专题四一次不等式(组)的综合运用

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2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-一元一次不等式(组)(解析版)

专题10一元一次不等式(组)【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)不等式或组不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变解法①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.一元一次不等式组定义一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.解法先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。

四种不等式组(a<b)解集图示口诀【注意】1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。

2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。

3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。

2.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。

2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；(7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】基本不等式组的解集⎩⎨⎧≥≥b x a x x ≥b 大大取大⎩⎨⎧≤≤b x a x x ≤a 小小取小⎩⎨⎧≤≥bx a x a ≤x ≤b 大小小大中间找⎩⎨⎧≥≤b x a x 无解大大小小解不了技巧1：一元一次不等式组的解法技巧【类型】一、解普通型的一元一次不等式组12x ＜6，－2≤0的解集，在数轴上表示正确的是()2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．（x ＋2），①＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是()A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________．5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解．6．解不等式|3x －12|≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由|3x －12|≤4，得－4≤3x －12≤4.－4，①②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：－6＞0，＋1＜0或＜0，＋1＞0.解(Ⅰ)＞2，＜－12.∴此不等式组无解．解(Ⅱ)＜2，＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2；(2)4x －13－x ＞1；(3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x 5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)．①去括号，得20－15x －1＜21＋15x.②移项，合并同类项，得－30x ＜2.③系数化为1，得x ＞－115.④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5＋3y ＝10，－3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来．【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围．8．关于x 的两个不等式①3x ＋a 2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值；(2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．参考答案1．解：(1)x＞13x－2，23x＞－2，x＞－3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x－13－x＞1，4x－1－3x＞3，x＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x＋13≥2(x＋1)，x＋1≥6x＋6，－5x≥5，x≤－1.2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．去括号，得20－15x－15＜21＋15x.移项，合并同类项，得－30x＜16.系数化为1，得x＞－8 15 .3．解：移项，合并同类项得，(a－1)x＞2，当a－1＞0，即a＞1时，x＞2a－1；当a－1＝0，即a＝1时，x无解；当a－1＜0，即a＜1时，x＜2a－1.4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：2x ＋3y ＝10，－3y ＝2，＝2，＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13，去括号，得9－3x ＋1＜13，移项，合并同类项，得－3x ＜3，系数化为1，得x ＞－1.在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m 3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是()A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22＋y ＝－7－a ，－y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围；(2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围．【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5－a ＜1，－2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6＞2，＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为()A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87－a ≥0，－b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8－1＞0，－a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．91＜a ①，＋5＞x －7②有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．B2．解：(1)＝－3＋a ，＝－4－2a.∵x 为非正数，y 3＋a ≤0，4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3.(2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ＋b ＝－3，3a ＋b ＝13，＝－4，＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y 4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．－a ＜1.①，－2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9.6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b 3.∵不等式组仅有整数解1，2，3，∴0＜a 2≤1，3＜b 3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12.∵a，b为整数，∴a＝1，2，b＝10，11，12. 8．a≤19．＋1＜a①，＋5＞x－7②，解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，则a－1＞－6，a＞－5.【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2-3【详解】解：由题意得：130 x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式①得:x>1+a,解不等式②得:x≤3 b-不等式组的解集为:1+a＜x≤3b- 不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为:-2,-3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（）.A ．m ＞3B ．m≥3C ．m≤3D ．m ＜3【答案】C【解析】详解：841x x x m +<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解②得，x>m ，∵不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m ⩽3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 1005 120x x -+>，15 220x >，解得：443x >，根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（）．A ．2121m n -+>-+B ．1144m n ++>C ．m a n b+>+D ．am an-<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、∵m >n ，∴-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意；B 、∵m >n ，∴m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意；C 、∵m >n ，∴m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、∵m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900，故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．【详解】由30x +>得：3x >-由50x -≤得：5x ≤∴35x -<≤故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键．4．不等式3﹣x ＜2x +6）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．【详解】解：326x x -<+，移项得362x x -<+，合并同类项得33x -<，系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A．故选：A．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A，B两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A种西瓜__________kg．名称A B批发价（元/kg）43零售价（元/kg）64【答案】120【分析】设批发A种西瓜x kg，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A种西瓜x kg，则（6-4）x+120043x-×（4-3）≥1200×40%，解得x≥120．答：该超市至少批发A种西瓜120kg．故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．7．不等式2103x--<的解集为____．【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．【详解】解：去分母，得：230x --<，移项，得：23x <+，合并同类项，得：5x <．∴不等式的解集为：5x <．故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意∶不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥，解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-，∵3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥，∴不等式组的解集是：3x ≥．在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；②将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴Ⅱ；③平移数轴Ⅱ使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧．则整数k 的最小值为（）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A 【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解．【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧，∴k ⋅AC AB >，即42042k >，解得15102k >， k 为正整数，∴k 的最小值为511，故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -，移项，得：3+2<1x x -，合并同类项，得：<1x -，系数化为1，得>1x -，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b +=．则下列结论正确的是（）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c=【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b +=，得出c b ＜；B.根据112a c b+=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b +=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断．【详解】A.∵0a b ＞＞，∴11a b＜，∵112a c b+=，∴11c b，∴c b ＜，故A 错误；B.∵112a c b +=，即2a c ac b+=，∴()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，∴a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（）A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D 【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8，解不等式②得：y ≤a ，∴原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ，∵不等式组至少有3个整数解，∴a ≥﹣5，1133x a x x++=--，去分母得∶1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a -=，∵分式方程有非负整数解，∴x ≥0（x 为整数）且x ≠3，∴42a -为非负整数，且42a -≠3，∴a ≤4且a ≠﹣2，∴符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4，∴符合条件的所有整数a 的和是：2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（）A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c=-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数，则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得37711c ≤≤，∴3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c＝﹣2+3c ，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >-【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得．【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ，解得，254m >-，故答案为：254m >-．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算．7．若关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________．【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：关于x 的分式方程232x m x -=-的解为：x ＝6−m ，∵分式方程有可能产生增根2，∴6−m ≠2，∴m ≠4，∵关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，∴6−m ≥0，解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4．故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元．①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式.②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解.（1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元.依题意得100100510x x =++.解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；（2）解：① “神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.② 购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13.()12003a a ∴≤-.解得：50a ≤.51000w a =+ .50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②，解不等式①，得1x ≥-，解不等式②，得>7x -，∴该不等式组的解集为1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。

中考数学精讲篇专题突破四含参数的方程(组)、不等式(组)的综合问题

专题四含参数的方程 (组)、不等式(组)的综合
问题
(必考)
x－m
1．如果关于 x 的不等式组
2
≥2，
的解集为 x≥1，且关于 x 的
x－4≤3（x－2）
方程m－（13－x）＝x－2 有非负整数解，则所有符合条件的整数 3 个 C．4 个 D．5 个
x≥4＋m，【解析】不等式组整理得x≥1，由不等式组的解集为 x≥1，得到 m ＋4≤1，即 m≤－3，方程去分母得 m－1＋x＝3x－6，解得 x＝m＋2 5，由方程有非负整数解，得到 m＝－5 或－3，则符合条件的整数 m 的值有 2 个．故选：A.
解分式方程yy＋－2a＝3，得 y＝－a＋2 6，∵分式方程的解为负数，∴－a＋2 6＜
a＋6 0，且－ 2 ≠－2，∴－6＜a＜－1，且 a≠－2，则整数 a 的值为－5，
－4，－3，共 3 个．故选：B.
x－a>2， 3．(2021·合川区模拟)若整数 a 使关于 x 的不等式组x－3a＜－2无解，且使关于 x 的分式方程xa－x5－5－5 x＝－3 有正整数解，则满足条件的 a 的
y＞－2， ≠2，即 a≤7 且 a≠3，不等式组整理得：y≤a，即－2＜y≤a，∵不等式组至少有 3 个整数解，∴a≥1，综上，a 的范围为 1≤a≤7 且 a≠3，即 a＝1，2，4，5，6，7，则满足条件的 a 之和为 1＋2＋4＋5＋6＋7＝ 25.故选：B.
8．若关于 x 的二次函数 y＝－x2＋(a－3)x－3，当 x≥0 时，y 随 x 的增
x＋1 2x＋5
方程有增根，∴y＝1 或－1，∴a－3＝0，∴a＝3.由
2
≤
6
，可得
x＋1＞a＋b，
x≤2，b＋2<x≤2，∴b<0.∵不等式组有不超过 3 个整数解，∴－1≤b＋

