第12讲空间中的夹角和距离.docx
空间中的夹角和距离
空间中的夹角和距离一、知识梳理1、 异面直线所成的角已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）。
两条异面直线所成的角的范围是 。
2、 直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们说他们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，我们说他们所成的角是零度角。
直线和平面所成的角的范围是 。
3、 二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角。
平面角是直角的二面角叫直二面角。
二面角的范围是 。
4、 点到平面的距离平面外一点P 到平面上的射影为P '，则线段PP '的长度就是点P 到这个平面的距离。
5、直线到平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。
6、平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
二、经典例题例1 如右图所示，正方体1111ABCD A BC D -中，（1）异面直线1BC 与1CD 所成角的度数是 。
（2） 正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 、1BB 的中点，则EF 与对角面11AC CA所成角的度数是 。
例2 如图所示，1BC 与平面11BB D D 所成角的度数是（ ）。
A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°例2图 例3图例3如图所示：正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点，则EF 与对角面11AC CA 所成角的度数是（ ）。
《空间角与距离》课件
在这个PPT课件中，我们将探讨空间角与距离的概念、度量方法和应用。这些 是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程和计算机等领域有着重要的 意义。
空间角的概念
1 夹角定义
空间中两个射线之间的夹角被称为空间角。
2 计算方法
3 度量单位
空间角可以通过向量的内积和模长求得。
空间角的大小通常用弧度制来表示。
不同距离的应用
欧几里得距离
广泛应用于几何问题中的距离 计算，例如点之间的最短路径。
曼哈顿距离
常用于衡量城市街道间的距离， 尤其在导航和路径规划中得到 广泛应用。
向量的模长
被用于求解向量之间的距离， 例如判断两个向量的相似程度。
结语
空间角与距离的概念与应用是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程、计算机等领域都有着重要的意义。 掌握这些概念将有助于深入理解和解决相关问题。
空间角的度量方法
球面角
用于度量球面上两条射线之间的夹角。
平面角
用于度量平面上两条射线之间的夹角。
二面角
用于度量空间中两个平面的夹角。
空间中的距离
1Hale Waihona Puke 欧几里得距离用于测量空间中两点之间 的直线距离。
2 向量的模长
用于计算向量的长度，也 可以看作是起点与终点之 间的欧几里得距离。
3 曼哈顿距离
用于衡量城市街道等不规 则环境下的距离。
空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解
空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。
高三数学空间向量夹角跟距离
F D1 A1
D
A
M C1
∠MFE即异面直线
B1 E AB与EF所成的角
C B
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直 线AB与EF所成的角.
z D1 F A1
D A x
解：以D为原点，
C1 DA,DC,DD1分别为x
B1
轴，y轴，z轴建立直
E 角坐标系.
(2).向量的坐标及运算为解决线段长 度及两线垂直方面的问题提供了有力 和方便的工具，对于几何体中有关夹 角，距离，垂直，平行的问题，可将 其转化为向量间的夹角，模，垂直， 平行的问题，利用向量的方法解决。
再见！
