华师大版-数学-八年级上册-《两数和乘以这两数的差》随堂练习
华师大版八年级数学上册导学案含答案-12.3.1 两数和乘以这两数的差
12.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差学习目标：1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）自主学习一、知识链接多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．二、新知预习算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算：①（x ＋ 1)( x －1）=x 2-x+x-1=_______________；②（m ＋ 2)( m －2）=m 2-2m+2m-4=_______________；③（2m ＋ 1)(2m －1）=_______________=_______________.合作探究一、探究过程探究点1：平方差公式问题 观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a −b)=_________,（其中a,b 代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.试一试：在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？剩余部分的面积为：____________，新长方形的面积为：____________，则有等式为：___________________.例1利用平方差公式计算：(1)(x －5)(x ＋5)； (2)(－a －b)(b －a)； （3）（x +1）（﹣x +1）.【针对训练】计算：(1)(14a －1)(14a ＋1)； (2)(2m ＋3n)(2m －3n)． 【方法总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．例2先化简，再求值：(2x －y)(y ＋2x)－(2y ＋x)(2y －x)，其中x ＝1，y ＝2.【针对训练】先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x ＋2)－1，其中x ＝12. 探究点2：平方差公式的应用例3计算:(1) 51×49； (2)59.8×60.2.【方法总结】根据平方差公式的特征，合理变形后，可以简化运算.例如（1）中的51可以化为（50+1），50-1）.例4王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续以原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？【方法总结】解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．二、课堂小结当堂检测1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（）A．4x4-1 B．2x4-1 C．4x2-1 D．4x4+13.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．图1 图24.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y= .5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．6.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a- 3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).7.计算：（1）20222－2021×2023；（2)(a-2)(a+2)(a2 + 4).8.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？参考答案自主学习一、知识链接乘以相加二、新知预习算一算：①x2-1 ②m2-4 ③4m²-2m+2m-1 4m²-1合作探究一、探究过程探究点1：问题解：都是二项式乘二项式，得到二项式，而且两个多项式只有中间的符号不一样.【要点归纳】a²-b²平方差试一试：a²-b²( a+b)( a-b)a²-b²=( a+b)( a-b)例1解：（1）原式=x2-25. （2）原式=a2-b2.（3）原式=1-41x2.(a+b)(a-b)=a-b【针对训练】解：（1）原式=16a2－1. （2）原式=4m2－9n2 .例2解：原式=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2，当x=1，y=2时，原式=5×12-5×22=-15．【针对训练】解：原式=1-9x2+9x2+2x-1=2x，当x=12时，原式=1.探究点2：例3解：（1）原式=(50+1)×(50-1)=50²-1=2499.（2）原式=(60-0.2)×(60+0.2)=60²-0.2²=3600-0.04=3599.96.例4解：李大妈吃亏了.理由如下：因为原正方形土地的面积为a2平方米，改变边长后土地的面积为（a+4）（a-4）=a2-16（平方米）.∵a2＞a2-16，∴土地面积减少了．∴李大妈吃亏了．当堂检测1.C2.A3.(a+b)(a−b)=a2-b24.25.106.解：（1）原式=a2-9b2. （2）原式=4a2－9. （3）原式=4x4－y2.7.解：（1）原式=1. （2）原式=a4-16.8.解：原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1，当x=2时，原式=7．9.解：（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n2-1-（9-n2）=9n2-1-9+n2=10n2-10=10（n2-1）．因为n为任意正整数，所以n2-1为整数.所以整式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的值一定是10的整数倍．~。
华师大版-数学-八年级上册-《两数和乘以这两数的差》同步练习