中考数学专题04 代数之不等式(组 )问题(含解析)

专题04 代数之不等式（组）问题中考数学压轴题中不等式（组）问题较少，主要有含参数的不等式（组）问题，新定义的应用形成的不等式（组）问题，它们出现在选择和填空题中。

一、含参数的不等式（组）问题：1. 若关于x 的不等式2x m <03-恰好只有5个正整数解，则m 的取值范围是。

【答案】10<m 43≤。

【考点】一元一次不等式的整数解。

2. 如果关于x 的不等式组：⎩⎨⎧≤-≥-0203b x a x ，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对[a ，b]共有个。

【答案】6.【解析】∵整数解仅有1，2，∴0＜3a ≤1，2≤2b ＜3，解得：0＜a ≤3，4≤b ＜6，∴a=1，2，3，b=4，5，∴整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）共有3×2=6个. 考点：一元一次不等式组的整数解．二、新定义的应用形成的不等式（组）问题：3. 定义：对于实数a ，符号[a]表示不大于a 的最大整数．例如：[5．7]=5，[5]=5，[-π]=-4．（1）如果[a]=-2，那么a 的取值范围是 ___________．（2）如果321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，满足条件的所有正整数x 有____________．【答案】-3≤a ≤-2 5,6【解析】4. 阅读理解：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n 为非负整数时，如果11n x <n 22-?，则<x>＝n 。

如：<0>＝<0.49>＝0，<0.64>＝<1.393>＝1，<3>＝3，<2.5>＝<3.12>＝3，…试解决下列问题：（1）填空：如果<3x －2>＝4，则实数x 的取值范围为；（2）当x 0³，m 为非负整数时，求证：x m m x +=+；（3）求满足71x x 52=-的所有非负实数x 的值；【答案】（1）1113x <66≤。

2024年中考数学复习专题课件(共30张PPT)一元一次不等式(组)及其应用

解：设普通水稻的亩产量是 x kg，则杂交水稻的亩产量是 2x kg，依题意得 7 200 9 600
x － 2x ＝4，解得 x＝600，经检验，x＝600 是原分式方程的解，且符合题意，则 2x＝2×600＝1 200(kg)．答：普通水稻的亩产量是 600 kg，杂交水稻的亩产量是 1 200 kg.
__00__.
6．[2023·贵州第 17(2)题 6 分]已知 A＝a－1，B＝－a＋3.若 A>B，求 a 的取值范围．解：由 A>B 得 a－1>－a＋3，解得 a>2，即 a 的取值范围为 a>2.
7．[2021·贵阳第 17(1)题 6 分]有三个不等式 2x＋3＜－1，－5x＞15， 3(x－1)＞6，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集．
4．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞，该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过 30 t 的车辆禁止通行，现有一辆自重 8 t 的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件组成，这种设备必须成套运输，已知 1 个 A 部件和 2 个 B 部件的总质量为 2.8 t，2 个 A 部件和 3 个 B 部件的质量相等． (1)求 1 个 A 部件和 1 个 B 部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
解：(1)设出售的竹篮 x 个，陶罐 y 个，依题意有 5x＋12y＝61， x＝5， 6x＋10y＝60，解得y＝3. 答：小钢出售的竹篮 5 个，陶罐 3 个．
(2)设购买鲜花 a 束，依题意有 0＜61－5a≤20，解得 8.2≤a＜12.2， ∵a 为整数， ∴共有 4 种购买方案，方案一：购买鲜花 9 束；方案二：购买鲜花 10 束；方案三：购买鲜花 11 束；方案四：购买鲜花 12 束．

初中数学重点梳理：一元一次不等式(组)

一元一次不等式（组）知识定位不等式是一个比较重要的知识点，难度不是很大，在理解的基础上，使用适当的技巧即可解决。

知识梳理一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。

（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。

2、不等式的性质：（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b（2）a – b=0⇔a=b（3）a–b ＜0⇔a ＜b4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >（2）a ＞b ＞0⇔22b a <二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

2020年中考备考数学专题复习--第1部分第2章第9节一次不等式(组)及其应用

A
B
C
D
3.[2019 包头，14]已知不等式组2x－x＋k9>>1－6x＋1，的解集为 x＞－1，则 k 的取值范围是_k_≤_－__2___.
2x＋a＞0， 4.[2018 呼和浩特，15]若不等式组21x＞－a4＋1 的解集中的任意 x，都能使不等式 x－5＞0 成立，则 a 的取值范围是_a_≤_－__6___.
2 结合题意填空，完成本题的解答.
【自主解答】 (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来：
例 1 题图 (4)原不等式组的解集为________________； (5)原不等式组的整数解的个数为____________.
2 x＋1 >x①，
解：
1－2x≥x＋7②， 2
解①得 x＞－2，解②得 x≤－1，
在数轴上表示出不等式组的解集如答图．
. 例 1 题答图故不等式组的解集为－2＜x≤－1，不等式组的整数解为－1，∴整数解的个数为 1 个．
【巩固训练】 1.[2019 呼和浩特一模]已知实数 m 是一个不等于 2 的常
性质2
以)同一个正数，不等号的方向不变
②__>_bc或ac③ >
b c
不等式两边都乘(或除
若a>b，c<0，则
性质3 以)同一个负数，不等号 ac④__<____ bc
的方向改变
或ac⑤
<
b c
一元一次不等式的解法及其解集表示（2017.21）
1.解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1(注意不等号的方向是否改变).

