高三总复习-一元二次不等式的解法

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解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
解：若 a＝0，则原不等式等价于－x＋1<0⇒x>1. 若 a<0，则原不等式等价于
1 1 x－a(x－1)>0⇔x<a或
x>1.
若
1 a>0，则原不等式等价于x－a(x－1)<0.
1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一 般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 2．对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次 函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相 应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．
与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求 最值，也可通过分离参数，再求最值．

＝
答案：(1)A (2)D
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解含参数的一元二次不等式的步骤： (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0， 小于 0， 还是大于 0， 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要 讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
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对本例(2)中出现的分式不等式， 可转化为整式不等式求解， 但要注意变形的等价性．
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(1)(2012 年沈阳模拟 ) 设集合 M ＝ {x|x2 ＋ x － 6<0} ， N ＝ {x|1≤x≤3}，则 M∩N＝ A．[1,2) C．(2,3] B．[1,2] D．[2,3] ( )
1 ①当 a＝1 时，a＝1，所以原不等式的解集为 Ø.
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1 ②当 a>1 时，a<1，所以原不等式的解集为 1 {x|a<x<1}． 1 ③当 0<a<1 时，a>1， 1 所以原不等式的解集为{x|1<x<a}． 1 综上所述，当 a<0 时，解集为{x|x<a或 x>1}．
a>0， 提示：(1)Δ<0 a<0， (2)Δ≤0 a<0， (3)Δ≤0
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2．简单分式不等式的解法 分式不等式与一元二次不等式的关系 x－a x－b>0 等价于(x－a)(x－b)>0， x－a x－b<0 等价于(x－a)(x－b)<0，
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设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)若对于 x∈[1,3]， f(x)<－m＋5 恒成立， m 的取值范围． 求
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(对应学生用书P17) 1．一元二次不等式的解法
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
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当 a＝0 时，解集为{x|x>1}． 1 当 0<a<1 时，解集为{x|1<x<a}． 当 a＝1 时，解集为 Ø. 1 当 a>1 时，解集为{x|a<x<1}.
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1 1 ∴x＋2(x－3)>0.∴x<－2或
x>3.
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∴ A∩B ＝ {x| － 1<x<2}∩
1 x－1<x<－2 .
1 xx<－2或x>3
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2x＋1 (2)(2013 年宁波质检)若集合 A＝{x||2x－1|<3}， ＝{x| 3－x B <0}，则 A∩B 是 1 A．{x|－1<x<－2或 2<x<3} B．{x|2<x<3} 1 C．{x|－2<x<3} 1 D．{x|－1<x<－2} ( )
【思路启迪】 (1)先化简不等式为标准形式，再依据解集 确定 a 的符号，然后利用根与系数的关系列出 a，b 的方程组， 求 a，b 的值． (2)所给不等式含有参数 c，因此需对 c 讨论写出解集．
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【解】 (1)因为不等式 ax2－3x＋6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}， 所以 x1＝1 与 x2＝b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两个实数根， 3 1＋b＝a， b>1 且 a>0.由根与系数的关系，得 2 1×b＝a， (2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即 x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
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二次项系数中含有参数时， 参数的符号影响不等式的解集； 不要忘了二次项系数是否为零的情况．
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已知不等式 ax2－3x＋6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}． (1)求 a，b 的值； (2)解不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
判别式 Δ＝0 Δ>0 Δ<0 2 Δ＝b －4ac 一元二次方程 有两相等实根 有两不等实根 ax2＋bx＋c＝0 b 没有实根 x1，x2(x1<x2) x ＝x ＝－ 1 2 2a (a>0)的根 ax2＋bx＋c {x|x<x1 >0(a>0) R {x|x≠x1} 或x>x2} 的解集 ax2＋bx＋c<0 {x|x1<x<x2} Ø Ø (a>0)的解集
