第8章 无约束问题最优化方法
7(10)无约束最优化问题
无约束最优化问题
三,极值的充分条件
定理2 充分条件) 定理2 (充分条件) 设函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 的某邻域内连续 有一阶及二阶连续偏导数 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0, 令 fxx ( x0 , y0 ) = A, fxy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y0 ) = C,
18
无约束最优化问题
作业
习题7.10 (112页 习题7.10 (112页) (A)2. 3.(2) 6. (B) 1. 2. 6.
19
�
一元函数 f ( x , y0 ) 在点 x0 处取得有极小值 处取得有极小值, 表示动点 P ( x , y ) ∈ U ( P0 , δ ),且 P ( x , y )沿直线
17
无约束最优化问题
y = y0上, 并沿该直线 即沿平行于 轴的正负 并沿该直线(即沿平行于 即沿平行于Ox轴的正负
方向)趋向于 方向 趋向于P0 ( x0 , y0 )时, f ( x, y) > f ( x0 , y0 ). 它们的关系是: 它们的关系是 取得极大(小 值 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极大 小)值 f ( x0 , y )和f ( x , y0 )分别在 y0点和x0点 取得极大(小 值 取得极大 小)值.
下半个圆锥面
x
点取极大值. 也是最大值). 在(0,0)点取极大值 (也是最大值 点取极大值 也是最大值 马鞍面
z
O
y
O
x
y
4
无约束最优化问题
无约束问题最优化方法
向可以使函数值下降，只
x2
有在锐角所包含的范围搜
索才可以达到函数值下降
的目的，故坐标轮换法对 此类函数会失效。
脊线
x1
第二轮迭代，需要
x0(2) x2 (1)
依次类推，不断迭代，目标函数值不断下降，最后逼 近该目标函数的最优点。
终止准则
可以采用点距准则
注意： 若采用点距准则或函数值准则，其中采用的点应该是一轮
迭代的始点和终点，而不是某搜索方向的前后迭代点。
8.1.2坐标轮换法的计算步骤
⑴任选初始点
作为第一轮的起点 ，置n个坐标轴方向矢量为单位 坐标矢量：
已知初 始点 x（1） (1, 2, 3)T ，当 x(n1) x(1) 0.01时停止
迭代．
小结
坐标轮换法程序简单，易于掌握。但是计算效率比 较低，尤其是当优化问题的维数较高时更为严重。一 般把此种方法应用于维数小于10的低维优化问题。
对于目标函数存在
“脊线”的情况，在脊线
的尖点处没有一个坐标方
对于n维优化问题，如果只利用函数值求最优值的解法，称 为直接搜索法；
解析法的收敛速率较高，直接法的可靠性较高。
8.1 坐标轮换法
坐标轮换法属于直接法，既可以用于无约束优化问 题的求解，又可以经过适当处理用于约束优化问题求 解。
坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余 变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方 法。它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量（其 余变量视为常量）的优化问题，因此又称这种方法为 变量轮换法。此种方法只需目标函数的数值信息而不 需要目标函数的导数。
第8章 无约束问题最优化方法
➢无约束优化理论研究开展得较早，构成的优化方法巳很多 ，也比较成熟，新的方法仍在陆续出现。本章的内容与目的 是讨论几个常用无约束优化方法的基本思想、方法构成、迭 代步骤以及终止准则等方面问题。
最优化方法归纳总结
最优化方法归纳总结最优化方法归纳总结篇一：最优化方法综述最优化方法综述1.引论1.1应用介绍最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。
1.2优化的问题的基本概念工程设计问题一般都可以用数学模型来描述，即转化为数学模型。
优化设计的数学模型通常包括设计变量、目标函数和约束条件。
三个基本要素。
设计变量的个数决定了设计空间的维数。
确定设计变量的原则是：在满足设计基本要求的前提下，将那些对设计目标影响交大的而参数选为设计变量，而将那些对设计目标影响不大的参数作为设计变量，并根据具体情况，赋以定值，以减少设计变量的个数。
用来评价和追求最优化设计方案的函数就称为目标函数，目标函数的一般表达式为f?x??f?x1,x2,?xn?。
优化设计的目的，就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值。
