2018届北京市大兴区高三第一次综合练习-理科数学科(含答案)

2018届北京市大兴区高三第一次综合练习
数学（理）
本试卷共4页，满分150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。

1．已知集合{|0}A x x =>，则R C A =（ ）． A ．{|0}x x < B ．{|0}x x … C ．{|0}x x > D ．{|0}x x …
2．下列函数中，既是偶函数又有零点的是（ ）． A ．1
2
y x = B ．tan y x = C ．x x y e e -=+
D ．ln ||y x =
3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）． A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
是否
开始k =0，S =1S =k +1k
·S
k =k +1k > 4
输 出 S 结束
4．设a ，R b ∈，则“a b >”是“11
a b
<”的（ ）
． A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为（ ）． A ．13
B ．12
C ．1
D ．
32
俯视图
侧左()视图
正主()视图
1
21
1
6．若x ，y 满足220,20,0,x y x y y ≥≥≥-+⎧⎪
-+⎨⎪⎩
且z kx y =-+有最大值，则k 的取值范围为（ ）．
A ．1k …
B ．12k 剟
C ．1k …
D ．2k …
7．设函数()sin(2)f x x ϕ=+（ϕ是常数），若2π(0)3f f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则
π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫
⎪⎝⎭
之间的大小关系可能是（ ）． A ．π4ππ2312f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<
< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．4πππ3212f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．ππ4π2123f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<
< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
D ．π4ππ1232f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
8．某公司有4家直营店a ，b ，c ，d ，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．
利润 直营店 箱数
a
b
c
d
0 0 0 0 0
1 4
2 2 4
2
6 4
5 5 3 7
7
6
6
4
8 8 8 8 5 9 9 8 8 6
10
10
8
8
根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（ ）． A ．1种
B ．2种
C ．3种
D ．4种
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数2(1i)+=_______．
10．设2
2,0
()log ,0x
x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤则((1))f f -=________．
11．已知双曲线2
2
21y x b
-=(0)b >的离心率为2，则b =_______．
12．在极坐标系中，点π2,3A ⎛⎫
⎪⎝⎭
到直线cos 2p θ=的距离是________．
13．已知圆22:1O x y +=的弦AB 长为2，若线段AP 是圆O 的直径，则AP AB ⋅=______；若点P 为圆O 上的动点，则AP AB ⋅的取值范围是__________．
14．已知数列{}n a 满足11
a k
=
，2k ≥，*k N ∈，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[1.6]1=），记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．
①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =_______． ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）
在ABC △中，23a =，3b =，1
cos 3
A =-．
（1）求sin B ；
（2）设BC 的中点为D ，求中线AD 的长．
16．（本小题13分）
某大型超市拟对店庆当天购物满288元的顾客进行回馈奖励．规则如下：顾客转动十二等
分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响．
x 0
2060
20
60
60
6020
（1）若060x ≠，求顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率；
（2）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当020x =时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；
（3）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为X ，当0x 取何值时，X 的方差最小？（结论不要求证明）
17．（本小题14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为菱形，点M 是棱AC 上不同于A ，C 的点，平面1B BM 与棱11A C 交于点N ，2AB BC ==，90ABC °∠=，1160BB C °∠=．
C 1
C
N
M
B 1
B
A 1
A
（1）求证：1B N ∥平面1C BM ； （2）求证：1B C ⊥平面1ABC ；
（3）若二面角1A BC M --为30°，求AM 的长．
18．（本小题13分）
已知函数22()m x f x x m
