3.3.1利用导数判断函数的单调性

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3.3.1 函数的单调性与导数

活动与探究 1 (1)函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1�� = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
�� 2
,(-t,+∞),递减区间为
�� 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
�� 2
,
+
∞
,递减区间为
-��,
�� 2
.
迁移与应用已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,

3.3.1利用导数判断函数的单调性+栾传香+高密四中

第 1 页共 8 页3.3.1利用导数判断函数的单调性班级：________ 姓名：____________ 学号：_________ 面批：________课前预习案【学前准备】1.以前，我们用定义来判断函数的单调性.一般地，设函数 f (x ) 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1，x 2，当______________时，都有____________，那么就说 f (x )在这个区间上是增函数．当______________时，都有____________，那么就说 f (x ) 在这个区间上是减函数．2. 判断函数的单调性的方法有_________和______________. 【知识梳理】一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内，_________，那么函数()y f x =在这个区间内是增函数；如果在这个区间内___________，那么函数()y f x =在这个区间内是减函数. 【自主测评】1.确定函数f (x )＝x 2＋5x-6在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．2.求函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7的单调区间.第 2 页共 8 页课内探究案一、合作探究探究一：函数的导数与函数的单调性的关系问题1：画出函数342+-=x x y 的图像，填写下面表格：图像为问题2：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为，函数()y f x =的值随着x 的增大而，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为，函数()y f x =的值随着x 的增大而，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为函数. 问题3：由此你得出函数的导数与函数的单调性之间有什么规律？第 3 页共 8 页例1：判断函数3()3f x x x =+的单调性，并求出单调区间变式训练1：求单调区间（1）32()23241f x x x x =+-+. （2）11)(+=x x g ；小结：用导数求函数单调区间的步骤： ① __________________________;② ____________________________________;③ _________________________________________________________; ④______________________.第 4 页共 8 页探究二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？例2：已知导函数的下列信息：当14x <<时，()0f x '>；当4x >，或1x <时，()0f x '<；当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.变式训练2：（1）f ' (x)的图象如下,则f (x) 的图象最有可能的是（）（2）如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.第 5 页共 8 页探究三：结论的逆命题成立吗？)(0}{/x f x f ⇒>为增函数成立，那么)(0}{/x f x f ？⇐>为增函数吗？例3：已知函数]1,0(,2)(3在x ax x f -=为增函数，求a 的范围.变式训练3：若函数5)(23-+-=x x ax x f 在R 上为增函数，求a 的范围.【当堂检测】1.函数3()f x x x =-的增区间是，减区间是2.若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（） A ．()0f x > B ．()0f x < C.()0f x = D ．不能确定第 6 页共 8 页课后拓展案A 组1. 在区间(a , b )内f'(x )＞0是 f (x )在(a , b )内单调递增的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（） A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππD ．(2,3)ππ 3.x x x f ln )(=在(0,5)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数C.在(0,e 1)上是递减函数,在(e 1,5)上是递增函数.D.在(0,e 1)上是递减函数, 在(e1,5)上是递减函数.4.已知函数2()(3)f x x x =-，则()f x 在R 上的单调递减区间是，单调递增区间为．5. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）32()f x x x x =+-；（2）；x xe x g -=)(.第 7 页共 8 页B 组6.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上为增函数，则一定有（） A ．240b ac -< B ．230b ac -< C ．240b ac -> D ．230b ac ->7. 求证：当x<2时，3261217x x x -+-<8.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图像过点(0,2)，且在点(1,(1))M f --处的切线方程是670x y -+=.（1）求函数()y f x =的解析式，（2）求()y f x =单调区间第 8 页共 8 页C 组9.求函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间.10.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围．。