所谓最佳值就是极大值或极小值。
在设计空间中，虽然有无数个设计点，即可能的设计方案，但是一般工程实际问题对设计变量的取值总是有一些限制的，这些限制条件显然是设计变量的函数，一般称之为优化设计问题的约束条件或约束函数。
Matlab中的最优化问题求解方法
Matlab中的最优化问题求解方法近年来，最优化问题在各个领域中都扮演着重要的角色。
无论是在工程、经济学还是科学研究中，我们都需要找到最优解来满足特定的需求。
而Matlab作为一种强大的数值计算软件，在解决最优化问题方面有着广泛的应用。
本文将介绍一些Matlab中常用的最优化问题求解方法，并探讨其优缺点以及适用范围。
一. 无约束问题求解方法1. 最速下降法最速下降法是最简单且直观的无约束问题求解方法之一。
其基本思想是沿着梯度的反方向迭代求解，直到达到所需的精度要求。
然而，最速下降法的收敛速度通常很慢，特别是在局部极小值点附近。
2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法。
它利用了无约束问题的二次函数特性，通过选择一组相互共轭的搜索方向来提高收敛速度。
相比于最速下降法，共轭梯度法的收敛速度更快，尤其适用于大规模优化问题。
3. 牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化方法。
它通过构建并求解特定的二次逼近模型来求解无约束问题。
然而，牛顿法在高维问题中的计算复杂度较高，并且需要矩阵求逆运算，可能导致数值不稳定。
二. 线性规划问题求解方法1. 单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划问题求解方法。
它通过在可行域内进行边界移动来寻找最优解。
然而，当问题规模较大时，单纯形法的计算复杂度会大幅增加，导致求解效率低下。
2. 内点法内点法是一种改进的线性规划问题求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过将问题转化为一系列等价的非线性问题来求解。
内点法的优势在于其计算复杂度相对较低，尤其适用于大规模线性规划问题。
三. 非线性规划问题求解方法1. 信赖域算法信赖域算法是一种常用的非线性规划问题求解方法。
它通过构建局部模型，并通过逐步调整信赖域半径来寻找最优解。
信赖域算法既考虑了收敛速度，又保持了数值稳定性。
2. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。
它模拟遗传操作，并通过选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。
遗传算法的优势在于其适用于复杂的非线性规划问题，但可能需要较长的计算时间。
无约束问题的最优化条件
f
(x)
f
(xk ) f
(xk )T
(x
xk )
1 (x 2
xk )T 2
f
(xk )(x
xk )
Q(k) (x)
f
(xk ) f
(xk )T (x xk )
1 2
(
x
xk
)T
2
f
(xk )(x xk )
令
Q(k) (x) x
0
f
( xk
)
2
f
(
xk
)(
x
xk
)
0
x xk (2 f (xk ))1f (xk ) xk Gk1gk
k 满足:
f (xk
dk ) 0
T f (xk k dk )gdk 0
ห้องสมุดไป่ตู้
d
T k 1
gd
k
0
14
a
5.3 牛顿法
自动化学院
15
a
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f (x) 的近似极小点。
16
a
设 xk 是当前迭代点， 2 f (xk ) 正定，
5.1 无约束问题的 最优性条件
自动化学院
1
a
一、极小点的概念
1．局部极小点 2．严格局部极小点 3．全局（总体）极小点 4．严格全局（总体）极小点。 注：在非线性规划中，大多数算法都致力于求最优化 问题的局部极小点，一般求全局极小点极为困难，仅 当问题为凸规划时，局部极小为全局极小。
2
a
二、无约束问题最优性条件
的极小值,0.01,x(0)(0,0)T ,只迭代一次
第八章 无约束多维问题的最优化方法
5 共轭梯度法
共轭梯度法的迭代公式
设从xk出发，沿dk=-gk 方向作一维搜索到 xk+1点，并算 出xk+1点的梯度方向gk+1。由于gk+1 是沿等直面在该点的法 线方向，而dk是沿等直面在该点的切线方向，故(dk)Tgk+1= 0，即 gk+1Tgk=0，gk+1 与 gk 正交。 为了在 gk+1 和 gk 构成的正交系中确定共轭方向dk+1，令 dk+1 = -gk+1+k dk 即把共轭方向dk+1看成-gk+1与 dk的线性组合，k 为待定 系数。要使dk+1与dk 共轭，就应使 (dk+1)TGdk =0 而 (dk+1)TGdk =(-gk+1+kdk)TGdk =(-gk+1 kgk)TG(-gk ) =gk+1TGgk+k gkTGgk =0
