复合函数求导公式,复合函数综合应用
导数的四则运算及复合函数求导
经济应用数学数学
2. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
dy dx
dy du
du dx
f (u) (x)
说明: 最基本的公式 (C) 0
(sin x) cos x
y yuux
(ln x) 1
x
3. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
u x2 3复合而成, 所以 dy dy du
dx du dx
2sinu2x 0
4xsin x2 3
经济应用数学数学
例9 设y tan 1 2x2 , 求 dy dx
解 因y tan 1 2x2由y tan u, u= v,v=1-2x2复合而成，所以
2 1 sec x sec x tan x 2222
sec2 x tan x 22
经济应用数学数学
例11 求函数 y ln tan 2x 的导数.
解：y ln tan x 1 tan 2x .
tan 2x
1 sec2 2x 2x
tan 2x
经济应用数学数学
三、小结
1. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (uv) uv uv
注意：
(Cu) Cu ( C为常数 )
u
v
uv uv v2
(v 0)
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)
f (x) f
( x)
f
(x)
i1 i
1
2
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
高中数学复合函数的求导规则及应用实例
高中数学复合函数的求导规则及应用实例一、引言在高中数学中，复合函数是一个重要的概念。
它是由两个或多个函数组合而成的函数，通过对复合函数的求导，可以帮助我们解决一些实际问题。
本文将介绍复合函数的求导规则，并通过实例来说明其应用。
二、复合函数的求导规则1. 链式法则复合函数的求导可以使用链式法则进行计算。
链式法则可以表示为：设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为dy/dx=f'(u)g'(x)。
其中，f'(u)表示函数f(u)对u的导数，g'(x)表示函数g(x)对x的导数。
2. 基本导数公式在使用链式法则求导之前，我们需要掌握一些基本的导数公式。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)。
三、应用实例1. 实例一：求复合函数的导数考虑函数y=(2x+1)^3，我们需要求其导数。
首先，我们可以将函数表示为y=u^3，其中u=2x+1。
然后，对u求导得到u的导数为du/dx=2。
接下来，对y求导，根据链式法则，dy/dx=3u^2*du/dx=3(2x+1)^2*2=6(2x+1)^2。
2. 实例二：求复合函数的导数考虑函数y=sin(3x)，我们需要求其导数。
首先，我们可以将函数表示为y=f(u)，其中u=3x，f(u)=sin(u)。
然后，对u求导得到u的导数为du/dx=3。
接下来，对y求导，根据链式法则，dy/dx=f'(u)g'(x)=cos(u)*3=3cos(3x)。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了复合函数的求导规则及其应用实例。
在求解复合函数的导数时，我们可以使用链式法则来简化计算过程。
通过掌握基本的导数公式，我们可以更加灵活地应用链式法则。
在实际问题中，复合函数的求导可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，提高问题的解决效率。
五、应用建议对于高中学生和他们的父母来说，掌握复合函数的求导规则及其应用是非常重要的。
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
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例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
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例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
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§2.1.3 复合函数的求导法则
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
复合函数求导公式16个
复合函数求导公式16个求导是微积分中的一个重要概念，是用来确定函数在其中一点的变化率的工具。
而复合函数则是由多个函数组合而成的新函数，其求导过程相对复杂一些。
下面将介绍16个常见的复合函数求导公式。
1.设有函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))。
对这个复合函数求导，可以使用链式法则。
链式法则给出了复合函数求导的一个基本公式：(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)这个公式表示，对于复合函数y=f(g(x))，其导数等于f'(g(x))*g'(x)。
2.平方函数的链式法则：设有函数y=f(u)=u^2，u=g(x)，则y=f(g(x))=g(x)^2、求导的结果为：(dy/dx) = 2 * g(x) * g'(x)3.倒数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=1/u，u=g(x)，则y=f(g(x))=1/g(x)。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) / (g(x))^24.指数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=e^u，u=g(x)，则y=f(g(x))=e^(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * e^(g(x))5. 对数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=ln(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=ln(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) / g(x)6. 正弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=sin(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=sin(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * cos(g(x))7. 余弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=cos(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=cos(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) * sin(g(x))8. 正切函数的链式法则：设有函数y=f(u)=tan(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=tan(g(x))。
