第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
合集下载
4.5圆轴扭转时的强度和刚度条件
《化工设备设计基础》
8
动脑又动笔
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
D1 d
D2
已知轴的 [τ] ，设计 如图结构中的轴径 d 。
1 1 T P D P2 D2 1 1 2 2
P1
P2
T P D P D 8P D P D 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 [ ] W 2 d 16 d
4
《化工设备设计基础》
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1 （续1）
《化工设备设计基础》
5
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件 例1 （续2）
解：（1）外力偶矩和扭矩的计算。
实际功率
P Pe 22 0.9 19.8kW
P 19.8 m A 9.55 9.55 3.15kN m n 60
0.4 19.8 1.26kN m 60 0.6 19.8 mC 9.55 1.89kN m 60 m B 9.55
主动力偶矩
扭矩：
M T 1 mC 1.89 kNm
MT 2 mc mB 1.89 1.26 3.15kN m
《化工设备设计基础》
M T max N mm, G MPa N / mm 2 , I mm
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1
• 图示为带有搅拌器的反应釜简图。搅拌轴上装有 两层浆叶，已知电动机的功率Pe=22KW，搅拌轴 转速n=60r/min，机械传动效率 η=90％ ，上、 下层搅拌浆叶所受的阻力不同，所消耗的功率各 占总功率的η=40％ 和η=60％ 。此轴采用 φ114×6mm的不锈钢管制成，材料性能参数 [τ]=60MPa，G=8X104MPa，[θ]=0.5°/m 。 试校核搅拌轴的强度和刚度。若将此轴改为相同 材料且与原来空心轴强度相同的实心轴，试确定 其直径，并比较两种轴的用钢量。
8
动脑又动笔
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
D1 d
D2
已知轴的 [τ] ，设计 如图结构中的轴径 d 。
1 1 T P D P2 D2 1 1 2 2
P1
P2
T P D P D 8P D P D 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 [ ] W 2 d 16 d
4
《化工设备设计基础》
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1 （续1）
《化工设备设计基础》
5
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件 例1 （续2）
解：（1）外力偶矩和扭矩的计算。
实际功率
P Pe 22 0.9 19.8kW
P 19.8 m A 9.55 9.55 3.15kN m n 60
0.4 19.8 1.26kN m 60 0.6 19.8 mC 9.55 1.89kN m 60 m B 9.55
主动力偶矩
扭矩：
M T 1 mC 1.89 kNm
MT 2 mc mB 1.89 1.26 3.15kN m
《化工设备设计基础》
M T max N mm, G MPa N / mm 2 , I mm
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1
• 图示为带有搅拌器的反应釜简图。搅拌轴上装有 两层浆叶，已知电动机的功率Pe=22KW，搅拌轴 转速n=60r/min，机械传动效率 η=90％ ，上、 下层搅拌浆叶所受的阻力不同，所消耗的功率各 占总功率的η=40％ 和η=60％ 。此轴采用 φ114×6mm的不锈钢管制成，材料性能参数 [τ]=60MPa，G=8X104MPa，[θ]=0.5°/m 。 试校核搅拌轴的强度和刚度。若将此轴改为相同 材料且与原来空心轴强度相同的实心轴，试确定 其直径，并比较两种轴的用钢量。
圆轴扭转时的变形与刚度计算
上一页 返回首页 下一页
解 1)求外力偶矩。
MA=159.2Nm； MB=318.3Nm； MC=955Nm ； MD=5Nm 2)画扭矩图。首先计算各段扭矩 AB段： BC段： CD段： Mn1=-159.2N· m Mn2=- 477.5N· m Mn3=477.5N· m
A 1
5
3 6 0 . 75 80 10 9 . 2 10 π Mn= N mm 3 180 10 =9.63106Nmm= 9.63kNm
所以
Mnmax=9.63kNm
上一页 返回首页 下一页
传动轴如图。已知该轴转速 n=300r/min，主动轮输入功率 PC=30kW，从动轮输出功率 PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材
上一页 返回首页 下一页
已知：d=40mm，G=80GPa，求： 1200Nm 2000Nm 800Nm 总扭角。 解 Mn1=1200Nm Mn2=-800Nm C B A 4 800 1000 πd 6 4 I 0.25 10 m Mn 1200Nm 32