T
0 T 4 100 1 50
T
1 1 2 2 4 0 100 0 4 100 50 2 f x 0
0 0
T
对照梯度法和牛顿法迭代公式，可以看出只相差一项 海赛矩阵的逆矩阵。因此，牛顿法是对梯度法的进一步修 正。事实上，梯度法是对目标函数f(x)在点xk的一阶(线性) 近似，而牛顿法是对f(x)在点xk 的二阶(二次)近似。
2 最速下降法
(1) 最速下降法以负梯度方向作为搜索方向并作一维搜索，因 此又称为“梯度法”，属于求导数的间接法。它的基本思想早 在1847年就已提出。尽管它本身不再被认为是一种有效的方法， 但它是许多优化方法尤其是二次收敛方法的基础。 各点的梯度一般各不相同，因此“最速下降方向”仅对某 一点附近而言，它具有局部性质。 当作一维搜索时，搜索方向是与目标函数等值线相切的， 而切点的梯度方向是与等值线正交的。因此，相邻两次搜索方 向相互垂直，搜索路径呈严重的“之”字形，特别是目标函数 接近二次型时更为明显。 可以利用梯度矢量在极值点为零这一重要性质设立收敛准 则 f(x*)
最优化设计 课后习题答案
最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。
无约束问题的最优化条件
即，在算法每次迭代中，求解信赖域子问题：
1 T min (d ) f ( xk ) g k d d Gk d 2
(k ) T
s.t
d hk
在信赖域算法中，信赖域半径 hk 采用自适应方式调整， 若
(k )
(d ) 与 f ( xk d ) 近似程度好，则 hk 尽可能取大，
T (0)
2)方向
d
(0)
(G( x )) f ( x ) 1, 3 2
(0) 1 (0)
T
3)求最优步长
x
(0) dFra bibliotek(0)代入目标函数得：
(1)
1 0 3 3 0 2 2
(0)
三、最速下降算法收敛性定理
定理 5 设 f C1 (一阶连续可微), S x f ( x ) f ( x0 )
有界，则由最速下降法得到的迭代点列 xk 具有如下性质： 1） 数列 f ( xk ) 严格单调下降； 2） xk 的任何极限点（聚点） x 都是 f ( x ) 的驻点，
T k 1
d k 0
5.3 牛顿法
自动化学院
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f ( x ) 的近似极小点。
设 xk 是当前迭代点， 2 f ( xk ) 正定，
1 f ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2 1 (k ) T Q ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2
数学中的优化理论与最优化方法
数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
无约束优化方法PPT课件-PPT精选文档
等式两边同乘 d
0
T
得
d Gd 0
0 T 1
fxa fx fx 0
k k T k k
k f x f x 0 k 1 T
d
k 1 T
dk 0
由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上 的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方 向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。
第四章
无约束优化方法
第一节 概述
从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题 是约束优化问题。 约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束 优化问题实现的。
因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法 的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束优化问题的极值条件
f x* 0
解析法(间接解法)
4.3.2 阻尼牛顿法 牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿 下降方向搜索的概念。因此对于非二次型函数，在迭代过 k 1 k 程中，可能出现 f( X )f( X )
的现象。为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。
令
k d H ( X ) f ( X ) k