利用导数判断函数的单调性

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3．函数 y＝4x2＋1x的单调递增区间是
()
A．(0，＋ ∞)
B．(－∞，1)
解C．析(：12，由＋y∞′)＝8x－x12＝D．8x(3x1－2，1＋>0∞，)得 x>12，
即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．
答案：C
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4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1，因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．
第
三 3.3
章
3.3.1
导利用
数及
导数判断函数
其的单
应调性
用
理解教材新知把握热点考向应用创新演练
考点一考点二考点三
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3．3.1 利用导数判断函数的单调性
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我们知道正弦曲线是上、下起伏的波浪线，实际上多数函数的图象都是如此，它们的单调性交替变化．有些函数的单调性通过我们所学的基本方法能够判断，多数函数非常困难甚至无法解决．
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(2)函数的定义域为 R，
令 y′＝3x2－1>0，得 x<－ 33或 x> 33；
令
y′＝3x2－1<0，得－
3 3 <x<
3 3.
∴y＝x3－x 的单调递增区间为(－∞，－ 33)和( 33，
＋∞)，单调递减区间为(－
33，
3 3 ).
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[例 3] 已知函数 f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数 a∈R)．若函数 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求 a 的取值范围．

2013-2014学年高二数学1-1导学案：3.3.1利用导数研究函数的单调性(1)

Байду номын сангаас
课堂检测——
课题：3.3.1 研究函数的单调性 ⑴
姓名：
2
1.确定下列函数的单调区间：（1） y x 2 ( x 3) ：
（2） y sin x cos x ：
2.求证当 x 0,
时， x sin x 2
3.已知曲线 y x 3 3x 2 6 x 10 点 P 在该曲线上移动，过点 P 的切线为 L, ⑴求证：此函数在 R 上单调递增； ⑵求 L 的斜率的取值范围。
2.作出函数 f(x)=
1 的图像，并用单调性定义证明其在(0，+∞)上递减. x
三：课堂研讨例 1 函数 f ( x) x ln x 的单调增区间是；
1
例 2.（1）证明函数 f ( x) e e
x
x
在 0, 上是增函数；
例 3 证明当 x 0,
时，证明 tan x x 2
课题 3.3.1——利用导数研究函数的单调性 ⑴ 一：学习目标 1. 利用导数求函数的单调区间 2. 利用导数证明函数的单调性二：课前预习 1.（1）作出函数 y x 2 4 x 3 的图像，并指出其单调区间：
姓名：备注
（2）作出函数 f ( x) sin x( x 0,2 ) 的图像，并指出其单调区间：
课外作业——
利用导数研究函数的单调性（1）
姓名：
3
1．函数 f x x 3 x 的单调增区间为
2.函数 f ( x) ( x 3)e x 的单调递增区间是_____________
3.函数 y x
1 的单调区间为 x
4.用导数证明 ① y e x x ，在 x ,0 上是减函数。 ② y sin x 在区间

利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1. 函数的导数与函数的单调性的关系：（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

那么在这个区间内/y ≤0。

2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域；②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。

）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ）的任意子区间内都不恒等于0。

这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。

利用导数判断函数的单调性的方法

利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。

如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。

要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点：一．导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。

以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。

1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。

∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。

当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。

∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

3.3.1利用导数判断函数单调性

y x 2 2x 4 在哪个区间内是增 1、确定函数
函数，哪个区间是减函数
解：y' 2 x 2
令2 x 2 0,
解得x 1
因此函数在区间（）内是增函数 1，
令2 x 2 0, 解得x 1
因此函数在区间 ,1)内是减函数 (
练习: 2、求函数f(x)=2sinx﹣x的单调区间。
f’(x)>0 f’(x)<0
则 f(x)在该区间是增函数。则 f(x)在该区间是减函数。
求单调区间的步骤 : （1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。思想方法：数形结合、化归转化易错点：单调区间的书写方式
练习:
解得 1 a 2
变式练习:
2、函数f ( x) 2 x3 3x 2 36x 1在区间(a 1, a 1)上是增函数，则的范围是多少？ a
解：由练习得a 1 2或a 1 3 2
解得a 3或a 4
变式练习:
3、函数f ( x) 2 x3 3x 2 36x 1在区间(a 1, a 1)上是不单调函数，则的范围是多少？ a
（1）
1 (ln x ) x
（2）
1 (log a x ) log a e x
指数函数的导数
(e )' e x x (a )' a ln a
x x
6、导数的四则运算法则
(u v ) u v.
(uv ) uv uv.
u u' v uv ' ( v 0) 2 v v

利用导数判断函数的单调性.

