【金识源】高中数学 2.3.3-2.3.4(第2课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2

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苏教版数学高一-【金识源】必修2教案平面的基本性质(2)

1.2.1平面的基本性质（2）
教学目标
掌握平面的基本性质的三条推论及作用．
教材分析及教材内容的定位
本节内容是在上节中公理3的基础上进一步研究确定平面的条件，得出3条推论．对于推论的证明，是学生学习立体几何遇到的第一个需要论证的问题．教学时应注重分析证明的思路及论证的依据，并指出证明的过程，包括存在性与惟一性两部分．为学生运用符号语言证明几何问题提供示范，从而为后续学习打下基础．
教学重点
平面性质的三条推论，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
教学难点
平面性质的三条推论的掌握与运用.
教学方法
图形语言：
符号表示：A ，B ，C 不共线⇒A ，B ，C 确定一个平面．思考1：如何理解公理3中的“有且只有一个”？
思考2：公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？（提供确定一个平面的依据）推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 变式练习：求证：两两相交且不共点的三条直线必在同一个平面内．
例2 如图，若直线l 与四边形ABCD 的三条边 AB ，AD ，CD 分别交于点E ，F ，G ．求证：C
A
高中数学。

金识源专版高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2

2.3.2平面与平面垂直的判定课前预习学案一、预习目标：（1）明确角的定义及推广。

（2）初步知道什么是二面角。

二、预习内容问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？问题4、二面角如何度量？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

学习重点：平面与平面垂直的判定。

学习难点：找出二面角的平面角。

二、学习过程（一）、二面角的平面角1、如何找出二面角的平面角？2、二面角的平面角为90说明了什么？（二）、平面与平面垂直的判定定理（文字，符号及图形表示）（三）、定理的应用P中的例3）例1（课本69P的探究问题变式1、课本69例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。

求证：平面PAC 平面PBD。

P的练习变式2、课本69当堂达标测试P81习题 2.3 A组第4、6、7题, B组第1题课后练习与提高 1．过平面α外两点且垂直于平面α的平面（）()A 有且只有一个 ()B 不是一个便是两个 ()C 有且仅有两个 ()D 一个或无数个2．若平面α⊥平面β，直线n ⊂α，m ⊂β,m n ⊥，则（）()A n ⊥β ()B n ⊥β且m ⊥α ()C m ⊥α ()D n ⊥β与m ⊥α中至少有一个成立3．对于直线,m n 和平面,αβ，α⊥β的一个充分条件是（）()A m n ⊥，//,//m n αβ ()B ,,m n m n αβα⊥=⊂()C //,,m n n m βα⊥⊄ ()D ,,m n m n αβ⊥⊥⊥4．设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，给出下列四个命题：①若,l m αα⊥⊥，则//l m ；②若,m n β⊂是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥； ③若,//m m n α⊂，则//n α； ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ．其中真命题是（）()A ①②()B ②③ ()C ①③ ()D ③④5．如图正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是111111,,,A B BC C D B C 的中点，求证：平面MNF ⊥平面ENF 。

