第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
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圆轴扭转时的变形与刚度计算
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已知：d=40mm，G=80GPa，求： 1200Nm 2000Nm 800Nm 总扭角。 解 Mn1=1200Nm Mn2=-800Nm C B A 4 800 1000 πd 6 4 I 0.25 10 m Mn 1200Nm 32
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AB= l ， AB=R
= l / R
将胡克定律
式中，GI反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭 刚度。 当两个截面间的Mn、G或I为变量时，需分段计算扭角， 然后求其代数和，扭角的正负号与扭矩相同。
Mn G GI M nl GI
5
3 6 0 . 75 80 10 9 . 2 10 π Mn= N mm 3 180 10 =9.63106Nmm= 9.63kNm
所以
Mnmax=9.63kNm
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传动轴如图。已知该轴转速 n=300r/min，主动轮输入功率 PC=30kW，从动轮输出功率 PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材
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二、圆轴扭转时的刚度计算
设计轴类构件时，不仅要满足强度要求，有些轴还要考虑
已知：d=40mm，G=80GPa，求： 1200Nm 2000Nm 800Nm 总扭角。 解 Mn1=1200Nm Mn2=-800Nm C B A 4 800 1000 πd 6 4 I 0.25 10 m Mn 1200Nm 32
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AB= l ， AB=R
= l / R
将胡克定律
式中，GI反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭 刚度。 当两个截面间的Mn、G或I为变量时，需分段计算扭角， 然后求其代数和，扭角的正负号与扭矩相同。
Mn G GI M nl GI
5
3 6 0 . 75 80 10 9 . 2 10 π Mn= N mm 3 180 10 =9.63106Nmm= 9.63kNm
所以
Mnmax=9.63kNm
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传动轴如图。已知该轴转速 n=300r/min，主动轮输入功率 PC=30kW，从动轮输出功率 PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材
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二、圆轴扭转时的刚度计算
设计轴类构件时，不仅要满足强度要求，有些轴还要考虑
第四节圆轴扭转时的强度和刚度计算
扭转
圆轴和扭转的定义
1
圆轴扭转的物理现象
2
3
在圆轴扭转过程中，扭矩是衡量物体受到的转动力的单位。扭矩的大小与物体的转动惯量和阻力矩有关。
扭矩
转动惯量是描述物体在转动过程中抵抗变化的能力，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。
转动惯量
阻力矩是物体在转动过程中受到的阻力，与物体的形状、大小和环境因素有关。
02
圆轴扭转的强度计算
01
最大剪切应力是衡量圆轴在扭转时所能承受的最大剪切力，通常用符号τmax表示。它是圆轴材料在一定温度和湿度条件下所能承受的最大剪切应力值。
最大剪切应力计算
02
根据材料力学公式，最大剪切应力与圆轴截面尺寸和材料有关。具体公式为：τmax = F*a/W，其中F为作用在圆轴上的扭矩，a为圆轴截面上的剪切应力，W为圆轴截面面积。
02
对于金属材料，其剪切模量可以通过剪切弹性模量和密度计算得到。
04
圆轴扭转的有限元分析
有限元模型的建立
百度文库
将圆轴划分为若干个单元，以便进行有限元分析。
网格划分
材料属性定义
边界条件定义
载荷施加
为圆轴的材料定义弹性模量、泊松比等物理属性。
定义圆轴的边界条件，如固定支撑或自由支撑。
在圆轴上施加扭矩载荷，根据实际情况确定扭矩大小和作用位置。
在实际工程中，为了确保圆轴在承受扭矩作用时不会发生塑性变形，通常需要将作用在圆轴上的扭矩F控制在屈服强度Fs允许的范围之内。
圆轴和扭转的定义
1
圆轴扭转的物理现象
2
3
在圆轴扭转过程中，扭矩是衡量物体受到的转动力的单位。扭矩的大小与物体的转动惯量和阻力矩有关。
扭矩
转动惯量是描述物体在转动过程中抵抗变化的能力，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。
转动惯量
阻力矩是物体在转动过程中受到的阻力，与物体的形状、大小和环境因素有关。
02
圆轴扭转的强度计算
01
最大剪切应力是衡量圆轴在扭转时所能承受的最大剪切力，通常用符号τmax表示。它是圆轴材料在一定温度和湿度条件下所能承受的最大剪切应力值。
最大剪切应力计算
02
根据材料力学公式，最大剪切应力与圆轴截面尺寸和材料有关。具体公式为：τmax = F*a/W，其中F为作用在圆轴上的扭矩，a为圆轴截面上的剪切应力，W为圆轴截面面积。