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首先将二次项系数转化为正数，再看能否因式分解，若能， 则可得方程的两根，且大于号取两边，小于号取中间；若不能， 当 Δ≥0 时，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集．
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【解析】 (1)两边都乘以－3， 3x2－6x＋2<0， 得 因为 3>0， 3 3 且方程 3x2－6x＋2＝0 的解是 x1＝1－ 3 ，x2＝1＋ 3 . 3 3 所以原不等式的解集是{x|1－ 3 <x<1＋ 3 }． (2)A＝{x|－1≤2x＋1≤3}＝{x|－1≤x≤1}， x－2 B＝{x| x ≤0}＝{x|0<x≤2}， ∴A∩B＝{x|0<x≤1}． 3 3 【答案】 (1){x|1－ 3 <x<1＋ 3 } (2)B
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【思路启迪】 (1)对于 x∈R，f(x)<0 恒成立，可转化为函 数 f(x)的图象总是在 x 轴下方，可讨论 m 的取值，利用判别式 求解． (2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有 两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理； 方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法 二比较简单．
提示：(1)当一元二次不等式的首项系数 a<0 时，要首先在 不等式两边同乘以－1，使首项系数为正，然后再结合上表进行 求解． (2)当首项系数含有字母参数时，要注意对首项系数是否为 0 进行讨论，当首项系数为 0 时，不是一元二次不等式，当首 项系数不为 0 时，才是一元二次不等式．
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2 (1)不等式－x2＋2x－3>0 的解集是______． x－2 (2)若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}， ＝{x| x ≤0}， A∩B B 则 ＝ A．{x|－1≤x<0} C．{x|0≤x≤2} B．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x≤1} ( )
【思路启迪】 先化不等式为标准形式，再求解．
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(对应学生用书 P17)
解一元二次不等式的步骤：(1)通过对不等式的变形，使不 等式的右边为零，左边的二次项系数为正；(2)计算相应方程的 判别式；(3)求出相应方程的根，或者判别相应方程无根；(4)结 合相应二次函数的图象写出方程的解集．
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x－ax－b≥0， x－a ≥0 等价于x－b≠0， x－b x－ax－b≤0， x－a ≤0 等价于x－b≠0. x－b
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问题探究 2：当一元二次不等式二次项系数 a<0 时，不等 式该怎么解？当首项系数为含有字母参数时，解不等式，应该 注意哪些问题？
考点 一元二次不 等式的解法
高考真题例举
2012
北京 卷，1
2011
山东 卷，1
2010
江苏卷， 11
二次函数、一元二次 重庆 方程与一元二次不等 卷，2 式的关系 一元二次不等式 的应用 ——
辽宁 卷，9
江西 卷，4
广东卷， 5
天津卷， 16
2014年高考预测
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模 型． 2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次” 间的关系问题． 3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范 围问题.
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(1)解一元二次不等式时， 当二次项系数为负时要先化为正， 再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次 函数的图象写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式， 要把握好分类讨论的层次， 一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分 类，其次根据根是否存在，即 Δ 的符号进行分类，最后在根存 在时，根据根的大小进行分类．
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解析：(1)M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，则 M∩N＝ {x|1≤x<2}，∴选 A. (2)∵|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3.∴－1<x<2. 2x＋1 又∵ 3－x <0，∴(2x＋1)(3－x)<0.
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问题探究 1：(1)不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为 R 的 充要条件是什么？ (2)不等式 ax2＋bx＋c≤0(a≠0)对一切 x∈R 恒成立的充要 条件是什么？ (3)不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为 Ø 的充要条件是什 么？
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考纲要求 1.会从实际情境中抽象出一 元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元 二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式， 对给定的一元二次不等式， 会设计求解的程序框图.
a＝1， 解得b＝2.
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当 c>2 时，不等式(x－2)(x－c)<0 的解集为{x|2<x<c}； 当 c<2 时，不等式(x－2)(x－c)<0 的解集为{x|c<x<2}； 当 c＝2 时，不等式(x－2)(x－c)<0 的解集为 Ø. 所以，当 c>2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0 的解集为 {x|2<x<c}； 当 c<2 时， 不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0 的解集为{x|c<x<2}； 当 c＝2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0 的解集为 Ø.