《金识源专版》高中新人教A版必修2数学素材2.3.3直线与平面垂直的性质

2．3.3 直线与平面垂直性质基础梳理1．直线与平面垂直的性质定理．练习1：正方体ABCDA1B1C1D1中，求证AC⊥平面BB1D1D.证明：由正方体的性质可知AC⊥BD，BB1⊥平面AC，所以BB1⊥AC，因为BD与BB1相交，所以AC⊥平面BB1D1D.2．平面与平面垂直的性质定理．练习2：直线与平面不垂直，那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗？答案：错►思考应用1．垂直于同一平面的两平面平行吗？解析：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？解析：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面．自测自评1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(D)A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b∥α或b⊂α2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(D)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内3．若直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m ③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的命题的序号是(D)A．①②B．③④C．②④D．①③4．如图，▱ADEF 的边AF 垂直于平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE解析：∵AF∥ED，AF ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥平面ABC D.∴ED⊥DC.在Rt △EDC 中，ED ＝2，CD ＝3，∴CE ＝22＋32＝13.基础达标1．△ABC 所在的平面为α，直线l⊥AB，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是(C )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定解析： ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥AB l ⊥AC ⇒l ⊥a ， ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥BC m ⊥AC ⇒m ⊥a. 由线面垂直的性质定理得m∥l，故选C.2．如图，PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，下列结论中不正确的是(C )A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CDC ．PO ⊥BD D ．PA ⊥BD3．已知平面α、β和直线m 、l ，则下列命题中正确的是(D )A ．若α⊥β，α∩β＝m ，l ⊥m ，则l⊥βB ．若α∩β＝m ，l ⊂α，l ⊥m ，则l⊥βC ．若α⊥β，l ⊂α，则l⊥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，l ⊂α，l ⊥m ，则l⊥β解析：选项A 缺少了条件：l ⊂α；选项B 缺少了条件：α⊥β；选项C 缺少条件α∩β＝m ，l ⊥m ；选项D 具备了面面垂直的性质定理的全部条件．4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则a 与β的位置关系为__________．答案：a∥β或a ⊂β或a 与β相交5．圆O 的半径为4，PO 垂直圆O 所在的平面，且PO ＝3，那么点P 到圆上各点的距离是________．答案：5巩固提升6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l 上取线段AB ＝4 cm ，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AC ＝3 cm ，BD ＝12 cm ，求线段CD 的长．解析：连接AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝12，AB ＝4，∴AD ＝122＋42＝410(cm )．∵AC ⊥l ，AC ⊂面α，α⊥β，α∩β＝l ，∴AC⊥Β.又AD ⊂β，∴CA ⊥AD.在Rt △ADC 中，AC ＝3，AD ＝410，∴CD ＝32＋（410）2＝169＝13(cm )．7．已知，△ABC 所在平面外一点V ，VB ⊥平面ABC ，平面VAB⊥平面VAC.求证：AC⊥BA.证明：过B 作BD⊥VA 于D ，∵平面VAB⊥平面VAC ，∴BD ⊥平面VAC ，∴BD ⊥AC ，又∵VB⊥平面ABC ，∴VB ⊥AC ，又∵BD∩VB＝B ，∴AC ⊥平面VBA ，∴AC ⊥BA.8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE∥平面BCF ；(2)证明：CF⊥平面ABF.(3)当AD ＝23时，求三棱锥FDEG 的体积V F －DEG . 解析：(1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC ，在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立，∴DE ∥BC.又∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC ，即AF⊥CF，①且BF ＝CF ＝12. ∵在三棱锥ABCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF.②∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF.(3)由(1)可知，GE ∥CF ，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴V FDEG ＝V EDFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.1．(1)直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b ⊂α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b ⊥α，则a∥b；③a⊥α，a ⊥β，则α∥β.(2)平面与平面垂直的性质：①性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂β，m ⊥l ，则m⊥α.②如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．2．直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化．。

