高考数学文科第一轮复习 曲线与方程之抛物线(精)课件
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：第3课时 抛物线
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2.已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点O、焦点在x轴上的抛物 线C交于A，B两点，ΔOAB的垂心恰为抛物线的焦点，求 抛物线C的方程.
【解题回顾】(1)注意运用平面几何的知识 (2)平面几何中的垂直在解析几何中可转化为斜率之积为-1
3. 若 一 直 线 与 抛 物 线 y2=2px(p ＞ 0) 交 于 A 、 B 两 点 且 OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D(2，1)，求抛物线 的方程
第3课时 抛物线 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.抛物线的定义：平面内到定点F与到定直线l(F l )的距离 l 之比为1的点的轨迹叫做抛物线
2.抛物线标准方程的四种形式y2=2px , y2=-2px , x2=2py , x2=-2py，当p＞0时分别表示焦点在x轴上，开口向右、开 口向左，和焦点在y轴上，开口向上、开口向下的抛物线
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课前热身
1.焦点在直线3x-4y+12=0上的抛物线的标准方程是________
y2=-16x或x2=12y ___________________ 2.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛物线于A、B两点， 8 若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=______.
3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为( (A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8
【解题回顾】将实际问题量化，建立恰当的数学模型， 使用准确的语言加以描述，是数学应用能力的主要体现.
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误解分析
(1)不了解光学性质致使解题无法入手，由光学性质知PQ 为抛物线过终点的弦.
(2)目标函数的正确建立是解题之关键同时要能根据具体 目标函数选择适当的方法求最值.
2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(一)》ppt
答案
高考一轮总复习•数学
第29页
解析：(1)∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，∴准线为 x＝－p2.
∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴－p2－2＝4. ∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x.
(2)因为△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准 线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2.因为焦点为 F0，p2，△FPM 是等边三角形，所以|PM|＝4，
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抛物线定义的应用策略
第17页
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第18页
对点练 1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形 弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2 所示的抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的一部分， P 为抛物线 C 上一点，F 为抛物线 C 的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝ 221，则 p＝( )
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第10页
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋ |QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选 B．
即 px0＝4.又 C 的准线方程为 x＝－p2， 易知|FM|＝x0＋p2，显然|DM|＝x0－p2.
由焦点联想准线．
因为 cos∠MFG＝2 3 2，所以 sin∠MFG＝13，因此||DFMM||＝sin∠MFG＝13，即xx00＋－p2p2＝13， 整理得 x0＝p，与 px0＝4 联立，解得 p＝x0＝2，
高考数学一轮复习讲义： 第十六章 曲线与方程 16.1 曲线与方程讲义
§16.1曲线与方程考纲解读分析解读求动点的轨迹方程及其应用江苏高考近5年没有考查,是命题的冷点,主要考查求抛物线方程以及方程的运用,难度中等.命题探究(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为, 由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2, 从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p. 因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<. 因此,p 的取值范围是.五年高考考点求曲线方程1.(2017课标全国Ⅱ理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P 满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国Ⅲ理,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B 两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2.所以AR∥FQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得2×|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)3.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解析(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立得消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=>,解得-<x<-1,或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.①当x∈时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈.②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.4.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图2解析(1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,=2,且||=||=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且即且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=,y0=-,代入+=1,可得+=1,即曲线C的方程为+=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8. (ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P;同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=·|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|·=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8·=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8·=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.教师用书专用(5—8)5.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.6.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③(i)若由②③解得k<-1或k>.即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)若或则由②③解得k∈或-≤k<0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(iii)若则由②③解得-1<k<-或0<k<.