带来の人就只是婉然壹各，其它の女眷在他の心目中全部都是陪衬，包括穆哲在内。按照壹贯の规矩，二十三小格壹行来到王府之后，男宾女眷即刻分道扬镳，他先去书院拜会王爷， 女眷们则去拜会四福晋，然后再共进晚膳。二十三小格与王爷虽是亲兄弟，但却比十三小格与王爷の关系差得很远，因此，宴席就改为摆在王府正式对外の宴客厅，而不是霞光苑。 又因为全都是至亲の自家亲戚，就那么几各人，因此也就没有分开男宾、女眷，而是共聚壹桌用膳。王爷这边因为是主人，因此所有の女眷都集体出席。对此，前壹天，排字琦特意 差红莲到怡然居询问咯壹下年侧福晋是否能参加。其实哪里还用排字琦来询问，水清早早地就盼着这壹天の到来。万壹婉然姐姐能够壹同前来，她们姐妹难得有壹各见面の机会，该 是壹件多么令她高兴の事情。直到现在她仍然懊悔当初壹时冲动，坏咯姐姐与王爷の好事，假设她能够冷静地处理，现在姐姐也会被王爷迎娶到府里，她们姐妹就可以朝夕相处，哪 里还需要像现在这样，连见各面都要历尽千辛万苦！此刻，王府の女眷们都齐齐地聚在宴客厅西侧边の堂间里，等待二十三弟妹们壹行。不多时，就听门外杂乱の脚步声响起，眨眼 之间，在霞光苑大太监何全、大丫环红莲の引领下，四位弟妹们鱼贯而入，而排字琦则是早早地就起身迎接。打头阵の是穆哲，众人都是老相识，因此相互之间状似热烈而又不失分 寸地寒暄两句。随后是完琦，也是老相识，照例是壹番既热烈又有分寸の寒暄；再后面是塔娜，改口茶那天见过面；最后就是婉然。当婉然最后壹各出现在众人面前，壹屋子の四嫂 们，从福晋到水清，从淑清到惜月，连最老实本分木讷の韵音，统统全都倒吸咯壹口冷气：天啊，婉然怎么会这样？壹会儿在宴席上，自家爷要是见到咯她现在这副模样，该会是多 么の心痛！第壹卷 第466章 利箭此时此刻，随着婉然の出现，刚刚还被排字琦刻意营造出来の妯娌之间欢声笑语、喜气洋洋の热烈气氛，立即变得鸦雀无声，而各位四嫂们の心情 更是忑忑不安起来。排字琦是女主人，首当其冲第壹各见到咯怀着身孕の婉然，那身形竟然与同样怀着身孕の水清差不咯好些！看来这两各人怀胎の月份应该是前后脚，不相上下。 对此，排字琦与众女眷们壹样の震惊，但是不同于众女眷の是，她在片刻之后，却又立即转惊为喜，并且不住地暗自庆幸、欢喜不已：这就好，这就好，这才是最好不过の事情！于 是转惊为喜の排字琦赶快向婉然展开壹各灿烂の笑容，同时故作亲热地拉上她の手说道：“唉呀，我说小弟妹，上次四嫂跟你说の那些话，你可是全忘记咯？不是跟你说过咯嘛，有 啥啊事情壹定要跟四嫂说，你到底是真忘记咯，还是跟四嫂客气呀！唉，你可真是の，白白让四嫂替你操心牵挂，若是早晓得你跟二十三叔の小日子过得是这么の和和美美、圆圆满 满，又是喜得贵子，四嫂我也就早点儿放下心来，早早地替你多多拜谢菩萨呢！”“多谢四嫂为婉然牵挂受累，都是小弟妹の不是，让您受累咯。”水清壹直盼啊盼啊，终于盼到咯 姐妹相见の这壹刻，她早就是心潮澎湃，万分激动。对于怀有身孕の婉然姐姐，她确实是急切地想晓得事情の真相。可是这些场面上の事情，当然首先要由排字琦出面张罗，稍后才 能轮到她这各侧福晋。就在婉然中规中矩地谢过福晋之后，好不容易轮到水清可以发话之际，却是耳畔响起咯苏培盛の声音：“启禀各位主子，爷和二十三爷马上就到咯！”两位爷 の驾到，令所有女眷们都立即停止咯闲聊与攀谈，赶快敛眉肃目、俯身垂首、静静恭候。二十三小格随着王爷步入宴客厅，他の脸上写满咯志得意满，甚至是得意洋洋の神情。王爷 是兄长，因此所有在场の女眷均需立即向他行礼请安。即使婉然也如众人壹样俯身垂首，即使她混同在十来各诸人中间，他仍是壹眼就将她认咯出来，然后他の那颗心，就像是被狠 狠地、准准地射入咯壹枚利箭，随即那枚利箭穿透咯他の胸膛，不给他任何壹各呼救の机会。因为在他面前出现の，是壹各至少怀咯四各月身孕の婉然。就在王爷の心中被深深地刺 入壹枚利箭の同时，二十三小格の心头上也同时有壹枚利箭穿胸而过，而且同样没有给他任何壹各呼救の机会。因为在他面前出现の，是壹各至少怀咯四各月身孕の水清。刚刚那份 志得意满の神情瞬间被这各突如其来の情况震惊得目瞪口呆。他完全没有料到，竟然会是这各结果！小四嫂，不是被四哥打入冷宫の吗？怎么会？难道这是四哥在报复他这各二十三 弟吗？可是，自己の心思没有告诉过任何人，连最亲近の十哥都没有说过，四哥怎么会晓得の呢？第壹卷 第467章 避开王爷不但被婉然震惊得半天没有缓过神儿来，更是将水清の 出现忘在咯脑后。当他收到二十三小格帖子の时候，脑海中确实转咯壹各弯：谁会陪同二十三弟壹并前来？婉然吗？相信不会！二十三弟巴不得他和婉然今生今世永远不得相见呢， 怎么可能亲手创造这各旧情人相见の机会。而王爷之所以想到婉然是否壹同前来这各问题，并不是他多么盼望着与婉然の相见，而是他万分担心婉然见到现如今の水清。水清再是瘦 弱，现如今也是无法遮掩住那突飞猛进の身形。虽然他发自内心地承认咯自己の错误，虽然他积极主动地承担起咯作为壹各男人所应当承担起来の责任，并且千叮咛万嘱咐咯排字琦，
空间向量的夹角和距离公式
A
B C
5 6 由(1)知 | FA | ,| FE | . 2 2 30 cos FE , FA . 10 30
sin FE , FA 10 .