1 k
以上二种经典方法中，人们不断努力，发掘，提出了不
同的改进方法。
第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展 了一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。
一、共轭方向的概念 共轭方向的概念是在研究二次函数
1T T f x x bx c xG 2
时引出的。 首先考虑二维情况
数值法(直接解法)
无约束最优化
无约束最优化绪论人们总是尽可能的找优化方法，航空公司合理安排时刻表，工作人员和飞行器，使支出最小。
投资者寻找投资组合，避免风险，从而获得更高的回报。
生产商在设计和操作方面使他们的操作过程效率最大化。
自然优化，物理系统使一个系统趋向能量最小的状态，分子在一个隔离的化学系统中相互反应直到电子能量总和最小。
光线跟随着一定的路径，使传播的时间最小。
最优化问题在工程技术和科学研究中是一个重要的工具。
为了使用最优化，必须定义一个目标，选取决策变量的值，使函数值取得最大值或者最小值。
这个目标可以用一个简单的数值代表（比如利润、时间、势能或者任何一个组合变量）。
这个目标取决于系统特征，称为变量或者未知量。
我们的目标是求出使目标函数最优的一个值。
这些变量可以是受限的也可以是不受限的。
同样，分子中的电子量和贷款的利率不可能是负数。
对于一个给定的问题，定义目标函数和变量约束条件的时候可以认为是一个最优化问题模型，适当的模型约束条件是第一步也是最重要的一步。
如果模型太简单就不能给实用问题一个有用的解，太复杂就解不出来解了。
一旦模型有了公式表达，最优化算法就可以得到解决。
通常算法和模型可以复杂到连计算机都不能算出整个最优化过程，然而仍然有很多算法可以处理实际问题。
通常由用户选择合适的算法来应用于他们的问题，这个选择很重要，它决定着是否可以很快的解决问题，决定着能否建立解决方案。
一个优化算法是否能用取决于它是否能在一个模型中得到一个确切的解。
很多时候，我们利用决策变量把问题的条件表示成等式或不等式，称为约束条件。
如果约束条件不满足问题，则通常利用给出的信息来估计这个问题是否可以改善。
最后，可以在例如灵敏性分析的应用技术来改善模型和数据。
数学公式在数学中，优化就是在约束条件下求出变量的值，使目标函数取得最大值或者最小值。
我们采用以下符号：X：未知变量F : 目标函数Ci ：约束条件约束问题可以写成********************************************** 式（1.1）其中f 、c 是关于x的函数，Г、ε为指标集。
常用无约束最优化方法
最速下降法算法流程图
6
满足终 止准则 N X0= X , f0= f , g0= g
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输 出 X, Y f
结 束
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目标函数为正定二次函数的最速下降法
1 T 设正定二次函数 f ( X ) X AX bT X c 2
求 Xk+1的表达式. gk= g(Xk+1)= AXk+1+b f(X)关于X 求梯度: g(X)=AX+b 现在从Xk出发沿-gk作直线搜索以确定Xk+1: X k 1 X k t k g k 其中tk是最优步长因子.有 g ( X k 1 )T g k 0 得: [ A( X k tk gk ) b]T gk 0 或 [ g k t k Qgk ]T g k 0 T 由此解出: t k g k g k2 200
由此说明相邻两个搜索方向 P g1, P0 g0 ; P2 g2 , P g1 是正交的. 1 1
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8
三、最速下降法有关说明
最速下降法的优点是算法简单,每次迭代计算量小,占用内 存量小,即使从一个不好的初始点出发,往往也能收敛到局 部极小点.但它有一个严重缺点就是收敛速度慢. 沿负梯度方向函数下降很快的说法,容易使人们产生一种 错觉,认为这一定是最理想的搜索方向,沿该方向搜索时收 敛速度应该很快,然而事实证明,梯度法的收敛速度并不快. 特别对等值线(面)有狭长深谷形状的函数,收敛速度更慢. 其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜 索方向相互垂直, 如此继续下去就产生所谓的锯齿现象. 即从直观上看,在远离极小点的地方每次迭代 可能使目标函数有较大的下降, 但是在接近极小点的地方,由于锯齿现象, 从而导致每次迭代行进距离缩短, 因而收敛速度不快 如图所示
无约束最优化方法直接搜索法课件
x2
S(1)
S2(1
)
(1)
X3 X2 (1)
X* X2 (2) X1 (2)