金识源专版高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系小结试题新人教A版必修2

第二章点、直线、平面之间的位置关系时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°[答案] D[解析] 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面[答案] C[解析] 1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．3．下列命题中，错误的是( )A．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β[答案] C[解析] 直线l不平行于平面α，可能直线l在平面α内，此时，在平面α内存在与l平行的直线．4．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有( )A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①[答案] A[解析] 因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n ⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．对于两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂α B ．a ⊂α，b ∥α C ．a ⊥α，b ⊥α D ．a ⊂α，b ⊥α[答案] B[解析] 因为已知两条不相交的空间直线a 和b .所以可以在直线a 上任取一点A ，则A ∉b .过A 作直线c ∥b ，则过a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α.6．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条[答案] B[解析] 如图，和α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC ＝∠ACB ＝30°且BC ∥l 时，直线AC ，AB 都满足条件，故选B ．7．如图，A 是平面BCD 外一点，E 、F 、G 分别是BD 、DC 、CA 的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB 、AC 、AD 、BC 、CD 、DB 中，与平面α平行的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条[答案] C[解析] 显然AB 与平面α相交，且交点是AB 中点，AB ，AC ，DB ，DC 四条直线均与平面α相交．在△BCD 中，由已知得EF ∥BC ，又EF ⊂α，BC ⊄α，∴BC ∥α.同理，AD ∥α，∴在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条，故选C ．8．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为( )A ．13B ．23 C ．33D ．23[答案] B[解析] 由题意知三棱锥A 1－ABC 为正四面体，设棱长为a ，则AB 1＝3a ，棱柱的高A 1O ＝A 1A 2－AO 2＝a 2－23×32a 2＝63a (即点B 1到底面ABC 的距离)，故AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为A 1O AB 1＝23.9．等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，M 为AC 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C －BM －A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 如图，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°知A ′C ＝ 2.∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， ∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝MA ＝22，∴MC 2＋MA 2＝AC 2， ∴∠CMA ＝90°，故选C ．10．如图，α⊥β，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈β，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α，β所成的角分别是θ和φ，AB 在α，β内的射影长分别是m 和n ，若a ＞b ，则( )A ．θ＞φ，m ＞nB ．θ＞φ，m ＜nC ．θ＜φ，m ＜nD ．θ＜φ，m ＞n[答案] D[解析] 由勾股定理得a 2＋n 2＝b 2＋m 2＝AB 2. 又a ＞b ，∴m ＞n .由已知得sin θ＝bAB ，sin φ＝aAB，而a ＞b ， ∴sin θ＜sin φ，又θ，φ∈(0，π2)，∴θ＜φ.11．如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E ，F ，H ，K 分别为AC ′，CB ′，A ′B ，B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心，从K ，H ，G ，B ′中取一点作为P ，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则点P 为( )A ．KB ．HC ．GD ．B ′[答案] C[解析] 应用验证法：选G 点为P 时，EF ∥A ′B ′且EF ∥AB ，此时恰有A ′B ′和AB 平行于平面PEF ，故选C ．12．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC[答案] D[解析] 由平面图形易知∠BDC ＝90°.∵平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD ．∴CD ⊥AB ．又AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ADC ．又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．直线l 与平面α所成角为30°，l ∩α＝A ，m ⊂α，A ∉m ，则m 与l 所成角的取值范围是________.[答案] [30°，90°][解析] 直线l 与平面α所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在α内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的最大值为90°.14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN是直角，则∠C 1MN 等于________.[答案] 90°[解析] 因为C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，所以C 1B 1⊥MN .又因为MN ⊥MB 1，MB 1，C 1B 1⊂平面C 1MB 1，MB 1∩C 1B 1＝B 1，所以MN ⊥平面C 1MB 1，所以MN ⊥C 1M ，所以∠C 1MN ＝90°.15．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．[答案] DM ⊥PC (或BM ⊥PC )[解析] 连接AC ，则BD ⊥AC ，由PA ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥PA ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC ．故当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，平面MBD ⊥平面PCD ．16．(2013·高考安徽卷)如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段CC 1上的动点，过A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号)①当0<CQ <12时，S 为四边形②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1交点R 满足C 1R 1＝13④当34<CQ <1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62. [答案] ①②③⑤[解析] 设截面与DD 1相交于T ，则AT ∥PQ ，且AT ＝2PQ ⇒DT ＝2CQ .对于①，当0<CQ <12时，则0<DT <1，所以截面S 为四边形，且S 为梯形，所以为真．