MOM14-15动荷载与交变应力
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材料力学 第十四章动荷载及交变应力
2.5m
FNd
2.5m
σ d m ax
M d m ax = = 13 5.4 M P a < [σ ] Wz
梁的强度足够. 梁的强度足够.
二,构件作匀速转动时的应力
轮缘
ω
D
δ
轮幅
y
ω
qd d
D
O
O
m m FNd
O n n FNd x
an=ω2D/2
FNd Aρω 2 D 2 = 4
D Aρω 2 D qd = 1. A.ρω 2 = 2 2 FNd ρω 2 D 2 σd = = = ρ v 2 ≤ [σ ] A 4
di = kd sti Fd = kd P
σ d = kdσ st
动荷因数kd中的st计算:是将冲击物的重量P 动荷因数 中的 计算:是将冲击物的重量 作为静荷载沿冲击方向作用在被冲击构件的冲 击点,引起该点沿冲击方向的位移. 击点,引起该点沿冲击方向的位移.
P
st
l
EA
P h P l
Pd
Δd
如:轮船靠泊时的冲击力 起吊重物时的惯性力
t
构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形. 构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形. 构件在动荷载作用下,同样有强度,刚度和稳定性问题. 构件在动荷载作用下,同样有强度,刚度和稳定性问题. 构件内的应力随时间作交替变化,则称为交变应力. 构件内的应力随时间作交替变化,则称为交变应力.
动荷载作用下构件的材料仍服从虎克定律. 动荷载作用下构件的材料仍服从虎克定律. 构件的材料仍服从虎克定律
§14-2 构件作匀加速直线运动 14和匀速转动时的应力
构件作匀加速直线运动时,内部各质点具有相同的 构件作匀加速直线运动时, 加速度;构件作匀速转动时, 加速度;构件作匀速转动时,内部各质点均具有向 心加速度. 心加速度.
材料力学第九章动荷载和交变应力_new
两运动物体相互接触，接触前速度差较大，接触时 间短，则相互间的作用力较大，此现象也为冲击。
运动的物体称为冲击物。 静止的物体称为被冲击物。
工程中大都采用简化计算方法，它以如下假设为前提：
假设1：冲击物为刚体，不变形（不吸收能量），从开始 冲击到冲击产生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起 运动，而不发生回弹； 假设2：冲击时，不考虑被冲击构件的质量，被冲击构 件的材料仍处在弹性范围内，服从胡克定律； 假设3：冲击过程中没有其它形式的能量转换，机械 能守恒定律仍成立。
第九章 动荷载和交变应力
§9-1 概 述
动荷载（dynamic load）是指随时间显著变化的荷载，或 是作加速运动或高速转动构件的惯性力。
例如：冲击荷载、惯性力等 构件由动荷载所引起的应力和变形分别称为动应力和动变形。
若构件内的应力随时间周期性变化，称为交变应力 （alternating stress）。
强度条件： dmax kd stmax [ ]
例 已知W1=20 kN，W2=40 kN ，a =2.5 m/s2 。梁由2 根22b的工字钢组成，钢索d =20 mm，梁与钢索材料相同， [σ]=160 MPa ，试校核钢索与梁的强度（不计钢索与梁 的自重）。
W1 解：1.钢索的强度校核。
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
st FNst / A W2 / A 127.3MPa d kd st 160.4MPa 1.05[ ]
∴ 钢索满足强度要求。
2.5m
FNd W2
W2 g
a
2.5m a
W2
2.梁的强度校核
W1
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
量W当作静荷载作用于被冲击构件上冲击点处，在构件冲 击点处沿冲击方向所产生的与静荷载类型相对应的静变形。
运动的物体称为冲击物。 静止的物体称为被冲击物。
工程中大都采用简化计算方法，它以如下假设为前提：
假设1：冲击物为刚体，不变形（不吸收能量），从开始 冲击到冲击产生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起 运动，而不发生回弹； 假设2：冲击时，不考虑被冲击构件的质量，被冲击构 件的材料仍处在弹性范围内，服从胡克定律； 假设3：冲击过程中没有其它形式的能量转换，机械 能守恒定律仍成立。
第九章 动荷载和交变应力
§9-1 概 述
动荷载（dynamic load）是指随时间显著变化的荷载，或 是作加速运动或高速转动构件的惯性力。
例如：冲击荷载、惯性力等 构件由动荷载所引起的应力和变形分别称为动应力和动变形。
若构件内的应力随时间周期性变化，称为交变应力 （alternating stress）。
强度条件： dmax kd stmax [ ]
例 已知W1=20 kN，W2=40 kN ，a =2.5 m/s2 。梁由2 根22b的工字钢组成，钢索d =20 mm，梁与钢索材料相同， [σ]=160 MPa ，试校核钢索与梁的强度（不计钢索与梁 的自重）。
W1 解：1.钢索的强度校核。
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
st FNst / A W2 / A 127.3MPa d kd st 160.4MPa 1.05[ ]
∴ 钢索满足强度要求。
2.5m
FNd W2
W2 g
a
2.5m a
W2
2.梁的强度校核
W1
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
