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第九章概率与统计初步习题答案及分析

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概率论与数理统计习题答案1-19章

概率论与数理统计习题答案1-19章

1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则(1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.04341313131==-++=3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==A PB P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=4 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=． （另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P 设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+ 0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x +可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （2）[]π,0； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π． 解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度． （3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，⎪⎩>3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A ==即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ．(2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Aex f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx ，解得21=A ，即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xe x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y yY π．８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π（3）X 及Y 的边缘分布函数分别为xx x X x dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan 1)4(2),()(2ππ 2arctan 121xπ+=yx y Y y dy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan 1)9(3),()(2ππ 3arctan 121yπ+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y e x x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xR dy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x ． ９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xy xy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jj n Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n k i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki kn n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik n k m C C C +=-=∑, 有kn n ki in i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度．解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z z z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),max(21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ 故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX Xσ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为X1 2 3 …… n ……p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2Xpp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=-进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx x x dx xx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00=⨯+⨯=EY 72.072.0128.002=⨯+⨯=EY2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ． 弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRRd R4sin 4cos 4202===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0, 0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元， 调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x进而有 41)1(1)1(-=<-=≥e X P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---ee e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni i n i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0 于是i X 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰22022220223]11)1ln([1)1(211rr dr r rr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？ 解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-1210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==n p q D ξ 于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ． 查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯=故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理四、 设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，53),cov(),(===y x Y X Y X r σσ．从而2516)53(1122=-=-r ，5412=-r ．进一步按公式])())((2)([)1(21222121),(yy y x y x x x y y x r x r y x ery x f σμσσμμσμσπσ-+-------=，可得),(Y X 的联合概率密度为)2550316((322522321),(y xy x ey x f +--=π．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32+-=Y X Z 的概率密度． 解：由题设，有0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(--⨯--==z z Z eez f ππ )(+∞<<-∞z ．三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率． 解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设X Y Z -=根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z =⨯-+⨯-+．根据题目假设，我们知道当31≤-=≤X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31(-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=-≤-≤-=≤≤Z P Z P Z P9544.019772.02=-⨯=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；。

高中数学必修二第九章统计知识点归纳总结(精华版)(带答案)

高中数学必修二第九章统计知识点归纳总结(精华版)(带答案)

高中数学必修二第九章统计知识点归纳总结(精华版)单选题1、下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A．某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B．从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C．某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，D．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15−75岁的人群进行随机抽样调查答案：B解析：依次判断每个选项的合适的抽样方法得到答案.A. 中学，小学生有群体差异，宜采用分层抽样；B. 样本数量较少，宜采用简单随机抽样；C. 中专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；D. 年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；故选：B.小提示：本题考查了抽样方法，意在考查学生对于抽样方法的掌握情况.2、10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a答案：D分析：将数据从小到大重新排列（也可以是从大到小），计算出a,b,c的值即可比较大小.解：重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.则有：a=110×(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,b=12×(15+15)=15,c=17．所以c>b>a 故选：D.3、下列调查方式合适的是（）A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽样调查的方式D．为了了解一个寝室的学生（共6个人）每周体育锻炼的时间，采用抽样调查的方式答案：C分析：根据普查和抽样调查的特征，即可求解.个体数少且易于完成的可以采用普查的方式；个体数量多，工作量大，或破坏性大，不易完成的可以采用抽样调查的方式.故选：C.4、为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[25,35)内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（）A．0.38B．0.61C．0.122D．0.75答案：B×组距，即可得解.分析：利用频率=频率组距根据频率分布直方图可知，质量指标值在[25,35)内的概率P=(0.080+0.042)×5=0.122×5=0.61故选：B5、某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980−1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多答案：D解析：根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6%和17%，则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的56%×(39.6%+17%)≈31.7%.“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A正确；对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%，其中从事技术岗位的人数占的比为39.6%，则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%≈22.2%.“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20%，故选项B正确；对于选项C，“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为56%×17%≈9.5%，大于“80前”的总人数所占比3%，故选项C正确；选项D，“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%≈22.2%，“80后”的总人数所占比为41%，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.故选：D.小提示：关键点点睛：本题考查利用扇形统计图和条形统计图解决实际问题，解本题的关键就是利用条形统计图中“90后”事互联网行业岗位的占比乘以“90后”所占总人数的占比，再对各选项逐一分析即可.6、下表是某校校级联欢晚会比赛中12个班级的得分情况，则得分的30百分位数是（）答案：D分析：根据百分位数的定义求解即可.12×30%=3.6，把12个班级的得分按照从小到大排序为7，7，8，9，9，10，10，10，11，13，13，14，可得30百分位数是第4个得分数，即9.故选：D7、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C分析：根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%> 50%,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+ 9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.小提示：本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的×组距.估计值.注意各组的频率等于频率组距8、下列调查方式合适的是（）.A．为了了解一批头盔的抗压能力，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式答案：C分析：根据抽查和普查的特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.对于选项A，采用普查的方式测试头盔的抗压能力，成本较高，不适合，故A错误；对于选项B，采用普查的方式测试玉米种子的发芽率，较为繁琐且工作量较大，不适合，故B错误；对于选项C，采用抽查的方式了解河流的水质，适合，故C正确；对于选项D，为了了解5个人每周体育锻炼的时间，适合采用普查的方式，故D错误．故选：C．多选题9、有一组互不相等．．．．的数组成的样本数据x1、x2、⋯、x9，其平均数为a（a≠x i，i=1、2、⋯、9），若插入一个数a，得到一组新的数据，则（）A．两组样本数据的平均数相同B．两组样本数据的中位数相同C．两组样本数据的方差相同D．两组样本数据的极差相同答案：AD分析：利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项.由已知可得x1+x2+⋯+x9=9a.(9a+a)=a，与原数据的平均数相等，A对；对于A选项，新数据的平均数为110对于B选项，不妨设x1<x2<⋯<x9，则原数据的中位数为x5，(max{a,x4}+x5)<x5，若a<x5，则中位数为12(x5+min{a,x6})>x5，B错；若a>x5，则中位数为12[(x1−a)2+(x2−a)2+⋯(x9−a)2+(a−a)2]对于C选项，新数据的方差为s′2=110[(x1−a)2+(x2−a)2+⋯(x9−a)2]=s2，C错；<19对于D选项，不妨设x1<x2<⋯<x9，则x1<a<x9，故新数据的极差仍为x9−x1，D对.故选：AD.10、某中学举行安全知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成了5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A．这组数据的极差为50B．这组数据的众数为76D．这组数据的第75百分位数为85C．这组数据的中位数为5407答案：CD分析：根据频率分布直方图一一分析即可.解：对于A：由频率分布图无法得到这组数据的最大值和最小值，故这组数据的极差无法准确判断，故A错误；(70+80)=75，故B错误；数据的众数为12(0.005+0.02+0.035)×10=0.6>0.5，(0.005+0.02)×10=0.25<0.5，所以中位数位于[70,80)之间，设中位数为x，则(0.005+0.02)×10+(x−70)×0.035=0.5，解得x=540，7，故C正确；即这组数据的中位数为5407∵(0.005+0.02+0.035)×10=0.6，(0.005+0.02+0.035+0.03)×10=0.9，故估计第75分位数是80+0.75−0.6×10=85，故D正确；0.3故选：CD11、某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：μg/m 3）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（ ） A ．甲地区：平均数为80，方差为40B ．乙地区：平均数为50，众数为40 C ．丙地区：中位数为50，极差为60D ．丁地区：极差为10，80%分位数为90 答案：AD分析：根据平均数、方差、众数、中位数、极差、百分位数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 设每天的空气质量指数为x i (i =1,2,⋯,10)，则方差S 2=110∑(x i −x )210i=1. 对于A 选项，由110∑(x i −80)2=4010i=1，得∑(x i −80)210i=1=400，如果这10天中有1天的空气质量指数超过100，则必有∑(x i −80)210i=1>400矛盾， 所以这10天每天的空气质量指数都不超过100，A 正确.对于B 选项，有8天为40，有1天为150，有1天为30，此时：平均数为50，众数为40， 但该地区环境治理不达标，所以B 选项错误.对于C 选项，第1天为110，后面9天为50，此时中位数为50，极差为60， 但该地区环境治理不达标，所以C 选项错误.对于D 选项，如果最大值超过100，根据极差为10，则最小值超过90， 这与80%分位数为90矛盾，故最大值不超过100，D 正确. 故选：AD 填空题12、已知一组数据2x 1+4,2x 2+4,2x 3+4,2x 4+4，的平均数和方差均为4，则x 1+1,x 2+1,x 3+1,x 4+1的方差为______________． 答案：1分析：根据2x 1+4,2x 2+4,2x 3+4,2x 4+4，的平均数和方差均为4，得到x 1+x 2+x 3+x 4=0，x 12+x 22+x 32+x 42=4，从而求出x 1+1,x 2+1,x 3+1,x 4+1的平均数和方差.由题意得：2x 1+4+2x 2+4+2x 3+4+2x 4+4=16，解得：2x1+2x2+2x3+2x4=0，x1+x2+x3+x4=0，且14[(2x1+4−4)2+(2x2+4−4)2+(2x3+4−4)2+(2x4+4−4)2]=4，解得：x12+x22+x32+x42=4，故x1+1,x2+1,x3+1,x4+1的平均数为14(x1+1+x2+1+x3+1+x4+1)=1，故方差为14[(x1+1−1)2+(x2+1−1)2+(x3+1−1)2+(x4+1−1)2]=14(x12+x22+x32+x42)=1.所以答案是：113、某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．答案：200分析：先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取1010+8+7×100=40（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有400.2=200（人）.所以答案是：200.14、我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.答案：0．98.分析：本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.240=0.98．小提示：本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．解答题15、某学校组织“数学文化”知识竞赛，分为初赛和决赛，有400名学生参加知识竞赛的初赛（满分150分），根据初赛成绩依次分为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140]这六组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求本次初赛成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）(2)若计划决赛人数为80，估计参加决赛的最低分数线．答案：(1)114.5(2)127.5分析：（1）根据矩形的面积之和为1计算出m，每个矩形的面积乘以对应的区间中点值再将每个积相加就得平均数.（2）设80%分位数为m(120<m<130)，列方程解出m即可.（1）由题意有(0.005+0.010+0.020+m+0.020+0.015)×10=1，解得m＝0.030.本次初赛成绩的平均数为85×0.05+95×0.1+105×0.2+115×0.3+125×0.2+135×0.15=114.5．（2）=0.8，所以决赛成绩的最低分为80%分位数．因为1−80400前四个矩形的面积之和为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，前五个矩形的面积之和为0 .05+0.1+0.2+0.3+ 0.2=0.85．设80%分位数为m(120<m<130)，则0.65+(m−120)×0.02=0.8，解得m＝127.5．因此，若计划决赛人数为80，估计参加决赛的最低分数线为127.5．。

9.3 概率课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第九章概率与统计初步

9.3 概率课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第九章概率与统计初步
A 的不可能同时发生的两个事件，即 A∩B＝∅. (6)相互独立的事件：在随机试验中，如果事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的可能性的大小，即在事件 A 发生的情况下，事件 B 发生的概 率等于事件 B 原来的概率，那么称事件 A 与事件 B 相互独立．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6
【融会贯通】 同时投掷两枚骰子，则向上的点数的乘积是 12 的概率
是( C )
1 A.36
1
1
1
B.12
C.9
D.6
【解析】 同时抛两枚骰子的基本事件总数是 36，事件 A＝{向上的点
数乘积是 12}包含的基本事件有(3，4)，(4，3)，(2，6)，(6，2)，个数
是 4，故 P(A)＝mn ＝346＝19.
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6
(3)概率的性质： ① 对于必然事件 Ω，P(Ω)＝1； ② 对于不可能事件∅，P(∅)＝0； ③ 0≤P(A)≤1.
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 知识点6
4．事件的关系式及运算 (1)事件的包含：如果事件A的发生必然导致事件B发生，则称事件B 包含事件A，或称事件A包含于事件B，记作A⊂B. (2)事件的“交”：“A∩B”表示A、B同时发生，记为A∩B或AB. (3)事件的“并”：“A∪B”表示A、B中至少有一个发生，又称事件A与 事件B的和事件，记为A∪B. (4)互为对立的事件：若事件 A 和事件 B 满足：A∩B＝∅，而且 A∪B ＝Ω，则把这两个事件叫做互为对立的事件．事件的“否”A－ 表示事件
例3 一个袋子中装有4个红球和2个黑球，若一次从袋中摸出两
个球，则摸到两球颜色相同的概率是(