02
对于金属材料，其剪切模量可以通过剪切弹性模量和密度计算得到。
04
圆轴扭转的有限元分析
有限元模型的建立
百度文库
将圆轴划分为若干个单元，以便进行有限元分析。
网格划分
材料属性定义
边界条件定义
载荷施加
为圆轴的材料定义弹性模量、泊松比等物理属性。
定义圆轴的边界条件，如固定支撑或自由支撑。
在圆轴上施加扭矩载荷，根据实际情况确定扭矩大小和作用位置。
在实际工程中，为了确保圆轴在承受扭矩作用时不会发生塑性变形，通常需要将作用在圆轴上的扭矩F控制在屈服强度Fs允许的范围之内。
材料力学第四章 扭转
D d
A 1 2B 3 4 C a bb a
1
T1 WP1
16T1
D3
161000
53
○－
○－
○－ 0.5kN.m
1kN.m
0.8kN.m
40.74MPa
4
T4 WP 4
16T4
D3 (1 4 )
16 800 53 (1 0.54 )
32 2000180
80109 0.3 2
103
83.5mm
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
×
[例4—5]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m；
[]=60MPa，[ ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
扭矩的正负号按右手螺旋法 则来确定，即右手握住杆的轴线， 卷曲四指表示扭矩的转向，若拇 指沿截面外法线指向，扭矩为正， m 反之为负。
课题十四圆轴扭转时的强度条件及刚度条件
IP ——截面对圆心的极惯性矩 圆形截面
图14-1
I
p
d 4 32
课题十四 Leabharlann Baidu轴扭转时的强度条件及刚度
剪应力的最大值发生在横截面的圆周线上，其值为 WT——抗扭截面系数 对于实心圆轴
m ax
T WT
对于空心圆轴
d3 W (14) T 16
d3 WT 16
二、圆轴扭转时的强度条件
为保证轴的正常工作，轴内的最大剪应力不应超过材料的许用剪应 力，即
max
T [ ] WT
这就是圆轴扭转的强度条件
三、圆轴扭转时的变形
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度
圆轴扭转时的变形用扭转角ψ来度量，扭转角ψ是某一截面相对于另一截 面所转过的角度。如图14-2所示。 对等直圆轴而言，若在轴的长度范围内，扭矩为常量时，圆轴两端截面间
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度条件 一、圆轴扭转时的应力
圆轴扭转时横截面上没有正应力，只有剪应力，剪应力的方向与
半径线垂直，大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆周处
最大，如图14-1所示。
T I p
式中： τ——横截面上某点的剪应力 T——截面的扭矩
ρ——剪应力计算点到圆心的距离
的扭转角为
G——材料的剪切弹性模量
TL GIp
图14-1
I
p
d 4 32
课题十四 Leabharlann Baidu轴扭转时的强度条件及刚度
剪应力的最大值发生在横截面的圆周线上，其值为 WT——抗扭截面系数 对于实心圆轴
m ax
T WT
对于空心圆轴
d3 W (14) T 16
d3 WT 16
二、圆轴扭转时的强度条件
为保证轴的正常工作，轴内的最大剪应力不应超过材料的许用剪应 力，即
max
T [ ] WT
这就是圆轴扭转的强度条件
三、圆轴扭转时的变形
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度
圆轴扭转时的变形用扭转角ψ来度量，扭转角ψ是某一截面相对于另一截 面所转过的角度。如图14-2所示。 对等直圆轴而言，若在轴的长度范围内，扭矩为常量时，圆轴两端截面间
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度条件 一、圆轴扭转时的应力
圆轴扭转时横截面上没有正应力，只有剪应力，剪应力的方向与
半径线垂直，大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆周处
最大，如图14-1所示。
T I p
式中： τ——横截面上某点的剪应力 T——截面的扭矩
ρ——剪应力计算点到圆心的距离
的扭转角为
G——材料的剪切弹性模量
TL GIp
材料力学 第4章_扭转
II-II 截面
TⅡ mB mC
700 N m
TⅢ mD 446 N m
3. 画出扭矩图 讨论:若将轮A与轮D调换位 置，扭矩图将怎样变化？
返回
III-III 截面
讨论:若将轮A与轮D调换位 置，扭矩图将怎样变化？ mA 1146 N m
mB mC 350 N m mD 446 N m 解： T m 350 N m
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
返回
5. 切应变、剪切胡克定律 切应变
剪切胡克定律 当切应力不超过剪切比 例极限时有:
r tan l
G
G 切变模量(剪切弹性模量)
薄壁圆筒的扭转试验
三个弹性常数 E, , G间的关系
E G 2(1 )
返回
二、圆轴扭转时的应力
1.变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 平面假设 圆轴扭转时，横截面保持 为平面,并且只在原地绕轴线 “刚性”转动。
TⅡ mB mC
700 N m
TⅢ mD 446 N m
3. 画出扭矩图 讨论:若将轮A与轮D调换位 置，扭矩图将怎样变化？
返回
III-III 截面
