2019人教版九年级上册：实际问题与二次函数导学案精品教育.doc

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2019人教版九年级数学上223《实际问题与二次函数(3)》名师教案语文

22.3 实际问题与二次函数（3）——二次函数与建模问题（杜星兰）一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会；3.利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解；4.通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用.（二）学习重点建立适当的直角坐标系，在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会；利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.（三）学习难点建立适当的直角坐标系，建立二次函数数学模型二、教学设计（一）课前设计预习任务1. 二次函数2(0)y ax a =≠的图象是一条抛物线,对称轴是_y 轴_,顶点坐标是_（0,0）,当a _<__0时，开口向下；当a __>___0时，开口向上.2. 抛物线214y x =的顶点坐标是（0,0）,对称轴是y 轴__,开口向上;抛物线23y x =-的顶点坐标是（0,0）,对称轴是y 轴,开口向下.3. 已知抛物线的顶点坐标是（-1，-5），与y 轴的交点坐标是（0， 5），则这条抛物线的解析式是210205y x x =++预习自测1．二次函数223y x x =--与y 轴的交点坐标为_______，与x 轴的交点坐标为_______.【知识点】求二次函数与两轴的交点【解题过程】解：因为223y x x =--，所以令0y =，2230x x --=解得123,1x x ==-.故223y x x =--与x 轴的交点为(3,0),(1,0)-；与y 轴交点(0,3)-【思路点拨】求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与x 轴交点即为(0,)c【答案】(0,3)-；(3,0),(1,0)-【设计意图】复习任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠与两轴的交点,为解决实际问题准备计算工具.2．已知二次函数223y x x =--，①当22x -<<时，y 的取值范围为__________；②当30x -<<时，y 的取值范围为__________；③当24x <<时，y 的取值范围为__________.【知识点】求区间最值．【思路点拨】由上面可知对称轴是1x =，需要判断区间和对称轴的位置关系，结合图象判断.【解题过程】解：∵223y x x =--开口向上，对称轴是1x =①当22x -<<，可知当1x =时min 4y =-，当2x =-时max 5y =，∴45y -≤< ②当30x -<<，可知此时对称轴1x =在区间的右侧，此时y 此随x 的增大而减小，因此当max 3,12x y =-=，min 0,3x y ==-.所以当30x -<<时，312y -<< ③当24x <<，可知此时对称轴1x =在区间的左侧，此时y 此随x 的增大而增大，因此当min 2,3x y ==-，max 4,5x y ==.所以当24x <<时，35y -<<.【答案】①45y -≤<；②312y -<<；③35y -<<【设计意图】复习给定区间求最值，有时区间包含对称轴，有时区间不包含对称轴, 从学生已有的知识储备出发，为解决实际问题准备计算工具.3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为() x －y 24121=-3，由此可知铅球推出的距离是_________m. 【知识点】抛物线的实际应用【思路点拨】要求铅球推出的距离实际是求当y ＝0时x 的值，【解题过程】令21(4)3012x --=，解得10x =．【答案】10【设计意图】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 4.隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为211384y x =-+,一辆车高3 m, 宽4 m ，该车___________(填“能”或“不能”)通过该隧道.【知识点】通过函数值来求自变量的取值范围【解题过程】在211384y x =-+中令3y =，解得x =因为4<，因此不能通过.【思路点拨】结合实际问题，把3y =代入解析式计算对应的自变量，两个自变量之间的距离和4比较即可.【答案】不能【设计意图】设计具有一定的挑战性目的是激发学生的探究欲望教师引导学生将实际问题转化成数学问题.（二）课堂设计1.知识回顾（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax 2+bx+c 求其解析式；当已知顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式2()y a x h k =-+求其解析式；当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为1(,0)x 、(2(,0)x 时，可用交点式12()()y a x x x x =--求其解析式；（2）对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴；（3）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c ；（4）将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值.2.问题探究探究一利用二次函数解决抛物线形拱桥问题（★）●活动1 情景导入明确目标师问：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？学生回答：见过.教师ppt 展示：教师引导：生活中有很多各种各样美丽、实用的桥梁，它们无不给我们以抛物线的形象感受，我们在本节课就来主要研究与桥有关的抛物线问题.●活动2 自学互研生成能力阅读教材P51探究3，完成下列填空：1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为________．生答：2y ax =2．一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为__________，当水位线在AB 位置时，水面宽4 m ，这时水面离桥顶的高度为______m ；当桥拱顶点到水面距离为2 m 时，水面宽为______m ，A 点坐标为________，B 点坐标为_______，则函数解析式为__________．生答：2y ax =；2；4；()2,2--；()2,2-；212y x =-．师问：如何根据图建立平面直角坐标系？不同的建立方式，求得抛物线解析式是否一样？各小组分别建立不同的平面直角坐标系求解后展示．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【设计意图】本题中建立平面直角坐标系的方法有多种，但以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系的方法较为简单， A 点坐标为（-2，-2）代入解析式即可计算出横坐标．