量W当作静荷载作用于被冲击构件上冲击点处，在构件冲 击点处沿冲击方向所产生的与静荷载类型相对应的静变形。
材料力学动荷载和交变应力(xu)
Mechanics of Materials
FNd ( x)
=
( Axγ
+
P)(1 +
a) g
=
FNst (1 +
a) g
FNd ( x)
σd (x) =
FNd A
=
Axγ + P (1 + a )
A
g
=
σ
st (1 +
a )
g Ax γ
令
Kd
= 1+
a g
----动荷因数
Ax γ
a
xg
则 Fd = Kd FNst σ d = Kdσ st
强度条件: σ d max = k d (σ st )max ≤ [σ ]
[ 材料力学 \
Mechanics of Materials
Kd = 1+
1 + 2h Δ st
$注意：动荷系数中的 Δst为把冲击物作为静荷载置于
被冲击物的冲击点处，被冲击物的冲击点沿 冲击方向的静位移。
$讨论：
1.当h=0时，k d = 2 表明把重物挨着构件,突然松手,
=
1 2
× 201.1×12
= 1 206.6 N
2m
2m
12m
FN
qst
FN
2m
2m
12m
[ 材料力学 \
Mechanics of Materials
FN
qst
2m 12m
2 q st
＋
6 q st
FN 吊索的静应力
2m
σ st
=
FN A
=
1 206.6 108
动载荷与交变应力
则 Fd K d Fst
Fd Fst 钢索中的动应力为 d K d K d st A A
st 为静载荷下钢索中的静应力
此时的强度条 件为
Fst m m
A
Fd
m m x
A
A
g a
d K d st [ ]
结论
x
G
G
G a g
只要将静载荷下的应力、变形，乘以动荷 因数Kd即得动载荷下的应力与变形。
例：一重量为 P的重物由高度为 h 的位置自由下落，与 一块和直杆AB 相连的平板发生冲击。杆的横截面面积 为A。求杆中的冲击应力。
解:重物是冲击物， 杆 AB（包括圆盘） 是被冲击物。
冲击物减少的势能：
A
A
P
B
V P(h d )
动能无变化：T 0
B
d
假使Δd为冲击发生后重物与平 板一起下降的最大位移, Pd为 重物与平板之间的相互作用力
惯性力：大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积， 方向与 a 的方向相反。
FIR ma
构件上除外加载荷外，再在构件的各点上加上 惯性力，则可按求静载荷应力和变形的方法， 求得构件的动应力和动变形。
例1：一起重机钢索以加速度 a 提升一重为 G 的物体，设钢索的横截面面积为 A ，钢索单位 体积的重量为 ，求距钢索下端为 x 处的 m-m A 截面上的应力。 Fst a g m m 解: 钢索的重力集度为 : A 物体的惯性力为:
（1） 不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触 后无反弹，成为一个运动系统。
（2）被冲击物的质量很小可略去不计，材料服 从胡克定律。
（3） 过程中只有势能、动能与应变能的转化， 略去其它能量的损失。
动载荷与交变应力
（3）计算AB端轴横截面上最大动应力
AB轴在摩擦力偶矩Mf和惯性力偶矩Md作用下，引起轴的
扭转变形，横截面上的扭矩为：
T Md
0.5 3
kN m
轴横截面上最大扭转切应力： d max
0.5 106 T 3 2.67MPa Wp 1003 16
第二节 一、冲击的概念
Gl EA
与拉（压）刚度EA成反比
梁受横向冲击： δj与弯曲刚度EI成反比 故：减小被冲击物刚度，即增大静变形δj可提高 构件承受冲击载荷的能力。 2.选择E值较小的材料 3.增大等截面杆的体积 如图，采用长螺栓代 替短螺栓紧固，就是利用
增加螺栓的体积，可以提
高螺栓的抗冲击能力。
注意：这一结论不适用于变截面杆的情况。 例如，图（a）的体积大，
【例2】如图所示，以匀加速度a =10m/s2起吊一根22a号工字钢 梁，梁的尺寸如图所示，试求梁内最大弯曲正应力。 a 解：（1）外力分析 A 2m FA 8m B 2m 22a号工字钢单位长度的重量为:
q j 33 9.8 323N / m
单位长度的惯性力为: q I g a 工字钢梁所受的载荷为:
a qd q j q I q j 1 653N / m g
qj
qd = 653N/m FB
M图：
-
3926Nm
+ -
支承反力：FA FB q d 12 3920N
1 2
1036Nm
1036Nm
（2） 内力分析
最大弯矩发生在梁的中间截面上，且 M max 3926N m
3m
3m
a G
3 查28a号工字钢 Wz 508.15cm
工程力学第14章 动载荷与交变应力
当构件为一运动体时,由于有加速度,因而随构件质量分布,将产生分布的惯性
力,惯性力的大小等于运动物体的质量m与加速度a的乘积,其方向与加速度的方 向相反。从图14-1所示的矿井升降机为例,若起吊重量为W的重物,以加速度a 上升,若钢绳横截面面积为A,不计钢绳自重,可求钢绳横截面上的动荷应力。 计算运动构件内力,仍应用截面法,在图14-1a中截取如图14-1b所示部分,它受 到重物的重力 W和向上的加速度 a的作用,则重物的惯性力为 Wa/g。在运动构 件上加上与加速度a方向相反的惯性力(图14-1b),这时构件在重力、内力和惯 性力作用下处于平衡。由平衡方程,可得
14.4.2 交变应力的循环特征
构件在交变应力下工作时,应力变化情况可用应力随时间变化的曲线来表示 ,如 图 14-6b 、图 14-7b 。应力每重复变化一次称为一个应力循环 ( 图 14-9),重复 变化的次数称为循环次数。而把最小应力和最大应力之比称为交变应力的循环 特征,用r表示即