讨论:若将轮A与轮D调换位 置，扭矩图将怎样变化？ mA 1146 N m
mB mC 350 N m mD 446 N m 解： T m 350 N m
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
返回
5. 切应变、剪切胡克定律 切应变
剪切胡克定律 当切应力不超过剪切比 例极限时有:
r tan l
G
G 切变模量(剪切弹性模量)
薄壁圆筒的扭转试验
三个弹性常数 E, , G间的关系
E G 2(1 )
返回
二、圆轴扭转时的应力
1.变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 平面假设 圆轴扭转时，横截面保持 为平面,并且只在原地绕轴线 “刚性”转动。
——扭转的强度和刚度计算
τ 1 = γτ max
其中 : WT = α b 2h
θ = Mx
GI T
, 其中 : IT = β b3h
对于狭长矩形 ( 即 : h ≥ 10 ) ; b
α ≈β ≈1
3
查表求α 和β 时一定要注意，表中α 和β 与那套公式对应。
[例] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 Mx =4000N·m 的作用 ，钢的G =80GPa ，试求此杆的剪应力和单位长度扭 转角。
2. 最大剪应力及单位扭转角
τ
max =
M x max WT
（长边中点处〕
τ 1 = γτ max （短边中点处〕
θ = Mx ,
GI T
其中：IT—相当极惯性矩。
IT = β b4
其中：WT = α b3
注意！ 对于W T 和 IT ，多数教材与手册上有如下定义：
τ
max =
M x max WT
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
圆轴扭转时刚度计算
圆轴扭转时的变形和刚度计算 扭转变形
扭转角：圆轴扭转时，两横截面相对转过 的角度称为这两截面的相对扭转角。
A M
BO
T d dx l l GI P
Tl
M
若在圆轴的l长度内，T、G、IP 均为常数，则圆轴两端 截面的相对扭转角为：
GI P
抗扭刚度：式中的 GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变 形的能力。
例若将前题中的圆轴改为同样强度的空心圆轴，其内外径之比
=d/D=0.7，试设计其内外径尺寸，并与前题所消耗材料作
一比较。 解：要求与前题之轴具有同样强度，即要求该空心圆轴工 作时的最大切应力与实心圆轴的最大切应力相同： max ＝ 38.4MPa，即有
max
70016 T 38.4MPa 3 4 WP D (1 )
的强度和刚度。
解：
1） 计算外力偶矩
M A 9550
PA n 1168N m
同理
M B 468N m
M C M D 350N m
2）绘制扭矩图 用截面法求 1-1截面的扭矩
1
2
3
T1 M B 468N m
2-2截面的扭矩
1
2
700Nm
3
350Nm C D
61%，节约了材料。
扭转角：圆轴扭转时，两横截面相对转过 的角度称为这两截面的相对扭转角。
A M
BO
T d dx l l GI P
Tl
M
若在圆轴的l长度内，T、G、IP 均为常数，则圆轴两端 截面的相对扭转角为：
GI P
抗扭刚度：式中的 GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变 形的能力。
例若将前题中的圆轴改为同样强度的空心圆轴，其内外径之比
=d/D=0.7，试设计其内外径尺寸，并与前题所消耗材料作
一比较。 解：要求与前题之轴具有同样强度，即要求该空心圆轴工 作时的最大切应力与实心圆轴的最大切应力相同： max ＝ 38.4MPa，即有
max
70016 T 38.4MPa 3 4 WP D (1 )
的强度和刚度。
解：
1） 计算外力偶矩
M A 9550
PA n 1168N m
同理
M B 468N m
M C M D 350N m
2）绘制扭矩图 用截面法求 1-1截面的扭矩
1
2
3
T1 M B 468N m
2-2截面的扭矩
1
2
700Nm
3
350Nm C D
61%，节约了材料。
材料力学 第四章扭转
x
16mx
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 /m 注意单位换算: 1 rad / m π
Page35
第四章
扭转
例：已知轴的尺寸， ， ，计算总扭转，校核强度与刚度。
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
x
a
a
a
解：1、画扭转图（与轴位置对齐），确定危险截面。
W
薄壁管的扭转切应力近似计算
•极惯性矩与抗弯截面系数 3 D4 4 D 4 Ip 1 W 1 p 32
16
T 2 2 R0
适用范围？
d D
• 切应力互等定理 (适用范围？）
Page27
第四章
扭转
§4-4
圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效与扭转极限应力
Page37
第四章 3、强度校核（危险截面A和B）
m 2M a
扭转
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
T
2M x a
max
max
2M M A: , B: D3 D3 1 4 16 16 max
16mx
Tmax GI P
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m 180 /m 注意单位换算: 1 rad / m π
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第四章
