴的最小正周期为.由，得，.的单调增区间为：.（2），∴，∵，，∴，，.。

【山西省怀仁县第一中学】2017届高三上学期第三次月考(11月月考)数学(文科)试卷-答案

18．解：
（1）设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为：
；
（2）设：投资债券产品万元，则股票类投资为万元
另，则
所以，当，即万元时，收益最大，万元
19．解：（1）因为，
由正弦定理得：，
即：，
，又由C为的内角，故而
所以，又由B为的内角，故而
（2）因为点D为AC边的中点，故而，
21．
3．
4．【解析】
试题分析：不难发现；，，故．
5．【解析】B、C选项条件“正”不具备，故错误；A选项等号取不到，不完美；而D“正、定、等”都能取到，故选D．
6．
7．【解析】
试题分析：，故可以将函数的图象向右平移个单位．
8．
9．【解析】
试题分析：由得，则直线的斜率最小时，最大，若是目标函数取得最大值的最优解，即直线过点，且在轴上的截距最小，得．即的取值范围是，故答案为：．
（3）由（1）知：在区间上是增函数，
在区间上的最大值为，
要使对恒成立，
只要，即恒成立．
设对，恒成立，
则有即
即实数t的取值范围为
21．解：（Ⅰ）
即数列是首项、公比均为2的等比数列．
（Ⅱ）是等比数列，首项为2，通项，
故
，
当时，，符合上式．
数列的通项公式为．
（Ⅲ）解：，
19．【解析】试题分析：（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得，又，从而可求，结合为三角形内角，即可得解的值；（2）由点为边的中点，可得，两边平方，设，可得，结合基本不等式的应用可得的最大值，利用三角形面积公式即可得解．

山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题Word版含解析

山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{2016,3,4}M =，集合{|}N x x M =∈，则集合M 与N 的关系是（） A ．M N = B ．M N ≠ C ．M N =∅ D ．N 是M 的真子集【答案】A考点：集合.2.在ABC ∆中，“C B >”是“22cos cos C B <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：充分条件:由2222,,sin sin ,1cos 1cos ,cos cos C B c b C B C B C B >∴>∴>∴->-∴<；反之也成立.故选C.考点：正弦定理；三角函数的基本关系式；充分条件与必要条件.3.已知函数()tan 4(,)f x a x a b R =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（） A ．-5 B ．-3 C ．3 D ．随,a b 的值而定【答案】C 【解析】试题分析：33lg10lg log 10lglg lg10lg lg3lg lg3,(lg log 10)(lg lg 3)lg3f f ==-=-∴=-tan(lglg3)4(tanlglg34,tanlglg31a a a =-+=-++∴+=-，(lglg3)tanlglg34143f a ∴=+=-+=,故选C.考点：对数的运算性质.4.正项等比数列{}n a 中的14031a a 、是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（）A ．1B ． D ．-1 【答案】A 【解析】试题分析：'2()86f x x x =-+,因为14031a a 、是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点,所以14031a a 、是'2()86f x x x =-+的根,所以214311620166,,6,l og1a a a a =∴=∴=,故选A.考点：导数的极值；等比数列的性质；对数的运算. 5.若非零向量,a b 满足22||a =，||1b =,且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（） A ．4π B ．2π C. 34π D ．π【答案】A考点：向量的数量积.6.若函数()sin ()f x x x x R ωω=+∈，又()2f α=-，()0f β=，且||αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（）A ．13B ．32 C. 43 D ．23【答案】D 【解析】试题分析：整理得()2sin()3f x x πω=+,由()2f α=-，()0f β=，且||αβ-的最小值为34π,所以1322,3,3,443T T ππππωω=∴=∴=∴=,故选D. 考点：函数sin()y A x ωϕ=+的性质. 7.设曲线1*()n y xn N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++=（）A ．100B ．2 C. -100 D ．-2 【答案】D考点：导数的几何意义.8.已知分段函数21,0,(),0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)f x dx -⎰等于（）A ．13e +B ．2e - C. 713e - D ．12e- 【答案】C 【解析】试题分析：323232211212(2)(2)(2)(45)x f x dx f x dx f x dx x x dx e dx -+-=-+-=-++⎰⎰⎰⎰⎰322323223111(25)()[(22252)(12151)]12333x x x x e -+-++-=⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+322271[()()]3e e e-+-+---=-，故选C ．考点：定积分.9.已知函数4()f x x x =+，()2xg x a =+，若11[,1]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤B ．1a ≥ C. 2a ≤ D ．2a ≥ 【答案】A 【解析】试题分析：由1117[,1],()[5,]22x f x ∈∴∈；因为2[2,3],()[4,8]x g x a a ∈∴∈++,由若11[,1]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥得54,1a a ≥+∴≤,故选A. 考点：函数的单调性.10.函数y =的值域是（）A ．B ． C. [1,2] D ．[0,2] 【答案】B考点：基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式的运用.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 11.已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则111()mi x y =+=∑（）A ．0B ．m C.2m D ．4m 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得,函数()()f x x R ∈和()2()f x f x -=-的图象都关于(0,1)对称,所以两函数的交点也关于(0,1)对称,对于每一组对称点(,)i i x y 和''(,)i i x y ，都有''0,2i i i i x x y y +=+=．从而1()22mi i i mx y m =+=⋅=∑.故选B. 考点：函数的性质.