14.4.3 对称循环交变应力下材料的疲劳极限
设杆件受重物冲击后 ,产生最大压缩变形为Δd(图14-3b),则冲击物在冲击终了 时所减少的重力势能为 V=P(h+Δd)(a) 由于冲击物的初速度和下落终止时的终速度都为零,故动能无变化,即 T=0(b) 因为杆件的应变能Vd等于冲击载荷Fd在冲击过程中所做的功,由于冲击载荷Fd与 动变形 Δd 都是由零开始增加到最终值 , 且成线性关系 ( 图 14-4), 故此功可按图 14-4中的有阴影线的三角形面积来求得,即
第14章 动载荷与交变应力
14.1
概述
前面所讨论的问题中,构件所承受的载荷都是静载荷。在静载荷作用下,构 件内各点的加速度为零或微小到可忽略不计。如果构件有了明显的加速度, 则作用于构件上的载荷就是动载荷。
材料力学动载荷和交变应力第1节 惯性力问题
截面面积 A 90 cm2，密度 7.6103kg/m3，下垂长度
l 250 m 。当以等加速度 a 2 m/s 2上升时，试求：
（1）动荷因数；
（2）求钢丝绳最大应力。 解：（1）动荷因数
OB
Kd
1
a g
1
2 9.8
ห้องสมุดไป่ตู้
1.2
al
（2）钢丝绳最大应力发生在 B 截面
A
Fd
m(g (mg
a) Axg(1 Axg)(1 a )
a) g
g
• 条件：当升降机匀速上升时：
a0
Fst mg Axg
Fd
Fst (1
a) g
动应力
d
j (1
a) g
Fd
Fst (1
a) g
d
st (1
a) g
引入记号Kd
则有 Fd Kd Fst d Kd j
100
3
s 1
60 106 7.85 10
3
m/s
87.4 m/s
由线速度与角速度关系
v
R
16
例11-4 钢质飞轮匀角速转动如图所示，轮缘外径
D 1.8 m，内径 d 1.4 m ，材料密度 7.85 103 kg/m3。 要求轮缘内的应力不得超过许用应力 [ ] 60 Mpa ，轮
辐影响不计。试计算飞轮的极限转速 n 。
解：由强度条件，得到 轮缘允许的线速度
v
[ ]
Fst max (x) mg gAxmax
m
480 N
动荷载及交变应力
193第二十五章 动荷载及交变应力一、 内容提要使构件内各点产生加速度的载荷称动载荷。
构件在动载荷作用下产生的应力称为动荷应力。
若以 、和 分别表示动载荷、动荷应力、动荷变形， 、 和 分别表示静载荷、静应力和静变形，则有动荷系数1. 构件以等加速度运动时的动荷应力这类问题可应用达朗伯原理把惯性力作为静载荷处理，按静力平衡求解内力。
动荷系数2. 承受冲击载荷时构件内的动荷应力忽略冲击过程中的能量损失,根据机械能守恒定律,刚体冲击物在冲击过程中所减少的动能T 和位能V ,应等于受冲击物体的弹性变形能,即自由落体垂直冲击水平冲击3. 疲劳应力：随时间作周期性变化的应力。
正应力—时间曲线d P d σd ∆j P j σj ∆jd jd jd d P P K ∆∆===σσga K d +=1d U V T =+jd H K ∆++=211jd g vK ∆=2mσ194 基本参量 循环种类应力最大值 对称循环 应力最小值 脉动循环平均应力 静应力循环 应力幅循环特征4. 疲劳破坏：金属材料在交变应力作用下的破坏。
有以下特点：(1) 交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值, 但经历时间长。
(2) 无论是脆性还是塑性材料，交变应力作用下均表现为脆性断裂,无明显塑性变形，断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分。
(3) 疲劳过程一般分三个阶段：裂纹萌生、裂纹扩展、扩展到临界尺寸瞬时断裂。
二、 基本要求1. 掌握匀加速直线运动杆件和匀速转动圆环的应力和强度计算方法。
2. 理解自由落体冲击应力和变形公式的推导过程和假设条件,熟练掌握受该冲击作用的动应力和动变形的计算方法。
3. 了解提高构件抗冲击能力的主要措施。
4. 了解疲劳破坏的机理和特点,掌握交变应力的应力幅度、平均应力和循环特性的概念和计算方法。
三、 典型例题分析例1 图1 直杆的横截面积为A ，长 ，重量为G ，放置在无摩擦的水平面上，设试用动静法求杆内动荷应力沿杆长的分布规律。
工程力学课件 第11章 动载荷、冲击载荷、交变应力简介
1.1.1 电路பைடு நூலகம்组成
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析
动载荷与交变应力
max m a
min m a
r min max
σ
8、脉动循环
交变应力变动于某一应力与零之间 max a
max max min 0
a
max
2
m
r0
o
或
max 0
min max
a
min
2
m
r
9、 静应力
σ
应力保持某恒定值不变
max min m
5、研究意义
实例
惯性载荷
冲击载荷
振动载荷（Tacoma大桥共振断裂）
交变载荷（交变载荷引起疲劳破坏）
16.2 构件作匀加速直线运动或匀速转动时旳动应力计算
16.2.1 构件作匀加速直线运动时旳动应力计算 1、此类问题旳特点:
加速度保持不变Βιβλιοθήκη 加速度数值保持不变，即角速度w = 0
2、处理此类问题旳措施: 牛顿第二定律 动静法（达朗伯原理）
g
[ ]
16.3 构件受冲击时旳应力与变形
一、构件受冲击时旳应力和变形 当运动物体（冲击物）以一定旳速度作用在静
止构件（被冲击物）上时，被冲击物体将受到很 大旳作用力（冲击载荷），这种现象称为 冲击
此类问题在工程中非经常见，例如 : 打桩、锻打工件、凿孔、高速转动飞轮制动等。
构件受冲击时旳应力和变形
弹性支承情况下旳冲击应力:
Q h