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(2)函数的定义域为(0，＋∞)， 1 其导函数为 f′(x)＝2－x. 1 1 令 2－x>0，解得 x> ； 2 1 1 令 2－x<0，解得 0<x< ， 2 1 ∴函数 f(x)＝2x－ln x 的增区间为( ，＋∞)，减区间 2 1 为(0， )． 2
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[一点通]
(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后在定义域内通过解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，来确定函数的单调区间． (2)当单调区间有多个时，不要写成并集．
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[例1] 调性．
判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单
[思路点拨]
求导数 → 对a进行分类讨论 →
每种情况下确定函数在－∞，＋∞上的单调性
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[精解详析]
∵y′＝3ax2，又x2≥0.
(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；
数函数非常困难甚至无法解决．
问题1：如果一条曲线是逐渐上升的，那么曲线上各点的切线的斜率有何特点？提示：从直观上看切线是上升的，切线的斜率都为正数．返回
问题2：切线斜率的正负，能说明导数的符号吗？
提示：根据导数的几何意义，切线斜率的符号就是导数的符号．问题3：可以用导数来研究较为复杂的函数的单调性吗？
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1 3．函数 y＝4x ＋x的单调递增区间是
2
(
)
A．(0，＋ ∞) 1 C．( ，＋∞) 2
B．(－∞，1)
D．(1，＋∞) 3 1 8x － 1 1 解析：由 y′＝8x－ 2＝ >0，得 x> ， x x2 2

利用导数判断函数的单调性的方法

利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判定函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。

如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。

要用导数判定好函数的单调性除把握以上依据外还须把握好以下两点：导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判定函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判定函数的单调性。

以下以增函数为例作简单的分析，前提条件差不多上函数)(x f y =在某个区间内可导。

1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，现在)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。

∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

由前分析，)(x f 为增函数，一定能够推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。

当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。

∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

教学设计5：3.3.1 利用导数判断函数的单调性

3.3.1 利用导数判断函数的单调性一、教学设计：内容和内容解析：该部分的内容主要讲述的是函数的单调性与导数之间的关系，为函数的单调性研究提供了一个更为便捷的方法.在学习本节课之前，学生在必修1的《函数性质》内容中学习了函数单调性的定义以及利用图像得出单调区间的方法，另外还学习了导数的几何意义就是函数图象上的点所在的切线斜率.在函数单调性定义中提到：在定义域中的某个区间内任取两个不相等的自变量12,x x ，通过求1()f x 与2()f x 的大小关系可以判断函数的单调性.同时注意到导数的定义中的描述：000()()'()limx x f x f x f x x x →-=-.将导数的定义结合1212()()0f x f x x x ->-时，()f x 为增函数； 1212()()0f x f x x x -<-时，()f x 为减函数.可以判定()f x 在某个区间上如果满足'()0f x >，则()f x 在该区间上为增函数；反之，如果'()0f x <，则()f x 在该区间上为减函数.另外，相比于利用单调性定义判定1()f x 与2()f x 的大小关系来确定函数单调性的繁琐运算，求导函数的过程要简洁许多，这就为学生判断一些相对比较复杂的函数的单调性提供一个有力的方法. 目标和目标解析： 1．知识与技能目标：（1）了解函数的单调性与导函数之间的关系；（2）能利用导数研究简单函数的单调性，并掌握原函数与导函数之间的关系；（3）掌握函数单调性的求法，用以解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标：（1）利用函数1()f x x x=+回顾单调性的定义和利用图象求单调区间的方法；（2）利用一个函数作为引入，让学生明确本节课学习之后将要达到的学习效果；（3）借助一个函数图象和几何画板让学生体验单调区间与导函数之间的关系；（4）利用所得的结论，让学生研究三个函数的单调区间；（5）利用三个函数图像，作出相应的原函数与导函数的图像草图，让学生体会原函数与导函数之间的图象联系；（6）利用引入中的例题，对本节课所学的内容进行应用并作适当的拓展、总结. 3．情感、态度与价值观目标：通过例题的设计培养学生的阅读与理解能力，在图象的研究中培养学生的观察能力，鼓励学生之间的相互协作，培养学生友善的社会主义核心价值观.教学过程例1：已知1()(0)f x x x x=+>，（1）用单调性的定义，求()f x 的单调递增区间；（2）作出()f x 的图象，并写出()f x 的单调区间.解：（1）任取120x x >>，则12()()f x f x -=121211()()x x x x +-+ 得121212121()()()()x x f x f x x x x x --=- 由120x x >>，得120x x ->，120x x >故当121x x >>时，1210x x ->恒成立得到12()()0f x f x -> 即()f x 在(1,)+∞上为增函数. （2）作出()f x 的图象如图所示，由图可得，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，减区间为(1,0)-，(0,1)例2：已知函数()f x 的图象如图所示，且'()f x 是()f x 的导函数.（1）写出()f x 的单调增区间；（2）在你所写出的单调增区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间；（4）在你所写出的单调减区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（5）结合切线的斜率与导数的关系，求'()0f x >与'()0f x <的解集；（6）观察单调区间与（5）的解集之间的关系，并总结单调区间和导函数之间的关系.解：（1）增区间是：(1,1)-；（2）增区间上的点所对应的切线斜率为正数；（3）减区间是：(,1),(1,)-∞-+∞；如果出于教学进度的考虑，教师可以直接用几何画板向学生演示()f x 图象中各个点的切线斜率特征，并给出相应的结论.但是这样只能使学生成为课堂教学的旁观者.通过让学生自己在纸上作出几条切线观察，进行归纳后与其他组员分享，能极大的提高学生课堂的参与度，即使自己不会也会被其他组员感染而参与研究.