老师带领学生提问总结：用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一般步骤是怎样的？生答：首先是审题，弄清已知和未知，再建立适当的平面直角坐标系后，合理的设出二次函数的解析式并求解出解析式，最后利用解析式求解得出实际问题的答案．（教师随时引导）探究二建立二次函数模型，解决其它实际问题例、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是多少？【知识点】实际问题与函数关系——投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】将y=3.05代入可得出x 的值，继而得出L【解题过程】解：当y=3.05时，215x -+3.5=3.05，解得：121.5, 1.5x x ==-所以L=3+1.5=4.5【答案】4.5m【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了将实际问题转化为数学模型，难度一般．探究三利用二次函数解决实际问题的训练●活动① 基础性例题例1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，则水面下降1m 时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（﹣4）m D﹣2）m【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【解题过程】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点.抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），代入到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，，所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了（﹣4）米．【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式，直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．【答案】C【设计意图】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．练习.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为_________【知识点】建立坐标系，根据图象利用交点式求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】由图象可先设出二次函数的解析式，然后带值计算【解题过程】因为抛物线过点（0，0）和（40，0），∴y=ax（x-40）①又∵函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，解得125 a=-∴抛物线的解析式为218255y x x =-+ 【答案】218255y x x =-+ 【设计意图】建立适当的平面直角坐标系,根据题意找出已知点的坐标；求出抛物线解析式；直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．例2.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？【知识点】利用二次函数解决拱桥问题【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．（2）先求x=3米时y 的值，用拱桥最大高度减去｜y ｜，然后与3.6相比较即可得出答案．【解题过程】（1）设抛物线解析式为y=ax 2，因为抛物线关于y 轴对称，AB=20，所以点B 的横坐标为10，设点B （10，n ），点D （5，n+3），n=10²•a=100a ，n+3=5²a=25a，即100325n a n a =⎧⎨+=⎩，解得4125n a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，∴当x=3时，1925y =-⨯ ∵925-﹣（﹣4）＞3.6∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．【答案】（1）2125y x =-（2）此船能顺利通过这座拱桥【设计意图】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．练习.如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20 m ，水位上升3 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10 m.(1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)若洪水到来时水位以0.2 m/h 的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【知识点】求二次函数解析式，利用二次函数解决拱桥问题.【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目的已知条件设出二次函数的解析式，进而进行求解.【解题过程】解：(1)由题意知点D 的横坐标为5，点B 的横坐标为10，EF ＝3，设OE ＝h ，则OF ＝h －3，则点B(10，－h)，D(5，3－h)．设抛物线的函数解析式为y=ax 2，则⎩⎨⎧100a ＝－h ，25a ＝3－h ，解得⎩⎨⎧a ＝－125，h ＝4，∴抛物线的函数解析式为y ＝－125x 2(2) ∵B(10，﹣4)，∴拱桥顶O 到CD 的距离为4， ∴4200.2=小时．所以再过20 h 就能到达桥面【答案】（1）2125y x =-（2）再过20h 能到达桥面【设计意图】此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值． ●活动2 提升型例题例3．在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面43米的P 点处发球，球的运动轨迹PAN 看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O 的水平距离为5米，球网BC 离点O 的水平距离为6米，以点O 为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M 的坐标为（m ，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N 离球网的水平距离（即NC 的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m 的取值范围．【知识点】实际问题与函数关系——投球问题【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）设抛物线解析式为y=a （x ﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得出a 的值，继而得出抛物线解析式；（2）令y=0，可得出ON 的长度，由NC=ON ﹣OC 即可得出答案．（3）先计算出刚好接到球时m 的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m 的取值范围．