d
MA
MB 1 2 B2
机械工业出版社 M M C 3 D
Mn/Nm
C 3 D 477.5 + x
0 159.2
477.5 Mnmax=477.5Nm
按求得的扭矩值画出扭矩图。 由图可知最大扭矩发生在BC段和CD段，即
3)按强度条件设计轴的直径
M n max πd 3 [ ] 由 Wn 式和强度条件 Wn 16 16M n max 3 16 477.5 103 d 3 mm 39.3mm π π 40
代入上式，得 (7-6)
上一页 返回首页 下一页
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
其中
φ1 =
M x1l , GI p1
M l φ2 = x 2 GI p2
将（a）和（c）式代入（b）式得
（c）
M l M l Tl = x1 + x 2 GI p1 GI p1 GI p2
由此解得
（d）
M x1 = M x 2 =
其中
I p2 I p1 + I p2
T
（e）
于是，卸载后薄壁管横截面上的最大剪应力为
2
3
4－4 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为 mm。若已知 Me1＝1765 N·m，Me2 ＝1171 N·m，材料的切变模量 G＝80.4 GPa，求： 1．轴内最大剪应力，并指出其作用位置； 2．轴内最大相对扭转角 ϕ max 。
习题 4－4 图
解：1、确定最大剪应力 AB 段：
案
τ max ( AB ) =
Ts R3 = 3 0 4 Th R 2 (1 − n )
7
aw .
(d)Biblioteka co m由（a）式有
2 2 R0 = R2 − R12
将其代入（d）式，最后得到所要证明的结论：
3 3 3 2 Ts ( R 2 − R12 ) 2 (1 − n 2 ) 2 (1 − n 2 ) 2 1 − n2 = 3 = = = Th R 2 (1 − n 4 ) 1 − n4 (1 − n 2 )(1 + n 2 ) 1 + n2
τ 2 max =
Mx T = = 75.4MPa Wp πd 3 ⎛ ⎛ 1 ⎞ 4 ⎞ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 16 ⎜ ⎝ ⎝2⎠ ⎠
4
ww
r 0
τ 1max
Mx 3 × 10 3 × 16 T T = 70.7 MPa = = = = W P W P πd 3 π × 0.06 3 16
扭转刚度计算.
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ ] =1.0°/m，工作时最 内径d=85mm，许用切应力 [ ]=60MPa，
大力偶矩M =1500N· m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。
max 180M n /(GI P ) [θ ]
下列标准。 精密机械的轴 一般传动轴
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照 [ ] =（0.25~0.5）°/m [ ] =(0.5~1.0) °/m [ ] =(1.0~2.5) °/m
精度要求不高的轴
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
M n Wn [ ] (0.2 403 109 60106 )N m 768N m
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200/ 9550 )kW 16kW
二、刚度计算 圆轴扭转时，还要求不产生过大的扭转变形。即
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
，即
max M n/W n [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速n=200r/min， 材料的许用切应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
0.8/m ＜ [ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
04. 圆轴的扭转解析
在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
B
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
——扭转的强度和刚度计算
例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率，由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到，分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实：：ππ1Dd633（116−
α
⎫ ⎪ 4）⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d＝100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问 最大切应力是多少?