S(2)
X0 (1)
X 1 (1)
S1(1) x1
• 鲍威尔基本算法的缺点
鲍威尔基本算法仅具有理论意义，不要说对于一般的 函数，就是对于二次函数，它也可能失效。因为在迭代过程 中的n个搜索方向有时会变成线性相关，而不能形成共轭方向， 从而张不成n维空间，导致随后的迭代搜索在降维(“退化”) 的空间中进行，可能求不到极小点，故需进行改进。
x 2 XL X2
Xn+3 Xn+2
Xn+1
Xห้องสมุดไป่ตู้ XH
X1 XG x1
6)扩张：当 fn+2 < f L 时，取扩张点Xn+3 ，即
Xn+3 = Xn+1 + (Xn+2 – Xn+1)
( =1.2~2.0 )
并计算 fn+3 = f (Xn+3 ) 。 若 fn+3 < fn+2 ，则以Xn+3 代替 X H ， fn+3 代替 fH ，构造一个新的单纯形；否则，以 X n+2 代 替XH ， fn+2 代替fH ，构造新的单纯形；然后返回到 3)。
鲍威尔条件：
若 f 3 < f 1, ( f1 - 且2f2 + f3) (f1 - f2 - △m(k))2 < 0.5 △m(k) (f1 - f3 )2 同时成立，则用 S ( k ) 替代 S m ( k ) ；否则，仍用 就是鲍威尔修正算法，通常所说的鲍威尔算法就是指这一修正算法。
• 鲍威尔算法的计算步骤及算法框图
第8章 无约束问题最优化方法
8 ． 1 ． 3 计算举例
例 8-1 用变量轮换法求解
2 2 min f ( x) 3x12 2x2 x3 ，
( n 1) （1） T x (1) 0.01 时停止 已知初始点 x (1, 2, 3) ，当 x
迭代．
8.2
模式搜索方法
模式搜索方法 ( Pattern Search Method ) 是 R.Hooke 和 T.A.Jeeves 于 1961 年提出的 , 因此也称为 Hook-Jeeves 方法 , 此方法有明显的几何意义 , 为介绍这种方法 , 从求一个二元函 数的极小点谈起．这相当于寻找某个曲面的最低点 , 或者形象 地说 , 相当于从一座山岭的某处出发 , 设法走到附近某一盆地 的最低点 , 怎样才能尽快达到这一目标呢 ? 很显然 , 如果能找 到一条山谷 , 沿山谷行进是最好的方法． 模式搜索方法就是根据上述思想设计的．它由两部分组成 , 包括探测移动和模式移动． 利用这种算法建立的迭代点移动 不需要使用一维搜索技巧．
(1) (1) (1) (1) (1) (1) e2 ) f (t 2 ) , 则 置 t3 t3 t2 e2 ； 否 则 若 f (t 2 t2 e2 ； 否 则
置 t 3 (1) = t 2 (1) ．
(1) 重复以上过程， 最后得到 t n 1 ．
8 ． 2 ． 2 模式移动
8.3 可变单纯形法
可变单纯形法的基本思想是， 给定 R n 中的一个单纯 形， 求出 n +1 个顶点的函数值 , 并确定这些函数值中的 最大值、 次大 值和最小 值， 然后通过 反射 、扩张、 内 缩、缩边 等方 法（几种 方法 不一定同 时使 用）求出 一 个较好点，用它取代最大值的点，以构成新的单纯形， 通过多次 迭代 逼近极小 点， 迭代过程 中逐 渐地把单 纯 形向最优点移动．
无约束最优化2009工研
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
缺点 收敛速度慢，仅线性收敛，会 出现锯齿现象； 不具有二次终止性。 局部收敛，可能不收敛，和初 始点有关。 需要计算 Hesse 矩阵及其 逆矩 阵，计算量大，存贮量大。 不需要计算 Hesse 矩阵及其 逆 矩阵； 存贮量小，适合大型优化问 题，尤其在最优控制中。
对于大型问题，存储量比共轭 梯度法大； 公式复杂。
无约
束最
优化
方法
使
最速下降法
用
牛顿法
导
共轭梯度法
数
拟牛顿法
不
模式搜索法
使
Rosenbrock法
用
单纯形搜索法
导
Powell方法
数
Powell 方法（1964） (方向加速法）
Powell 方法
Powell 方法
Powell 方法
Powell 方法
Powell 方法
Powell 方法
搜索方向
最 速 下 降 法
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最 最速下降法收敛吗？ 速 若收敛，收敛速度是多少？ 下 降 法
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方 向 法
共 轭 方 向 法
无约束最优化的常用方法
⽆约束最优化的常⽤⽅法11/22/2017 12:40:56 PM优化问题在很多领域有着重要的应⽤。
为了⽇后查阅⽅便，本⽂列举常见的⽆约束优化⽅法的计算公式。
需要说明的是，本⽂的⼤部分内容选⾃图书《算法笔记》。