D
补充作业：
A
1
F1
M
C1 B1 E
D A x
C
O
y B
SAEF
5 30 6 6 | AM | . 故点A到直线EF的距离为 . 2 10 4 4
分析：到两点距离相等直接做
B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 到 A、
满足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
练习P42 已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),求证 △是直角三角形.
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 15 B1 E1 BE1 DF1 15 A B 16 1 1 cos , DF1BE 1与 DF1 所成的角的余弦值。 . D1 F1 BE1，求 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 解： 设正方体的棱长为1，建立如图空间直角坐标 4z 4 系 O xyz ，得 F D
A
z
B
O
y
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b 2 2 2 2 2 2 | a | | b | a1 a2 a3 b1 b2 b3 x
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则 (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b _____________________;
(a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b ______________________; (a1 , a2 , a3 ),( R) a _________________;
空间中的夹角与距离
要点梳理
忆一忆知识要点
ห้องสมุดไป่ตู้5．直线与平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平 面的距离，叫做这条直线和平面的距离． 6．平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面 的距离．
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基础自测
题号 1 2 3 答案
3 6
①②④ C
4
B
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直线与平面所成的角
例 1 如图，四棱锥 P—ABCD 中， 底面为直角梯形，AD∥BC， ∠BAD＝90° ，PA⊥底面 ABCD， 且 PA＝AD＝AB＝2BC，M、N 分别为 PC、PB 的中点． (1)求证：PB⊥DM； (2)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值．
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(1)证明 分别取 AB，BC 的中点 M，N， 1 1 连接 EM，MN，FN，于是 EM 綊 BB1，FN 綊 BB1， 2 2 从而 EM 綊 FN，即四边形 EFNM 是平行四边形，∴EF∥MN.
而 EF⊄平面 ABC，MN⊂平面 ABC，故 EF∥平面 ABC. (2)证明 连接 A1B， ∵ABC—A1B1C1 是直三棱柱， ∴AA1⊥AB. 又 AB＝CC1＝AA1， ∴ABB1A1 是正方形， 从而 AB1⊥A1B.
BN 10 ∴在 Rt△BGN 中，sin∠BGN＝BG＝ 5 .
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探究提高
(1)求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此 重点是找到直线上一点向平面作垂线． (2)求线线角和线 面角时，有时可通过平移改换要求的角，如本题将 CD 平 移到 BG，使问题得以巧妙解决．(3)第一问往往是为第二 问设置台阶，要注意这一规律．
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由(1)知 PO⊥OB，∠PBO 为锐角， ∴∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角． ∵AD＝2AB＝2BC＝2， 在 Rt△AOB 中，AB＝1，AO＝1，∴OB＝ 2，
空间向量的夹角和距离公式
空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。
点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。
模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。
夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。
此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。
设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。
叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。
距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。
这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。
总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。
这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。
空间向量研究距离,夹角问题
又因为
所以点B到直线A1C1的距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;
讲 课
直线和平面间的距离：
如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一 点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一 点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距 离求解.
讲
课
人
：
邢
启 强
6
典型例题
例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3, ∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
P
N
D
C
M
A
B
讲
课
人
：
邢
启 强
10
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0a, )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
距离问题
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工
用空间向量研究距离、夹角问题全文
MN ( 1 1 )2 (0 1 )2 ( 1 0)2 2 .
22
22
2
y
x
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂 直，点M在AC上，点N在BF上，若CM = BN = 2，求MN的长.
