2.3 平均值不等式(选学) 同步测试 (人教B版选修4-5)

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高二数学人教B版选修4-5阶段质量检测(一) 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 Word版含解析

阶段质量检测(一) 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不．正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b ＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b |2．设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件3．不等式⎩⎪⎨⎪⎧ x＞0，3－x3＋x ＞|2－x2＋x |的解集是( )A ．(0,2)B ．(0,2.5)C ．(0，6)D ．(0,3)4．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >ab5．若不等式x 2＋|2x －6|≥a 对于一切实数x 均成立，则实数a 的最大值是() A ．7 B ．9C ．5D ．116．“|x －1|＜2”是“x ＜3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(江苏高考)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3 D.43 9．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c |B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b |＋1a －b≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a10．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d a ＋b ＋d，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知不等式|x －3|＜12(x ＋a )的解集为A ，且A ≠∅，则a 的取值范围是________． 12．若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________．13．设a ，b ，c ∈R ，且a ，b ，c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是________．14．用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________cm 2.三、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图像；(2)解不等式|x －8|－|x －4|>2.16．(本小题满分12分)设a ，b ，c ，d 是正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b <c ＋d ；②(a ＋b )(c ＋d )<ab ＋cd ；③(a ＋b )cd <ab (c ＋d )中至少有一个不正确．17．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．18.(本小题满分14分)(辽宁高考)设函数 f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1 的解集为M ，g (x )≤4 的解集为N .(1)求M ；(2)当 x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.答案1．选D 法一：(特殊值法)：令a ＝－1，b ＝－2，代入A 、B 、C 、D 中，知D 不正确．法二：由1a ＜1b＜0，得b ＜a ＜0，所以b 2＞ab ，ab ＞a 2，故A 、B 正确．又由b a ＞0，a b ＞0，且b a ≠a b ，得b a ＋a b＞2正确．从而A 、B 、C 均正确，对于D ，由b ＜a ＜0⇒|a |＜|b |.即|a |－|b |＜0，而|a －b |≥0.2．选A 当a ＝b ＝c ＝2时，有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立；当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(b ＋c )(a ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立，故“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．3．选C 用筛选法，容易验证x ＝2是不等式的解，否定A ；x ＝52不是不等式的解，否定D ；x ＝6使3－x 3＋x 与|2－x 2＋x|取“＝”，∵6＜52，故否定B. 4．选A a >b >0⇒1b >1a>0， ∴a ＋1b >b ＋1a. 5．选C 令f (x )＝x 2＋|2x －6|，当x ≥3时，f (x )＝x 2＋2x －6＝(x ＋1)2－7≥9；当x <3时，f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5.综上可知，f (x )的最小值为5，故原不等式恒成立只需a ≤5即可，从而a 的最大值为5.6．选A ∵|x －1|＜2⇔－2＜x －1＜2⇔－1＜x ＜3.∵－1＜x ＜3⇒x ＜3，反之不成立．从而得出“|x －1|＜2”是“x <3”的充分不必要条件．7．选C |x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋|y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3.8．选B 3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝232＝6.9．选C 因为|a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |，所以选项A 恒成立；在选项B 两侧同时乘以a 2，得a 4＋1≥a 3＋a ⇒(a 4－a 3)＋(1－a )≥0⇒a 3(a －1)－(a －1)≥0⇒(a －1)2(a 2＋a ＋1)≥0，所以选项B 恒成立；在选项C 中，当a ＞b 时，恒成立，a ＜b 时，不成立；在选项D 中，分子有理化得 2a ＋3＋a ＋1≤2a ＋2＋a 恒成立．10．选B 用放缩法，a a ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <a a ＋c ；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <b d ＋b ；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <c c ＋a ；d a ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <d d ＋b.以上四个不等式相加，得1<S <2. 11．解析：∵A ≠∅，∴|x －3|＜12(x ＋a )⇒－12(x ＋a )＜x －3＜12(x ＋a )⇒6－a 3＜x ＜6＋a . ∴6－a 3＜6＋a .解得a ＞－3. 答案：(－3，＋∞)12．解析：原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝1，a ＋1＝3解得a ＝2.答案：213．解析：a 3＋b 3＋c 3－3abc＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc )＝12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]，而a ，b ，c 不全相等⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2>0，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc ⇔a ＋b ＋c ≥0.答案：a ＋b ＋c ≥014．解析：设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x ) cm ，面积S ＝x (8－x )．由于x >0,8－x >0，可得S≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝8－x 即x ＝4时，S max ＝16. 所以矩形的最大面积是16 cm 2.答案：1615．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4， x ≤4，－2x ＋12， 4<x ≤8，－4， x >8，图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2.由－2x ＋12＝2，得x ＝5.由函数f (x )图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．16．证明：假设不等式①②③正确．∵a ，b ，c ，d 都是正数， ∴①②两不等式相乘得(a ＋b )2<ab ＋cd .④由③式，得(a ＋b )cd <ab (c ＋d )≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22·(c ＋d )．又∵a ＋b >0，∴4cd <ab ＋cd ，∴3cd <ab ，即cd <ab 3. 由④式，得(a ＋b )2<4ab 3，即a 2＋b 2<－23ab ，与平方和为正数矛盾．∴假设不成立，即①②③式中至少有一个不正确．17．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.18．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1).当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤43. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34. 因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5学业分层测评：第2章 2-3 平均值不等式选学含答案精品