12.3.1 两数和乘以这两数的差一、选择题1．下列各式能用平方差公式计算的是：（ ）A ．)23)(32(a b b a --B ．)32)(32(b a b a --+-C ．)23)(32(a b b a +--D ．)23)(32(b a b a +-2．下列式子中，不成立的是：（ ）A ．22)())((z y x z y x z y x --=--+-B ．22)())((z y x z y x z y x --=---+C ．22)())((y z x z y x z y x --=-+--D ．22)())((z y x z y x z y x +-=++--3．4422916) )(43(x y y x -=--，括号内应填入下式中的（ ）A ．2243y x -B ．2234x y -C ．2243y x --D ．2243y x +4．对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（） A ．4 B ．3 C ．5 D ．25．在))((b a y x b a y x ++--++的计算中，第一步正确的是（ ）A ．22)()(a y b x --+B ．))((2222b a y x --C ．22)()(b y a x --+D ．22)()(a y b x +--6．计算)1)(1)(1)(1(24-+++x x x x 的结果是（ ）A ．18+xB ．14+xC ．8)1(+xD ．18-x7．)1)(1)(1(222++-+c b a abc abc 的结果是（ ）A ．1444-c b aB ．4441c b a -C ．4441c b a --D ．4441c b a +二、填空题1．22)()()4)(4(-=+-x x ．2．22)()()1)(1(-=-+++b a b a ．3．____)68)(68(=-+n m n m ．4．____3434=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a ． 5．____))()((22=+-+b a b a b a ．6．____)2)(2(=-+++y x y x ．7．229))(3(x y y x -=+． 8．21)1)((a a -=-．9．22916)4)(3(a b n b m a -=++-，则._______,==n m10．____99.001.1=⨯．11．（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式）12．如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式）13．比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达）三、解答题1．用平方差公式计算：（1）)231)(312(a b b a ---； （2）))((y x y x n n +-；（3）)23)(23()32)(32(n m n m n m n m +---+；（4）)()())((2222a a b a b a -⋅---+；（5）9288⨯； （6）76247125⨯． 2．计算：（1）1999199719982⨯-；（2）)54)(2516)(54(2++-x x x ； （3）)32)(32(c b a c b a -++-；（4）)65)(32)(56)(23(a b a b b a b a +--+；（5）)161)(14)(12)(12(16142+++-x x x x ； （6）1)12()12)(12)(12)(12(64842++++++ ．3．先化简，再求值)4)(2)(2())()((2222n m n m n m n m n m n m +--+-----+，其中.2,1-==n m4．解方程：2)3)(3(2)2)(2()2)(1(-+-=+-+--x x x x x x ．5．计算：1297989910022222-++-+- ． 6．求值：)1011)(911()411)(311)(211(22222----- ．参考答案一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B二、填空题1．x ，4； 21,b a +； 3．223664n m - 4．16922a b - 5．44b a - 6．4222-++y xy x 7．x y -3；8．1--a ； 9．a n b m 3,4==； 10．0.9999 11．22b a - 12．))((,,b a b a b a b a -++- 13．22))((b a b a b a -=-+ 三、解答题1．（1）22491a b -；（2）22y x n -；（3）2255n m --；（4）242b a -；（5）8096（提示：)290)(290(9288+-=⨯）；（6）4948624． 2．（1）1；（2）6252564-x ；（3）2229124c bc b a -+-； （4）4422100324369b a b a --；（5）a x 25618-；（6）1282． 3．原式=1521744=+-n m ．4．6=x ．5．5050．6．2011．。
华东师大版八年级数学上册 1.两数和乘以这两数的差
12.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差
华东师大八年级上册
新课导入
整式乘法中多项式与多项式相乘: 1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.符号表示： （m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba. 2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？
③(3-x+y)(3+x+y)， ④(100+1)(100-1).
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
3.下列式中，运算正确的是( C ) ①(22a)2=4a2；
②(-
1 3
1
x+1)(1+ 3
x)=1- 1
9
x2；
③(m-1)2(1-m)3=(m-1)5； ④2a×4b×8=2a+2b+3. A.①② B.②③ C.②④
【归纳结论】(a+b)(a-b)=a2-b2
随堂演练
1.填空题
(x+6)(6-x)=
，
(-x+ 1 )(-x- 1 )=
，
2
2
(-2a2-5b)(
)=4a2-25b2.