2
解2：设 AB a, AD b, AF c . 则
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(4) 求直线FC1到平面AB1E的距离.
D1
C1
解 : FC1 //平面AB1E,直线FC1到平面AB1E的距离 A1
B1
等于点C1到平面AB1 E的距离.
E
由(3)知平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2). 易知C1(0,1,1), B1(1,1,1),C1B1 (1,0,0).
D1 A1
E
D
C1 B1
F
C
A
B
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1
的中点.
z
(1) 求点A1到直线B1E的距离;
D1
C1
解 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 则有
A1
B1
1 A1(1, 0,1), B1(1,1,1), E(0, 0, 2).
z0 ,
0
取y
1, 则z
1,
x
1.
∴平面D1CB1的一个法向量为n (1,1,1).
D
A x
C y
B
点B到平面D1CB1
的距离为
|
BC n |n|
用空间向量研究距离、夹角：距离问题
用空间向量研究距离、夹角:距离问题学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用．导语如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A 处，修建一个蔬菜存储库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达A 点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？一、点到直线的距离问题1如图，已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点．如何利用这些条件求点P 到直线l 的距离？提示设AP →＝a ，则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a ·u )u .在Rt △APQ 中，由勾股定理，得点P 到直线l 的距离为PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝a 2－(a ·u )2.知识梳理PQ ＝(|AP →|2－|AQ →|2)＝a 2－(a ·u )2.问题2类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？提示在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．例1如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为平面A 1ABB 1的中心，E 为BC的中点，求点O 到直线A 1E 的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，E 12，1，0，O 1，12，12，因为A 1E —→＝－12，1，－1u ＝A 1E —→|A 1E —→|＝－13，23，－23，取a ＝OA 1—→0，－12，12所以a 2＝12，a ·u ＝－23.所以点O 到直线A 1E 的距离为a 2－(a ·u )2＝12－49＝26.反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．跟踪训练1如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知AB ＝3，AD＝4，PA ＝1，求点P 到BD 的距离．解如图，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (3,0,0)，D (0,4,0)，所以PB →＝(3,0，－1)，BD →＝(－3,4,0)，取a ＝PB →＝(3,0，－1)，u ＝BD →|BD →|＝－35，45，0则a 2＝10，a ·u ＝－95，所以点P 到BD 的距离为a 2－(a ·u )2＝10－8125＝135.二、点、直线、平面到平面的距离问题3已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．如何求平面α外一点P 到平面α的距离？提示过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则点P 到平面α的距离为PQ ＝|AP →·n ||n |.知识梳理PQ ＝|AP →·n ||n |.注意点：(1)实质上，n 是直线l 的方向向量，点P 到平面α的距离就是AP →在直线l 上的投影向量QP →的长度．(2)如果一条直线l 与一个平面α平行，可在直线l 上任取一点P ，将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解．(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P ，可将两个平行平面的距离转化为点P 到平面β的距离求解．例2如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离；(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E 1，12，0，F 12，1，0.设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP→＝x ＋12y ，12x ＋y ，z ，x ＋y ＋z ＝1，PE →1，12，－1PF →12，1，－1所以DH →·PE →＝x ＋12y ＋1212x ＋y z＝54x ＋y －z ＝0.同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，解得x ＝y ＝417，z ＝917.所以DH →＝317(2,2,3)，所以|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)由题意得，AC ∥EF ，直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离，由(1)知AE →＝0，12，0平面PEF 的一个法向量为n ＝(2,2,3)，所求距离为|AE →·n ||n |＝117＝1717.反思感悟用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )．(4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.跟踪训练2如图所示，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．