st
Ql 3 48EI
Q 2k
....... 5.08mm
l/2
l/2
kd 1
1 2h ....... 5.55 st
(b)
st
Ql 4W
..... 2.43MPa
d 5.55 2.43 13.5MPa
动荷载和交变应力
3
3
2m
2 q st
12m
2m
2 q st
梁的最大静应力
st, max
M max 1 206.6 Wz 21.2 106
56.9 MPa
石家庄铁道大学
＋
6 q st
梁的最大动应力 d,max K d st,max 2.02 56.9 114.9 MPa
材料力学 Mechanics of Materials
二、构件作等速转动 例题: 平均直径为D，壁厚为t，截面面积为A薄壁圆 环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的轴作等角速度 转动。已知材料密度为ρ, 求圆环横截面上的应力。
t D
qd
石家庄铁道大学
D
解：薄壁圆环可认为沿厚度方向各质点的惯性力相 同，且沿周长均匀分布。
材料力学 Mechanics of Materials
例题：梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108 mm2，加速度a =10 m/s2 ，不计吊索质量。求： 1、吊索的动应力d ；2、梁的最大动应力d, max 。
T FN qst FN
石家庄铁道大学
2m
12m
2m
2m
12m
2m
梁单位长度的重量 qst20.5×9.81=201.1 N/m
材料力学 Mechanics of Materials
求解该类问题的一般步骤 ①计算构件的加速度； ②将相应的惯性力F=-ma作为外力虚加于各质点； ③按静载问题进行处理。
材料力学 Mechanics of Materials
一、构件作等加速直线运动 例题： 一吊车以匀加速度a起吊重物P，若吊索的横 截面积为A，材料比重为，试计算吊索中的应力。
3
2m
2 q st
12m
2m
2 q st
梁的最大静应力
st, max
M max 1 206.6 Wz 21.2 106
56.9 MPa
石家庄铁道大学
＋
6 q st
梁的最大动应力 d,max K d st,max 2.02 56.9 114.9 MPa
材料力学 Mechanics of Materials
二、构件作等速转动 例题: 平均直径为D，壁厚为t，截面面积为A薄壁圆 环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的轴作等角速度 转动。已知材料密度为ρ, 求圆环横截面上的应力。
t D
qd
石家庄铁道大学
D
解：薄壁圆环可认为沿厚度方向各质点的惯性力相 同，且沿周长均匀分布。
材料力学 Mechanics of Materials
例题：梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108 mm2，加速度a =10 m/s2 ，不计吊索质量。求： 1、吊索的动应力d ；2、梁的最大动应力d, max 。
T FN qst FN
石家庄铁道大学
2m
12m
2m
2m
12m
2m
梁单位长度的重量 qst20.5×9.81=201.1 N/m
材料力学 Mechanics of Materials
求解该类问题的一般步骤 ①计算构件的加速度； ②将相应的惯性力F=-ma作为外力虚加于各质点； ③按静载问题进行处理。
材料力学 Mechanics of Materials
一、构件作等加速直线运动 例题： 一吊车以匀加速度a起吊重物P，若吊索的横 截面积为A，材料比重为，试计算吊索中的应力。
动荷载 · 交变应力
h h
Ek 0
d
Fd
E p F (h d )
•冲击后的能量
1 Vd Fd d 2
冲击问题
F
h
d
Fd
E p F (h d )
1 Vd Fd d 2
Fd l EA 由 Δd ,得 Fd Δd EA l
1 EA 2 Vεd ( ) Δd 2 l
主讲教师：刘灵灵 工作单位：工程力学系
本章主要讨论的问题：
构件作等加速直线运动和等速转动时的动应 力计算； 构件受冲击荷载作用时的动应力计算；
交变应力下材料的疲劳破坏；
钢结构构件及其连接的疲劳计算。
概述
§6－1 概
1、动载荷与静载荷
述
静载荷——载荷值由零开始，缓慢增加，到一定数值后 不再变化或变化很小。 特点：加载过程中结构内任意点加速度为零，即结构时 刻保持平衡。 此前所提到的载荷都是静载荷。 动载荷——引起构件产生明显加速度的载荷。 研究方法： 动载荷加速度已知（可求）时，采用动静法。 动载荷加速度未知（可求）时，用能量守恒。
概述
三类动荷问题 （1）一般加速度运动构件问题，包括匀加速直线运动 和等角速转动； ——加速度可求，用动静法解 （2）构件受剧烈变化的冲击载荷作用； ——加速度不易求，材料的力学性能变化较大， 用能量法简化求解 （3）疲劳问题——应力作周期变化
概述
ω
t
D
O a
P
ω
l
O
概述
制动中的飞轮
P A
l 2
交变应力
等加速运动
一、构件作等加速直线运动
例题6-1：杆AB以匀加速a上升，已知杆的密度为，长度l， 刚度EA。求杆横截面上的最大动应力dmax。
Ek 0
d
Fd
E p F (h d )
•冲击后的能量
1 Vd Fd d 2
冲击问题
F
h
d
Fd
E p F (h d )
1 Vd Fd d 2
Fd l EA 由 Δd ,得 Fd Δd EA l
1 EA 2 Vεd ( ) Δd 2 l
主讲教师：刘灵灵 工作单位：工程力学系
本章主要讨论的问题：
构件作等加速直线运动和等速转动时的动应 力计算； 构件受冲击荷载作用时的动应力计算；