学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1.已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是( )A.1a ＋1b ＋1c ≥9B.1a ＋1b ＋1c<9C.1a ＋1b ＋1c＝9D.不确定【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1≥33abc ，∴abc ≤127，又a ，b ，c 为正数，∴1abc ≥27，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc≥3327＝9.【答案】 A2.已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z的最小值为( ) A.336 B.2 2 C.12D.1235【解析】 ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0， ∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12. 当且仅当2x＝22y＝23z，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号.【答案】 C 3.若2a >b >0，则a ＋4a －bb的最小值是( )A.3B.1C.8D.12【解析】 a ＋4a －b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＋b2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2≥33⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2·b 2·1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2＝3.当且仅当a －b 2＝b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2，即a ＝b ＝2时等号成立.【答案】 A4.已知x 为正数，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n 为正数)，则a 的值为( )A.n nB.2nC.n 2D.2n ＋1【解析】 x ＋ax n ＝+ax n ，要使和式的积为定值，则必须n n ＝a ，故选A.【答案】 A5.已知a ，b ，c 为正数，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )【导学号：38000043】A.x ≤y ≤zB.y ≤x ≤zC.y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【解析】 ∵a ，b ，c 为正数， ∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29.∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z . 【答案】 B 二、填空题6.设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均.如图231，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均，线段________的长度是a ，b 的几何平均，线段________的长度是a ，b 的调和平均.图231【解析】在Rt△ABD 中，由射影定理易得到DC 2＝ab ，DC ＝ab ，故线段DC 的长度为a ，b 的几何平均数.又因为△ODC ∽△CDE ，所以CD OD ＝DE CD ，则DE ＝CD 2OD ＝2ab a ＋b，故线段DE 的长度为a ，b 的调和平均数.【答案】 DC DE7.当a ＞1,0＜b ＜1时，则log a b ＋log b a 的范围是________. 【解析】 ∵a ＞1,0＜b ＜1， ∴log a b ＜0，log b a ＜0， ∴－log a b ＞0，－log b a ＞0， ∴－log a b －log b a ≥2－log a b－log b a ＝2.当且仅当b ＝1a时取等号，∴log a b ＋log b a ≤－2. 【答案】 (－∞，－2]8.设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________.【解析】设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3. 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6，∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.【答案】1615三、解答题9.证明不等式1×2＋2×3＋…＋n n ＋<n n ＋2对一切正整数成立.【证明】 ∵nn ＋<2n ＋12， ∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋<32＋52＋…＋2n ＋12，即1×2＋2×3＋…＋nn ＋<n n ＋2.10.(1)已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥a ＋b2x ＋y，并指出等号成立的条件.(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x x ∈0，12的最小值，指出取最小值时的x 的值.【解】 (1)证明：由二元均值不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2·y x ＋b 2·x y ≥a 2＋b 2＋2a 2·y x ·b 2·x y ＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y≥a ＋b 2x ＋y.当且仅当a 2y x＝b 2x y，即a x ＝b y时上式取等号.(2)由(1)知，f (x )＝222x ＋321－2x ≥＋22x ＋－2x ＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，f (x )取最小值，且f (x )min ＝25.1.某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q ＜p ＜1)( )A.先提价p %，再提价q %B.先提价q %，再提价p %C.分两次都提价q 2＋p 22%D.分两次都提价p ＋q2%【解析】a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，由题可知，A ，B 两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)相等，C 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，D 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，p ＋q 2＜p 2＋q 22⇒(1＋p %)(1＋q %)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＜⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，则提价最多为C.【答案】 C2.若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A.16B.8C.4D.非上述情况【解析】 y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥216＝8，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝16，x ＋1x＝4，x ＝2＋3时取“＝”.【答案】 B3.若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________.【导学号：38000044】【解析】 (x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y x ＋y ＋z zx ＝2.【答案】 24.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y 元表示为速度v 千米/时的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？【解】 (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋bv 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv . 故所求函数为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫av＋bv ，v ∈(0，c ].(2)由题意知s ，a ，b ，v 都是正数，故有s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v＋bv ≥2s ab .当且仅当a v ＝bv ，即v ＝ab时等号成立. 若ab≤c ，则当v ＝ab时，全程运输成本y 最小；若a b >c 而v ∈(0，c ]，y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv 在(0，c ]上为减函数. ∴v ＝c 时，y min ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac＋bc .综上可知，为使全程运输成本y 最小，当a b ≤c 时，行驶速度应为v ＝abb ；当ab>c 时，行驶速度应为v ＝c .。

人教B版高中数学选修4-5课件：2.3平均值不等式(选学)

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定理2
设 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则 ��1 ��2 …�� ≥ 等号成立⇔a1=a2=…=an.
��
�� 为共轭指标),a,b 为正数,则 �� + ≥ab. �� 1 �� 1 ��
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UITANGLIANXI
≥
��
��1 ��2 …�� ,
(2)推论1:设a1,a2,…,an为n个正数,且a1a2…an=1,则 a1+a2+…+an≥n,且等号成立⇔a1=a2=…=an=1. (3)推论2:设C为常数,且a1,a2,…,an为n个正数,则当 a1+a2+…+an=nC时,a1a2…an≤Cn,且等号成立⇔a1=a2=…=an.
2.3
平均值不等式(选学)
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北师大版高中数学选修4-5第一章《均值不等式》同步测试(无答案)

北师大版高中数学选修4-5第一章《均值不等式》同步测试（无答案）1 / 2《均值不等式》同步测试题1．已知1(0,)4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是2．函数其中的最大值是3．若都是正数，且，则的最大值为4．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且不等式2220x y m m +--<有解，则实数m 的取值范围为5．若正数a b ，满足4310a b +-=，则112a b a b +++的最小值为6．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234y x a a +>-恒成立，则a 的取值范围为 7．()2301x x y x x++=>+的最小值是8．若0a >，0b >，26a b +=，则12a b +的最小值为9．若0,0,25a b a b >>+=，则ab 的最大值为________.10．已知，那么的最小值为______.11．已知实数x ，y 满足，则xy 的最大值为__________．12．已知，，且，则的最大值为______．13．已知0xy >，则9x y y x+的最小值为_______． 14．已知正数a ，b 满足22ab a b =+，则8a b +的最小值是__________．15．已知x ，y 0>，且满足x y 1+=，则19x y+的最小值为__________． 16．已知0x >，1y >-，且1=+y x ，则2231x y x y +++最小值为______．17．若正数满足，则的最小值为__________．18．若，且，则的最小值为_______．19．已知0,0ab >>，若不等式119m a b a b +≥+恒成立，求m 的最大值为____.20．已知正实数x ，y 满足，且恒有，则实数m 的取值范围是______．21．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．。