培优专题(四) 一次函数与方程、不等式的实际应用问题

数学
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2．某市出租车计费方法如图1所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下列问题：
图1 (1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数解析式；
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(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．
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8．[2014· 番禺]某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．已知每件商品的销售提成方案二比方案一少7元．设销售人员月销售x件商品时的月工资为y元．如图4，l1表示方案一中y与x
函数关系的图象，l2表示方案二中y与x函数关系的图象．解答
(2)若某人计划在商场购买价格为5880元的电视机一台，请分析选哪种方案更省钱．解：(1)方案一：y＝0.95x；方案二：y＝0.9x＋300； (2)∵0.95×5880＝5586(元)，0.9×5880＋300＝5592(元)，∴选择方
案一更省钱．
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设按计划全部售出后的总利润为y百元，其中批发量为x吨，且加工销售量为15吨．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润．
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解： (1)依题意可知零售量为 (25－ x)吨，则 y＝ 12x＋ 22(25－ x)＋ 30×15， ∴ y＝－ 10x＋ 1 000； (2)依题意有： x≥ 0， 25－ x≥0，解得：5≤x≤25， 25－ x≤4x， ∵－ 10＜ 0，∴ y 随 x 的增大而减小． ∴当 x＝ 5 时， y 有最大值，且 y 最大值＝ 950. ∴最大利润为 950 百元．

中考数学_三年经典中考压轴题专题4：代数之不等式组(组)问题

三年经典中考压轴题专题4：代数之不等式组（组）问题一、选择题1. （2014年内蒙古包头、乌兰察布3分）关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 0+-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2＞0，x 1x 2＞0，则m 的取值范围是【】 A. 1m 2≤ B. 1m 2≤且m≠0 C. m ＜1 D. m ＜1且m≠0 【答案】B ．【考点】1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程根与系数的关系；3.解一元一次不等式组．2. （2014年四川德阳3分）已知方程3a 1a a 44a --=--，且关于x 的不等式组x a x b ≥⎧⎨≤⎩只有4个整数解，那么b 的取值范围是【】A ．﹣1＜b≤3B ．2＜b≤3C ．8≤b ＜9D ．3≤b ＜4【答案】D.【考点】1.解分式方程；2.一元一次不等式组的整数解．故选D.3.（2013年山东潍坊3分）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若x 4510+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是【】. A.40 B.45 C.51 D.564. （2012江苏常州2分）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a cb d<，给出下列四个不等式： ①a c a+b c+d <；②c a c+d a+b <；③d b c+d a+b <；④b d a+b c+d <。

其中不等式正确的是【】A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③二、填空题1. （2014年江苏镇江2分）读取表格中的信息，解决问题. n=1 1a 223=+ 1b 32=+ 1c 122=+ n=2a 2=b 1+2c 1 b 2=c 1+2a 1 c 2=a 1+2b 1 n=3a 3=b 2+2c 2 b 3=c 2+2a 2 c=a 2+2b 2 …… … … 满足()n n na b c 201432132++≥⨯-++的n 可以取得的最小整数是．【答案】7．【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2. 二次根式化简；3.不等式的应用．2.（2013年浙江台州5分）任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[][]13,44==，现对72进行如下操作：1727288221⎡−−−→=−−−→=−−−→=⎣第次第2次第3次，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .3. （2013年宁夏区3分）若不等式组x a 012x x 2+≥⎧⎨--⎩＞有解，则a 的取值范围是．4.（2013年四川乐山3分）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n 为非负整数．．时，若11n x n 22<-≤+，则<x>＝n ，如<0.46>=0，<3.67>=4。

专题四：不等式及其运用

1 n−2 n 2 n−4 n n−2 n n−4
Байду номын сангаас
例2.已知数列{an }满足 an +1 n ∈ N , 首项为 a0 .
4 an - 2 = .其中 an + 1
(1)若数列{an }是一个无穷的常数列，试求 a0的值；
4x - 2 2 解析：令 (1) = x，则 x - 3 x + 2 = 0, x +1 ∴ x = 1 or x = 2, 即a0 = 1或 2时， an +1 4 an - 2 = = an为常数列。 an + 1
第七讲：第七讲：不等式的性质与证明
不等式的性质是不等式的基础，不等式的性质是不等式的基础，是解不等式是不等式的基础证明不等式的重要依据。证明不等式的重要依据。考纲要求理解不等式的性质，掌握两个正数的算术平均数不小式的性质，掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的运于它们的几何平均数的定理，用。要求熟练掌握不等式的性质并能对 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行熟练运用。进行熟练运用。 ± 进行熟练运用不等式的证明方法多样灵活涉及到函数方法多样灵活，函数、不等式的证明方法多样灵活，涉及到函数、方程、数列、导数、三角等诸知识，方程、数列、导数、三角等诸知识，运用到不等式的性质、不等式的证明技巧和相关的不等式的性质、知识的运用。知识的运用。
a0∈(1,2)
例3.在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d (米)与车速v(千米 / 小时)需遵循的关 1 系是d ≥ av 2 .(其中a(米)是车身长，a是常量），同 2500 a 时规定d ≥ . 2 a (1)d = 时，求机动车车速的变化范围； 2

专题04 一次方程(组)及其应用-备战2022年中考数学题源解密(解析版)

专题04 一次方程（组）及其应用考向1 一次方程（组）及其解法【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．【母题来源】（2021·浙江嘉兴）【母题题文】已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，当y＝1时，x＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【解答】解：，把①代入②得：2y﹣y＝6，解得：y＝6，把y＝6代入①得：x＝12，则方程组的解为．【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝3，即x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为．【试题分析】以上中考真题主要考察了一元一次方程与二元一次方程组的解法步骤以及二元一次方程的多解问题；【命题意图】一次方程（组）的解法是对等式基本性质的熟悉程度的检验，也是后续方程求解的基础，准确掌握一元一次方程以及二元一次方程组的解法，是考生拿到此考点分值的重点；【命题方向】一次方程（组）的解法在浙江中考中占比不大，分值在0~6分，个别城市几乎不会单独出题，出题也基本在选择或者填空题的前半部分，属于难度较小的一类题。

中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)

中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）；（3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有未知数，且未知数的次数是且系数的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、、移项、、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或b x a <）；当0a <时，b x a <（或b x a>）；当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为。

专题四不等式证明的五大方法

所以 a+b=2Rsin A+2Rsin B=2R[sin A+sin (
2π -A)] 3
=2R(sin A+ c=2Rsin
3 1 π cos A+ sin A)=2 3 Rsin (A+ )≤2 3 R, 2 6 2
π = 3 R,所以 a+b≤2c. 3
数学
(2)已知a2+b2=1,x2+y2=4,求证:|ax+by|≤2. 思路点拨:(2)三角换元后,利用三角函数的有界性放缩.
数学
方法总结使用不等式的性质放缩不等式中项,使之能够产生裂项相消的部分是证明与正整数的和式有关的不等式的基本思考途径.
数学
方法四
反证法
1 【例 6】已知 a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4 1 思路点拨:不能同时大于 ,是以否定形式给出的命题,采取反证法. 4 1 1 1 1 证明:假设三式同时大于 ,即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> , 4 4 4 4
三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c> 又(1-a)a≤(
1 .① 64
1 a a 2 1 1 1 ) = ,同理(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ . 2 4 4 4
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤
1 ,与①式矛盾,即假设不成立,故结论正确. 64
数学
方法总结反证法对已知条件较少、结论情况较多,或者结论是否定形式给出、结论是唯一性等命题的证明非常有效.
a c sin A sin B = , b sin A sin C
求证:a+b≤2c; 思路点拨:(1)使用正弦定理把求证目标化为三角函数的不等式; π a 2 b2 c 2 1 2 2 2 证明:(1)化简得 a +b -ab=c ,所以 cos C= = ,C= . 2 3 2ab

初中数学《不等式及不等式组》单元教学设计以及思维导图

不等式及不等式组适用年初一年级级所需时课内11课时+课外3课时间主题单元学习概述本章在全套教科书中，位居一次方程（组）之后。

方程（组）是讨论等量关系的数学工具，不等式（组）是讨论不等关系的数学工具。

两者既有联系又有差异。

在认识一次方程（组）的基础上，通过类比方式接受新知识——一元一次不等式（组），充分发挥了心理学所说的正向迁移的作用，可以起到温故而知新的效果。

本章的主要内容包括：不等式及其解集，不等式的性质，一元一次不等式（组）及其相关概念，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示，利用一元一次不等式分析与解决实际问题。

