19.2(5)证明举例

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19.2 证明举例(1)

19.2 证明举例（1）[平行线的判定和性质]第一组 19-51、以下不能推出两直线平行的依据是（） A 、同位角相等，两直线平行 B 、内错角相等，两直线平行 C 、同旁内角互补，两直线平行 D 、两直线平行，同旁内角互补2、如图19-5-1，下面推理中，正确的是（） A 、∵AD//BC ，∴∠A+∠D=180º B 、∵AB//CD ，∴∠C+∠D=180º C 、∵AB//CD ，∴∠A+∠D=180º D 、∵AB//CD ，∴∠A+∠C=180º3、下列说法，其中是平行线性质的是（）①两直线平行，同旁内角互补；②两直线平行，同位角相等；③内错角相等，两直线平行；④同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 A 、①② B 、②③ C 、④ D 、①④ 4、如图19-5-2，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A 是120º，第二次拐弯的角∠B 不知是多少，第三拐弯的角∠C 是140º，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 是（）A 、140ºB 、150ºC 、160ºD 、170º图 19 - 5 - 1图 19 - 5 - 2CB A5、如图19-5-3，AB//CD ，直线EF 分别交AB 和CD 于点E 和F ，FH 平分∠EFD 。

若∠1=110º，则∠2= 。

6、如图19-5-4，若AB//CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，EP ⊥EF ，∠EFD 的平分线与EP 相交于点P ，且∠BEP=40º，则∠EPF= 。

7、如图19-5-5，已知AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠4=∠C ，求证：∠1=∠2. 证明：∵AD ⊥BC （已知），EF ⊥BC （已知）， ∴ （） ∴ （）又∵∠4=∠C （已知），∴ （）。

第8周教研活动安排表(中学理科)

浦东新区教育发展研究院课程教学研究部第八周活动安排表（中学理科）
2012学年度第一学期第8周（10月22日至10月26日）
浦东新区教育发展研究院课程教学研究部第八周活动安排表（中学理科）
2012学年度第一学期第8周（10月22日至10月26日）
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2012学年度第一学期第8周（10月22日至10月26日）
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2012学年度第一学期第8周（10月22日至10月26日）
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2012学年度第一学期第8周（10月22日至10月26日）。

沪教版(上海)八年级上册数学19.2证明举例(解析版)