=-，且0m ≠．
（1）若1m =，求曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间；
（3）若函数()y f x =有最值，写出m 的取值范围．（只需写出结论）
19．（本小题14分）
已知椭圆22
22:1x y C a b +=(0)a b >>的短轴端点到右焦点(1,0)F 的距离为2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，交直线:4l x =于点P ，设1||||P A A F λ=，2||||PB BF λ=，
求证：12λλ-为定值．
20．（本小题13分）
若合集1A ，2A ，⋅⋅⋅，n A 为合集U 的n 个非空子集，这n 个集合满足：①从中任取m 个集合都有
1
2
m i i i A A A U ⋅⋅⋅
≠ 成立；②从中任取1m +个合计都有1
2
1m
m j j j j A A A A U +=成立．
（1）若{1,2,3}U =，3n =，1m =，写出满足题意得一组集合1A ，2A ，3A ； （2）若4n =，2m =，写出满足题意的一组集合1A ，2A ，3A ，4A 以及集合U ；
（3）若10
m=，求集合U中的元素个数的最小值．n=，3
大兴区2018届第一次综合练习 高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
B
D
C
D
A
C
B
D
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．2i 10．1- 11．3 12．1
13．2；[12,12]-+
14．2
(1)1
6:n k kn k +--
注：13、14第一空3分，第二空2分．
三、解答题（共6小题，共80分）． 15．（共13分）
解：（1）由1cos 3
A =-知，且0πA <<．
所以2sin 1cos A A =-． 22
3
=
． 由正弦定理及题设得
sin sin a b
A B =
．即233sin 223
B
=． 所以6sin 3
B =
． （2）因为b a <， 所以B 为锐角． 所以23cos 1sin 3
B B =-=
． 因为πA B C ∠+∠+∠=，
所以cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+．
所以1322653
cos 33339
C =⨯+⨯=
. 在ACD △中，D 为BC 的中点，所以3CD =． 由余弦定理及题设得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅． 2253
3(3)2339
=+-⨯⨯⨯． 2=． 所以中线2AD =．
16．（共13分）
解：（1）设事件A 为“顾客转动一次转盘获得60元代金券”， 由题意知41
()123
P A =
=． （2）设事件B 为“顾客第一次获得代金券面额不低于第二次获得的代金券面额”，设事件C 为
“该顾客第i 转动转盘获得的超市代金券面额为60”，1,2
i =．
由题意知，1
()3
P C =，1,2i =．
因此112()()()P B P C P C C =+． 11111333⎛⎫⎛⎫
=+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
79
=
． （3）036x =．
17．（共14分）
解：（1）因为在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ∥平面111A B C ， 平面1B BM 平面ABC BM =， 平面1B BM
平面1111A B C B N =，
所以1BM B N ∥．
又因为1B N ⊄平面1C BM ，BM ⊂平面1C BM ， 所以1B N ∥平面1C BM ．
（2）因为90ABC °∠=，所以AB BC ⊥， 又因为平面11BCC B ⊥平面ABC ，
所以AB ⊥平面11BCC B ． 所以1AB B C ⊥．
又因为四边形11BCC B 为菱形，所以11B C BC ⊥． 所以1B C ⊥平面1ABC ．
（3）取线段11B C 中点D ，因为菱形11BCC B 中，1160BB C °∠=， 所以11BD B C ⊥．
又因为11BC B C ∥，所以BD BC ⊥． 又因为AB ⊥平面11BCC B ．
如图，以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，
则(2,0,0)A ，(0,0,0)B ，1(0,1,3)B -，(0,2,0)C ，1(0,1,3)C ， 所以1(0,3,3)B C =-1(0,1,3)BC =(2,0,0)BA =(2,2,0)AC =-． 设AM AC λ=，(01)λ<<，
BM BA AM BA AC λ=+=+(2,0,0)(2,2,0)λλ=+-(22,2,0)λλ=-， 设平面1BC M 的法向量为(,y,z)n x =， 则10
BC n BM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30(22)20y z x y λλ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，
令3z =，则3y =-，31x λ
λ
=-． 所以3,3,31n λλ⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭
．
z
y
x
D
A A 1
B
B 1
M
N
C
C 1
由（2）知，1(0,3,3)B C =-是平面 1ABC 的一个法向量．则因为二面角1A BC M
--为30°，
111cos30cos ,n B C n
B C B C n
°⋅=<>=
⋅21232
3()12121λλ
=
=
+⨯-． 解得2
5
λ=
，或2λ=-（舍）． 所以242
55AM AC ==
，即AM 得长为425
．
18．（共13分）
解：（1）当 1m =时，由题设知2
()1
x
f x x =-． 因为222
1
()(1)x f x x +'=--，
所以(0)0f =，(0)1f '=-．
所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=．
（2）因为22()m x f x x m
=-，所以2
222()()x m f x m x m +'=--．
当0m >时，定义域为(,)m -∞-(,)m m -(,)m +∞．
且22
22
