理论力学 第八章

已知： 相对速度v 已知：r, 相对速度 ， ＝ωt， t =0 = 0 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
1. 动点： 点 动点： M 动系 ox′y′ ： 解:
2. 相对运动方程
x′ = OO1 O M cosψ 1 y′ = O M sin ψ 1
vt 代入 ψ = r
已知：ω, e, AC = R, 求vAB 。 已知： 杆上A, 解：1、动点：AB杆上 动系：凸轮 、动点： 杆上 动系： 2、绝对运动：直线运动（AB） 、绝对运动：直线运动（ ） 相对运动：圆周运动（ 相对运动：圆周运动（半径 R） ） 牵连运动： O） 牵连运动：定轴运动 （轴O）
r r va = ve
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt cosωt r r
用车刀切削工件的直径端面， 例8-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
dt
(8-9)
其中：
r' & & + y′r' + z′k ' ) & &r &′i & j 把 （8-6）代入 2(x r r' r r' r r' & & & = 2 x′ ωe ×i + y′ ωe × j + z′ ωe × k r' r' r' r & & & = 2ωe × x′i + y′j + z′k 把（8-2）代入
已知： v 已知： v1 = 4m s , v2 = 3m s。 求： r 解：1、动点：矿砂 。动系：传送带 、动点：矿砂M。动系：传送带B r 2、绝对运动：直线运动（ v1） 、绝对运动：直线运动（ r 牵连运动：平动（ 牵连运动：平动（v2） 相对运动：未 相对运动：r 知 r r va = ve + vr
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
大小 ? 方向 ?
Rω 2 √
Rω1
√
2 va = ve2 + vr2 = R ω12 + ω 2 3、 、
ve ω2 β = arctan = arctan vr ω1
求解合成运动的速度问题的一般步骤： 一般步骤
1） 选取动点，动系和静系。 2） 三种运动和三种速度的分析。 3） 根据速度合成定理作出速度平行四边形。 4） 根据速度平行四边形几何关系，求出未知量。 动点的选择：一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两 动点的选择 个坐标系都有运动的点。 动系的选择：动点对动系有相对运动，即动点动系不能处在 动系的选择 同一刚体上，且相对运动的轨迹是尽可能简单、清楚。 恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键 恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。
3 相对运动轨迹
b b x′ + y′ + = 2 4
2
2
2
§8-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
速度合成定理的推导
定系：Ｏxyz，动系： O’x’y’z’ ，动点：Ｍ ：
r r r' rM = rO′ + r
r' r' r' r' r = x′i + y′j +z′k
r r rM = rM′
{
相对轨迹
r 相对速度 vr
r 相对加速度 a r
{
绝对轨迹
r 绝对速度 va
r 绝对加速度 a
a
{
r 牵连速度 v
r 牵连加速度 a
e
e
牵连点: 在动参考系上与动点相重合的那一点. 牵连点 在动参考系上与动点相重合的那一点
实例一：车刀的运动分析
动点：车刀刀尖 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动） 动系：工件 ：
M’为牵连点
r %r ' r' r' r' r d & & & vr = = x′i + y′j + z′k dt
导数上加“～”表示相对导数。
(8-2)
r r drM′ ve = dt r r' r & & + y′r' + z′k ' (8-3) & & + x′i = rO′ j
r r r r' r r drM r & & + y′r' + z′k ' + x′i ' + y′r' + z′k ' & & & &j & va = = rO′ + x′i j dt
(
) (
) (
)
(
)
r = 2ωe ×vr
r
(8-10) ]
已知： 已知：x = b sin ωt , = ωt 解: 1 2 动点：M,
求: f ( x′, y′) = 0
动系：工件 (ox′y′)
相对运动方程
b x′ = OM cosωt = b cosωt = sin 2ωt 2 b 2 y′ = OM sin ωt = bsin ωt = (1 cos 2ωt) 2
r ar =
r % 2r ' d dt
2
r' r' r' = &&′i + &&′j + &&′k x y z
(8-7)
2r r d rM′ ae = 2
dt
r r r && &&' + y′r' + z′k ' && = && ′ + x′i rO j
（8-8）
2r r d rM aa = 2
r r r && && && + x′&&' + y′r' + z′k ' = rO′ i j r' r' r' +&&′i + && + && x yj zk r' & & + y′r' + z′k ' ) & &r & +2(x′i & j
大小 v1 v2 方向 √ √ ? ?