其中，以不等式为工具分析、解决问题是重点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式性质是基础；一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能。

本章注重体现列不等式中蕴含的建模思想和解不等式中蕴含的划归思想。

本章的主体思路是：不等式——一元一次不等式——一元一次不等式组，由浅入深，由一般到特殊，层层递进，符合学生的认知规律。

在本章中教材安排了一些具有代表性的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料，实际问题贯穿全章，对不等式概念及其应用的讨论，都是在建立和运用不等式这种数学模型的过程中进行的。

这样编排有利于吸引学生的有效注意，也有利于激发学生的学习兴趣，同时也有利于突破“不等式应用”这一难点。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1、了解不等式及不等式组的相关概念。

2、会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组。

3、会用数轴确定和表示不等式（组）的解集。

过程与方法：1、通过一元一次不等式（组）的解法，体会解法中蕴含的划归思想。

2、通过用数轴确定、表示不等式（组）的解集，初步感受数形结合思想。

3、通过对比、观察和归纳，探索不等式的性质，了解解一元一次不等式的基本目标，熟悉解一元一次不等式（组）的基本步骤。

人教版七下数学第18讲方程(组)与不等式(组)的综合(学生版)

第18讲方程（组）与不等式(组)的综合第一部分专题高频考点+针对训练类型一一元一次方程与不等式的综合典例1 若关于x的方程222x m xx---=的解是非负数，求m的取值范围。

典例2 若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为．针对训练11．关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是（）A．a＜－4B．a＞5 C．a＞－5 D．a＜－52．若关于x的不等式ax－3＞0的解集是x＜－1，则a的值是________．3．关于x的方程2233x m xx---=的解是非负数，求正整数m的值。

类型二二元一次方程组与一元一次不等式的综合典例3 已知方程组3133x y kx y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x＋y＜1，求k的取值范围.针对训练24．若关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝p ＋1，4x ＋3y ＝p －1的解满足x ＞y ，则p 的取值范围是________． 5．若关于x 、y 的二元一次方程组533x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩中，5x ＋2y 的值为负数，求m 的取值范围.类型三二元一次方程组与一元一次不等式组的综合典例4 已知关于x 、y 的方程组221243x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解是一对正数。

（1）试确定m 的取值范围；（2）化简312m m -+-针对训练36．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－7－m ，x －y ＝1＋3m 的解满足x 为非正数，y 为负数． (1)求m 的取值范围；(2)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2mx ＋x ＜2m ＋1的解集为x ＞1?7．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝a ＋3，2x ＋y ＝5a ，其中a 为常数． (1)求方程组的解；(2)若方程组的解满足x ＞y ＞0，求a 的取值范围．第二部分专题提优训练1．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝k ＋1，x ＋3y ＝3的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，若a ＋b ＞0，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞4 B ．k ＞－4 C ．k ＜4 D ．k ＜－42．若关于x 、y 的二元一次方程组3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＋y <2，则a 的取值范围是（）． A ．a >2 B ．a <2C ．a >4D ．a <4 3．已知关于x 的不等式(2－m )x ＞2的解集是x ＜22－m，则m 的取值范围是________． 4．(1)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1＋3m ，x ＋2y ＝1－m 的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围； (2)已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝4m ＋2，x －y ＝6的解满足x ＋y ＜3，求满足条件的m 的所有非负整数值．5．当m 为何整数时，关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝m ，5x ＋3y ＝13的解是非负数？6．若关于x 、y 的二元一次方程组533x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围．7.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝m ＋1，2x ＋y ＝m －1.当m 为何值时，x ＞y 且2x ＜3y?8．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝m ，2x ＋3y ＝2m ＋4的解满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤0，x ＋5y >0，求满足条件的m 的整数值．9．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－a －1，2x －y ＝－3a 的解满足x ＜0，y ＞0. (1)求a 的取值范围；(2)若2x ·8y ＝2m ，求m 的取值范围．10．若点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3a －2b －4，2x －y ＝a ＋b －8. (1)求点P 的坐标；(用含a ，b 的式子表示x ，y )(2)若点P 在第二象限，且符合要求的整数a 只有三个，求b 的取值范围；(3)若点P 在第四象限，且关于z 的不等式yz ＋x ＋4＞0的解集为z ＜23，求关于t 的不等式at ＞b 的解集．。

上海六年级数学下册同步精练专题04 一元一次不等式(组)(真题测试)(教师版)