19.2证明举例一、解答题1．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图点D在AB上，E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC,∠B=∠C,求证：BD=CE．【答案】见解析【解析】由两角和夹边ASA即可得出∠ABE∠∠ACD,由全等三角形的性质可到AE=AD,进而可得出结论BD=CE．证明:在∠ABE和∠ACD中B CA A AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以∠ABE∠∠ACD（ASA）,所以AD=AE,因为AB=AC,所以AB-AD=AC-AE即:BD=CE,【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,关键是由两角和夹边得出∠ABE∠∠ACD．2．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图所示ABC，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE（1）求证：OD=OE（2）联结DE，求证：DE//BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析≅，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；【解析】（1）根据SAS证明ADC AEB≅,最后根据全等三角形（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明BDO CEO对应边相等的性质解题即可．（1）证明：在ADC和AEB△中AB=AC；∠A=∠A；AD=AE，≅所以ADC AEB所以∠ABE=∠ACD，又因为AD=AE，所以BD=CE ，在BDO △和CEO 中 BD=EC ∠ABE=∠ACD ∠DOB=∠EOC 所以BDO CEO ≅ 所以OD=OE （2）证明：AD AE AB AC ==，AD AEAB AC∴=A A ∠=∠ADE ABC ∴ADE ABC ∴∠=∠//DE BC ∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．3．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图，在∠ABC中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．【答案】135°【解析】先设∠A=3x∠∠ABC=4x∠∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A∠∠ABC∠∠ACB，在∠ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC∠解：∠在∠ABC中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5∠故设∠A=3x∠∠ABC=4x∠∠ACB=5x∠∠在∠ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠∠3x+4x+5x=180°∠解得x=15°∠∠∠A=3x=45°∠∠BD∠CE分别是边AC∠AB上的高，∠∠ADB=90°∠∠BEC=90°∠∠在∠ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°∠∠∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°∠【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．4．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）如图，AB=AC，E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．【答案】见解析【解析】先证明∠ABD∠∠ACD ，得到∠ADB=∠ADC ，BD=CD ，再证明∠BDE∠∠CDE ，问题得证．证明：在∠ABD 和∠ACD 中AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠ACD ，∠∠ADB=∠ADC ，BD=CD ，在∠BDE 和∠CDE 中DE DE EDB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠BDE∠∠CDE ， ∠∠EBD=∠ECD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．5．（2020·仪征市第三中学初二月考）如图，点E∠F 在BC 上，BE=CF∠AB=DC∠∠B=∠C∠AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF∠【答案】证明见解析. 【解析】求出BF=CE ，根据SAS 推出∠ABF∠∠DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． ∠BE=CF∠∠BE+EF=CF+EF∠ ∠BF=CE∠在∠ABF 和∠DCE 中AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠∠ABF∠∠DCE∠SAS∠∠ ∠∠GEF=∠GFE∠ ∠EG=FG∠【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．6．（2020·全国初一课时练习）如图，现有以下3个论断：//BD EC ；D C ∠=∠；A F ∠=∠．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．解：（1）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠；由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠；由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ；故能组成3个命题．（2）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠． D C ∠=∠，∠ABD D ∠=∠， //AC DF ∴，A F ∴∠=∠．由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠． A F ∠=∠，//AC DF ∴，,D ABD ∴∠=∠D C ∴∠=∠．由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ，是真命题．理由如下： ∠A F ∠=∠，//AC DF ∴，D ABD ∴∠=∠．D C ∠=∠，ABD C ∴∠=∠，//BD EC ∴．【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．7．（2020·四川前锋·初三其他）如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，AB DE ∥，AB DE =，AF DC =．求证：BC EF ∥．【答案】见解析.【解析】由全等三角形的性质SAS 判定∠ABC∠∠DEF ，则对应角∠ACB=∠DFE ，故证得结论．∠AB DE ∥， ∠A D ∠=∠． ∠AF DC =， ∠AC DF =．在ABC △与DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABC △∠DEF （SAS ）． ∠ACB DFE ∠=∠．∠BC EF ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件. 8．（2020·广西北流·初三学业考试）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点D 在边AB 上，使DB BC =，过点D 作EF AC ⊥，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F ．求证：AB BF =．【答案】详见解析【解析】根据EF AC ⊥得出90F C ∠+∠=︒，再根据90A C ∠+∠=︒，故A F ∠=∠，证明FBD ∠ABC 即可证明AB BF =.∠EF AC ⊥，∠90F C ∠+∠=︒．∠90A C ∠+∠=︒，∠A F ∠=∠．在FBD 和ABC 中，90A FFBD ABC BD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠FBD ∠ABC （AAS ），∠AB BF =．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质是解题的关键.9．（2019·全国初二课时练习）如图，在∠ABC 中，AB=AC ，D 点在BA 的延长线上，点E 在AC 上，且AD=AE ，DE 的延长线交BC 于点F ，求证：DF∠BC ．【答案】见解析证明．【解析】试题分析：过A作AM∠BC于M，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DF∠AM，进而得到DF∠BC．试题解析：证明：如图，过A作AM∠BC于M，∠AB=AC，∠∠BAC=2∠BAM，∠AD=AE，∠∠D=∠AED，∠∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，∠∠BAC=2∠BAM=2∠D，∠∠BAM=∠D，∠DF∠AM，∠AM∠BC，∠DF∠BC．考点：等腰三角形的性质．．10．（2020·玉山县南山乡中学月考）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD EBC()1求证：AC BD ⊥；()2判断直线AD 与直线CE 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析【解析】（1）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（2）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．()1证明：∠ABD EBC ≅，ABD EBC ∠=∠∴．又A ，B ，C 在同一条直线上，90EBC EBA ∴∠=∠=，即AC BD ⊥．()2解：直线AD 与直线CE 垂直．理由：延长CE 交AD 于F ，如图所示，ABD EBC ≅， D C ∴∠=∠．在Rt ABD △中，90A D ∠+∠=，则A C90∠+∠=，∠90∠=，AFC⊥．即CE AD【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答的关键．