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。
在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。
例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。
这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。
现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。
首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。
注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。
因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。
它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。
这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则 复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。
复合函数导数公式 .常⽤导数公式 1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^2 12.y=arccotx y'=-1/1+x^2 在推导的过程中有这⼏个常⻅的公式需要⽤到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，⽽g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2 3.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x' 证：1.显⽽易⻅，y=c是⼀条平⾏于x轴的直线，所以处处的切线都是平⾏于x的，故斜率为0。
⽤导数的定义做也是⼀样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推⼲到n为任意实数的⼀般情况。
在得到 y=e^xy'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能⽤复合函数的求导给予证明。
复合函数求导方法
复合函数求导的方法如下：总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)比如说：求ln(x+2)的导函数[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x' ×1注：1即为（x+2)的导数。
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
复合函数证明方法如下：先证明个引理：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)引理证毕。
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数，求导时需要运用复合函数的求导法则公式。
下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。
1. 基本公式设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中，$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数，$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。
例如，设 $f(u) = u^2$，$g(x) = 3x +1$，则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式，可得：$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以，$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。
2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中，$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数，$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数，$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数，$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数，$y=f(u)$。
复合函数求导公式16个
复合函数求导公式16个在微积分中，复合函数是指由两个或多个函数构成的函数。
求复合函数的导数是微积分中的一个重要概念。
下面将介绍复合函数求导的16种常见公式。
1.线性函数复合如果y是x的线性函数，z是y的线性函数,即 $y=ax+b$ ,$z=cy+d$, 那么z是x的线性函数,即 $z=acx+(ad+bc)$。
2.指数函数复合如果y是x的指数函数，即$y=a^x$,z是y的指数函数，即$z=a^y$，那么z是x的指数函数，即$z=a^{a^x}$。
3.对数函数复合如果y是x的对数函数，即 $y=\log_a(x)$ ，z是y的对数函数，即 $z=\log_a(y)$ ，那么z是x的对数函数，即$z=\log_a(\log_a(x))$。
4.幂函数复合5.反三角函数复合如果y是x的反三角函数，即 $y=\sin^{-1}(x)$ ，z是y的反三角函数，即 $z=\sin^{-1}(y)$ ，那么z是x的反三角函数，即$z=\sin^{-1}(\sin^{-1}(x))$。
6.反双曲函数复合如果y是x的反双曲函数，即 $y=\sinh^{-1}(x)$ ，z是y的反双曲函数，即 $z=\sinh^{-1}(y)$ ，那么z是x的反双曲函数，即$z=\sinh^{-1}(\sinh^{-1}(x))$。
7.三角函数复合如果y是x的三角函数，即 $y=\sin(x)$ ，z是y的三角函数，即$z=\sin(y)$ ，那么z是x的三角函数，即 $z=\sin(\sin(x))$。
8.双曲函数复合如果y是x的双曲函数，即 $y=\sinh(x)$ ，z是y的双曲函数，即$z=\sinh(y)$ ，那么z是x的双曲函数，即 $z=\sinh(\sinh(x))$。
9.反函数复合如果y是x的反函数，即$y=f^{-1}(x)$，z是y的反函数，即$z=f^{-1}(y)$，那么z是x的反函数，即$z=f^{-1}(f^{-1}(x))$。
复合函数求导公式
复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。
复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。
二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。
链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。
三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。