概率论重点及课后题答案9

概率论重点及课后题答案9

第九章假设检验一、大纲要求(1)理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。

(2)了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.二、重点知识结构图三、基本知识1.假设检验的几个术语 定义1给定k ,k ≥确定了关于X 的一个区域00,k μμ⎛⎛⎫-∞-++∞ ⎪⎝⎝⎭当X 落入此区域内，就拒绝0H (接受1H ),称上式这类区域为0H 的拒绝域,记为Z .k <确定了关于X 的另外一个区域00k k μμ⎛-+ ⎝当X 落入此区域内，就接受0H (拒绝1H ),称上类区域为接受域,记为Z .不等式k <称为临界值形式的接受域,00k k μμ⎛-+ ⎝称为区间形式的接受域.定义2称0H 为原假设(或零假设),称1H 为备择假设(或备选假设、对立假设). 定义3称允许作判断有错误的概率α为显著性水平(或检验水平),它是用来衡量原假设与实际情况差异是否明显的标准.定义4称k 为临界值小概率原理:小概率事件在一次试验中是不大会发生的.2.假设检验的两类错误第一类错误:0H 正确,但拒绝了它,这类错误称为“弃真错误”. 第二类错误:0H 不正确,但接受了它,这类错误称为“存伪错误”.3.假设检验的基本步骤 (1)提出假设;(2)找统计量(这里要求该统计量含有待检验的参数); (3)求临界值(求接受域); (4)求观察值; (5)作出判断.4.u 检验法已知方差2σ,假设检验00:H μμ=. (1)提出假设00:H μμ=.(2)找统计量.确定样本函数:()~0,1X u N =,称其为u 的统计量,它含有待检验参数μ.(3)求临界值.给定显著性水平()01αα<<,查正态分布表求出临界值/2u α,使{}/2P u u αα≥=,即{}/21P u u αα<=-.(4)求观察值.根据给定的样本求出统计量u 的观察值1u . (5)作出判断.若1/2u u α<,则接受0H ;若1/2u u α≥,则拒绝0H .5.t 检验法未知方差2σ,假设检验00:H μμ=. (1)提出假设00:H μμ=.(2)找统计量.因为2σ未知,这时u 已不是统计量,所以不能用u 检验法,这里用2S 来代替2σ,找出统计量:X t =(3)求临界值.对给定显著性水平()01αα<<,由t 分布表查得临界值,使{}/2P t t αα≥=.(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量t 的观察值1t . (5)作出判断.若1/2t t α<,则接受0H ;若1/2t t α≥,则拒绝0H .6.2χ检验法已知期望μ,假设检验220:H σσ=. (1)提出假设220:H σσ=.(2)找统计量.确定样本函数的统计量:()222211()~nii Xn χμχσ==-∑(3)求临界值.对给定显著性水平()01αα<<,由2χ分布表查得临界值()2/2n αχ与()21/2n αχ-,使(){}(){}2222/21/2, 22P n P n ααααχχχχ-≥=≤=即()(){}2221/2/21P n n ααχχχα-<<=-(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量2χ的观察值21χ.(5)作出判断.若()()2221/2/2n n ααχχχ-<<,则接受0H ;若()221/2n αχχ≥或21χ≤()21/2n αχ-,则拒绝0H .7.F 检验法已知期望12,μμ,假设检验21022:H σσσ=(1)提出假设21022:H σσσ=.(2)找统计量()12212111122221221()~,1()n ii n i i Xn F F n n Y n μσμσ==-=-∑∑(3)求临界值.对给定显著性水平()01αα<<,查F 分布表,求得()/212,F n n α及()1/212,F n n α-,使(){}(){}/2121/212,, ,22P F F n n P F F n n αααα-≥=≤=即()(){}1/212/212,,1P F n n F F n n ααα-<<=-(4)求观察值.由所给定的样本算出统计量的值1F .(5)作出判断.若()()1/212/212,,F n n F F n n αα-<<,则接受0H ;若()1/212,F F n n α≥或()11/212,F F n n α-≤,则拒绝0H .四、典型例题例1有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:第一批棉纱样本11200,0.523kg,0.218kg n X S ===; 第二批棉纱样本22100,0.576kg,0.176kg n X S ===.试验证两批棉纱断裂强度的均值有无显著差异(检验水平0.05α=)?如果0.1α=呢?解这是两个正态总体的均值检验问题,检验0:H EX EY =.()()~0,1,~0,1X Y N N因为是大样本(12,n n 均较大),所以DX 、DY 可用2212S S 、代入,近似有221212~,, ~,S S X N EX Y N EY n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故221212~,S S X Y N EX EY n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭由于X 与Y 相互独立,若0:H EX EY =成立,则221212~0,S S X Y N n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故()~0,1X Y u N =因此,只要是大样本(容量较大时),不管总体X 、Y 是否服从正态分布,是否DX DY =,都可以按u 检验法2σ已知的情况去做近似检验.由已知得2211200, 0.523, 0.218n X S ===2222100, 0.576, 0.176n X S ===故 1.88X Y u ===-当0.05α=时,查表得/2 1.96u α=.因/21.88 1.96u u α=<=,故0H 被接受,即在检验水平0.05α=下可以认为这两种棉纱的强力值无显著差异.当0.10α=时,查表得/2 1.65u α=.因/21.88 1.65u u α=>=,u 落入拒绝域,应否定0H ,即在检验水平0.10α=下可以认为这两种棉纱的强力值有显著差异.例2某农业试验站为了研究某种新化肥对农作物产量的效力,在若干小区进行试验.测得产量(单位:kg)如下:施肥 34 35 32 33 30 34 未施肥 29 27 32 28 31 32 31设农场的产量服从正态分布,检验该种化肥对提高产量的效力是否显著?()0.10α=解设X 为施肥后的产量,Y 为施肥前的产量.已知()211~,,~X N Y Nμσ()222,μσ.由于总体方差21σ和22σ均未知,应先对方差进行检验,即22012:H σσ=,22112:H σσ≠. 由题意可知67111133, 3067i i i i X X Y Y ======∑∑672222121111() 3.2, ()456i i i i S X X S Y Y ===-==-=∑∑2122 3.20.84S F S ===已知120.1,6,7n n α===,查表得()()/2120.051,15,6 4.95F n n F α--==.因为()0.055,6F F <,所以接受0H ,即认为2212σσ=. 提出检验问题,即11012112:,:H H μμμμ≤>2.828X Yt == 已知()0.10α=,查表得()()120.1211 1.3634t n n t α+-==.因为()0.12.82811t t =>,所以拒绝0H ,即认为该种化肥对提高产量的效力显著.例3某种配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数据是:10,53,46.按照某种遗传模型,其频率之比应为()()22:21:1p p p p --,问数据与模型是否相符?()0.05α=解令()()22123,21,1p p p p p p p ==-=-,欲检验的假设为0H :数据与模型相符.设观察到的三类数量分别为123,,n n n ,其中123n n n n ++=,则p 的似然函数为()()()()()31222123211 10,53,46n n n L p pp p p n n n ⎡⎤=--===⎡⎤⎣⎦⎣⎦由于()1222ln 212011L p n n n n p p p p p∂--=+++=∂--解得p 的极大似然估计为12220530.3352218n n p n ++=== 从而 2210.3350.112p p ===()22120.3350.6650.45p p p =-=⨯⨯= ()22310.6650.44p p=-==统计量观测值为()2321i ii in n p n p χ=-=∑()()()222101090.112531090.45461090.441090.1121090.451090.44-⨯-⨯-⨯=++⨯⨯⨯0.801=已知0.05α=,自由度11321n --=-=,查表得()20.051 3.84χ= 由于()220.801 3.841αχχ=<=,故接受0H ,即数据与模型相符.例4设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在0.05α=时是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?解设该次考试考生的成绩为X ,则()2~,X N μσ.把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ,样本标准差记为S ，检验假设01:70,:70H H μμ=≠.则()1/21u t n α-=-已知()0.97536,66.5,15,361 2.0301n X S t ===-=,所以()0.97566.57035 2.030115u n t -=≥= 所以接受假设0:70H μ=,即0.05α=时,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.例5某一指标服从正态分布,今对该指标测量8次,所得数据为:68,43,70,65, 55,56,60,72.在以下两种条件下,检验()220:80.05H σα==.(1)总体均值μ未知;(2)总体均值60μ=.解 (1)检验假设220:8H σ=,用2χ检验,得()882211154.875, 1()652.88i i i i X X n S X X ====-=-=∑∑故()22221652.810.28n S χσ-==≈ 查表得()()220.0250.975817.535,8 2.180χχ==.因()()2220.0250.97588χχχ>>,故接受0H .(2)检验假设220:8H σ=,而60μ=,故()82211()663i i n SX μ=-=-=∑()2222166310.48n S χσ-=== 由于()()2220.0250.97588χχχ>>,故接受0H .例6从某锌矿的东西两支矿脉中,各抽取容量分别为9和8的样本分析后,计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别如下:东支2110.230, 0.1337, 9X S n ===西支2220.269, 0.1736, 8Y S n ===假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,对于0.05α=,能否认为两支矿脉的含锌量相同?解设东支矿脉的含锌量为X ,()211~,X N μσ;西支矿脉的含锌量为Y ,~Y ()222,N μσ;其中1μ、、、均为未知参数.(1)检验假设.则已知,计算得查表得 因,故接受假设,即认为. (2)检验假设,这属于检验,检验统计量为已知,计算得查表得.因,故接受假设,即认为两支矿脉的含锌量相同.例7在20世纪70年代后期人们发现,酿啤酒时,在麦芽糖干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA),于是80年代初期开发了一种新的麦芽糖干燥过程.下面给出分别在新老两种过程中所形成的(NDMA)含量(以10亿份中的份数计).老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3设两样本分布来自正态总体,两总体方差相等,两样本独立,分别以、记2μ21σ22σ222201121112:,:H H σσσσ=≠()211222~1,1S F F n n S =--2211229,0.1337,8,0.1736n S n S ====0.13370.77020.1736F ==()()()0.0250.9750.025118,7 4.90,8,77,8 4.53F F F ===1 4.904.53F <<01H 2212σσ=02121212:,:H H μμμμ=≠t ()12~2t t n n =+-2211229,0.1337,8,0.1736n S n S ====0.2180t ==-()0.02515 2.1315t = 2.1315t <02H 1μ2μ对应于新老两过程的总体均值,检验假设.解该检验的拒绝域为已知,查表得. 由已知数据计算得由于在拒绝域中,故应拒绝.例8某厂使用两种不同的原料A 、B 生产同一类产品,各在一周的产品中取样进行分析比较,取使用原料A 生产的样品220件,测得平均重量为2.46kg,样本标准差;取使用原料B 生产的样品205件,测得平均重量为2.55kg,样本标准差,设这两个样本独立,问在下能否认为使用原料B 的产品平均重量比使用原料A 大?解检验假设. 这个问题是大样本问题,故可近似认为统计量:于是检验的拒绝域为()012112:2,:20.05H H μμμμα-=->=()122X Y W t t n n α⎧⎫⎪⎪⎪⎪==≥+-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭1212,12,0.05n n α===()()120.05222 1.7171t n n t α+-==5.25, 1.5X Y ==()()2211222121110.25 6.50.7283123Wn S n S S n n -+-+===+-11.87 1.7171t ==>t 0H 0.57kg S =0.48kg S =0.05α=012112:0,:0H H μμμμ-=-<()~0,1X Y Z N =X Y W Z Z α⎧⎫⎪⎪⎪⎪==≤-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭已知,所以由于落在拒绝域中,故应拒绝,即认为使用原料B 的产品平均重量比使用原料A 的大.例9某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(单位:).今在生产的一批导线中取样本9根,测得,设总体为正态分布,问在下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?解检验假设. 该检验的拒绝域为已知,所以由于落在拒绝域中,故应拒绝,即在下这批导线的标准差显著偏大.例10一自动车床加工零件的长度服从正态分布,车床正常时,加工零件长度为10.5,经过一段时间生产后,要检验这车床是否正常工作,为此抽取该车床加工的31个零件,测得数据如下:零件长度 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0 频率 1 3 7 10 6 3 1若加工零件长度方差不变,问此车床工作是否正常?()解检验假设.则0.050.05, 1.65Z α== 1.76 1.65Z ==-<-Z 0H Ω0.007S =0.05α=01:0.005,:0.005H H σσ≤>()()2222011n S W n αχχσ⎧⎫-⎪⎪==≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭()20.05,9,115.507n n ααχ==-=22280.00715.6815.5070.005χ⨯==>2χ0H 0.05α=()2,N μσ0.05α=0010:10.5,:10.5H H μμμμ==≠=()~,1X t t n =于是检验的拒绝域为 已知,计算得.从而查表得.由于,故拒绝.即可以认为该车床工作不正常. 例11某车间的白糖包装机包装量,其中,未知.一天开工后为检验包装量是否正常,抽取了已经装好的糖9袋,算得样本均值,样本标准差为,试确定包装机工作是否正常?()解检验假设(可省略).样本均值,样本方差.于是已知,查表得. 由于,故接受.可认为包装机工作正常.例12某市居民上月平均伙食费为235.5元,随机抽取49个居民,他们本月的伙食费平均为236.5元,由这49个样本算出的标准差元.假设该市居民月伙食费方差正态分布,试分别在和时,检验“本月该市居民平均伙食费较之上个月无变化”的假设.解检验假设. 由于方差未知,故采用检验法,其拒绝域为已知,计算得()/21W t t n α⎧⎫⎪⎪==>-⎨⎬⎪⎪⎩⎭31n =11.08,0.516X S == 6.26t ===()()/20.025130 2.0423t n t α-==()0.0256.2630 2.0423t t =>=0H ()20~,X N μσ2500g,μσ=504g X =5g S =0.01α=01:500,:500H H μμ=≠504X =225S= 2.4X t ===0.01,18n α=-=()()/20.00518 3.3554t n t α-==()/21t t n α<-0H 3.5S =X 0.05α=0.01α=01:235.5,:235.5H H μμ=≠2σt()/21W t t n α⎧⎫⎪⎪==≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭49,236.5, 3.5n X S ===由于,故可用代替.当时,,故应拒绝.即本月该市居民平均伙食费较之上个月有显著升高.当时,,故接受.即本月该市居民平均伙食费较之上个月无显著变化.例13一位研究者声称至少有80%的观众对商业广告感到厌烦,现在随机询问了120位观众,其中70人同意此观点,在时,问是否可同意该研究者的观点?解把“观众对商业广告感到厌烦”(即)作为原假设.本问题的归结为在时,检验假设.设随机向量在为真时,为来自总体服从两点分布的一个样本,且.由于较大,由中心极限定理可知于是检验的拒绝域为 已知,计算得故拒绝,即在此数据的基础上,不能同意该研究者的观点.2t ===4914830-=>/2u α()/2491t α-0.05α=0.025 1.962u =<0H 0.01α=0.005 2.582u =>0H 0.05α=0.8p ≥0H 0.05α=0010:0.8,:0.8H p p H p p ≥=<=()11,2,,1200i i X i i ⎧==⎨⎩第个观众同意此观点第个观众不同意此观点0H 12120,,,X X X ()1,0.8B 0.8,0.16i i EX DX ==120n =()0~0,1niXnp u N -=∑00ni X np W u u ⎧⎫-⎪⎪⎪⎪==<-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑12000.051120,70,0.8, 1.65i i n X p u =====∑ 5.93 1.65u ==-<-0H五、课本习题全解9-1 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得;对给定的,查表 得.④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以拒绝;当时,,所以接受.9-2 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以拒绝. 9-3 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以拒绝. (2)①提出假设. ②找统计量.. 010:32.05H μμ==()~0,1X u N =0.05α=0.025 1.96u =0.01α=0.005 2.575u =31.13, 2.05X u ==-0.05α= 2.05 1.96u =>0H 0.01α=u 2.05 2.275=<0H 00:5H μμ==()~0,1X u N =0.01α=0.005 2.575u =5.32, 3.2X u ==0.01α= 3.2 2.275u =>0H 00:50H μμ==()~0,1X u N =0.05α=0.025 1.96u =2.25u =0.05α= 2.25 1.96u =>0H 00:50H μμ==()~1X t t n =-③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.9-4 ①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值.. ⑤作出判断.当时,,所以接受. 9-5 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当,,所以拒绝. 9-6 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.(2)①提出假设.②找统计量. .0.05α=()0.0258 2.31t =48.5, 2.5, 1.8X S t ===-0.05α= 1.8 2.31t =<0H 00: 2.7H μμ==()~1X t t n =-0.05α=()0.02529 2.04t =0.18,301 2.05/29n S S t n ==-⨯0.05α= 2.04t <0H 00:H μμ=()~0,1X u N =0.01α=0.005 2.575u =1.5u =0.01α= 1.5 2.575u =<0H 00:100H μμ==()~0,1X u N =0.05α=0.025 1.96u =99.9,0.25X u ==0.05α=0.25 1.96u =<0H 22200: 1.2H σσ==()9222211()~ii Xn χμχσ==-∑③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值. .⑤作出判断.当时,,所以接受.9-7 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以拒绝,有显著差异. 9-8 ①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受,即可认为溶化时间 的标准差为9.9-9 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受,即包装机工作 正常.(2)①提出假设.0.05α=()()220.0250.975919.0,9 2.7χχ==28.2χ=0.05α=22.719.0χ<<0H 2200:0.04H σσ==()222211()~1nii XX n χχσ==--∑0.05α=()()220.0250.9751426.1,14 5.63χχ==2 1.84χ=0.05α=2 5.63χ<0H 00:9H σσ==()222211()~1nii XX n χχσ==--∑0.05α=()()220.0250.975919.0,9χχ==2.72221162.9,(62.9)9nii X Xχ===-∑0.05α=22.719χ<<0H 00:500H μμ==()~0,1X u N =0.05α=0.025 1.96u =501.3,0.82X u ==0.05α=0.82 1.96u =<0H 00: 2.7H μμ==②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值.. ⑤作出判断.当时,,所以接受.9-10 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受. (2)①提出假设. ②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值.. ⑤作出判断.当时,,所以接受.9-11 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值.⑤作出判断.当时,,所以拒绝.()~1t t n =-0.05α=()0.0259 2.26t =2501.3,31.57,0.73X S t ===0.05α= 2.26t <0H 2200:25H σσ==()2222101()~nii XX n χχσ==-∑0.05α=()()220.0250.9751020.5,10 3.25χχ==212χ=0.05α=23.2520.5χ<<0H 00:5H σσ==()2222101()~1nii XX n χχσ==--∑0.05α=()()220.0250.975919.0,9χχ==2.722501.3,31.57,11.37X S χ===0.05α=22.719χ<<0H 02:0H μμ-=()~0,1X Y u N μμ---=0.05α=0.025 1.96u =u =0.05α= 1.96u >0H9-12 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受. (2)①提出假设. ②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.9-13 (1)①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..1022:1H σ=()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑0.05α=()()0.0250.9755,57.15,5,50.14F F ==222112221139.33,269,0.14655S S S F S =⨯=⨯==0.05α=0.147.15F <<0H 012:0H μμ-=()12~2X Y t t n n μμ---=+-0.05α=()0.02510 2.23t =0.14067,0.13883,0.57X Y t ===0.05α=0.57 2.23t =<0H 21022:1H σσ=()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑0.01α=()()0.0050.9958,9 6.69,8,9F F ==17.342221122264,226,0.28S S S F S ====⑤作出判断.当时,,所以接受. (2)①提出假设. ②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值.⑤作出判断.当时,,所以拒绝.9-14 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.9-15 (1)①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得.④求观察值..0.01α=16.697.34F <<0H 02:0H μμ-=()12~2X Y t t n nμμ---=+-0.01α=()0.00517 2.9t =533,562,X Y t ===0.01α= 2.9t >0H 012:0H μμ-=()12~2X Y t t n n μμ---=+-0.05α=()0.02511 2.20t =17.681,17.630,X Y t ===0.05α= 2.2t <0H 21022:1H σσ=()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑0.10α=()()0.050.9518,5 4.82,8,5 3.69F F ==22211222113.69,19.2,0.1285S S S F S =⨯=⨯==⑤作出判断.当时,,所以拒绝. (2)①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得 ④求观察值.. ⑤作出判断.当时,,所以拒绝. 9-16 ①提出假设.②找统计量..③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受.9-17 ①提出假设.②找统计量.. ③求临界值.对给定的,查表得. ④求观察值..⑤作出判断.当时,,所以接受. 0.10α=13.69F <0H 21022:1H σσ=()1221111222121()~,1()n i i n i i X n F F n n Y n μμ==-=-∑∑0.10α=()()0.050.9519,6 4.06,9,6 3.37F F ==0.128F =0.10α=13.37F <0H 02:0H μμ-=()12~2X Y t t n n μμ---=+-0.05α=()0.02513 2.16t=t =0.05α= 2.16t <0H 21022:1H σσ=()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑0.05α=()()0.0250.97516,751.2,6,7 5.7F F ==222112220.1048,0.0272, 3.85S S S F S ====0.10α=15.125.7F <<0H9-18 根据题目要求,考虑假设检验.其中 服从泊松分布,其分布律为的极大似然估计为样本均值,其观察值为则统计量为其中,是按的泊松分布律计算出的的取值为0,1,2,3,4 这五种情况的概率.查表得,故接受.9-19 根据题目要求,考虑假设检验,其中服从等概率分布,其 分布律为由观测数据得,则统计量为其中.查表得,故接受.六、自测题及答案1.设总体是来自的样本,记,当和未知时,则(1)检验假设所使用的统计量是.(2)检验假设所使用的统计量是.()()()()0010:,:H F x F x H F x F x =≠0F {}() 0,1,2,!kP X k e k k λλ-=== λX ()106544940.61200X =++++=()25210.7853i i i in np np χ=-==∑200n =i p 0.61λ=X ()220.0549.49χχ=>0H ()()00:H F x F x =0F {}()11,2,,66P X k e k λ-=== 120,20i n np ==()()26211936102525 4.820i i i in np np χ=-==+++++=∑120n =()220.05511.1χχ=>0H ()212~,,,,,n X N X X X μσ X 211,ni i i X X n σ===∑21()nii XX =-∑μ2σ00:H μμ=________2200:H σσ=________2.设总体服从正态分布,方差未知,对假设进行假设检验时,通常采取的统计量是,服从分布,自由度是.3.在检验时,用统计量,若时,用检验,它的拒绝域为.若时,用检验,它的拒绝域为.4.设总体,设假设检验的拒绝域为,则犯第一类错误的概率为;犯第二类错误的概率为.5.某加工厂生产一批轴承,质量检查规定,废品率不超过3%可以出厂,否则不能出厂.现从这批产品中抽查100件,发现有5件废品.为判断这批产品能否出厂,要求检验的假设为;在显著性水平下,选定的统计量为,其观测值为;该统计量近似服从分布,拒绝域为.6.设总体,和未知,假设检验.若采用检验法,则在显著性水平之下,其拒绝域为( ).(A) (B) (C) (D)7.设和是来自正态总体的样本均值和样本方差,样本容量为,为( ). (A)的拒绝域 (B)的接受域 (C)的一个置信区间 (D)的一个置信区间 8.设总体,其中未知,假设检验.若取得显X ()2,N μσ2σ0211:,:H H μμμ=≠2μ________________________2χ()2221n S χσ-=2200:H σσ=________________2200:H σσ≠________________()~,X B n p 0010:;:H p p H p p =≠W ={}{}()1212,X C X C C C ≤≥< ________________01:0.03;:0.03H p H p =>α________________________________()2~,X N μσμ2σ0010:,:H H μμμμ=≠t α()1/21t t n α-<-()1/21t t n α-≥-()11t t n α-≥-()11t t n α-<--X 2S ()2,N μσn (00.051X t n μ->-00:H μμ=00:H μμ=μ2σ()2~,X N μσ2σ01:1,:1H H μμ≤>著性水平,则其拒绝域为( ).(A) (B) (C) (D)9.对正态分布的数学期望进行假设检验,如果在显著性水平0.05下接受,那么在显著性水平0.01下,下列结论中正确的是( ).(A)必接受 (B)可能接受,也可能拒绝(C)必拒绝 (D)不接受,也不拒绝 10.自动包装机装出的每袋重量服从正态分布,规定每袋重量的方差不超过,为了检查自动包装机的工作是否正常,对它生产的产品进行抽样检查,假设检验,则下列命题正确的是( ).(A)如果生产正常,则检测结果也认为生产正常的概率为0.95 (B)如果生产不正常,则检测结果也认为生产不正常的概率为0.95 (C)如果检测结果认为生产正常,则生产确实正常的概率为0.95(D)如果检测结果认为生产不正常,则生产确实不正常的概率为0.95 11.设为正态总体中抽取的样本,在显著性水平下检验.取拒绝域为.试求当时,所烦的第二类错误的概率.12.甲、乙两台机床生产同一型号的滚球,现从这两台机床的产品中分别抽取8个和9个,测得滚球珠的直径(单位:mm)如下:甲机床 15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 乙机床 15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 14.8 15.1 14.8设滚珠直径服从正态分布,问乙机床的加工精度是否比甲机床高()? 13.一种元件,要求其使用寿命不得低于1000h,现在从一批这种元件中随机地抽取25件,测得其寿命平均值为950h,已知该元件寿命服从标准差的正态分布,试在下,确定该批元件是否合格?14.某台机器加工某种零件,规定零件长度为100cm,标准差不得超过2cm,每天定时检查机器运行情况,某日抽取10个零件,取到平均长度,样本标准差为,设加工的零件长度服从正态分布.问该日机器工作状况是否正常()?0.05α=0.051X u ->(0.0511X t n >+-0.051X t ->(0.0511X t n <--μ00:H μμ=0H 0H 0H 0H 0H 0H α2201:,:;0.05H a H a σσα≤>=12,,,n X X X (),1N μα()01:0:0H H μμ=≠(){}121/2,,,nW X X XX u α-=> 1μ=0.05α=100h σ=0.05α=101cm X =2cm S =0.05α=15.甲、乙相邻两地段各取了50块和52块岩心进行磁化率测定,算出样本标准差分别为,试问甲、乙两段的标准差是否有显著差异()?16.在集中教育开课前对学员进行测验,过了一段时间后,又对学员进行了与前一次同样程度的考查,目的是了解学员两次考试的分数是否有差别().从两次考卷中随机抽取12份考试成绩,如下表:考查次数考分总计平均第1次80.5 91.0 81.0 85.0 70.0 86.0 69.5 74.0 72.5 83.0 69.0 78.5 940 78.5 第2次76.0 90.0 91.5 73.0 64.5 77.5 81.0 83.5 86.0 78.5 85.0 73.5 960 80.0 [答案]1.(1)当未知时,检验假设,应选服从个自由度的分布统计量其中.于是.(2)检验假设,应选统计量.2.;分布;.3.双边;;左边;.4..5..6.的含义为.7.由可知.故A项正确.8.,故B项正确.9.检验水平越小,接受域的范围越大,也就是说,在下的接受域包含在下的接受域.如果在时,接受,即样本值落在接受域内,则此样本值也一定落在22120.0139,0.0053S S==0.05α=0.05α= 2σ00:Hμμ=1n-tXt=S=Xt=2200:Hσσ=()22222001n Sσχσσ-==()2211iS X Xn=--t1n-()()2222/21/21,1n nααχχχχ->-<-()2211nαχχ-<-()()()122110000111111;1C Cnn i m i n ii i i i i in n ni i C i CC p p C p p C p pαβ----===+=-+-=-∑∑∑()0,1;2XNμμα=>()11t nα--()(){}1111P t n t nαα--≤-=-(00.051X t nμ->-0.05t>()0.051Xt n>-α0.01α=0.05α=0.05α=H的接受域内,因此接受.即A 项正确.10.因为,从而,因而A 项正确.而B 、C 、D 三项分别反映的是条件概率、、,由假设检验中犯两类错误的概率之间的关系知,这些概率一般不能由唯一确定,故B 、C 、D 三项不正确.11.第二类错误的为.当时,来自,此时因此12.设甲、乙机床生产的滚珠直径分别为,检验乙机床的加工精度是否比甲机床高,即看是否比小.此问题归结为在下,检验假设. 容易想到用统计量,但是在为真时,不知其服从什么分布,只知随机变量而对于,有即事件是一个小概率事件,可惜乙机床计算不出来.但因0.01α=0H {}00P H H α=拒绝为真{}001P H H α-=接受为真{}00P H H 拒绝不真{}00P H H 为真接受{}00P H H 不真拒绝α()1P W μ=1μ=()12,,,n X X X ()1,1N )()1~1,,1~0,1X N X N n ⎛⎫- ⎪⎝⎭}111/2P P X U μμα==-=<)11/21/2111P X μαα=--⎫=-≤-≤-⎪⎭((1/21/2=ΦΦU U αα----))1/21/2=ΦΦU U αα---()()221122~,,~,X N Y N μσμσ22σ21σ0.05α=2222012112:,:H H σσσσ≤>2122S F S =0H ()2211122222/~1,1/S Z F n n S σσ=--α(){}121,1P Z F n n αα>--=(){}121,1Z F n n α>--F与有关,在为真时,有故事件 从而于是仍选用作为检验的统计量.的拒绝域为.已知,得,又查表得.由于,故拒绝.即认为乙机床的加工精度比甲机床的高.13.在下,检验假设. 由于已知,故拒绝域为已知,得故拒绝,即认为这批元件不合格.14.设加工的零件长度为,且,、均未知.(1)检验假设.这是检验问题,当成立时,统计量为于是拒绝域为已知,得Z 0H 22222112112222222122//S S S Z F S S S σσσσ==≥=(){}(){}12121,11,1F F n n Z F n n αα>--⊆>--(){}(){}12121,11,1P F F n n P Z F n n ααα>--⊆>--=2122S F S =0H 0H ()121,1F F n n α>--128,9n n ==221215.01,0.09554,14.99,0.02611X S Y S ====()()120.051,17,8 3.5F n n F α--==2212/0.09554/0.02611 3.695 3.5F S S ===>0H 0.05α=0010:1000,:1000H H μμμμ==<=2σ()120.050,,,:n X W x x x Z Z ⎧⎫==<-⎨⎬⎩⎭00.0525,950,100, 1.65n X Z σ====95010002.5 1.65100Z -==-<-0H X ()2~,X N μσμ2σ010110:100,:100H H μμμμ==≠=t 01H ()~1X T t n =-()(){}12/2,,,:1n W x x x t t n α=≥- 22101,10,2X n S ===已知,查表得,由于,故接受假设,即认为.(2)检验假设.这是检验问题,当成立时,统计量为于是拒绝域为计算得 已知,查表得,由于,故接受假设,即认为.综合(1)(2),可以认为该机器工作状态正常. 15.假设检验,则有由于统计量.查表得故. 因为,所以拒绝假设,即认为甲、乙段岩心磁化率,测定数据的标准差在时有显著差异.16.此为双正态总体方差的假设检验,两总体均值未知,要检验假设1.5811t ==0.05α=()0.0259 2.2622t = 1.5811 2.2622t =<01H 100μ=222222020120:2,:2H H σσσσ==>=2χ02H ()22212()~1nii n XX n χχσ=-=-∑()(){}2212,,,:1n n n W x x x n χχ=≥- ()22222019292nn S χσ-⨯===0.05α=()20.05916.9χ=2916.9n χ=<02H 222σ<012:H σσ=250211501500.0139()0.01425014949i i S X X =⨯⨯-===-∑（大）252221521520.053()0.00545215151i i S Y Y =⨯⨯-===-∑（小）2111222210.01422.630.00541n S n n S n -==-F=()()0.050.0149,51 1.59, 49,51 1.93F F ==()()/20.0250.050.01111.59 1.93 1.7622F F F F α==+=+=/22.63 1.76F F α=>=012:H σσ=0.05α=选取统计量于是拒绝域为 由题意可知因此查表得.由于,故在下,接受,即认为两次考试中学员的成绩无显著差异.2222012112: :H H σσσσ=≠()211222~1,1S F F n n S =--()()/2121/2121,1, 1,1F F n n F F n n αα->--<--221253.15, 60.23S S ==212253.150.882560.23S F S ===()()0.0250.97511,11 3.43,11,110.2915F F ==()()1/20.02511,110.882511,11 3.43F F F α-<=<=0.05α=0H。

