【高中数学】人教A选修2-2练习：第2章 推理与证明2.3 Word版含解析

第二章 2.3A 级 基础巩固一、选择题1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n 的命题时，在由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中导学号 84624608( A )A ．必须运用假设B ．n 可以部分地运用假设C ．可不用假设D ．应视情况灵活处理，A ，B ，C 均可[解析] 由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设． 2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)过程中，由n ＝k 递推到n＝k ＋1时，不等式左边增加的项为导学号 84624609( D )A ．(2k )2B ．(2k ＋3)2C ．(2k ＋2)2D ．(2k ＋1)2[解析] 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)的过程中，第二步，假设n ＝k 时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，那么，当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2，等式左边增加的项是(2k ＋1)2，故选D ．3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法导学号 84624610( D ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D．4．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是导学号84624611(C)A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C．5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为导学号84624612 (C)A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C．6．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝导学号84624613(D)A．26 B．27C．28 D．29[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题7．(2017·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k ＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③__(填上所有正确命题的序号)导学号84624614①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立；③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．[解析]由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，(否则n＝11也成立)．同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．所以③正确．故答案为③.8．(2016·九江高二检测)观察下列等式，照此规律，第n个等式为__n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2__.导学号 846246151＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…[解析] 将原等式变形如下：1＝1＝12 2＋3＋4＝9＝32 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72…由图知，第n 个等式的左边有2n －1项，第一个数是n ，是2n －1个连续整数的和，则最后一个数为n ＋(2n －1)－1＝3n －2，右边是左边项数2n －1的平方，故有n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 三、解答题9．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).导学号 84624616求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．[解析] 由已知得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜想a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)·(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立． 10．(2017·汉阳期中)已知{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )).导学号84624617(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想f n(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想．[解析](1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1(x)1＋f21(x)＝x1＋2x2，f3(x)＝f1[f2(x)]＝f2(x)1＋f22(x)＝x1＋3x2猜想：f n(x)＝x1＋nx2，(n∈N*)(2)下面用数学归纳法证明，f n(x)＝x1＋nx2(n∈N*)①当n＝1时，f1(x)＝x1＋x2，显然成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即f k(x)＝x1＋kx2，则当n＝k＋1时，f k＋1＝f1[f k(x)]＝x1＋kx21＋(x1＋kx2)2＝x1＋(k＋1)x2，即对n＝k＋1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想f n(x)＝x1＋nx2对一切n∈N*都成立．B级素养提升一、选择题1．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想导学号84624618(D) A．n≥1时，2n>n2B．n≥3时，2n>n2C．n≥4时，2n>n2D．n≥5时，2n>n2[解析]当n＝1时，21>12，即2n>n2；当n＝2时，22＝22，即2n＝n2；当n＝3时，23<32，即2n<n2；当n＝4时，24＝42，即2n＝n2；当n＝5时，25>52，即2n>n2；当n＝6时，26>62，即2n>n2；…猜想当n≥5时，2n>n2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，(1)当n ＝5时，由以上可知猜想成立， (2)设n ＝k (k ≥5)时，命题成立，即2k >k 2，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时，命题成立，由(1)和(2)可得n ≥5时，2n >n 2；故当n ＝2或4时，2n ＝n 2；n ＝3时，2n <n 2；n ＝1及n 取大于4的正整数时，都有2n >n 2.故选D ．2．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开导学号 84624619( A )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋1)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．二、填空题3．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为__当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立__.导学号 84624620[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形． 4．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝__5__.导学号 84624621[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.三、解答题5．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点.导学号 84624622求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立．6．(1)用数学归纳法证明：导学号 8462462312－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． [解析] (1)①当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×1×(1＋1)2＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)－k 2 ＝(－1)k ·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n ∈N *等式成立．(2)①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．C 级 能力拔高已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项的和S 10＝185，导学号 84624624 (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若从数列{a n }中依次取出第2,4,8，…，2n ，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和A n ；(3)设B n ＝n (5＋3a n )，试比较A n 和B n 的大小，并说明理由．[解析] (1)设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8－d185＝10a 1＋45d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝5.∴a n ＝5＋3×(n －1)＝3n ＋2.(2)设新数列为{b n }，∴b n ＝a 2n ＝3×2n ＋2. ∴A n ＝3×(2＋22＋23＋…＋2n )＋2n ＝3×2n ＋1＋2n －6.(3)∵B n ＝n (9n ＋11)＝9n 2＋11n ，∴A 1＝3×4－4－8，A 2＝3×8－2＝22，A 3＝3×16＝48，A 4＝3×32＋2＝98，A 5＝3×64＋4＝196，A 6＝3×128＋6＝390，A 7＝3×256＋8＝776，……而B 1＝20，B 2＝58，B 3＝114，B 4＝188，B 5＝280，B 6＝390，B 7＝518，…… ①当n ＝1,2,3,4,5时，B n >A n ； ②当n ＝6时，B 6＝A 6； ③当n ≥7，且n ∈N *时， 猜想A n >B n ，用数学归纳法证明：当n ＝7时，A 7＝776>518＝B 7，结论正确； 假设当n ＝k (k ≥7)时，A k >B k ，即3×2k ＋1＋2k －6>9k 2＋11k ⇒2k ＋1>3k 2＋3k ＋2，∴n ＝k ＋1时，A k ＋1－B k ＋1＝[3×2k ＋2＋2(k ＋1)－6]－[9(k ＋1)2＋11(k ＋1)]＝6×2k ＋1－9k 2－27k －24＝6×[2k ＋1－(3k 2＋3k ＋2)]＋6×(3k 2＋3k ＋2)－9k 2－27k －24＝6×[2k ＋1－(3k 2＋3k ＋2)]＋9k 2－9k －12>9k 2－9k －12＝9k (k －1)－12≥9×7×(7－1)－12>0，∴A k ＋1>B k ＋1，即n ＝k ＋1时，结论也正确． 综上知，当n ≥7，且n ∈N *时，有A n >B n .。