解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。
根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。
【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。
解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。
2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。
【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。
解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。
根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。
复合函数求导公式复合函数综合应用
复合函数求导公式复合函数综合应用假设有函数y=f(u)和u=g(x)，其中y是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数。
我们希望求得y关于x的导数dy/dx。
首先，我们需要求得函数y关于u的导数dy/du。
这可以通过对函数f(u)求导得到。
假设f(u)的导数为df/du，则dy/du=df/du。
接下来，我们需要求得函数u关于x的导数du/dx。
这可以通过对函数g(x)求导得到。
假设g(x)的导数为dg/dx，则du/dx=dg/dx。
最后，我们可以通过链式法则来求得y关于x的导数dy/dx。
链式法则指出，如果z是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数，则z关于x的导数dz/dx可以表示为dz/du乘以du/dx，即dz/dx=dz/du * du/dx。
将这个原理应用到我们的问题中，可以得到dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
代入我们之前求得的dy/du和du/dx，可以得到dy/dx=(df/du)*(dg/dx)。
这就是复合函数求导公式。
根据这个公式，我们可以求得复合函数关于自变量的导数。
下面，我们来看一个关于复合函数的综合应用问题。
假设有一个函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)和g(x)分别为：f(u)=2u^2+ug(x)=3x-1我们希望求得函数y关于x的导数dy/dx。
首先，我们可以求得函数y关于u的导数dy/du。
由于f(u) = 2u^2+ u，我们可以对f(u)求导，得到df/du = 4u + 1接下来，我们求得函数u关于x的导数du/dx。
由于g(x) = 3x - 1，我们可以对g(x)求导，得到dg/dx = 3最后，我们根据复合函数求导公式，可以得到dy/dx = (df/du) * (dg/dx) = (4u + 1) * 3这样，我们就求得了函数y关于x的导数dy/dx，即dy/dx = (4u + 1) * 3需要注意的是，我们还没求得u关于x的表达式。
复合函数的求导法则及其应用
复合函数求导法则及其应用阿文摘 要：主要叙述证明了复合函数求导法则的概念定理，运算法则，性质等，以及在数学分析中的应用。
关键词：复合；函数；求导法则引 言由基本初等函数经过有限次四则运算和复合的函数，可以由下面的复合函数求导法则求出它们的导数。
1复合函数求导法则定理：（复合函数求导法则） 设函数()x g u =x 0=可导，而函数()u f y =在)()(00x u g u ==处可导，则复合函数())(x g f y =在x x 0=可导，且有()()[]()()()()()x x x u g g f g f x g f x x 00000''=''='= .证明：因为()u f y =在u 0处可导，所以可微。
由可微的定义，对任意一个充分小的0≠∆u ，都有()()()u u f f u f u u u ∆+∆'='-∆+α000 ，其中0lim 0=→∆α 。
因为当0=∆u 时0=∆y ，不妨规定当0=∆u 时0=α，因此上式对0=∆u 也成立。
设()()()00≠∆-∆+=∆x g x gu x x ，在上式两边同时乘以x ∆，则有()()()()()xux u f xg f x g f u x x ∆∆+∆∆'=∆-∆+α000 ， 由函数()x g u =在x x 0=可导，既有()x g xux 00lim '=∆∆→∆ ，且此式也蕴含了0lim 0=∆→∆u x 。
注意到在0→∆x 的过程中，或者0=∆u 有，这时有0=α；或者有0≠∆u ，但u ∆趋于0 ，因此由0lim 0=→∆αu ，可知0lim 0=→∆αu 。
于0→∆x ，得到()()()()xg f x g f dx dyx x x ∆-∆+=→∆000lim=()xu x u f x x x u ∆∆+∆∆'→∆→∆→∆0000lim lim lim α =()()x u g f 00'' .证毕复合函数求导规则可以写成dxdudu dy dx dy ∙= . 我们一般称它为 链式法则 。
复合函数导数的基本公式14个
复合函数导数的基本公式14个下面是复合函数导数的14个基本公式：1.链式法则链式法则是求解复合函数导数的基本方法。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx等于dy/du乘以du/dx，即(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。
2.反函数法则如果函数y=f(x)的反函数存在，则反函数y=f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。
3.乘积法则设函数y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，即(dy/dx)=(u'(x)v(x))+(u(x)v'(x))。
4.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，且v(x)不等于0，则函数y的导数dy/dx等于(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2，即(dy/dx)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^25.幂函数法则设函数y=u(x)^n，其中u(x)是关于x的函数，n是常数，则函数y的导数dy/dx等于n(u(x))^n-1*u'(x)，即(dy/dx)=n(u(x))^n-1*u'(x)。
6.指数函数法则设函数y=a^u(x)，其中a是常数，u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于a^u(x)ln(a)*u'(x)，即(dy/dx)=a^u(x)ln(a)*u'(x)。
7.对数函数法则设函数y=log_a(u(x))，其中a是常数，u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于1/(u(x)ln(a))*u'(x)，即(dy/dx)=1/(u(x)ln(a))*u'(x)。
8.双曲函数法则设函数y=sinh(u(x))，其中u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于u'(x)cosh(u(x))，即(dy/dx)=u'(x)cosh(u(x))。
复合函数求导及应用