2019-2020学年人教B版数学选修4-5讲义：第2章 2.3 平均值不等式(选学) Word版

姓名，年级：时间：2。

3 平均值不等式(选学）学习目标：1。

了解算术平均，几何平均，调和平均的概念。

2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程。

3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．教材整理平均值不等式1．（平均值不等式)设a1，a2，…，a n为n个正数，则错误!≥错误!，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.（推论1）设a1，a2，…，a n为n个正数，且a1a2…a n＝1，则a1＋a2＋…＋a n≥n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n＝1。

当n＝3时，这个结论的几何解释是:如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．(推论2)设C为常数,且a1，a2，…，a n为n个正数,则当a1＋a2＋…＋a n＝nC 时,a1a2…a n≤C n,且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.当n＝3时,这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．2．任意给定n个正数,先求它们倒数的平均错误!，然后再作这个平均值的倒数错误!，称其为a1，a2，…,a n的调和平均．(定理2)设a1，a2，…，a n为n个正数,则错误!≥错误!，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.3．（定理3)设a1，a2，…,a n为正数,则错误!≥错误!≥错误!，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n。

（推论3）设a1，a2，…，a n为n个正数，则(a1＋a2＋…＋a n)·错误!≥n2.1．设x，y，z为正数,且x＋y＋z＝6,则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是（）A．（－∞,lg 6]B．（－∞,3l g 2］C．［lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞）[解析］∵x，y,z为正数，∴xyz≤错误!错误!＝23。

∴lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．[答案] B2．若a,b，c,d为正数,则错误!＋错误!＋错误!＋错误!的最小值为_____________.[解析］由平均值不等式可得，错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥4 错误!＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．[答案] 4利用平均值不等式求最值错误![精彩点拨］根据函数的结构,采用平均值不等式求其最值．［自主解答] 根据平均值不等式错误!＋错误!＋(79－x2）≥3 错误!＝3错误!，即y2≤623×错误!.当且仅当错误!＝79－x2，即x2＝错误!时等号成立．这时y max＝错误!.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．1．已知x，y，z∈错误!且x＋y＋z＝3，求y＝错误!＋错误!＋错误!的最大值．［解] 3x－2＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≤错误!＋错误!＋错误!＝错误!。

数学人教B版选修4-5课后导练：2.3 平均值不等式选学

课后导练基础达标1.设x ,y ∈R +,且x +y =6,则lg x +lg y 的取值范围是(A.（-∞,lg6］B.（-∞,2lg3］C.［lg6,+∞）D.［3lg2,+∞）解析:lg x +lg y =lg(xy )≤lg(2y x +)2答案:2.（2005高考福建卷）下列结论正确的是(A.当x >0且x ≠1时,lg x +x lg 1B.当x >0时,x +x 1C.当x ≥2时,x +x 1的最小值为D.当0<x ≤2时,x -x 1无最大值解析:x >0,x +x 1≥2x x 1⋅当且仅当x =x 1,即x =1时,等号成立答案:3.在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值是(A.(2-1)2B.2(2+1)2C.3(2-1)2D.4(2+1)2解析:∵a +b +22b a ＋=21ab ≥2ab +ab 2且a =b 时取等号∴ab ≥24+162∴S △=21ab ≥4(2+1)2答案:4.如果存在实数x ,使cos α=2x +x 21成立,那么实数x 的集合是(A.{-B.{x |x <0,或xC.{x |x >0,或x =-D.{x |x ≤-1,或x ≥1}解析:由|cos α|≤1,所以|2x +x21又2x +x 21|=|2x |+|x 21|≥241所以2x +x 21当且仅当|x |=1时成立即x =±1时取等号答案:5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站__________千米处.解析:设仓库建在离车站d 千米处由已知y 1=2=101k ,得k 1 ∴y 1=d 20y 2=8=k 2×10,得k 2=54∴y 2=54d∴y 1+y 2=d 20+54d ≥25420d d ⋅当且仅当d 20=54d ,即d =5时,费用之和最小答案: 6.求f (x )=3+lg x +xlg 4的最大值(0<x <1). 解:∵0<x <1,∴lg x <0,x lg 4∴-lg x >0,-x lg 4∴(-lg x )+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (x x --即(-lg x )+(-xlg 4∴lg x +xlg 4≤- ∴f (x )=3+lg x +x lg 4≤3-4=-当且仅当lg x =x lg 4,即x =1001时,取等号则有f (x )=3+lg x +x lg 4(0<x <1)的最大值为-7.已知x >0,y >0,且191=+yx ,求4x +y 的最小值. 解:∵x >0,y >0,191=+y x∴4x +y =(y x 91+)(4x +y )=x y +yx 36当且仅当x y =y x 36,又yx 91+即x =25,y =15时,上式等号成立故当x =25,y =15时,(4x +y )min8.求证:a 2+b 2≥ab +a +b -1.证明:a 2+b 2≥2ab ,a 2+1≥2a ,b 2+1≥2b相加得a 2+b 2+a 2+1+b 2+1≥2ab +2a +2b⇒2(a 2+b 2)≥2ab +2a +2b -⇒a 2+b 2≥ab +a +b -(当且仅当a =b =1时取等号综合运用 9.已知a ,b ,c ∈R +且a +b +c =1,求证:(a 1-1)(b 1-1)(c 1-1)≥8. 证明:∵a +b +c∴a 1-1=a a -1=ac b +又a ,b ,c >0,∴a c b +≥abc2 ∴a 1-1≥abc2 同理, b 1-1≥b ac 2>0, c 1-1≥cab2 故(a 1-1)(b1-1)(c 1- ≥a bc 2·b ac 2·c ab2即(a 1-1)(b1-1)(c 1-1)≥8(当且仅当a =b =c 时取等号 10.已知a +b =1,求证:(a +a 1)2+(b +b 1)2≥225. 证明:∵2b a +≤222b a+ 则222b a +≥(2b a +)2 又∵1=a +b ≥2ab ,∴ab ≤21∴(a +a 1)2+(b +b 1)2≥2(211b b a a +++)2=2)111(2b a ++≥2)121(ab +≥225 ∴(a +a 1)2+(b +b1)2≥225 11.若x ,y 是正数,则(x +y21)2+(y +x 21)2的最小值为多少? 解:由题意(x +y 21)2+(y +x 21)2≥2(x +y 21)(y +x 21)=2(xy +xy 41+1)≥2(2xyxy 41⋅+1)=4.“=”成立的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,41)(,21212xy x y y x 即x =y =22时,则最小值为 12.函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y )-f (y )=(x +2y +1)x 成立,且f(1)求f(2)求f (x(3)不等式f (x )>ax -5当0<x <2时恒成立,求a 的取值范围.解:(1)令x =1,y =0,得f (1+0)-f∴f (0)=f (1)-2=-(2)令y =0,f (x +0)-f (0)=(x +2×0+1)·x =x 2+x ,∴f (x )=x 2+x -(3)f (x )>ax -5化为x 2+x -2>ax -5,ax <x 2+x∵x ∈(0,2),∴a <xx x 32++=1+x +x3 当x ∈（0,2）时,1+x +x 3≥1+23,当且仅当x =x 3,x =3时取等号,由3∈(0,2)得(1+x +x3)min =1+23 ∴a <1+23.拓展探究13.某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费共计9千元,这种生产设备的维修费各年为:第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2千元的增量逐年递增,问这种生产设备,最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解:设使用x 年的年均费用为y 万元,由已知x x x x y 2)2.02.0(9.010+++=, 即y =1+x 10+10x (x ∈N *∴y ≥1+21010x x⋅(当且仅当x 10=10x ,即x =10时等号成立故使用10年报废最合算,年平均费用为3万元。