扭转
例：已知轴的尺寸， ， ，计算总扭转，校核强度与刚度。
m 2M a
A
B
M
3M
d D
a
x
a
a
a
解：1、画扭转图（与轴位置对齐），确定危险截面。
W
薄壁管的扭转切应力近似计算
•极惯性矩与抗弯截面系数 3 D4 4 D 4 Ip 1 W 1 p 32
16
T 2 2 R0
适用范围？
d D
• 切应力互等定理 (适用范围？）
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第四章
扭转
§4-4
圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效与扭转极限应力
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第四章 3、强度校核（危险截面A和B）
m 2M a
扭转
A
B
M
3M
d D
a
T
a
a
a
M
x
A B
2M
x
T
2M x a
max
max
2M M A: , B: D3 D3 1 4 16 16 max
材料力学(第四讲)
第四章 扭转
(2) 刚度计算 Tmax=9560N.m
θ max
Tmax 180D = ⋅ = 0.48D < [θ ] GI P π
所以刚度符合要求。
第四章 扭转 例 如图传动轴，n=500r/min，N1=500马力， N2=300马力， N3=200马力，已知[τ ] = 40MPa ，许可单位长度扭转角[θ ]=1 °/m ，G=80GPa。求：确定AB和BC段直径。
解： (1)应力计算 由扭矩图得知T2=9.56kN.m
T ⋅ρ τρ = IP
9560 × 40 ×10 −3 = = 26.6MPa 4 −12 π ×110 ×10 / 32
第四章 扭转
(2) 强度计算 危险横截面在AC段， Tmax=9.56kN.m
τ max =
Tmax 9560 = = 36.6MPa ＜[τ] 3 −9 WP π × 110 ×10 / 16
§4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计 一、扭转失效与扭转极限应力
低碳钢扭转破坏 铸铁扭转破坏
塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终 沿横截面断裂。
脆性材料扭转失效时，变形很小，最终 沿与轴线成45°螺旋面断裂。
⎧τ s 扭转极限应力 τ u = ⎨ ⎩τ b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
解： 1）计算外力偶矩
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
——圆轴扭转的平截面假定 即：圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动
18
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
ρ R
A
dx O
d
B
B´
C
D
D´
变形
O ’
()
G
G
d
dx
A
B
B´
应变特征 应力分布
C
D D
G G BB ´ G Rd
10
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
扭转时的内力——扭矩、扭矩图
Βιβλιοθήκη Baidu• 杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形，同时在轴内 产生抵抗扭转变形的内力偶矩T，称为扭矩
• 扭矩T的计算仍采用截面法
假想截面m-m将杆件分为 两部分，根据平衡关系，有
T=M
11
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 扭矩符号的规定
IP
d /2 2 3d d 4
0
32
25
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
总结 － 实心圆轴
圆轴扭转变形公式
d T
dx GIP
圆轴扭转切应力
T
IP
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转
§4—1 工程实例、概念
一、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。 二、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩
一、外力：m （外力偶矩）
1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。 外力偶矩：m)(N 9549⋅=n
P
m 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。 外力偶矩：m)(N 7024⋅=n
P
m 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）
m
T m T m
x
==-=∑00
2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。）
3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。作法：同轴力图：
§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚010
1
r t ≤
,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。 1、实验：