即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综上,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.7.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.解析(1)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|, 从而2d=.又因为|y1-y2|==,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2.而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2.综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.8.(2013陕西理,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.解析(1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意知,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,∴|O1M|=,又|O1A|=,∴=,化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x1+x2=,①x1x2=,②因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点求曲线方程1.(苏教选2—1,二,6,6,变式)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且PA=1,则动点P的轨迹方程是.答案(x-1)2+y2=22.(2016广东佛山六校联考,15)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足=x1+x2(O是坐标原点),若x1+x2=1,则P的坐标满足的方程是.答案x-y-1=03.(2017江苏东海中学期末模拟)已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状;(3)当λ=-2时,过点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A,B两点,求△O AB面积的最大值.解析(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,且k PM·k PN=·=λ,整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1).(2)①当λ>0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);②当-1<λ<0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点);③当λ=-1时,轨迹C是以原点为圆心,1为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0));④当λ<-1时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆(除去短轴两个端点).(3)当λ=-2时,轨迹C的方程为x2+=1(x≠±1).由题意知,l的斜率存在,设l的方程为y=kx+1(k≠±1),代入椭圆方程中整理得(k2+2)x2+2kx-1=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程(*)的两个实根,∴x1+x2=-,x1x2=-.∴S△OAB=·OF·|x1-x2|===·=·≤,当且仅当k2+1=,即k=0时取等号.∴k=0时,△OAB的面积最大,最大值为.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017南京、盐城二模,11)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为.答案3二、解答题(共15分)2.(2017如东、前黄、栟茶、马塘四校联考,22)在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(0,-8),M、N分别是x 轴、y轴上的点,点P在直线MN上,满足+=0,·=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设F是P点轨迹的焦点,C,D为P点轨迹在第一象限内的任意两点,直线FC、FD的斜率分别为k1、k2,且满足k1+k2=0,求证:直线CD过定点.解析(1)设P点坐标为(x,y),M点坐标为(a,0),N点坐标为(0,b).由+=0,·=0,得消去a,b得x2=4y.故动点P的轨迹方程为x2=4y.(2)证明:设C,D两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则=4y1,=4y2,两式相减得-=4(y1-y2),所以k CD==,由(1)可知F的坐标为(0,1),则k1=,k2=,由k1+k2=0得x1y2+x2y1=x1+x2.所以x1·+x2·=x1+x2,化简得x1x2=4(显然x1+x2≠0).直线CD的方程为y-y1=(x-x1).令x=0,得y=y1-==-=-1.所以直线CD过定点(0,-1).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用参数法求轨迹方程常用的方法与技巧1.(2016江苏无锡天一中学月考)已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足AB=2,点P在线段AB上,且=t(t是不为零的常数).(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上),点Q的坐标为,求△QMN的面积的最大值.解析(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y),因为=t,即(x-a,y)=t(-x,b-y),所以,所以由题意知t>0,因为AB=2,所以a2+b2=4,即(1+t)2x2+y2=4,所以点P的轨迹方程为+=1.(2)t=2时,C的方程为+y2=1,设M(x1,y1),则N(-x1,-y1),MN=2,易知直线MN的方程为y=x(x1≠0),则点Q到直线MN的距离d=,所以S△MNQ=×2×=,又+=1,所以9+=4.所以=4-9x1y1,而1=+≥-2··=-,所以-9x1y1≤4,当且仅当=-,即x1=-y1时,取等号.所以S△MNQ的最大值为2.方法2 轨迹方程及应用2.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,△POA的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若Q是轨迹C上异于点P的一点,且=λ,直线OP与QA交于点M,请问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)设点P的坐标为(x,y),由k OP+k OA=k PA,得-1=,整理得轨迹C的方程为y=x2(x≠0且x≠-1).(2)存在.由(1)可设P(x1,),Q(x2,),由=λ,可知直线PQ∥OA,则k PQ=k OA,故=-1,即x2=-x1-1,易知直线OP的方程为y=x1x,①直线QA的斜率为=-x1-2,所以直线QA的方程为y-1=(-x1-2)(x+1),即y=-(x1+2)x-x1-1,②联立①②,解得x=-,所以点M的横坐标为定值-.由S△PQA=2S△PAM得QA=2AM,因为PQ∥OA,所以OP=2OM,由=2得x1=1,所以点P的坐标为(1,1).所以存在点P满足S△PQA=2S△PAM,且点P的坐标为(1,1).。
[精]高三第一轮复习全套课件抛物线及其标准方程
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四种抛物线的标准方程对比
图形
y
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 px
2
o
y
x
2
p
p
2
0
p ,0 2
x
p 2
y 2 px
o
y
x
0
p ,0 2
x
p 2
x 2 py
o o
y
x
p
2
0
p 0, 2
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、求标准方程:
（1）用定义 （2）用待定系数法
靓图欣赏
2
①
把①代入抛物线方程 y 4 x ，得
x 1
2
4 x 化简，得 x 6 x 1 0
2
解方程得 x1 3 2 2 , x 2 3 2 2 将x1，x2代入方程①中得：y1
2 2 2 , y2 2 2 2
即A、B的坐标分别为 3 2
（4）化简 （5）证明
想 一 如何建立直角坐标系？ 想
√
建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线L，垂足为K， 并使原点与线段KF的中点重合。 p ，, 0 设|KF| = P ( P > 0 ), 那么焦点的F的坐为 准线L的方程为 x ＝ －
p 2
2
设点M（x ，y）是抛物线上任意一点，点M到L的距离为d。 由抛物线的定义，抛物线就是集合 P＝{M||MF|=d}
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线
方程为
5
x=- =- ,所以点
2 4
A 到抛物线 C 的准线的距离为
5
1+
4
=
9
.