数学人教B版选修4-5课后导练：2.3 平均值不等式(选学)含解析

课后导练基础达标1.设x ,y ∈R +,且x +y =6,则lg x +lg y 的取值范围是( )A.（—∞,lg6］B.（—∞,2lg3］C.［lg6，+∞）D.［3lg2，+∞）解析：lg x +lg y =lg(xy )≤lg(2y x +）2=2lg3. 答案：B 2.(2005高考福建卷）下列结论正确的是( ） A 。

当x >0且x ≠1时,lg x +x lg 1≥2 B 。

当x 〉0时，x +x 1≥2C 。

当x ≥2时，x +x 1的最小值为2D.当0<x ≤2时,x —x 1无最大值解析：x >0，x +x 1≥2x x 1⋅=2，当且仅当x =x 1，即x =1时，等号成立。

答案：B3。

在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值是() A.(2—1）2B.2(2+1)2C.3（2-1)2D 。

4(2+1)2解析:∵a +b +22b a ＋=21ab ≥2ab +ab 2且a =b 时取等号,∴ab ≥24+162。

∴S △=21ab ≥4(2+1）2。

答案:D4.如果存在实数x ,使cos α=2x+x 21成立，那么实数x 的集合是（）A 。

{—1,1｝B 。

｛x |x <0,或x =1}C.{x ｜x >0,或x =—1}D 。

｛x |x ≤—1,或x ≥1｝解析:由|cos α｜≤1，所以|2x +x 21|≤1. 又2x +x 21|=｜2x |+|x 21|≥241=1。

所以2x+x21≥1。

当且仅当|x ｜=1时成立,即x =±1时取等号。

答案：A5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站__________千米处.解析:设仓库建在离车站d 千米处,由已知y 1=2=101k ,得k 1=20, ∴y 1=d20。

2018-2019学年同步指导高中数学(人教B版)选修4-5导学案：2.3 平均值不等式(选学)Word版含答案

2.3 平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型1.进一步熟悉平均值不等式及柯西不等式.2.会用平均值不等式及柯西不等式求某些初等函数的最值问题.自学导引1.设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n －，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .2.设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则na 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n－，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .3.设a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n－，等号成立⇔a 1＝a 2＝…a n . 4.设D 为f (x )的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f (x )≤f (x 0) (f (x )≥f (x 0)) x ∈D ，则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小)值，x 0称为f (x )在D 上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题.基础自测1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件和2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为( ) A.20，23 B.19，25 C.21，23D.19，24解析最多为5×3＋4×2＋2×1＝25，最少为5×1＋4×2＋2×3＝19，应选B.答案 B2.若f (x )＝x 3＋3x 且x ∈(0，1]，则f (x )的最小值是( ) A.2 B.不存在 C.103D.316解析 ∵x ∈(0，1]，即x >0. f (x )＝x 3＋3x ≥21＝2.等号成立的条件是x 3＝3x，即x ＝3∉(0，1]，所以利用均值不等式，等号不成立，不能求f (x )的最小值.令x 3＝t ，则3x ＝1t ，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，原函数变为y ＝t ＋1t ，∵y ＝t ＋1t 在(0，1]上是减函数，则在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上也是减函数，∴t ＝13时，y min ＝13＋3＝103. 答案 C3.函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x <0)的值域为____________.解析将原函数变为y ＝3x ＋1x ＋1，用函数x ＋1x 在x <0时的性质知：x ＋1x ≤－2.∴x＋1x ＋1≤－1，∴1≥－1x ＋1x ＋1，即0>1x ＋1x ＋1≥－1，∴0>y ＝3x ＋1x ＋1≥－3，故值域为[－3，0). 答案 [－3，0)知识点1 利用柯西不等式求函数的最值【例1】若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点. 解由柯西不等式，得： (x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2＝4. 所以25(x 2＋y 2)≥4，即x 2＋y 2≥425.当且仅当x 3＝y4时，等号成立，∴⎩⎨⎧4x ＝3y3x ＋4y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625y ＝825.所以x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.●反思感悟：利用柯西不等式求函数的最小值时，往往需乘以一个两常数的平方和，常数的选取要根据题设条件来定，如例1，利用柯西不等式求最大值时，往往对函数解析式的各项配一系数，使利用柯西不等式后n 个项的平方和为常数.1.设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c 2＝1，求a ＋b ＋2c 的最大值. 解由柯西不等式得：(a ＋b ＋2c )2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ·1＋b ·1＋2c ·122 ≤[(a )2＋(b )2＋(2c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即(a ＋b ＋2c )2≤1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋12＝52. 当且仅当a 1＝b 1＝2c12时，即a ＝b ＝8c 2时取等号. ∴20c 2＝1，c ＝125＝510，a ＝b ＝25时，a ＋b ＋2c 的最大值为102.知识点2 利用平均值不等式求函数的最值【例2】(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求y ＝x 2＋1x 2＋4的最大值；(3)若x >0，y >0，且x ＋y ＝2，求x 2＋y 2的最小值. 解 (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立.故当x ＝1时，y max ＝1. (2)y ＝x 2＋1x 2＋4＝x 2＋1（x 2＋1）＋3＝1x 2＋1＋3x 2＋1≤123＝36. 当且仅当x 2＋1＝3x 2＋1，即x 2＝2，x ＝±2时，y max ＝36.(3)方法一：由x 2＋y 2≥2xy ，得2(x 2＋y 2)≥(x ＋y )2，即x 2＋y 2≥（x ＋y ）22.因为x ＋y ＝2，所以x 2＋y 2≥2. 当且仅当x ＝y ＝1时，取得最小值2. 方法二：由柯西不等式，得： (x 2＋y 2)(12＋12)≥(x ＋y )2. ∴x 2＋y 2≥12(x ＋y )2＝12×4＝2. 当且仅当x 1＝y1，即x ＝y 时取等号. ∴x ＝y ＝1时，(x 2＋y 2)min ＝2.●反思感悟：利用平均值不等式求最值关键在变形上，变形的目的是能得到积为定值或和为定值，求最值时一定要找出最大(小)值点，如果最大(小)值点不存在，则不能用平均值不等式求最值，可考虑用函数的单调性或用其它方程.。