答案：36-x2 x2- 1 4
-2a2+5b
2.下列式中能用平方差公式计算的有( D )
①(x-
1 2
y)(x+
1 2
y)，
②(3a-bc)(-bc-3a)，
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
再见
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6.计算： （1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）； 解：原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4.
八年级数学上册12.3乘法公式1《两数和乘以这两数的差》导学案(无答案)华东师大版(new)
12.3.1 两数和乘以这两数的差学习目的：1、从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式,明确这一公式来源于整式乘法,又可以用于整式的乘法的辩证思想；2、掌握两数和乘以它们的差的公式的结构，并能正确地运用;重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征;难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式意义。
一、复习1、多项式与多项式相乘法则2.利用多项式与多项式的乘法法则写出 (x＋a)（x＋b)的结果。
3。
计算：(1)(x＋3）（x－3)； (2）(a＋2b)（a－2b);(3)(4m＋n)（4m－n）; (4)(5＋4y）(5－4y)。
二、探索1、做一做,计算归纳总结也就是说，这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式,简称为平方差公式 2。
平方差公式的特征：（1）等式左边是两个数 (2）等式右边是两个数 3.需要注意的几个问题(1)公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数，单项式或多项式（2)必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式 4.平方差公式的几何意义三、例题 例1、计算：（1）(3)(3)a a +- （2)(23)(23)a b a b +- （3))21)(21(c c -+ (4）)2)(2(y x y x ---=－(a+b)(a －b)几何解释－(a+b)(a －b)例2 、运用平方差公式计算1998×2002解：1998×2002 =(2000－）×（2000+ ）==例3 、街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后，南北向要加长2米,而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？四、练习（1）a（a－5）－(a+6)（a－6) （2） ( x+y)（ x－y)( x2+y2)我们今天学到了什么？1、本课内容，两数和与它们的差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式的性质；2、应用本节课公式应满足:找出公式中的第一个数，第二个数，两数和乘以这两数差。
华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和乘以这两数的差》课件
=-(9a2-4)
=-9a2+4;
改正方法2：(-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a)
=(-2)2-(3a)2
=4-9a2.
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
（2）(3+2a)(－3+2a)；
=a2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（3）51×49； =(50+1)(50-1) =502－12
(4)(a-b)(-a-b)= __b_2_-a_2____.
典例精析
例1 填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1
x
-3
a
a
1
0.3x
1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
课堂小结
两个数的和与这两个数的差的
内
容
积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
注
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这
意
一特征，在应用时，只有两 个二项式的积才有可能应用
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
当堂练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）(x+2)(x-2)=x2-2 不对
华东师大版八年级数学上册第十二章 12.3.1 两数和乘以这两数的差 同步练习题