11．（2020·荆州市实验中学月考）如图，∠ABE和∠CBF有公共顶点B，且满足AB=CB，EB=FB，AB∠BC，BE∠BF，AE和CF交于点D．（1）求证：∠ABE∠∠CBF；（2）求证：AE∠CF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由已知可得：∠ABE＝∠FBC，从而可得∠ABE∠∠CBF；（2）记AE与BC交于点H，则由（1）和已知可得∠A＝∠C，∠CHD＝∠AHB，再由三角形内角和定理可以得到∠CDH=∠CBA=90°，从而可以证得AE∠CF．（1）由AB∠BC，BF∠BE可知：∠ABC＝∠EBF＝90°∠∠ABC＋∠CBE＝∠EBF＋∠CBE即∠ABE＝∠FBC在∠ABE和∠CBF中：ABE CBF EB FB ⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBF （SAS ）（2）由（1）知：∠ABE∠∠CBF ∠∠A ＝∠C记AE 与BC 交于点H ，则：∠AHB ＝180°－∠ABC －∠A ＝90°－∠A 又∠∠CHD ＝∠AHB ＝90°－∠A ∠∠C ＋∠CHD ＝∠C ＋90°－∠A ＝90° ∠∠CDH ＝180°－90°＝90° ∠AE∠CF 【点睛】本题考查三角形全等的应用，综合运用三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理求证是解题关键． 12．（2020·湖南渌口·初二期末）如图，BD ∠CE 分别是ABC 的高，且BE CD =，求证：Rt BEC Rt CDB ≅∠【答案】证明见解析.【解析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL 推出即可；证明：∠BD ∠CE 分别是ABC 的高， ∠90BEC CDB ∠=∠=∠ 在Rt BEC 和Rt CDB 中，BE CD⎨=⎩∠ ∠()Rt BEC Rt CDB HL ≅∠ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．13．（2020·剑阁县公兴初级中学校初二月考）如图，AD 是ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，求证：122B ∠+∠=∠．【答案】见解析【解析】根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ，再利用角平分线的定义转化证明即可．证明：∠∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ， ∠AD 是∠ABC 的角平分线， ∠∠BAC=2∠BAD ，∠∠B+∠1=∠B+∠B+∠BAC=2∠B+2∠BAD=2∠2．【点睛】此题考查三角形外角的性质，关键是根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ． 14．（2020·安徽临泉·初二期末）如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件：∠AB DE =；∠AC DF =；∠//AB DE ；∠BE CF =.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明. 解：我写的真命题是：已知：____________________________________________；求证：___________.（注：不能只填序号）证明如下：【答案】已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF.求证：AB∠DE.证明见解析.或已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AB∠DE ，BE=CF ．求证：AC=DF ．证明见解析.【解析】由BE=CF∠BC=EF ，所以，由∠∠∠，可用SSS∠∠ABC∠∠DEF∠∠ABC=∠DEF∠ AB∠DE ；由∠∠∠，可用SAS∠∠ABC∠∠DEF∠AC=DF ；由于不存在ASS 的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．解：将∠∠∠作为题设，∠作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ．求证：AB∠DE ．证明：在∠ABC 和∠DEF 中， ∠BE=CF ， ∠BC=EF.又∠AB=DE ，AC=DF ， ∠∠ABC∠∠DEF （SSS ） ∠∠ABC=∠DEF ． ∠ AB∠DE.将∠∠∠作为题设，∠作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AB∠DE ，BE=CF ．求证：AC=DF ．证明：∠AB∠DE,∠∠ABC=∠DEF. 在∠ABC 和∠DEF 中 ∠BE=CF ，∠BC=EF.又∠AB=DE，∠ABC=∠DEF，∠∠ABC∠∠DEF（SAS），∠AC=DF．【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．15．（2020·上虞市实验中学初二月考）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．【答案】见解析．【解析】先根据CE=FB得到CF=BE，然后利用“边边边”证明∠ABE和∠DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明∠ABF和∠DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证．∠CE=FB，∠CE+EF=FB+EF，即CF=BE，在∠ABE和∠DCF中，AB CD AE DF CF BE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABE∠∠DCF（SSS），∠∠B=∠C，在∠ABF和∠DCE中AB CDB C CE FB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABF∠∠DCE（SAS），∠AF=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．16．（2020·江苏海安·月考）如图，AD=CB，AE∠BD，CF∠BD，E、F是垂足，AE=CF．求证：（1）AB=CD（2）AB//CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用HL得到直角三角形ADE与直角三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=BF，可得DF=BE，利用SAS得到三角形AEB与三角形CFD全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．证明：（1）⊥⊥，CF BDAE BDAEB CFD AED CF∴∠=∠=∠=∠=︒B90==，AD CBAE CF∴∆≅∆()Rt ADE CBF HL∠DE=BF∴-=-BD BD BFDE∴=BE DF=∠AEB CFD∠=∠，AE CF∠ABE CDF∆≅∆（SAS）∠AB=CD；∆≅∆（2）∠ABE CDFABE CDF∠∠=∠∴AB CD//【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2020·上虞市实验中学初二月考）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P放在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．【答案】PC=PD，证明见解析【解析】作PE∠OA,PF∠OB,垂足分别为E、F，易证∠ PEO∠∠PFO，得出∠CPE=∠DPF，再证∠PEC∠∠PFD 即可.解：PC=PD证明：作PE∠OA,PF∠OB,垂足分别为E、F．则有∠PEC=∠PFD=90°即∠PEO=∠PFD=90°∠OM平分∠AOB∠∠POE=∠POF于是在∠PEO和∠PFO中∠PEO PFOPOE POFPO PO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠ PEO∠∠PFO(AAS)∠ PE=PF(全等三角形的对应边相等)∠ ∠CPD= 90 ° 即∠CPE+∠EPD=90°易知∠ EPF= 90 ° 即∠ DPF+∠EPD=90°∠ ∠CPE=∠DPF于是在∠PEC和∠PFD中∠PEC PFDCPE DPFPE PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠PEC∠∠PFD(AAS)∠ PC=PD(全等三角形的对应边相等)18．（2020·湖北红安·初二月考）如图1，已知∠ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与∠ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为14；（3）仍然成立，证明见解析.【解析】（1）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明∠MBD∠∠NCD，进而求证即可；（2）根据全等得出∠MBD与∠NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于∠BDC的面积，进而求解即可；（3）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明∠MBD∠∠NCD，进而求证即可.（1）如图1，连接BD.∠在Rt∠ABC中，AB=BC，AD=DC，∠BD=DC=AD，∠BDC=90°，∠∠ABD=∠C=45°，∠∠MDB+∠BDN=90°，∠CDN+∠BDN=90°∠∠MDB=∠NDC，在∠MBD与∠NCD中，∠∠MDB=∠NDC，BD=DC，∠MBD=∠C，∠∠MBD∠∠NCD，∠DM=DN.（2）四边形DMBN面积不发生变化.由（1）得∠MBD∠∠NCD，∠S∠MBD=S∠NCD，∠四边形DMBN面积=S∠DMB+S∠BDN= S∠CND+ S∠BDN=12S∠ABC=14.∠3∠DM=DN仍然成立.如图2，连接BD，∠在Rt∠ABC中，AB=BC，AD=DC，∠DB=DC,∠BDC=90°，∠∠DCB=∠DBC=45°，∠∠DBM=∠DCN=135°，∠∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，∠∠CDN=∠BDM，在∠CDN与∠BDM中，∠∠CDN=∠BDM，DC=DB，∠DCN=∠DBM，∠∠CDN∠∠BDM，∠DM=DN.【点睛】本题主要考查了三角形旋转问题与全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.。

沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.2证明举例( 答案不全)

19.2（1）证明举例一、解答题1.已知：如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由．2.已知：如图， AB∥CD，∠B＋∠D＝180°. 求证：BG∥DE.3.．已知：如图，∠E＝∠DAB，∠F＝∠C，请你说明AB与CD是否平行．4. 已知：如图， AB＝AC，AE平分∠DAB. 求证：AE∥BC.5. 已知：如图，点C、D在AB上，AC＝BD，DF∥CE，DF＝CE. 求证：BE∥AF.6. 已知：如图， AB∥CD，∠1＝∠2. 求证：AC∥BD.二、提高题7．已知：如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．19.2（2）证明举例一、解答题1．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF．求证：∠A=∠D．2．已知：如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：AB=AD．3. 已知：如图， AB＝AC，BE＝CD. 求证：∠B＝∠C.4. 已知：如图， AB＝AC，E是AC上任意一点，ED⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F. 求证：AE＝AF.5. 已知：如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.二、提高题6.已知：如图，点E为四边形ABCD外一点，联结EB、EA、ED、EC，其中EA、ED与BC交点分别为M、N，且AD∥BC，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.19.2（3）证明举例一、解答题1．已知：如图，AD是BC上的中线，且BE∥CF．求证: DF=DE．2．已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在直线AD上，∠ABE＝∠DCF．求证：BE‖CF．3. 如图，已知：点C在线段AB上，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交DC于M，BD交CE于N. 求证：MN∥AB.4. 已知：如图， E是BC上一点，AB＝EC，∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED. 求证：AE＝DE.5. 已知：如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC上一点，DE⊥AB于点F，AB＝DE. 求证：△BDC是等腰直角三角形．二、提高题6. 已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。