对于②，当CQ ＝12时，DT ＝1，T 与D 重合，截面S 为四边形APQD 1，所以AP ＝D 1Q ，截面为等腰梯形，所以为真．对于③，当CQ ＝34，QC 1＝14，DT ＝32，D 1T ＝12，利用三角形相似解得，C 1R 1＝13，所以为真．对于④，当34<CQ <1时，32<DT <2，截面S 与线段A 1D 1，D 1C 1相交，所以四边形S 为五边形，所以为假．对于⑤，当CQ ＝1时，Q 与C 1重合，截面S 与线段A 1D 1相交于中点G ，即即为菱形APC 1G ，对角线长度为2和3，S 的面积为62，所以为真，综上，选①②③⑤. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2014·全国高考江苏卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，D 、E 、F 分别为棱PC 、AC 、AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC ．[证明] (1)在△PAC 中，D 、E 分别为PC 、AC 中点，则PA ∥DE ，PA ⊄面DEF ，DE ⊂面DEF ，因此PA ∥面DEF .(2)△DEF 中，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4，DF ＝5，∴DF 2＝DE 2＋EF 2，∴DE ⊥EF ，又PA ⊥AC ，∴DE ⊥AC ．∴DE ⊥面ABC ，∴面BDE ⊥面ABC ．18．(本小题满分12分)如下图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1；(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ．又∵C 1C ⊥AC ．∴AC ⊥平面BCC 1B 1. ∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形． ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1. (3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225. ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.19．(本小题满分12分)(2013·四川·文科)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面 A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[解析] (1)在平面ABC 内，过点P 作直线l 和BC 平行．理由如下：由于直线l 不在平面A 1BC 内，l ∥BC ，故直线l 与平面A 1BC 平行．在△ABC 中，∵AB ＝AC ，D 是线段AC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴l ⊥AD ．又∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥l . 而AA 1∩AD ＝A ，∴直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过点D 作DE ⊥AC 于点E .∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，则易得DE ⊥平面AA 1C 1C ．在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴AD ＝AC ·cos60°＝1， ∴DE ＝AD ·sin60°＝32. ∴S △QA 1C 1＝12·A 1C 1·AA 1＝12×2×1＝1，∴三棱锥A 1－QC 1D 的体积VA 1－QC 1D ＝VD －QA 1C 1＝13·S △QA 1C 1·DE ＝13×1×32＝36.20．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面PAE ；(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．[解析] (1)证明：如下图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE . ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ．而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE . (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF .由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE .由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF PB，所以PA ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是PA ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515. 21．(2015·安徽卷)如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值．[答案] (1)36；(2)PM MC ＝13[分析] (1)在△ABC 中⇒S △ABC ＝32.又∵PN ⊥面ABC ，∴PA 是三棱锥P －ABC 的高，根据锥体的体积公式即可求出结果；(2)过点B 作BN 垂直AC 于点N ，过N 作MN ∥PA 交PC 于M ，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此M 点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果．[解析] (1)在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60° ⇒S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12×1×2×sin60°＝32.又∵PA ⊥面ABC ，∴PA 是三棱锥P －ABC 的高，∴V 三棱锥P －ABC ＝13PA ·S △ABC ＝13×1×32＝36.(2)过点B 作BN 垂直AC 于点N ，过N 作NM ∥PA 交PC 于M ，则⎭⎪⎬⎪⎫MN ⊥面ABC AC ⊂面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫MN ⊥ACMN ∩BN ＝N ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥面BMN BM ⊂面BMN ⇒AC ⊥BM ，此时M 即为所找点，在△ABN 中，易知AN ＝12⇒CM PC ＝CN AC ⇒322＝34⇒PM MC ＝13.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB ＝3，AD ＝2，PA ＝2，PD ＝22，∠PAB ＝60°.(1)求证：AD ⊥平面PAB ；(2)求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值； (3)求二面角P －BD －A 的正切值．[解析] (1)证明：在△PAD 中，∵PA ＝2，AD ＝2，PD ＝22， ∴PA 2＋AD 2＝PD 2，∴AD ⊥PA ．在矩形ABCD 中，AD ⊥AB ． ∵PA ∩AB ＝A ，∴AD ⊥平面PAB ．(2)∵BC ∥AD ，∴∠PCB 是异面直线PC 与AD 所成的角．在△PAB 中，由余弦定理得11 PB ＝PA 2＋AB 2－2PA ·AB ·cos∠PAB ＝7.由(1)知AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，则△PBC 是直角三角形，故tan ∠PCB ＝PB BC ＝72.∴异面直线PC 与AD 所成的角的正切值为72.(3)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作HE ⊥BD 于点E ，连结PE . ∵AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥PH .又∵AD ∩AB ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD ．又∵PH ⊂平面PHE ，∴平面PHE ⊥平面ABCD ．又∵平面PHE ∩平面ABCD ＝HE ，BD ⊥HE ，∴BD ⊥平面PHE .而PE ⊂平面PHE ，∴BD ⊥PE ，故∠PEH 是二面角P －BD －A 的平面角．由题设可得，PH ＝PA ·sin60°＝3，AH ＝PA ·cos60°＝1，BH ＝AB －AH ＝2， BD ＝AB 2＋AD 2＝13，HE ＝ADBD ·BH ＝413.∴在Rt △PHE 中，tan ∠PEH ＝PH HE ＝394.∴二面角P －BD －A 的正切值为394.。