4
增素能 精准突破
考点一京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,
且P的横坐标为4,则|PF|=(
A.2
B.3
)
C.4
D.5
(2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则
F
B.
1
0, 16
.
考点二
抛物线的标准方程与简单几何性质
典例突破
例2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,
过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,∠HFM=30°,则抛物线C的标准
方程为
.
答案 y2=6x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,
距离相等
,直线l叫做抛物线的
的点的轨
准线 .
设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达
式为|MF|=d
微思考抛物线定义中,若直线l过点F,则点的轨迹会怎么样?
提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l
垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
y=x+2,联立
=
+2,
2 = 2,
得x2-2px-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2p,x1x2=-p2,不妨设x1>0,x2<0,
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
高2020届高2017级第一轮复习文科数学全套课件第八节抛物线
向下 _－_|P_yF_0_＋|＝__p2_
返回
二、常用结论汇总——规律多一点
返回
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，α 为弦 AB 的倾斜角．则 (1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2. (2)|AF|＝1－cpos α，|BF|＝1＋cpos α.
∴由定义知点 P 到准线的距离为 2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1. 代入抛物线方程得|yP|＝2，
∴△OFP 的面积为 S＝12·|OF|·|yP|＝12×1×2＝1. [答案] B
返回
(2)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB| ＋|PF|的最小值为________．
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α. (4)|A1F|＋|B1F|＝2p.
(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切．
返回
三、基础小题强化——功底牢一点
返回
一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹
一定是抛物线． (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.
返回
3．已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0， 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距 离为 d2，则 d1＋d2 的最小值为________． 解析：由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)． 点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1， 所以 d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知 d2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离， 故 d2＋|PF|的最小值为 12|1＋＋－5| 12＝3 2， 所以 d1＋d2 的最小值为 3 2－1. 答案：3 2－1
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课件理01.ppt
解 由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP| ＋|AB|＝4>|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4 的椭圆(挖去与x轴的交点)．
设曲线M：ax22＋by22＝1(a>b>0，y≠0)，
则a2＝4，b2＝a2－|A2B|2＝3， 所以曲线M：x42＋y32＝1(y≠0)为所求．
触类旁通 代入法求轨迹方程的4个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)． (2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关 系． (3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′. (4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
【变式训练2】 [2017·济南模拟]已知圆C方程为：x2＋
(2)由椭圆C2：x92＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)， 由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为y＝x0y＋0 3(x＋3)，① 直线A2B的方程为y＝x－ 0－y03(x－3)，②
由①②得y2＝x－ 20－y209(x2－9)．③ 又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y02＝1－x902.④ 将④代入③，得x92－y2＝1(x<－3，y<0)． 因此点M的轨迹方程为x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
第8章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x， y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲 __线 __的 __方 __程 __；这条曲线叫做方程 的曲线．
高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件
解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p， 由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程 开口方向
焦半径 通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左 －x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下 －y0＋2p
【名师点睛】 如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)， 即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B
高考数学一轮总复习课件：抛物线(二)
2．(课本习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x
仅有一个公共点，这样的直线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析 两条切线，另一条平行于对称轴．
3．(2020·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条
【解析】 设斜率为k，则切线为y＝k x＋p2 ，代入y2＝2px 中，得k2x2＋p(k2－2)x＋k24p2＝0.
Δ＝0，即p2(k2－2)2－4·k2·k24p2＝0.解得k2＝1，∴k＝±1.
(2)(2021·河南新乡市模拟)若抛物线x2＝ay(a≠0)的准线与抛
物线y＝－x2－2x＋1相切，则a＝( B )
＝2.故选C.