若其他同学与他有相同的结教师一条条的放映处题目，让学生依序解答每道题，切忌一次性将所有的问题投影出来，使学生产生畏难心理.然后观察学生的活动情况，根据学生的反应作出是否放映下一个问题的判断.同时对学生学习过程中存在的问题及时给予点拨.在学生得出猜想之后，教师再利用几何画板多次演示切点所在的单调区间对斜线斜率的符号的影响. 最后再总结函数的单调区间与导函数之间的关系，让学生对所给出的结论有更好的理解.学生通过阅读题目要求，对图象进行独立研究，将所得到的结果与其他组员分享，并根据所得结论的异同进行及时的纠正或讨论.学情预设：学生在此处会出现端点处作切线，得到导函数在单调区间上可以等于0的结论，对于这个问题可以放到后续的图象中一句话带过，教师不必纠缠.(1,)+∞；f x为增时，则()()x为减函：求下列函数的单调区间：教学实践心得《函数的单调性与导数》的教学价值的挖掘与思考导数部分的内容在高中数学教学中占据着举足轻重的地位，这从对导数时常作为压轴题进行考察就可见一斑.而在压轴题中时常都是以探究式的出题方式要求学生在摸索中找到解题的方法，这既要求学生对相关知识点有较为熟练的基本解题能力，还需要有较为扎实的探究问题的技能.这就要求在本阶段的教学绝对不能依靠以教师为主体的精英化教育时代留下的经验，用绝对量的题目和不断加大的题目难度进行教学，并要求学生如法炮制的在解题过程中应用.它可以综合应用高中阶段所有的知识点进行命题，同时内容本身的解题步骤就比较复杂，如果教师在课堂上以讲为主，时常会发现学生心不在焉，甚至在课堂上睡觉.那么应该用怎样的方法来启发学生对问题进行探究呢？在解答这个问题之前，先分析一下当前时代下人们学习方式的转变.在工业时代，人们的学习方式主要还是以口口相传或者经验传授的方式进行学习.而在网络时代，人们在学习的过程中更加注重主体参与、体验式的学习方式，因为所有的信息都能够信手拈来为我所用.那么面对杂乱无章的海量信息，教师更多的应该扮演引导者的角色，把探究过程中的操作步骤留给学生，让学生在合作探究的过程中慢慢去体会知识的形成与应用的过程.以软件为例，现在的软件首先会用step by step的方式对你进行指导，让你能够尽快了解软件的基本功能和操作方式.客户在了解了产品的基本功能之后，就可以在熟练操作的基础上对该软件的功能进行进一步的开发，另外对于复杂的软件则可以不断通过搜索引擎找到相关的案例进行手把手的操作，提升自我的应用能力，让软件更好的为我服务.这给导数的探究式教学提供了宝贵的借鉴.1．设置问题必须低起点.将导数应用在函数的研究中，学生之前从来没有使用过.所以在课程学习的最初阶段，教师应当努力维护学生对新鲜事物所拥有的本能的好奇，努力避免用复杂的问题瞬间将学生的学习热情扼杀在萌芽的状态.华罗庚先生曾经说过：“（数学教育）要尽可能的退，退到数学最本质的内容.”而这种“退”主要是要让学生能够在学习的最初阶段能够较好的抓住所学内容的本质.图象作为函数研究中的重要工具有着直观与便捷的特点，在《导数与函数单调性》的例题中先用图象作为探究的切入点，可以让学生直接开始对所给的图象作切线，尽可能靠近学生的“最近发展区”，可操作性比较强.2．一步一步引导最初学习.学生刚开始接触将导数作为方法研究函数的内容，教师不能要求学生一下就直接懂得探究的方法，应当对探究中的每一步都进行指点，让学生将自己的“最近发展区”在教师的指导下不断的向前推进并逐步形成自己的方法.另外结合心理学研究的结果：相比于耳朵听到的内容，眼睛看到的内容在记忆中留下的印象要更为深刻.教师可以在课堂的一开始将学生的基础定位定位尽可能低，以便于让尽可能多的学生能够参与到课堂的学习.3．便捷化的操作.操作越简单越能激起学习者的探究热情.在最初的引入阶段利用单调性的定义探究函数的单调性需要的步骤和技巧极多.而在学习导数的内容之后，学生可以对比两种解法，导数所具备的的明显的便捷性与普适性将会引导学生不断深入的学习下去.在得到导数与函数单调性的代数上的意义之后，紧接着又能够得到导数与函数单调性在图象上的相互关系. 4．建立学生智能的概念.学生是一个具有主观能动性的人，教师其实并不需要一开始就将复杂的题目向学生进行传授，而更应该回归到本源，将原本复杂的题目进行分解，让学生通过自主探究完成简单的问题，接着再慢慢的熟练掌握知识的内涵与作用.这时他就能对这些知识和技能进行重构，最终完成复杂的任务，这是大脑进行思考的基本顺序.所以在设置《导数和函数单调性》的问题时，在文字或者语言提示中不断的为学生铺路，尽可能让学生自主的解答学习过程中所存在的问题，不断挖掘知识的潜在价值，这甚至可以为后续的研究提供借鉴.当教师在后续的课程中设置同样的语言可以触发学生相同的思考，为后续的学习铺路.本节课由于是第一课时，所以教学的过程中依然停留在课堂内的学习.在网络化的时代，甚至可以鼓励学生在课堂上使用手机搜索自己存在的问题，还可以将自己在学习过程中的体会发布到网络上与其他同学进行分享，将课堂内的学习延伸到网络上，提高学生的学习乐趣和应用手机解决实际问题的能力.。