专题04一元一次不等式（组）【真题测试】一、选择题1.（金山2018期中5）如果x ＞y ，那么下列结论中错误的是（）（A ）x 4＞y 4（B ）22x y ->-（C ）44x y +>+（D ）33x y>【答案】B ；【解析】因为x y >，所以44x y >，22x y -<-，44x y +>+，33x y>，故B 错误，因此选B.2.（浦东四署2019期中5）下列不等式的变形不正确的是（）A.若a b >，则33a b +>+；B.若a b >，则33a b -<-；C.若a b >，则0a b ->；D.若a b >，则ac bc >.【答案】D ；【解析】根据不等式性质1知A 正确；根据不等式性质1、3知B 正确；根据不等式性质1知C 正确；根据不等式性质2、3可知当0c >时，有ac bc >，若当0c <时，有ac bc <，故D 错误；因此选D.3.（金山2018期末3）如果a 、b 都是有理数（0≠⋅b a ），且b a <，那么下列结论正确的是（）（A）22b a <；（B）b a 22-<-；（C）ba 11<；（D）22a b -+>-+.【答案】D；【解析】A、如：222,1a b a b =-=>，则，故A 错误；B、根据不等式性质3，可得22a b ->-，故B 错误；C、如：111,2a b a b==>，则，故C 错误；D、根据不等式性质3和1可知22a b -+>-+，故D 正确；因此选D.4．（奉贤2018期末3）如果a b >，下列不等式正确的是（）A ．)3()3(-+<-+b aB ．b a ->-55C ．c a +3＜c b+3D ．3232+-<+-b a 【答案】D；【解析】考查不等式的性质，因为a b >，所以(3)(3)a b +->+-（性质1），故A 错误；因为a b >，所以55a b -<-（性质3、1），故B 错误；因为a b >，所以33a bc c +>+（性质2、1），故C 错误；因为a b >，所以2323a b -+<-+（性质3、1），故D 正确；因此答案选D.5.（浦东四署2019期中6）已知有理数a 、b 、c 、d ，且满足以下条件：0,0,0abcd a b cd <+=>，那么在这四个数中负数的个数至少有（）A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.【答案】A ；【解析】由0a b +=可知a 、b 中必有一个为负数，一个为正数；由0cd >可知c 、d 同号，因此在这四个数中负数的个数至少有1个，因此选A.6．（崇明2018期中2）下列不等式组中,解集在数轴上表示出来如图所示的不等式组为（）（A）⎩⎨⎧-≤>;1,2x x （B）⎩⎨⎧-≥<;1,2x x （C）⎩⎨⎧-><;1,2x x （D）⎩⎨⎧-≤<.1,2x x 【答案】B；【解析】根据图形可知，12x -≤<即21x x <⎧⎨≥-⎩.故选B.二、填空题7.（普陀2018期末12）不等式511x ->的解集是.【答案】115x <-；【解析】解不等式511x ->，得115x <-（不等式性质3）.8．（松江2018期末4）不等式组43x x ≤-⎧⎨<-⎩的解集是_______________.【答案】4x ≤-；【解析】解不等式组43x x ≤-⎧⎨<-⎩的解集是4x ≤-，规律是“小小取小”.9.（浦东四署2019期中13）不等式2541x x ->-的最大整数解是.【答案】3x =-；【解析】移项得：2451x x ->-，合并得：24x ->，系数化为1得：2x <-，故其中最大的整数解为3x =-.10．（浦东2018期末9）比较大小：如果a b <，那么23______23a b --．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】＞；【解析】因为a b <，所以33a b ->-（不等式性质3），所以2323a b ->-（不等式性质1）.11、（金山2018期末12）若23x -是非负数，那么满足题意的最小整数x 是.【答案】2x =；【解析】依题，得203x -≥，解得2x ≥，所以最小整数是2；12.（金山2018期中15）已知a 与b 两数的和是非负数，若用不等式表示，那么结果是.【答案】0a b +≥；【解析】因为a 与b 两数的和是非负数，所以用不等式表示为0a b +≥.13．（松江2019期中9）用不等式表示“x 的相反数减去3的差是一个非负数”：．【答案】30x --≥；【解析】用不等式表示“x 的相反数减去3的差是一个非负数”为30x --≥.14．（崇明2018期中11）用不等式表示“2-a 是不大于3-的数”为．【答案】23a -≤-；【解析】用不等式表示“2a -是不大于-3的数”为23a -≤-.15.（奉贤2018期末17）若不等式组412x m x m <-⎧⎨>+⎩无解，则m 的取值范围是.【答案】1m ≤；【解析】因为不等式组412x m x m <-⎧⎨>+⎩无解，故412m m -≤+，解得1m ≤.16.（金山2018期中18）关于x 的不等式(1)1b x +>-的解集是32x <-，那么关于x 的不等式2)1b x +<-（的解集为.【答案】3x <-；【解析】因为关于x 的不等式(1)1b x +>-的解集是32x <-，所以由(1)1b x +>-得11x b -<+，则1312b -=+，所以53b =-，将53b =-代入2)1b x +<-（中得113x <-，所以3x <-.三、解答题17．（浦东2018期末21）解不等式：)9(5-x ≥)1(615--x ．【解析】解：去括号，得5451566x x -≥-+，移项，得562145x x +≥+，所以6x ≥．所以，原不等式的解集为6x ≥．18.（金山2018期中26）解不等式:1015(82)x x x -<--.【答案】2x >-；【解析】解：去括号，得101582x x x -<-+，移项，得158210x x x -+<+，合并，得612x -<，系数化为1，得2x >-.所以原不等式的解集是2x >-.19.（松江2018期中25）解不等式：632412+≥--x x ，并把它的解集表示在数轴上.【答案】3x ≤；【解析】解：去分母，得243(1)2(23)x x --≥+，去括号，得243346x x -+≥+，移项整理得721x -≥-，所以3x ≤.所以原不等式的解集为3x ≤.将不等式的解集在数轴上表示如图所示：20.（宝山2018期末23）解不等式631125x x ≤--，并把不等式的解集表示在数轴上.【答案】32x ≥；【解析】解：去分母，得54(1)2x x --≤，去括号，得5442x x -+≤，移项合并，得69x -≤-，所以32x ≥.故原不等式的解集为32x ≥.用数轴表示如下图所示.21.（浦东四署2019期中23）解不等式组：26623232x x x x -≤-⎧⎪⎨++>⎪⎩；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数解.【解析】解：解不等式2662x x -≤-，得3x ≤，解不等式3232xx ++>，得1x >-，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为13x -<≤；则不等式组的整数解有0,1,2,3x =.22.（杨浦2019期中27）解不等式组1225104(3)2(1)x x x x -+⎧>⎪⎨⎪--≥-⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来.【答案】34x <≤；【解析】解：由①得：5524,5245,3x x x x x ->+->+∴>，由②得：1041222,624,4x x x x -+≥-∴-≥-∴≤.所以原不等式组的解集为34x <≤.23．（黄浦2018期末21）解不等式组：2(1)5223x x x x -<⎧⎪+⎨<+⎪⎩，．并把不等式组的解集表示在数轴上．【答案】12x -<<；【解析】解：2(1)5223x x x x -<⎧⎪+⎨<+⎪⎩，．①②，由①得2(1)x x -<，得2x <；由②得523(2)x x +<+，得1x >-；∴不等式组的解集为：12x -<<．把解集表示在数轴上如图所示．24.（宝山2018期末24）求不等式组32452113x x x ->-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的正整数解.【答案】1和2；【解析】解：32452113x x x ->-⎧⎪-⎨≤⎪⎩①②，由①得，3x <，由②得，2x ≤，解集数轴表示略，所以，原不等式的解集是2x ≤，正整数解为1，2.25．（松江2018期末22）求不等式组:245103(2)21(6)x x x x -<-⎧⎨-≤-+⎩①②的整数解.【答案】3,4,5；【解析】由○1得36x -<-，解得2x >；由○2式去括号：36216x x -≤--，解得214x ≤；所以不等式组的解集为：2124x <≤，所以其中的整数解为3,4,5.26.（普陀2018期末23）解不等式组：612,39(2)4x x x -+-⎧⎨⎩≥＜①②并把它的解集在数轴上表示出来.【答案】132x <≤；【解析】解：由①，解得1.2x ≥由②，解得3x <．不等式①、②的解集在数轴上表示为：所以，原不等式组的解集是132x <≤．27.（浦东四署2019期中25）最近，王老师家所在的小区新开了一家健身会所，王老师打算参加该健身会所开设的瘦身健美课程，按照收费标准，一次需要收费280元，若购买该健身会所的会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型会员卡年费（元）每次收费（元）A 类2800200B 类3800150C 类580080（1）请你帮助王老师算一算，她一年参加瘦身健美课程多少次，办A 类会员年卡和办C 类会员年卡的消费费用是一样的？（2）若王老师一年参加课程的次数是20次，你认为哪种方式最省钱？（3）如果王老师想办理C 类会员年卡，那么王老师在一年内至少要参加多少次课程，才能保证比办理A 类会员卡和B 类会员卡都要省钱？【答案】（1）25次；（2）【解析】解：（1）设王老师一年参加瘦身健美课程x 次，根据题意，得2800200580080x x +=+，解方程，得25x =，答：王老师一年参加瘦身健美课程25次，办A 类会员年卡和办C 类会员年卡的消费费用是一样的；（2）不办理会员年卡：280205600⨯=元；办理A 类年卡：2800200206800+⨯=元；办理B 类年卡：3800150206800+⨯=元；办理C 类年卡：580080207400+⨯=元，故若王老师一年参加课程的次数是20次，不办理年卡最省钱；（3）设设王老师一年参加瘦身健美课程x 次，依题得：58008028002005800803800150x x x x+<+⎧⎨+<+⎩，解之得20042877x >=.答：如果王老师想办理C 类会员年卡，在一年内至少要参加29次课程，才能保证比办理A 类会员卡和B 类会员卡都要省钱.28.（浦东四署2019期末27）先阅读理解下列问题，再按要求完成解答.例题：解一元二次不等式(32)(21)0x x -+>.解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有320320210210x x x x ->-<⎧⎧⎨⎨+>+<⎩⎩或①②，解不等式组①得23x >，解不等式②得12x <-.所以元二次不等式(32)(21)0x x -+>的解集是2132x x ><-或.根据上述例题解答，求不等式51023x x +<-的解集.【答案】1352x -<<；【解析】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”有510510230230x x x x +>+<⎧⎧⎨⎨-<->⎩⎩或①②，解不等式组①得1352x -<<，解不等式②得无解.所以元二次不等式51023x x +<-的解集是1352x -<<.。