解： 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1，外直径为D，α = d1 / D = 0.5，则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0
材料力学-圆杆扭转时的变形及刚度条件
扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：
1. 必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式
将不再成立。
d
dx
2. 材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有
这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：
G
d
dx
二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结
何斌
Page 28
材料力学
第4章 圆轴扭转
连接件强度计算的工程意义
两个或多个构件相连 —— 1. 用 钉子、铆钉等联结 2. 焊接 3. 其它
联接件体系（联接件、被联接构件）的受力特点： 力在一条轴线上传递中有所偏离（与拉压情况不同）
问题：1. 力传递的偏离引起什么新的力学现象？ 2. 如何计算联接件、被联接构件的强度？
何斌
Page 12
材料力学
例 题1
第4章 圆轴扭转
θ M x θ ＝1.5 ＝1.5 π rad / m
GIp
2m 2 180
I
＝π D4 p 32
1－α 4
，α＝ d D
轴所能承受的最大扭矩为
M x
θ
GI
＝1.5 p2
π 180
rad/m G
π D4 32
1－α 4
1.5π
受扭圆轴的相对扭转角
圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动 的角度称为相对扭转角
d M x dx
GIP沿轴线方向积分，得到源自d M x dxl
l GIp
何斌
Page 6
材料力学
第4章 圆轴扭转
圆杆扭转时的变形及刚度条件
受扭圆轴的相对扭转角
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
材料力学 (扭转)(四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算)
Mx 0: T1 MA 0
C
T1 MA 7.03KN.m
22
Mx 0: -T2 MC 0
T2 MC 2.32KN.m
X
(4)讨论现在的设计是否合理。
若将A轮与B轮调换， X 则扭矩图如下：
可见轴内的最大扭矩值减小了。10
T(KN.M)
§3.2 薄壁圆筒扭转
在圆筒表面画 上许多纵向线 与圆周线,形成 许多小方格.
G
剪切胡克定律
Ｇ－剪切弹性模量
G E
2(1 )
2021/8/19
17
圆轴扭转时的应力和变形
根据观察到的现象， 经过推理，得出关于圆 轴扭转的基本假设。
m
m
圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，
形状和大小不变。且相邻两截面间的距离不变。这就 是圆轴扭转的平面假设。
2021/8/19
18
二. 应力在横截面上的分布
2
而象电动机的主轴，水轮 机的主轴也承受扭转作用， 但这些零件除扭转变形外， 还伴随有其它形式的变形， 属于组合变形。
• 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴。 • 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴。
2021/8/19
3
• 扭转受力的特点是：
• 在构件的两端作用两个大小相等、方向相反且作 用面垂直于构件轴线的力偶矩。致使构件的任意 两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形 式的变形即为扭转变形。
在转矩m作用下，发现圆 周线相对地旋转了一个角 度，但大小、形状和相邻 两圆周线的距离不变。
表明，在圆筒的横截面上没有正应力和径向剪应力。
2021/8/19
11
设圆筒平均半径为r，筒壁厚度为t
因圆筒壁厚很小，可认为剪应力沿
圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学
•
度条件为
max
Mn Wp
maxG MnIp •180
返回 下一张 上一张 小结
精品课件！
精品课件！
• （五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤
•
1）求出轴上外力偶矩；
•
2）计算扭矩和作出扭矩图；
•
3）分析危险截面；
•
4）列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。
返回 下一张 上一张 小结
返回 下一张 上一张 小结
• 二 剪应力计算：
• 1 几何关系： • • 2 物理关系：
P G
• • 3 静力关系：
Mnl d
G Ip
Mn d GIp d
• 扭转剪应力公式：
p
M n Ip
max
Mn Wp
返回 下一张 上一张 小结
•三
• •
截面极惯性矩 ；抗扭截面模量
ax
•
故求得直径为
4010
D3
16Mnmax3
1
6
628.467
0 .03 m 332 .2 3 mm
返回 下一张 上一张 小结
• （4）由刚度条件，得
maxM G nm pIax180G M nm D a4x 18 G n m 2a•x 18038 2 0 216 80 . 46 7 21 180
m ax0 .5 WM Pn 0 .6
0 .8 1 .0
• 2 强度计算的三个方面：
•
a 强度校核
•
b 截面选择
•
c 许可荷载确定
返回 下一张 上一张 小结
• 例1 如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5
• KN.m,直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。
第四节圆轴扭转时的强度和刚度计算
选择直径、壁厚、长度等作为设计变量。
设计变量
目标函数
约束条件
优化算法
以最大扭矩为目标函数，考虑重量和成本的影响。
强度、刚度、稳定性等为约束条件。
采用遗传算法进行优化，考虑多种方案进行比较和选择。
THANKS
感谢观看
抗扭截面模数是圆轴截面的几何特性，等于圆周上各点的截面模数之和。
剪切弹性模量是衡量圆轴材料抵抗剪切变形能力的参数，等于剪切模量与弹性模量之比。
圆轴扭转的强度计算
02
扭矩的单位
扭矩的单位为牛米（N·m）或千克米（kgf·m）。
扭矩
圆轴扭转时所受的力偶矩为扭矩，用M表示。
扭矩的方向
扭矩的方向垂直于圆轴的轴线。
圆轴扭转的受力分析
强度条件
强度计算公式
强度计算公式说明
圆轴扭转的强度计算公式