5．(2021·湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆
的位置关系为( B )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析 设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂
足分别为A1，B1，M1(图略)，则|MM1|＝
【证明】 (1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0， 当k不存在时，直线方程为x＝p2. 这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
当k存在时，设直线方程为y＝kx－p2(k≠0)． 由y＝kx－p2，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①
y2＝2px ∴y1y2＝－p2，x1x2＝（y41py22）2＝p42. 因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立．
斜角为
π 6
的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为
届高考数学一轮复习讲义曲线与方程
方法与技巧
定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同之处在于：此方法 通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类型，再利用待定系 数法求轨迹方程． (3)相关点法： 当所求动点 M 是随着另一动点 P(称之为相关点)而运动．如 果相关点 P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标 表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所 满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做 相关点法或坐标转移法．
当 x0＝0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.
相关点法(坐标转移法)求 轨迹方程
例 2 已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点 C 在 曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
三角形的重心坐标与△ABC 的三个顶点坐标有关，又 A、B
的坐标已知，可知重心 G 的坐标与顶点 C 的坐标有关，根据
离的最小值． 解 (1)设 M(x，y)，由已知得 B(x，－3)．又 A(0，－1)， 所以M→A＝(－x，－1－y)，M→B＝(0，－3－y)，A→B＝(x，－2)． 再由题意可知(M→A＋M→B)·A→B＝0，
即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0. 所以曲线 C 的方程为 y＝14x2－2.
变式训练 2
已知长为 1＋ 2的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，P 是 AB 上一点，且A→P＝ 22P→B，求点 P 的轨迹 C
的方程． 解 设 A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，A→P＝ 22P→B， 又A→P＝(x－x0，y)，P→B＝(－x，y0－y)，
[6 分]
从而知当 k≠±1 时，kAB＝44ppk11k2＋－kk2＝1k－1 k. 故得直线 AB 的方程为 y＋4pk＝1k－1 k(x－4pk2)，
2025高考数学一轮复习-3.3.1-抛物线的标准方程【课件】
(2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5； [ 解 ] (2) 已 知 抛 物 线 的 焦 点 在 y 轴 上 ， 可 设 方 程 为 x2 ＝ 2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为 5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足 条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x2＝10y 和 x2＝－10y.
焦点坐标 _F__0_，__p2___
准线方程 __y_＝__－__p2__
__x_2_＝__－__2_p_y__(p>0)
_F_0_，__－__p2__
___y_＝__p2___
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝4x2 的焦点坐标为(1，0)．
()
(2)以(0，1)为焦点的抛物线的方程为 x2＝4y．
()
[答案] (1)× (2)√
2.抛物线 y＝4ax2(a∈R 且 a≠0)的焦点坐标为________．
0，116a [把方程化为标准形式为 x2＝41ay，所以焦点在 y 轴上， 坐标为0，116a.]
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 求抛物线的标准方程 【例 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为 2y＋4＝0； [解] (1)准线方程为 2y＋4＝0，即 y＝－2，故抛物线焦点在 y 轴 的正半轴上，设其方程为 x2＝2py(p＞0).又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛 物线的标准方程为 x2＝8y.
知识点 1 抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相__等__的点 的轨迹叫作抛物线．定点 F 叫作抛物线的焦__点__，定直线 l 叫作抛物线 的准__线__．
么？
抛物线的定义中，若点 F 在直线 l 上，那么点的轨迹是什
推荐2019届高考数学(文科新课标B)一轮复习课件10.3 抛物线 (共70张)
y
2 0
4 2×3 =2 24,所以|y0|=2 ,所6以S△POF= |O12 F||y0|
= 1 × 2 ×2 =6 2 .故3 选C.
2
B组 自主命题·省（区、市）卷题组
1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)
C组 教师专用题组
1.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧, O A· O =B 2 (其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ( )
A.2 B.3 C. 1 7 2 D. 1 0
8
答案 B 如图,可设A(m2,m),B(n2,n),其中m>0,n<0,则O A =(m2,m), O B=(n2,n), O· A =O mB 2n2+mn=2, 解得mn=1(舍)或mn=-2.∵lAB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2),即(m+n)(y-n)=x-n2,令y=0,解得x=-mn=2,∴C (2,0).
2
4
x0
,
3 x0
|AB|= | AC|2 r2
= 1 2=x0 .1 4x0x302321 4x0x302
6
所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.
评析 本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运 算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与 转化思想.
∴y1+y2 2=p. 2
2
从而 2 p b=2 p.
a2
∴ b 2 = 1 ,
高三数学(文)一轮复习课件：抛物线
所以双曲线的方程为 x2 y2 =1.