高中数学选择性必修二精讲精炼拓展四导与零点、不等式等综合运用(精讲)(含答案)

拓展四导数与零点、不等式等综合运用(精讲)考点一零点问题【例1】(2021·全国·高二课时练习)已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)若对任意实数x ，()'f x ≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若函数f (x )恰有一个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)－34；(2)(－∞，2)∪5(,)2+∞.【解析】(1)()'f x ＝3x 2－9x ＋6＝23333()244x --≥-，由()'f x ≥m 恒成立，可得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)()'f x ＝3x 2－9x ＋6＝3(x －2)(x －1)，由()'f x >0⇒x >2或x <1，由()'f x <0⇒1<x <2，∴f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝52－a ，f (x )极小值＝f (2)＝2－a .∵f (x )恰有一个零点，∴52－a <0或2－a >0，即a <2或a >52，所以a 的取值范围为(－∞，2)∪5(,)2+∞.【一隅三反】1．(2021·北京·101中学高二期中)已知函数()ln 1f x x ax =-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(),1-∞ B ．()0,∞+C ．(0，1)D ．(0，1]【答案】C【解析】函数()ln 1f x x ax =-+恰有两个零点等价于ln 1x a x+=有两个不等的实数解，令ln 1()x g x x +=，则2ln ()xg x x-'=，当01x <<时，()0()g x g x '>，递增，当1x >时，()0()g x g x '<，递减()g x 在x =1处取得极大值，且为最大值1，当,0x y →+∞→，可画出()y g x =的图象，由图像知01a <<时，y =g (x )和y =a 有两个交点. 故选：C.2．(2021·河南·高二期末(理))已知当2(0,)3x π∈时，sin sin 2cos x x bx x +≥恒成立，则正实数b 的取值范围为( ) A ．()0,1 B ．(]0,1C ．[]1,3D ．(]0,3【答案】D【解析】当2[,)23x ππ∈时，而0b >，sin sin 2sin (12cos )0cos x x x x bx x +=+>≥，原不等式恒成立，当(0,)2x π∈时，cos 0x >，不等式等价变形为：tan 2sin x x bx +≥，令()tan 2sin h x x x bx =+-，(0,)2x π∈，而(0)0h =，求导得21()2cos cos h x x b x '=+-，令()()g x h x '=，则3332sin 2sin (1cos )()2sin 0cos cos x x x g x x x x-'=-=>，则()h x '在(0,)2π上单调递增， (0)3h b '=-，若3b >，则(0)0h '<，记cosθ=，(0,)2πθ∈，则()0h b b θ'==>，则存在()00,x θ∈，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，即当()00,x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意，若3b ≤，()(0)0h x h ''>≥，即当(0,)2x π∈时，()h x 单调递增，则有()(0)0h x h >=，符合题意，综上得，3b ≤，所以正实数b 的取值范围是(]0,3.故选：D3．(2021·重庆十八中高二月考)(多选)已知函数()ln mf x x m x=-+在区间()1,e 内有唯一零点，则m 的可能取值为( ) A ．1e e- B ．11e + C ．1eD ．21e+【答案】ABC【解析】由题意有方程1ln (1)x m x=+在区间(1,)e 内有唯一实数根，即方程ln 1x x m x =+在区间(1,)e 内有唯一实数根，令ln ()1x xg x x =+，(1,)x e ∈ 22(ln 1)(1)ln ln 1()0(1)(1)x x x x x x g x x x ++-++'==>++，所以()g x 在区间(1,)e 内单调递增，所以(1)0()()1e g g x g e e =<<=+，所以(0,)1em e ∈+，因为1(0,)1e e e e -∈+，1(0,)11e e e ∈++，1(0,)1ee e ∈+ 故选：ABC4．(2021·全国·高二课时练习)已知函数()()22e ,0,0xx ax x f x x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，且x ()y f x =的极值点．(1)求实数a 的值；(2)若函数()y f x m =-仅有一个零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)1a =；(2)(((),20,m ∈-∞-⋃+∞．【解析】(1)当0x >时，()()22e xf x x ax =-，此时()()()()2222e 2e 212e x x x f x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+-=+--⎣⎦．2x =是函数()y f x =的极值点，0f '∴=，220a ∴+-=，解得1a =．(2)由(1)，知当0x >时，()()22e x f x x x =-，()()22e xx x f '=-．令()0f x '=，得x x =舍去)．∴当(x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()()(),0f x f f ∴∈()(()2f x ∴∈-，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()(),f x f∴∈+∞()(()2f x ∴∈-+∞．而当0x ≤时，()f x x =单调递增，()(],0f x ∈-∞．∵函数()y f x m =-仅有一个零点，即函数()y f x =的图象与直线y m =仅有一个交点，∴0m >或(2m <-m 的取值范围为(((),20,m ∈-∞-⋃+∞．5．(2021·江苏·常熟市中学高二月考)已知函数()xf x e =.(1)若函数()f x 和直线2y x b =+相切，求b 的值：(2)令()()sin 1g x f x x ax =+--，当[)1,2a ∈时，判断()g x 零点的个数并证明. 【答案】(1)22ln 2b =-； (2)两个零点，证明见解析.【解析】(1)由题意，函数()xf x e =，可得()x f x e '=，设切点坐标为00(,)P x y ，可得切线的斜率00()2xk f x e '===，可得0ln 2x =，所以ln 20()2f x e ==，即切点坐标为(ln 2,2)P ，将点P 代入2y x b =+，可得22ln 2b =+，解得22ln 2b =-.(2)由()sin 1xg x e x ax =+--，可得()cos x g x e x a '=+-，当0x =时，()00g =，所以0x =是()g x 的一个零点，设()()cos xh x g x e x a '==+-，可得()sin x h x e x '=-，当0x >时，0()sin sin 1sin 0x h x e x e x x '=->-=-≥，所以()h x 在(0,)+∞上时单调递增函数，所以()()020g x g a ''>=->，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g >=，所以()g x 在(0,)+∞上没有零点；当x π≤-时，因为12a ≤<，可得21a -<-≤-，所以ax π-≥，可得()sin 10xg x e x π≥++->，所以()g x 在(,]π-∞-上没有零点；当0x π-<<时，sin 0x <，可得()sin 0x h x e x '=->，所以()'g x 在(),0π-上单调递增，又由()()cos()0,020g ea g a πππ-''-=+--<=->，所以在(),0π-内存在唯一0x ，使得0()=0g x '，所以()g x 在()0,x π-上单调递减，在()0,0x 上单调递增，又因为()10,(0)0g ea g πππ--=+->=，所以()g x 在(),0π-内有一个零点，综上可得，函数()g x 有两个零点.考点二不等式证明问题【例2】(2021·全国·高二课时练习)已知函数()1ln 1xg x x+=-． (1)求()g x 的单调区间；(2)当11e m n <<<时，试证明1ln 1ln n n m m+<+．【答案】(1)()g x 的单调递增区间是1,，单调递减区间是0,1；(2)证明见解析.【解析】(1)因为()1ln 1xg x x+=-，所以()()()221ln 1ln ln x x x g x x x x'+-+=-='．令()0g x '>，得1x >；令()0g x '<，得01x <<．所以()g x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1． (2)由(1)知()1ln 1xg x x+=-在()0,1上单调递减，所以11em n <<<时，()()g m g n >，即1ln 1ln 11m nm n++->-，所以1ln 1ln m n m n ++<，即1ln 1ln n nm m+<+．【一隅三反】1．(2021·全国·高二专题练习)已知函数()()21ln 1x f x x x -=-+． (1)求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； (2)设0m n >>，求证：ln ln 2m n m n m n->-+．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【解析】(1)由题意知，0x >，()()()()222114011x f x x x x x -=-=+'≥+，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增． (2)不妨设m n >，则ln ln 2m n m n m n ---+()21ln m n m m n nm n -⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦，211ln 1m m n m m n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，令1m t n =>，则()()2121ln ln 11m t m n t f t m n t n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=++．由(1)知()f x 在()0,∞+上单调递增，()10f =， ∵1t >， ∴()0f t >．又m n >， ∴ln ln 2m n m n m n->-+．2．(2021·江苏·常熟市中学高二月考)已知函数()2ln f x x ax x =+-，0a >.(1)若()f x 为单调函数，求a 的范围. (2)若1x ､2x 函数fx 的两个零点，求证：1212()()5f x f x x x +<+-.【答案】(1)18a ≥；(2)证明见解析.