2 2 vr = va + ve 2vave cos 60o = 3.6m s 3、
ve β = arcsin( sin 60o ) = 46o12′ vr
圆盘半径为R，以角速度ω 绕水平轴CD转动 转动， 例8-7 圆盘半径为 ，以角速度 1绕水平轴 转动， 支承CD的框架又以角速度 绕铅直的AB轴转动 的框架又以角速度ω 轴转动， 支承 的框架又以角速度 2绕铅直的 轴转动， 如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与 的交点 如图所示。圆盘垂直于 ，圆心在 与AB的交点 O处。 处 求：当连线OM在水平位 当连线 在水平位 置时，圆盘边缘上的点M 置时，圆盘边缘上的点 的绝对速度。 的绝对速度。
第八章 点的合成运动
研究内容：分析运动中某一瞬时点的速度合成 和加速度合成的规律。
§8-1 相对运动牵连运动绝对运动
1.两个坐标系 两个坐标系: 两个坐标系
定坐标系（定系） 动坐标系（动系）
2.三种运动: 2.三种运动: 三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动 ： 相对运动：动点相对于动系的运动 牵连运动：动系相对于定系的运动
vt x′ = r1 cos r y′ = r sin vt r
已知： 相对速度v 已知：r, 相对速度 ， ＝ωt， t =0 = 0 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
3.牵连运动方程： xo ' = xo = 0 yo ' = yo = 0 = ωt
=
rω l +r
2 2
2
如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮 的凸轮， 例8-5 如图所示半径为 、偏心距为 的凸轮，以角 速度ω绕 轴转动 轴转动， 能在滑槽中上下平移， 速度 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆 能在滑槽中上下平移 的端点A始终与凸轮接触 始终与凸轮接触， 成一直线。 的端点 始终与凸轮接触，且OAB成一直线。 成一直线 的速度。 求：在图示位置时，杆AB的速度。 在图示位置时， 的速度
§８-３点的加速度合成定理
r' r ' r ' 1 、求 i ,j ,k 对t的导数 r' 先分析 k 对时间的导数
r r drA r r vA = = ωe × rA dt r r r rA = rO′ + k ' 代入上式，得 r' r r drO′ dk r r r' + = ωe ×(rO′ + k ) vA = dt dt r drO′ r r r 因为 vO′ = = ωe × rO′ dt r
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
实例二
回转仪的运动分析
动系：框架CAD
动点：来自百度文库点
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 ： 绝对运动：空间曲线运动
3.动定参考系间的坐标变换关系：
动点：M，动系：O’x’y’
x = x( t ) 绝对运动方程 y = y ( t ) x′ = x′ ( t ) 相对运动方程 y′ = y′ ( t )
(8-4)
式(8-2), (8-3) 代入（8-4）得：
r r r va = ve + vr
(8-5)
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它 在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。 适用条件：牵连运动是任何运动的情况。 适用条件
刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 例8-4 刨床的急回机构如图所示。曲柄 的一端 A与滑块与铰链连接。当曲柄 以匀角速度 绕固 与滑块与铰链连接。 以匀角速度ω绕固 与滑块与铰链连接 当曲柄OA以匀角速度 定轴O转动时 滑块在摇杆O 上滑动 转动时， 上滑动， 定轴 转动时，滑块在摇杆 1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴 1摆动。设曲柄长为 绕定轴O 绕定轴 摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距 离OO1=l。 。 求：曲柄在水平 位置时摇杆的角 速度 ω . 1
得
dk ' r r' 同理可得 r' r' & j = ωe × k ， i 、& ， dt
r' r r' r' r r' r' r r' & & = ω ×i , & = ω × j , k = ω × k i j e e e
适用范围：牵连运动是任意 运动时 2、推导点的加速度合成定理
(8-6)
√
+
√
r vr
大小 ? ω oA 方向 √
?
e = ωe 3、va = ve cot θ = ω oA 、 oA
矿砂从传送带A落入到另一传送带 落入到另一传送带B上 例8-6 矿砂从传送带 落入到另一传送带 上， 如图所示。 如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度 为 v1 = 4m s 方向与铅直线成300角。已知传 ，方向与铅直线成 送带B水平传动速度 送带 水平传动速度 v2 = 3m s 。 的速度。 求：矿砂相对于传送带B的速度。 矿砂相对于传送带 的速度
已知： 已知： R, ω1 , ω 2 , OM 水平，求vM 解：1、动点：M点。动系：框架 BACD 、动点： 点 动系： 2、绝对运动：未知 、绝对运动： 相对运动：圆周运动（圆心 相对运动：圆周运动（圆心O 点） 牵连运动：定轴转动 牵连运动：定轴转动(AB轴) 轴 r r r va = ve + vr