人教版高中数学必修二《第九章 统计》课后作业及答案解析

人教版高中数学必修二《第九章 统计》课后作业及答案解析

人教高中数学必修二《第九章统计》课后作业《9.1.1 简单随机抽样》课后作业基础巩固1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．110，110B．310，15C．15，310D．310，3102．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.83．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A．08 B．07 C．02 D．014．下面抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好) 5．为了了解某班学生的身高情况，决定从50名学生（已编号为00～49）中选取10名进行测量，利用随机数法进行抽取，得到如下4组编号，则正确的编号是（）A．26,94,29,27,43,99,55,19,81,06 B．20,26,31,40,24,36,19,34,03,48C ．02,38,22,41,38,24,49,44,03,11D ．04,00,45,32,44,22,04,11,08,496．采用抽签法从含有3个个体的总体{}138,,中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本为______.7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_________．8．某单位拟从40名员工中选1人赠送电影票，可采用下面两种选法：选法一：将这40名员工按1~40进行编号，并相应地制作号码为1〜40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的员工幸运入选；选法二：将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中摸取一个球，则摸到红球的员工幸运入选.试问：（1）这两种选法是否都是抽签法，为什么？（2）这两种选法中每名员工被选中的可能性是否相等？能力提升9．随机抽取某商场4月份5天的营业额（单位：万元）分别为3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，则这个商场4月份的营业额大约是（ ）A ．90万元B ．450万元C ．3万元D ．15万元10．在容量为100的总体中用随机数表法抽取5个样本,总体编号为0001,0299,,,,给出下列几组号码:①00,01,02,03,04;②10,30,50,70,90;③49,19,46,04,67;④11,22,33,44,55.则可能成为所得样本编号的是________(填相应序号).11．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.（1）现有一批电子元件600个，从中抽取6个进行质量检测；（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样.素养达成12．某些商家为消费者提供免费塑料袋，使购物消费更加方便快捷，但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如下表：（1）求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数；（2）假设某市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年（以365天计算）丟弃塑料袋的总数.《9.1.1 简单随机抽样》课后作业答案解析基础巩固1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．110，110B．310，15C．15，310D．310，310【答案】A【解析】在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为1 10.故选A.2．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．3．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A．08 B．07 C．02 D．01【答案】D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.4．下面抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好) 【答案】D【解析】A中平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．故选D5．为了了解某班学生的身高情况，决定从50名学生（已编号为00～49）中选取10名进行测量，利用随机数法进行抽取，得到如下4组编号，则正确的编号是（）A．26,94,29,27,43,99,55,19,81,06 B．20,26,31,40,24,36,19,34,03,48C．02,38,22,41,38,24,49,44,03,11 D．04,00,45,32,44,22,04,11,08,49【答案】B【解析】对于选项A ：有不在00～49内的编号，故选项A 排除;选项C ，D 中都有重复的编号，故选项C 和D 排除;故选: B6．采用抽签法从含有3个个体的总体{}138,,中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本为______.【答案】{}1,3，{}1,8，{}38, 【解析】从总体中任取两个个体即可组成样本，即所有可能的样本为{}1,3，{}1,8，{}38,. 故答案为：{}1,3，{}1,8，{}38, 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_________．【答案】01【解析】选取的数据依次为08,02,14,07,01，所以选出来的第5个个体的编号为018．某单位拟从40名员工中选1人赠送电影票，可采用下面两种选法：选法一：将这40名员工按1~40进行编号，并相应地制作号码为1〜40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的员工幸运入选；选法二：将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中摸取一个球，则摸到红球的员工幸运入选.试问：（1）这两种选法是否都是抽签法，为什么？（2）这两种选法中每名员工被选中的可能性是否相等？【答案】（1）见解析；（2）这两种选法中每名员工被选中的可能性相等，均为140. 【解析】（1）选法一：满足抽签法的特征，是抽签法；选法二：不是抽签法抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的39个白球无法相互区分（2）这两种选法中每名员工被选中的可能性相等，均为140能力提升9．随机抽取某商场4月份5天的营业额（单位：万元）分别为3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，则这个商场4月份的营业额大约是（ ）A ．90万元B ．450万元C ．3万元D ．15万元 【答案】A 【解析】样本平均数为()1 3.4 2.9 3.0 3.1 2.635⨯++++=，所以这个商场4月份营业额约为3×30=90（万元）故选：A 10．在容量为100的总体中用随机数表法抽取5个样本,总体编号为0001,0299,,,,给出下列几组号码:①00,01,02,03,04;②10,30,50,70,90;③49,19,46,04,67;④11,22,33,44,55.则可能成为所得样本编号的是________(填相应序号).【答案】①②③④【解析】随机数表法是一种简单随机抽样方法,因此每一个个体都有可能被抽到,且被抽到的可能性相同,因此所列几组都可能成为所得样本的编号.答案:①②③④11．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.（1）现有一批电子元件600个，从中抽取6个进行质量检测；（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）总体中个体数较大，用随机数法.第一步，给元件编号为1，2，3，...，99，100， (600)第二步，用随机数工具产生1～600范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的电子元件进入样本；第三步，依次操作，如果生成的随机数有重复，则剔除并重新产生随机数，直到样本量达到6；第四步，以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象.（2）总体中个体数较小，用抽签法.第一步，将30个篮球，编号为1，2， (30)第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上，揉成小球状，制成号签；第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌；第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步，找出和所得号码对应的篮球.素养达成12．某些商家为消费者提供免费塑料袋，使购物消费更加方便快捷，但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如下表：（1）求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数；（2）假设某市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年（以365天计算）丟弃塑料袋的总数.【答案】（1）3；（2）109500万个【解析】（1）()11115260365435520656003200200⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯= 故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3.（2）3365100109500⨯⨯=故全市所有家庭每年丢弃塑料袋109500万个.《9.1.2 分层随机抽样》课后作业基础巩固1．从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．抽签法 B．按性别分层随机抽样 C．按学段分层随机抽样 D．随机数法2．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、16A B C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，3．某学院、、拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生人数为（）A．30 B．40 C．50 D．604．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取( )A．10人B．15人C．20人D．25人5．某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取分层随机抽样方式对华润中央公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9，用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为（）A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.76．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法分别为_____.7．甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.8．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.（1）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；（2）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个.能力提升9．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现的样本，若样本中男生比女生多12人，则n=要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为n10（）A．990 B．1320 C．1430 D．156010．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题．“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人．则西乡遣___________人”．11．某公司总体由1000人组成，按收入情况分成两层，第—层（高收入层）20人，第二层（低收入层）980人.从第一层随机抽取2人，调查上月收入得12000元和16000元；从第二层随机抽取8人，上月收入分别为2200元、2300元、1800元、3200元、4000元、3400元、2800元及3600元.如何来估计这月1000人的月收入？素养达成12．某单位2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？（3）若要抽20人调查对北京9月3日阅兵情况的了解，则应怎样抽样？《9.1.2 分层随机抽样》课后作业答案解析基础巩固1．从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．抽签法 B．按性别分层随机抽样 C．按学段分层随机抽样 D．随机数法【答案】C【解析】小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异∴学段对统计结果影响较大同一学段男女生肺活量差异不大∴性别对统计结果无明显影响∴最合理的抽样方法是按学段分层随机抽样故选：C2．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、16【答案】B【解析】高级职称应抽取3015=3150⨯；中级职称应抽取3045=9150⨯；一般职员应抽取3090=18150⨯．3．某学院、、A B C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生人数为（）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】B【解析】C 专业的学生有1200380420400--= 由分层抽样原理，应抽取400120401200⨯=名 故选B4．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取( )A ．10人B ．15人C ．20人D ．25人【答案】C【解析】由年龄分布情况图可得40岁以下年龄段应抽取40×50%=20人． 故选：C ．5．某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取分层随机抽样方式对华润中央公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9，用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为（ ）A ．8.4B ．8.5C ．8.6D ．8.7【答案】C【解析】估计小区业主对户型结构满意度的平均分为2030898.620302030W =⨯+⨯=++.故选：C .6．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法分别为_____.【答案】分层随机抽样、简单随机抽样【解析】由调查①可知个体差异明显，故宜用分层随机抽样；调查②中个体较少，且个体没有明显差异，故宜用简单随机抽样.故答案为：分层随机抽样、简单随机抽样7．甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.【答案】1800【解析】由题共有产品4800名，抽取样本为80，则抽取的概率为；801480060P==，再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备在总体中有；30601800⨯=．8．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.（1）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；（2）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个.【答案】（1）抽签法.见解析（2）分层随机抽样.见解析【解析】（1）总体容量较小，用抽签法.①将30个篮球编号，编号为00，01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.（2）总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层随机抽样.①确定抽取个数.因为30310=，所以甲厂生产的篮球应抽取2173=（个），乙厂生产的篮球应抽取933=（个）；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本.能力提升9．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（）A．990 B．1320 C．1430 D．1560【答案】B【解析】依题意可得，解得，故选：B 。

概率统计练习题9答案

概率统计练习题9答案

《概率论与数理统计》练习题9答案考试时间：120分钟题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分）1、一批产品，优质品占20%，进行重复抽样检查，共取5件产品进行检查，则恰有三件是优质品的概率等于( )。

A 、 30.2B 、320.20.8⨯C 、 30.210⨯D 、 32100.20.8⨯⨯答案：D2、设,A B 相互独立，()0.76P AB =, ()0.4P B =，则()P A =( )。

A 、0.16B 、0.36C 、0.4D 、0.6 答案：C3、已知离散型随机变量的分布律为0.250.51 0 p 0.25ξ-1则以下各分布律正确的是( )。

0.5120 p (A)0.52ξ-20.250.253 1 p(B)0.521ξ+-10.50.2510ξ2p(C)0.50.51 0ξ2p(D)答案：D4、设随机变量ξ与η相互独立，且都有相同的分布列则ζξη=+的分布列为( )。

A 、B 、C 、D 、答案：C5、若随机变量ξ与η相互独立，且方差()2,() 1.5D D ξη==，则(321)D ξη--等于( )。

A 、9 B 、24 C 、25 D 、2答案：B6、()0D ξ=是{}1P C ξ==(C 是常数)的( )。

A 、充分条件，但不是必要条件B 、必要条件，但不是充分条件C 、充分条件又是必要条件D 、既非充分条件又非必要条件 答案：C 、7、设随机变量n ξ，服从二项分布(,)B n p ，其中01,1,2,p n <<=，那么，对于任一实数x ，有(({}lim nn Pnp x ξ→+∞-<等于( )。

A22t xe dt --∞B22t edt +∞--∞C 、1222πe dt t x -zD 、0答案：D8、设12(,,)n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的一个样本,样本均值为X ,样本的二阶中心矩为2S .则统计量()/(Q X μ=-服从( )。

概率论和数理统计课后习题答案解析

概率论和数理统计课后习题答案解析

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2) dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.试求Y=X2的分布律.解答：所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3, 有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为表(a)表(b)解答：由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为亦即表P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22，fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.于是(1)(2)Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.。

2021高职高考数学同步练习2章测试：第九章 概率与统计初步(B)

2021高职高考数学同步练习2章测试：第九章 概率与统计初步(B)
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三、解答题:本大题共有4小题,共50分.解答应写出文字说明、证 明过程或推演步骤. 21.由0,1,2,3,4,5这六个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位数?
解 : (1)55 43 300
(2)组成无重复数字的四位数中比4000大的数有多少个?
(2)千位为4的四位数 : 5 43 60 千位为5的四位数 : 5 43 60 60 60 120 能组成无重复数字的四位数中比4000大的数有120个.
A.[5.5,7.5) B.[7.5,9.5) C.[9.5,11.5) D.[11.5,13.5)
10.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务, 如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为 ( A )
A.14
B.24
C.28
D.48
11.由0,1,2,3组成无重复数字的四位数,其中0不在十位的有( B )
22.下表是某班50名学生综合能力测试的成绩分布表:
分数 1
2
3
4
5
人数 5 10 10 20 5
求该班成绩的方差.
解 : x 1 (51 210 310 4 20 5 5) 3.2 50
s2 1 [5 (1 3.2)2 10 (2 3.2)2 10 (3 3.2)2 20 (4 3.2)2 50
D.非以上三种抽样方法
5.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次
出现正面朝上的概率是( D )
A. 1
B. 999
C. 1
D. 1
999
1000
1000
2
6.从10名理事中选出3名常务理事,可能的选法种数有 ( A )
A.120

《概率论与统计原理》各章例题的答案(三版).doc

《概率论与统计原理》各章例题的答案(三版).doc

例1 例2 例3 例4 例5例6 见书上第9页例1.3 见书上第11页例 见书上第12页例 见书上第13页例 见书上第13页例1.4 1.5 1.61.7例7 例8 例9例 例 例 例 例10 11 12 13 14解设A=｛能钻到石油｝,则40P(A)= -------- =0.0008 5X104见书上第15页例1.9 见书上第18页例1.10见书上第19页例1.11 见书上第20页例 见书上第22页例 见书上第23页例 见书上第26页例 见书上第26页例1.131.161.171.191.20 例16=0.5,P ⑷=0.6, P （A 3） =0.8.课件屮各章例题的答案第一章解 设A=｛甲击中敌机｝, B=｛乙击屮敌机｝。

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9 X 0.8 = 0.98解 设4 (Z=l, 2, 3)分别表示甲、乙、丙屮靶，则仏，仏，力3相互独立，且P (4)（1） P （ A 1A 2A 3 + A l A 2A 3 +A X A 2A 3） =P （ A t A 2A 3） +P （ A t A 2A 3 ） +P （ A^2A 3） =P g ） P （刁2）P （万3）+P （瓦）P 4）P （厶）+P （ 4 ） P （万?）P （A 3） =0.5 X 0.4 X 0.2+0.5 X 0.6 X 0.2+0.5 X 0.4 X0.8 =0.26（.2） P （力］+?12+力3）=1 —P （4 +& + 力3 ）= 1-P （仏）P （万?）P （厶）=1-0.5X0.4X0.2 = 0.96第二章例1见书上第38页例2.1 例2见书上第43页例2.2 例3见书上第43页例2.3 例4见书上第45页例2.5 例5见书上第48页例2.7 例6见书上第53页例2.11 例7见书上第54页例2.12 例8见书上第55页例2.13 例9解 设随机变量X 表示洗衣机的寿命，则X 服从参数为久=1/15的指数分布，因此1 — —Pk= P{X >/:}=£—e ,5dx = e 15计算结果见下表:例10见书上第61页例2.17 例11见书上第61页例2.16 例12见书上第61页例2.18 例13见书上笫63页例2.18 例14见书上第64页例2.20 例15见书上第66页例2.21第三章例1 解EX= -4 X 0.35+1 X 0.50+4 X 0.15 = -0.3例2见书上第112页例4.5例3见书上第113页例4.9例4见书上第117页例4.14例5见书上第114页例4.10例6随机变量X的概率密度为一、0 < X <71 /（兀）=\兀0, 其他因此EY = fsin 兀丄dx = Zo兀兀例7见书上第114页例4.111°2例8 解EX = ^2x2dx = ~, EY= \y =6.所以0 3 5E (2X-3 Y) = 2EX~3EY= -50/3 ；2由于X和Y相互独立，因此，E (AT) =EXEY.所以，E (AT) =E%EX=-x6 =4；3E (-4AT+5) =-4E (AT) +5 = - 11例9解设X表示第Z次抽出的球上的号码(/=1, 2, 3, 4),显然，用尤+基+禺+屁. 而随机变量&的概率分布为P{X j= = ~(^=1，2, (9)于是9 1 9kP{X^k} = -^k=5K=\ " k=l例17解由条件知,于是，有DA^EY 2- (EX) 2=4-1 =34-coEe'2yV由数学期望的性质，得盼E (尤+基+盼疋)=E¥i+E 疋+EZ+EA>4X 5=20 例10见书上第⑵页例4.17 例11见书上第121页例4.20 例12见书上第124页例4.22 例13见书上第124页例4.232]例 14 解 P{|X —“|>3”}W ―=-3)9例15解 设X 表示120次独立重复试验中成功次数，则X 服从参数为(120, p )的二项 分布，因此DZ=120p (1-p)由于只有当p=0.5时，方差=120p (l-p)収最大值，此时标准差也取最大值，标准差的最大值为 例 16 解 由题设，知 ELg, DX=2,从而，E%2= ( EX) 2+DX=*U 因此E[ (XT) (X-2) ]=E (乎-3护2) HEA 2-3EX+2=(AA) -3 A+2 =A 2-2 Z +2于是,有乎-2 2+2=1,从而,得；1=1。