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。 4、定性分析横截面上的应力
第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
基础篇之四
第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
杆的两端承受⼤⼩相等、⽅向相反、作⽤平⾯垂直于杆件轴线的两个⼒偶，杆的任意两横截⾯将绕轴线相对转动，这种受⼒与变形形式称为扭转（torsion ）。
本章主要分析圆轴扭转时横截⾯上的剪应⼒以及两相邻横截⾯的相对扭转⾓，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计⽅法。
4－1 外加扭⼒矩、扭矩与扭矩图
作⽤于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭⼒矩M e 可⽤下式计算：
[][]
e kw 9549
[N m]r /min P M n =?
其中P 为功率，单位为千⽡（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。如功率P 单位⽤马⼒（1马⼒=735.5 N ?m/s ），则
e []
7024
[N m][r /min]
P M n =?马⼒
外加扭⼒矩M e 确定后，应⽤截⾯法可以确定横截⾯上的内⼒—扭矩，圆轴两端受外加扭⼒矩M e 作⽤时，横截⾯上将产⽣分布剪应⼒，这些剪应⼒将组成对横截⾯中⼼的合⼒矩,称为扭矩（twist moment ），⽤M x 表⽰。
图4－1 受扭转的圆轴
⽤假想截⾯m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有
M x －M e = 0
由此得到
图4－3 剪应⼒互等
M x = M e
与轴⼒正负号约定相似，圆轴上同⼀处两侧横截⾯上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右⼿定则确定扭矩⽮量，如果横截⾯上的扭矩⽮量⽅向与截⾯的外法线⽅向⼀致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b 和c 中的同⼀横截⾯上的扭矩均为正。
圆轴扭转时的强度和刚度计算
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
[θ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照
下列标准。 精密机械的轴 一般传动轴 精度要求不高的轴
[θ ] =（0.25~0.5）°/m ~
[θ ] =(0.5~1.0) °/m
[θ ] =(1.0~2.5) °/m
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
W n = 0 .2D 3 (1 − d 4 ) = {0.2 × 90 3 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 3 = 29800 mm 3
传动轴横截面上的最大切应力为
τ max = M n/W n = (1500 × 10 3 / 29800 ) MPa = 50.3MPa＜[τ ]
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
材料力学 (扭转)(四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算)
T
202(1A/8/)19
T
(B)
T
(√C)
T (D) 23
例：实心圆轴,直径为D,求截面极惯性 矩和抗扭截面模量
Ip
2dA
A
d A2 d
z
y C
D
Ip
D
222
0
d D4
32
WP
D3
16
例: 对外径为D内径为d的空心
圆轴,求截面极惯性矩
IP
ρ2d A
AD
dD
d
D
D
ρ dA 2 2
MA
MB
MC
解：(1)计算外力偶矩
A
M A9550P n 195503 30 00 09550Nm 2M 021B /8/ 19 M C95501 35 00 04775Nm
BD C
31
MA
MB
MC
A
B DC
(2)画扭矩图
(3)校核轴的强度
AB
max1
T1 WP1
9549 1003 (1(
8 0)4 )
令 d ，[弧度]/[长度], 称为单位长度扭转角
dx
T 2021/8/19 GI P
max
TR
Ip
26
T(Nm) (-)
3000
2021/8/19
同济大学材料力学第四章 扭转 3学时
mA 9.549 PA 10 9.549 318.3( N m) n 300
mB 9.549
PB 2 9549 63.7( N m) n 300
mC 95.5( N m),
M D 159.2( N m),
C A III D
B
I
II
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
l
M n i li M nl dx＝ GI P 或＝ GI P 0
l
例题
如图所示阶梯轴。外力偶矩m1＝0.8KN·m， m2＝2.3KN·m， m3＝ 1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模 量G＝80GPa，试计算φ AB和φ AC。 4
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮 输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴
的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？
A
II
B
I
C
D
III
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
解：
经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
第四章 扭转
四 圆轴扭转时的刚度计算
mB 9.549
PB 2 9549 63.7( N m) n 300
mC 95.5( N m),
M D 159.2( N m),
C A III D
B
I
II
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
l
M n i li M nl dx＝ GI P 或＝ GI P 0
l
例题
如图所示阶梯轴。外力偶矩m1＝0.8KN·m， m2＝2.3KN·m， m3＝ 1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模 量G＝80GPa，试计算φ AB和φ AC。 4
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮 输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴
的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？
A
II
B
I
C
D
III
I
II
III
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
解：
经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
第四章 扭转
四 圆轴扭转时的刚度计算
圆轴扭转时的变形、刚度计算
9549 12 382(N m) 300
A
B
C
MC
9549
NC n
9549 40 300
1273(N m)
MD
9549
ND n
9549 18 300
573(N m)
MD (a)
D
（2）画扭矩图 MT1 M A 318 (Nm)
MA MB
MT 2 M A M B 318 382 700
MT
L GIP
二、刚度条件：
ra d m
——单位长度的扭转角，
max
MT max GIP
max
MT max GIP
1 8 00
0 m
三、刚度计算：
1、校核刚度；
2、设计截面尺寸；
3、确定外荷载。
[例]等直实心轴如图所示。已知该轴转速 n＝
300r/min，主动轮输入功率 NC =40kW，从动轮的输出
功率分别为 剪切弹性模
N A =10 kW，N B G＝80GPa，若
=12 kW，N D=18
＝50MPa，
kW。材料的
＝0.3º/m，
试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。
解（1）求外力偶矩
MA MB
MC
d
M M
A B
9549 9549
NA
n NB
A
B
C
MC
9549
NC n
9549 40 300
1273(N m)
MD
9549
ND n
9549 18 300
573(N m)
MD (a)
D
（2）画扭矩图 MT1 M A 318 (Nm)
MA MB
MT 2 M A M B 318 382 700
MT
L GIP
二、刚度条件：
ra d m
——单位长度的扭转角，
max
MT max GIP
max
MT max GIP
1 8 00
0 m
三、刚度计算：
1、校核刚度；
2、设计截面尺寸；
3、确定外荷载。
[例]等直实心轴如图所示。已知该轴转速 n＝
300r/min，主动轮输入功率 NC =40kW，从动轮的输出
功率分别为 剪切弹性模
N A =10 kW，N B G＝80GPa，若
=12 kW，N D=18
＝50MPa，
kW。材料的
＝0.3º/m，
试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。
解（1）求外力偶矩
MA MB
MC
d
M M
A B
9549 9549
NA
n NB
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剪应变沿半径方向分布
设到轴线任意远处的剪应变为 ( ），则从图中可得到如下几何关系：
物性关系－剪切胡克定律
剪切胡克定律
剪应力沿半径方向分布
4.3.2 横截面上的剪应力分布
4.3.2 横截面上的剪应力分布 剪应力沿半径方向分布
静力学方程
圆轴扭转时相对扭转角的表达式 GIP—扭转刚度
P kw Me 9549 nr / min [N m]
外加扭力矩Me 确定后，应用 截面法可以确 定横截面上的 内力—扭矩Mx
例 4.1 变截面传动轴承受外加扭力矩作 用，如图4-2a所示。试画出扭矩图。
应用截面法，分 别确定AB和BC 段横截面上的内 力—扭矩Mx，绘出扭
矩图如（b） 所示。
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
Wp 扭转截面系数
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于直径为 d 的实心圆截面
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面
=d/D
4.3.5 受扭圆轴的强度设计准则
4-3-5 受扭圆轴的强度设计准则
圆轴扭转变形特征－反对称性论证 圆轴扭转时横截面保持平面
运用反对称性分析，可以证明，圆轴受扭发生变形后，其横截面依 然保持平面。
