2009年中考数学试题分类汇编25相似(含答案)概述.

二、填空题 三、解答题8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABADPC PQ =（如图1所示）． （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABADPC PQ =（如图1所示）． （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定AD PQ 图1DAPCB （Q ））图2 图3CADPB QADPQ 图1DAPCB （Q ））图2 图3CADPB Q【答案】（1）∵Rt △ABD 中，AB=2，AD=2， ∴ABADPC PQ ==1，∠D=45° ∴PQ=PC 即PB=PC ， 过点P 作PE ⊥BC ，则BE=2321=BC 。

而∠PBC=∠D=45° ∴PC=PB=223 （2）在图8中，过点P 作PE ⊥BC ，PF ⊥AB 于点F 。

∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt △ABD ∽Rt △EPB ∴43223=÷==AB AD EP EB 设EB=3k ，则EP=4k ，PF=EB=3k ∴k k PE BC S BPC 6432121=⨯⨯=⋅⋅=∆， k x k x PF AB x S AB AQ S APB APQ 3223221222122⨯-=⨯⨯⨯-=⋅⋅⋅-=⋅=∆∆=()232k x ⋅- ∴=y ()xk x k S S APQ BPC -=⋅-=∆∆243212 函数定义域为20<≤x （3）答：90°证明：在图8中，过点P 作PE ⊥BC ，PF ⊥AB 于点F 。

∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt △ABD ∽Rt △EPB ∴ABADEP EB = ∴AB AD PC PQ ==PEPFPE EB = A DPCBQ 图1DAPCB （Q ））图2 图3CADPB QFE F∴Rt △PQF ∽Rt △PCE ∴∠FPQ=∠EPC∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°13.（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是 ， 当90α=°时，BPBQ的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求BPBQ的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12BP B Q =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ．【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】解：（1）矩形（长方形）；47BP BQ =． （2）①POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，COP A OB ''∴△∽△．CP OC ∴=，即6CP =，） （图3）（图2）（第26题）92CP ∴=，72BP BC CP =-=． 同理B CQ B C O '''△∽△，CQ B CC Q B C '∴='''，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．722BP BQ ∴=． ②在OCP △和B A P ''△中，90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪'∠=∠=⎨⎪''=⎩，°，， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△． OP B P '∴=．设B P x '=，在Rt OCP △中， 222(8)6x x -+=，解得254x =． 125756244OPB S '∴=⨯⨯=△．（3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =． 点P的坐标是19P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，12POQ S PQ OC =△，12POQ S OP QH =△， PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =， 2BQ x ∴=，①如图1，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO △中，222(8)6(3)x x ++=，解得11x =，21x =． 9PC BC BP ∴=+= 19P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．②如图2，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO △中，222(8)6x x -+=，解得254x =． PC BC BP ∴=-257844=-=， 2764P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．综上可知，存在点19P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使12BP BQ =．15.（2009恩施市）如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．（1）用x 表示ADE △的面积；（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； 510x <<x（4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？【关键词】相似、二次函数【答案】解:(1) ∵ D E ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C∴△ADE ∽△ABC ∴2)(BCDE S S ABC ADE =∆∆即241x S ADE =∆ (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5≤x 时 241x S y ADE ==∆ （3）x ≤5﹤10时，点A '落在三角形的外部,其重叠部分为梯形∵S △A 'DE =S △ADE =241x∴DE 边上的高AH=AH '=x 21 由已知求得AF=5 ∴A 'F=AA '-AF=x-5 由△A 'MN ∽△A 'DE 知2DE A'MN A')HA'F A'(=∆∆S S2M N A ')5(-=∆x S∴251043)5(41222-+-=--=x x x x y （4）在函数241x y =中EA 'DBCA BC A∴当x=5时y 最大为：425 在函数2510432-+-=x x y 中当3202=-=a b x 时y 最大为：325 ∵425﹤325 ∴当320=x 时，y 最大为：325334 18.（2009泰安）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，C D ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F 。