高中数学同步教学直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质

(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另
一个平面.
(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平
面或在另一个平面内.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究【例2】中的已知换为:平面VAB⊥平面ABC,平面
VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.试证:VA⊥BC.
证明:∵平面VAB⊥平面ABC,
一条直线;
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这
个平面;
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一
个平面;
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究1本例中条件不变,求证:M是AB中点.
证明连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.
平面VAB∩平面ABC=AB,AC⊂平面ABC,CA⊥AB,
∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.
同理,BA⊥VA.
又AB∩AC=A,∴VA⊥平面ABC,
∵BC⊂平面ABC,∴VA⊥BC.
探究一
探究二
思想方法
转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用
典例已知α,β,γ是三个不同的平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求
探究二
思想方法
证明:在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.
∵平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,
∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.
∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC.
∵AD∩VA=A,且VA⊂平面VAB,AD⊂平面VAB,
∴BC⊥平面VAB.
∵AB⊂平面VAB,
∴AB⊥BC.
探究一
探究二

苏教版数学高一-【金识源】必修2教案 1.2.3直线与平面的位置关系(2)

1.2.3直线与平面的位置关系（2）
教学目标
1．掌握直线与直线垂直的概念；了解点到平面的距离；直线到平面的距离；
2．掌握直线与平面垂直的判定定理；
3．能够初步运用线面垂直的定义和判定定理证明简单命题．
教材分析及教材内容的定位
垂直关系是历年高考的核心内容之一，空间的垂直有三种：线线垂直、线面垂直和面面垂直；线面垂直是联系线线垂直和面面垂直的桥梁，因而本节课是重中之重. 线面垂直判定定理运用的关键在于证明直线和平面内的两条相交直线垂直；对于线面垂直的定义，用它来证明线面垂直较为困难，而已知线面垂直时，根据定义可知这条直线垂直于这个平面内的所有直线，提供了一种证明线线垂直的方法，即要证明线线垂直，则需要证明线面垂直.线面垂直的性质定理则为证明线线平行提供了一种重要方法.
教学重点
直线与平面垂直的概念、判定定理和性质定理；
教学难点
直线与平面垂直的概念及判定定理的归纳和概括.
教学方法
问题探究，自主发现式．
教学过程
一、问题情境
1．复习：线面平行的定义，判定定理与性质定理
2．在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内外，是否存在线面垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？
二、学生活动
高中数学
（4）如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.
高中数学。

金识源专版高中数学 2.2.4 平面与平面平行的性质(第2课.

8，∴BD＝24，
综上所述，
BD
24 5
或24.
题目：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O 为底面ABCD的中心，P是DBQ∥平面 PAO？说明理由.
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA. ∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO. 又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面 PAO， ∴平面D1BQ∥平面PAO.
题目：已知m、n是不重合的直线，，是不重合的平面，有以下命题：
(1)若 m ,n / / 则m//n；
(2)若 m / /,m / / 则 / /；
(3)若 n, m / / n 则 m / /, m / /；
其中正确的个数是（ A ）
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：如图(1)，∵AC∩BD＝P， ∴经过直线AC与BD可确定平面PCD， ∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，∴AB∥CD.∴
PA PB AC BD
即
6 8 BD 9 BD
∴ BD 24.如图(2)，同理可证AB∥CD.
5
∴
PA PC

PB PD
即6
3

BD 8
习题第78页的复习参考题A组第1、2 小题写在作业本上
预习《直线与平面垂直的判定》
通过对生活中事物联系课本知识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.
复习巩固：
直线与直线平行的定义：直线与直线没有公共点；
直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点.