()0()x m
f x m x m +'=-<-．
故()f x 的单调递减区间为(,)m -∞-，(,)m m -，(,)m +∞．
当0m <时，定义区域为R ．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
x
(,)m -∞--
m -- (,)m m ---
m - (,)m -+∞
()f x ' -
0 +
0 -
()f x
单调减 极小值
单调增 极大值
单调减
故()f x 的单调递减区间为(,)m -∞--，(,)m -+∞， 单调递增区间为(,)m m ---．
综上所述，
当0m >时，()f x 的单调递减区间为(,)m -∞--，(,)m m -，(,)m +∞； 当0m <时，故()f x 的单调递减区间为(,)m -∞--，(,)m -+∞， 单调递增区间为(,)m m ---． （3）0m <．
19．（共14分）
解：（1）由题意有：1c =，且222b c +=， 所以2a =，2223b a c =-=．
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +
=． （2）由题意直线AB 过点(1,0)F ，且斜率存在，设方程为(1)y k x =-，将4x =代入得P 点坐
标为(4,3k)，
由22(1)14
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消元得 2222(4)84120s k x k x k +-+-=，
设11(,y )A x ，22(,y )B x ，则0∆>且2
122
2
12283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
， 方法一：因为1PA AF λ=，所以111
41PA x AF x λ-==-． 同理222
4
1PB x BF x λ-=
=-，且1141x x --与2241x x --异号，
所以1212124411x x x x λλ---=
+=--12
33
2()11x x --+--， 1212123(2)
2()1
x x x x x x +-=-+
-++，
22222
3(868)
2412834k k k k k --=-+--++，
0=．
所以，12λλ-的定值为0．
方法二：由题意，当121x x >>时，（若：不妨设121x x >>，加一分） 有1PA AF λ=，且2PB BF λ=-，
所以11111(4,3)(1,)x y k x y λ--=--，且22222(4,3)(1,)x y k x y λ--=---， 所以11141x x λ-=
-，同理222
4
1x x λ-=--， 从而1212124411x x x x λλ---=
+=--12
33
1111x x ------， 12123(2)2(1)(1)x x x x --=--
=--1212123(2)
2()1
x x x x x x +--+-++，
222223(868)
2412834k k k k k --=-+--++，
0=．
当121x x <<时，同理可得120λλ-=． 所以，12λλ-为定值0．
方法三：由题意直线AB 过点(1,0)F ，设方程为1x my =+(0)m ≠， 将4x =代入得P 点坐标为34,m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由221143x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消元得22(34)690m y my ++-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0∆>且122122634
93m y y m y y m -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=
⎪⎩，
因为1
PA AF λ=，所以11111
330y PA my m AF y my λ-
-===-． 同理222
3
PB my BF my λ-=
=，且113my my -与223my my -异号，
所以12121233my my my my λλ---=
+1212
3()
2y y my y +=-， 3(6)
20(9)
m m ⨯-=-
=⨯-．
又当直线AB 与x 轴重合时，120λλ-=， 所以，12λλ-为定值0．
20．（共13分）
解：（1）{1,2,3}U =，1{2,3}A =，2{1,3}A =，3{1,2}A =．
（2）{1,2,3,4,5,6}U =，1{4,5,6}A =，2{2,3,6}A =，3{1,3,5}A =， 4{1,2,4}A =．
（3）集合U 中元素个数的最小值为120个． 下面先证明若123123{,,}{,,}i i i j j j ≠， 则1
2
3j j j j B A A A =，1
2
3i i i i B A A A =，j i B B ≠．
反证法：假设j i B B =，不妨设1123{,,}i j j j ∉．
由假设i j B B U =≠，设j U j D C B =，设j x D ∈， 则x 是1j A ，2j A ，3j A 中都没有的元素，j x B ∉． 因为1i A ， 1j A ，2j A ，3j A 四个子集的并集为U ， 所以1i i j x A B B ∈⊂=与j x B ∉矛盾，所以假设不正确． 若123123{,,}{,,}i i i j j j ≠，且1
2
3j j j j B A A A =，1
2
3i i i i B A A A =，j i B B ≠成立．则1A ，
2A ，⋅⋅⋅，10A 的3个集合的并集共计有3
10120C =个．
把集合U 中120个元素与1A ，2A ，⋅⋅⋅，10A 的3个集合的并集1
23i i i i B A A A =建立一
一对应关系，所以集合U 中元素的个数大于等于120．
下面我们构造一个有120个元素的集合U ： 把与1
2
3i i i i B A A A =(1,2,,120)i =⋅⋅⋅对应的元素放在异于1i A ，2i A ，3i A 的集合中，因
此对于任意一个3个集合的并集，它们都不含与i B 对应的元素，
所以i B U ≠．同时对于任意的4个集合不妨为 1i A ，2i A ，3i A ，4i A 的并集， 则由上面的原则与1i A ，2i A ，3i A 对应的元素在集合4i A 中， 即对于任意的4个集合1i A ，2i A ，3i A ，4i A 的并集为全集U ．。