【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性(中心对称),确定两个函数的交点也是关于(0,1)对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.12.直线y m =分别与曲线2(1)y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则||AB 的最小值为（） A．4 B ．2 C. 3 D ．32【答案】D考点：导数的最值及几何意义.【易错点睛】本题考查导数知识的正确运用,考查学生分析解决问题的能力,正确求导确定函数的单调性是关键.求函数的切线方程的注意事项：(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.数列2{()}n a -是递增数列，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】32a < 【解析】试题分析：23(),2n a n a a =-∴<. 考点：数列.14.设函数()f x 满足：（1）(1)0f =，且在[0,1]递增；（2）对整常数m 及任意的x 有()()f m x f m x -=+，(1)(1)f m x f m x -+=++.令2009()7a f =-，2010()7b f =-，2011()7c f =-，则,,a b c 由小到大的顺序是__________. 【答案】c b a <<考点：函数的图象和性质.15.如图，在ABC ∆中，已知3BAC π∠=，2AB =，4AC =，点D 为边BC 上一点，满足23AC AB AD +=.点E 是AD 上一点，满足2AE ED =，则BE =____________.【答案】9【解析】试题分析：延长AB 到F ,使2AF AB =,连接CF ,则AC AF =,取CF 中点,连接AO ,则2203,,,AC AB A AD A D O +==∴三点共线,又3BAC π∠=，3CAO π∴∠=，AO CF ⊥，4AC =，AO AD ∴=∴=,又22,22,,396AE ED AE ED AD AB BAE π=∴====∠=∴在ABC ∆中,由余弦定理得26428422,2792279BE BE =+-⨯⨯=∴=. 考点：余弦定理.【易错点睛】解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口． 16.已知函数()f x 定义在(0,)2π上，'()f x 是它的导函数，且恒有()'()tan f x f x x <成立，又知1()62f π=，若关于x 的不等式()sin f x x >解集是___________. 【答案】(,)62ππ考点：导数与函数的单调性；构造函数.【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：(1)当()f x 不含参数时，可通过解不等式'()0f x >(或'()0f x <)直接得到单调递增(或递减)区间；(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件'()0f x ≥(或'()0f x ≤)，(,)x a b ∈恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是'()f x 不恒等于0的参数的范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，点(,)n n a S 满足：21()()2f x x x =+的前n 项. （1）求n a ；（2）求数列{}(3)nnn S +的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =；(2)5256(2)(3)n n T n n +=-++. 考点：n a 与n S 的关系;裂项相消求数列的和.【易错点睛】本题主要考查了n a 与n S 的关系，裂项相消求数列的和.用裂项相消法求和应注意的问题,利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．本题难度不在,属于中档题. 18.（12分）已知向量(sin ,cos 2sin )a θθθ=-，(1,2)b =. （1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||a b =，0θπ<<，求θ的值.【答案】(1)1tan 4θ=；(2)2πθ=或34πθ=.【解析】试题分析：(1)利用向量共线的充要条件可得tan θ的值；(2)由||||a b =可得s i n (2)42πθ+=-，再由0θπ<<可得θ的值. 试题解析：（1）因为//a b ，所以2sin cos 2sin θθθ=-，于是4sin cos θθ=，故1tan 4θ=.………………4分（2）由||||a b =知，2222sin (cos 2sin )12θθθ+-=+. 整理得：sin 2cos21θθ+=-.………………8分于是sin(2)42πθ+=-，又由0θπ<<知，92444πππθ<+<，所以5244ππθ+=或7244ππθ+=，因此2πθ=或34πθ=.………………12分考点：向量共线；向量的模.19.（12分）已知函数1()cos )cos (,0)2f x x x x x R ωωωω=+-∈>.若()f x 的最小正周期为4π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．【答案】(1)42[4,4]()33k k k Z ππππ-+∈；(2)1()(,1)2f A ∈.试题解析：（1）∵21()cos cos2f x x x x ωωω=+-12cos 2sin(2)26x x x πωωω=+=+. ∵242T ππω==，∴14ω=，由，22,2262x k k k Z πππππ-≤+≤+∈，得4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴()f x 的单调递增区间为42[4,4]()33k k k Z ππππ-+∈.………………6分（2）由正弦定理得，(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+. ∵sin()sin 0B C A +=>，∴1cos 2B =. 或：(2)cos cos a c B b C -=，2cos cos cos a B b C c B a =+-，∴1cos 2B =. 又0B π<<，∴3B π=，∴203A π<<， ∴6262A πππ<+<，∴1()(,1)2f A ∈.………………12分考点：二倍角公式；两角和的正弦公式；正弦函数的性质；正弦定理.20.（12分）在ABC ∆中，4B π=，AC =cos C =. （1）求sin BAC ∠的值；（2）设BC 的中点为D ，求中线AD 的长.【答案】；.（2）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BC AC BAC B=∠.所以sin 6sin 2AC BC BAC B =⨯∠==，于是132CD BC ==.………………9分在ABC ∆中，AC =cos C =，所以由余弦定理，得AD ===即中线AD………………12分考点：两角和的正弦定理；正弦定理；余弦定理.【易错点睛】解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．21.（12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)12n b =；(2)1n a n =+. 