【公开课课件】高一数学：2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质

【分析提示】 (1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证 AD1⊥平面 A1DC. (2)可证 ON＝AM，ON＝12AB.
【证明】 (1)∵ADD1A1 为正方形， ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1. ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC，∴MN∥AD1.
证法二：任取P∈a，过点P作b⊥γ.
因为α ⊥γ，所以b α，因为β ⊥γ，
同一法
因此b β，故α ∩ β= b. 由已知 α∩ β= a， γ
αa Pβ b
所以a与 b重合，
所以a ⊥γ.
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法三：设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
线线平行线面垂直同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ, 所以 b′ ‖c′,
又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β.
又 b′ α, α ∩ β=a,
αa β
所以 b′ ‖ a, 故 a ⊥ γ.
b′ c′
γ
bc
常见题型：垂直关系的应用
例 3. 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.直线 AD 与直线 PB 是否垂直？证明你的结论．
阅读教材内容，完成下列问题.
文字语言两个平面垂直，则一一个平面内垂直于交交线线的直线与另一个平面垂垂直直.
符号语言
α⊥β αa∩⊂αβ＝l⇒a⊥β a⊥l
图形语言
共同完成：
面面垂直线面垂直("线面垂直"化归为"面面垂直")

【最新】金识源专版高中数学 234 平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2

• 2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( ) • A．平行 • B．EF⊂平面A1B1C1D1 • C．相交但不垂直 • D．相交且垂直 • [答案] D • [解析] ∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面 A1B1C1D1.
证法 2：在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线，在 β 内作直线 n 垂直于 β 与 γ 的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，
∴m∥n，又 n⊂β，∴m∥β，又 m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l， ∴l⊥γ.
证法 3：在 l 上取一点 P，过 P 作 γ 的垂线 l′， P∈l P∈α ⇒ α∩β＝l P∈β
• [分析] 灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化．
• • • • •
[证明] 过B作BD⊥VA于D， ∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC， ∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC， ∴AC⊥平面VAB，∴AC⊥BA，即△ABC是直角三角形．
与面面垂直有关的计算
•
如右图所示，平面α⊥ 平面β，在α与β的交线l上取线段AB ＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm， BD＝12 cm，求线段CD的长．
●预习自测
• 1．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是( ) • ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线； • ②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线； • ③α内的任何一条直线必垂直于β； • ④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. • A．4 B．3 • C．2 D．1 • [答案] C

《金识源专版》高中新人教A版必修2数学学案2.3.1直线与平面垂直的判定

2.3.1直线与平面垂直的判定课前预习学案一、预习目标：借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么直线与直线垂直是的定义________________________________________________________________思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：（1）探究出直线与平面垂直的判定定理（2）利用定理解决实际问题学习重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

学习难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

二、学习过程1、探究判定定理学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触）问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？问题3：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）问题4：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?2、直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？3、当堂检测设计1．课本探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．3．课本练习2课后练习与提高1．下列关于直线与平面的命题中，真命题是（）若且，则若且，则若且，则且，则2．已知直线a、b和平面M、N，且，那么（）（A）∥Mb⊥a（B）b⊥a b∥M（C）N⊥M a∥N （D）3．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为（）线段线段的中点与的中点连成的线段的中点与的中点连成的线段4．三条不同的直线，、、为三个不同的平面①若∥②若∥.③若、④若∥上面四个命题中真命题的个数是5．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，（1）求证：平面；（2）求证：（3）若，求证：平面参考答案1B2A34②④5略。

金识源专版高中数学2.3.4平面与平面垂直的性质学案新人教A版必修2

2.3.4 平面与平面垂直的性质课前预习导学案一、预习目标（1）明确平面与平面垂直的判定定理。

（2）直线与平面垂直的性质定理二、预习内容1、平面与平面垂直的判定定理2、直线与平面垂直的性质定理3、思考题：（1）黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？（2）在长方体''''D C B A ABCD -中，平面''ADD A 与平面ABCD 垂直，直线A A '垂直于其交线AD 。