【解题过程】解：（1）设抛物线解析式为y=a （x ﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得：43=a （0﹣5）2+3，解得：a=﹣115，故抛物线的解析式为：y=﹣115（x ﹣5）2+3．（2）当y=0时，﹣115（x ﹣5）2+3=0，解得：x 1=5﹣x 2即∵OC=6，∴1米．（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时﹣115（m ﹣5）2+3=2.4，解得：m 1=2，m 2=8，∵运动员接球高度不够，∴2＜m ＜8，∵OC=6，乙运动员接球时不能触网（接不到），∴m 的取值范围为：6＜m ＜8．【答案】（1）y=﹣115（x ﹣5）2+3；（2）﹣1；（3）6＜m ＜8. 【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．练习. 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式2515010y t t =-++表示．经过_______s ，火箭达到它的最高点．【知识点】利用二次函数解决火箭发射的问题【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：配方可得225150105(15)1135y t t t =-++=--+因此当t=15秒时火箭达到最高点.【答案】15【设计意图】本题考查了二次函数的应用，涉及了将一个二次函数的一般式转化为顶点式，将实际问题转化为数学模型，难度一般．例4．某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A 、C 、B 三点的抛物线，以桥面的水平线为x 轴，经过抛物线的顶点C 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m （图中用线段AD 、CO 、BE 等表示桥柱），CO=1m ，FG=2m（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线相应的二次函数关系式；（2）求柱子AD 的高度．【知识点】利用图象求函数解析式，已知自变量x 的值求函数值y【数学思想】数形结合【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解；【解题过程】解：(1)由题意可知：点C 坐标为(0，1)，点F 坐标为(－4，2)，设抛物线解析式为y ＝ax 2＋c ，把这两个点代入函数解析式可以解得抛物线解析式y ＝116x 2＋1. (2)因为点A 的横坐标为－8，当x=－8时，y ＝5. 所以柱子AD 的高度为5米．【答案】(1) y ＝116x 2＋1；(2) 柱子AD 的高度为5米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．练习.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高．(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计) 【知识点】建立坐标系，求二次函数解析式【数学思想】数形结合【思路点拨】先建立坐标系，然后根据线段的长度写出点的坐标，再设出函数的解析式，利用点的坐标求出解析式【解题过程】解：以大门的地面为x 轴，大门的正中间为y 轴建立直角坐标系，由题意可知抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点． ∵抛物线关于y 轴对称，可设解析式为y ＝ax 2＋c ，则⎩⎨⎧16a ＋c ＝0，9a ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－47，c ＝647， ∴解析式为y ＝－47x 2＋647，∴顶点坐标为(0，647)，则校门的高为647≈9.1(米)【答案】9.1米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般． ●活动3 探究型例题例5．如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米(即MO ＝6米)，小孔顶点N 距水面4.5米(NC ＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.图1 图2 【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF 的宽度.【解题过程】解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为依题意，得B(10，0)．∴a×10²＋6＝0. 解得a ＝－0.06.即20.066y x =-+当y ＝4.5时，20.066 4.5x -+=，解得5x =± ∴DF ＝5，EF ＝10.即水面宽度为10米．【答案】水面宽度为10米【设计意图】本题考查了求二次函数的解析式，需要设出适当的表达式，然后把线段的长度转化为点的坐标，再代入到解析式，进而求出二次函数的解析式.将实际问题转化为数学模型难度一般．练习.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由．【知识点】求二次函数解析式，【数学思想】数形结合【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出相应的宽度.【解题过程】解：（1）设抛物线对应的函数关系式为2y ax = 因为抛物线的顶点为原点，隧道宽6m ，高5m ，矩形的高为2m ，所以抛物线过点A （-3，-3），代入得-3=9a ，解得13a =-所以函数关系式为213y x =-（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25＜4.5．从而此车不能通过此隧道．【答案】此车不能通过此隧道【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.例6．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD 为18米，位于球场中线处球网的高度AB 为2.43米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方1.8米的C 点向正前方飞出，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为7米时，到达最高点G ，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式．(不要求写自变量x 的取值范围)(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F 处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h 的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的已知条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解： (1)根据题意知此时抛物线的顶点G 的坐标为(7，3.2)，设抛物线解析式为y ＝a(x －7)2＋3.2将点C(0，1.8)代入得49a ＋3.2＝1.8，解得a ＝－135，∴y ＝－135(x －7)2＋165(2)由题意当x ＝9.5时，y ＝－135(9.5－7)2＋165≈3.02<3.1，故这次她可以拦网成功．