选择材料：圆轴的材料为45号钢。
确定许用扭矩：[M] = 50 N·m。
已知圆轴的直径d = 20 mm。
根据强度计算公式
由于Mmax ≤ [M]，因此该圆轴满足强度要求。
圆轴扭转的强度计算实例
01
02
03
04
05
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转时，轴的横截面保持为圆形，且各点的剪切变形相等。
圆轴扭转时，轴的纵向线发生微小的缩短，但各点的缩短量相等。
圆轴扭转的特点
圆轴扭转的基本参数
作用在轴上的扭矩等于作用在轴上所有外力的投影矢量的代数和。
扭矩（M）
极惯性矩（Ip）
抗扭截面模数（Wp）
剪切弹性模量（G）
极惯性矩是衡量圆轴抗扭能力的参数，等于圆周上各点的截面惯性矩之和。
xx年xx月xx日
材料力学（清华大学）-学习笔记
材料力学（清华大学）-学习笔记第一章1.工程上将承受拉伸的杆件统称为拉杆，简称杆rods；受压杆件称为压杆或柱column；承受扭转或主要承受扭转的杆件统称为轴shaft；承受弯曲的杆件统称为梁beam。
2.材料力学中对材料的基本假定：a)各向同性假定isotropy assumptionb)各向同性材料的均匀连续性假定homogenization and continuity assumption3.弹性体受力与变形特征：a)弹性体由变形引起的内力不能是任意的b)弹性体受力后发生的变形也不是任意的，而必须满足协调compatibility一致的要求c)弹性体受力后发生的变形与物性有关，这表明受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系4.刚体和弹性体都是工程构件在确定条件下的简化力学模型第二章1.绘制轴力图diagram of normal forces的方法与步骤如下：a)确定作用在杆件上的外载荷和约束力b)根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定轴力图的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；c)应用截面法，用假象截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负；d)建立F N-x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。
2.强度设计strength design 是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。
对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足：，这一表达式称为轴向载荷作用下杆件的强度设计准则criterion for strength design，又称强度条件。
其中称为许用应力allowable stress，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定：，式中为材料的极限应力或危险应力critical stress，n为安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆轴扭转后横截面保持平面
第一个结论
圆轴扭转时，横截 面保持平面，平面上 各点只能在平面内转 动
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，A端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，B端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
最终结论
圆轴扭转时，横 截面 保持平面，并且 只能发生刚性转动。
圆轴扭转后横截面保持平面
变形协调方程
圆轴扭转时的变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度 上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪 应变各不相同，半径越小者剪应变越小。
其中P为功率，单位为千瓦（kW）； n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P[马力]
Me
7024 n[r / min]
[N m]
若P为功率，单位为马力 （1马力=735.5 N•m/s ）
n为轴的转速，单位为转/分（r/min）
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
max
M x,max Wp
[ ]
[ ]为许用剪应力；是指圆轴所有横截面
上最大剪应力中的最大者，
钢 [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ] 铸铁 [ ] (0.8 ~ 1)[ ]
例题1
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直 径之比 = 0.5。二轴长度相同。
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
Wp 扭转截面系数
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于直径为 d 的实心圆截面
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面
=d/D
4.3.5 受扭圆轴的强度设计准则
4-3-5 受扭圆轴的强度设计准则
第4章
圆轴扭转时的强度与刚度 计算
2020年10月28日
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
当两只手用力相等时，拧紧 罗母的工具杆将产生扭转
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
拧紧罗母的工具杆不仅产生 扭转，而且产生弯曲
概述
请判断哪些零件 将发生扭转
传动轴
传动轴将 产生扭转
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
连接汽轮机和发电机的传动轴将产 生扭转
概述
对于实心截面杆件以及某些薄壁截 面杆件，当其横截面上仅有扭矩（Mx） 或 剪 力 （ FQy 或 FQz ） 时 ， 与 这 些 内 力 分量相对应的分布内力，其作用面与 横截面重合。这时分布内力在一点处 的集度，即为剪应力。
概述
分析与扭矩和剪力对应的剪应力方 法不完全相同。对于扭矩存在的情形， 依然借助于平衡、变形协调与物性关系， 其过程与正应力分析相似。对于剪力存 在的情形，在一定的前提下，则可仅借 助于平衡方程。
例题2
3
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm.