解设正四棱柱的高为h (h >0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1，1，h )，则AB 1—→＝(1,0，－h )，AD 1—→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)，设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AB 1—→＝0，·AD 1—→＝0，－hz ＝0，－hz ＝0，取z ＝1，得n ＝(h ，h ,1)，所以点C 到平面AB 1D 1的距离为d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得h ＝2.故正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为2.1．知识清单：(1)点到直线的距离．(2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化．2．方法归纳：数形结合、转化法．3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的1．已知A (0,0,2)，B (1,0,2)，C (0,2,0)，则点A 到直线BC 的距离为()A ．223B ．1C ．2D ．22答案A解析∵A (0,0,2)，B (1,0,2)，C (0,2,0)，AB →＝(1,0,0)，BC →＝(－1,2，－2)，∴点A 到直线BC 的距离为d＝223.2．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是()A ．66B ．63C ．36D ．33答案D解析以P 为坐标原点，分别以PA ，PB ，PC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，则d ＝|PA →·n ||n |＝33.3．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离为()A ．36B ．33C ．233D ．32答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，D (0，0,1)，A (1,0,1)，所以DA 1—→＝(1,0，－1)，DC 1—→＝(0,1，－1)，AD →＝(－1,0,0)，设平面A 1C 1D 的一个法向量为m ＝(x ，⊥DA 1—→，⊥DC 1—→，－1＝0，－1＝0，＝1，＝1，故m ＝(1,1,1)，显然平面AB 1C ∥平面A 1C 1D ，所以平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离d ＝|AD →·m ||m |＝13＝33.4．已知直线l 经过点A (2,3,1)，且向量n ＝(1,0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4,3,2)到l 的距离为________．答案22解析因为PA →＝(－2,0，－1)，又n 与l 垂直，所以点P 到l 的距离为|PA →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.练习1.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝a ，AA 1＝2a ，则点D 1到直线AC 的距离为()A ．3aB ．3a 2C ．22a 3D ．32a 2答案D 解析方法一连接BD ，AC 交于点O (图略)，则D 1O ＝32a2所求．方法二如图建立空间直角坐标系，易得C (a ，a ,0)，D 1(0，a ,2a )，取a ＝CD 1—→＝(－a ,0,2a )，u ＝AC →|AC →|＝22，22，0则点D 1到直线AC 的距离为a 2－(a ·u )2＝5a 2－12a 2＝32a 2.2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是()A ．32B ．22C ．3D ．32答案B解析∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2，1,1)，OA →＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d ＝|n ·OA →||n |＝|－2＋0＋1|2＝22.3．已知动直线l 过点A (1，－1,2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3,0,4)，则P (3,5,0)到l 确定的平面的距离为()A ．5B ．14C ．145D ．45答案C解析∵PA →＝(－2，－6,2)，PA →·n ＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n |＝5，∴点P 到直线l 的距离d ＝|PA →·n ||n |＝145.4．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝5，AB ＝12，则直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离是()A ．5B ．8C ．6013D ．133答案C解析以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,12,0)，D 1(0,0,5)．设B (x ,12,0)，B 1(x ,12,5)(x >0)．设平面A 1BCD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由n ⊥BC →，n ⊥CD 1—→，得n ·BC →＝(a ，b ，c )·(－x ,0,0)＝－ax ＝0，n ·CD 1—→＝(a ，b ，c )·(0，－12,5)＝－12b ＋5c ＝0，所以a ＝0，b ＝512c ，所以可取n ＝(0,5,12)．又B 1B —→＝(0,0，－5)，所以点B 1到平面A 1BCD 1的距离为|B 1B —→·n ||n |＝6013.因为B 1C 1∥平面A 1BCD 1，所以B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离为6013.5．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离等于()A ．23B ．223C ．233D ．43答案D解析以D 1为坐标原点，分别以D 1A 1——→，D 1C 1—→，D 1D —→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(2,2,0)，C 1(0,2,0)，E (2,1，2)，F (1,2,2)．B 1E —→＝(0，－1,2)，B 1F —→＝(－1,0,2)，设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·B 1E —→＝0，n ·B 1F —→＝0，－y ＋2z ＝0，－x ＋2z ＝0，令z ＝1，得n ＝(2,2,1)．又∵B 1C 1——→＝(－2,0,0)，∴点C 1到平面B 1EF 的距离d ＝|n ·B 1C 1——→||n |＝|－2×2＋0＋0|22＋22＋1＝43.6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为()A ．32B ．24C ．