试题解析：（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--，………………2分 21[1()]1133[1()]1231()3n n n S --==----，………………4分所以11()2131222()23n n n n n S b a --===+--+.………………5分考点：等比数列的通项公式；n a 与n S 的关系．22.（12分）设函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数.【答案】(1)当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间，当0m >时，函数()f x的单调增区间是)+∞，减区间是；(2)两函数图象总有一个交点.【解析】试题分析：(1)在定义域的前提下对函数求导,对m 分类: 0m ≤,0m >.可函数的单调区间；(2)设21()()()()(1)ln 2F x f x g x f x x m x m x =-==++-,本题可转化为求()F x 的零点个数问题,对m 分类讨论即可. 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2'()x m f x x-=，当0m ≤时，'()0f x ≥，所以函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间；………………2分当0m >时，('()x x f x x -=；当0x <<'()0f x <，函数()f x 单调递减；当x >时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.综上，当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间；当0m >时，函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是.………………4分（2）解：令21()()()()(1)ln 2F x f x g x f x x m x m x =-==++-，0x >，问题等价于求函数()F x 的零点个数.………………5分当0m =时，21()2F x x x =-+，0x >，有唯一零点；当0m ≠时，(1)()'()x x m F x x --=-；当1m =时，'()0F x ≤，函数()F x 为减函数，注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；………………7分当1m >时，01x <<或x m >时，'()0F x <，1x m <<时'()0F x >，所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点；………………9分当01m <<时，0x m <<或1x >时'()0F x <，1m x <<时'()0F x >，所以函数()F x 在(0,)m 和(1,)+∞单调递减，在(,1)m 单调递增，注意到ln 0m <，所以()(22ln )02m F m m m =+->，而(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点.………………11分综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.………………12分考点：函数的单调性与导数；函数与方程；分类讨论思想.。

山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第三次月考文数试题Word版含解斩

山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第三次月考文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U Z =，集合{}{}01,1012A B ==-，，，，，则图中阴影部分面积所表示的集合为（）A ．{}12-，B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}12， 2.已知等差数列{}n a 满足1464,16a a a =+=，则它的前10项和10S =（）A ．138B ．85C ．23D ．135 3.下列命题中是真命题的为（）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题是“若2320x x -+=，则1x ≠” B ．命题00:,sin 1p x R x ∃∈>，则:,sin 1p x R x ⌝∀∈≤ C ．若p 且q 为假命题，则p q 、均为假命题 D ．“()=+22k k Zπϕπ∈”是“函数()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件4.已知,231-=a 32log 3=b ,31log 21=c ，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C.c a b >> D ．c b a >> 5.下列命题正确的是（）A ．若,x k k Z π≠∈，则 222sin sin x x +≥．若0a <，则44a a+≥-C.若0,0a b >>，则lg lg a b +≥．若0,0a b <<，则2a bb a+≥6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12011a =，且()1220n n n a a a n N *++++=∈，则2012S =（）A ．2011B ．2012 C.1 D ．07.为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象（）A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 8.设函数)2)(2cos()2sin(3)(πϕϕϕ<+++=x x x f ，且其图象关于直线0x =对称，则（）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 C.()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 9.如图，已知点(),x y 在ABC ∆所包围的阴影部分区域内（包含边界），若53,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭是使得z ax y =-取得最大值的最优解，则实数a 的取值范围为（）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．[)0,+∞ C.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对应的三角形的边长，若4230aBC bCA cAB ++=，则c o s B =（） A ．1124-B ．1124 C. 2936 D ．2936- 11.如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设,,AB a AC b AF xa yb ===+，则12+x y的最小值为（）A ．8+B ．8 C.6 D ．6+12.当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[]6,2-- D ．[]4,3--第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若()322F x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则ab = ．14.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为． 