部编版高中数学必修二第九章统计带答案知识点总结全面整理

部编版高中数学必修二第九章统计带答案知识点总结全面整理

(名师选题)部编版高中数学必修二第九章统计带答案知识点总结全面整理单选题1、已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为x ，方差为s 2，则（ ） A ．x =5，s 2=2B ．x =5，s 2=1.6 C ．x =4.9，s 2=1.6D ．x =5.1，s 2=22、2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1~11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是（ ）A ．各班植树的棵数不是逐班增加的B ．4班植树的棵数低于11个班的平均值C ．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D ．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳 3、下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动B ．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验C ．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本D ．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查 4、3个数1，3，5的方差是（ ） A ．23B ．34C ．2D ．835、为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300,500)的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为A．0B．1C．2D．36、一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（）A．2B．3C．4D．57、某老师为了解某班50名同学在家学习的情况，决定将本班学生依次编号为01，02，⋅⋅⋅，50.利用下面的随机数表选取10名学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，则选出来的第4名学生的编号为（）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 19 8 3 1 0 4 9 2 3 1 4 9 3 5 8 2 0 9 3 6 2 4 4 8 6 9 6 9 3 87 4 8 1A．25B．24C．29D．198、为了进一步推动全市学习型党组织､学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，从全体测试人员中随机抽取了一部分人的测试成绩，得到频率分布直方图如图所示.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，则估计这部分人的测试成绩的平均数和中位数分别是（）A．85，87.5B．86.75，86.67C．86.75，85D．85，85多选题9、中国的华为公司是全球领先的ICT（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界.其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（）A．根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31,32]内B．根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C．根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小D．根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少10、（多选）下列调查方式合适的是（）A．为了了解炮弹的杀伤力，采用抽样调查的方式B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式D．检查一批待售袋装牛奶中的细菌是否超标，采用普查的方式11、某学校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（）A．样本中数据的中位数小于41B．样本中支出不少于40元的人数为132C．全校学生支出的众数约为45元D．若该校有2000名学生，则约有600人的支出在[50，60]内填空题12、由6个实数组成的一组数据的方差为S12，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7 ，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为S22，则S22−S12=________．13、已知一组数据4,2a,3−a,5,6的平均数为4，则a的值是_____.部编版高中数学必修二第九章统计带答案(四十二)参考答案1、答案：B分析：设这10个数据分别为：x1,x2,⋯,x7,x8=4,x9=5,x10=6，进而根据题意求出x1+x2+⋯+x7和(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x7−5)2，进而再根据平均数和方差的定义求得答案.设这10个数据分别为：x1,x2,⋯,x7,x8=4,x9=5,x10=6，根据题意x1+x2+⋯+x77=5⇒x1+x2+⋯+x7=35，(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x7−5)27=2⇒(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x7−5)2=14，所以x=x1+x2+⋯+x1010=35+4+5+610=5，s2=(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x10−5)210=14+(4−5)2+(5−5)2+⋯+(6−5)210=1.6.故选：B.2、答案：C分析：从图中直接观察可以判定AD正确，结合平均数的定义，将比4班多的里面取出部分补到比4班少的班中，可以使得4班的植树量最少，从而判定B正确；结合中位数的定义可以判定C错误.从图可知，2班的植树量少于1班，8班的植树量少于7班，故A正确；4班的指数棵数为10，11个班中只有2、3、8班三个的植树棵数少于10，且大于5棵，其余7个班的植树棵数都超过10棵，且有6、7、9、10、11班五个班的植树棵数都不少于15棵，将这五个班中的植树棵数各取出5棵，加到2、3、8班中取，除4班外，其余各班的植树棵数都超过了4班，所以4班植树的棵数低于11个班的平均值，故B正确；比6班植树多的只有9、10、11三个班，其余七个班都比6班少，故6班所对应的植树棵数不是中位数，故C是错误的；1到5班的植树棵数的极差在10以内，6到11班的植树棵数的极差超过了15，另外从图明显看出，1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳，故D正确；综上，不正确的只有C，故选：C.小提示：本题考查频数折线图的意义，涉及平均数，中位数，波动大小的判定，难点是平均数的估算，这里采用取长补短法进行估算，可以避免数字的计算.3、答案：B分析：根据简单随机抽样的特点逐项判断可得答案.对于A，某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动，每个人被抽到的机会不相等，故错误；对于B，从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验，是简单随机抽样，故正确；对于C，从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本，由于被抽取的样本的总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故错误；对于D，饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，故错误.故选：B.4、答案：D分析：由题得3个数的平均数为3，再利用方差公式求解.由题得3个数的平均数为3，所以S2=13[(1−3)2+(3−3)2+(5−3)2]=83．故选：D5、答案：D解析：根据直方图求出a=0.0025，求出[300,500)的频率，可判断①；求出[200,500)的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.由(0.001+0.0015+0,002+0.0005+2a)×100=1，a=0.0025，[300,500)的频率为(0.002+0.0025)×100=0.45，①正确；[200,500)的频率为(0.0015+0.002+0.0025)×100=0.55，②正确；[200,400)的频率为0.3，[200,500)的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的45，故中位数为400+0.5−0.30.25×100=480，③正确.故选:D.小提示：本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题6、答案：B分析：先判断出平均数不变，然后分别表示出原先一组数的方差和新数据的方差，作差化简即可得到答案. 一个数由4改为1，另一个数由6改为9，故该组数据的平均数x不变，设没有改变的八个数分别为x1,x2,x3,⋯,x8，原先一组数的方差s12=110[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋯+(x8−x)2+(4−x)2+(6−x)2]，新数据的方差s22=110[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋯+(x8−x)2+(1−x)2+(9−x)2所以s22−s12=110[(1−x)2+(9−x)2−(4−x)2−(6−x)2]=110(1−2x+x2+81−18x+x2−16+8x−x2−36+12x−x2)=3，故选：B.小提示：关键点点睛：该题考查了平均数与方差的求解，正确解题的关键是熟练掌握方差的计算公式.7、答案：C分析：利用随机表法从第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，超过50的跳过，重复的只取一个即可求解.从题中随机数表的第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，超过50的跳过，重复的只取一个可得：25 ，30 ，24，2 9，19，10 ，49 ，23，14，20，故选出来的第4名学生的编号为29.故选：C.8、答案：B分析：根据平均数和中位数的定义求解即可由题意可知，平均数约为(0.03×77.5+0.05×82.5+0.06×87.5+0.04×92.5+0.02×97.5)×5=86.75；因为前2组的频率和为5×0.03+5×0.05=0.4<0.5，前3组的频率和为5×0.03+5×0.05+5×0.06=0.7>0.5，所以中位数在[85，90）内，设中位数为x，则5×0.03+5×0.05+(x−85)×0.06=0.5，解得x≈86.67. 所以估计这部分人的测试成绩的平均数和中位数分别是86.75，86.67.故选：B.9、答案：ABD解析：计算出甲店的月营业额的平均值即可判断A；由图可直接判断B；分别计算出甲、乙两店的月营业额极差和7、8、9月份的总营业额即可判断CD.对于A，根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值为14+21+26+30+52+476=1906≈31.7，故A正确；对于B，根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势，故B正确；对于C，可得甲店的月营业额极差为52−14=38，乙店的月营业额极差为53−7=46，故C错误；对于D，甲店7、8、9月份的总营业额为30+52+47=129，乙店7、8、9月份的总营业额为33+44+53=130，故D正确.故选：ABD.10、答案：AC分析：根据普查和抽样方法的特点判断.了解炮弹杀伤力的过程中具有破坏性，所以采用抽样调查的方式；了解全国中学生的睡眠状况，工作量大，所以采用抽样调查的方式；了解人们保护水资源的意识，工作量大，所以采用抽样调查的方式；检查一批待售袋装牛奶中的细菌是否超标，具有毁损性，所以采用抽样调查的方式．故选：AC．11、答案：BCD分析：设样本数据的中位数为x，根据(0.01+0.024)×10+(x−40)×0.036=0.5求出x可判断A；计算出样本中支出在[50,60]内的频率可得样本中支出不少于40元的人数可判断B；由频率分布直方图得样本中学生支出的众数再估算全校学生支出的众数可判断C；若该校有2000名学生乘以0.3可判断D.在A中，设样本数据的中位数为x，则(0.01+0.024)×10+(x−40)×0.036=0.5，解得x≈44.44>41，故A错误；在B中，样本中支出在[50,60]内的频率为1−(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，样本中支出不少于40元的+60=132，故B正确；人数为0.36×60=45（元），所以全校学生支出的众数约为在C中，由频率分布直方图得样本中学生支出的众数约为40+50245元，故C正确；在D中，若该校有2000名学生，则约有2000×0.3=600人的支出在[50,60]内，故D正确.故选：BCD.12、答案：2分析：根据平均数和方差的定义进行求解即可.因为将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，所以这6个实数组成的一组数据的平均数不变，设为x，设没有变化的4个数与平均数差的平方和为S，所以S22−S12=[S+(2−x)2+(7−x)2]−[S+(5−x)2+(4−x)2]=2，6所以答案是：213、答案：2分析：根据平均数的公式进行求解即可．∵数据4,2a,3−a,5,6的平均数为4∴4+2a+3−a+5+6=20，即a=2.所以答案是：2.小提示：本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．。

概率与统计初步(含习题训练)

概率与统计初步(含习题训练)

第九章 概率与统计初步一、计数原理1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N +++= 21种不同的方法；2、 （分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法；3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）；二、排列与组合1、 排列数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数，用符号n mA 表示，且：2、 n 的阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作：!n ，且：3、 组合数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号n mC 表示，且：组合数公式也可写为：4、 组合数的两个性质：()()n m n m n n m n mn n m C C C C C 1121--+-+==5、 排列与组合的区别：排列与顺序有关；组合与顺序无关。

()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121 ()()10,1221!=⋅--=！规定： n n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤⋅--+---==n n m nmC n m m m m m n n n n m A C 规定： ()!!!m n m n C n m -⋅=()!!m n n A nm -=为：易知排列数公式也可写三、概率1、 基本概念（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象；（2） 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C表示；（4） 必然事件：在一次随机试验中必然要发生的事件，用Ω表示（Ω读作“omiga ”，Ω对应的小写希腊字母是“ω”）； （5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用φ表示（φ读作“fai ”）； （6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件；（7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件； 2、 频数与频率（1） 频数：在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次()n m ≤≤0，m 叫做事件A 发生的频数；（2） 频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例nm ，叫做事件A 发生的频率； 3、 概率（1） 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：； （2） 概率的性质：i. 对于必然事件Ω：()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ：()0=φP iii. ()10≤≤A P4、 古典概型（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；（2） 概率：设试验共有n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件发生的概率为：（3） 事件的“交”：“B A ”表示B A 、同时发生，记作：AB ；（4） 事件的“并”：“B A ”表示B A 、中至少有一个会发生，又称为事件A 与事件B 的和事件；()nA A P m==基本事件总数包含的基本事件（5） 事件的“否”：A 表示事件A 的对立事件；（A 读作a bar ，“A 拔”）（6） 互为对立的事件：若事件A 是事件B 的对立面，且Ω==B A B A ,φ;（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A 与B 有且仅有一个发生） （7） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：φ=B A ；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件）（8） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性的大小，即在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 相互独立；(事件A 发生与否，不影响事件B 的概率) （9） 若A 、B 是互斥事件，则：()()()B P A P B A P +=（10） 若A 、B 是对立事件，则：()()B P A P +=1，即：()()A P A P -=1 （11） 若A 、B 不是互斥事件，则：()()()()B A P B P A P B A P -+= （12） 若A 、B 是相互独立事件，则：()()()()B P A P AB P B A P ⋅==四、总体、样本与抽样方法例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量； 1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体；2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；4、 样本容量：样本所含个体的数目；例1中“100”是样本容量；5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、 说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、 样本均值：()n x x x nx +++=2112、 样本方差：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-= 3、 样本标准差：()()()[]222211x x x x x x nS n -++-+-=4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；5、作频率分布直方图的方法：①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。

概率与统计初步习题答案及分析

概率与统计初步习题答案及分析

概率与统计初步§ 9.1计数原理(1)某人到S城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下 9间单人房、2间双人房，则现在住宿有种不同的选择；解：共有4 • 6 • 9 • 2 = 21不同的选择；(分析：只需要订一间房，“一步可以做完”，应该用加法计数原理)(2)一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有___________________________________ 种不同的选择；解：共有：12 8 =96种不同选择；(分析：要订两间房，可以分成两步完成：第一步, 先订一间单人房，有 12种不同选择；第二步，再订一间双人房，有 8种不同选择；用乘法计数原理，共有12 8 =96种不同选择；)(3)4封不同的信，要投到 3个不同的信箱中，共有_______________ 种不同的投递的方法；分析：“投递的是信件”，从信件入手考虑问题；本题没有其它限制条件，一共有四封信，分成四步完成：第一步，投递第一封信，投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第二步考虑第二封信的投递方法，同样是投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第三步考虑第三圭寸信、第四步考虑第四圭寸信，同样都有3种不同的投递方法所以完成这件事情共有： 3 3 3 3 = 34 =81种不同的投递方法；(4)4封不同的信，要投到 3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有 _____________ 种；2分析：(捆绑法)分两步：第一步在四封信中抽出两封，有 C 4种不同的方法；第二步把这两圭寸信捆绑，看成一圭寸信，和剩下的另外两圭寸信构成三圭寸信，按排列的方法放入三3个邮箱(即：三个位置)，有A3种不同的方法；所以完成这件事情共有：c4 A3二 g 3 2 1 = 36种不同的投递方法;2沢1(5)3封不同的信，要投到 4个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；分析：从信件入手考虑问题；共 3封信，每封信都可以投入 4个信箱中的任意一个，即每封信均有4种不同的投递方法，分四步投递四封信，方法同题 3 ,,所以共有34 4 4 =4 =64种不同的投递方法;⑹ 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 _______________________________________________________ 种;解：共有：7 8 6 21种不同的选法；(只选一本书，“一步可完成”，用加法原理)⑺ 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有__________________________________ 种; 解：共有：8 7 =56种不同的选法；(分析：需要选两本不同的书，可以两步完成，用乘法原理：第一步，从 8本不同的文艺书中任选一本，有8种不同的选法；第二步，从7本不同的科技书中任选一本，有 7种不同的选法)(8) ____________________________________________________________________ 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有_____________________________________________ 个;一 3解：共有5 5 5 =5 =125个三位数；(分析组成三位数的各个位数上的数字可以重复，分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有 5种选法;第二步，填写十位上的数字，由于数字允许重复，仍然从5个数字中任取一个，同样有5种选法；第三步，填写个位上的数字，与第二步相同，有5种选法；所以完成这件事情，共有5 5 5 =53 =125个三位数，如图：方法数： 5 5 5 )百位十位个位(9) ____________________________________________________________________ 由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有_________________________________ 个; 解：共有5 4 3 =60个三位数；(组成三位数的各个位数上的数字不可以重复，可以分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有 5种选法；第二步，填写十位上的数字，由于数字不允许重复，只能从剩下的4个数字中任取一个，有4种选法；第三步，填写个位上的数字，从剩下的3个数字中任取一个，有 3种选法；完成这件事情，共有5 4 3 = 60个三位数，如图：方法数： 5 4 3百位十位个位§ 9.2排列组合(10)7人站成一排，一共有_____________ 种不同的排法；解：共有Aj =765432 1 =5040种；(分析：与顺序有关，是排列问题)(11)7人中选出3人排成一排，一共有_________________ 种不同的排法；3解：共有A；7 6 5 = 210种不同的排法；(分析：与顺序有关，是排列问题)(12)7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有_________ 种不同的选法；37汇6汇5解：共有C7 35种不同的选法；(分析：与顺序无关，是组合问题)3汉2汉1(13)5人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有________________ 种不同的排法；解：共有1 A：=24种不同的排法；(分析：分两步完成：第一步，先排头，把甲放到第一位，有1种排法；第二步，将剩下的四个人排在后面，有A： =4 3 2 1 =24种4不同的排法；所以共有：1 A4 =24种不同的排法；）小结：若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先安排这些特殊元素或位置，然后再安排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法，计算方法用分步乘法原理；（14）___________________________________________________________ 8人排成一排，其中 A、B 两人必须排在一起，一共有________________________________________ 种不同的排法；7 2解：共有A7 A2 =5040 2 =10080种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，将A、B两人捆绑，看成一个人，则原来的8个人可以看成是 7个人排成一排，共有A；=765432 1 =5040种不同的排法；第二步，将A、B两人在队伍中进2行排列，不同的排法有 A 2 =2 1=2种；用分步乘法计算，完成这件事情共有：A7 A2 = 5040 2 = 10080种不同的排法）小结：如果排列中有某些元素需要排在一起，可以先将它们捆绑，看成一个元素与其它元素进行排列后，再松绑，将需要排在一起的元素在队伍里进行第二步排列，这种方法称为"捆绑法”；（15）_________________________________________________________________________ 8人排成一排，其中 A、B、C三人不在排头并且要互相隔开，一共有________________________________________________________________________________________ 种不同的排法；5 3解：共有：A A =120 60 =7200种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先不排A、B、C三人，把剩下的5个人进行排列，共有A5 ^5 4 3 2 1=120种不同的排法；第二步，将 A、B、C三人放入5个人排好的队伍间隔中，由于 A、B、C 三人不能排头并且互相要隔开，只能从如下图箭头所示的5个位置中任取3个位置进行排列，共有A =5 4 3 =60种不同的5 = 7200种不同排法）排法；共有：A5 AA B C小结：当某几个元素要求不相邻（即有条件限制）时，可以先排没有条件限制的元素，再将不能相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。

9.5 用样本的频率分布估计总体分布课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第九章概率与统计初步

9.5 用样本的频率分布估计总体分布课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第九章概率与统计初步

A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解析】 因为丙的平均数最大，方差最小，故选 C.
8．在学校组织的一次技能竞赛中，某班学生
成绩的频率分布直方图如图所示，若低于 60
分的有 12 人，则该班学生的人数为( B )
A．35
B．40
C．45
D．50
第 8 题图
【解析】 如图所知：低于 60 分的频率为 20×(0.005＋0.010)＝0.3， 设该班有学生 n 人，则1n2＝0.3，解得 n＝40，故选 B.
＝0.4×40＝16，故选 D.
4．某同学进行技能训练，录得近五次的训练成绩分别为：88，84，86，
85，87，则这组数据的方差为( A )
A．2
B．3
C．4
D．9
【解析】 因为x－＝x1＋x2＋x53＋x4＋x5＝86，所以，方差 s2＝n1[(x1－x－)2
＋
(x2
－
－
x
)2
＋
…
＋
(xn
－
－
二、填 空 题
9．将一个容量为 m 的样本分成 3 组，已知第 1 组的频数为 8，第 2 和第 3 组的频率为 0.15 和 0.45，则 m＝___2_0__． 【解析】 由题意得，第一组的频率为m8 ，则m8 ＋0.15＋0.45＝1，解得 m＝20.
10．容量为 100 的样本数据，按从小到大的顺序分为 8 组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 14 15 13 12 9
9.5 用样本的频率分布估计总体分布
知识点1 知识点2
1．用样本的频率分布估计总体 (1)频数与频率 将一组数据按要求分成若干个组，各组内数据的个数叫做该组的频 数，每组的频数除以全体数据的个数的商叫做该组的频率，频率反 映数据在每组中所占比例的大小．

2021高职高考数学同步练习1节练习：第九章 概率与统计初步

2021高职高考数学同步练习1节练习：第九章 概率与统计初步

个样本的容量是 10 ,平均数是 4 .
12.甲乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下:
品种 甲 乙
第1年 9.8 9.4
第2年 9.9 10.3
第3年 10.1 10.8
其中产量比较稳定的小麦是 甲 .
第4年 10 9.7
第5年 10.2 9.8
2.下列说法正确的是 ( C ) A.任一事件的概率总在(0,1) B.不可能事件的概率不一定为0 C.必然事件的概率一定为1 D.频率就是概率
3. 一个盒子里有20个球,其中有18个红球,2个黑球,每个球除颜色 外都相同,从中任意取出3个球,则下列结论中,正确的是 ( C )
A.所取出的3个球中,至少有1个是黑球 B.所取出的3个球中,至少有2个黑球 C.所取出的3个球中,至少有1个是红球 D.所取出的3个球中,至少有2个是红球
A.7
B.12
C.64
D.81
二、填空题 7.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤,如果一条长
裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有 12 种.
8.一个乒乓球队里有男队员5人,女队员4人,从中选出男、女 队员各一名组成混合双打,共有 20 种不同的选法.
9.由数字0,1,2,3,4可以组成 100 个三位数(各位上的数字允许 重复).
( D)
A. 9 29
B. 10 29
C. 19 29
D. 20 29
二、填空题 9.全校有学生共1500人,从中任意抽出两人,他们的生日一定不同, 这是 随机 事件.
10.甲、乙两名同学进行射击比赛,甲射击20次,命中16次,乙射击 15次,命中10次, 甲 的命中率高些.
11.抛一颗均匀的骰子,A={得大于3点},则P(A)= 0.5 .