19.2证明举例

教学设计
同济附中数学组
教师：杨珍珠
目录
教学分析教学过程教学反思
01
教学分析
教材分析
01
02
03
教学目标
01 进一步体会证明的分析方法和证明过程表述规范，体会论证
几何的严谨性.
初步学会利用全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性
02 质来证明有关线段相等.
教学重点和难点教学重点
教学难点
02
教学过程
课堂实施
01
02
新课讲授
（1）问题1 （2）证明线段相等的方法和分析方法
新知运用
（1）巩固练习（2）错题反思（3）交流展示
03
课堂小结
（1）证明方法小结（2）分析方法小结
04
教学反思
亮点与不足
亮点： 1.注重证明的分析过程 2.教学中注重学生的语言的规范性
不足： 1. 语言的规范性
感谢聆听
同济附中数学组

课题：19.2 证明的举例(6)

课题：19.2 证明的举例（6）一、教学目标1、进一步获得证明之前进行分析的基本思路,掌握演绎推理的一般规则。

2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角倍分的简单问题.3、体会在图形运动思想的指导下添置辅助线和构造基本图形添置辅助线两种常用方法。

4、通过一题多解提高学生的思维能力，激发学习几何的兴趣。

二、教学重点、难点重点：分析解题的基本思路，体会在图形运动的思想指导下添置辅助线方法和构造基本图形添置辅助线的方法。

难点：探索添置常规辅助线的方法。

三、教材分析几何证明举例以已经学过的平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识的应用为载体，着重学习基本的逻辑术语、演绎推理的思考方法以及证明的步骤、格式与规范。

证明举例的教学应注重调动学生已有的知识经验和建立必要的逻辑知识基础，架起从实验几何到论证几何的桥梁，引导学生平稳过渡。

本节课是几何证明举例的第六节课，学习的内容是证明线段相等和角相等的延续和深化，学生主要从中学会分析解题的基本思路，体会并掌握在图形运动的思想指导下添置辅助线方法和构造基本图形添置辅助线的方法。

四、学情分析通过前面几节课证明举例的学习和实践，学生已知道演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式，能利用一些证题的基本方法进行合理的逻辑推理，本班学生对于学习几何证明兴趣较浓。

本节课的设计从复习等腰三角形的性质,变换“等腰三角形三线合一”这一性质的条件和结论引入新课,有助于学生对新知的理解,有利于激发学生探索新知的兴趣。

五、教学过程《19．2证明举例（6）》一课教学设计说明通过前面几节课证明举例的学习和实践，学生已知道演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式，能利用一些证题的基本方法进行合理的逻辑推理。

本节课学习的内容是证明线段相等和角相等的延续和深化。

教学重点落在分析解题的基本思路，体会在图形运动的思想指导下添置辅助线方法和构造基本图形添置辅助线的方法。

八年级数学上册 19.2 证明举例(3)教案沪教版五四制

证明举例课题19.2（3）证明举例设计依据（注：只在开始新章节教学课必填）教材章节分析：学生学情分析：课型新授课教学目标能利用定义、定理、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.经历命题证明的分析过程，感受解决几何证明问题的一般方法，体会数学语言的转化功能.数学的几何推理是非常严谨的，每一步必须有理有据，因果关系严密重点运用定义、定理、公理，证明命题，掌握数学语言的转化.难点正确分析问题，把握解题的关键，会构造有效的图形解决问题.教学准备全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，其他几何性质等.学生活动形式讨论，交流，总结，练习教学过程设计意图课题引入：课前练习一已知：如图，A、E、D在一直线上，AB=AC，∠ABE=∠ACE。