原创1：3.3.1 利用导数判断函数的单调性

数 f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．
(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、 “和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(2)中的单调减区间不能写成(0，π)∪32π，2π.
1－3x2<0，解得
x<－
33或
x>
3 3.
因此，函数
f(x)
的
单
调
减
区
间
为
－∞，－
3 3
，
33，＋∞.
(2)f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝ 2sinx＋4π＋1. 令 2sinx＋4π＋1>0，得 0<x<π 或32π<x<2π. 因此函数的单调增区间为(0，π)与32π，2π. 令 2sinx＋4π＋1<0，得 π<x<32π，因此函数的单调减区间为π，32π.
第三章导数及其应用
§3.3 导数的应用
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系； 2.能够利用导数研究函数的单调性； 3.会求函数的单调区间.
1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点) 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点) 3.常与方程、不等式等结合命题.
题目类型三、由单调性求参数的取值范围
例3.若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围．
[题后感悟] (1)一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范围？
函数在区间[a，b] 上单调递增减
―→
f′x≥0f′x≤0在区间[a，b]上恒成立

利用导数判断函数的单调性的方法

解：（I）依题意，对一切x∈R有f(-x)=f(x)，即e-xa+∴(a-1解2：f'(x)=x1-a2，f(x)在区间(-∞,1-a2，∵0<a综上，（I）当0<a<1时，所给不等式的解集为：⎨x|0≤x≤2a2x x+a（x>0）x例1设a>0，f(x)=e x利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0，则f(x)为减函数。

如果f'(x)=0，则f(x)为常数。

以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数y=f(x)在某个区间内可导。

1．f'(x)>0与f(x)为增函数的关系。

由前知，f'(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。

如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增，但f'(x)≥0，∴f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

2．f'(x)≠0时，f'(x)>0与f(x)为增函数的关系。

a1=+ae x，e-x ae x11a)(e x-e x)=0对一切x∈R成立，由此得到a-a=0，a2=1，又∵a>0，∴a=1。

（II）证明：由f(x)=e x+e-x，得f'(x)=e x-e-x=e-x(e2x-1)，当x∈(0,+∞)时，有e-x(e2x-1)>0，此时f'(x)>0。

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数。

例2设函数f(x)=x2+1-ax，其中a>0。

（2000年全国、天津卷）（I）解不等式f(x)≤1；（II）证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数。

3.3.1利用导数判断函数的单调性

备课时间
2011年11月27日
上课时间
第周周月日
班级节次
课题
利用导数判断函数的单调性
总课时数
第节
教学
目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
3.通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学
重难点
利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间
变式2：求函数y=3ex－3x单调区间。
变式3：求函数的单调区间。
四、课堂巩固
1．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。
2.函数的单调递增区间是_________
3.函数的单调递增区间是_________________.
4.当时，在上是减函数.5.求函数的单调来自间2、先看一次函数图象；
3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）
（1）观察三次函数的图象；
（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
二．探究新知
定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，
6．已知函数的图象过点，且在点
处的切线方程为。
（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。
四、课堂小结：
1.函数导数与单调性的关系
2.注意数形结合在解题中的应用.
教师适当点拨，学生完成。
学生在独立完成的基础上，
教师注意引导
做好讲评
变2让学生上黑板规范解题
变3使学生体会考虑定义域的必要性
课外

第三章3.3.1利用导数判断函数的单调性

3.求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和 f′(x)<0; (4)根据导数的结果确定函数f(x)的单调区间.
课堂互动讲练
题型一求函数的单调区间
例1 求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.
【分析】求函数的单调区间的具体步骤是： ①确定f(x)的定义域；②计算导数f′(x)；③ 求出f′(x)=0的根；④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考察这若干个区间内f′(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间.
ln(1+x).当x=0时，f(0)=0，所以x=ln(1+x).当x＞0
时，f(x)＞f(0)=0,即x-ln(1+x)＞0,所以x＞ln(1+x).
综上可知:当x=0时,x=ln(1+x),当x＞-1且x≠0时,x＞
ln(1+x).
【点评】遇到此类问题,首先构造函数,然后采用求导的方法判断函数的单调性,利用函数的单调性确定大小关系,使问题得到解决.
规律方法总结
1.函数的单调性与导数 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间.
(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪” 连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开. (4)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想. (5)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)在该区间上仍为增函数.