2017届人教A版 三角函数的图象与性质 三年高考两年模拟题

第二节 三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 3.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位6.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.π D .2π7.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B.π C.2π D .4π8.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π12个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π4个单位10.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8B.π4 C.3π8D.3π411.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③B.①③④ C.②④D.①③12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f (x )是奇函数B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D.y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.14.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.17.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．20.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 21.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．22.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( ) A.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 C.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π62.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C.0D.－π44.(2015·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A.关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为________.7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 答案D2.解析 由题图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2， 由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 答案A3.解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案A4.解析由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案D5.解析∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案B6.解析由题意得函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)， 又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2， 所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π. 答案C7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π2＝π.答案B8.解析由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案A9.解析因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象． 答案A10.解析方法一 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.方法二 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.答案C11.解析①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案A12.解析函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D.答案D13.解析y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案π314.解析f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π，由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2， 又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2，所以ω＝π2. 答案π215.解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案816.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ，即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， ∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π(k ∈Z )， ∴两函数交点坐标为⎝⎛⎭⎫1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)， 或⎝⎛⎭⎫1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…)∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2.答案π217.解析把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象， 再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案2218.解(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 19.解(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8 ＝10－3cos2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 20.解(1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52. 21.解f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .22.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案B2.解析依题意得T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1， 又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 当f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z ， 答案B3.解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位， 得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图象， 又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 当k ＝0时，φ＝π4，故选B. 答案B4.解析当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值， 即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ， 所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4(A ＞0)， 所以y ＝f (3π4－x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＋3π4＝－A cos x ， 所以函数为偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，选D.答案D5.解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k ∈Z ， 即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 答案 ⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z ) 6.解析由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π， 故2πω＝π，ω＝2. 把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋φ，为奇函数，∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z ). 故点⎝⎛⎭⎫5π12，0是函数的一个对称中心.答案 C7.解(1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. ∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3.(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x . ∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴P (1，3)，Q (3，－3).∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12，∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32. ∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角，∴∠OQP ＝π6.。