华东师大版八年级数学上册第十二章 12.3.1 两数和乘以这两数的差 同步练习题一、选择题1.计算(2x ＋3)(2x －3)的结果是(A)A.4x 2－9B.4x 2－3C.2x 2－9D.2x 2－32.下列各式中，不能用平方差公式计算的是(A)A.(x －y)(－x ＋y)B.(－x ＋y)(－x －y)C.(－x －y)(x －y)D.(x ＋y)(－x ＋y)3.等式(4y 2＋3x 2)(my 2－nx 2)＝16y 4－9x 4中，括号内应填入下式中的(B)A.m ＝4，n ＝－3B.m ＝4，n ＝3C.m ＝－4，n ＝－3D.m ＝－4，n ＝34.三个连续的整数，中间的一个是n ，则这三个整数的积是(D)A.3nB.n 3C.n 3－1D.n 3－n5.若三角形的底边长为2a ＋1，底边上的高为2a －1，则此三角形的面积为(D)A.4a 2－1B.4a 2－4a ＋1C.4a 2＋4a ＋1D.2a 2－126.下列计算正确的是(C)A.(a ＋3b)(a －3b)＝a 2－3b 2B.(－a ＋3b)(a －3b)＝－a 2－9b 2C.(－a －3b)(a －3b)＝－a 2＋9b 2D.(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b27.计算1282－127×129的结果为(A)A.1B.－1C.2D.－28.为了运用平方差公式计算(x＋2y－1)(x－2y＋1)，下列变形正确的是(B)A.[x－(2y＋1)]2B.[x＋(2y－1)][x－(2y－1)]C.[(x－2y)＋1][(x－2y)－1]D.[x＋(2y－1)]2二、填空题9.计算：(1)(x－1)(x＋1)＝x2－1；(2)(3a－b)(－3a－b)＝－9a2＋b2.10.阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知i2＝－1，那么(1＋i)·(1－i)＝2.11.当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是9.12.填空：(1)59.8×60.2＝(60－0.2)(60＋0.2)＝3600－0.04＝3599.96；(2)1007×993＝(1000＋7)(1000－7)＝10002－72＝999951.13.计算：(x＋y)(x－y)(x2＋y2)＝x4－y4.三、解答题14.运用平方差公式计算：(1)(14a －1)(14a ＋1)； 解：原式＝116a 2－1.(2)(3a ＋12b)(3a －12b)； 解：原式＝(3a)2－(12b)2 ＝9a 2－14b 2.(3)(－3x 2＋y 2)(y 2＋3x 2).解：原式＝(y 2)2－(3x 2)2＝y 4－9x 4.15.先化简，再求值：a(a －2b)－(a ＋b)(a －b)，其中a ＝12，b ＝－1. 解：原式＝a 2－2ab －a 2＋b 2＝－2ab ＋b 2.当a ＝12，b ＝－1时， 原式＝－2×12×(－1)＋(－1)2 ＝1＋1＝2.16.计算：(1)(－12x 2＋2)(－12x 2－2)； 解：原式＝(－12x 2)2－22 ＝14x 4－4.(2)2(a 2＋2)－(a ＋1)(a －1)；解：原式＝2a 2＋4－(a 2－1)＝2a 2＋4－a 2＋1＝a 2＋5.(3)(2x ＋y －3)(2x －y ＋3).解：原式＝[2x ＋(y －3)][2x －(y －3)]＝4x 2－(y －3)2＝4x 2－y 2－9＋6y.17.如图1，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.图1 图2(1)设图1中阴影部分面积为S 1，图2中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 的代数式表示S 1，S 2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.解：(1)S 1＝a 2－b 2，S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b). (2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.18.某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池长为(4a 2＋9b 2)m ，宽为(2a ＋3b)m ，深为(2a －3b)m ，请你计算一下这个游泳池的容积是多少？解：(4a 2＋9b 2)(2a ＋3b)(2a －3b)＝(4a 2＋9b 2)(4a 2－9b 2)＝16a 4－81b 4.答：这个游泳池的容积是(16a 4－81b 4)m 3.19.如图1，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图2的长方形.(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：(a －b)(a ＋b)＝a 2－b 2(用字母表示)；(2)请应用这个公式完成下列各题.①计算：(2a ＋b －c) (2a －b ＋c)；②计算：1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.解：①原式＝(2a)2－(b－c)2＝4a2－b2＋2bc－c2.②原式＝(100＋99)(100－99)＋(98＋97)(98－97)＋…＋(2＋1)(2－1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝5050.。
华师大版-数学-八年级上册---13.3 乘法公式 两数和乘以这两数的差 作业--.