平面''ADD A 内的直线A A '与平面ABCD 垂直吗？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标（1）探究平面与平面垂直的性质定理（2）应用平面与平面垂直的性质定理解决问题学习重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。

学习难点：运用性质定理解决实际问题。

二、学习过程探究一已知：面α⊥面β，α∩β= a, AB ⊂α, AB ⊥a 于 B ，求证：AB ⊥β(让学生思考怎样证明，小组间可以相互讨论)由证明结果的平面与平面垂直的性质定理（三种形式的表达）探究二、性质的应用例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.证明（略）变式73P 练习第1题例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a ⊥β, a ⊄α,试判断直线a 与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)解：（略）变式73P 练习 2题（略）73P A 组第1题（略）当堂检测1.如图，长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，判断下面结论的正误。

(1)平面ADD ′A ′⊥平面ABCD (2) DD ′⊥ 面ABCD (3)AD ′⊥ 面ABCD2.空间四边形ABCD 中，ΔABD 与ΔBCD 都为正三角形，面ABD ⊥面BCD ，试在平面BCD内找一点，使AE ⊥面BCD,亲说明理由课后练习与提高1．已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，垂足为A ，连结,,,,PB PC PD AC BD ，则互相垂直的平面有（）.:.,,,:αβαβα⊂⊥∈∈⊥a a a P P 求证已知αβc P aβc()A 5对 ()B 6对 ()C 7对 ()D 8对2．平面α⊥平面β，αβ=l ，点P α∈，点Q l ∈，那么PQ l ⊥是PQ β⊥的（） ()A 充分但不必要条件 ()B 必要但不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．若三个平面γβα,,，之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β （）()A 垂直 ()B 平行 ()C 相交 ()D 以上三种可能都有4．已知α，β是两个平面，直线l ⊄α，l ⊄β，设（1）l α⊥，（2）//l β，（3）αβ⊥，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( )()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 35．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足__________时，平面MBD ⊥平面PCD 。

人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理公开课教学课件

β
a
l
α
A
问题4：面面垂直性质定理用途? 面面垂直线面垂直问题5：什么情况下用?
符号语言：
a
l
a
a l
已知面面垂直时.
平面与平面垂直的性质定理：问题6：体现了什么数学思想? 转化
三、例题讲解例1：PA⊥平面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥AB
P 问题7：要证BC垂直于AB，要会选择，选择BC垂直于AB，还是AB垂直于
已知：
, A ,C B D ,C A D .求B 证： CD
发展条件 α
转化结论
C
B
D
E
β
A
证明：
在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言?
a ,b a//b
简述：如何证明？
线面垂直
线线平行
知识探究：问题2:面α与面β垂直，线L在面α内，线L与面β的关系有哪几种？（讨论一下）
α L
β 平行
问题3：怎样才能垂直？
α L
β 相交
α
L β
线在面内
思考3: 如何找地面的垂线？
注:若l ,b
则l b.
l
A
αb
2.直线与平面垂直的判定定理？直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线与面垂直
图形表示
a
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苏教版数学高一-【金识源】必修2教案 1.2.4平面与平面的位置关系(2)