复合函数求导及应用求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数．1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))． 2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．题型一简单的复合函数求导问题 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y ；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．[解] (1)设21u y =，u ＝1－2x 2，则y ′＝()′(1－2x 2)′＝2121-u ·(－4x )＝()2122-121-x (－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos （2x+3π）.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝102x ＋1 ln 2.复合函数的求导步骤21u练习求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝4u 3·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln 10·(2x ＋3)′＝2ln 10·102x ＋3. (3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x .所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x .题型二复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 1＋x 2；(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 22cos ππx x x y .[解] (1)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝ 1＋2x 2 1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12sin 4x －x 2cos 4x ×4＝－12sin 4x －2x cos 4x . 练习求下列函数的导数：(1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3；(3)y ＝x ln(1＋2x )．解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 x 3′＝2sin x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′＝2sin x 3·cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13sin 2x 3. (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝x ′ln(1＋2x )＋x [ln(1＋2x )]′＝ln(1＋2x )＋2x1＋2x. 题型三复合函数导数的综合问题[例3] 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．[解] 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.练习有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为y ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715时的导数，并解释它的实际意义．解：函数y ＝5－25－9t 2可以看作函数f (x )＝5－x 和x ＝φ(t )＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得f ′(x )＝2121--x ，φ′(t )＝－18t .再由复合函数求导法则得y ′t ＝s ′(t )＝f ′(x )φ′(t )＝2121--x ·(－18t )＝9t 25－9t 2， 将t ＝715代入s ′(t )，得s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫715＝0.875.当t ＝715时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.易错 函数y ＝x ·e 1－2x 的导数为________．[解析] y ′＝e 1－2x ＋x (e 1－2x )′＝e 1－2x ＋x e 1－2x ·(1－2x )′＝e 1－2x ＋x e 1－2x ×(－2)＝(1－2x )e 1－2x .[答案] y ′＝(1－2x )e 1－2x函数y ＝ln e x 1＋e x在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x 1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x)，则y ′＝1－e x 1＋e x .当x ＝0时，y ′＝1－11＋1＝12.答案：12课后练习1．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝( )A ．3(2 015－8x )2B ．－24xC ．－24(2 015－8x )2D ．24(2 015－8x )2解析：y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.2．函数y＝x2cos 2x的导数为()A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x解y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2·(－sin 2x)(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x. 3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝13x－1·(3x－1)′＝33x－1，∴f′(1)＝32.答案：324．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 解析：令y＝f(x)，则曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝e ax，所以f′(x)＝(e ax)′＝e ax·(ax)′＝a e ax，所以f′(0)＝a e0＝a，故a＝2.答案：25．求下列函数的导数：(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.解：(1)函数y＝cos(x＋3)看作函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(cos u)′·(x＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.。
第三讲 复合函数的求导法则及应用
(2) y f (u) 在点 u ( x) 可导;
则复合函数 y f [ ( x)] 在点 x 可导, 且
其导数为
dy f (u) ( x)
dx
化繁为简,各个击破。
证明
因为 lim y f (u),
u0 u
dy f (u) (v) ( x) 或 dy dy du dv
dx
dx du dv dx
二、应用
例１ 求函数 y ln sin x 的导数.