交变应力下材料的疲劳破坏；
钢结构构件及其连接的疲劳计算。
概述
§6－1 概
1、动载荷与静载荷
述
静载荷——载荷值由零开始，缓慢增加，到一定数值后 不再变化或变化很小。 特点：加载过程中结构内任意点加速度为零，即结构时 刻保持平衡。 此前所提到的载荷都是静载荷。 动载荷——引起构件产生明显加速度的载荷。 研究方法： 动载荷加速度已知（可求）时，采用动静法。 动载荷加速度未知（可求）时，用能量守恒。
概述
三类动荷问题 （1）一般加速度运动构件问题，包括匀加速直线运动 和等角速转动； ——加速度可求，用动静法解 （2）构件受剧烈变化的冲击载荷作用； ——加速度不易求，材料的力学性能变化较大， 用能量法简化求解 （3）疲劳问题——应力作周期变化
概述
ω
t
D
O a
P
ω
l
O
概述
制动中的飞轮
P A
l 2
交变应力
等加速运动
一、构件作等加速直线运动
例题6-1：杆AB以匀加速a上升，已知杆的密度为，长度l， 刚度EA。求杆横截面上的最大动应力dmax。
材料力学-动荷载和交变应力
应变能
Ve
＝
1 2
Fd d
Fd
＝
EA l
d
应变能
Ve
＝
1 2
Fd d
令 C＝ EA l
被冲击构件的 刚度系数
Fd ＝ C d
W
vh
d
EA l
将 W 以静荷载的方式作用于冲击点处
被冲击构件沿冲击方向的静变形为 st
W ＝ C st
C
＝
W st
Fd ＝
W st
d
能量守恒方程
d2 － 2 st d － 2 st h ＝ 0
对疲劳破坏的解释与构件的疲劳破坏断口是吻合的
光滑区 —— 裂纹扩展区 粗糙区 —— 最后突然
断裂形成的
构件的疲劳破坏，是在没有明显预兆的情况下 突然发生的，往往会造成严重的事故。
§13-5 交变应力的特性与疲劳极限
应力循环
应力每重复变化一次
一个应力循环
s
重复的次数 —— 循环次数
r s ＝ min
构件中各质点以变速运动时，构件就承受动荷载 的作用。
构件由动荷载引起的应力和变形 动应力 动变形
静荷载作用下服从虎克定律的材料，在动荷载作用下， 只要动应力不超过材料的比例极限，虎克定律仍然成立。
构件内的应力随时间作周期性交替变化
交变应力
在交变应力的长期作用下： 即使是塑性很好的材料、最大工作应力远低于
仍服从虎克定律。
冲击过程中不考虑波动效应，不计声、热能损失。
一、竖向冲击问题
重为 W 的物体，从高度 h 处自由下落 到杆的顶端。
变形最大时：Fd 、d 、sd
冲击物在冲击前后动能和势能的改变 等于被冲击构件所获得的应变能。
工程力学 第2版 第12章 动荷应力和交变应力
由于疲劳破坏与静载作用下的强度破坏有着 本质的差别。所以静应力下的强度指标不能作为 疲劳破坏的计算依据。材料在交变应力作用下的 强度计算依据是材料在经过无限多次应力循环后 不发生疲劳破坏的最大应力值，称为材料的持久 极限，用r表示。
影响构件持久极限的主要因素 构件外形的影响 构件截面尺寸的影响 构件表面加工质量的影响
a
Kd 1 g
j max
Kd
12.1.2 构件受冲击时的动荷应力 当具有一定速度的运动物体碰到静止的构件时，物体 和构件间会产生很大的作用力，这种现象称为冲击。如汽 锤锻造工件、落锤打桩、金属冲压加工、铆钉枪铆接、高
速转动的传动轴制动等，都是冲击的一些工程实例。
d max Kd j max [ ]
综合考虑以上三种主要因素，则在对称循环下构件的持久极限表示为
0 1
K
1
或
0 1
K
1
目前在机械设计中，通常将疲劳强度设计准则写成比较安全因数的形式
构件在对称循环弯曲或拉压时
n n
n
0 1
[ 1 ]
n
0 1
max
通 常 把 由 最 大 应 力 max 变 到 最 小 应 力 min ， 再 由 最 小 应 力 min变回到最大应力max的过程，称之为一个应力循环。把 一个应力循环中最小应力与最大应力之比值称为循环特性， 用r表示，即
r min max
常见的交变应力循环有 对称循环，
循环特性r = -1。
第12章 动荷应力与交变应力
12.1 动荷应力 10.2 交变应力
12.1 动荷应力
如果作用在构件上的载荷随时间有显著的变化，或在载荷作
用下构件上各点有显著的加速度，这种载荷即称为动载荷。
影响构件持久极限的主要因素 构件外形的影响 构件截面尺寸的影响 构件表面加工质量的影响
a
Kd 1 g
j max
Kd
12.1.2 构件受冲击时的动荷应力 当具有一定速度的运动物体碰到静止的构件时，物体 和构件间会产生很大的作用力，这种现象称为冲击。如汽 锤锻造工件、落锤打桩、金属冲压加工、铆钉枪铆接、高
速转动的传动轴制动等，都是冲击的一些工程实例。
d max Kd j max [ ]
综合考虑以上三种主要因素，则在对称循环下构件的持久极限表示为
0 1
K
1
或
0 1
K
1
目前在机械设计中，通常将疲劳强度设计准则写成比较安全因数的形式
构件在对称循环弯曲或拉压时
n n
n
0 1
[ 1 ]
n
0 1
max
通 常 把 由 最 大 应 力 max 变 到 最 小 应 力 min ， 再 由 最 小 应 力 min变回到最大应力max的过程，称之为一个应力循环。把 一个应力循环中最小应力与最大应力之比值称为循环特性， 用r表示，即
r min max
常见的交变应力循环有 对称循环，
循环特性r = -1。
第12章 动荷应力与交变应力
12.1 动荷应力 10.2 交变应力
12.1 动荷应力
如果作用在构件上的载荷随时间有显著的变化，或在载荷作
用下构件上各点有显著的加速度，这种载荷即称为动载荷。
第十一章 动载荷和交变应力
两根梁受重物冲击。一根支于刚性支座上，另一根支于弹簧常数k=100 N/mm的弹簧上。已知l=3m，h=0.05m，G=1kN，钢梁的I=3.4×107mm4， W=3.09×105mm3，E=200GPa，求两梁的最大冲击应力。