求证：∠BAD=∠CAD。

每一步的依据是定理、公理等.随时提醒同学感受语言的转化过程，提高默会能力.根据已知条件和结论，逆推得出两个三角形一定是全等课前练习一已知：如图，A、E、D在一直线上，AB=AC，∠ABE=∠ACE。

求证：∠BAD=∠CAD。

知识呈现新课探索一例题1 已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且∠ABE=∠DCF。

求证：BE∥CF。

新课探索二例题2 已知：如图，AD∥BC，E是线段BC的中点，AE=DE。

求证：AB=DC。

的，从而得出解决问题的关键是找夹角相等.课内练习1、已知：如图，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别是E、F，AF=CE，BE=DF。

求证：AB=CD，AB∥CD。

2、已知：如图，DE∥BC，A是DE上一点，AD=AE，AB=AC。

求证：BE=CD。

3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一动点，E，F分别在AB，AC上，且BE=CD，BD=CF，则∠EDF与∠A在数量上有什么关系？请证明你的猜想。

课堂小结：根据不同的条件，先证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质，运用平行线的判定定理证明两条直线平行.也有先运用平行线的性质定理创造条件，再证明两个三角形全等，最后根据全等三角形的性质证明结论.课外作业练习册，堂堂练预习要求19.2（4）证明举例能利用定义、定理、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.教学后记与反思1、课堂时间消耗：教师活动分钟；学生活动分钟）2、本课时实际教学效果自评（满分10分）：分3、本课成功与不足及其改进措施：。

19.2证明举例(2)

课题：19.2证明举例（2）（上海教育出版社七年级第二学期p90~p92）
新港中学许晗
【教学目标】：
教继续学习演绎推理，初步掌握规范表达的格式；
能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判断与性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题；
了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的几种辅助线.
【学重点与难点】：
重点：如何进行演绎证明和简明表达.
难点：如何探索证题思路和添置辅助线.
【教学设想】：通过学生已有的认知结构，采用创设学生熟悉的问题情景，层层设疑、讲练结合，综合运用探究式、启发式方法进行教学.
【课前准备】：课件，投影仪，电子白板。

【教学方法】：探索发现法和运用多媒体教学;尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线。

【教学过程】：
1.全等三角形有几条判定？分别简记为什么？
2.全等三角形的性质是什么？
3. 利用全等三角形的性质可以证明什么？
4.等腰三角形与什么样的性质？分别可以用来
证明什么？
∠B和∠C就分别为△这时要证明∠B=。

19.2举例证明(4)

布置作业
• 练习册19.2（4）
19.2(4)证明举例崇明县大公中学龚Fra bibliotek明知识回顾
• （1）全等三角形的判定和性质是什么？
• （2）等腰三角形的判定与性质是什么？
举例探讨1
• 已知，如图，DB⊥AB,DC⊥AC,且∠1=∠2.
求证:AD⊥BC.
证明:∵DB⊥AB,DC⊥AC(已知), ∴∠ABD=∠ACD=90°(垂直的定义). 在△ABD与△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(A.A.S). ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). ∵△ABC是等腰三角形,且∠1=∠2, ∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一).
举例探讨2
• 已知:如图，在中,AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC.点E在AC 上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F. 求证:BF⊥AD.
证明:∵AC⊥BD(已知), ∴ (垂直的定义).
∴
∴ 在在 (全等三角形的对应角相等). 中, 中, (三角形的内角和等于180°), (三角形的内角和等于180°), (等量代换). (等式性质).
∴ ∴ ∴BF⊥AD(垂直的定义).
反馈练习，巩固知识
• 课后练习19.2(4)
课堂小结
• 你能讲一讲，证明两条直线垂直，一般可以采用什么方法吗？