12D ．33答案B解析以{DA →，DC →，DD 1—→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，C 1O —→＝12C 1A 1——→＝12，－12，0ABC 1D 1的一个法向量为DA 1—→＝(1,0,1)，点O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|DA 1—→·C 1O —→||DA 1—→|＝122＝24.7．Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 的距离是________．答案3解析以C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (4,0,0)，B (0,3,0)，，0所以AB →＝(－4,3,0)，AP →4，0取a ＝AP →4，0u ＝AB →|AB →|＝－45，35，则P 到AB 的距离为d ＝a 2－(a ·u )2＝16＋8125－25625＝3.8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie nao)，如图．已知在鳖臑P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为________．答案2解析以B 为坐标原点，BA ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，如图，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，P (2，0,2)，C (0,2,0)，由M 为PC 的中点可得M (1,1,1)．BM →＝(1,1,1)，BA →＝(2,0,0)，BP →＝(2,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABM 的一个法向量，n ·BA →＝0，n ·BM →＝0，2x ＝0，x ＋y ＋z ＝0，令z ＝－1，可得n ＝(0,1，－1)，点P 到平面MAB 的距离为d ＝|n ·BP →||n |＝ 2.9．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．(1)求点M 到直线AC 1的距离；(2)求点N 到平面MA 1C 1的距离．解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，M (2,0,1)，C 1(0,2,2)，直线AC 1的一个单位方向向量为s 0＝0，22，22AM →＝(2,0,1)，故点M 到直线AC 1的距离d ＝|AM →|2－|AM →·s 0|2＝5－12＝322.(2)设平面MA 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·A 1C 1—→＝0，n ·A 1M —→＝0，2y ＝0，2x －z ＝0，取x ＝1，得z ＝2，故n ＝(1,0,2)为平面MA 1C 1的一个法向量，因为N (1,1,0)，所以MN →＝(－1,1，－1)，故N 到平面MA 1C 1的距离d ＝|MN →·n ||n |＝35＝355.10．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段DD 1的中点，F 为线段BB 1的中点．(1)求直线FC 1到直线AE 的距离；(2)求直线FC 1到平面AB 1E 的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(1,1,1)，，0，1C 1(0,1,1)，A (1,0,0)．(1)因为AE →1，0FC 1—→1，0所以AE →∥FC 1—→，即AE ∥FC 1，所以点F 到直线AE 的距离即为直线FC 1到直线AE 的距离．u ＝AE →|AE →|＝－255，0AF →，1AF →2＝54，AF →·u ＝510，所以直线FC 1到直线AE ＝305.(2)因为AE ∥FC 1，所以FC 1∥平面AB 1E ，所以直线FC 1到平面AB 1E 的距离等于C 1到平面AB 1E 的距离．C 1B 1——→＝(1,0,0)，AB 1—→＝(0,1,1)，设平面AB 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AB 1—→＝0，·AE →＝0，＋z＝0，x＋12z＝0，取z＝2，可得n＝(1，－2,2)，所以C1到平面AB1E的距离为|C1B1——→·n||n|＝13，所以直线FC1到平面AB1E的距离为13.11．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足AP→＝34AB→＋12AD→＋23AE→，则P到AB的距离为()A．34B．45C．56D．35答案C解析如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AB→，AD→，AE→可作为x，y，z轴方向上的单位向量，因为AP→＝34AB→＋12AD→＋23AE→，所以AP→，12，AB→＝(1,0,0)，|AP→·AB→||AB→|＝34，所以P点到AB的距离d＝|AP→|2－|AP→·AB→|AB→||2＝181144－916＝56.12．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为()A ．3λB ．22C ．23λD ．55答案D 解析以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则M (2，λ，2)，D 1(0,0,2)，E (2,0,1)，F (2,2,1)，ED 1—→＝(－2,0,1)，EF →＝(0,2,0)，EM →＝(0，λ，1)．设平面D 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·ED 1—→＝－2x ＋z ＝0，n ·EF →＝2y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0,2)，所以点M 到平面D 1EF 的距离为d ＝|EM →·n ||n |＝25＝255.因为N 为EM 的中点，所以N 到平面D 1EF 的距离为55.13．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为__________．答案32解析如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0，0,1)，M 1，1，12，A (1,0,0)，∴AM →0，1，12AC →＝(－1,1,0)，AD 1—→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AC →＝0，·AD 1—→＝0，x ＋y ＝0，x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32.又MN ∥AD 1，且MN ＝12AD 1，故MN ∥平面ACD 1，故直线MN 到平面ACD 1的距离为32.14．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．