⼀、梯度下降法梯度下降法（Gradient Descent Method）也叫做最速下降法（Steepest Descent Method），因为负梯度是函数局部下降最快的⽅向。
梯度下降梯度下降法的迭代格式为x k+1=x k−αk∇f(x k)梯度下降法⾮常简单，只需要知道如何计算⽬标函数的梯度就可以写出迭代格式。
因此，尽管在不少情况下梯度下降法的收敛速度都很慢，也依然不影响它在⼯业界的⼴泛应⽤。
梯度下降法应⽤到⼀些具体模型上有时也会被视作⼀类特定的算法，例如神经⽹络中的后向传导算法（Back Propagation Algorithm）。
随机梯度下降在机器学习中经常有f(x)=∑m i=1ℓi(x)，其中ℓi(x)是第i个训练样本的损失函数。
这时我们可以使⽤随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent Method）。
其迭代格式为x k+1=x k−αk∇ℓr(x k)其中r∈1,2,⋯,m为随机数。
这种做法可以理解为随机选择⼀个训练样本，进⾏⼀次梯度下降的训练。
在机器学习的问题中，我们通常不需要真的求得最优值，这样不精确的迭代，使得算法不容易过拟合。
由于随机梯度下降法的普及，与此相对的梯度下降法有时被称为批量梯度下降法（Batch Gradient Descent Method），因为它同时考虑所有训练样本。
介于批量梯度下降法和随机梯度下降法之间，还有⼩批量梯度下降法（Min-Batch Gradient Descent Method），也就是每次迭代选择若⼲个训练样本。
步长αk的选取梯度下降法可采⽤BB步长（Barzilai Borwein）。
BB步长有两个计算公式，选择其⼀即可。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
新目标函数： Φ ( x, r1 , r2 ) =
(k ) M
(k ) p
G[ g u ( x)] + r2 ∑ H [hv ( x)] f ( x) + r1 ∑ u =1 v =1
m
p
H [hv ( x)] 其中r ∑ G[g u ( x)] 和 r ∑ 称为加权转化项，并根据它们在惩 v =1 u =1 罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。
2、等式约束优化问题（EP型）
x ∈ D ⊂ Rn s.t. hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
3、一般约束优化问题（GP型）
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
k →∞
lim[Φ ( x ( k ) , r1 , r2 ) − f ( x ( k ) )] = 0 k →∞
(k ) (k )
分类： 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函 数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。 这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick 提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规 划问题开创了一个新局面。 适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
第八章无约束最优化方法
n
∗
∗
∂f ( x ∗ ) ∂f ( x ∗ ) ∇f ( x ) = ,L , =0 ∂xn ∂x1
∗
T
(8.2)
定理 8.2
(二阶必要条件) 设 f ( x ) 在点 x 处二次可微，若 x 是局部极小点，则
∗
∗
∇f ( x ∗ ) = 0 ，并且 Hessian 矩阵半正定 H ( x ∗ ) = ∇ 2 f ( x ∗ ) ，即
代入(8.8)式，得方程
λ 2 + λ −1 = 0
于是取正根 λ =
−1 + 5 ≈ 0.618 。如果 ϕ (α ) > ϕ ( β ) ，那么下一个搜索区间为 [α , b ] ，因 2
为 α < β < b ，故可设 β 为区间 [α , b ] 的左分点，同理可推出如上 λ 的值。从而，由(8.7) 式可得区间 [ a, b ] 的两个分点
b 作 ϕ 的二次插值多项式 N 2 (t ) = ϕ (a ) + ϕ [ a, c ] (t − a ) + ϕ [ a, c, b ] (t − a )(t − c)
(8.9)
其中 ϕ [ a, c ] 为 ϕ 关于节点 a 和 c 的一阶差商， ϕ[a, c, b] 为节点 a ， c 和 b 的二阶差商，令
ϕ (α k )