高中数学 2.3 平均值不等式(选修)课后知能检测新人教B版选修45

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 平均值不等式（选修）课后知能检测新人教B 版选修4-5一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是( )A.1a ＋1b ＋1c ≥9B.1a ＋1b ＋1c<9C.1a ＋1b ＋1c＝9D ．不确定【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1≥33abc ，∴abc ≤127，又a ，b ，c ∈R ＋，∴1abc ≥27.∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc≥3327＝9.【答案】 A2．当x >0时，y ＝3x ＋12x 2的最小值为( )A.3239 B ．3C.5235 D ．432【解析】 y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥3 332x ·32x ·12x 2＝3398＝32 39.当且仅当32x ＝12x 2，即x ＝313时，等号成立．【答案】 A 3．若2a >b >0，则a ＋42a －bb的最小值是( ) A ．3 B ．1 C ．8D ．12【解析】a ＋42a－b b＝(a－b2)＋b2＋1a－b2b2≥33a－b2b21a－b2b2＝3.当且仅当a－b2＝b2＝1a－b2b2，即a＝b＝2时等号成立．【答案】 A4．已知x∈R＋，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋ax n≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为( )A．n n B．2nC．n2D．2n＋1【解析】x＋ax n＝，要使和式的积为定值，则必须n n ＝a，故选A.【答案】 A二、填空题图2－3－15．设a>0，b>0，称2aba＋b为a，b的调和平均．如图2－3－1，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均，线段________的长度是a，b的几何平均，线段________的长度是a，b的调和平均．【解析】在Rt△ABD中，由射影定理易得到DC2＝ab，DC＝ab，故线段DC的长度为a，b的几何平均数．又因为△ODC∽△CDE，所以CDOD＝DECD，则DE＝CD2OD＝2aba＋b，故线段DE的长度为a，b的调和平均数.【答案】DC DE6．已知x，y，z∈R＋，且2x＋3y＋5z＝6，则xyz的最大值为________．【解析】∵x，y，z∈R＋，∴xyz＝130×2x×3y×5z≤130×(2x＋3y＋5z3)3＝415.当且仅当2x ＝3y ＝5z ，即x ＝1，y ＝23，z ＝25时等号成立．【答案】415三、解答题7．证明：设n 为正整数，则n [(n ＋1)1n －1]<1＋12＋13＋…＋1n .【证明】原不等式等价于： (n ＋1)1n<1＋12＋13＋…＋1n n＋1＝1＋12＋13＋ (1)＋n n，∵1＋12＋13＋ (1)＋n n＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋ (1)1nn＝2＋32＋43＋…＋n ＋1n n >n 2·32·43…n ＋1n＝nn ＋1＝(n ＋1)1n.∴原式成立． 8．证明不等式1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<n n ＋22对一切正整数成立．【证明】 ∵nn ＋1<2n ＋12， ∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<32＋52＋…＋2n ＋12，即1×2＋2×3＋…＋nn ＋1<n n ＋22.9．(1)已知a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥a ＋b2x ＋y，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))的最小值，指出取最小值时的x的值．【解】 (1)由二元均值不等式得(a 2x ＋b 2y )(x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2·y x ＋b 2·x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y.当且仅当a 2y x＝b 2x y，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)知：f (x )＝222x ＋321－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，f (x )取最小值．且f (x )min ＝25. 教师备选10．甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度V 千米/时的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y 元表示为速度V 千米/时的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？【解】 (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为S V，全程运输成本为y ＝a ·S V ＋bV 2·S V ＝S (aV＋bV )．故所求函数为y ＝S (aV＋bV )，V ∈(0，c ]．(2)由题意知S ，a ，b ，V 都是正数，故有S (a V＋bV )≥2S ab . 当且仅当a V ＝bV ，即V ＝ab时等号成立．若ab≤c ，则当V ＝ab时，全程运输成本y 最小；若a b >c 而V ∈(0，c ]，y ＝S (aV＋bV )在(0，c ]上为减函数． ∴V ＝c 时，y min ＝S (ac＋bc )．综上可知，为使全程运输成本y 最小，当a b ≤c 时，行驶速度应为V ＝ab b；当ab>c 时，行驶速度应为V ＝c .。