解：刚性支承梁：
G h B l/2 l/2
Gl 3 1 103 33 δj m 0.0827m m 48EI 48 200 109 3.4 105
解：飞轮的动能： Ek 1
A
1 Jw 2 2
C
d B L
动能定理
Ek2 Ek1 V
d max
GI p J M xd w 2 Wp Wp l
Ip
2 M M xd L xd Ek 2 0 应变能 Vε 2 2GIP GI p J M xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ w l 2GJ 2 d max w Wp 2 A Al 5
AK G(h1 h2 )
ak
AK A
7
第十二章
交变应力
第一节 交变应力与疲劳失效 第二节 交变应力的循环特性和应力幅值 第三节 材料的持久极限 第四节 影响构件持久极限的主要因素
第五节 对称循环的疲劳强度计算
第六节 非对称循环和弯扭组合的疲劳强度计算 第七节 提高构件疲劳强度的措施
本章重点 1.构件持久极限
重物M的质量m=1kg，重物绕垂直轴作匀速转动。转动角速度 w10p rad/s ，试求垂直轴中的最大弯曲应力。 解:求惯性力Fg
200
Fg man mrw 2 1 0.1 10p N 98.6 N
2
B FAx 69 N M Fg － FBx FBy 29.6N ＋
第20章 动载荷与交变应力
图20-1（a）
1.2 构件做匀加速直线运动时的应力计算
如图 20-1（b）所示，取垂直段吊索与重物为研究对象，应用动静法，可以得出 W
FNd W g a 0
则吊索截面上的动应力 σd 为
σd
FNd A
W A
1
a
g
令 σj
W A
，则有
σd
σj
1
a g
式中， σ j 为吊索在静载荷 W 作用下的静应力。
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
下面结合构件受到自由落体冲击时的应力计算进行说明。 如图 20-2 所示，物体的重力为 W，由高度 h 处自由下落，冲击下面的直杆，使杆发生轴向压 缩变形。
图20-2
图20-2
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
当物体自由下落时，其初速度为零；冲击直杆后，其速度仍为零，而此时杆的受力从零增加
W (h
δd )
1W 2
δd 2 δj
从而得出 δd2 2δ jδd 2hδ j 0
可以解得
δd 1
1
2h δj
δj
由于要求直杆受到冲击时的最大压缩量，因此，上式中根号前应取正号，即
δd 1
1
2h δj
δj
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
令 kd 1
1 2h ，则有 δj
由于冲击过程总是在很短的时间内完成，冲击物的加速度难以确定，因此无法引用惯性力来 计算构件的动应力。工程上一般采用近似能量法计算构件受到冲击时的应力，并对冲击问题作出 如下假设。
（1）冲击过程中，没有能量损失。 （2）构件的质量较小，可以忽略不计。 （3）构件受到冲击时，材料仍服从胡克定律，即其力学性能是线弹性的。
1.2 构件做匀加速直线运动时的应力计算
如图 20-1（b）所示，取垂直段吊索与重物为研究对象，应用动静法，可以得出 W
FNd W g a 0
则吊索截面上的动应力 σd 为
σd
FNd A
W A
1
a
g
令 σj
W A
，则有
σd
σj
1
a g
式中， σ j 为吊索在静载荷 W 作用下的静应力。
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
下面结合构件受到自由落体冲击时的应力计算进行说明。 如图 20-2 所示，物体的重力为 W，由高度 h 处自由下落，冲击下面的直杆，使杆发生轴向压 缩变形。
图20-2
图20-2
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
当物体自由下落时，其初速度为零；冲击直杆后，其速度仍为零，而此时杆的受力从零增加
W (h
δd )
1W 2
δd 2 δj
从而得出 δd2 2δ jδd 2hδ j 0
可以解得
δd 1
1
2h δj
δj
由于要求直杆受到冲击时的最大压缩量，因此，上式中根号前应取正号，即
δd 1
1
2h δj
δj
1.3 构件受到自由落体冲击时的应力计算
令 kd 1
1 2h ，则有 δj
由于冲击过程总是在很短的时间内完成，冲击物的加速度难以确定，因此无法引用惯性力来 计算构件的动应力。工程上一般采用近似能量法计算构件受到冲击时的应力，并对冲击问题作出 如下假设。
（1）冲击过程中，没有能量损失。 （2）构件的质量较小，可以忽略不计。 （3）构件受到冲击时，材料仍服从胡克定律，即其力学性能是线弹性的。
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D qd 1 A 2
2
D
y qd
x FNd
FNd
FNd
FNd 2 D 2 d 4 A
1 D AD 2 2 qd d sin 2 0 2 4
强度条件
构件受冲击时的应力和变形
构件受冲击时的应力和变形
当运动着的物体作用到静止的物体上时，在相互接触的极短 时间内，运动物体的速度急剧下降为零；从而使静止的物体受到 很大的作用力，这种现象——冲击。 W 冲击中的运动物体——冲击物。 静止的物体——被冲击构件。 h
匀速转动时的应力
构件受冲击时的应力和变形
交变应力和疲劳破坏
交变应力和疲劳破坏
交变应力—构件内随时间作周期性交替变化的应力。
W
FH
最小位移位置
静平衡位置
最大位移位置
应力随时间变化 的曲线——应力谱
O
t