(3)设抛物线解析式为y ＝a(x －7)2＋h ，将点C(0，1.8)代入得49a ＋h ＝1.8，∴a ＝1.849h-， ∴此时抛物线解析式为y ＝1.8－h49(x －7)2＋h ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧4（1.8－h ）49＋h>2.43，121（1.8－h ）49＋h≤0，解得h≥3.025，则排球飞行的最大高度h 的取值范围是h≥3.025．【答案】（1）y ＝－135(x －7)2＋165；（2）故这次她可以拦网成功；(3)排球飞行的最大高度h 的取值范围是h≥3.025.【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想.练习.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由【知识点】求二次函数解析式，求自变量的取值范围；判断函数值的范围【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给的已知条件可以求出函数解析式，再根据解析式分别来计算自变量和函数值得取值范围.【解题过程】解：(1)配方得y ＝－35(x －52)2＋194，当x ＝52时，y 有最大值194，∴演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.(2)表演成功．理由：把x ＝4代入解析式得y ＝3.4，即点B(4，3.4)在抛物线23315y x x =-++上，∴表演成功.【答案】（1）演员弹跳离地面的最大高度是4.75米；（2）表演成功；【设计意图】：本题对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义.让学生树立数学建模的思想. 3. 课堂总结：本节课是将实际问题抽象成二次函数模型，通过建立适当的坐标系，求解二次函数的解析式，再利用二次函数的知识解决相关的问题知识梳理1.解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时，一般分为以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为2y ax =；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为2y ax k =+； (3)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标； (4)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：当已知三个点的坐标时，可用一般式2(0)y ax bx c a =++≠求其解析式；当已知顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式2()y a x h k =-+求其解析式；当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为1(,0)x 、(2(,0)x ，时，可用交点式12()()y a x x x x =--求其解析式；(5)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解.2.建立坐标系之后，根据线段的长度写出点的坐标，把点的坐标代入到相关的解析式中求出解析式，利用解析式求解相关问题. 重难点归纳1.根据实际问题，建立适当的直角坐标系.2.根据给定的条件,确定二次函数的解析式，求出与问题相关的点的坐标.3.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键. （三）课后作业基础型自主突破1.小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在如图①所示情况时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水面下降1 m 时，水面宽度增加多少? 【知识点】建立坐标系求相应的值【数学思想】数形结合【解题过程】如图，建立直角坐标，可设这条抛物线为2y ax =，把点（2，﹣2）代入，解得12a =-，因此该抛物线的解析式为212y x =-当3y =-时，2132x -=-解得x =所以水面下降1米，水面的宽度增加4米【思路点拨】结合题意，建立适当的坐标是是解决本题的关键【答案】4米2.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m. （1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d 表示为h 的函数解析式；（3）设正常水位时桥下的水深为2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行. 【知识点】利用图象求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）如上图建立坐标系，可设这条抛物线为2y ax =，又∵函数过点（10，-4）代入上面的式子解得125a =-∴抛物线的解析式为2125y x =-（2）把点(,4)2dh -代入函数解析式2125y x =-，解得214100h d =-（3）把9x =代入解析式2125y x =-中，解得8125y =-，当水深超过6925时，超过了正常水位1925，就会影响过往船只在桥下顺利航行. 【思路点拨】以桥面所在直线为x 轴，以桥拱的对称轴所在直线为y 轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax2，然后点B 的坐标为(10，-4)，即可求出解析式. 【答案】（1）2125y x =-；（2）214100h d =-；（3）当水深超过6925时就会影响过往船只在桥下顺利航行.3.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.（1）求该抛物线的解析式；（2）计算所需不锈钢管的总长度. 【知识点】利用图象求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）在如图所示的直角坐标系中，设解析式为y=ax 2+c ，B （0，0.5），C （1，0），分别代入y=ax 2+c 得0.50c a c =⎧⎨=+⎩，∴0.50.5c a =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y=-0.5x 2+0.5；（2）分别过AC 的五等分点C 1、C 2、C 3、C 4作x 轴的垂线交抛物线于B 1、B 2、B 3、B 4，则C 1B 1、C 2B 2、C 3B 3、C 4B 4的长就是一段护栏的四根立柱的长，点C 3、C 4的坐标为（0.2，0），（0.6，0），则B 3、B 4的横坐标分别为x 3=0.2，x 4=0.6，将x 3=0.2和x 4=0.6 分别代入y=-0.5x2+0.5得y 3=0.48，y 4=0.32，由对称性知，B 1、B 2的纵坐标y 1=0.32，y 2=0.48，则四条立柱的长为C 1B 1=C 4B 4=0.32m ，C 2B 2=C 3B 3=0.48m ，所需不锈钢立柱总长为（0.32+0.48）×2×50=80（m ），答：所需不锈钢立柱的总长为80m.。