2019_2022学年高中数学课时分层作业10平均值不等式(选学)(含解析)新人教B版选修4_5

课时分层作业(十) 平均值不等式(选学)(建议用时：45分钟)[根底达标练]一、选择题1．a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，那么1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是( )A ．1a ＋1b ＋1c ≥9B ．1a ＋1b ＋1c<9C ．1a ＋1b ＋1c＝9D ．不确定[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1≥33abc ，∴abc ≤127，又a ，b ，c 为正数，∴1abc ≥27，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc≥3327＝9.[答案] A2．x ＋2y ＋3z ＝6，那么2x ＋4y ＋8z的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235[解析] ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z≥332x ·22y ·23z ＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12. 当且仅当2x＝22y＝23z，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号．[答案] C3．假设2a >b >0，那么a ＋4(2a －b )b 的最小值是( )A ．3B ．1C ．8D ．12[解析] a ＋4(2a －b )b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＋b2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2≥33⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2·b 2·1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2＝3. 当且仅当a －b 2＝b2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2，即a ＝b ＝2时等号成立．[答案] A4．x 为正数，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n 为正数)，那么a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1[解析] x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋a xn ，要使和式的积为定值，那么必须n n＝a ，应选A. [答案] A5．a ，b ，c 为正数，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，那么( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x[解析] ∵a ，b ，c 为正数， ∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29.∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z . [答案] B 二、填空题 6．设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均．如图，C 为线段AB上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .那么图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均，线段________的长度是a ，b 的几何平均，线段________的长度是a ，b 的调和平均．[解析] 在Rt△ABD 中，由射影定理易得到DC 2＝ab ，DC ＝ab ，故线段DC 的长度为a ，b 的几何平均数．又因为△ODC ∽△CDE ，所以CD OD ＝DE CD ，那么DE ＝CD 2OD ＝2aba ＋b，故线段DE 的长度为a ，b 的调和平均数.[答案] DC DE7．当a ＞1,0＜b ＜1时，那么log a b ＋log b a 的范围是________． [解析] ∵a ＞1,0＜b ＜1， ∴log a b ＜0，log b a ＜0， ∴－log a b ＞0，－log b a ＞0，∴－log a b －log b a ≥2(－log a b )(－log b a )＝2. 当且仅当b ＝1a时取等号，∴log a b ＋log b a ≤－2. [答案] (－∞，－2]8．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，那么P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．[解析] 设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3. 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6，∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.[答案]1615三、解答题9．证明不等式1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<n (n ＋2)2对一切正整数成立．[证明] ∵n (n ＋1)<2n ＋12，∴1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<32＋52＋…＋2n ＋12，即1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<n (n ＋2)2.10．(1)a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x x ∈0，12的最小值，指出取最小值时的x 的值．[解] (1)证明：由二元均值不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2·y x ＋b 2·x y ≥a 2＋b 2＋2a 2·y x ·b 2·x y ＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y≥(a ＋b )2x ＋y. 当且仅当a 2yx＝b 2x y，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)知，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，f (x )取最小值，且f (x )min ＝25.[能力提升练]1．某城市为控制用水，方案提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(0＜q ＜p ＜1)( )A ．先提价p %，再提价q %B ．先提价q %，再提价p %C ．分两次都提价q 2＋p 22%D ．分两次都提价p ＋q2%[解析]a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，由题可知，A ，B 两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)相等，C 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，D 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，p ＋q 2＜p 2＋q 22⇒(1＋p %)(1＋q %)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＜⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，那么提价最多为C.[答案] C2．假设x ＞1，那么函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况[解析] y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥216＝8，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝16，x ＋1x＝4，x ＝2＋3时取“＝〞．[答案] B3．假设x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，那么(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________．[解析] (x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y (x ＋y ＋z )zx ＝2. [答案] 24．甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，汽车每小时的运输本钱(以元为单位)由可变局部和固定局部组成，可变局部与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b ，固定局部为a 元．(1)把全程运输本钱y 元表示为速度v 千米/时的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输本钱最小，汽车应以多大的速度行驶？[解] (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，全程运输本钱为y ＝a ·s v＋bv 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv . 故所求函数为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫av＋bv ，v ∈(0，c ]．(2)由题意知s ，a ，b ，v 都是正数，故有s ⎝⎛⎭⎪⎫av＋bv ≥2s ab . 当且仅当a v ＝bv ，即v ＝ab时等号成立．假设ab≤c ，那么当v ＝ab时，全程运输本钱y 最小；假设a b >c 而v ∈(0，c ]，y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv 在(0，c ]上为减函数． ∴v ＝c 时，y min ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac＋bc .综上可知，为使全程运输本钱y最小，当ab≤c时，行驶速度应为v＝abb；当ab>c时，行驶速度应为v＝c.。

北师大版数学选修4-5达标检测：第一章 §3 第1课时平均值不等式

[A 基础达标]1.a ，b 为非零实数，那么不等式恒成立的是( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．a ＋b2≥abC.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥abD ．b a ＋a b≥2解析：选C.a ，b 为非零实数时，A ，B ，D 均不一定成立．而⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－ab ＝⎝⎛⎭⎫a －b 22≥0恒成立． 2.设a >0，b >0，且a ＋b ≤4，则有( ) A.1ab ≥12 B ．1a ＋1b ≥1C.ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤14解析：选B.4≥a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤2. ∴1ab ≥12，1a ＋1b ≥2·1ab≥1. 3.设x ，y ，z 为正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg6] B ．(－∞，3lg2] C ．[lg6，＋∞)D ．[3lg2，＋∞)解析：选B.∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ，∴xyz ≤8， ∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤lg8＝3lg2.4.设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b (a >0，b >0且a ≠b )，则A ，B 的大小关系是________．解析：法一：(比较法)A －B ＝（a －b ）22ab （a ＋b ）>0(a >0，b >0且a ≠b )，则A >B .法二：A >1ab ，B <1ab，故A >B . 答案：A >B[B 能力提升]5.若0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2abD ．a ＋b解析：选D.∵0<a <1，0<b <1，a ≠b ， ∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ，四个数中最大的一个应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又∵0<a <1，0<b <1， ∴a (a －1)<0，b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0，即a 2＋b 2<a ＋b ， ∴a ＋b 最大，选D.6.已知x ∈(0，＋∞)，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析：选A.x ＋ax n ＝＋ax n ，要使和式的积为定值，则必须n n ＝a ，故选A.7.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析：选B.∵a >b >1，∴lg a >0，lg b >0. ∴Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，即P <Q .又∵a ＋b 2>ab ，∴lga ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q . ∴P <Q <R .8.已知a >b >0，全集U ＝R ，M ＝{x |b <x <a ＋b2}，N ＝{x |ab <x <a }，P ＝{x |b <x ≤ab }，则( )A ．P ＝M ∩(∁R N )B ．P ＝(∁R M )∩NC ．P ＝M ∩ND ．P ＝M ∪N解析：选A.∵a >b >0，∴a >a ＋b 2，ab >b ，a ＋b 2>ab ，∴a >a ＋b 2>ab >b ，∴P ＝M ∩(∁R N )．9.已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( ) A ．x ≤y ≤z B ．y ≤x ≤z C ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x解析：选B.∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ＋c 3≥ 3abc ， ∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x .即y ≤x ≤z .10.当a >1，0<b <1时，log a b ＋log b a 的范围是________．解析：∵a >1，0<b <1， ∴log a b <0，log b a <0， ∴－log a b >0，－log b a >0，∴－log a b －log b a ≥2（－log a b ）（－log b a ）＝2. 当且仅当b ＝1a 时取等号，∴log a b ＋log b a ≤－2. 答案：(－∞，－2]11.设a >0，b >0，给出下列不等式： (1)a 2＋1>a ；(2)(a ＋1a )(b ＋1b )≥4；(3)(a ＋b )(1a ＋1b )≥4；(4)a 2＋9>6a ； (5)a 2＋1＋1a 2＋1>2. 其中恒成立的是________．解析：(1)a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴a 2＋1>a 恒成立．(2)当且仅当a ＝b ＝1时该不等式成立． (3)当且仅当a ＝b 时，该不等式成立． (4)当a ＝3时，有a 2＋9＝6a 成立． (5)∵a 2＋1>1.∴a 2＋1＋1a 2＋1>2恒成立．答案：(1)(5)12.已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)，∴a 2b＋b ≥2a 2b·b ＝2a (当且仅当a ＝b 时取等号)．同理b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c (当且仅当b ＝c ，a ＝c 时取等号)．三式相加有a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 13.设a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1ab ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab≥4＋4＝8，当且仅当a ＝b 时等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.由Ruize收集整理。