（1） 求证：FD 2=F B ●FC 。

（2）若G 是BC 的中点，连接GD ，GD 与EF 垂直吗？并说明理由。

【关键词】相似、垂直【答案】证明：（1）∵E 是R t △ACD 斜边中点 ∴DE=EA ∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F 是公共角 ∴△FB D ∽△FDC ∴FCFDFD FB = ∴FC FB FD ∙=2（2）GD ⊥EF理由如下：∵DG 是R t △CDB 斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4 由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1 ∵∠3+∠5=90° ∴∠5+∠1=90° ∴DG ⊥EF22.（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将A M N △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【关键词】分类讨论思想 【答案】解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴= 34x h ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△ 1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△ 22363224122462EFx S x x⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大38. (2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用NM B EC DFG图（1）MNCBEFA1解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形 ∴AB =AD ，AE =AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90º ∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAG ＋∠EAD ∴∠BAE ＝∠DAG∴△ BAE ≌△DAG （2）∠FCN ＝45º 理由是：作FH ⊥MN 于H ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90º∴∠BAE +∠AEB ＝90º，∠FEH +∠AEB ＝90º ∴∠FEH ＝∠BAE又∵AE =EF ，∠EHF ＝∠EBA ＝90º ∴△EFH ≌△ABE ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH ∵∠FHC ＝90º，∴∠FCH ＝45º（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变， 理由是：作FH ⊥MN 于H由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90º 结合（1）（2）得∠FEH ＝∠BAE ＝∠DAG 又∵G 在射线CD 上∠GDA ＝∠EHF ＝∠EBA ＝90º∴△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ∴EH ＝AD ＝BC ＝b ，∴CH ＝BE ，M BEA C NDFG图（1）H∴EH AB ＝FH BE ＝FHCH∴在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝FH CH ＝EH AB ＝b a∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝ba45.（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG于点F .(1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似 【答案】(1) 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形, BF ⊥AG , DE ⊥AG ∴ DA =AB ， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE ∴ BF = AE , AF = DE ∴ DE －BF = AF －AE = EF （2）EF = 2FG 理由如下： ∵ AB ⊥BC , BF ⊥AG , AB =2 BG ∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴2===FGBFBF AF BF AB ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG由(1)知, AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG (3) 如图 DE + BF = EF46．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由． 【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 【答案】解：（1）∵PE AB ∥ ∴DE DPDA DB =． 而10DE t DP t ==-，， ∴10610t t -=， ∴154t =． ∴当15(s)4t PE AB =，∥． （2）∵EF 平行且等于CD ， ∴四边形CDEF 是平行四边形． ∴DEQ C DQE BDC ∠=∠∠=∠，． ∵10BC BD ==，∴DEQ C DQE BDC ∠=∠=∠=∠． ∴DEQ BCD △∽△． ∴DE EQBC CD=． 104t EQ =． ∴25EQ t =．过B 作BM CD ⊥，交CD 于M ，过P 作PN EF ⊥，交EF 于N ．BM ==∵ED DQ BP t ===， ∴102PQ t =-． 又PNQ BMD △∽△，PQ PNBD BM=，10210t -=15t PN ⎫=-⎪⎭211212255PEQ t S EQ PNt ⎫==⨯⨯-=⎪⎭△． （3）11422BCDS CD BM ==⨯⨯=△ 若225PEQ BCD S S =△△， 则有2225525-+=⨯， 解得1214t t ==，．（4）在PDE △和FBP △中，10DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP ==⎫⎪==-⇒⎬⎪∠=∠⎭，，△≌△， ∴PDE PFCDE PFCD S S S =+△五边形四边形FBP PFCD S S =+△四边形 BCD S ==△．∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．48.（2009年山西省）如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【关键词】一次函数的几何应用；一次函数与二元一次方程；矩形的性质；特殊平行四边形相关的面积问题；相似三角形有关的计算 【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·． （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，． ∴D 点坐标为()88，．又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．． ∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S St t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++． 当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-, ∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s49.（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（图3）图2图3图1D（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）．（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【关键词】三角形中位线、平行线的性质、阅读理解题 【答案】图2：ENB AMF ∠=∠ 图3：︒=∠+∠180ENB AMF证明：如图2，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ∵F 是DC 的中点，H 是AC 的中点， ∴AD HF //，AD HF 21=， ∴HFE AMF ∠=∠． 同理，CB HE //，CB HE 21=， ∴HEF ENB ∠=∠ ∵BC AD =， ∴HE HF =, ∴HFE HEF ∠=∠ ∴AMF ENB ∠=∠．证明图3的过程与证明图2过程给分相同.。