空间几何体

2.3空间几何体的直观图
1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段()．
A．平行且相等B．平行不相等
C．相等不平行D．既不平行也不相等
解析斜二测是平行投影中的斜投影，所以其直观图不会改变平行线段的长度之比．
答案A
2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()．
得x＝.
即圆锥内接正方体的棱长为.
12．(创新拓展)在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第(1)问和第(2)问对不对？
解析这是一个组合体，上部为圆锥．下部为圆柱．
答案圆锥 圆柱
6．画出如图所示的空间图形的三视图(阴影部分为正面)．
解该几何体是在一正方体上面放一个圆台，其三视图如图所示．
7．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．
A．①②B．①③C．①④D．②④
解析①的三个三视图都是正方形；②的正视图与侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心；③的三个视图都不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图为正方形．
答案D
2．如图所示图形中，是四棱锥的三视图的是()．
解析A中俯视图为圆不正确；C中正侧视图不是三角形，也不正确；而D中俯视图为三角形，显然不是四棱锥．
答案B
3．针对柱、锥、台、球，给出下列命题
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
解析由比例可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为4 cm，1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
答案4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
11．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
1.2.1空间几何体的三视图
1．一条直线在平面上的正投影是()．
A．直线B．点C．线段D．直线或点
解析当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线．
答案D
4．平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点M′，则M′的坐标为________．
解析根据斜二测画法可知M′的坐标为(4,2)．
答案(4,2)
5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.
解析正方体的体对角线在各个面上的投影是正方体各个面上的对角线，因而其长度都是，所以其和为6.
答案6
10．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．
则该几何体的高为________m，底面面积为________m2.
解析由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)，AC＝4，BD＝3，高为2.
S△ABC＝AC·BD＝×4×3＝6.
答案②④
11．已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．
解过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．
设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽△VMN，所以＝，
所以hx＝2rh－2rx，
②点D与点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是________(注：把你认为正确的命题序号都填上)．
解析若将正方体的六个面分别用“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”标记，不妨记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则易得面MNFE、PQHG、EFCB、DEBA分别为“左”、“右”“前”、“上”，按各面的标记折成正方体，则可以得出D、M、R重合；G、C重合；B、H重合；A、S、Q重合，故②④正确，①③错误，所以答案是②④.
请根据上述定义，回答下面问题：
①直四棱柱________是长方体；
②正四棱柱________是正方体.
(填“一定”、“不一定”、“一定不”)
解析①不一定，只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体．
②不一定，只有侧棱与底面边长相等的正四棱柱才是正方体．
答案①不一定②不一定
5．观察常见的六面螺母，可以近似地将它看成是由一个正六棱柱挖去一个________后组成的几何体．
1.1空间几何体的结构
1．下列几何体中是柱体的有()．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析根据棱柱定义知，这4个几何体都是棱柱．
答案D
2．下列几何体中是台体的是()．
解析A中的几何体侧棱延长线没有交于一点；B中的几何体没有两个平行的面；很明显C中几何体是棱锥．
答案D
3．给出下列命题：
①直线绕直线旋转形成柱面；
A．45°B．135°
C．45°或135°D．90°
解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.
答案C
3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()．
A．ABB．ADC．BCD．AC
解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．
答案B
4．一个图形的投影是一条线段，这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
解析②的投影是直线或点，对于③④，当图形所在面与投影面垂直时，其投影为线段，而⑤的投影显然不可能是平面图形．
答案②⑤
5．如图所示为一个简单组合体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．
A.B.
C．1D.
解析直观图如图所示，
则B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°.
∴B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝.
答案B
9．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为()．
A.a2B.a2
C.a2D.a2
解析画△ABC直观图如图(1)所示：
图(1)图(2)
则A′D′＝a，又∠x′O′y′＝45°，
∴A′O′＝a.
画△ABC的实际图形，
如图(2)所示，AO＝2A′O′＝a，BC＝B′C′＝a，
∴S△ABC＝BC·AO＝a2.
答案C
10．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．
解析通过实物观察可知：挖去一个圆柱．
答案圆柱
6．根据下列关于几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；
(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形；
(3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
答案26
11．说出下列三视图表示的几何体，并画出该几何体．
解该三视图表示的几何体是截去一角的正方体．如图所示．
12．(创新拓展)如图所示，图(2)是图(1)中实物的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的侧视图．
解图(1)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如下图所示．
解(1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台
其中正确的是()．
A．①②B．③C．③④D．①③
解析①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；
②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；③正确；④不正确，因为有些四棱台的正视图和侧视图也都是等腰梯形．
答案D
8．(2012·泰安高一检测)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可以是
()．
解析A中正视图、俯视图不对，故A错．B中正视图、侧视图不对，故B错．C中侧视图、俯视图不对，故C错，故选D.
答案D
9．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1在六个面上的投影长度总和是________．
A．4B．3C.D．8
解析将长方体沿AA1剪开成平面图形，
AC1＝＝4；
沿AB展开，AC1＝＝3；
沿AD展开，则有AC1＝＝.
综上所述，从点A沿表面到C1的最短距离为.
答案C
9．给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可使相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是正六棱柱；
(2)该几何体的一个面是正方形，其他各面都是全等的三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是正四棱锥；
(3)该几何体上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，因此该几何体是三棱台．
7．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()．
A．16 B．64 C．16或64 D．都不对
解析在直观图中边长为4的边若与x′轴平行，则原图中正方形的边长为4，此时面积为16；若与y′轴平行，则正方形的边长为8，此时面积为64.
答案C
8．如图，一个正方形在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B′到x′轴的距离为()．
7．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是()．
A．三棱锥B．四棱锥
C．三棱柱D．三棱台
解析剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C.
答案B
8．(2012·温州高一段考)长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1＝4，AB＝3，AD＝5，则从A点沿长方体表面到达C1点的最短距离为()．
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是________．
解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．
答案②④
10．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
答案
6．画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图．
解画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形ABCD的直观图．
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2))．
②直角梯形绕一边旋转形成圆台；
③半圆绕直径旋转一周形成球；
其中正确的个数为()．
A．1 B．2 C．3 D．0
解析①②错．若绕底边旋转，则不能形成圆台；
③对．据球的定义知，正确．
答案A
4．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长都相等的长方体叫做正方体．