圆轴扭转后横截面保持平面
根据圆 反轴 对的 称轴 要对 求称 ，C性、质DC两、点D不两
点 可必 能须 有具 轴有 向相 位同 移的 ，位因移而，必因须而仍二然 者 位必 于须 原位 来于 所同 在一 的圆周上。
圆轴扭转后横截面保持平面
第一个结论
圆轴扭转时，横截 面保持平面，平面上 各点只能在平面内转 动
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，A端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，B端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平 面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理
4.2.2 剪切胡克定律
通过扭转试验，可以得到剪应 力 与剪应变 之间的关系曲线 （图a）。
Gr
其中G为材料的弹性常数，称为 剪切弹性模量或切变模量 （shear modulus）
第4章
圆轴扭转时的强度与刚度 计算
2020年10月28日
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
当两只手用力相等时，拧紧 罗母的工具杆将产生扭转
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
拧紧罗母的工具杆不仅产生 扭转，而且产生弯曲
概述
请判断哪些零件 将发生扭转
传动轴
传动轴将 产生扭转
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
概述
本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用 下其横截面剪应力
4.1 外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
4.2 剪应力互等定理,剪切胡克定律
4.3 圆轴扭转时横截面上的剪应力 分析与强度设计
4.4 圆轴扭转时的变形与刚度条件 4.5 结论与讨论
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P kw Me 9549 nr / min [N m]
G E 2(1 v)
4.3 圆轴扭转时横截面上的剪应力 分析与强度设计
平面假定
物性关系
变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力分析方法与过程
应力公式
圆轴扭转变形特征－反对称性论证圆轴 扭转时横截面保持平面
变形协调方程 物性关系－剪切胡克定律 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
4.3.1 平面假定与剪应变分布规律
最终结论
圆轴扭转时，横 截面 保持平面，并且 只能发生刚性转动。
圆轴扭转后横截面保持平面
变形协调方程
圆轴扭转时的变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度 上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪 应变各不相同，半径越小者剪应变越小。
max
M x,max Wp
[ ]
[ ]为许用剪应力；是指圆轴所有横截面
上最大剪应力中的最大者，
钢 [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ] 铸铁 [ ] (0.8 ~ 1)[ ]
例题1
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直 径之比 = 0.5。二轴长度相同。
其中P为功率，单位为千瓦（kW）； n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P[马力]
Me
7024 n[r / min]
[N m]
若P为功率，单位为马力 （1马力=735.5 N•m/s ）
n为轴的转速，单位为转/分（r/min）
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的重量之比。
例题1
解：首先由轴所传递的功率计算作用在 轴上的扭矩
实心轴
算得
例题1
解：对于空心轴，
d2＝0.5D2=23 mm
例题1
实心轴 d1=45 mm
空心轴 D2＝46 mm d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面 面积之比：
连接汽轮机和发电机的传动轴将产 生扭转
概述
对于实心截面杆件以及某些薄壁截 面杆件，当其横截面上仅有扭矩（Mx） 或 剪 力 （ FQy 或 FQz ） 时 ， 与 这 些 内 力 分量相对应的分布内力，其作用面与 横截面重合。这时分布内力在一点处 的集度，即为剪应力。
概述
分析与扭矩和剪力对应的剪应力方 法不完全相同。对于扭矩存在的情形， 依然借助于平衡、变形协调与物性关系， 其过程与正应力分析相似。对于剪力存 在的情形，在一定的前提下，则可仅借 助于平衡方程。
例题2
3
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm.
例 4.1 变截面传动轴承受外加扭力矩作 用，如图4-2a所示。试画出扭矩图。
扭矩图特征： 集中力偶作用 处，扭矩图有 突变，突变值 等于该集中力 偶数值。
4.2 剪应力互等定理,剪切胡克定律
4.2.1 剪应力互等定理
y
'
dy
Biblioteka Baidudz x
z dx
Mz 0, (dydz)dx ( dxdz)dy 0