F
d
a
l
F
3
d
2
i
1
y
a
4
（a）
Fa
（ c）
O
应力循环
max
min
t
M图
应力循环
max
最大应力和最小应力的差值 ——交变应力的应力幅 。
max
max min
o
min
t
应力谱
当σmax 减小到某一限值时，虽经“无限多次” 应力循环，材料仍不发生疲劳破坏，这个应力限 值——材料的持久极限（疲劳极限）σr 。 对称循环特征下的 疲劳极限 σ-1 是衡量材 料疲劳强度的一个基本 指标。
（ b）
（d）
例：图示圆轴直径为d，轴不旋转，载荷F大小不变，仅 其作用点的位置沿跨中截面的圆周作连续移动（F方向 始终指向圆心）。试求跨中截面a点的max ，min ，循环 特征r和应力幅。 F
l/2 z l/2 a
8Fl d 3
解答： max
8Fl 3 d
min
W
h v d l
EA
d 2 st d 2 st h 0
2h st kd st d 1 1 st
2
Fd k dW
d k d st
2h kd 1 1 st
——竖向冲击动荷因数
一、竖向冲击
一般金属材料的 疲劳断口，都有明显 的光滑区域和颗粒状 区域。
光滑区域
传动轴的疲劳失效
弹簧的疲劳失效
疲劳 源
交变应力的特征和疲劳极限
应力每重复变化一次——一个应力循环。
应力重复的次数——循环次数N。 应力循环中最小应力与最大应力之比 ——交变应力的循环特征 r。 min r
max
疲劳试验装置
（ 1 ） 弯
O
N1
N0
N
汽车的疲劳试验装置
d kd st 13.5MPa
d kd st 87MPa
例：图示结构中两杆件均为Q235钢，AB杆横截面为边长 100mm的正方形， BC杆横截面为直径为20mm的圆截
面，杆长均为1m。重物重为FW。 a. 当重物由高度h处自由下落冲击梁B处，试求kd （不考虑 BC的稳定性问题）； FW b. 使BC杆轴力达到临界力时的高度h。 h B A
C
二、水平冲击
d
W
v
a
st
A
A
A
l
Fd
W
（a）
（ b）
（ c）
水平冲击动荷因数：
kd
v2 g st
Fd k dW
d k d st
d k d st
△st——将冲击物的重量W 作为静
载，水平作用于被冲击构件冲击点处， 构件在冲击点沿水平方向的静变形。
构件作匀加速直线平动和
v=0
冲后
v l
冲前
假设：
（1）冲击物为刚体，且不反弹； （2）忽略被冲击构件的质量；
EA
（3）冲击过程中被冲击构件的材料仍服从虎克定律。 （4）不考察冲击过程中次要的能量耗散（如声能、热能等）。
一、竖向冲击
T V V
1 Wh W d Fd d 2 Wl Fd l d 记 st EA EA
l/2
h B A
l/2
C
l/2
B
解：
st
Pl3 st 8.27105 m 48EIz
2h kd 1 1 35.8 st
Pl 2.43MPa 4Wz
Pl 3 P st 5.08 103 m 48 EI 2k
2h kd 1 1 5.55 st
y
r 1
16Fl d 3
由于材料的不均匀性，或有杂质等缺陷，构件在受载后，这 些部位将产生应力集中；在交变应力中反复作用下，这些部位产 生细微裂纹，并不断扩展形成宏观裂纹，导致构件的有效截面逐 渐减小，当截面削弱到一定程度时，构件沿此截面突然断裂。 疲劳源 火车轮轴的疲劳断口 颗粒状区域
概
述
动荷载——指随时间作显著 变化的荷载或着构件速度发 生显著变化而产生的荷载。 交变应力——构件内随时间作 周期性交替变化的应力。 疲劳破坏——构件长期在交变 F 应力作用下，即使最大工作应 应力 力远低于材料的屈服强度，且 a 无明显的塑性变形，却往往会 发生骤然断裂。
F
d
l
a
Fa
M图
构件作匀加速直线平动和 匀速转动时的应力
a
W
FNd
W a (W a ) Fra bibliotek W (1 ) g g
动荷因数 强度条件：
FNd W a d (1 ) A A g
W a g
d max kdst max
二、匀速转动的构件 一匀速转动的飞轮， 材料密度为，轮缘横 截面积为A，试分析轮 缘上的动应力。
例：同样的两根钢梁，受重为P的重物冲击，其中一梁支于刚性
支座上，另一梁支于刚度系数k=105N/m的弹性支座上。已知l=3m, h=0.05m, P=1kN, Iz=3.410-5 m4, Wz=3.09 10-4m3 , E= 200 Gpa。 试求二者的最大冲击应力。
P P
A
l/2
h C
构件受冲击时的应力和变形
交变应力和疲劳破坏
构件作匀加速直线平动 和匀速转动时的应力
一、构件作匀加速直线平动时的应力
一桥式起重机，以匀加速度a起吊重为W的物体。若钢索横 截面积为A，不计自重，试分析钢索横截面上的动应力。 x
l 2 l 2
FNd
x
d k d st
a
W
a kd 1 g
2h kd 1 1 st
W
——竖向冲击动荷因数 v d
h
st
是将冲击物重量W 以静载方式
作用在被冲构件的冲击点处，在构件冲击点处 冲击点 沿冲击方向所产生的 静变形。 沿冲击方向 静变形
l
EA
Fd k dW
d k d st
d k d st
关于kd的讨论：
2h kd 1 1 st
1、当h = 0 时， kd = 2。表明构件的动应力和动变形都是 静荷载作用下的两倍。这种荷载——突加荷载。 2、当h △st 时，动荷因数近似为 kd = 3、当冲击物体自由下落、h=v2/2g ，
kd 1 v2 1 g st
2h st
2
D
y qd
x FNd
FNd
FNd
FNd 2 D 2 d 4 A
1 D AD 2 2 qd d sin 2 0 2 4
强度条件
构件受冲击时的应力和变形
构件受冲击时的应力和变形
当运动着的物体作用到静止的物体上时，在相互接触的极短 时间内，运动物体的速度急剧下降为零；从而使静止的物体受到 很大的作用力，这种现象——冲击。 W 冲击中的运动物体——冲击物。 静止的物体——被冲击构件。 h