人教课标初中数学九年级上册第二十二章22.3 实际问题与二次函数(面积问题)导学案

1 / 2第22章《实际问题与二次函数--面积问题》导学案学习目标：1.在一定范围内求二次函数c bx ax y ++=2的最值.2.从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最值解决问题. 学习过程：一、复习巩固填空：3)1(3)1(2+--=x y 顶点坐标，对称轴图象开口，当x_______时，函数有最______值为．)2()2(-=x x y 顶点坐标，对称轴图象开口，当x_______时，函数有最______值为．小结：如何求二次函数c bx ax y ++=2的最值二、学习探究问题：如图，菜农张大爷准备用30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米.他的两个孩子分别给出以下方案（如表）.请帮张大爷选择一个合适的方案，并说明理由.引申：你能帮张大爷设计一个最优的方案吗？变式：张大爷量错了，墙长为13米，请再帮他设计一个最优的方案.三、运用新知如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米，其中在BC 边上开一扇0.8米的门（不用篱笆）。

这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？方案长（BC) 宽(AB) 面积张玲 10 10 100张杰205100 方案长（BC) 宽(AB) 面积最优方案长（BC) 宽(AB) 面积最优A B C D ED ABCE2 / 2四、总结提升课后练习（请自选3题完成） A 组（巩固基础）1.用总长为40厘米的铁丝围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边x 的变化，当x 是（）时，有最大面积（).A. 9厘米，279平方厘米B. 9厘米，99平方厘米C. 10厘米，100平方厘米D. 10厘米，300平方厘米2.一直角三角形两直角边之和为12厘米,若其中一直角边长为x 厘米,当x （）时,三角形有最大面积（).A. 12厘米，6平方厘米B. 10厘米，5平方厘米C. 8厘米，32平方厘米D. 6厘米，18平方厘米 B 组（变式训练）3.某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告，广告设计费为每平方米800元，设矩形一边长为x 米.请设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.4.如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙，墙长为18米,中间隔有一道篱笆的矩形菜园.这个矩形菜园的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围住.若绿化带的BC 长为x 米，请求当x 为何值时，绿化带的面积最大？ C 组（拓展提升）6.如图,在ΔABC 中,AB=8cm ，BC=6cm ，∠B ＝90°,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2厘米／秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1厘米／秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后ΔPBQ 的面积最大？最大面积是多少？D ABCAPE F。

2019年九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数学案(新版)新人教版 .doc

1、情境导入：本节课继续学习实际问题的探究。
2、出示任务、自主学习：
通过实际问题与二次函数关系的探究,让学生掌握利用顶点坐标解决面积最大值（或最小值）问题的方法.
3、合作探究：
教材探究2
分析问题：1.磁盘最内磁道的半径为r mm,总长是多少？，1个存储单元占用多长的磁道？
2.有磁道的圆环区域总宽度是多少？。磁道上各磁道之间的宽度必须不小于0.03mm，怎么理解？这张磁盘最多有多少条磁道？
3、情感、态度、价值观：
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
学习重点：利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题.
学习难点：如何将实际问题转化为二次函数问题.
导学方法：
课时：
导学过程
课前预习：
阅读22.3实际问题与二次函数（2）内容解决<<导学案>>自主测评内容。
课堂导学：
课后反思：
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2 )当x取何值时所围成的花圃面Байду номын сангаас最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
课后练习：1.必做题：22.3 3、<<导学案>> 2选做题：22.3 8
板书设计：
22.3实际问题与二次函数
探究2：探究3：
练习：参考导学案自主测评。
3.磁盘每面存储量、每磁道的存储单元数与磁道数之间有怎样的函数关系？
4.变量r有范围要求吗？如果有，是什么？
教材探究3（参考教材）
三、展示反馈：
四、学习小结：
五、达标检测：1.某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。