八年级上 §13.3 乘法公式 两数和乘以这两数的差 作业 积累·整合1、选择题（1）.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )A.(x+y)(－x －y)B.(2x+3y)(2x －3z)C.(－a －b)(a －b)D.(m －n)(n －m)（2）.下列计算正确的是( )A.(2x+3)(2x －3)=2x 2－9B.(x+4)(x －4)=x 2－4C.(5+x)(x －6)=x 2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b 2（3）.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a －b)(－b+a)B.(xy+z)(xy －z)C.(－2a －b)(2a+b)D.(0.5x －y)(－y －0.5x)（4）.(4x 2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )A.－4x 2－5yB.－4x 2+5yC.(4x 2－5y)2D.(4x+5y)2（5）.a 4+(1－a)(1+a)(1+a 2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a 4－1D.1－2a 4（6）.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( )A.(x+5y)(－x+5y)B.(－x －5y)(－x+5y)C.(x －y)(x+25y)D.(x －5y)(5y －x)2、填空（7）(x －1)(x+1)=_____,(2a+b)(2a －b)=_____,( x －y)( x+y)=_____.（8）(x+4)(－x+4)=_____,(x+3y)(_____)=9y 2－x 2,(－m －n)(_____)=m 2－n 2（9）498×502=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____.（10）－(2x 2+3y)(3y －2x 2)=_____.（11）(a －b)(a+b)(a 2+b 2)=_____.（12）(_____－4b)(_____+4b)=9a 2－16b 2,(_____－2x)(_____－2x)=4x 2－25y 23、计算（13）103×97 （14）(－2x 2+5)(－2x 2－5)（15）a(a －5)－(a+6)(a －6)二、拓展·应用4、化简（16）、（x －y ）（x+y ）－（x －2y ）（2x ＋y ）（17）、)12)......(12)(12)(12)(12(32842+++++三、探索·创新5、阅读解答题如图6，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式＿＿＿＿＿＿＿＿八年级上§13.3 乘法公式两数和乘以这两数的差作业答案1、选择题（1）C (2)D (3)C (4)A (5)B (6)B2、填空(7)22222,4,1y x b a x --- (8)n m x y x +---,3,162(9)()()249996,2,500,2500,2500+- (10)2494y x - (11)44b a - (12)3a,3a,5y,-5y3、计算（13）103×97 =(100+3)(100-3)=10000-9=99991（14）(－2x 2+5)(－2x 2－5) =2544-x（15）a(a －5)－(a+6)(a －6)=36536522+-=+--a a a a4、化简（16）、（x －y ）（x+y ）－（x －2y ）（2x ＋y ）=2222232y xy x y x ++--=223y xy x ++-（17）、)12)......(12)(12)(12)(12(32842+++++ =)12)......(12)(12)(12(322+++-=1264-5、阅读解答题长为a 的正方形面积为a ,长为b 的正方形的面积为b ,则剩余面积为a -b 由图可知梯形的高为a-b ，有梯形的面积公式得其面积S=×（2a+2b ）×(a -b)=（a+b ）(a-b) ，梯形面积等于剩余面积，即a -b =(a+b)(a-b)。
华师大版-数学-八年级上册-12.3.1两数和乘以这两数的差 同步作业
一、选择题1．计算(2a ＋1)(2a －1)的结果是( ) A ．4a 2－1 B ．1－4a 2 C ．2a －1 D ．1＋4a 22．2017·福建长泰一中、华安一中联考下列计算中可采用平方差公式的是( ) A ．(x ＋y )(x －z ) B ．(－x ＋2y )(x ＋2y ) C ．(－3x －y )(3x ＋y ) D ．(2a ＋3b )(2b －3a ) 3．下列各式中，运算结果是9a 2－16b 2的是( ) A ．(－3a ＋4b )(－3a －4b ) B ．(－4b ＋3a )(－4b －3a ) C ．(4b ＋3a )(4b －3a ) D ．(3a ＋2b )(3a －8b )4．计算(－2a －1)(2a －1)的结果是( ) A ．4a 2－1 B ．－4a 2－1 C ．4a 2＋1 D ．－4a 2＋15．下列各式可以用平方差公式简化计算的是( ) A ．309×285 B ．4001×3999 C ．19.7×20.1 D ．214×1236．(a ＋2b －3c )(a －2b －3c )可化为( ) A ．a 2－(2b －3c )2B ．(a －3c )2－4b 2C ．(a ＋2b )2－9c 2D ．9c 2－(a ＋2b )27．计算(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)－(x 4＋1)的结果为( ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．－2a 48．