匀速转动时的应力
构件受冲击时的应力和变形
交变应力和疲劳破坏
交变应力和疲劳破坏
交变应力—构件内随时间作周期性交替变化的应力。
W
FH
最小位移位置
静平衡位置
最大位移位置
应力随时间变化 的曲线——应力谱
O
t
F
d
a
l
F
3
d
2
i
1
y
a
4
（a）
Fa
（ c）
O
应力循环
max
min
t
M图
应力循环
max
最大应力和最小应力的差值 ——交变应力的应力幅 。
max
max min
o
min
t
应力谱
当σmax 减小到某一限值时，虽经“无限多次” 应力循环，材料仍不发生疲劳破坏，这个应力限 值——材料的持久极限（疲劳极限）σr 。 对称循环特征下的 疲劳极限 σ-1 是衡量材 料疲劳强度的一个基本 指标。
（ b）
（d）
例：图示圆轴直径为d，轴不旋转，载荷F大小不变，仅 其作用点的位置沿跨中截面的圆周作连续移动（F方向 始终指向圆心）。试求跨中截面a点的max ，min ，循环 特征r和应力幅。 F
l/2 z l/2 a
8Fl d 3
解答： max
8Fl 3 d
min
W
h v d l
EA
d 2 st d 2 st h 0
2h st kd st d 1 1 st
2
Fd k dW
d k d st
2h kd 1 1 st
——竖向冲击动荷因数
一、竖向冲击
一般金属材料的 疲劳断口，都有明显 的光滑区域和颗粒状 区域。
光滑区域
传动轴的疲劳失效
弹簧的疲劳失效
疲劳 源
交变应力的特征和疲劳极限
应力每重复变化一次——一个应力循环。
应力重复的次数——循环次数N。 应力循环中最小应力与最大应力之比 ——交变应力的循环特征 r。 min r
max
疲劳试验装置
（ 1 ） 弯
O
N1
N0
N
汽车的疲劳试验装置
d kd st 13.5MPa
d kd st 87MPa
例：图示结构中两杆件均为Q235钢，AB杆横截面为边长 100mm的正方形， BC杆横截面为直径为20mm的圆截
面，杆长均为1m。重物重为FW。 a. 当重物由高度h处自由下落冲击梁B处，试求kd （不考虑 BC的稳定性问题）； FW b. 使BC杆轴力达到临界力时的高度h。 h B A
C
二、水平冲击
d
W
v
a
st
A
A
A
l
Fd
W
（a）
（ b）
（ c）
水平冲击动荷因数：
kd
v2 g st
Fd k dW
d k d st
d k d st
△st——将冲击物的重量W 作为静
载，水平作用于被冲击构件冲击点处， 构件在冲击点沿水平方向的静变形。
构件作匀加速直线平动和
v=0
冲后
v l
冲前
假设：
（1）冲击物为刚体，且不反弹； （2）忽略被冲击构件的质量；
EA
（3）冲击过程中被冲击构件的材料仍服从虎克定律。 （4）不考察冲击过程中次要的能量耗散（如声能、热能等）。
一、竖向冲击
T V V
1 Wh W d Fd d 2 Wl Fd l d 记 st EA EA
l/2
h B A
l/2
C
l/2
B
解：
st
Pl3 st 8.27105 m 48EIz
2h kd 1 1 35.8 st
Pl 2.43MPa 4Wz
Pl 3 P st 5.08 103 m 48 EI 2k
2h kd 1 1 5.55 st
y
r 1
16Fl d 3
由于材料的不均匀性，或有杂质等缺陷，构件在受载后，这 些部位将产生应力集中；在交变应力中反复作用下，这些部位产 生细微裂纹，并不断扩展形成宏观裂纹，导致构件的有效截面逐 渐减小，当截面削弱到一定程度时，构件沿此截面突然断裂。 疲劳源 火车轮轴的疲劳断口 颗粒状区域
概
述
动荷载——指随时间作显著 变化的荷载或着构件速度发 生显著变化而产生的荷载。 交变应力——构件内随时间作 周期性交替变化的应力。 疲劳破坏——构件长期在交变 F 应力作用下，即使最大工作应 应力 力远低于材料的屈服强度，且 a 无明显的塑性变形，却往往会 发生骤然断裂。
F
d
l
a
Fa
M图
构件作匀加速直线平动和 匀速转动时的应力
a
W
FNd
W a (W a ) Fra bibliotek W (1 ) g g
动荷因数 强度条件：
FNd W a d (1 ) A A g
W a g
d max kdst max
二、匀速转动的构件 一匀速转动的飞轮， 材料密度为，轮缘横 截面积为A，试分析轮 缘上的动应力。
例：同样的两根钢梁，受重为P的重物冲击，其中一梁支于刚性
支座上，另一梁支于刚度系数k=105N/m的弹性支座上。已知l=3m, h=0.05m, P=1kN, Iz=3.410-5 m4, Wz=3.09 10-4m3 , E= 200 Gpa。 试求二者的最大冲击应力。
P P
A
l/2
h C
构件受冲击时的应力和变形
交变应力和疲劳破坏
构件作匀加速直线平动 和匀速转动时的应力
一、构件作匀加速直线平动时的应力
一桥式起重机，以匀加速度a起吊重为W的物体。若钢索横 截面积为A，不计自重，试分析钢索横截面上的动应力。 x
l 2 l 2
FNd
x
d k d st
a
W
a kd 1 g
2h kd 1 1 st
W
——竖向冲击动荷因数 v d
h
st
是将冲击物重量W 以静载方式
作用在被冲构件的冲击点处，在构件冲击点处 冲击点 沿冲击方向所产生的 静变形。 沿冲击方向 静变形
l
EA
Fd k dW
d k d st
d k d st
关于kd的讨论：
2h kd 1 1 st
1、当h = 0 时， kd = 2。表明构件的动应力和动变形都是 静荷载作用下的两倍。这种荷载——突加荷载。 2、当h △st 时，动荷因数近似为 kd = 3、当冲击物体自由下落、h=v2/2g ，
kd 1 v2 1 g st
2h st