15.4cos50tan 40︒-︒= ．16.已知平面向量,a b 的夹角为120︒，且1a b =-，则a b -的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设函数()()20f x x a x a a =-+-<. （1）证明：()16f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭；（2）若不等式()12f x <的解集为非空集，求a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健性产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为 19.（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B =. （1）求B ；（2）若点D 为边AC 的中点，1BD =，求ABC ∆面积的最大值. 20.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若[],1,1,0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n+>+成立.（1）证明：函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数；（2）解不等式()()21330f x f x -+-<；（3）若不等式()221f x t at ≤-+对[][]1,1,1,1x α∀∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，()12112,4,232n n n a a a a a n +-==+=≥. （Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设12122311,n n n n n n a a ab a S b b b b b b +=-=+++…，若n N *∃∈，使243n S m m ≥-成立，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数()()21ln 02f x x x mx m =+->．（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：曲线()y f x =不存在经过原点的切线.山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期第三次月考文数试题参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U Z =，集合{}{}01,1012A B ==-，，，，，则图中阴影部分面积所表示的集合为（）A ．{}12-，B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}12，【答案】A考点：维恩图与交并补运算.【易错点晴】本题考查了集合的交并补运算，属于简单题.本题易错点全集为整数集，不是实数集；正确理解阴影的含义，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为B AC U ）（.同学们还要注意表示集合的方法描述法，首抓元素形式，是点还是数；再抓元素的属性.空集是特殊集合，在处理子集问题时，要把空集放在首位来考虑.2.已知等差数列{}n a 满足1464,16a a a =+=，则它的前10项和10S =（）A ．138B ．85C ．23D ．135 【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列}{a n 的公差为d ，又1464,16a a a =+=，所以16d 8a 21=+，故1d =，85)134(5210)a S 10110=+⨯=⨯+=a （，故选B.考点：等差数列.3.下列命题中是真命题的为（）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题是“若2320x x -+=，则1x ≠” B ．命题00:,sin 1p x R x ∃∈>，则:,sin 1p x R x ⌝∀∈≤ C ．若p 且q 为假命题，则p q 、均为假命题 D ．“()=+22k k Zπϕπ∈”是“函数()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件【答案】B考点：简易逻辑. 4.已知,231-=a 32log 3=b ,31log 21=c ，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C.c a b >> D ．c b a >> 【答案】C 【解析】试题分析：不难发现）（1,0231∈=-a ；032log 3<=b ，121log 31log 2121=>=c ，故b a c >>.考点：利用幂指对函数性质比较大小. 5.下列命题正确的是（）A ．若,x k k Z π≠∈，则 222sin sin x x +≥．若0a <，则44a a+≥-C.若0,0a b >>，则lg lg a b +≥．若0,0a b <<，则2a bb a+≥【答案】D 【解析】试题分析：B 、C 选项条件“正”不具备，故错误；A 选项等号取不到，不完美；而D “正、定、等”都能取到，故选D. 考点：均值不等式.6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12011a =，且()1220n n n a a a n N *++++=∈，则2012S =（） A ．2011 B ．2012 C.1 D ．0 【答案】D考点：等比数列的通项及前n 项和.7.为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象（）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位【答案】C 【解析】试题分析：)]12(3[cos 2)43cos(23cos 3sin ππ-=-=+=x x x x y ，故可以将函数y x =的图象向右平移12π个单位. 考点：图象变换.8.设函数)2)(2cos()2sin(3)(πϕϕϕ<+++=x x x f ，且其图象关于直线0x =对称，则（）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 C.()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数【答案】B考点：两角和与差的三角函数，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式.9.如图，已知点(),x y 在ABC ∆所包围的阴影部分区域内（包含边界），若53,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭是使得z ax y =-取得最大值的最优解，则实数a 的取值范围为（）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．[)0,+∞ C.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】试题分析：由z ax y =-得z ax y -=，则直线z ax y -=的斜率最小时，z 最大，若B 是目标函数取得最大值的最优解，即直线z ax y -=过点B ，且在y 轴上的截距z -最小，得21K a AB -=≥．即a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．