第9讲 概率与统计(答案版)

第9讲 概率与统计(答案版)

当前形势概率与统计在近五年北京卷（理）考查13-18分高考要求内容要求层次具体要求A B C统计随机抽样简单随机抽样√理解随机抽样的必要性和重要性．分层抽样和系统抽样√会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法用样本估计总体频率分布表，直方图、折线图、茎叶图√了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．样本数据的基本的数字特征（如平均数、标准差）√理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释．用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征√会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．变量的相关性线性回归方程√会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线满分晋级新课标剖析第9讲概率与统计考点归纳概率与统计5级典型分布概率与统计6级概率与统计考点归纳概率与统计7级与计数原理相关的概率问题性回归方程系数公式建立线性回归方程．概率事件与概率随机事件的概率√了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．随机事件的运算√两个互斥事件的概率加法公式√了解两个互斥事件的概率加法公式．古典概型古典概型√理解古典概型及其概率计算公式．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．几何概型几何概型√了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．了解几何概型的意义．北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第17题13分第17题13分第17题13分第2题5分第17题13分第16题13分知识切片寒假知识回顾9.1统计及其应用<教师备案> 寒假我们已经预习过统计，除最小二乘法的知识点没讲之外，其它知识点都已经预习过．这里不再罗列这些知识点，老师可以根据上表以及前面的新课标剖析对这些知识进行回顾，再结合后面的知识回顾里的简单题，帮助学生回忆一下已经学过的知识．后面的例1与例2、3是对这些知识点的加深与进一步的学习．1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对240名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）A．简单随机抽样，系统抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．分层抽样，简单随机抽样【解析】A；2．将参加数学考试的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，...，1000，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003， (0020)第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第2个号码为_________，抽取的第20个号码为__________．【解析】0035；0395．3．（2010重庆5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．7B．15C．25D．35【解析】B；4．已知样本容量为30，在如图的样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2:4:3:1，则第2组的频率和频数分别为（）Array A．0.4，12 B．0.6，16C．0.4，16 D．0.6，12【解析】A5．在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右，下列说法正确的是（ ） A ．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定． B ．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定． C ．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定．D ．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定． 【解析】 C考点1：抽样方法的应用<教师备案> 所有的随机抽样都符合每个个体被抽到的概率相等这一条件，学生可能对有剔除后抽样的等可能性不易理解，可以从这个角度想，即每个个体被剔除的可能性相同，而如果不被剔除，之后被抽中的概率会有适当的增加，所以每个个体被抽中的概率仍然是一样的．【例1】 ⑴在100个零件中有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出20个样本； ②采用系统抽样法：将零件编号为000199，，，，然后平均分组抽取20个样本； ③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本． 下列说法中正确的是（ ）A ．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的【追问】如果有101个零件，先随机剔除一个，再采用抽签法取出20个样本，则这101个零件每一个被抽到的概率仍然相等吗？⑵（2010湖北理6）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为（ ）A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17， 9 ⑶（2010安徽14）某地有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 ．【解析】 ⑴ A ；【追问】仍然相等，为20101； ⑵ B⑶ 5.7%；经典精讲4321980213210乙甲【例2】某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为12270，，，；使用系统抽样时，将学生统一随机编号12270，，，，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况： ①7346188115142169196223250，，，，，，，，，； ②59100107111121180195200265，，，，，，，，，； ③11386592119146173200227254，，，，，，，，，； ④305784111138165192219246270，，，，，，，，，； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样【解析】 D ；考点2：样本数字特征——平均数与方差【例3】 ⑴为了了解某校高一年级学生的数学成绩情况，分别对该年级的甲、乙、丙三个班成绩进行了调查，他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙三个班所调查的数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为_______________．（用“>”连接）甲乙丙⑵右图是某次比赛中甲、乙两支参赛队伍的各位队员的成绩的茎叶图，其中x 处的数据因为损坏变得无法辨认，x196272699787乙甲若甲、乙两支队伍的平均得分分别为a b ，，则一定有（ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无法确定 ⑶已知总体的各个体的值由小到大（可以相等）依次为12 4.571213.51820a b ，，，，，，，，，，且总体的中位数为11，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ． 【追问】若要使该总体的方差最大，则a 、b 的取值分别是________．经典精讲⑷（2009上海）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【解析】 ⑴ 123s s s >>；⑵ B⑶ 1111，；【追问】1012， ⑷ D【备选】（2012广东文13）由正整数组成的一组数据1234x x x x ，，，，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_________．（按从小到大排列） 【解析】 1133，，，；考点3：线性回归分析1．两个变量之间的关系：函数关系与相关关系．相关关系：变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．2．如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关； 反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． <教师备案> 1．函数关系与相关关系的区别：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 如：一个人某次考试的数学成绩和他的总成绩；例子：下列变量间的关系是相关关系的有______，是函数关系的有_______． ①球的表面积与体积；②光照时间和果树亩产量；③降雪量和交通事故发生率； ④水费与用水量；⑤人的身高与视力；⑥家庭的支出与收入； ⑦收入水平与纳税水平．【解析】 函数关系有：①④⑦；相关关系有：②③⑥．知识点睛函数关系中，可以根据一个变量的值计算出另一个变量对应的值，但相关关系中无法确定．3．散点图：将样本中的n 个数据点()(12)i i x y i n =，，，，描在平面直角坐标系中．散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系．散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系．4．回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性．回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． <教师备案>根据不同的标准可画出不同的直线来近似地表示这种线性关系，比如可以让直线通过的点最多，也可以让画出的直线上方和下方的点数相等，什么样的直线才叫“最贴近”已知数据点的呢？ 5．最小二乘法：记回归直线方程为：ˆya bx =+，称为变量Y 对变量x 的回归直线方程，其中,ab 叫做回归系数． ˆy 是为了区分Y 的实际值y ，当x 取值i x 时，变量Y 的相应观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是ˆi i ya bx =+． 设x Y ，的一组观察值为()i i x y ，，12i n =，，，，且回归直线方程为ˆya bx =+， 当x 取值i x 时，Y 的相应观察值为i y ，差ˆi i y y-刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差．我们希望这n 个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点．记21()ni i i Q y a bx ==--∑，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那条．这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法． 可以得到ˆˆab ，的计算公式为1122211()()()()nnii iii i nniii i xx y y x ynxyb xx xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，其中11nii x x n ==∑，11ni i y y n ==∑．由此得到的直线ˆˆya bx =+就称为回归直线，其中ˆa ，b 分别为a ，b 的估计值． 由ˆˆa y bx =-知，回归直线一定过平均值点，即一定过()x y ，．<教师备案>2．回归一词的来历：“回归”这个词英国统计学家Francils Galton 提出来的．1889年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高．Galton 把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”．后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析．3．最小二乘法提供了一种估计的方法，但对有些数据，直接使用最小二乘法是有局限性的，比如一组数据都在某直线附近，但有一个数据明显偏离该直线了，在实际处理中，这种数据一般会先舍去，再对剩下的数据使用最小二乘法，因为那组明显偏离直线的数据很可能是一组错误的数据．【铺垫】⑴（2009海南3）对变量x ，y 有观测数据()(1210)i i x y i =，，，，，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据()i i u v ，(1210)i =，，，，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）图 2图 1A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关⑵ 单位成本（元）依产量（千件）变化的回归方程为ˆ782y x =-，下面预测正确的是（ ）A ．产量为1000件时，单位成本76元 B ．产量为1000件时，单位成本78元C ．产量每增加1000件时，单位成本下降2元D ．产量每增加1000件时，单位成本下降78元E ．当单位成本为72元时，产量为3000件【解析】 ⑴ C ．⑵ A 、C 、E ．【例4】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据⑵ 请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；⑶ 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据⑵求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考公式：1221ni ii nii x ynx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-）【解析】 ⑴经典精讲⑵0.350.7y x=+；⑶预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低54.3吨标准煤．【备选】（2011广东理13）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_________cm．（线性回归方程y bx a=+中系数计算公式()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-，其中x ，y表示样本均值）【解析】185．寒假知识回顾9.2 概率及其应用<教师备案>寒假预习时，我们已经了解了这些概念，对简单问题会列出基本事件空间，并会计算简单的古典概型与几何概型的问题，这里我们重点讲一些比较复杂一些的古典概型与几何概型的计算问题，对基本的概念只放在知识回顾中处理．下一讲，我们会学习加法原理与乘法原理，再借助这两个原理解决一些更复杂的古典概型的问题．一些涉及到线性规划的几何概型问题我们会在学完直线后的第13讲线性规划中作为一个板块进行系统学习．1．给出下列四种说法：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时可使20x ”是不可能事件；③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件；④从装有8个红球，6个白球的袋中任取2球，“至少有一个白球”和“都是红球”是两个对立事件．其中不正确的说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】A2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都不中靶C．两次都中靶D．只有一次中靶【解析】B3．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率为12，乙获胜的概率为15，则甲获胜的概率为（）A．45B．12C．710D．310【解析】D4．从含有两件正品a，b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．⑴每次取出不放回；⑵每次取出后放回．【解析】⑴概率为4263=；⑵概率为：49．5．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为3:4:5:6，则指针停在红色区域的概率为（）A．16B．29C．518D．13【解析】A考点4：古典概型【铺垫】同时抛掷两枚骰子，⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率；⑵求点数之和为8的概率；⑶求至少出现一个5点或6点的概率．【解析】⑴61366=；⑵536；⑶205369P==．【例5】下面有三个游戏规则，袋子中装有若干个黑球与白球，从袋中无放回地取球，其中不公平C．游戏2 D．游戏3【解析】D；<教师备案>对于实际生活中的一些比赛，因为比赛过程复杂，概率很难直接计算，比如围棋比赛，五经典精讲子棋比赛，我们会经频率来代替概率，通过统计胜率，得到一种规则对哪一种子更有利，从而制定规则进行平衡．【备选】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A B C，，三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A B C，，区中分别有182718，，个工厂．⑴求从A B C，，区中应分别抽取的工厂个数；⑵若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．【解析】⑴从A B C，，三个区中应分别抽取的工厂个数为232，，．⑵至少有1个来自A区的概率为()1121P X=．考点5：几何概型【铺垫】据报告，俄罗斯人造卫星Kosmos-1220或已于2014年2月16日坠落地球，由于坠落地点无法确定，可能会掉在任何地方，专家警告可能会非常危险．在地球上海洋占70.9%的面积，陆地占29.1%的面积，你认为卫星落在陆地的概率约为________，落在我国国土内的概率为________．（地球的面积约为5.1亿平方千米）（结果保留两位有效数字）【解析】29.1%，0.019．【例6】⑴已知x是[]55-，上的一个随机数，则使x满足220x x--≥的概率为．⑵（2012辽宁文11）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一个矩形，邻边长分别等于线段AC CB，的长，则该矩形面积大于220cm的概率为（）A．16B．13C．23D．45⑶一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形外的概率是_________．1．⑷（2013北京海淀二模）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（）A．manB．namC．2manD．2nam经典精讲【解析】⑴710⑵Ｃ；⑶1-；⑷ C【备选】在等腰Rt ABC△中，90C∠=︒，⑴过顶点A在CAB∠内部任作一条射线AM，求30CAM∠<︒的概率．⑵在线段BC上任取一点M，求30CAM∠<︒的概率．【解析】⑴故30CAM∠<︒的概率12 3P=．⑵故30CAM∠<︒的概率2P=．<教师备案>由备选知，背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的．随机事件的概率是事件的本质属性，其取值不依赖于随机试验的次数．但随机事件只是随机试验的结果，其结果发生的可能性大小自然受随机试验的条件影响，只有在一定的条件下，事件的概率才是确定的．因此计算某一事件的概率，必须明晰相应随机试验的条件．同一事件，在不同的条件下，发生的概率是可以不同的．例如，事件“80℃的水会沸腾”，在标准大气压下，是一个不可能事件，发生的概率为零，而在海拔千米以上的地方，就是一个可以发生的事件，甚至是必然事件．下面的贝特朗（Bertrand）问题就最好地说明了这一点：“贝特朗（Bertrand）问题”在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少?解法一：由于对称性，可预先固定弦的一端．仅当弦与过此端点的切线的交角在60120︒︒之间，其长才合乎要求．所有方向是等可能的，则所求概率为13．解法二：由于对称性，可预先指定弦的方向．作垂直于此方向的直径，只有交直径于14点与34点间的弦，其长才大于内接正三角形边长．所有交点是等可能的，则所求概率为12．解法三：弦被其中点位置唯一确定．只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求．中点位置都是等可能的，则所求概率为14．三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为悖论．其实，这些结果都是对的．因为它们采用了不同的等可能性假定：解法一假定端点在圆上均匀分布；解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布；解法三假定弦的中点在圆内均匀分布．这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的．如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布．那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了．在古典概型问题中，解题时经常涉及基本事件的等可能性问题，一是强调基本事件的等可能性，保证概率计算的正确性，二是善于从不同角度建构等可能的基本事件，降低概率计算的复杂性．只是由于几何概型的基本事件有无限多个，人们在解题时总专注于建构简单的基本事件，以期简化概率计算，往往忽视对事件等可能性的判断，使解题走入误区．应该指出：不论是古典概型问题还是几何概型问题，审慎地对待事件的等可能性，是正确计算基本事件概率的前提．考点6：统计与概率的综合运用<教师备案> 这个板块是对统计与概率的知识的一些应用，同时涉及到统计的知识与概率的知识，但难度总体不大，例6的统计背景是频率分布直方图，例7的统计背景是茎叶图，可以作为前面学完的知识的一个巩固与练习．【例7】（2010西城二模16）在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中，⑴求成绩在区间[)8090，内的学生数；经典精讲9.3统计与概率综合⑵ 从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90100]，内的概率． 【解析】 ⑴学生人数为4（人）． ⑵3()5P A =．【备选】（2010东城二模16）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160165，，[)165170，，[)170175，，[)175180，，[180185]，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．⑴ 求频率分布直方图中x 的值及身高在170cm 以上的学生人数；⑵ 将身高在[)170175，，[)175180，，[180185]，区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数；⑶ 在⑵的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B 组中至少有1人被抽中的概率．【解析】 ⑴所以0.06x =．身高在170cm 以上的学生人数为60（人）． ⑵应该从A ，B ，C 三组中每组各抽取321，，（人）． ⑶B 组中至少有1人被抽中的概率为35．【例8】随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图．⑴ 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；⑵ 计算甲班的样本方差；⑶ 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率．以及至少有一名身高不低于179cm 的同学被抽中的概率．【解析】 ⑴乙班平均身高高于甲班； ⑵甲班的样本方差为57.2⑶ 25．身高cm乙班甲班91588521623889863017019911821．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为_______．组距频率0.30.1【解析】0.27；87．设前四组频数的公比为q，后六组频率的公差为d，则0.330.1q==，∴第4组的频率组距=2.7，∴ 2.70.10.27a=⨯=．∴311136 2.7650.120.113d-⨯+⨯⨯⨯=-⨯-∴0.5d=-，∴1100 2.7443(0.5)0.1782b⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦．2．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0．02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为．【解析】36；设前五组的面积构成的等差数列的公差为d，由题意知九个小长方形的面积依次为：0.020.020.0220.0230.0240.0230.0220.020.02d d d d d d d+++++++，，，，，，，，，它们的和为1，即0.18161d+=，从而中间一个小长方形的面积0.0240.225d+=，故它的频数为0.22516036⨯=．【演练1】从甲乙两名运动员中选择一名参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中环数如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7⑴计算甲乙两人射击命中环数的平均数和方差；⑵比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参加比赛．实战演练。

