数列知识点及常用结论(word文档物超所值)

数列知识点及常用结论

一、等差数列

（1）等差数列的基本公式

①通项公式： （从第1项开始为等差）

1(1)n a a n d =+-1a （从第m 项开始为等差）

()n m a a n m d =+-m a ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=⎧⎪=+-⇒⎨-=⎪-⎩

②前项和公式：n 11()(1)22

n n n a a n n S na d +-==+（2）证明等差数列的法方

①定义法：对任意的n ，都有（d 为常数）为等差数列1n n a a d +-=⇔{}n a ②等差中项法：（n ）为等差数列

122n n n a a a ++=+∈*N ⇔{}n a ③通项公式法：=pn+q (p ，q 为常数且p≠0) 为等差数列n a ⇔{}n a 即：通项公式位n 的一次函数，公差，首项d p =1a p q

=+④前项和公式法： (p ， q 为常数) 为等差数列n 2n S pn qn =+⇔{}n a 即：关于n 的不含常数项的二次函数

（3）常用结论

①若数列，为等差数列，则数列，，，{}n a {}n b {}n a k +{}n k a g {}n n a b ±{}n ka b +(k ， b 为非零常数)均为等差数列.

②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q )，则=.

∈*N n m a a +p q a a +特别的，当n+m=2k 时，得=n m a a +2k

a ③在等差数列中，每隔k(k )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍{}n a ∈*N 为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：，，，仍为公差为3d 的等差数1a 4a 7a 10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅列)

④若数列为等差数列，则记，

{}n a 12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，，则，，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+k S 2k k S S -仍成等差数列，且公差为d

32k k S S -2k ⑤若为等差数列的前n 项和，则数列也为等差数列.n S {}n a {

}n S n ⑥ 此性质对任何一种数列都适用

11,(1),(2)

n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩⑦求最值的方法：

n S I: 若>0，公差d<0，则当时，则有最大值,且最大；

1a 100

k k a a +≥⎧⎨≤⎩n S k S 若<0，公差d>0，则当时，则有最小值，且最小；1a 1

00k k a a +≤⎧⎨≥⎩n S k S II ：求前项和的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数，

n 2n S pn qn =+k 当 时，为最值，是最大或最小，通过的开口来判断。

n k =k S n S 二、等比数列

（1）等比数列的基本公式

①通项公式： （从第1项开始为等比）

11n n a a q -=1a （从第m 项开始为等差）

n m n m a a q -=m a ②前项和公式：，n 1(1),(1)1n n a q S q q

-=≠-1,(1)n S na q ==（2）证明等比数列的法方

①定义法：对任意的n ，都有(q 0) 为等比数列1(0)n n n a qa a +=≠⇔1n n

a q a +=≠⇔{}n a ②等比中项法：（0）为等比数列

211n n n a a a +-=11n n a a +-≠⇔{}n a

③通项公式法：为等比数列

1(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a （3）常用结论

①若数列，为等比数列，则数列，，，，{}n a {}n b 1{

}n a {}n k a g 2{}n a 21{}n a -{}n n a b {}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.

②若m+n=p+q (m ， n ， p ， q )，则=.

∈*N n m a a g p q a a g 特别的，当n+m=2k 时，得=n m a a g 2

k a ③在等比数列中，每隔k(k )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为{}n a ∈*N 等比数列，且公比为 (例如：，，，仍为公比的等比数列)1k q +1a 4a 7a 10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅3q ④若数列为等差数列，则记

{}n a ，，，12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+则，，仍成等比数列，且公差为k S 2k k S S -32k k S S -k

q

三、求任意数列通项公式的方法

n a （1）累加法：若满足a n+1=a n +f(n)利用累加法求：n a n a 12132431()()()()

n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-例题：若，且，求：11=a 12+=+n n a a n n

a 练习题：若数列满足，且n a 1120++--=n n n a a 10

=a

（2）累乘法：若满足利用累乘法求：n a 1()+=⋅n n a f n a n

a 32411231

((()()n n n a a a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅g g g g g 例题：在数列{a n }中，，求：.1111,2++==n n n a a a n

n a 练习题：在数列{a n }中，且，求：

（提示：

）11a =1n n a na +=n a 123......!n n ⨯⨯⨯=