94
4
(2)设双曲线的方程为 x2
a2
y2 b2
=1.由题意易求得
c=2
5.
又双曲线过点（3
2
，2），∴（3
a
2）2
2
4 b2
=1.
又∵a2+b2=(2 5 )2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为 x2 y2 =1.
12 8
方法二 (1)设所求双曲线的方程为 x2 y2 =λ(λ≠0),
提示：结合图形知，当常数等于|F1F2|时，动点的 轨迹是两条射线；当常数大于|F1F2|时，动点的轨 迹不存在.
2/18/2020
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
xa22－by22＝1 (a＞0，b＞0)
ay22－xb22＝1 (a＞0，b＞0)
图形
2/18/2020
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
别为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为
()
A. x2 y2 1 8 24
B. x2 y2 1 12 14
C. x2 y2 1 24 8
D. x2 y2 1 4 12
【解析】 双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，焦点在 x 轴上.
设双曲线方程为 x2 y2 (λ≠0)， 3
2/18/2020
双曲线 C： x2 y2 1 (a＞0，b＞0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q(2a,0)，若 C 上 a2 b2
存在一点 P，使 AP ·PQ ＝0，求此双曲线离心率的取值范围
.
设 P(x，y)，则由 AP ·PQ ＝0，
高考文科数学第一轮总复习课件 抛物线
▪ A.2
B.3
▪ C.4
D.5
▪
解法1：y=4代入x2=4y，得x=±4，
▪ 所以A（±4,4），焦点坐标为（0,1），
▪ 由两点间距离公式知距离为
▪（解 4法）22：（4抛物1）2线的2准5 线 5方. 程为y=-1，所以A到 准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A到 焦点的距离相等，所以距离为5,选D.
3
x，
4
4
8
▪
解方程组 y= (3x-1) 得
x 5，
▪
y-2=- x3
y4
所以
84
4
5
N ( , ).
55
▪
求抛物线的标准方程常采用
待定系数法，利用已知条件确定抛
物线的焦点到准线的距离p的值.
▪
变式练习抛2物线的顶点在原点，焦点在y
轴上，抛物线上一点P（m,-3）到焦点的距
离为5，则抛物线的准线方程为y=2.
准线方程x=p ，开口向左；
2
2
▪ 抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,
)p，
准线方程y=2p- ，开口向上；
2
▪ 抛物线x2=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-
）p，准线方程y= ，p开口向下.
2
2
▪ (3)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦
点F的距离MF
x0
▪ 即证明y1y2=-p2即可，这已由（Ⅰ）证明，
所以结论成立.
▪
解决直线与抛物线的焦点弦问题，
一般设交点坐标，联立方程组，借助韦达
定理及点在抛物线上等条件解题，须关注
过焦点的弦的一些性质，如x1x2= ，p2
高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：8.3抛物线
§ 8.3抛物线本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理思考探究1.抛物线的定义中，定点F能否在定直线/上?提示：不能.定义中还有一个隐含条件，就是定点F不在定直线/上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是一条直线.如到点F(1,O)与到直线Z： x+j-l=O的距离相等的点的轨迹方程应为兀一y —1=0,轨迹为过F且与Z垂直的一条直线.2.抛物线标准方程中，p的几何意义是什么？提示：表示焦点到准线的距离，恒为正数.课前热身（2011•高考陕西卷）设抛物线的顶点在原点，准线方程为兀则抛物线的方程是（A. y2=—8xD. y2=4x解析：选B•因为抛物线的准线方程为x=-2,所以纟=2,所以p=4,所以抛物线的方程是犷=0C.所以选B.2. （2011•高考辽宁卷）已知F是抛物线j2=x的焦点，A, B是该抛物线上的两点，IAFI+\BF\=3,则线段4B的中点到y轴的距离为（）A4B. 1D2^•4Uy解析：选C.・・・|AFI+IBFI=%+XB+2=3,■ •兀A+X£=2»・•・线段4B的中点到歹轴的距离为也弓卫=壬.3.若点P 到直线兀=一1的距离始终比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为()B.椭圆答案：DA.圆 C.双曲线 D.抛物线4.抛物线尸=8兀的焦点坐标为答案:(2,0)5.