概率与数理统计1-9章 课后习题解答

概率与数理统计1-9章 课后习题解答

第 一 章思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年,英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题 一1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B 解:(1)()()AB A B AB AB B B ==, (2) ()()A B A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率.解法一：试验可模拟为m 个红球，n m -个白球，编上号，从中任取k 个构成一组，则总数为kn C ，而全为白球的取法有k m n C -种，故所求概率为k n k mn C C --1.解法二：令i A —第i 人中奖，,.,2,1k i =B —无一人中奖，则k A A A B 21=，注意到k A ，，A ，A 21不独立也不互斥：由乘法公式)()()()()(11213121-=k k A A A P A A A P A A P A P B P(1)(2)(1)121n m n m n m n m k n n n n k -------+=⋅⋅---+!,1k k n m n m k k n n C C k C C ---同除故所求概率为.6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A ）的概率是多少？解：122585410()C C C P A C -= 7．在[]1,1-上任取一点X ，求该点到原点的距离不超过15的概率.解：此为几何概率问题：]11[，-=Ω,所求事件占有区间 ]5151[，-，从而所求概率为121525P ⋅==. 8．在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.解：设一段长为x ，另一段长为y ，样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<，所求事件满足： 0202()a x a y x y a x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪+>--⎪⎪⎩从而所求概率＝14CDE OAB SS =. 9．从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于14的概率. 解：设所取两数为,,X Y 样本空间占有区域Ω,两数之积小于14:14XY <,故所求概率 ()()1()()1S S D S D P S Ω--==Ω, 而11411()(1)1(1ln 4)44S D dx x =-=-+⎰,故所求概率为1(1ln4)4+. 10．设A 、B 为两个事件，()0.9P A =，()0.36P AB =，求()P AB . 解：()()()0.90.360.54P A B P A P AB =-=-=;11．设A 、B 为两个事件，()0.7P B =，()0.3P AB =，求()P AB . 解：()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6P A B P AB P AB P B P AB ==-=--=--=.12．假设()0.4P A =，()0.7P AB =，若A 、B 互不相容，求()PB；若A 、B 相互独立，求()P B . 解：若A 、B 互不相容，()()()0.70.40.P B P A B P A =-=-=；若A 、B 相互独立，则由()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-可得()P B =0.5.13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设=A {命中仓库}，则=A {没有命中仓库}，又设=i A {命中第i 仓库})3,2,1(=i 则03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A P A P A P ，根据题意321A A A A =（其中321,A A A 两两互不相容）故123()()()()P A P A P A P A =++=0.01+0.02+0.03=0.06 所以94.006.01)(1)(=-=-=A P A P即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9414．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比 解： 设=A {用户订有日报}，B ={用户订有晚报}，则=B A {用户至少订有日报和晚报一种}，=AB {用户既订日报又订晚报}，已知85.0)(,65.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，所以3.085.065.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.解：设=A {第一次取得次品}，=B {第二次取得正品}，则=AB {第二次才取得正品}，又因为9990)(,10010)(==A B P A P ，则 0909.0999010010)()()(===A B P A P AB P 16.设随机变量A 、B 、C 两两独立，A 与B 互不相容. 已知0)(2)(>=C P B P且5()8P BC =，求()P A B . 解：依题意0)(=AB P 且)()()(B P A P AB P =，因此有0)(=A P . 又因 25()()()()()3()2[()]8P B C P B P C P B P C P C P C +=+-=-=，解方程 085)(3)]([22=+-C P C P 151()[()]()442P C P C P B ==⇒=舍去，，()()()()()0.5.P A B P A P B P AB P B =+-==17．设A 是小概率事件，即()P A ε=是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A 迟早总会发生（以概率1发生）.解：设事件i A —第i 次试验中A 出现(1,2,,)i n =，∵(),()1i i P A P A εε==-，(1,2,,)i n =，∴n 次试验中，至少出现A 一次的概率为1212()1()n n P A A A P A A A =-121()n P A A A =- 121()()()n P A P A P A =-⋅⋅⋅（独立性） 1(1)n ε=--∴12lim ()1n n P A A A →∞=，证毕.18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是15，13，14，求此密码被译出的概率.解:设A ，B ，C 分别表示{第一、二、三人译出密码}，D 表示{密码被译出}，则()()()1 P D P A B C P A B C ==-1()1()()() P ABC P A P B P C =-=-42331..5345=-=. 19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为123p p p ，从而所求概率为31231(1)p p p --； （2）同理得2312[1(1)]p p --. 20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率. 解：设1A —第一第三台机器发生故障，2A —第一第三台机器发生故障，3A —第一第三台机器发生故障，D —三台机器中至少有一台发生故障，则123()0.1,()0.2,()0.3P A P A P A ===，故()()()1 P D P A B C P A B C ==-1()1()()()10.90.80.70.496 P A BC P A P B P C =-=-=-⨯⨯=21．设A 、B 为两事件，()0.7P A =,()0.6P B =,()0.4B P A=，求()P A B . 解：由()0.4B P A =得 ()0.4,()0.12,()()()0.48()P AB P AB P AB P B P AB P A ==∴=-=， ()()()()0.82P A B P A P B P AB =+-=.22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A —某种动物由出生算起活到20年以上，()0.8P A =，B —某种动物由出生算起活到25年以上，()0.4P B =，则所求的概率为()()0.4()()0.5()()0.8P AB P B B B P P A A P A P A ===== 23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内 发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率.解：设A —某地区后30年内发生特大洪灾，()0.8P A =，B —某地区后40年内发生特大洪灾，()0.85P B =，则所求的概率为 ()()0.15()1()1110.250.2()()P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=. 24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球.1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A ：取到白球，B ：从甲球袋取白球24431) ()(/)()(/)()5/9 6666P A P A B P B P A B P B =+⋅+⋅= (/)()2/92) (/)()/()2/5()5/9P A B P B P B A P AB P A P A ==== 25．一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设i B 表示第i 次抽出次品,(1,2)i =,由全概率公式2221111()()()()()B B P B P B P P B P B B =+=211021*********⨯+⨯=. 26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h 的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h 以上的概率.解：设=i B {取到元件为i 等品}(i =1,2,3) ，=A {取到元件能工作500小时以上} 则%1)(%,4)(%,95)(321===B P B P B P%70)(%,80)(%,90)(321===B A P B A P B A P 所以)()()()()()()(332211B A P B P B A P B P B AP B P A P ++==⋅+⋅+⋅=%70%1%80%4%90%950.89427．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以B i 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优等品}，则有：123()0.35,()0.25,P B P B ==P(B )=0.4,1()0.65,A P B =32()0.7,()0.85A A P P B B ==所求概率为().P A 由全概率公式得：123123()()()()()()()A A A P A P B P P B P P B P B B B =++0.650.40.70.350.850.250.7175.=⨯+⨯+⨯=1111()()(|)0.26()0.3624()()0.7175P B A P B P A B B P A P A P A ==== 28．用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}.据题意有()0.95,()0.90,A A P P B B ==()0.0005,P B =所求概率为().B P A()0.10,()0.9995.AP P B B ==由Bayes 公式得 ()()()()()()()AP B P BB P A A A P B P P B P B B=+0.00050.950.00470.47%0.00050.950.99950.10⨯===⨯+⨯ 29．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A={敌机被击落}，B i ={i 个射手击中}，i=1,2,3. 则B 1,B 2,B 3互不相容.由题意知：132()0.2,()0.6,()1AA A P P PB B B ===，由于3个射手射击是互相独立的，所以1()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3()0.40.60.70.168P B =⨯⨯=因为事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,B 3之一同时发生.于是 （1）由全概率公式得31()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑（2）由Bayes 公式得33331()(|)0.168(|)0.340.4944()(|)i ii P B P A B P B A P B P A B ====∑. 30．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.解：A ——需经调试 A ——不需调试 B ——出厂则%30)(=A P ，%70)(=A P ，%80)|(=A B P ，1)|(=A B P（1）由全概率公式：)()()()()(ABP A P A B P A P B P ⋅+⋅= %941%70%80%30=⨯+⨯=. （2）由贝叶斯公式：9470%94)()()()()(=⋅==A B P A P B P B A P B A P . 31．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p ，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率.解：所求的概率为234(1)p p -.32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第n 次才取k 次()k n ≤红球的概率解：所求的概率为11191010k n k k n C ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33．灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h 后，最多只有一个坏了的概率.解：由二项概率公式所求概率为312333(0)(1)0.2(0.2)0.80.104P P C +=+⋅=34．（Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r 根的概率. 解：设试验E —从二盒火柴中任取一盒，A —取到先用完的哪盒，1()2P A =， 则所求概率为将E 重复独立作2n r -次A 发生n 次的概率，故所求的概率为222211()()()222n n n n r n r n r n r n r C P n C -----==.第 二 章思 考 题1. 随机变量的引入的意义是什么？答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型. 例：设随机变量[]2,0~U X ，令⎩⎨⎧≤≤<≤=.21,1;10,)(x x x x g 则随机变量)(X g Y =既非离散型又非连续型.事实上，由)(X g Y =的定义可知Y 只在[]1,0上取值，于是当0<y 时，0)(=y F Y ；1≥y 时，1)(=y F Y ；当10<≤y 时，()2))(()(y y X P y X g P y F Y =≤=≤= 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,2;0,0)(y y y y y F Y首先Y 取单点{1}的概率021)01()1()1(≠=--==Y Y F F Y P ，故Y 不是连续型随机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y 也不是离散型随机变量.4.通常所说“X 的概率分布”的确切含义是什么？答：对离散型随机变量而言指的 是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.5.对概率密度()f x 的不连续点，如何由分布函数()F x 求出()f x ？答：对概率密度()f x 的连续点，()()f x F x '=，对概率密度()f x 的有限个不连续点处，可令()f x c =（c 为常数）不会影响分布函数的取值.6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导.习 题1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 样本空间为}0|{≥=Ωt t ，若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=Ωt t 上的函数，即t t X X ==)(是随机变量.2．一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解：{报童赔钱}⇔{卖出的报纸钱不够成本}，而当 0.15 X <1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ⇔{X ≤666}3．若2{}1P X x β<=-，1{}1P X x α≥=-，其中12x x <，求12{}P x X x ≤<. 解：1221{}{}{}P x X x P X x PX x ≤<=<-<21{}[1{}]1P X x P X x αβ=<--≥=--.4．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F试求（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X P （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-431X P （3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21X P解：41)21(21)1(==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤F X P ； （2）1690169)1()43(431=-=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-F F X P ； （3）43)21(121121=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>F X P X P .5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.解：设X 表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，X 的所有可能取值为0，1，2，∵33351{0}10C P X C ===，1223356{1}10C C P X C ===，2133353{2}10C C P X C ===∴随机变量X 的概率分布律如下表所示： 由()k kx xF x P≤=∑可求得()F x 如下:0 ,0{0} ,01(){0}{1} ,12{0}{1}{2} x P X x F x P X P X x P X P X P X <=≤<==+=≤<=+=+= ,2x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥⎩ 0 ,00.1 ,010.7 ,121 ,2x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，()F x 的图形如图所示.6．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X 的概率分布 解：7 .一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.解：设{}i i A =第次取得废品，{}i A i =第次取得合格品，由题意知，废品数X 的可能值为0，1，2，3，事件{0}X =即为第一次取得合格品，事件{1}X =即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有19{0}()0.7512P X P A ====， 21211399{1}()0.2045121144A P X P A A P A P A ====⋅=≈（）（）， 3212311123299{2}()0.0409121110220A A P X P A A A P A P P A A A ===⋅⋅=≈（）（）（）=32412341112123{3}()321910.00451211109220A A A P X P A A A A P A PPPA A A A A A ====⋅⋅⋅=≈（）（）（）（）所以X8.从101-中任取一个数字，若取到数字)101( =i i 的概率与i 成正比，即 1,2,,10P X i ki i ===（），（），求k . 解：由条件 1,2,,P X i k ii ===（），（），由分布律的性质1011ii p==∑,应有1011i ki ==∑,155k =.9 .已知随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，试满足条件{}01.0=>N X P 的自然数N .解：因为{}{}{}99.0101.0),1(~=>-=≤=>N X P N X P Y X P P X 所以从而{}99.0!0==≤∑=-Nk k e N X P λ查附表得4=N10.某公路一天内发生交通事故的次数X 服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有交通事故发生的概率.解：设~()X P λ，由题意：)1(=X P =)2(=X P ，2!2!1λλλλ--=e e ，解得2=λ，所求的概率即为2022!0)0(--===e e X P .11 . 一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.解：设X 表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，1~(100,)1000X B ，所求的概率即为)0(=X P ，)1(=X P ，)2(=X P 三者之和.而100个工作时内故障平均次数为=μ1.010001100=⨯，根据Poisson 分布的概率分布近似计算如下： 99984.000452.009048.090484.0!2!1!0)2(21=++=++≈≤---μμμμμμe eeX P故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984.12.设[]~2,5X U ，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率. 解：()1,2530 ,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其余，令()3A X =>，则()23p P A ==，令Y 表示三次重复独立观察中A 出现次数，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故所求概率为()21323332121202333327P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 13.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群中发病头数的概率分布律.解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率3/2=p ，不发病率3/1=q ，由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为X ，则X (50,2/3)XB ，X 的分布律为{})50,,2,1,0(31325050=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P kk k14.设随机变量X 的密度函数为2, 01()0 , x x p x <<⎧=⎨⎩其它，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求{2}P Y =.解：(3,)Yp B ，1211{}224p P X xdx =≤==⎰，由二项概率公式 223139{2}()()4464P Y C ===. 15.已知X 的概率密度为2,()0,x ax e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩，试求： （1）、未知系数a ；（2）、X 的分布函数()F x ；（3）、X 在区间1(0,)λ内取值的概率.解：（1）由⎰+∞-=021dx eax xλ，解得.22λ=a(2) ()()()F x P X x f x dx +∞-∞=≤=⎰，∴当x ≤0时0)(=x F ,当x >0时，222()1(22)2x xxe F x ax edx x x λλλλ--==-++⎰,∴2211(22),0()20, 0x x x F x x λλ⎧-++>⎪=⎨⎪≤⎩ .（3）511(0)()(0)12P X F F eλλ<<=-=-.16.设X 在(1,6)内服从均匀分布，求方程210x Xx ++=有实根的概率.解: “方程210x Xx ++=有实根”即{2}X >，故所求的概率为{2}P X >=45. 17.知随机变量X 服从正态分布2(,)N a a ，且Y aX b =+服从标准正态分布(0,1)N ，求,a b .解：由题意222(0)1a b a a a ⎧+=>⎨⋅=⎩解得：1,1a b ==-18.已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且X 落入区间（1，2）内 的概率达到最大，求λ.解：2(12)(1)(2)()P X P X P X e e g λλλ--<<=>->=-=令,令()0g λ'=，即022=---λλe e ,即021=--λe ，∴.2ln =λ 19．设随机变量(1,4)XN ，求(0 1.6)P X ≤<，(1)P X <. 解：01 1.61(0 1.6)()22P X PX --≤<=≤<1.6101()()0.309422--=Φ-Φ=11(1)()(0)0.52P X -<==Φ=Φ=.20.设电源电压()2~220,25X N ，在200,200240,240X X X ≤<≤>电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求：（1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率β.解：设()()()123200,200240,240A X A X A X =≤=<≤=>， D —电子元件损坏，则 （1）123,,A A A 完备，由全概率公式()()()()123123D D D P D P A P P A P P A P A A A α⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，今()()()12002200.810.80.21225P A -⎛⎫=Φ=Φ-=-Φ= ⎪⎝⎭，同理()()()()20.80.820.810.576P A =Φ-Φ-=Φ-=，()310.2120.5760.212P A =--=， 从而()0.062P D α==.（2）由贝叶斯公式()()222D P A P A A P D P D β⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭0.5760.0010.0090.062⨯==. 21.随机变求2Y X =的分布律解：. 22.变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求2X 及22X X -的概率分布.解．X 的分布为易见，2X 的可能值为0和1；而22X X -的可能值为1-和0，由于2{}P X u =={P X }u =(0,1)u =，可见2X 的概率分布为：由于2{21}{1}0.7P X X P X -=-===，2{20}{0}0.3P X X P X -====，可得22X X -的概率分布为23.X 概率密度函数为21()(1)X f x x π=+，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .解：2y x =的反函数为2yx =，代入公式得22()()()22(4)Y X y y f y f y π'==+.24.设随机变量[]~0,2X U ，求随机变量2Y X =在()0,4内概率密度()Y f y . 解法一（分布函数法） 当0y <时，()0,4Y F y y =>时()1Y F y =，当04y ≤≤时， ()(Y XF y P X F ==从而 ()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余解法二（公式法）2y x =在()0,2单增，由于反函数x =在()0,4可导，'y x =，从而由公式得()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余25. ,0)0 ,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩（，求X Y e =的密度.解法一（分布函数法）因为0X ≥，故1Y >，当1y >时，()()()ln ln Y X F y P X y F y =≤=，()()ln 2111ln ,10 ,1y X Y f y ey y y y f y y -⎧==>⎪∴=⎨⎪≤⎩.解法二（公式法）x y e =的值域()1,+∞，反函数ln x y =，故()()[]21ln ln ' ,10 ,1X Y f y y y y f y y ⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩.26.设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量X Y e =和ln Z X =的概率密度()Y f y 和()Z f z .解：X 的密度为1, 01() x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,若其它，（1）函数x y e =有唯一反函数，ln x y =，且1Y e <<，故(ln )(ln ), 1() X f y y y e f y '⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它1, 1 y ey ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它. （2）在区间(0,1)上，函数ln ln z x x ==-，它有唯一反函数z x e -=，且0Z >，从而()(), () z z X Z f e e f z -->⎧'⎪=⎨⎪⎩z 00,其它 0, zz e ->⎧⎪=⎨⎪⎩0,其它. 27. 设()X f x 为X 的密度函数，且为偶函数，求证X -与X 有相同的分布. 证：即证Y X =-与X 的密度函数相同，即()()Y X f y f y =.证法一（分布函数法）()()()()()11Y X F y P X y P X y P X y F y =-≤=≥-=-≤-=--， ()()()()1Y X X p y p y p y ∴=--⋅-=，得证.证法二（公式法）由于y x =-为单调函数，∴()()()()()'Y X X X p y p y y p y p y =--=-=.28.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，0,>+∞<<-∞σμ ，)(x F 是X 的分布函数，随机变量)(X F Y =. 求证Y 服从区间]1,0[上的均匀分布. 证明：记X 的概率密度为)(x f ，则⎰∞-=xdt t f x F .)()( 由于)(x F 是x 的严格单调增函数，其反函数)(1x F -存在，又因1)(0≤≤x F ，因此Y 的取值范围是]1,0[. 即当10≤≤y 时{}{}{}1()()()Y F y P Y y P F X y P X F y -=≤=≤=≤.)]([1y y F F ==-于是Y 的密度函数为1, 01()0, Y y p y ≤<⎧=⎨⎩其它即Y 服从区间]1,0[上的均匀分布.第 三 章 思 考 题1(答:错)2 (答:错) 3答:错)习 题 三1 解：)(}1,1{}1,1{}{已知独立==+-=-===Y X P Y X P Y X P 2121212121}1{}1{}1{}1{=⋅+⋅===+-=-==Y P X P Y P X P . 由此可看出,即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, Y X 与一般情况下也不会以概率1相等. 2解：由∑∑ijijp=1可得：14.0=b ,从而得：.1,0;2,1,0}{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故Y X ,相互独立. 7.035.015.014.006.0}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{)1,1(}1,1{=+++===+==+==+====≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P F Y X P3解: )()1,1(11AB P Y X P p ====,121)()(==A B P A P )()0,1(12B A P Y X P p ====613241)()(=⋅==A B P A P因为: ,32)(1)(:,1)()(=-==+A B P A B P A B P A B P 所以121)()()()()()()()1,0(21=-=-=-=====AB P B A P AB P AB P B P A B P B A P Y X P p 12812161121122=---=p ,结果如表所示. 4 解: X 的边缘分布律为32}2{,31}1{====X P X PY 的边缘分布律为21}2{,21}1{====X P Y P 1=Y 的条件下X 的条件分布为0}1{}1,1{}11{=======Y P Y X P X P1}1{}1,2{}12{=======Y P Y X P Y X P2=X 的条件下Y 的条件分布为,32}2{}1,2{}21{=======X P Y X P X Y P ,31}2{}2,2{}22{=======X P Y X P X Y P5 解：（1）由乘法公式容易求得),(Y X 分布律．易知，放回抽样时,61}1{,65}0{,61}1{,65}0{========Y P Y P X P X P且}{}{},{i X P i X j Y P j Y i X P ====== .1,0;1,0}{}{=====j i j Y P i X P于是),(Y X 的分布律为（2）不放回抽样，则,61}1{,65}0{====X P X P ,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个．故 ,112}01{,119}00{======X Y P X Y P 又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品10个，次品1个.故6解 ),(y x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤--.,0,,,))((1否则d y c b x a d c a b⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=b x a x b x a ab x f X ,0,1)(, )(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-d y cy d y c d c ,0,1 随机变量X 及Y 是独立的.7 解 （1）),(y x f =y x y x F ∂∂∂),(2=)9)(4(6222y x ++π （2）X 的边缘分布函数=+∞=),()(x F x F X )22)(22(12ππππ++x arctg =)22(1xarctg +ππ.由此得随机变量X 的边缘分布密度函数==)()(x F dxdx f X X )4(22x +π同理可得随机变量Y 的边分布函数=+∞=),()(y F y F Y )32)(22(12y arctg ++ππππ=)32(1yarctg +ππ Y 的边缘分布密度函数==)()(y F dy dy f y Y )9(32y +π （3）由（2）知)(x f X )(y f Y =)4(22x +π)9(32y +π=),(y x f ，所以X 与Y 独立. 8 解 因为X 与Y 相互独立，所以Y X ,的联合概率密度为∞<<-∞∞<<-∞==+-y x e y f x f y x f y x Y X ,,21)()(),(222π⎰⎰⎰⎰≤+---+--=-====120102110222222222,12121}2{y x r r y x e erdred dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰≤+≤----+--=-====41202122121222222222,2121}1{y x r r y x e ee rdr e d dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰>+∞-∞--+-=-====420222222222222,2121}0{y x r r y x e erdred dxdye Z P πθππ所以，Z 的分布律为:.1}2{,}1{,}0{212212-----==-====eZ P eeZ P e Z P9解：（1）由⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1，即⎰⎰∞+∞++-==⇒0)43(121Adxdy e A y x ，即 12=⇒A因此),(y x f =,,00,0,12)43(⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它y x e y x （2）X 的边缘概率密度为 当0>x ，)(x f X =⎰∞∞-dy y x f ),(=⎰∞+-0)43(12dy e y x =x e 33-，当0>y ，)(y f Y =⎰∞),(dx y x f =⎰∞+-0)43(12dx e y x =y e 44-，可知边缘分布密度为：)(x f X =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,0,0,33其它x e x)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,00,44其它y e y（3）}20,10{≤<≤<Y X P =⎰⎰--+---=102083)43()1)(1(12e e dxdy e y x10解 因为⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1，即⎰⎰=101021dy y xdx c ， 6,13121==⋅⋅c c对任意10<<x ，)(x f X =⎰∞+∞-dy y x f ),(=⎰=10226x dy xy，所以)(x f X =⎩⎨⎧<<,,0,10,2其它x x对任意10<<y ，)(y f Y =⎰∞+∞-dx y x f ),(=⎰=122,36y dx xy ，所以)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,10,32其它y y故),(y x f =)(x f X )(y f Y ，所以X 与Y 相互独立. 11解 由 2ln 12211===⎰e e D x dx xS当21e x ≤≤时，,2121),()(1010xdy dy y x f x f x x X ===⎰⎰其它)(x f X =0. 所以:.41)2(=X f 12解（1）X ，Y 的边缘密度为分布密度为：)(x f X =⎰-<<=xx x x dy 10,21)(y f Y =⎰<<--=111,11yy y dx故)(y x f Y X =)(),(y f y x f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<-,,0,,11其它x y y)(x y f X Y =)(),(x f y x f X =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,1,21其它y x x（2）因为)(x f X )(y f Y y -=1≠),(y x f =1，故X 与Y 不相互独立.13证 设X 的概率密度为)(x f ，Y 的概率密度为)(y f ，由于Y X ,相互独立，故),(Y X 的联合密度为),(y x f =)(x f )(y f .于是⎰⎰⎰⎰≤∞+∞-∞+==≤yx x dy y f dx x f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{⎰⎰⎰⎰>∞+∞-∞+==>yx ydx x f dy y f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{ 交换积分次序可得：⎰⎰∞+∞+∞-=xdy y f dx x f )()(⎰⎰∞+∞+∞-ydx x f dy y f )()(所以=≤}{Y X P =>}{Y X P 1－}{Y X P ≤故21}{=≤Y X P . 14解 设)(A P p =，由于Y X ,相互独立同分布，于是有,)(}{}{)(p A P a X P a Y P B P ==≤=≤=则,1)(p B P -=又=)(B A P )(A P +)(B P －)(A P )(B P =p +（)1p -－p )1p -=9712=+-p p 解得：,32,3121==p p 因而a 有两个值. 由于2121}{)(1-==≤=⎰a dx a X P A P a ，所以，当311=p 时，由21-a =31得35=a当322=p 时，由21-a =32得37=a . 15解 （1）Y X +的可能取值为2，3，4.且,41}1{}1{}2{=====+Y P X P Y X P 2141414141}1,2{}2{}1{}3{=⋅+⋅===+====+Y X P Y P X P Y X P ,41}2{}2{}4{=====+Y P X P Y X P 故有:;41}4{,21}3{,41}2{==+==+==+Y X P Y X P Y X P（2）由已知易得 ;21}42{,21}22{====X P X P16解 由已知得所以有17证明：对任意的,,,1,021n n k += 我们有∑=-====ki i k Y P i X P k Z P 0}{}{}{（因为X 与Y 相互独立）=∑=-----ki i k n i k i k n i n i i nq p C q p C 0)(2211 =∑=-+-ki k n n k ik n i n q p C C 02121)(（利用组合公式 ∑=+-=ki k n m i k n im C C C）=kn n k kn n qp C -++2121即Y X Z +=～),(21p n n b +18解 Y X Z +=在[0，2]中取值，按卷积公式Z 的分布密度为：,)()()()(1dx x z f dx x z f x f z f Y Y X Z -=-=⎰⎰∞+∞-⎩⎨⎧≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤≤,1,10:,10,10:z x z x x z x 即其中如图，从而：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤==⎰⎰-。