人教B版高中数学选修4-5课件 2.3 平均值不等式选学课件 2

以 a＋b 长的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC＝a， CB＝b.过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′，连结 AD、DB，易证 Rt△ACD∽Rt△DCB，那么 CD2＝CA·CB，即 CD＝ ab.
这个圆的半径为a＋2 b，显然，它大于或等于 CD，即a＋2 b≥ ab. 其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 a＝b 时，等号成立．要注意，重要不等式 a2＋b2≥2ab 与定理a＋2 b≥ ab中的 a，b 取值范围不同．a2 ＋b2≥2ab 中的 a，b 为实数即可，而a＋2 b≥ ab中的 a，b 必须同为正数．
3．均值不等式的变形 (1)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)常用来证明积(ab)与和(a＋b)有关联的不等式．
(2)ab≤a2＋2 b2(a，b∈R)常用来证明平方和与积有关联的不等式．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)常用来证明和与平方和有关联的不等式．
(4)应用两个重要的不等式可以得到一些常用的不等式，主要有：
(当且仅当 x＝－ 22时，取“＝”号) ∴ymax＝－ 2.
(2)∵x＞3，
∴y＝x－1 3＋x＝x－1 3＋(x－3)＋3≥5
(当且仅当 x－3＝x－1 3，即 x＝4 时，取“＝”号)． ∴ymin＝ 5. (3)∵x＞0，a＞2x， ∴y＝x(a－2x)
＝12·2x·(a－2x) ≤12·[2x＋2a－2x]2 ＝a82(当且仅当 x＝a4时，取“＝”)． ∴ymax＝a82.
解析 ∵(a＋b)(1a＋1b)≥2 ab·2 a1b＝4. ∴A 成立； ∵a2＋ b2＋2－ (2a＋2b)＝(a－ 1)2＋ (b－1)2≥0， ∴C 成立；对于 D，如果 a＜b，显然成立，如果 a＞b，则 |a－b|≥ a－ b ⇔a－b≥a－2 ab＋b ⇔2 b( b－ a)≤0，而 2 b( b－ a)≤0 成立，故 D 也成立．所以选 B.

北师大版高中数学选修4-5课时训练平均值不等式

课堂练习(四)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列不等式恒成立的是( ) A ．x ＋1x≥2B ．sin x ＋1sin x ≥2C ．a b ＋b a≥2 D ．e x＋1ex ≥2[解析] 根据a ＋b2≥ab 知，条件需a >0，b >0.∴A，B ，C 均不成立，D 中，∵e x>0，∴成立．[答案] D2．a ，b 为非零实数，那么不等式恒成立的是( ) A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．a ＋b2≥abC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab D ．b a ＋a b≥2[解析] a ，b 为非零实数时，A ，B ，D 均不一定成立．而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22≥0恒成立． [答案] C3．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ≤4，则有( ) A ．1ab ≥12 B ．1a ＋1b≥1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤14[解析] 4≥a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤2. ∴1ab ≥12，1a ＋1b ≥2·1ab≥1. [答案] B4．设0<a <b ，a ＋b ＝1，则下列不等式正确的是( ) A ．2<2ab <a 2＋b 2<a 2＋b 2B ．2ab <b <a 2＋b 2<a 2＋b 2C ．2ab <a 2＋b 2<b <a 2＋b 2D ．2ab <a 2＋b 2<a 2＋b 2<b[解析] ∵0<a <b ，且a ＋b ＝1， ∴0<a <b <1，∴a 2＋b 2>2ab ，b >a 2＋b 2，且a 2＋b 2>b . 故2ab <a 2＋b 2<b <a 2＋b 2. [答案] C5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2[解析] 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a2a ＋b ＝0，∴v ＞a .[答案] A 二、填空题6．已知a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________.[解析] ∵a ，b 都是正数， ∴a b ＋b c ＋c a ≥3，且b a ＋c b ＋a c≥3.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. [答案] 97．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b (a ＞0，b ＞0且a ≠b )，则A ，B 的大小关系是________．[解析] 法一(比较法)：A －B ＝(a －b )22ab (a ＋b )＞0(a ＞0，b ＞0且a ≠b )，则A >B .法二：A ＞1ab，B ＜1ab，故A ＞B .[答案] A ＞B8．已知不相等的三个正数a ，b ，c 且abc ＝1，则a 3＋b 3＋c 3与3的大小关系是________． [解析] ∵a ，b ，c 是不相等的三个正数，且abc ＝1，∴a 3＋b 3＋c 3＞33a 3b 3c 3＝3. [答案] a 3＋b 3＋c 3＞3 三、解答题9．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.[证明] ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴2ab ≤a ＋b . 因此ab ≤12，1ab≥4.则1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab＋4＝8.10．已知a ，b ，c 大于0，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.[证明] ∵a ，b ，c 大于0， ∴(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a ) ≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )＞0，1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ＞0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．[能力提升练]1．设a ，b ，c 为正数，则“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 [解析] 当a ＝b ＝c ＝2时，有1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立；当abc ＝1时，1a＋1b＋1c＝bc ＋ac ＋ababc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立，故“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．[答案] A2．当a ，b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是( ) A ．a ＋b2B ．abC ．a 2＋b 22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋b －12－1 [解析] 由a ＋b2≥ab 及a 2＋b 2≥2ab ，且a ≠b ， ∴a 2＋b 22≥2ab2＝ab ， ∴A，B ，C 中，ab 最小．而⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋b －12－1＝2ab a ＋b . ∵a ≠b 时，a ＋b ＞2ab ＞0， ∴(a ＋b )ab ＞2ab ＞0，2aba ＋b＜ab . 综上可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋b －12－1最小，应选D. [答案] D3．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.[解析] 利用特殊值a ＝b ＝1排除②④.由平均值不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1，∴①正确．由a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4＝2[(a －1)2＋1]≥2，∴③正确．由1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12(2＋2)＝2，∴⑤正确． [答案] ①③⑤4．设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．[解] 因为a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，所以(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)＝9.于是⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥331(3a ＋2)(3b ＋2)(3c ＋2)·33(3a ＋2)(3b ＋2)(3c ＋2)＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，故13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为1.。