人教版-数学-九年级上册- 实际问题与二次函数(2) 导学案

《实际问题与二次函数（2）》导学案学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题．重难点：应用二次函数的性质解决桥洞水面宽度问题活动1：旧知回顾一般地，因为抛物线2y ax bx c =++的顶点是最低（高）点，二次函数2y ax bx c =++可化为()2by a x a=++ ，所以当 x= 时，有最小（大）值为。

活动2：探究新知第51页探究3如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m,水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？分析：此类问题首先是选择适当的位置建立平面直角坐标系，然后求出这条抛物线所表示的二次函数，再由解析式求出问题答案。

解：以为原点，以为y 轴建立平面直角坐标系，可设此抛物线为（2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-、2()y a x h k =-+、2y ax bx c =++（a≠0）五种中的）。

由题意可知，此抛物线经过点（2，）故可得：故：此抛物线表示的二次函数为当水面下降1m 时，水面宽度为，故水面下降1m 时，水面宽度增加 m. 提示：选择适当的位置建立平面直角坐标系，可使问题简单化。

同学们可试一试本题选择其它位置建立平面直角坐标系，如何求出这条抛物线所表示的二次函数，再比较两种解法的难易程度。

活动3：课堂展示有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？活动4课堂练习1、拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；（2）求支柱MN的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．图①46 B43AC D4M（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？3、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.4、如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？5、某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2201且过顶点C （0，5）（长度单位：m ）（1）直接写出c 的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2m ,求购买地毯需多少元？AMBC0.5OD AMBC0.5OxyD P Q。

2019-2020学年九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数学案新人教版.doc

2019-2020学年九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数学案新人教版
【教学目标】系统掌握二次函数知识，灵活应用，提高学生的综合学习能力。

【重难点】把实际问题抽象出数学模型，构建合适的坐标系和函数解析式，从而解决实际问题
【活动一】生活中的二次函数
1、用6米长的铝合金材料做成一个形状如图所示的矩形窗框，请你设计一下怎样才能使透光
面积最大？最大透光面积是多少？
2、有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4米，跨度为10米，放
在如图所示的坐标系中，
（1）求抛物线的解析式
（2）离水面高1米处桥洞有多宽
3、某商店将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可卖出100件，现在该商店准备用提高售价的办法来增加利润，经试验，，每提高1元销售量将减少10件
（1）写出每天获得的利润y 与售价x 之间的关系
（2） x 等于多少时，才能使一天获得的利润最大？
4、有一抛物线形门洞，地面宽度8米，有一宽6米，高4米的车刚好能通过这个门洞求这个门洞的高度
5、如图抛物线t ax ax y ++=42交x 轴于A 、B ，交y 轴于C ，点B 的坐标为（－1，0）
（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标
（2）过C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于P ，判断四边形ABCP 是什么四边形并证明
（3）若S 四边形ABCP =6，求抛物线的解析式。

2019九年级数学上册第二十二章二次函数 22.3.1 实际问题与二次函数导学案 (新版)新人教版

22.3.1 实际问题与二次函数一、学习目标：1、分析实际问题中变量之间的二次函数关系；2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；3、能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 二、学习重难点：重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题；难点：分析实际问题中变量之间的二次函数关系探究案三、教学过程（一）复习巩固写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. （1）y=x 2-4x-5; (配方法) (2)y=-x 2-3x+4.(公式法)（二）情境导入从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是：2305h t t =-（06t ≤≤）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？小组内探究分析：分析：画出()230506h t tt =-≤≤的图象，借助函数图象解决实际问题：从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最值解：当 = = 时，h有最大值244ac ba= .∴小球运动的时间是时，小球运动到最大高度是 .活动2：探究归纳一般地，当a＞0（a ）时，抛物线(a≠0)的顶点是最低( )点，也就是说，当x=（）时，y有最小（）值是。

例题解析例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？变式训练1、如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？2、如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？归纳：一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值。

人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数 .3实际问题与二次函数优秀教案

22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标：1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。

2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。

难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。

它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。

施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。

这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1)因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB2＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a ＝－0.2因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。