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，则他们两人谁摆的面积大？( )A ．小刚B ．小明C ．同样大D ．无法比较二、填空题9．计算：(1)2017·德阳(x ＋3)(x －3)＝________； (2)(x －12y )(x ＋12y )＝________； (3)(3a －b )(－3a －b )＝________．10．运用平方差公式进行简便运算：499×501＝________×________＝________． 11．一块长方形的菜地，长为(2a ＋3b )米，宽为(2a －3b )米，这块菜地的面积为________平方米.12．已知(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝63，则a ＋b 的值为________． 三、解答题 13．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2；(2)(x ＋1)(x －1)－x 2；(3)(x －3)(x ＋3)(x 2＋9)；(4)(2x ＋5)(2x －5)－(4＋3x )(3x －4)．14．计算：100×102－1012.15．解方程：(2x －3)(－2x －3)＋9x ＝x (3－4x )．16．2017·宁波先化简，再求值：(2＋x )(2－x )＋(x －1)(x ＋5)，其中x ＝32.17．如图K －13－1甲所示，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形． (1)请用含字母a 和b 的代数式表示出图甲中阴影部分的面积；(2)将阴影部分拼成一个长方形，如图乙，这个长方形的长和宽分别是多少？表示出阴影部分的面积；(3)比较(1)和(2)的结果，可以验证平方差公式吗？请给予解答.链接听课例2归纳总结图K －13－118．已知一个长方体的长为2a ，宽也是2a ，高为h . (1)用含a ，h 的代数式表示该长方体的体积与表面积； (2)当a ＝3，h ＝12时，求该长方体的体积与表面积；(3)在(2)的基础上，把长增加x ，宽减少x ，其中0＜x ＜6，则长方体的体积是否发生变化？请说明理由．阅读理解阅读下列解法：(1)计算：(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)．解：原式＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·(216＋1)÷(22－1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)÷(22－1)＝(28－1)(28＋1)(216＋1)÷3＝(216－1)(216＋1)÷3＝(232－1)÷3＝13(232－1)．(2)计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)×…×(21024＋1)．解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)×…×(21024＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)×…×(21024＋1)＝…＝(21024－1)(21024＋1)＝22048－1.请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻找一种解法解答下列问题． 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124(1＋128)×(1＋1216)＋(1＋1231)．详解详析【课时作业】 1．A2． B 根据平方差公式的特点，(－x ＋2y)·(x＋2y)＝(2y －x)(2y ＋x)＝(2y)2－x 2. 3． A 根据两数和乘以这两数的差的公式，只有(－3a ＋4b)(－3a －4b)＝9a 2－16b 2；B ，C 两个选项，虽然符合平方差公式的结构特征，但结果是16b 2－9a 2；D 选项的运算结果不是9a 2－16b 2.故选A .4． D 原式＝(－1－2a)(－1＋2a)＝(－1)2－(2a)2＝1－4a 2. 5．B 6.B7． C 原式＝(x 2－1)(x 2＋1)－(x 4＋1)＝x 4－1－x 4－1＝－2，故选C . 8． B9．(1)x 2－9 (2)x 2－14y 2 (3)b 2－9a 210． (500－1) (500＋1) 249999原式＝(500－1)×(500＋1)＝5002－1＝250000－1＝249999. 11． (4a 2－9b 2)菜地的面积为(2a ＋3b)(2a －3b)＝(4a 2－9b 2)米2. 12． ±8因为(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝＝(a ＋b)2－1，所以(a ＋b)2－1＝63，即(a ＋b)2＝64，所以a ＋b ＝±8.13．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－22＝19x 2－4.(2)原式＝x 2－1－x 2＝－1. (3)原式＝(x 2－9)(x 2＋9)＝x 4－81. (4)原式＝(2x)2－52－ ＝4x 2－25－9x 2＋16 ＝－5x 2－9.14． 由于数字较大，直接计算较烦琐．注意到100，101，102是连续的自然数，因此可考虑运用“两数和与这两数差的乘法公式”来简化运算．解：100×102－1012＝(101－1)(101＋1)－1012＝1012－1－1012＝－1.15．解：9－(2x)2＋9x ＝3x －4x 2， 9－4x 2＋9x ＝3x －4x 2， －4x 2＋9x －3x ＋4x 2＝－9， 6x ＝－9， x ＝－32.16．解：原式＝4－x 2＋x 2＋4x －5＝4x －1. 当x ＝32时，原式＝4×32－1＝5.17．