【解析】(1)()212121ax x f x ax x x-+'=+-=，又()f x 为单调函数且0a >，0x >，对于2()21g x ax x =-+，开口向上且对称轴为104x a=>， ∴180a ∆=-≤，即18a ≥时，()0g x ≥恒成立，即0fx 恒成立，符合题设.∴18a ≥.(2)令0f x，由(1)知：2()210g x ax x =-+=，则121212x x x x a+==且18a <，又211210ax x -+=，得221111ax x ax -=--，同理222221ax x ax -=--，∴121221212212()()()ln()()2()f x f x x x x x x a x x x +=-+++-+21212ln()[()x x a x x +=+-22112]2()x x x x -+13ln124a a=--，要证1212()()5f x f x x x +<+-，即13ln1524a a --<-，只需证31ln 442a a->，令l (2)31n 4a h a a -=，则2213434()4h a a a a a -'==-，而108a <<，∴()0h a '<，即()h a 在108a <<上递减，1()()6ln 48h a h >=-，而26ln 442ln 4ln 04e--=-=>，∴()4h a >，即1212()()5f x f x x x +<+-，得证. 3．(2021·江苏·公道中学高二月考)已知函数ln ()xx kf x e +=(k 为常数，e =2.71828…是自然对数的底数)，曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行. (1)求k 的值和f (x )的单调区间；(2)设()()'g x xf x =，其中()'f x 为f (x )的导函数，证明：对任意()20,1x g x e -><+.【答案】(1)1k =，增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；(2)见解析. 【解析】(1)()f x 的定义域为()0,∞+.()()''1ln 1,101x x kk x f x f k e e---===⇒=，所以()'1ln 1xx x f x e --=，令()()()1ln 10,10h x x x h x =-->=，()2'110x h xx =--<，所以()h x 在()0,∞+上递减，所以()f x 在区间()0,1上()()'0,f x f x >递增，在区间()1,+∞上()()'0,f x f x <递减.即()f x 的增区间为()0,1，减区间为()1,+∞.(2)()()'1ln xx x xg x xf x e --==. 由()21g x e -<+得()21ln 1x x x x e e ---<+.令()1ln x x x x ϕ=--，()'ln 2x x ϕ=--，所以()x ϕ在区间210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()()'0,x x ϕϕ>递增；在区间21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()()'0,x x ϕϕ<递减，所以()2211x e e ϕϕ-⎛⎫≤=+ ⎪⎝⎭.而()21xy e e -=+在()0,∞+上递增，所以()()2202111x e e e e e ---+>+=+，所以对任意()20,1x g x e -><+.考点三恒成立问题【例3】(2021·河南·辉县市第一高级中学高二月考(理))已知函数()()111kxf x ln x x +-++＝． (1)求函数()f x 的极值；(2)当x ＞0时，f (x )＞0恒成立，求正整数k 的最大值. 【答案】(1)答案见解析；(2)3.【解析】(1)()()()'2111x kf x x x +-=>-+①当0k ≤时，()'0f x >，函数在()1,-+∞上单调递增，无极值； ②当0k >时，()'0f x >，得1x k >-，由()'0f x <得11x k -<<-()f x ∴在()1,1k --上单调递减，在()1,k -+∞上单调递增， ()()1ln 2f x f k k k =-=-+极小值，没有极大值.(2)当x ＞0时，f (x )＞0恒成立，即只要f (x )min ＞0即可，由(1)k ＞0时，f (x )在(﹣1，k ﹣1)上单调递减，在(k ﹣1，+∞)上单调递增， (a )若k ﹣1≤0即k ≤1时，f (x )在(0，+∞)上单调递增，f (x )min ＞f (0)＝1满足题意；(b )当k ﹣1＞0即k ＞1时，f (x )在(0，k ﹣1)上单调递减，在(k ﹣1，+∞)上单调递增，f (x )min ＝f (k ﹣1)＝lnk ﹣k +2＞0，令g (x )＝lnx ﹣x +2，则()'1xg x x-=，所以g (x )在(1，+∞)上单调递减，且g (2)＝ln 2＞0，g (3)＝ln 3﹣1＞0，g (4)＝ln 4﹣2＜0，所以存在x 0∈(3，4)使得g (x 0)＝0，则g (x )＝lnx ﹣x +2＞0的解集为(1，x 0)，综上k 的取值范围(﹣∞，x 0)，其中x 0∈(3，4)，所以正整数k 的最大值3. 【一隅三反】1．(2021·河北·正定中学高二期末)已知函数()323f x x ax x m =-++，,a m R ∈．(1)若()f x 在3x =处取得极值，且满足函数()y f x =有三个零点，求m 的取值范围； (2)若0m =，对任意(x ∈，()1f x x≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)13,927⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)a ≥【解析】(1)()2323f x x ax =-+'，由已知得()30f '=，得27630a -+=，5a =，经检验，5a =时，当3x =时，()f x 取得极小值，成立.()3253f x x x x m =-++，令()231030f x x x '=-+=，得3x =或13x =，由()0f x '>得3x >或13x <，此时()f x 为增函数，由()0f x '<得133x <<，此时()f x 为减函数，即当13x =时，函数()f x 取得极大值，当3x =时，()f x 取得极小值，即()()39f x f m ==-极小值，()113327f x f m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极大值，所以函数()f x 有三个不同零点，且x →+∞时，()f x →+∞，x →-∞时，()f x →-∞因此，只需()10330ff ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即1302790m m ⎧+>⎪⎨⎪-<⎩，解得13927m -<<，m 的范围是13,927⎛⎫- ⎪⎝⎭． (2)0m =，()323f x x ax x =-+，对任意(]0,2x ∈，()1f x x ≤，即3213x ax x x-+≤，变形得42331x x a x +-≥，(x ∈，令42331()x x g x x +-=，(x ∈，则()()3324242644633133()x x x x x x x x g x x x +-+--+'==， 24223333024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，所以()g x 在(上单调递增，从而max ()g x g==因此a ≥2．(2021·河北·曲周县第一中学高二月考)已知函数()211ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，()0a ≠． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)令()()2F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,∈+∞x 恒成立，求整数a 的最大值．(参考数据：4ln33<，5ln4)4> 【答案】(1)答案见解析；(2)3.【解析】()1()f x 的定义域为0,且()()()()2221212112x a x a x a x x f x a x a ax ax -++--⎛⎫'=+-+== ⎪⎝⎭， ①当0a <时，由0f x 得：102x <<， ∴0a <时，()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， ②当102a <<时，令0f x 得：0x a <<或12x >， ∴()f x 的增区间为()0,a 和1,.2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭减区间为1,.2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭③当12a =时，0f x 恒成立，此时()f x 的增区间为0,，无递减区间： ④当12a >时，令0f x 得：102x <<或x a >，∴()f x 的递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),+∞a ，减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()()()()22ln 21F x af x x a x a x =-=-+，则()112,(1)ln x F x ax a x x+<-⇔<>恒成立．令()1,(1)ln x h x x x +=>，则()()21ln 1ln x x h x x -'-=，令()1ln 1t x x x=--，(1)x >，知()t x 在1,上递增且()30t <，()40t >， ∴()03,4x ∃∈，使()0001ln 10t x x x =--=，即()h x 在(]01,x 递减，在[)0,x +∞递增， ∴00min 000011()()(3,4)1ln 1x x h x h x x x x ++====∈+， ∴由min ()a h x <知：整数a 的最大值为3．3．(2021·陕西省洛南中学高二月考(理))已知函数()ln a f x x x =+(a 为常数) （1)讨论函数()f x 的单调性；（2)不等式()1f x ≥在2(]0,x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)0a ≤时，(0,)+∞递增，0a >时，在(0,)a 递减，(,)a +∞递增；(2)[1,)+∞.【解析】(1)函数定义域是(0,)+∞，221()a x a f x x x x-'=-=， 0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上是增函数；0a <时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，x a >时，()0f x '>，()f x 递增．(2)()1f x ≥即ln 1a x x+≥在(0,2]上恒成立，则ln ((0,2]a x x x x ≥-∈，设()ln ((0,2]h x x x x x =-∈，则()ln h x x '=-，01x <<时，()0h x '>，()h x 递增，12x <≤时，()0h x '<，()h x 递减，max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥．。