考点：线性规划的应用.10.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对应的三角形的边长，若4230aBC bCA cAB ++=，则c o s B =（） A ．1124-B ．1124 C. 2936 D ．2936- 【答案】A考点：向量减法的四边形法则，平面向量的基本定理及余弦定理的综合应用.11.如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设,,AB a AC b AF xa yb ===+，则12+x y的最小值为（）A ．8+B ．8 C.6 D ．6+【答案】B 【解析】试题分析：∵D 为AB 的中点，∴2=．∵y x +=，∴y x +=2，∵F 在线段CD 上，∴12=+y x ．又0,>y x ．∴842444)21)(2(2x 1=∙+≥++=++=+yxx y y x x y y x y x y ，当且仅当212==x y 时取等号．∴12+x y 的最小值为8．考点：向量共线定理.【思路点睛】本题综合考查了向量与不等式的知识，属于中等题.本题的切入点三点共线，在平面中C B A 、、三点共线的充要条件是：.O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=.本题中，D F C 、、三点共线，AC y x +=2，所以12=+y x ，然后巧用“1”，利用均值不等式求最值即可，注意等号成立条件.12.当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[]6,2-- D ．[]4,3--【答案】C考点：利用导数研究函数的最值.【方法点晴】本题考查不等式恒成立问题，属于难题.恒成立问题往往转化为最值问题，最常用的方法就是变量分离构造新函数然后求最值.本题定义域既含有正值也含有负值，所以处理起来比较繁琐，分成了三类：0x =，10≤<x ，02<≤-x ，但有一点是一样的，就是构造的新函数是同一个，所以处理过程是相仿的，同学们只要注意是最大还是最小就可以了.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若()322F x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则ab = ．【答案】44-考点：利用导数研究函数的极值． 14.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为．【答案】14【解析】试题分析：∵115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=，∴令1,1==n m ，得到251a a 212==，同理令1,2==n m ，得到1251a a 223==，∴此数列是首项为51，公比为51的等比数列，则4511511)51151S n nn -=--=（，∵n S t <恒成立，∴＜ｔ）（Ｓｍａｘｎ，又41<nS ，∴41≥t ，∴t 的最小值为41．考点：等比数列.15.4cos50tan 40︒-︒= ．试题分析：原式︒︒︒=︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=40cos sin40-80sin 240cos 40sin 40cos 40sin 440cos 40sin 40cos 50cos 4 340cos 40cos 340cos 40sin )40120sin 2=︒︒=︒︒-︒-︒=（.考点：三角恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换知识，属于中等题.三角恒等变换主要体现在“变”上，特别是“变角”与“变名”，本题首先变名，统一到“弦”上，抓住角的互余关系统一角，利用二倍角公式化简后，再次变角，把角统一到︒40上，然后约分化简即可.本类题目关键要熟悉公式得结构特点，而变形就是对结构特点的融会贯通.16.已知平面向量,a b 的夹角为120︒，且1a b =-，则a b -的最小值为．考点：平面向量数量积的应用以及基本不等式的应用【方法点晴】本题综合考查了向量数量积与基本不等式，属于中等题.由平面向量,a b 的夹角为120︒，1a b =-,2===，调整结论的形式，转化为模方和的形式，这样就把模之积与结论通过均值不等式联系到一起. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设函数()()20f x x a x a a =-+-<. （1）证明：()16f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭；（2）若不等式()12f x <的解集为非空集，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）()1,0-.（2）函数()()()()23,2,2232a x a a f x x a x a x a x x a x a ⎧⎪-≤⎪⎪⎛⎫=-+-=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象如图所示.当2a x =时，min 2a y =-，依题意：122a -<，解得1a >-，a ∴的取值范围是()1,0-.考点：绝对值不等式. 18.（本小题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健性产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为【答案】（1）()())10,08f x x x gx x =≥=≥；（2）16x =万元时，受益最大，max 3y =万元.试题分析：（1）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元．这时可以构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．考点：函数的实际应用题． 19.（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin 3a b C B =-. （1）求B ；（2）若点D 为边AC 的中点，1BD =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）23B π=；（2【解析】试题分析：（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cos sin sin B C C B =，又s i n 0C ≠，从而可求tan B =结合B 为三角形内角，即可得解B的值；（2）由点D 为边AC 的中点，可得2BD BA BC =+，两边平方，设,BA c BC a ==，可得224a c ac =+-，结合基本不等式的应用可得ac 的最大值，利用三角形面积公式即可得解．（2）因为点D 为AC 边的中点，故而2BD BA BC =+，两边平方得22242cos BD BA BA BC ABC BC =+∠+，又由（1）知23ABC π∠=，设,BA c BC a ==，即224a c ac =+-，所以2242ac a c ac +=+≥，即4ac ≤，当且仅当2a c ==时取等号.又1sin 2ABC S AC ABC ∆=∠=，故而当且仅当2a c ==时，ABC S ∆考点：考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用. 20.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若[],1,1,0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n+>+成立.