-0.434762 -0.546860 -0.411036 -0.546847 -0.557765 -0.560980 -0.558332 -0.560981 -0.560379 -0.560981 -0.561096
ϕ (βk )
0.703359 -0.434943 -0.546826 -0.557772 -0.532149 -0.557769 -0.560980 -0.560863 -0.560981 -0.561096 -0.561068
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8． 2． 1 探 测 移 动
这种 移 动是 在 某 个已 知 点附 近 ,沿 坐 标轴 e i 方 向进 行 探 测, 其 目的 是 获得 一 个 更小 值 的点 ． 取初 始 点 x (1) ,探测 移 动的 具 体过 程如 下: 记 t 1 (1) = x (1) ,先 在 坐标 方 向 e 1 上 作 探测 ， α 是固 定 步 长， 设 如 果 f (t1(1) + αe1 ) < f (t1(1) ) ,则 沿 e 1 方向 探 测成 功 ,置 t 2(1) = t1(1) + αe1 ；否 则 探 测失 败 ,考 虑 相反 的 方 向 ． 如 果 f (t1(1) − αe1 ) < f (t1(1) ) ,则 沿 − e1 ( 方 向探 测 成功 ,置 t 21) = t1(1) − αe1 ； 否 则探 测 失败 ,置 t 2 (1) = t 1 (1) ． ( 再 沿 e 2 方 向 进 行 探 测 ， 如 果 f (t 21) + αe2 ) < f (t 2(1) ) ， 则 置
二、算法步骤 设 ei 为 第 i 个 坐 标 轴 的 单 位 向 量 ， 即
0 M 0 ei = 1 0 M 0
— 第 i 行 ( i = 1, 2 , L , n )
1． 给 定 初 始 点 x (1) = ( c1 , c2 ,L , cn )T ， 其 中 c1 , c 2 , L , c n 为 常 数 ． 2． 从 x (1 ) 出 发 ， 先 沿 第 一 个 坐 标 轴 方 向 e 1 进 行 一 维 搜 索 ， 求 出 最 优 步 长 λ1 ， 得 新 点 x (2 ) ， 即
8.3 可变单纯形法
可变单纯形法的基本思想是， 给定 R n 中的一个单纯 形， 求出 n+1 个顶点的函数值,并确定这些函数值中的 最大值、次大值和最小值，然后通过反射、扩张、内 缩 、 缩 边 等 方 法（ 几 种 方 法 不 一 定 同 时 使 用） 求 出 一 个较好点，用它取代最大值的点，以构成新的单纯形， 通 过 多 次 迭 代 逼近 极 小 点 ， 迭 代 过 程 中 逐 渐地 把 单 纯 形向最优点移动．
一、基本原理 变量轮换法是多 变量函数寻优方 法中原理最简单 的一个， 它把多变量函数的优化问题转化为一系列单变量函数的优化 问题来解．其基 本思路是： 该方法认为有利 的搜索方向是各 坐标轴方向，因此 它轮流 按各坐标轴方向 搜索最优点．从 某一给定点出发 ，按第 i 个 坐标轴 x i 的方向搜索时，在 n 个 变量中，只有单变量 x i 在变 化，其余 n－1 个变量都取给定点 的坐标值保持不 变．这样依 次从 x 1 到 x n 作了 n 次单变量的一维 搜索，完成了变量 轮换法 的一次迭代，如果所得到的新点尚未满足给定精度的要求， 则以新点为出发点进行新一轮的迭代，这个过程可以重复下 去直到所得到的 新点满足给定的 精度为止．
这里的 单纯 形指 的是 n 维欧 氏空 间 R n 中具有 n+1 个顶 点的凸 多面 体 ．例如 ，一 维空 间 的线段 、二维 空 间的三 角 形、三 维空 间的 四面体 等， 均为 相应空 间的 单纯 形．
考虑无 约束最小 化问题 ：
min f ( x) , x ∈ R n
设 x(1) , x(2) ,L , x ( n +1) 是构成单纯形 的 R n 中的 n+1 个顶 点，并 定义这 些顶点 中的最大 值点 x ( H ) ， 次大值点 x (G ) 和最 小值 点 x ( L ) 为分别满足 以下条件的点：
8．1．3 计算举例
例 8-1 用变量轮换法求 解
2 2 min f ( x ) = 3 x12 + 2 x2 + x3 ，
（1） 已知初始点 x = (1,
2, 3)T ，当 x ( n +1) − x (1) < 0.01 时停止
迭代．
8.2
模式搜索方法
模式搜索方法( Pattern Search Method )是 R.Hooke 和 T.A.Jeeves 于 1961 年提出的,因此也称为 Hook-Jeeves 方法, 此方法有明显的几何意义,为介绍这种方 法,从求一 个二元函 数的极小点谈起．这相当于寻找某个曲面的最低点,或者形象 地说,相当于 从一 座山岭 的某 处出 发,设法走到附近 某一盆地 的最低点,怎样才 能尽快 达到 这一 目标呢?很显然, 如果能找 到一条山谷,沿山谷行进是最好的方法． 模式搜索方法就是根据上述思想设计的．它由两部分组成, 包括探测移动和模式移动． 利用这种算法建立的迭代点移动 不需要使用一维搜索技巧．