答案217解析建立如图所示的空间直角坐标系，则，12，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A —→，12，－C 1B 1——→＝(0,1,0)，C 1B —→＝(0,1，－1)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ,1)，1A →·n ＝32x ＋12y －1＝0，1B →·n ＝y －1＝0，解得n 1，则所求距离为|C 1B 1——→·n ||n |＝113＋1＋1＝217.15．如图，在四棱锥P －ABCD 的平面展开图中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∠HDC ＝∠FAB ＝90°，则四棱锥P －ABCD 外接球的球心到平面PBC 的距离为()A ．305B ．306C ．55D ．56答案C 解析该几何体的直观图如图所示，分别取AD ，BC 的中点O ，M ，连接OM ，PM ，PO ，∵PO ＝1，OM ＝2，PM ＝PB 2－BM 2＝6－1＝5，∴OP 2＋OM 2＝PM 2，∴OP ⊥OM ，又∵PO ⊥AD ，∴由线面垂直的判定定理得出PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系．则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (－1,2,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,1)，设四棱锥P －ABCD 外接球的球心为N (0,1，a )，∵PN ＝NA ，∴1＋(1－a )2＝1＋1＋a 2，解得a ＝0.设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，PB →＝(1,2，－1)，PC →＝(－1,2，－1)，NP →＝(0，－1,1)，·n ＝0，·n ＝0，＋2y －z ＝0，x ＋2y －z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0,1,2)，则四棱锥P －ABCD 外接球的球心到平面PBC 的距离为d ＝|NP →·n ||n |＝|－1＋2|5＝15＝55.16．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CA ＝2，侧棱AA 1＝2，D 是CC 1的中点，则在线段A 1B 上是否存在一点E (异于A 1，B 两点)，使得点A 1到平面AED 的距离为263.解假设存在点E 满足题意．以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，B (0,2,0)，AA 1—→＝(0,0,2)，BA 1—→＝(2，－2,2)．设BE →＝λBA 1—→，λ∈(0,1)，则E (2λ，2(1－λ)，2λ)，AD →＝(－2,0,1)，AE →＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，设n ＝(x ，y ，z )为平面AED 的一个法向量，·AD →＝0，·AE →＝0，2x ＋z ＝0，(λ－1)x ＋2(1－λ)y ＋2λz ＝0，取x ＝1，则y ＝1－3λ1－λ，z ＝2，即n ，1－3λ1－λ，AED 的一个法向量．因为点A 1到平面AED 的距离d ＝|AA 1—→·n ||n |＝263，所以26 3＝又λ∈(0,1)，所以λ＝1 2 .故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为26 3.。
空间解析几何中的平面夹角与距离
空间解析几何中的平面夹角与距离空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究点、直线、平面在三维空间中的位置关系和性质。
其中涉及到的平面夹角与距离是十分重要的概念，本文将对此进行详细解释。
一、平面夹角在空间解析几何中，平面夹角是指两个平面之间的夹角。
平面夹角可以通过两个平面的法向量来求解。
1. 法向量一个平面在空间中的位置是由其法向量来确定的。
法向量垂直于平面，可以唯一确定平面的朝向和方向。
设平面P的法向量为n1，平面Q的法向量为n2，则平面P和平面Q之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1·n2) / (|n1||n2|)其中，·表示向量的点乘操作，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。
2. 夹角性质通过计算得到的夹角θ有以下性质：- 当θ=0时，表示两个平面重合；- 当0<θ<90°时，表示两个平面之间的夹角是锐角；- 当θ=90°时，表示两个平面垂直；- 当90°<θ<180°时，表示两个平面之间的夹角是钝角；- 当θ=180°时，表示两个平面平行。
夹角的计算公式可以用于解决很多实际问题，比如在工程中确定两个平面的夹角，计算房屋之间的夹角等。
二、平面距离平面距离是指两个平面之间的最短距离。
在几何学中，求解平面距离的方法有多种，以下将介绍其中两种常用的方法。
1. 点到平面距离设平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0，点Q(x0,y0,z0)为空间中一点。
点Q到平面P的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，| | 表示求绝对值，√表示开平方。
2. 线段到平面的距离如果需要求解线段AB到平面P的距离，可以利用点到平面的距离公式进行计算。
求解步骤如下：- 确定平面P的方程Ax+By+Cz+D=0；- 计算A、B两点到平面P的距离分别为d1和d2，使用点到平面距离公式；- 线段AB到平面P的最短距离为min(d1, d2)。
第12讲 空间中的夹角和距离8页word文档
第十二讲 空间中的夹角和距离一、复习目标要求1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。
2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；二、2019年命题预测高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。
随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
预测2019年高考试题：（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。
三、知识精点讲解1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。
（2）点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
高三数学空间向量夹角与距离(201908)
空间夹角和距离的计算.共63页PPT
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
空间夹角和距离的计算.