（1）证明：函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数；（2）解不等式()()21330f x f x -+-<；（3）若不等式()221f x t at ≤-+对[][]1,1,1,1x α∀∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）4|13x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）(][){},22,0-∞-+∞.试题解析：（1）任取1211x x -≤<≤，则()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=--，()121211,0x x x x -≤<≤+-≠∴，又()1212120,0fx f x x x x x +->-<-，()()120f x f x -<∴，即函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数.（2）函数()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且在区间[]1,1-上是增函数，则不等式可转化为()()2133f x f x -<-，根据题意，则有221331111331x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.即不等式的解集为4|13x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.（3）由（1）知：()f x 在区间[]1,1-上是增函数，()f x ∴在区间[]1,1-上的最大值为()11f =，考点：考查函数的单调性的求法，考查不等式解集的求法，考查实数的取值范围的求法． 21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，()12112,4,232n n n a a a a a n +-==+=≥. （Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设12122311,n n n n n n a a ab a S b b b b b b +=-=+++…，若n N *∃∈，使243n S m m ≥-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2nn a =；（III ）1,14⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（I ）由()12112,4,232n n n a a a a a n +-==+=≥，变形为)(211-+-=-n n n n a a a a ，212=-a a ，利用等比数列的定义即可证明；（II ）由（I ）可得：12n n n a a +-=，利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出；（III ）121-=-=nn n a b ，可得()()11121121212121n n n n n n n n a b b +++==-----∴．利用“裂项求和”方法可得n S ，再利用数列的单调性、不等式的解法即可得出．（II ）解：{}1n n a a +-是等比数列，首项为2，通项12n n n a a +-=，故()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…121=22222n n -++++=…，当1n =时，112a =，符合上式.∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（III ）解：2,121n n n n n a b a ==-=-，()()11121121212121n n n n n n n n a b b +++==-----∴. 12231111111212121212121n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴…故11121n n S +=--.若x N *∃∈，使243n S m m ≥-成立，由已知，有2431m m -<，解得114m -<<，所以m 的取值范围为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭. 考点：递推关系、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“累加求和”方法、数列的单调性、不等式的解法.【思路点睛】数列两大核心问题：数列的项与数列的前n 项和.本题第一问证明数列为等比数列，主要有两种方式，利用等比定义证明或数列任三项满足等比中项（各项均不为零），第二问求递推数列的通项，考查了累加法，常用方法还有：累乘法、待定系数法、取倒数法、取对数法等等，第三问数列求和问题，通项结构为分式型，一般考察的是裂项求和法；后面恒成立问题转化为最值问题. 22.（本小题满分12分）设函数()()21ln 02f x x x mx m =+->．（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：曲线()y f x =不存在经过原点的切线.【答案】（1）当02m <≤时，()f x 的单调递增区间是()0,+∞，当2m >时，()f x 的单调递增区间是()10,x及()2,x +∞，单调递减区间是()12,x x ，其中12x x ==（2）证明见解析.试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()211x mx f x x m x x-+=+-=′，令()0f x =′，得210x mx -+=，当240m ∆=-≤，即02m <≤时，()()0,f x f x ≥′∴在()0,+∞内单调递增，当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得12x x ==120x x <<，在区间()10,x 及()2,x +∞内，()0f x >′，在()12,x x 内，()0f x <′，()f x ∴在区间()10,x 及()2,x +∞内单调递增，在()12,x x 内单调递减.（2）假设曲线()y f x =在点()()(),0x f x x >处的切线经过原点，则有()()=f x f x x ′，即21ln 12x x mx x m x x+-=+-，考点：利用导数研究函数的单调性.【思路点睛】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数m 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.第一问单调性问题，求导后转化为二次函数问题，抓住∆明确方程根的情况，然后再判断二次函数的符号；第二问证明题，假设存在过原点的切线，经过推导无解，从而否定了假设，得到了正确结论.。

山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试文数试题Word版含解析