解 令 u sin x, y ln u .
dy dy du dx du dx
1 u
cos x cos x cot x
2
3
所以
y
1 2
x
1 2
1
2x
1 3( x
2)
x x2
1
1 3( x
2)
注：求导数之前，先观察一下，函数能否化 简。若能，先化简再求导。
(1 2
ln( x2
1))
1 2
1
1 x
2
2x
(1 ln( x 2)) 1
3
3( x 2)
三、小结
复合函数的求导关键：搞清复合关系， 从外层到里层一层一层求，不要漏层。
(1 x2ຫໍສະໝຸດ )1 x2
sin
1
cos 1
ex
x
cos 1
cos 1
(e x ) e x
(cos 1 ) sin 1
x
x
(
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导数得运算法则及基本公式应用
一、常用得求导公式
11.(),'()0;
2.(),'();
3.()sin ,'()cos ;
4.()cos ,'()sin ;
5.(),'()ln (0);
6.(),'();
17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====
>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x
==
则 二、复合函数得导数
若ｕ=ｕ(x)，v=v （x ）在x 处可导，则
三、基础运用举例
1 y =ｅsi ｎx co ｓ(ｓin ｘ)，则y ′(０)等于（ ）
A ０ ﻩＢ 1ﻩﻩ C -1 ﻩ D 2
2 经过原点且与曲线y ＝相切得方程就是( ）
A x +ｙ=0或＋ｙ=０ﻩﻩﻩ
B x －y =０或+y =0
C x +y =０或－y =０ﻩ
D x -y =０或—y =0
3 若f ′(ｘ0)＝２, ＝_＿____＿__
4 设f （ｘ）=ｘ(ｘ+１)（x +2）…（x +n )，则f ′(0)=____＿____
５ 已知曲线Ｃ1：y =ｘ2与C ２:y =－（ｘ－２）2,直线l 与C 1、C ２都相切,求直线l 得方程 ６ 求函数得导数
(1)y =(x 2－２x +３）e 2x ；
(2)y =
四、综合运用举例
例1求函数得导数
)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=
x f y x b ax y x
x x y ω
(2)解 y ＝μ3,μ＝ax －b si ｎ2ωx ,μ=ａｖ－ｂｙ
v =x ，y =ｓin γ γ=ωx
ｙ′=（μ3)′＝3μ2·μ′＝3μ2(a ｖ－by ）′
=３μ2（av ′－ｂｙ′）＝3μ2(a ｖ′－ｂy ′γ′）
＝3(ax-b siｎ2ωx)2（a－bωsin2ωx）
（3)解法一设y＝ｆ（μ),μ=,v=x2+１，则
ｙ′ｘ=y′μμ′v·ｖ′x=f′（μ)·ｖ-·2x
=f′(）··2x=
解法二ｙ′=［f(）］′=f′()·()′
＝f′(）·(x２+1）·(x2+1)′
=f′（)·(x２+１) ·2x
=f′(）
例2已知曲线C y=x３－3x2＋２x,直线l:y=kx，且ｌ与C切于点(x0，y０)(x0≠０),求直线l得方程及切点坐标
解由l过原点，知k＝(x0≠0），点（x０，y0)在曲线C上，y０=ｘ03－3x02+2x0,
∴＝ｘ02－3x0＋２
y′=3ｘ２—６x+2，k＝3x0２—6x0+2
又ｋ=,∴3ｘ02－６ｘ0＋２=x02—3ｘ0＋2
2x０２－3x0=0,∴x0=0或ｘ0=