1.2.4平面与平面的位置关系（2）教学目标1．理解和掌握二面角及二面角的平面角；2．理解和掌握直二面角的概念；3．会求二面角的大小；4．理解和掌握面面垂直的判定和性质定理．教材分析及教材内容的定位空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透．因此本节课具有承上启下的作用．教学重点二面角及二面角的平面角的概念及求法．面面垂直的判定和性质定理．教学难点如何度量二面角的大小．教学方法通过直观观察，猜想，研究面面垂直的判定和性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力．教学过程一、问题情境1．复习两平面平行的定义、判定、性质；2．复习两平行平面间的距离；3．情境问题：两平面相交也是生产和生活中常见的现象，如发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面和地球赤道平面形成一定的角度．笔记本电脑使用时，也需要展开一定的角度等等，那么我们如何来刻画这种两个平面所成的“角”呢？二、学生活动自由发言，通过回忆（异面直线所成的角，直线和平面所成的角），思考类比．三、建构数学1．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．二面角的表示：α—l —β． 2．二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的平面角的三个特征：1．点在棱上；2．线在面内；3．与棱垂直．二面角的平面角的范围：0180θ︒︒≤≤ （平面角是直角的二面角叫作直二面角）二面角的平面角的作法：1．定义法；2．作垂面． 3．两平面垂直定义一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．记作：αβ⊥．为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？如何判断两个平面垂直？ 4．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：}l l ααββ⊥⇒⊥⊂ 图形语言：简记为：线面垂直⇒面面垂直四、数学运用1．例题．例1 如图所示：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中：（1）求二面角D 1-AB-D 的大小；αββlαAA 1CD B 1D 1C 1l（2）求二面角A 1-AB-D 的大小．例2 如图，将等腰直角△ABC 沿中线AD 折成二面角B －AD －C ，使 BC ＝AB ，求二面角B －AD －C 的大小．例3 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1C 1CA ⊥平面B 1D 1DB ．分析：根据两个平面垂直的判定定理，要证平面A 1C 1CA ⊥平面B 1D 1DB ，只需在其中的一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可．练习：1．判断下列说法是否正确：（1）过平面外一条直线一定可以做一个平面与已知平面平行；（2）过平面外一条直线一定可以做一个平面与已知平面垂直；（3）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（4）两平面垂直，其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． 2．判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．（2）若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β．（3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．判断两平面垂直的方法有哪些？（1）定义：两平面所成的二面角是直二面角；（2）判定定理：线面垂直⇒面面垂直；2．解题时要注重线线、线面、面面垂直的相互关系；AA 1BCDB 1D 1C 1AD3．理解数学的化归思想．。

《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件第二章点、直线、平面之间的位置关系小结

•
下面四个命题中，正确命题的个数是( )
• ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则 a∥b；④如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线 a必平行于平面α.
• [解析] (1)证明：如图所示，连接AC，BD， AC交BD于O，连接EO.
• ∵底面ABCD是正方形， • ∴点O是AC的中点． • 在△PAC中，∵EO是中位线， • ∴PA∥EO. • 又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
• ∴PA∥平面EDB．
• (2)证明：∵PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，
BE.
(Ⅰ)证明：PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
(Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π3，求DBCC的值．
• [解析] (Ⅰ)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， • 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，

BD⊥AE
AF∩AE＝A

⇒BD⊥平面 AEF.
•
规律总结：证明线面垂直可转化为证
线线垂直，而要证线线垂直又转化为证线面
垂直，本题就是通过多次转化而获得证明的，
这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其
转化关系．
•
如右图所示，在四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E
• 所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE. • 又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC． • 而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC．

【金识源专版】高中新人教A版必修2数学教案2.3.3直线与平面垂直的性质

2. 3.3直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

【教学过程】（一）复习引入师：判断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？判断下列命题是否正确：1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

2、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

3、垂直于同一平面的两直线互相平行。

4、垂直于同一直线的两平面互相平行。

师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？（二）创设情景如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1 已知：a，b。

求证：b∥a师：此问题是在a，b的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。

而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.生:证明:假定b不平行于a,设, b’是经过点O的两直线a平行的直线.∥b’, a, b’即经过同一点O的两直线b ,b’都与垂直,这是不可能的,因此b∥a.有了上述证明,师生可共同得到结论.:直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它下列命题中错误的是（C）A、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与

2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质学业分层测评（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质学业分层测评（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第二章点、直线、平面之间的位置关系(建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β,则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β,则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α,m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中,m，n可能为异面直线；C中,m 应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是（)A．若α⊥β，α∩β＝m,l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m,l⊂α，l⊥m,则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α,则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m,l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD 与CC1( )A．平行B．共面C．垂直D．不垂直【解析】如图所示，在四边形ABCD中,∵AB＝BC,AD＝CD.∴BD⊥AC。