山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|230}A x N x x =∈+-≤，{|}B C C A =⊆，则集合B 中元素的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C考点：集合间的关系.2.命题“[1,2)x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 【答案】B 【解析】试题分析：220x a a x -≤⇔≥,因为2[1,4)x ∈得4a ≥,故4a >是其的一个充分不必要条件.选B.考点：充分条件；必要条件. 3.已知等比数列{}n a 满足114a =，3544(1)a a a =-，则2a =（） A ． 2 B ．1 C ．12 D ．18【答案】C 【解析】试题分析：由354(1)a a a =-得23444421114(1),2,8,2,2a a a a q q a a q a =-∴=∴==∴=∴==.故选C.考点：等比数列的性质.4.设sin 33a =，cos55b =，tan 35c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >> C.c b a >> D ．c a b >> 【答案】C 【解析】试题分析：000sin 35cos55sin 35,sin 35cos35b c ===>,所以a b c <<,故选C. 考点：正弦函数的单调性.5.下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A ．lg y x x =+B ．lg y x x =- C. lg y x x =-+ D ．lg y x x =-- 【答案】B考点：函数的图象. 6.已知(,0)2x π∈-，cos2x a =，则sin x =（）A ．．【答案】B 【解析】试题分析：因为2221cos 212sin ,12sin ,sin ,sin 2a x x a x x x -=-∴=-∴=∴=故选B.考点：二倍角公式.7.函数()cos xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（） A ．4πB ．0 C. 34πD ．1 【答案】A 【解析】试题分析：''()cos sin ,(0)1,4xxf x e x e x k f πα=-∴==∴=,故选A.考点：导数的几何意义.【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义.求函数的切线方程的注意事项：(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．要从方程的角度上理解导数的几何意义. 8.要得到函数()cos(2)3f x x π=+的图象，只需将函数()sin(2)3g x x π=+的图象（） A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度C. 向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度【答案】C考点：sin()y A x ωϕ=+的图象.9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1a =，45B =，2ABC S ∆=，则b 等于（）A ．5B ． D ．【答案】A【解析】试题分析：由22211sin ,21,2cos 25,5222S ac B c b a c ac B b =∴=⨯⨯∴=∴=+-=∴=,故选A.考点：面积公式；余弦定理.10.若实数,x y 满足|3|1x y -≤≤，则2x yz x y+=+的最小值为（） A ．53 B ．2 C.35 D ．12【答案】A 【解析】试题分析：|3||3|11y x x y y ≥-⎧-≤≤⇔⎨≤⎩其图形如图所示,221x y z z y x x y z +-=⇒=+-,由图形知2150,2123z z z -≤≤∴≥≥-,故选A.考点：线性规划.11.对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式24[]36[]450x x -+<成立的x 的取值范围是（） A ．315(,)22B ．[2,8] C. [2,8) D ．[2,7) 【答案】C考点：一元二次不等式.【易错点睛】一元二次不等式求解中的注意事项：(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(3)在集合的运算、求函数的定义域时，经常用到解一元二次不等式(组)，此时要注意解集端点值的取舍.12.已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,]2 B ．1[,3]2C. (0,3] D ．[3,)+∞ 【答案】D考点：二次函数在闭区间上的最值；一次函数的单调性.【易错点睛】本题考查了知识点是二次函数在闭区间上的最值和一次函数的单调性；其中根据已知分析出”2()2f x x x =-在1[1,2]x ∈-时的值域为()2(0)g x ax a =+>在2[1,2]x ∈-的值域的子集”是解答本题的关键.(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数log 1a y x =+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40(0,0)x ym n m n+-=>>上，则m n +的最小值为____________. 【答案】1 【解析】试题分析：由题知函数恒过点(1,1),可得1140m n+-=，114m n ∴+=.111111()4()()(2)(22)14444n m m n m n m n m n m n +=+⨯⨯=++=++≥⨯+=.考点：基本不等式.14.已知函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，且对任意的x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+ 的解集为_____________. 【答案】(1,)-+∞ 【解析】试题分析：令''()()24,()()20g x f x x g x f x =--∴=->,所以()g x 在R 上增函数, 且(1)(1)2(1)40g f -=--⨯--=，由()(1)g x g >-得1x >-,故不等式的解集为(1,)-+∞．考点：函数的单调性与导数；构造函数.15.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为_____________．考点：余弦定理；面积公式.【易错点睛】解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口． 16.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值－１； ③该函数的图象关于52()4x k k Z ππ=+∈对称；④当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，0()f x <≤．其中正确命题的序号是___________．（请将所有正确命题的序号都填上）【答案】(3)(4)考点：三角函数的图象和性质.【易错点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质.根据题意作出此分段函数,由图象研究该函数的性质,根据这些性质判断四个命题的真假,此函数取自变量相同时函数值小的那一个,由此可顺利作出函数的图象.本题的难点在于作出函数的一个周期的图象及本题不是单一的三角函数.本题题意新颖,考察面广,能力要求较高,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知函数()|2||1|f x x a x =-++. （1）当1a =时，解不等式()3f x <；（2）若()f x 的最小值为1，求a 的值. 【答案】(1){|11}x x -<<；(2)4a =-或0. 