( ) 如 果 f ( t n k 1 ) < f ( t ( k ) ) ,则 作 模 式 移 动 ,即 令 +
( ) t ( k +1) = t n k 1 , +
t
如果
( k + 1) 1
=t
( k + 1)
+ (t
( k + 1)
−t
(k )
(8-5)
)
置 k = k+1， 重 复 上 述 计 算 ,
f ( x (3) ) = f ( x (2) + λ2 e2 ) = min f ( x (2) + λ e2 ) λ (3) (2) x = x + λ2 e2
(8-2)
就这样依次沿各 坐标轴方向进行 一维搜索，直到 n 个坐标轴 方向全部搜索一 遍，最后可得到 点 x (n+1) ：
( ) f (t n k 1 ) ≥ f (t ( k ) ) ， +
(8-6)
分两种情况讨论： (1) 若 t 1 (k ) ≠ x
(k)
, 则 t 1 (k ) 是 由 上 一 次 的 模 式 移 动 得 到 的 , 而
（ 8.2.3） 表 明 该 模 式 移 动 使 目 标 函 数 值 上 升 ,即 模 式 移 动 失 败 ,应 将 式 t 1 (k ) 退 回 到 x ( k ) 处 ,即 令 t 1 ( k ) = x (k ) ,重 复 上 述 计 算 ． (2) 若 t 1 (k ) = x (k ) ,这 说 明 上 次 的 模 式 移 动 失 败 且 在 t 1 ( k ) 周 围 的 探 测 移 动 全 部 失 败 ． 这 是 由 于 步 长 α 过 大 的 原 因 引 起 的 ,应 减 少 步 长 ,再 重 复上述计算．
8.1
变量轮换法
在求解无约束非线性规划问题时， 果遇到问题的目标函数不可导 如 或导函数的解析式难以表示时，人们一般需要使用直接搜索方法．同 时，由于这些方法一般都比较直观和易于理解，因而在实际应用中常 为 人 们 所 采 用 ．变 量 轮 换 法 又 叫 坐 标 轮 换 法 (Cyclic Coordinate Method) 就 是 一 种 最 简 单 的 直 接 搜 索 方 法 , 也 称 为 交 替 方 向 法 (Alternating Directions Method)．
t ( k +1) = tn +1 t1 = t ( k +1) + (t ( k +1) − t ( k ) ),
令 k = k+1,转 第 2 步 ． 4． 若 t1 ≠ t ( k ) ,则 令 t1 = t ( k ) ,转 步 骤 2. 5． 若 α < ε ,则 停 止 计 算 ； 否 则 令 α = α /2,转 步 骤 2．
( ( ( ( ( ( t 31) = t 21) + αe2 ； 否 则 若 f (t 21) − αe2 ) < f (t 21) ) ,则 置 t 31) = t 21) − αe 2 ； 否 则
置 t 3 (1) = t 2 (1) ． 重复 以 上过 程 ， 最后 得 到 t n(1+)1 ．
8．2．2 模式移动
在探测 移动后,若 动，即令
(1) f (tn +1 ) < f ( x (1) ) ,则作模 式移
x t
(2)
=t ,
(1) n +(2)
(2) 1
=x
+ (x
(2)
−x )
(1)
（8-4）
8． 2． 3
算法的基本思想
算法的基本思想是将探测移动和模式移动有机的结合在一起． 已 设 得 到 x ( k ) 和 t 1 (k ) , 从 t 1 ( k) 出 发 , 沿 各 个 坐 标 轴 作 探 测 移 动 得 到 t 2 ( k ) , t 3 (k ) ,… , t n +1 (k ) ．
f ( x ( 2) ) = f ( x (1) + λ1e1 ) = min f ( x (1) + λ e1 ) λ ( 2) (1) x = x + λ1e1
(8-1)
其中， f ( x (1) + λ e1 ) 是步长 λ 的一 维函数， f ( x (1) + λ e1 ) 的极小点 λ1 就 是 e1 方向上的最优 步长．上式表明：从 x (1) 出发，沿 e 1 进行一 维搜索，最优步长 为 λ1 ，可求得新点 x (2) ．显然新点 x (2) 与 x (1) 相比，只有 x 1 的坐标值不同． 类似地，以 x (2) 为出发点，沿第二 个坐标轴方向 e 2 进行一 维搜索，求出最 优步长 λ2 ，得新点 x (3) ：
8．2．4
算法终止准则：
当步长 α 充分小,就认 为 x (k) 在极 小点附近 了,终止 计算．因此终止准则为
α <ε
其中 ε 是预先给定的精度．
(8-7)
8． 2． 5