二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。

2019-2020学年九年级数学上册 22.3.3 实际问题与二次函数教案新人教版.doc

2019-2020学年九年级数学上册 22.3.3 实际问题与二次函数教案新人教版一、教学目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题二、课时安排 1课时三、教学重点会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题. 四、教学难点建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题五、教学过程（一）导入新课我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！（二）讲授新课探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?解：建立如图所示坐标系, 设二次函数解析式为2.y ax = 由抛物线经过点（2，-2），可得1,2a =- 所以，这条抛物线的解析式为21.2y x =-当水面下降1m 时，水面的纵坐标为 3.y =-当 3.y =- 时，x =所以，水面下降1m ，水面的宽度为.所以水面的宽度增加了()4m.探究4：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?请同学们分别求出对应的函数解析式解：设y =-ax 2+2将（-2,0）代入得a =12-∴y =2122x -+；设y =-a （x-2）2+2将（0,0）代入得a =12- ∴y =21(2)2x -- +2；归纳：解决抛物线型实际问题的一般步骤 (1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. （三）重难点精讲在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？解：如图建立直角坐标系.则点A 的坐标是（0，209），B 点坐标是（4，4），C 点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y =a (x -4)2+4 ①.把点A (0,209 )代入①得220=(04)4,9a -+ 解得 1.9a =-所以抛物线的解析式是21(4)49y x =--+当x =8时，则2120(84)43,99y =--+=≠ 所以此球不能投中.若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? （1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.（四）归纳小结用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是利用数形结合和函数思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用待定系数求出运动轨迹（即抛物线）的解析式，再用二次的性质去分析解决问题。

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22.3实际问题与二次函数(1)设计：何亚丽审核：熊建民简相月执教：使用时间：学习目标：1．能根据实际问题列出函数关系式；2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数的最值。

3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识学习重、难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数的最值。

学习过程：课前预习：1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．2．抛物线y＝12x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．3．抛物线y＝a x2＋b x＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________．1．创设情境，引出问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？2．结合问题，拓展一般如何求出二次函数y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当时，二次函数y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值3．类比引入，探究问题1用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？4．归纳探究，总结方法1)．由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当时，二次函数y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值2)．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.3)．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.基础训练：1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形．abacy442-=abx2-=．abacy442-=花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米。

2019九年级数学上册第二十二章二次函数 22.3 实际问题与二次函数(3)教案 (新版)新人教版

方法二：
培养学生建模思想
一题多解，培养学生灵活多变的解题能力
教
学
过
程
方法三：
3、巩固练习：
有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.
巩固前面所学的知识
2、学情分析
知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，利用类比的方法让学生进行交流合作学习应该不是难题；学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
课
时
教
学
目
标
1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．
2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．
重点
1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．
难点
将实际问题转化成二次函数问题．
教法学法
指导
启发法归纳法练习法
教具
准备
课件
教学过程提要
3、利用关系式求解实际问题。
作
业
设
计
达标测评：p53页
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ必做题：1———3
2、选做题：4题
教
学
反
思
22.3实际问题与二次函数
教学设计
课标
要求
能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

2019秋人教版初三数学导学案22.3实际问题与二次函数

【例1】某广告公司设计一幅周长为12m的矩
形广告牌，广告设计费为每平方米800元，
设矩形－边长为x（m)，面积为S(m2）．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
巧解：（1）S=x(6-x),0＜x≤6,
（2）当x=- 时，即x=3时，设计费最多为：800×3×3=7200（元）
变形训练
6.（枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．
（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
设直线BE解析式为y=kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，解得：，
∴直线BE解析式为y=﹣ x﹣2，
将x=﹣1代入得：y= ﹣2=﹣ ，
则H（﹣1，﹣ ）．
方法总结：此题涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
5.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
当x=﹣ =﹣1时，y有最大值50，
即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．

22.3实际问题与二次函数--新人教版初中数学导学案九年级上册《二次函数》【一流精品】

课题：22.3 实际问题与二次函数【学习目标】1.经历探索物体运动中的最大高度等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值。

2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力。

【学习重点】1、探究运动中的最大高度和面积的最大值等问题。

2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数学关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值，发展解决问题的能力。

【学习难点】运用二次函数解决实际问题【课前预习案】1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 .当x= ______时，y的最值是______.2 .二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是；当 a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是。

根据上述性质你能尝试解决下面的问题吗？3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，y的最值是。

4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，函数有最值，是。

5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最值，是【课中探究案】探究一：利用二次函数解决抛物线型问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t -5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？探究二：利用二次函数解决图像面积问题例2：用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？探究三：利用二次函数解决最大利润问题例3：已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出300件。