设抛物线y2=lx,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过AB中点M作兀轴平行线交y轴于N,若IMNI=2,贝!|IABI =答案:考点1抛物线的定义抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有重要作用.点，又有点A(3,2),求IB4I + IPF啲最小值，并求出取最小值时P点的坐标.【思路分析】要求最小值问题，可考虑抛物线的定义，通过定义转化为“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”这些结论.【解】 将兀=3代入抛物线方程/=2x,得y=土也. •・• &>2,・・・4在抛物线内部.如图，设抛物线上的点P 到准线Z ：兀=一寸的距离为d 9由定义知\PA\ + \PF\ = \PA\+d.当E4丄2 |7-2 为 ,即IMI+IFFI 的最小值 此7-Y为时P点纵坐标为2,代入y=2x,得x=2,所以点P坐标为(2,2).【领悟归纳】若点Po（xo,旳）是抛物线y2=2px（p>0）上的任一点,则该点到抛物线的焦点F的距离IPoFI=xo+纟焦半径公式）, 这一公式的直接应用会为我们求解有关到焦点或准线的距离问题带来方便. 考点2求抛物线的标准方程求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，标准方程有四种形式，在设方程形式之前，首先要确定抛物线的开口方向.求下列各抛物线的方程:(1)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点M(一2, -4);(2)顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点0(加，—3)到焦点的距离等于5.【思路分析】⑴中抛物线开口方向不定;(2)利用抛物线定义求解.【解】(1)设抛物线为或则（一4）2=祝（一2）今加=—8,或（_2）2=〃（_4）=>M =_1,(2)依题意，抛物线开口向下,•••所求的抛物线方程为/=-8x或x2=—y.故设其方程为x2 = —2py(p>Q).则准线方程为又设焦点为F, 则I0FI=$—X0 艮吋_（一3）=5=>p=4・故抛物线方程为X2=-8J.【易错警示】这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去另一解.跟踪训练求焦点在直线工一2y—4=0上的抛物线的标准方程.解：直线x-2y-4=0与兀轴的交点为(4,0),与丿轴的交点为(0, -2),故抛物线的焦点为(4,0)或(0，-2). 当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2 = 2px(p>Q),所以抛物线方程为y2=16x.当焦点为(0, —2)时，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)9—2=—2, p=4.所以抛物线方程为x2 = —8y.考点3抛物线的几何性质及应用抛物线的性质和椭圆、双曲线比较差别较大，它的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线、它没有中心，能正确地应用抛物线的几何性质解决一些简单的问题，结合抛物线的定义，解决与之有关的基本运算，以提高应用知识解决问题的能力.如图，过抛物线尸=2px(p>0)的焦点F 的直线与抛物线 相交于M 、N 两点,自M 、N 向准线M 乍垂线，垂足分别为.也可用向量计算罚1•两1.【证明】法一：由抛物线的定义得 \MF\ = \MMi\9 INFI = INMI ，设准线I 与X 轴的交点为F1，•:MM\//NN\//FF\, :. ZMFMi=ZMMiF= ZF x FM ly Mi 、N 、・ 求证：加1丄FA"【思路分析】 可用几何法，挖掘梯形MMiMN 的性质计算 MyZNFN、= ZNN\F= ZF、FN\,而ZF/M1+ ZMFM1 + ZF1FM + 180°, 即2ZF1FM1 + 2ZF1FM = 180°,A ZF I FM I+ZF I FM=90°,:.FM I丄FN\・,0),准线/的方程为兀=—纟设 点M, N 的坐标分别为M (X1，Ji), N(x 2f J2)»直线MN 的方 p，丿1)，Ni(—，y 2), FMi = (—p f Ji),兩i = (—p, j 2)，由 y 2=2px2 2 2 得，y —2mpy —p =0,于是，力+力=2加卩，y\yi=~p\ ••• FM V FN 1 =p 2+yiy2=p 2-p 2=0, ••• FM1 丄FN\・【思维总结】 本题体现了抛物线的焦点弦的常用性质：如 法二：依题意，焦点为 程为x=my+^9则有Mi(—跟踪训练2•在本例中，点P 为MN 的中点, 求证：M0丄N0・IP0l=*(IMMil + lNNil) =£(IMFI+ INFI)=*IMNI ・又TP 为MV 的中点.••• IP0I = \PM\ = \PN\, A 2(ZMQP+ZNQP)=180°, 证明：在直角梯形MM\N\N 中,P0丄l 于Q 点,如图.ZMQP+ZNQP=9Q°, :.MQ丄N0方法技巧1.抛物线的定义体现了抛物线上的点到定点距离与到定直线距离相互转化的应用.2.