【解析】试题分析：(1)根据绝对值的几何意义去绝对值,本函数可写成分段函数,分情况解不等式,可得解集；(2)由不等式的性质可得|1|12a+=,解得a 的值. 试题解析：（1）因为3,1,1()|21||1|2,1,213,,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩且(1)(1)3f f =-=，所以()3f x <的解集为{|11}x x -<<.………………5分（2）|2||1||||1||||1|0|1|2222a a a ax a x x x x -++=-+++-≥++=+，当且仅当(1)()02a x x +-≤且02ax -=时，取等号.所以|1|12a+=，解得4a =-或0.………………10分考点：绝对值不等式的性质;分段函数解不等式.18.（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos 14BAD ∠=-，sin 6CBA ∠=，求BC 的长. 【答案】；(2)3.故由题设知，cos CAD∠==………………4分（2）如题图，设BAC a∠=，则a BAD CAD=∠-∠.因为cos CAD∠=，cos BAD∠=所以sin7CAD∠===.sin14BAD∠===.于是sin sin()a BAD CAD=∠-∠sin cos cos sinBAD CAD BAD CAD=∠∠-∠∠(1471472=--⨯=.在ABC∆中，由正弦定理，得sin sinBC ACa CBA=∠.故sin3sinAC aBCCBA===∠.………………12分考点：正弦定理；余弦定理.【易错点睛】解三角形问题的技巧①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．19.（12分）设数列{}n a 满足21*123333()3n n na a a a n N -++++=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)*1()3n n a n N =∈；(2)1213344n nn S +-=+. （2）由（1）得3nn b n =，于是231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++，③ 234131323333n n S n +=⨯+⨯+⨯++，④③-④得231233333n n n S n +-=+++++，即11332313n n n S n ++--=--， ∴1213344n n n S +-=+.………………12分考点：错位相减数列求和.【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.（12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.【答案】(1)5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；(2)5912π.试题解析：由题意得2()2sin cos sin 222sin(2)3f x x x x x x x πωωωωωω=+=-=-，由最小正周期为π，得1ω=，所以()2sin(2)3f x x π=-. 函数的单调增区间为222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，整理得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间是5[,],1212k k k Z ππππ-+∈.………………6分（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+.令()0g x =，得712x k ππ=+或11()12x k k Z ππ=+∈. 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为115941212πππ+=.………………12分考点：正弦函数的性质; sin()y A x ωϕ=+的图象.21.（12分）已知函数1()ln 1a f x x ax x+=++-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）当102a -≤≤时，讨论()f x 的单调性.【答案】(1)ln 20x y -+=；(2)当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，当102a -<<时，()f x 在(0,1)或1(,)a a +-+∞上单调递减，在1(1,)a a+-上单调递增，当12a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减. （2）2222111(1)(1)'()a ax x a ax x x f x a x x x x++--++-=+-==，当0a =时，21'()x f x x-=. 此时，在(0,1)上，'()0f x <，()f x 单调递减；在(1,)+∞上，'()0f x >，()f x 单调递增. 当102a -≤<时，21()(1)'()a ax x a f x x++-=.当11a a +-=，即12a =-时，22(1)'()2x f x x -=-在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当102a -<<时，11a a +->，此时在(0,1)或1(,)a a+-+∞上，'()0f x <，()f x 单调递减；在1(1,)a a +-上，'()0f x >，()f x 单调递增. 综上，当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当102a -<<时，()f x 在(0,1)或1(,)a a +-+∞上单调递减，在1(1,)a a+-上单调递增；当12a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减.………………12分考点：导数的几何意义；函数的单调性与导数.22.（12分）已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()()2g x f x x ax =+++有零点，求实数a 的最大值；（2）若0x ∀>，2()1f x x kx x≤--恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)3-；(2)(,0]-∞.试题解析：（1）由题意，得2()ln 20g x x x x ax =+++=在(0,)+∞上有实根，即2ln a x x x-=++在(0,)+∞上有实根. 令2()ln x x x x φ=++，则22221221'()1(2)(1)x x x x x x x x xφ+-=+-==+-. 易知，()x φ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)3a x φφ-≥==，3a ≤-.故a 的最大值为-3.………………6分（2）∵0x ∀>，2()1f x x kx x≤--恒成立， ∴2ln 1x x kx ≤--，即21(1ln )k x x x ≤--. 令()1ln g x x x =--，0x >.11'()1x g x x x-=-=. 令'()0g x >，解得1x >，∴()g x 在区间(1,)+∞上单调递增；令'()0g x <，解得01x <<，∴()g x 在区间(0,1)上单调递减. ∴当1x =时，()g x 取得极小值，即最小值，∴()(1)0g x g ≥=， ∴0k ≤，即实数k 的取值范围是(,0]-∞.考点：函数的零点；导数与最值；分类讨论思想.。