概率与数理统计课本习题详解

概率与数理统计课本习题详解

二维随机变量
P70 16. 设随机变量（X, Y）的分布密度如下：
p
x,
y
1 2
xy,
x 0,1, y 1,3
0,
其它
求关于 X、Y 的边缘分布。
解：当
x 0,1
时， pX
x
31
1 2
xydy
2x
当 x0,1 时， pX x 0
pX
x
2x, 0,
x 0,1
其它
二维随机变量
P70 16. 设随机变量（X, Y）的分布密度如下：
xdx
1 2
1
sin
x
当 x 时，
2
F x x f xdx
2 0dx
2 2
1 2
cos
xdx
0dx 1
2
综上所述，. . . . . .
一维随机变量
P49 24 设 X 的分布律如下，求 X+2，1-X，X2 的分布律。 X 2 1 0 2 4 2
P
1
8
解： X 2 0
30
603 k 6
1
k
6 603
1 36000
分布密度及分布函数，其中 D 为 x 轴，y 轴及 y 2x 1
围成的三角形区域。
解：
f
x,
y
4,
0,
x, y D x, y D
x, y
当 0 x 且 0 y 1 时，
F x, y PX x,Y y
0
2 x1
1 dx 0 4dy
2
...... 1
二维随机变量
P69 9（2） 设随机变量（X, Y）在 D 上服从均匀分布，其中

统计与概率 答案解析

统计与概率 答案解析

故选：B． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能 性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．
8．（2014•沈阳校级模拟）在 6 件产品中，有 2 件次品，任取两件都是次品的概 率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有 【分析】在 6 件产品中任取两件有 30 种情况，其中两次都是次品有 2 种情况， 利用概率公式进行求解即可． 【解答】解：任取两件都是次品的概率是 = ． 故选：D． 【点评】本题考查的是概率的意义：P（A）= ，n 表示该试验中所有可能出现 的基本结果的总数目．m 表示事件 A 包含的试验基本结果数．
线统计图． 故选：B． 【点评】此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
3．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：
若该小组的平均成绩为 8.7 环，则成绩为 9 环的人数是（ ）
A．1 人
B．2 人
C．3 人
D．4 人
【考点】W2：加权平均数．菁优网版权所有
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数，据此
列出方程，再求解．
【解答】解：设成绩为 9 环的人数为 x，
则有 7+8×3+9x+10×2=8.7×（1+3+x+2），
解得 x=4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平均数的概念．一组数据的平均数乘以数据的个数等于
所有数据的和．
4．（2014•白云区校级模拟）在全国汉字听写大赛的热潮下，某学校进行了选拔
【解答】解：扇形统计图中，圆代表整体． 【点评】圆代表整体，即单位 1，各个扇形代表部分．圆心角的大小反映该部分 所占整体的百分比的大小．

统计与概率例题含答案和解析

统计与概率例题含答案和解析

统计与概率经典例题含答案及解析1．本题8分为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况,在一次数学检测中,从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查,并将调查结果绘制成如下图表：⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .,b= .；⑵请在图中补全频数分布直方图；⑶如果把成绩在70分以上含70分定为合格,那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名2．为鼓励创业,市政府制定了小型企业的优惠政策,许多小型企业应运而生,某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量,并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：1某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整；2该镇今年3月新注册的小型企业中,只有2家是餐饮企业,现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况,请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率．3．12分一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球,小球除颜色外完全相同,为估计该口袋中四种颜色的小球数量,每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回,重复多次试验,汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息解答下列问题：1求实验总次数,并补全条形统计图；2扇形统计图中,摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度3已知该口袋中有10个红球,请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．本题10分某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况,从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况,将统计结果列出如下的表格,并绘制成如图所示的扇形统计图,其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%．1求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数；2该校2014年八年级有500名学生,请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本5．10分将如图所示的版面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上“A”看做是“1”;1从中随机抽出一张牌,牌面数字是偶数的概率是；3分2从中随机抽出两张牌,两张牌面数字的和是5的概率是；3分3先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用画树形图的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率;4分6．6分张红和王伟为了争取到一张观看CBA联赛的入场券,他们自设计了一个方案：转动如图所示的转盘,如果指针停在阴影区域,则张红得到入场券；如果指针停在白色区域,则王伟得到入场券转盘被等分成6个扇形;若指针停在边界处,则重新转动转盘;计算张红获得入场券的概率,并说明张红的方案是否公平;7．本题满分10分某中学举行“中国梦校园好声音”歌手大赛,根据初赛成绩,初二和初三各选出5名选手组成初二代表队和初三代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．1根据图示填写下表；2结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好；3计算两队决赛成绩的方差,并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．8．某校学生会准备调查初中2010级同学每天除课间操外的课外锻炼时间．1确定调查方式时,甲同学说：“我到1班去调查全体同学”；乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”；丙同学说：“我到初中2010级每个班去随机调查一定数量的同学”．请你指出哪位同学的调查方式最为合理；2他们采用了最为合理的调查方法收集数据,并绘制出如图-1所示的条形统计图和如图-2所示的扇形统计图,则他们共调查了多少名学生请将两个统计图补充完整；3若该校初中2010级共有240名同学,请你估计该年级每天除课间操外课外锻炼时间不大于20分钟的人数．注：图-2中相邻两虚线形成的圆心角为30°.9．10分一透明的口袋中装有3个球,这3个球分别标有1,2,3,这些球除了数字外都相同.1如果从袋子中任意摸出一个球,那么摸到标有数字是2的球的概率是多少2小明和小亮玩摸球游戏,游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下球的数字后放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字.谁摸出的球的数字大,谁获胜.请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平并说明理由.10．本小题满分8分小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5．一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛；否则小华去参赛．1用列表法或画树状图法,求小丽参赛的概率．2你认为这个游戏公平吗请说明理由．11．10分某校学生会向全校1900名学生发起了爱心捐款活动,为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题：1本次接受随机抽样调查的学生人数为________ ,图①中m的值是________；2求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；3根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．12．8分我市积极开展“阳光体育进校园”活动,各校学生坚持每天锻炼一小时,某校根据实际,决定主要开设A：乒乓球,B：篮球,C：跑步,D：跳绳四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题,1样本中最喜欢B项目的人数百分比是____ ,其所在扇形图中的圆心角的度数是___________．2请把统计图补充完整．3已知该校有1200人,请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少13．8分如图,甲、乙两人在玩转盘游戏时,准备了两个可以自由转动的转盘A,B,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域的数字之和为0时,甲获胜；数字之和为1时,乙获胜．如果指针恰好指在分割线上,那么重转一次,直到指针指向某一区域为止．1用画树状图或列表法求乙获胜的概率；2这个游戏规则对甲、乙双方公平吗请判断并说明理由．14．本题满分8分“端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽以下分别用A、B、C、D表示这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下两幅统计图尚不完整．请根据以上信息回答：1本次参加抽样调查的居民有多少人2将两幅不完整的图补充完整；3求扇形统计图中C 所对圆心角的度数；4若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个,煮熟后,小王吃了两个．用列表或画树状图的方法,求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．15．我市实施新课程改革后,学生的自主学习、合作交流能力有很大提高,张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况,对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查,并将调查结果分成四类,A ：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题：1本次调查中,张老师一共调查了 名同学,并将上面的条形统计图补充完整; 2为了共同进步,张老师想从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．16．为了了解小学生的体能情况,抽取了某校一个年级的部分学生进行一次一分钟跳绳测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图;已知图中从左到右前三个小组的频率分别为,,,第一小组的频数为5;1求第四小组的频率;2求这次参加测试的学生数;3若次数75次含75次以上为达标,试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少4问这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在四个小组的哪个小组内并说明理由;17．在开展“好书伴我成长”的读书活动中,某中学为了解八年级300名学生读书情况,随机调查了八年级50名学生读书的册数．统计数据如下表所示：1求这50个样本数据的平均救,众数和中位数．2根据样本数据,估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．18．8分自从北京举办2008年夏季奥运会以来,奥运知识在我国不断传播,小刚就本班学生的对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计．A ：熟悉,B ：了解较多,C ：一般了解．图1和图2是他采集数据后,绘制的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答以下问题：1求该班共有多少名学生；2分2在条形图中,将表示“一般了解”的部分补充完整．2’3在扇形统计图中,计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；2’4如果全年级共1000名同学,请你估算全年级对奥运知识“了解较多”的学生人数．2’19．某公司为了了解员工每人所创年利润情况,公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计,并绘制如图1,图2统计图．1将图补充完整；2本次共抽取员工 人,每人所创年利润的众数是 ,平均数是 ；3若每人创造年利润10万元及含10万元以上位优秀员工,在公司1200员工中有多少可以评为优秀员工20．本题8分为提高初中生的身体素质,教育行政部门规定：初中生每天参加户外活动了解程度人数图1图2的平均时间应不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况,某县教育行政部门对部分学生参加户外活动的时间进行了抽样调查,并将调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答以下问题：1这次抽样共调查了名学生,并补全条形统计图；2计算扇形统计图中表示户外活动时间小时的扇形圆心角度数；3本次调查学生参加户外活动的平均时间是否符合要求写出判断过程五、判断题题型注释部分学生每天户外活动时间扇形统计图部分学生每天户外活动时间条形统计图参考答案1．⑴a=40,b=；⑵图详见解析;⑶1520人解析试题分析：1抽查人数：20÷=200人,则a=200×=40人,b==．2补全频数分布直方图,如图：32000×++++=1520人．答：该市2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有1520人考点:1.频数率分布直方图；2.用样本估计总体；3.频数率分布表2．16．16．解析试题分析：1根据3月份有4家,占25%,可求出某镇今年1-5月新注册小型企业一共有的家数,再求出1月份的家数,进而将折线统计图补充完整；2设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙为餐饮企业,根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙2家企业恰好被抽到的情况,再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：1根据统计图可知,3月份有4家,占25%,所以某镇今年1-5月新注册小型企业一共有：4÷25%=16家,1月份有：16-2-4-3-2=5家．折线统计图补充如下：2设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙为餐饮企业．画树状图得：∵共有12种等可能的结果,甲、乙2家企业恰好被抽到的有2种,∴所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率为：21 126=．考点：1．折线统计图；2．扇形统计图；3．列表法与树状图法．3．1200,作图见试题解析；2144°；32．解析试题分析：1用摸到红色球的次数除以占的百分比即是实验总次数,用总次数减去红黄绿球的次数即为摸蓝球的次数,再补全条形统计图即可；2用摸到黄色小球次数除以实验总次数,再乘以360°即可得摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数；3先得出摸到绿色小球次数所占的百分比,再用口袋中有10个红球除以红球所占的百分比得出口袋中小球的总数,最后乘以绿色小球所占的百分比即可．试题解析：150÷25%=200次,所以实验总次数为200次,条形统计图如下：280360=144 200⨯；310÷25%×10200=2个,答：口袋中绿球有2个．考点：1．条形统计图；2．扇形统计图；3．模拟实验．4．164,90°；21000．解析试题分析：1首先根据科普类所占的百分比和册数求得总册数,然后相减即可求得m 的值；用教辅类书籍除以总册数乘以周角即可求得其圆心角的度数；2用该年级的总人数乘以教辅类的学生所占比例,即可求出该年级共借阅教辅类书籍人数． 试题解析：1观察扇形统计图知：科普类有128册,占40%,∴借阅总册数为128÷40%=320本,∴m=320﹣128﹣80﹣48=64；教辅类的圆心角为：360°×80320=90°； 2设全校500名学生借阅教辅类书籍x 本,根据题意得：5008040x =,解得：x=1000, ∴八年级500名学生中估计共借阅教辅类书籍约1000本．考点：1．扇形统计图；2．用样本估计总体；3．统计表；4．图表型．5．112213314解析 试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率即可．试题解析：解：；； 3根据题意,画树形图如图所示;由树形图可知,共有16种等可能的结果：11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44；其中恰好是4的位数的共有4种：12,24,32,44,所以P4的倍数=41164=. 考点：树形图,概率6解析试题解析：有6种可能,阴影区域的有3种,所以概率是张红获得入场券的概率是3162=,公平.考点：概率的应用7．1平均数85 众数85 中位数802平均数相同,初二的中位数较大,初二的决赛成绩较好3S 2初二= 70 S 2初三=160,初二较稳定 解析 试题分析：1根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答； 2根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；3分别求出初中、高中部的方差即可．试题解析：1填表：初中平均数为：1575+80++85+85+100=85分,众数85分；高中部中位数80分．2初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同,初中部的中位数高,所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些． 322222211S (7585)(8085)(8585)(8585)(10085)705⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 因为2212S ＜S ,因此,初中代表队选手成绩较为稳定．考点：平均数、众数、中位数、方差的统计意义8．1丙；260,作图见试题解析；3220．解析试题分析：1丙同学提出的方案符合用样本估计总体放入思想,故最为合理；2根据表述,可补全条形图；3只要合理即可．试题解析：1丙同学提出的方案最为合理；2如图：5÷112=60人,∴他们共调查了60名同学． 60﹣10﹣9﹣5=36人．10÷60=16,36÷60=35； 310+36+9÷60×240=220人．建议：中学生应该多参加一些体育活动,加强体育锻炼,等等．考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图．9．见解析解析试题分析：1从袋子中任意摸出一个球,可能有3种情况,可能标有1,或2,或3,符合条件的有1种可能性,即摸到标有数字是2的球的概率是.2画出树状图或列表可知共有9种情况,分别算出两个人获胜的概率,如果相等则说明游戏公平,不相等,说明不公平.试题解析：1从袋子中任意摸出一个球,可能有3种情况,可能标有1,或2,或3,符合条件的有1种可能性,即摸到标有数字是2的球的概率是.2游戏规则对双方公平．可以看出,一共有9种可能性,小明获胜的可能性有3种,小亮获胜的可能性有3种,所以两个人获胜的概率都是,即游戏规则对双方是公平的.考点：利用概率解决问题.10．113；2不公平,理由见试题解析．解析试题分析：1列表或树状图得出所有等可能的情况数,找出数字之和为偶数的情况数,求出小丽去参赛的概率；2由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率,比较即可得到游戏公平与否．试题解析：1根据题意列表得：由表可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是2,4、3,5、4,2、5,3,所以小丽参赛的概率为41 123=；2游戏不公平,理由为：∵小丽参赛的概率为13,∴小华参赛的概率为12133-=,∵1233≠,∴这个游戏不公平．考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．11．150,32；2平均数：16,众数：10,中位数：15；3608．解析试题分析：1根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；2利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；3根据样本中捐款10元的人数,进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．试题解析：1根据条形图4+16+12+10+8=50人,m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；2∵=1505×4+10×16+15×12+20×10+30×8=16,∴这组数据的平均数为：16,∵在这组样本数据中,10出现次数最多为16次,∴这组数据的众数为：10,∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是15,∴这组数据的中位数为：1215+15=15；3∵在50名学生中,捐款金额为10元的学生人数比例为32%,∴由样本数据,估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%,有1900×32%=608,∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．考点：1．条形统计图；2．扇形统计图；3．加权平均数；4．中位数；5．众数．12．见解析解析试题分析：1分析统计图可知,样本中最喜欢B项目的人数百分比可用1减去其他项目所占的百分比求得,求出后再乘以360度即可求出度数；2根据1的计算结果补全图形；3用全校学生数×选乒乓球的学生所占百分比即可．试题解析：1样本中最喜欢B项目的人数百分比是1-44%-8%-28%=20%,其所在扇形图中的圆心角的度数是360°×20%=72°．2B组人数44÷44%×20%=20人,画图如下：31200×44%=528人,全校最喜欢乒乓球的人数大约是528人．考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.用样本估计总体.13．114；2公平,理由见试题解析．解析试题分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出甲乙获胜的概率,比较即可．试题解析：1列表得：由列表法可知：会产生12种结果,它们出现的机会相等,其中和为1的有3种结果．∴P乙获胜=31= 124；2公平．∵P乙获胜=31=124,P甲获胜=31=124．∴P乙获胜= P甲获胜,∴游戏公平．考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．14．1600人；2作图见试题解析；372°；414．解析试题分析：1用B的频数除以B所占的百分比即可求得结论；2分别求得C的频数及其所占的百分比即可补全统计图；3算出A的所占的百分比,再进一步算出C所占的百分比,再扇形统计图中C所对圆心角的度数；4列出树形图即可求得结论．试题解析：160÷10%=600人．答：本次参加抽样调查的居民有600人．2如图；3180100%30%600⨯=,360°×1－10%－30%－40%=72°．4如图；列表方法略,参照给分．PC粽=31 124=．答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是14．考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法．15．120；212．解析试题分析：1根据A组总人数与所占的百分比进行计算即可得解；2求出C组的总人数,然后减去男生人数即可得到女生人数,求出D组人数所占的百分比,再求出D组的总人数,然后减去女生人数得到男生人数,最后补全统计图即可；3画出树状图,根据概率公式求解即可．试题解析：11+2÷15%=20人；C 组人数为：20×25%=5人,所以,女生人数为5-3=2人,D 组人数为：20×1-15%-50%-25%=20×10%=2人,所以,男生人数为2-1=1人,补全统计图如图；2画树状图如图：所有等可能结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女,P 一男一女=3162= 考点：1．条形统计图；2．扇形统计图；3．列表法与树状图法．16．10．2 250人 390％ 4第三小组解析试题分析：1由各组频率的和等于1计算第四小组的频率；2知第一小组的频数为5,频率为,则根据频率=频数÷总人数计算总人数；3计算出75分以上的频率即为达标率；4根据数据从小到大排列,可确定中位数的位置．试题解析：1第四小组的频率=；2知第一小组的频数为5,频率为,则：总人数=50.1=50人；375分以上的频率为++=,所以达标率为90%；4这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第三个小组内,理由如下：因为这次参加测试的学生为50人,并且成绩从小到大排列,中位数为第25,26个数据的平均数,而第25,26个数据都落在第三个小组内,所以中位数落在第三个小组内.考点：1. 频数率分布直方图；2. 用样本估计总体；3.中位数 .17．1平均数为2,众数为3,中位数为2；2108解析试题分析：1在这组样本数据中,3出现的次数最多,所以求出了众数,将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是2,从而求出中位数是2；2根据表格求出样本中学生在本次活动中读书多于2册的人数是18,占总数的1850,从而可估计300名学生在本次活动中读书多于2册的人数为300×1850=108. 试题解析：1观察表格,可知这组样本救据的平均数是∴这组样本数据的平均数为2,∵在这组样本数据中,3出现了17次,出现的次数最多,∴这组数据的众数为3,∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是2,∴这组数据的中位数为2；2在50名学生中,读书多于2本的学生有18名,有1085018300=⨯名. ∴根据样本数据,可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名; 考点：1.众数；2.中位数；3.用样本估计总体.18．140 2见解析 31080 4300解析试题分析：由图知A 种20人占到50％,可以求总人数；然后可以求得C 类人数,画在图中；再由“了解较多”占的比例可以求得圆心角的度数；最后用“了解较多”占的比例求出人数.试题解析：120÷50％=4023360°×30％=108°；41000×30％=300.考点：扇形统计图,条形统计图19．1补图见解析；250,8万元,万元；3384人.解析试题分析：1求出3万元的员工的百分比,5万元的员工人数及8万元的员工人数,再据数据制图．2利用3万元的员工除以它的百分比就是抽取员工总数,利用定义求出众数及平均数．3优秀员工=公司员工×10万元及含10万元以上优秀员工的百分比．试题解析：13万元的员工的百分比为：1-36%-20%-12%-24%=8%,抽取员工总数为：4÷8%=50人5万元的员工人数为：50×24%=12人8万元的员工人数为：50×36%=18人2抽取员工总数为：4÷8%=50人每人所创年利润的众数是 8万元,平均数是：1503×4+5×12+8×18+10×10+15×6=万元31200×10650=384人答：在公司1200员工中有384人可以评为优秀员工．考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图．20．1500；图形详见解析；272°；3本次调查中学生参加户外活动的平均时间符合要求.解析试题分析：1用每天参加户外活动的时间为小数的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数,然后用总人数乘以36%得到每天参加户外活动的时间为1小数的人数,再补全条形统计图；2表示户外活动时间小时的扇形圆心角度数等于它所占的百分比乘以360°；3先计算出本次调查学生参加户外活动的平均时间,然后进行判断试题解析：1调查的总人数=140÷28%=500人,每天参加户外活动的时间为1小数的人数=500×36%=180人,如图,2户外活动时间小时的扇形圆心角度数=×360°=72°,3本次调查学生参加户外活动的平均时间=×100+1×180+140×+80×2=,所以本次调查学生参加户外活动的平均时间超过1小时,即本次调查中学生参加户外活动的平均时间符合要求．考点: 1.条形统计图；2.扇形统计图。