2019_2020学年高中数学课时分层作业10平均值不等式选学含解析新人教b版选修4_5

课时分层作业(十) 平均值不等式(选学)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是( )A ．1a ＋1b ＋1c ≥9B ．1a ＋1b ＋1c<9C ．1a ＋1b ＋1c＝9D ．不确定[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1≥33abc ，∴abc ≤127，又a ，b ，c 为正数，∴1abc ≥27，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc≥3327＝9.[答案] A2．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235[解析] ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z≥332x ·22y ·23z ＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12. 当且仅当2x＝22y＝23z，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号．[答案] C3．若2a >b >0，则a ＋4(2a －b )b 的最小值是( )A ．3B ．1C ．8D ．12[解析] a ＋4(2a －b )b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＋b2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2≥33⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2·b 2·1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2＝3. 当且仅当a －b 2＝b2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2，即a ＝b ＝2时等号成立．[答案] A4．已知x 为正数，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n 为正数)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1[解析] x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋a xn ，要使和式的积为定值，则必须n n＝a ，故选A. [答案] A5．已知a ，b ，c 为正数，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x[解析] ∵a ，b ，c 为正数， ∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29.∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z . [答案] B 二、填空题 6．设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均．如图，C 为线段AB上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均，线段________的长度是a ，b 的几何平均，线段________的长度是a ，b 的调和平均．[解析] 在Rt△ABD 中，由射影定理易得到DC 2＝ab ，DC ＝ab ，故线段DC 的长度为a ，b 的几何平均数．又因为△ODC ∽△CDE ，所以CD OD ＝DE CD ，则DE ＝CD 2OD ＝2aba ＋b ，故线段DE 的长度为a ，b 的调和平均数.[答案] DC DE7．当a ＞1,0＜b ＜1时，则log a b ＋log b a 的范围是________． [解析] ∵a ＞1,0＜b ＜1， ∴log a b ＜0，log b a ＜0， ∴－log a b ＞0，－log b a ＞0，∴－log a b －log b a ≥2(－log a b )(－log b a )＝2. 当且仅当b ＝1a时取等号，∴log a b ＋log b a ≤－2. [答案] (－∞，－2]8．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．[解析] 设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3. 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6，∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.[答案]1615三、解答题9．证明不等式1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<n (n ＋2)2对一切正整数成立．[证明] ∵n (n ＋1)<2n ＋12，∴1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<32＋52＋…＋2n ＋12，即1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<n (n ＋2)2.10．(1)已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x x ∈0，12的最小值，指出取最小值时的x 的值．[解] (1)证明：由二元均值不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2·y x ＋b 2·x y ≥a 2＋b 2＋2a 2·y x ·b 2·x y ＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y≥(a ＋b )2x ＋y. 当且仅当a 2yx＝b 2x y，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)知，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，f (x )取最小值，且f (x )min ＝25.[能力提升练]1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q ＜p ＜1)( )A ．先提价p %，再提价q %B ．先提价q %，再提价p %C ．分两次都提价q 2＋p 22%D ．分两次都提价p ＋q2%[解析]a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，由题可知，A ，B 两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)相等，C 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，D 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，p ＋q 2＜p 2＋q 22⇒(1＋p %)(1＋q %)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＜⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，则提价最多为C.[答案] C2．若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况[解析] y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥216＝8，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝16，x ＋1x＝4，x ＝2＋3时取“＝”．[答案] B3．若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________． [解析] (x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y (x ＋y ＋z )zx ＝2. [答案] 24．甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y 元表示为速度v 千米/时的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？[解] (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，全程运输成本为y ＝a ·s v＋bv 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv . 故所求函数为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫av＋bv ，v ∈(0，c ]．(2)由题意知s ，a ，b ，v 都是正数，故有s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v＋bv ≥2s ab .当且仅当a v ＝bv ，即v ＝ab时等号成立．若ab≤c ，则当v ＝ab时，全程运输成本y 最小；若a b >c 而v ∈(0，c ]，y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv 在(0，c ]上为减函数． ∴v ＝c 时，y min ＝s ⎝⎛⎭⎪⎫ac＋bc .综上可知，为使全程运输成本y 最小，当a b ≤c 时，行驶速度应为v ＝ab b ；当ab>c时，行驶速度应为v＝c.。