由x≠０，知x0=
∴y0=（）3—３（）２＋2·=－
∴ｋ==－
∴l方程y=－ｘ切点（,—）
五、巩固练习
1、函数y＝得导数就是
A、B、C、－D、－
2、已知y=sin2x+siｎｘ，那么y′就是
Ａ、仅有最小值得奇函数B、既有最大值，又有最小值得偶函数
C、仅有最大值得偶函数
D、非奇非偶函数
3、函数y=ｓin3(3x+）得导数为
A、3sin２（3x+)ｃos（3ｘ＋) Ｂ、9ｓin２（３x+）cｏs（3x+)
C、９sin2（3x+)Ｄ、—9sｉｎ2（3ｘ+）cos（3x+）
4、函数y＝ｃｏs(sin x)得导数为
A、－[ｓin（sin x）］ｃoｓx ﻩﻩＢ、－sin(sｉn x）
C、［sin（siｎx）]cｏs x ﻩ
D、sin（ｃoｓx）
５、函数ｙ=ｃos2ｘ＋sin得导数为
A、－2ｓｉｎ２x+ﻩﻩﻩ
B、２ｓｉn2x+
C、－2siｎ２x+ﻩﻩＤ、2sｉn２x-
6、过曲线ｙ=上点P(１，）且与过Ｐ点得切线夹角最大得直线得方程为
A、２ｙ－８x+7＝０ﻩＢ、2y+8x＋７=0 C、２y+8x－9=0ﻩD、2ｙ－8x＋9=0
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共1５分)
7、函数y=(1+sｉn3x)3就是由_____＿_＿＿＿_两个函数复合而成、
8、曲线y=siｎ3x在点Ｐ(，0)处切线得斜率为＿＿_＿__＿＿＿_＿、
9、函数y=xｓin(２x—)cos（2x＋）得导数就是、
10、函数y=得导数为、
11、函数y=cos3得导数就是＿＿_＿_＿__＿__、
参考答案
1解析y′=eｓiｎｘ[cos x cos(sin x)-cosｘsin（sin x)],ｙ′（0）=e0(１－０）=1
答案 B
２解析设切点为(x０，ｙ０），则切线得斜率为k=,
另一方面,y′=()′＝,
故y′（x0）=k,即或x02+18x0＋45=0
得x0（1)=-3, x０（2)=－1５，对应有ｙ0(1）=3，y0(2）=,
因此得两个切点A(－３,３)或B（－15，)，
从而得y′（Ａ)= =-1及y′(B）=，
由于切线过原点，故得切线l A:y=—ｘ或l B:y=-
答案Ａ
３解析根据导数得定义
f′（x0）=(这时)
答案－1
4解析设ｇ(x)=（x+１）（x+2）……（x+n），则ｆ(ｘ）=xg（x），
于就是f′（x)＝ｇ（x)＋xg′（ｘ),f′(0)=g（0）+0·ｇ′(0）=ｇ(0)=1·2·…n=n!
答案n！
5解设l与C1相切于点Ｐ(x1，x12），与Ｃ2相切于Q（x2，—(x２－2）２）
对于C1y′＝2x，则与C１相切于点Ｐ得切线方程为
y—x１2＝２x1(ｘ—ｘ1），即ｙ=2x1ｘ-x１2ﻩ①
对于C2y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q得切线方程为
y＋（x２-2)2=－２（x2－２）(x－x2）,即y＝-2(ｘ２－２)x+x22-4 ﻩ②
∵两切线重合，∴2x1=－2（x2－２)且-x12=ｘ22-4，
解得x1=0,x2=２或x1=2,x2=0
∴直线l方程为ｙ=0或y=4ｘ-４
6解（1)注意到y＞0，两端取对数,得
ln y=ln（x２－2ｘ＋3）+lｎｅ2x=ｌn(ｘ2－2x＋3）＋2x
(２）两端取对数，得
ｌn｜y|＝(ln|ｘ｜-ｌn｜1—x｜),
两边解x求导，得
复合函数得导数
1、C
2、B
3、B ４、A5、A 6、A 7、ｙ＝u3，u=1＋sｉn3x8、－3 9、y′=sin4x＋2ｘcos4x１0、11、。