福建省长泰一中高考数学一轮复习《二倍角的正弦、余弦、正切》学案

福建省长泰一中高考数学一轮复习《二倍角的正弦、余弦、正切》学
案
1．基本公式：
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ；
tan2α＝ .
2．公式的变用：
1＋cos2α＝ ；
1－cos2α＝ ．
解：∵α为锐角
∴ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -＝ααααα2cos cos sin 2)
1cos 2(sin 2-
＝αcos 1
＝α2tan 1+＝45
变式训练2：化简：)
4(sin )4tan(21cos 222απ
απ
α+⋅--
解：原式＝)
4(cos )
4cos()4sin(22cos 2απ
απαπα
-⋅--＝1
例3．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=；
(1) 求)625(π
f 的值； (2) 设23
41)2(),,0(-=∈απαf ，求sin α的值．
典型例题
解：（1）∵23625cos 21625sin
==π ∴06
25cos 625sin 625cos 3)625(2=+-=ππππf （2）x x x f 2sin 21232cos 23)(+-=
∴2
34123sin 21cos 23)2(-=-+=ααa
f 16s in22－4sin α－11＝0 解得8531sin ±=
α ∵0sin ),0(2>∴∈απ 故8
531sin +-=α
∴2sin α＝1 sin α＝21
∴tan α＝33
变式训练4：已知α、β、r 是公比为2的等比数列])2,0[(πα∈，且sin α、sin β、sinr 也成等比数列，求α、β、r 的值．
解：∵α、β、r 成公比为2的等比数列．
∴β＝2α，r ＝4α
∵sin α、sin β、sinr 成等比数列 ∴12cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2-=⇒=⇔=αα
αααβαβr 即01cos 2cos 22=--α，解得cos α＝1或21
cos -=α
当cos α＝1时，sin α＝0与等比数列首项不为零矛盾故cos α＝1舍去 当21cos -=α时，∵2∈[0,2π] ∴322π=或322π= ∴38,34,32ππβπα===
r 或316,38,34ππβπα===r
小结归纳
1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；
2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)．3．对三角函数式的变形有以下常用的方法：
① 降次（常用降次公式）
② 消元（化同名或同角的三角函数）
③ 消去常数“1”或用“1”替换
④ 角的范围的确定。