为避免开口方向不一定而分成y2=2px（p>Q）或y2= — >0）两种情all况求解的麻烦，可以设成y2=mx或兀2=与（加工0, 兀H0）,若加>0,开口向右，/wVO开口向左，加有两解，则抛物线的标准方程有两个.3.抛物线比较常见的结论⑴若直线Z过焦点交抛物线y2=2px（p>0）于A（M，力）、2B（x2,力）两点，贝!lyij2=—/A 兀1兀2=^；(2)抛物线顶点到焦点的距离为抛物线上任意一点到焦点距离的最小值；(3)抛物线的通径长为过抛物线的焦点的弦长的最小值；过焦点的弦长IABI=xi+x2+p=s^^(6>为AB的倾斜角),通径长为②;(4)若抛物线方程为y2=2px(p>0)f过(切,0)的直线与抛物线交于A、〃两点，则04丄OB.反之成立.失误防范1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求P值，但首先要判点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程. 2.直线与抛物线相交，要注意直线是否过焦点.命题预测对于抛物线的考查，主要涉及抛物线的定义、几何性质、标准方程及直线与抛物线的位置关系，多以选择、填空题为主, 属于中档题.解答题多与其它曲线结合，综合考查解析几何的基本思想方法和运算、求解能力.2012年的高考中，四川卷、重庆卷等考查了抛物线的定义、方程、性质等综合应用，浙江卷、福建卷等以解答题型出现, 综合考查了解析几何的思想和解题方法，属难度较大题目.预测2014年的高考中，着重考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，仍将以选择题、填空题为主，也可能出现与其他知识结合起来的综合题，若出现与向量、三角、列不等式求解式证明定点、定值、最值.存在性等问题,则综合性较强且难度较大.规范解答2px(p>Q)的焦点，斜率为2、任的直线交抛物线于A(x P jx), B(xi，yi)(x I<X2)两点，且\AB\ = 9.⑴求该抛物线的方程.(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，^OC=OA+2OB9求2的值.【解】（1）直线AB的方程是丿=2長-分与y2=2px联立，从而有4x2—5px+p2=0, 所以衍+兀2=乎・（3分）由抛物线定义得IABI=xi+x2+p = 9,所以p=4f从而抛物线方程是y2=8x.（6分）(2)由p=4知4x2—5px+p2=0 可化为X2-5X+4=0,从而X!=l, X2=4, J1 = —2V2,丿2=4、/1,从而A(l, -2V2), B(4A母(9 分)设荒=(兀3,山)=(1，一2血)+2(4,4问=(42+1,4问一2佝，又ji=8x3,所以[2血(22 -1)]2=8⑷ +1),即(22-1)2=42+1,解得2=0或2=2.(13分)【名师点评】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质, 平面向量的交点设而不求，应用根与系数的关系解决问题.在设点的坐标时，应尽可能的应用已知条件，在求解过程中减少繁杂的化简运算.点击进入本部分内容讲解结束。
高考数学一轮总复习名师精讲 第38讲抛物线课件
(4)|A1F|＋
1＝ 1 ＋ 1 |BF| x1＋p2 x2＋p2
＝x1x2＋x1p2＋xx1＋2＋xp2＋p42，
又∵x1·x2＝p42，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式得
(2)如图，点 A3，130在抛物线 y2＝2x 的外部，由抛物线的定
义
可
知
，
d1＋
d2＝
|PA|＋
|PF|≥|AF|＝
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(其中
F
为抛物线的焦
点)．此时 P 点的坐标为(2,2)．
[点评] 熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键．利用抛物线
定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转
化．例如若点 P0(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上的任一点，则该
x＝－12的距离
d 等于点 P 到焦点的距离|PF|.
因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为
P 到点(0,2)的距离与点 P 到点 F 的距离之和，其最小值为点 M(0,2)
到点 F12，0的距离，则距离之和的最小值为
4＋41＝
17 2.
❖ 答案：A
3．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，O
范围 性 质 准线方程
焦点
y≥0，x∈R
y＝－p2 F0，p2
y≤0，x∈R
y＝p2 F0，－p2
性质
对称轴 顶点
离心率
焦半径
关于 y 轴对称
O(0,0) e＝1
|MF|＝p2＋y0
|MF|＝p2－y0
考点陪练
1.过抛物线 y＝14x2 准线上任一点作抛物线的两条切线，若切
点分别为 M、N，则直线 MN 过定点( )