圆轴扭转变形特征－反对称性论证 圆轴扭转时横截面保持平面
运用反对称性分析，可以证明，圆轴受扭发生变形后，其横截面依 然保持平面。
圆轴扭转后横截面保持平面
根据圆 反轴 对的 称轴 要对 求称 ，C性、质DC两、点D不两
点 可必 能须 有具 轴有 向相 位同 移的 ，位因移而，必因须而仍二然 者 位必 于须 原位 来于 所同 在一 的圆周上。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的重量之比。
例题1
解：首先由轴所传递的功率计算作用在 轴上的扭矩
实心轴
算得
例题1
解：对于空心轴，
d2＝0.5D2=23 mm
例题1
实心轴 d1=45 mm
空心轴 D2＝46 mm d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面 面积之比：
G E 2(1 v)
4.3 圆轴扭转时横截面上的剪应力 分析与强度设计
平面假定
物性关系
变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力分析方法与过程
应力公式
圆轴扭转变形特征－反对称性论证圆轴 扭转时横截面保持平面
变形协调方程 物性关系－剪切胡克定律 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
4.3.1 平面假定与剪应变分布规律
P kw Me 9549 ne 确定后，应用 截面法可以确 定横截面上的 内力—扭矩Mx
例 4.1 变截面传动轴承受外加扭力矩作 用，如图4-2a所示。试画出扭矩图。
应用截面法，分 别确定AB和BC 段横截面上的内 力—扭矩Mx，绘出扭
矩图如（b） 所示。
概述
本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用 下其横截面剪应力
4.1 外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
4.2 剪应力互等定理,剪切胡克定律
4.3 圆轴扭转时横截面上的剪应力 分析与强度设计
4.4 圆轴扭转时的变形与刚度条件 4.5 结论与讨论
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P kw Me 9549 nr / min [N m]
例 4.1 变截面传动轴承受外加扭力矩作 用，如图4-2a所示。试画出扭矩图。
扭矩图特征： 集中力偶作用 处，扭矩图有 突变，突变值 等于该集中力 偶数值。
4.2 剪应力互等定理,剪切胡克定律
4.2.1 剪应力互等定理
y
'
dy
dz x
z dx
Mz 0, (dydz)dx ( dxdz)dy 0
两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平 面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理
4.2.2 剪切胡克定律
通过扭转试验，可以得到剪应 力 与剪应变 之间的关系曲线 （图a）。
Gr
其中G为材料的弹性常数，称为 剪切弹性模量或切变模量 （shear modulus）
剪应变沿半径方向分布
设到轴线任意远处的剪应变为 ( ），则从图中可得到如下几何关系：
物性关系－剪切胡克定律
剪切胡克定律
剪应力沿半径方向分布
4.3.2 横截面上的剪应力分布
4.3.2 横截面上的剪应力分布 剪应力沿半径方向分布
静力学方程
圆轴扭转时相对扭转角的表达式 GIP—扭转刚度