19.2(4)证明举例

已知：如图，DB⊥AB，DC ⊥ AC，且∠1= ∠2 ，求证： AD⊥BC 。
分析：由已知条件容易证得△ABD≌△ACD，从而AB=AC，联系∠1= ∠2 ，共同推得AD⊥BC
变式练习
已知：如图， P是AD上一点， ∠ABP= ∠ACP， ∠BPD= ∠CPD，求证：（1）BD=CD，（2）AD⊥BC。
变式练习
已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，BC=DE，AB=CD，求证：AC⊥CE。 A
本题的思路是证明∠ACE=90°
B
C D
E
巩固练习
已知：如图，OA=OB，AC=BD，且 OA⊥AC， OB⊥BD，点M在CD上， ∠AOM=∠BOM，求证：OM⊥CD。
O
A
B
C
M
C
19.2 证明举例（4）
课前练习
在△ABC中（1）∵AB=AC （已知） B ∠___ C （等边对等角） ∴∠___= （2）∵ AB=AC ,∠BAD=∠CAD（已知） BD CD ，____ AD ⊥____ BC . ∴ _____=_____ B （等腰三角形三线合一）
A
D
C
例1
课堂小结
垂直常用的证明方法： ①等腰三角形三线合一； ②证明角度为90°。
作业：练习册19.2(4)
AБайду номын сангаас
仍然用全等三角形结合等腰三角形三线合一
B
P
D
C
例2
已知：如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为点C， AC=BC，点E在AC上，且CE=CD，联接BE并延长交AD于点F。求证： BF⊥AD。
分析：由已知条件易证明 △BCE≌△ACD，故∠1= ∠2，又由于对顶角∠BEC= ∠AEF，所以∠AFE= ∠BCA=90°，因此BF⊥AD。

八年级数学上册 19.2 证明举例(1)教案沪教版五四制

证明举例
课题
19.2（1）证明举例
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填）
教材章节分析：
学生学情分析：
课型
新授课
教
学
目
标
能利用定义、定理、公理等证明命题，能说出命题的题设和结论，掌握数学语言的转化.
经历命题证明的分析过程，感受解决几何证明问题的一般方法，体会数学语言的转化功能.
数学的几何推理是非常严谨的，每一步必须有理有据，因果关系的严密性
求证：AB∥CD。
2、如图，（1）已知：AB=AC，DE∥BC。
求证：AD=AE。
课堂小结：
证明举例பைடு நூலகம்
根据“同位角相等”、“内错角相等”、“同旁内角互补”证明两条直线平行。
课外
作业
练习册，堂堂练
预习
要求
19.2（2）证明举例
能利用全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.
重点
运用定义、定理、公理，证明命题，掌握数学语言的转化.
难点
正确说出简洁命题的题设和结论，数学语言的转化.
教学
准备
三角形的性质，平行线的性质和判定，其他几何性质等
学生活动形式
讨论，交流，总结，练习
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习一
课前练习二
根据下列命题画出图形，写出“已知”、“求证”。
（1）等腰三角形两腰上的高相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直。
（1）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，D，E为垂足。求证：BD=CE。
（2）已知：如图，AB∥CD，GP、HP分别平分∠BGF，∠DHE。

19.2(1)证明举例

E
例题讲解
例1 已知：如图，AB∥CD，∠B+∠D=180°. 求证：CB∥DE.
A B
C
D
E
练习
如图，已知AB//CD，∠B= ∠D. 求证：AD//BC.
A
B
D
C
例题讲解
已知：如图，点D、E、F分别是AC、AB、BC 上的一点，DF∥AB，∠DFE=∠A. 求证：EF∥AC. A 方法1： ∠A=∠FDC.
方法2： ∠ DFE=∠BEF. 方法3： ∠A+∠ADF=180° B 或∠DFE+∠AEF=180°
E
D
F
C
变式练习
已知条件改为：EF//AC 结论选其一：DF//AB， ∠DFE=∠A. 并证明
E A
B
F
巩固练习
A E D C B F
平行于同一条直线的两条直线
平行线的判定有哪些？
一般判定两直线平行的思路是什么？
布置作业：练习册习题19.2(1)
19.2 证明举例（1）
课前练习
（1）∵∠1=∠2（已知） ∴ AD∥ BC（同位角相等，两直线平行）（2）∵∠3=70°∠4=70°（已知） ∴∠3 = ∠4（等量代换） ∴AB ∥ CD（同位角相等，）A 1
两直线平行
3 2
D
4 C
（3）∵∠C=45°，∠ADC=135°（已知） B ∴∠C+ ∠ADC = 180° （等式性质） ∴AD∥ BC （同旁内角互补，两直线平行）

192证明举例(4)

其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能善待自己和他人。一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！