专题四方程与不等式——2023届中考数学公式定律速记清单

专题四方程与不等式——2023届中考数学公式定律速记清单
一：一次方程（组）
等式的基本性质：
基本性质
如果
，那么；
如果，那么
如果
，那么对称性如果，那么
传递性
如果
，那么
二：一元二次方程
关于一元二次方程根的三个重要结论（1
）
一元二次方程有一个根为.（2）一元二次方程有一个根为.
（3）一元二次方程有一个根为
.
方程
的根
（
1）当
时，根据平方根的意义，方程
有两个不相等的实数根（2）当时，方程有两个相等的实数根
（3）当
时，因为对任意实数x ，都有
，所以方程
无实数根.
一元二次方程根的情况判断
方程
的根的情况
有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根
一元二次方程的求根公式
当时，方程的实数根可写为
一元二次方程根与系数的关系
若的两个根为，则，
与一元二次方程的两个根有关的几个代数式的变形：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
三：一元一次不等式（组）
不等式的性质
1.如果，那么
2.如果，那么
3.如果，那么
一元一次不等式组的解集有四种情况
不等式组
不等式组
无解
的解集
不等式组
的解集在
数轴上的
表示
巧记口诀同大取大
同小取小
大大小小无处
找
大小小大中间
找。

人教版七年级数学下册难点题目专项训练40题(1)

【专题一】解方程组，代入法1．若两个关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn的值为．2．已知x，y满足方程组，则无论k取何值，x，y恒有关系式是．3．已知方程组的解满足x﹣y=2，则k的值是．4．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是．5．已知实数x，y满足方程组，则（x+y）x﹣3y=．6．已知a、b满足方程组，则3a+b的值为．7．已知是方程组的解，则a﹣b的值是．8．若实数x、y满足方程组，则代数式2x+3y﹣4的值是．9．若关于x、y的方程组的解满足x+y=1，则k=．10．当m=时，方程组的解x，y互为相反数．【专题二】新定义运算11．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=b2；当a＜b时，a⊕b=a．则当x=2时，（1⊕x）•x﹣（3⊕x）的值为．（“•”和“﹣”仍为实数运算中的乘号和减号）12．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b=a2﹣|b|，则2☆（﹣3）=．13．定义一种新运算：1!=1，2!=1×2，3!=1×2×3，4!=1×2×3×4，……计算：=．14．定义一种新运算“⊗”，规定m⊗n=3m2﹣n2017，则（﹣）⊗1=15．已知a、b为有理数，现定义一种新运算*，满足a*b=ab+a+b，则2018*2=．16．如果定义新运算“※”，满足a※b=a×b﹣a÷b，那么1※（﹣2）=．17．定义一种新运算，其运算规则是=ad﹣bc，那么=．18．对有理数a、b定义运算“﹡”如下：a﹡b=，则（﹣3）﹡4=．19．用“☆”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b=b2+1．例如1☆4=42+1=17，那么1☆3=；当m为任意有理数时，m☆（m☆2）=．20．对正有理数a，b，定义运算★如下：a★b=，则1★2=．【专题三】解不等式（组），对应求值21．若不等式组无解，求m的取值范围．22．已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值．23．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是多少？24．已知关于x的不等式组的解集为1≤x＜3，试求a，b的值．25．已知不等式组的解集为﹣6＜x＜3．求4m+2n2的值．26．若关于x的不等式组有实数解．求a的取值范围．27．如果方程组：的解x、y满足x＞0，y＜0，求a的取值范围．28．若不等式组：的解集是5＜x＜22，求a，b的值．29．已知不等式组的解集为1≤x＜2，求a的值．30．解不等式组【专题四】不等式（组）的应用31．一次环保知识竞赛共有25道题，评委会决定：答对一道题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？32．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对几道题？33．在一次智力测验中有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分？34．数学竞赛中，整套试卷共20道题．计分办法是：每题答对一题得10分，答错一题扣5分，不答一题也扣5分．问：至少答对多少道题，得分才能不低于85分？35．某软件公司开发一种图书软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费200元．如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套才能确保不亏本？36．小红读一本500页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，问从第六天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完？37．某地环卫所有载重量为20吨的A型车8辆和载重量为30吨的B型车若干辆，为把260吨垃圾一趟运完，环卫所在派出8辆A型车的同时至少还需派出几辆B型车？38．某电影院暑假向学生优惠开放，每张门票2元．另外，每场还可对外售出每张5元的普通门票300张，如果要保持每场次的票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售多少张学生门票？39．沙井中学初二年级举行的环保知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明得分超过90分，请问小明至少答对多少道题？40．某次数学竞赛共有20道选择题．做对一题6分，做错一题扣2分，不做为0分，小明有一题未做．他的成绩不低于80分，你知道他至少做对了多少道题吗？人教版七年级数学下册难点题目专项训练40题参考答案一．填空题（共20小题）1．6；2．x+y=1；3．1；4．1；5．；6．8；7．4；8．2；9．；10．2；11．﹣2；12．1；13．9900；14．；15．6056；16．﹣1；17．﹣9；18．﹣12；19．10；26；20．；二．解答题（共20小题）21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；34．；35．；36．；37．；38．；39．；40．；。

专题四 一次不等式(组)的综合运用