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
Байду номын сангаас 谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
用空间向量研究距离、夹角问题
直角坐标系.
C
D
F
B
D1
C1
A1
E
B1
问：应用向量方法求距离，共同点是什么？
问：为此我们要做什么准备？
z
以D1为原点，D1 A1，D1 C1，
A
D1 D所在直线为x轴、y轴、
C
D
z轴，建立如图所示的空间
F
B
D1
直角坐标系.
C1
A1
E
x
B1
y
问: 相关点的坐标是什么？
A(1，0，1)，B(1，1，1)，
)
A
Q
= ∙
P
平面 α的法向量为n
A是平面α内的定点
点P 到平面 α的距离
n
A
∙
∙
= ∙
=
=
α
Q
小结：整理向量方法求距离的相关公式
距离问题
图示
两点间的距离
点到直线
的距离
两平行线之间
的距离
点到平面
的距离
向量法距离公式
Q
P
=
u
的距离可以转化为点到平面的距离.
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
= ∙
直线到平面的距离
∙
∙
=
=
两个平行平面间的距离
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
例题小结
2.用向量方法解决距离问题的“三步曲”：
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O
AD
E
B'C'
O'
A'D'
CB
图1
DA O1
C'O2B'
D'A'
图2
3
3
a，所以异面直线
BD与B1C之间的距离为
3
不难算出BO1
3
3
3
点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。
题型2：线线夹角
例2．如图
1，在三棱锥S—ABC中，SABSAC
ACB 90，AC
2，BC
13，
SB29，求异面直线
SC与AB所成角的余弦值。
S
A
B
C
图1
解法1：用公式
当直线AB平面
A，AB
与
所成的角为
1，l是
内的一条直线，l与AB在
内的射影AB'
所成的角为
2，则异面直线
l与AB所成的角
满足cos
cos1cos2。以此为据求解。
a、b
所成的角为
，它们的公垂线
AA′的长度为
d，在
a上
有线段
A′E
＝m
，b
上有线段
AF
＝n
，那么
EF
＝
d2
m2
n2
2mncos
（“±”符号由实际情
况选定）
2．夹角
空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和
取值范围，其范围依次为
(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。
解法1：如图1连结A'C'，则AC∥面A'C'D'，连结DA'、DC'、DO'，过O作OE⊥DO'于E
因为A'C'⊥面BB'D'D，所以A'C'⊥OE。
又O'D⊥OE，所以OE⊥面A'C'D。
因此OE为直线DA'与AC的距离。
在Rt△OO'D中，OE·O' D
3
OD·OO'，可求得OE
3
点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂
求法：“一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法” 。
（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的
解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通
常的作法有： （Ⅰ）定义法； （Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理； （Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角， 俗称垂面法． 此外，当作二面角的平面角有困难时， 可用射影面积法解之，cos
（2）点到平面的距离
平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：
○
1
“一找
二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。
（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；
（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
线。
解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分别包含DA'和AC的两个平面A'C'D和平面AB'C，
又因为A'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面A'C'D∥面AB'C。
故DA'与AC的距离就是平面A'C'D和平面AB'C的距离， 连BD'分别交两平面于O1，O2两点，易证O1O2是两平行平面距离。
＝S，其中S为斜面面积，S′为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角。
S
3．等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
四．典例解析
题型1：直线间的距离问题
例1．已知正方体ABCD A' B' C' D '的棱长为1，求直线DA'与AC的距离。
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（1）两条异面直线的距离
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。
在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，
从历年的考题变化看,以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热
门话题。
预测07年高考试题：
（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一
《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座
—空间中的夹角和距离
一．课标要求：
1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离） 。
2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；
3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；
二．命题走向
高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点
定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；
（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二
者均应以正确的空间想象为前提。
三．要点精讲
1．距离
空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。
（1）两条异面直线所成的角
求法：1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角
○
形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是
(0, ]，
2
向量所成的角范围是[ 0,
]，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。
（2）直线和平面所成的角
由题意，知SA平面ABC，AC
BC，由三垂线定理，知SC BC，所以BC
平面SAC。
因为AC
2，BC
13，SB
29，由勾股定理，得
AB
17，SA
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离
转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合
定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线
上两点间距离公式，如果两条异面直线