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第九章 概率与统计初步（习题答案）§9.1 计数原理(1) 某人到S 城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有 种不同的选择； 解：共有212964=+++不同的选择；(分析：只需要订一间房，“一步可以做完”，应该用加法计数原理)(2) 一家人到S 城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有 种不同的选择； 解：共有：96812=⨯种不同选择；(分析：要订两间房，可以分成两步完成：第一步，先订一间单人房，有12种不同选择；第二步，再订一间双人房，有8种不同选择；用乘法计数原理，共有96812=⨯种不同选择；)(3) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 分析：“投递的是信件”，从信件入手考虑问题；本题没有其它限制条件，一共有四封信，分成四步完成：第一步，投递第一封信，投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第二步考虑第二封信的投递方法，同样是投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第三步考虑第三封信、第四步考虑第四封信，同样都有3种不同的投递方法,所以完成这件事情共有：81333334==⨯⨯⨯种不同的投递方法；(4) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有种；分析：（捆绑法）分两步：第一步在四封信中抽出两封，有42C 种不同的方法；第二步把这两封信捆绑，看成一封信，和剩下的另外两封信构成三封信，按排列的方法放入三个邮箱（即：三个位置），有33A 种不同的方法；所以完成这件事情共有：3612312343342=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅A C 种不同的投递方法；(5) 3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 分析：从信件入手考虑问题；共3封信，每封信都可以投入4个信箱中的任意一个，即每封信均有4种不同的投递方法，分四步投递四封信，方法同题3，，所以共有6444443==⨯⨯种不同的投递方法；(6) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有种；解：共有：21687=++种不同的选法；（只选一本书，“一步可完成”，用加法原理）(7) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有种；解：共有：5678=⨯种不同的选法；（分析：需要选两本不同的书，可以两步完成，用乘法原理：第一步，从8本不同的文艺书中任选一本，有8种不同的选法；第二步，从7本不同的科技书中任选一本，有7种不同的选法）(8) 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有个；解：共有12555553==⨯⨯个三位数；(分析组成三位数的各个位数上的数字可以重复，分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有5种选法；第二步，填写十位上的数字，由于数字允许重复，仍然从5个数字中任取一个，同样有5种选法；第三步，填写个位上的数字，与第二步相同，有5种选法；所以完成这件事情，共有12555553==⨯⨯个三位数，如图： )(9) 由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有个；解：共有60345=⨯⨯个三位数；（组成三位数的各个位数上的数字不可以重复，可以分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有5种选法；第二步，填写十位上的数字，由于数字不允许重复，只能从剩下的4个数字中任取一个，有4种选法；第三步，填写个位上的数字，从剩下的3个数字中任取一个，有3种选法；完成这件事情，共有60345=⨯⨯个三位数，如图： ）§9.2 排列组合(10) 7人站成一排，一共有种不同的排法；解：共有5040123456777=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A 种；（分析：与顺序有关，是排列问题）(11) 7人中选出3人排成一排，一共有种不同的排法；解：共有21056737=⨯⨯=A 种不同的排法；（分析：与顺序有关，是排列问题）(12) 7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有 种不同的选法；解：共有3512356737=⨯⨯⨯⨯=C 种不同的选法；（分析：与顺序无关，是组合问题）(13) 5人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有种不同的排法；解：共有24144=⨯A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先排头，把甲放到第一位，有1种排法；第二步，将剩下的四个人排在后面，有24123444=⨯⨯⨯=A种方法数： 5 55 百位 十位 个位方法数： 5 4 3不同的排法；所以共有：24144=⨯A 种不同的排法；）小结：若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先安排这些特殊元素或位置，然后再安排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法，计算方法用分步乘法原理；(14) 8人排成一排，其中A 、B 两人必须排在一起，一共有种不同的排法；解：共有10080250402277=⨯=⋅A A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，将A 、B 两人捆绑，看成一个人，则原来的8个人可以看成是7个人排成一排，共有5040123456777=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A 种不同的排法；第二步，将A 、B 两人在队伍中进行排列，不同的排法有21222=⨯=A种；用分步乘法计算，完成这件事情共有：10080250402277=⨯=⋅A A 种不同的排法）小结：如果排列中有某些元素需要排在一起，可以先将它们捆绑，看成一个元素与其它元素进行排列后，再松绑，将需要排在一起的元素在队伍里进行第二步排列，这种方法称为“捆绑法”；(15) 8人排成一排，其中A 、B 、C 三人不在排头并且要互相隔开，一共有种不同的排法；解：共有：7200601203555=⨯=⋅A A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先不排A 、B 、C 三人，把剩下的5个人进行排列，共有1201234555=⨯⨯⨯⨯=A 种不同的排法；第二步，将A 、B 、C 三人放入5个人排好的队伍间隔中，由于A 、B 、C 三人不能排头并且互相要隔开，只能从如下图箭头所示的5个位置中任取3个位置进行排列，共有6034535=⨯⨯=A 种不同的排法；共有：72003555=⋅A A 种不同排法）小结：当某几个元素要求不相邻（即有条件限制）时，可以先排没有条件限制的元素，再将不能相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。

(16) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至少有一件次品的取法共有种；解：共有24321231713=+=+⋅C C C 种不同的取法；（分析：取出的两件产品不需要排序，与顺序无关，是组合问题；至少有一件次品包含两种情况：恰有一件次品和恰有两件次品，两种情况之间要用加法原理：恰有一件次品（即：一件次品和一件正品）的不同取法共有21731713=⨯=⋅C C 种；恰有两件次品的不同取法共有3122323=⨯⨯=C 种；所以完成这件事情，共有24321231713=+=+⋅C C C 种不同的取法；）(17) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至多有一件次品的取法共有种；解：共有422121271713=+=+⋅C C C 种不同的取法；（分析：取出的两件产品不需要排序，与顺序无关，是组合问题；至多有一件次品包含两种情况：恰有一件次品和没有次品，两种情况之间要用加法原理：恰有一件次品（即一件次品，一件正品）的不同取法共有21731713=⨯=⋅C C 种；没有次品（即两件都是正品）的不同取法共有21126727=⨯⨯=C种；所以完成这件事情，共有422121271713=+=+⋅C C C 种不同的取法）(18) 集合{}8,7,6,5,4,3,2,1，每次取五个元素，按由小到大顺序排列，共有种不同的排列（取法）； 解：共有3112672757=⨯⨯==C C 种不同的排列；（分析：取出的五个数，由小到大的排列，只有一个，与顺序无关，是组合问题；可以考虑成从7个数中取出5个数的组合数，共有3112672757=⨯⨯==C C 种不同的排列）(19) 10位乒乓球选手举行单打单循环比赛，一共需要举行 场比赛；解：一共需要举行4512910210=⨯⨯=C 场比赛；（分析：单打单循环比赛，是指每两个人之间只比赛一场，与顺序无关，可以看成是组合问题，从10个人中抽出2个人的组合数，就是要举行的比赛场数，一共有4512910210=⨯⨯=C 场）(20) 学生要从六门课中选学两门：①如果有两门课时间冲突，不能同时学，有 种选法；②如果有两门特别的课，至少选学其中的一门，有 种选法； ①解法1：14126=-C （分析：先算总数，再减去不合要求的个数，“两门冲突的课同时选”这一种选法是不合要求的）；解法2：14141224=⋅+C C C （有冲突的两门课分别记为A 和B,有两种选课的方法，一是A 、B 两门课都不选，从剩下的没有冲突的四门课程里选两门，有24C 种选法；第二种情况是选学A 、B 中的一门，另一门课从另外的四门课里选一门，有1412C C ⋅种选法；这两种情况用加法原理计算）②解法一：9221412=+⋅C C C (分析：两门特别的课程分别记为G 和H ，至少选学其中的一门有两种情况，一是G 、H 两门课恰好选了一个，另一个门课是其它四门课程里的一个，有1412C C ⋅种选法；二是G 、H 两门课同时都选，有22C 种选法；用加法原理计算)；解法二：92426=-C C (分析：先算总数，再减去不合要求的个数，“两门特别的课程都没选，即：从另外四门一般的课程里选学两门课”这种情况是不合要求的，不合要求的选法共有24C 种)(21) 一个口袋内有6个小球，另一个口袋内有5个小球，所有这些小球的颜色互不相同，现从两个口袋各取出一个小球，有种不同的取法；解：共有30561516=⨯=⋅C C 种不同的取法；（分析：分两步完成：第一步有16C 种不同的取法；第二步有15C 种不同的取法；共有30561516=⨯=⋅C C 种不同的取法） §9.3 概率(22) Ω表示必然事件，()1=ΩP ；φ表示不可能事件，()=φP 0；(23) 一道选择题共有4个答案，其中只有一个是正确的，有位同学随意的选了一个答案，那么它选对的概率是：41分析：共有4个答案，即：总频数n =4，选一个答案，即：频数m =1，概率=41=n m(24) 掷一颗骰子，第一次得到6点，那么他第二次掷这颗骰子得到6点的概率（ B ）A. 大于61 B. 等于61 C. 等于21 D. 等于361分析：一颗骰子掷一次，会出现的可能性只有六种（即：一点至六点），每一种情况会出现的概率是61，本题只考虑他第二次掷骰子得到6点的概率，与第一次掷骰子没有关系；(25) 甲掷两次骰子，每次掷一颗骰子，两次都得到6点的概率为（ D ）A. 大于61 B. 等于61 C. 等于21 D. 等于361分析：设第一次掷骰子得到6点的事件为A ，第二次掷骰子得到6点的事件为B ，则事件A 与B 相互独立，两次都到到6点的事件即为：B A (也可写为AB )，所以两次都得到6点的概率为：()()()()3616161=⋅=⋅==B P A P AB P B A P (26) 在10件产品中有2件次品，从中任取2件都是合格品的概率是解：所求概率为：()452821028==C C A P ；（分析：从10件产品中任取2件，总共有210C 种不同的取法；10件产品中有8件合格品，取出的2件产品均为合格品的取法有28C 种取法，∴所求概率为：()452821028==C C A P ）(27) 有一批蚕豆种子，如果每一粒种子发芽的概率均为8.0，那么播下3粒种子恰好3粒种子都发芽的概率是 （ ）A. 8.08.08.0++B.38.0C. 8.0D. 5.0分析：设播下一粒种子发芽的事件为A ，则()8.0=A P ；每一粒种子之间是否发芽是互不影响的，即：每一粒种子发芽的事件是相互独立的，所以播下3粒种子恰好都发芽的概率为：()()()()38.08.08.08.0=⨯⨯=⋅⋅=A P A P A P A A A P(28) 抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”,已知()()61==B P A P ，则事件“出现1点或2点”的概率为分析：抛掷一次骰子，事件A 与B 不可能同时发生，是互斥事件，所以事件“出现1点或2点”的概率为：()()()316161=+=+=B P A P B A P ；(29) 做某个随机试验，所有的基本事件构成的集合可用{}8,7,6,5,4,3,2,1=Ω表示，设事件{}5,3,1=A ，事件{}7,6,5,4=B ，则()=A P ，()=B P，()=B A P，()=A P，()=ΩP，()=B A P分析：由{}8,7,6,5,4,3,2,1=Ω可知全部基本事件个数8=()83==全部基本事件个数素）个数中的基本事件（即：元A A P ， ()2184==B P{}7,6,5,4,3,1=B A ，有六个元素，所以()4386==B A P{}8,7,6,4,2=A ，有五个元素，所以()85=A P{}8,7,6,5,4,3,2,1=Ω中有八个元素，所以()188==ΩP{}5=B A ，有一个元素，所以()81=B A P注：由上题可以看出()()()()B A P B P A P B A P -+= (30) 有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是21，乙能解决它的概率是31，如果两人试图独立在半小时内解决它，①两人都未解决的概率是；②问题得到解决的概率是分析：甲、乙解题之间互不影响，相互独立；设甲能解决问题的事件为A ，则()21=A P ，则甲不能解决问题的事件为A ，且()()211=-=A P A P ；设乙能解决问题的事件为B ，则()31=B P ，则乙不能解决问题的事件为B ，且()()321=-=B P B P ；易知事件A 与事件B 相互独立；①“两人都未解决”的事件为B A ,其概率为：()()()313221=⨯=⋅=B P A P B A P ；②“问题得到解决”的事件为B A ,有三种情况，即:B A (甲能解决且乙不能解决)、B A (甲不能解决且乙能解决)、B A (甲能解决且乙能解决), 这三种情况两两互斥，所以B A 的概率为：(31) 甲、乙、丙三人在相同条件下射击，他们击中靶心的概率分别是：甲为5.0，乙为7.0，丙为6.0，求三人同时各射击一次，没人击中靶心的概率是多少？解：设甲、乙、丙三人在相同条件下射击，击中靶心的事件分别为A 、B 、C ，这三个事件两两独立，且()5.0=A P ,()7.0=B P ，()6.0=C P ；∴“没人击中靶心”的概率为：()()()()()()()06.06.017.015.01=-⋅-⋅-=⋅⋅=C P B P A P C B A P(32) 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率是： 解：设在一次射击中射中10环、7环的事件分别为A 、B ，则事件A 与B 不可能同时发生，是互斥事件且()()28.0,21.0==B P A P ；∴在一次射击中射中10环或7环的概率为：()()()49.028.021.0=+=+=B P A P B A P§9.4 总体、样本与抽样方法(33) 在统计中，所研究对象的全体叫做 总体，组成总体的每个对象叫做个体 ，被抽取出来的个体的集合叫做 样本 ，样本所含个体的数目叫做样本容量 (34) 为了了解所购买的一批商品的质量，抽测了其中225个商品，在这个问题中，225个商品的质量是（ C ） A.个体 B.总体 C.样本 D.样本容量(35) 要了解某种电子产品的质量，从中抽取450个产品进行检验，在这个问题中，450叫做（ D ） A.个体 B.总体 C.样本 D.样本容量()()()()()()()()()()32312132213121=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=++=B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P(36) 为了了解全年级523名同学的视力情况，从中抽取90名同学进行测量，在这个问题中，总体是 指全年级523名同学的视力，个体是指 全年级每一个同学的视力 ，样本是指 抽取的90名同学的视力 ；样本容量是 90(37) 要完成以下两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况；应采用的抽样方法是：CA. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 (38) 简单随机抽样或者系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽取的概率（机会）相等； (39) 抽签法、随机数法都是简单随机抽样；(40) 当总体的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每个部分抽取一定数目的样本，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样 (41) 当总体由差异明显的几个部分组成时，一般采用 分层 抽样；(42) 某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人和1300人，现采用按年级分层的抽样方法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查中，高二年级共抽查了 人，三个年级全部抽查了 人； 解：分层抽样按每一层人数占总人数的比例来进行抽样，高一年级的人数占总人数的8340001500=，高二年级的人数占总人数的10340001200=，设全部抽查了n 个人，则8375=n，200=∴n ，即：三个年级全部抽查了200人；∴高二年级共抽查了60103200=⨯人；§9.5 用样本估计总体(43) 数据90、87、91、92、90的平均值是 90 ，方差是514 ，标准差是570解：平均值：()90909291879051=++++=x方差：()()()()()[]514909291879051222222=-+-+-+-+-=x x x xx S标准差：5705142===SS(44) 在频率分布直方图中，小矩形的面积表示 频率分析：矩形的底是组距，高是组距频率，∴矩形面积=底⨯高=组距频率组距⨯=频率(45) 画频率分布直方图，根据频率分布表，在直角坐标系中横坐标表示数据的取值，纵坐标表示组距频率 （也可以写成：组距频率÷）(46) 对n 个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和与频率之和分别等于（ B ） A. n ，n B. n ，1 C. n ，100 D. 1 ，1(47) 甲、乙两个总体各抽取一个样本，测得甲样本的数据为：10、9、5、8、7、15，乙样本的数据为：9，7，8，12，14，4，计算甲、乙样本的均值和样本方差，说明哪一个样本的数据波动更小一些。

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