解：(1)大正方形的面积为a 2，小正方形的面积为b 2，故图甲中阴影部分的面积为a 2－b 2.(2)长方形的长和宽分别为a ＋b ，a －b ， 故图乙中阴影部分的面积为(a ＋b)(a －b)．(3)可以验证平方差公式，比较(1)和(2)的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，即(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.18解：(1)长方体的体积为2a·2a·h＝4a 2h ， 长方体的表面积为2×2a·2a＋4×2a·h＝8a 2＋8ah. (2)当a ＝3，h ＝12时，长方体的体积为4×32×12＝18. 当a ＝3，h ＝12时，长方体的表面积为8×32＋8×3×12＝84.(3)长方体的体积发生变化．理由：当长方体的长增加x ，宽减少x 时，长方体的体积为12(6＋x)(6－x)＝18－12x 2＜18，故长方体的体积减小了．解：原式＝(1－12)(1＋12)(1＋122)(1＋124)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1231 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128(1＋1216)×2＋(1＋1231) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216×2＋(1＋1231)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋128⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1231 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1216⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1216×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1231 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1232×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1231 ＝2－1231＋1＋1231 ＝3.。
数学华东师大版八年级上册两数和乘以这两数的差(平方差公式)
地主说得是真的吗？张老汉应该答应吗？
a
b
a
原来的面积：
ab
a2
后来的面积： a ba b
b
ab
后来的面积： a2 b2
a ba b a2 b2
知识应用
【例1 】 计算：
（1）(a 3)(a 3) （2） (2a 3b)(2a 3b) （3） (1 2c)(1 2c) （4）数和乘以这两数的差公式。 2 认识两数和乘以这两数的差公式结构特点。 3 学会利用两数和乘以这两数的差公式进行计算。 4 能够运用两数和乘以这两数的差公式进行简便计
算。 5 体验数形结合的数学思想。
知识回顾
1.多项式乘以多项式的法则是什么? 2.根据多项式乘以多项式法则计算：
解： (a 2)(a 2) a2 4（平方米）
答：改造后的长方形草坪的面积是 (a2 4)
平方米.
归纳小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
两数和乘以这两数的差的公式(平方差公式)：
a ba b a2 b2
结构特点：
1.左边是两个数的和乘以这两个数的差； 2.右边是乘式中相同项的平方减去相反项的平方。
布置作业
课本36页 练习12.3第1题(1)~(4)
(a＋b)(a－b)=?
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的这和两个数的差这两数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个二项 式相乘
(a+b)(a-b)=a2-b2
相相同反数
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
(相同项)2-(相反项)2
华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和乘以这两数的差》教学课件
判断下列各式是否正确，并说明理由
(1)(a b)(a b) a2 b2 ( ×)
(2)(a b)(a b) a2 b2
( ×)
(3)(0.5 0.2x)(0.5 0.2x) 0.25 0.04x2 (√
(4)(3x 1)(3x 1) 9x2 1
（2）等式右边是这两 个数(字母)的平方差.
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
观察图形，再用等式表示图中图形面 积的运算：
a
几
何
abb
解
(a-b)(a+b)
释
=
a2 － b2
(a+b)(a－b)
a2
b2
例1 计算
(x+3)(x-3)= x2 32 x2 9 (2a+3b)(2a-3b)= (2a)2 (3b)2 4a2 9b2
1
(-x+2)(-x-2)
－x
b a2 b2 最后结果
3 y2 32 y2 9
3b a2 (3b)2 a2 9b2
5b
12 (5b)2
2
1 25b
2 (x)2 22 x2 4
概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
平方差公式的特征：
（1）等式左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差.ຫໍສະໝຸດ 问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解 (a 2)(a 2) a2 4
答 :改造后的长方形草坪的 面积是(a 2 4)平方米
知识回顾
1．多项式乘以多项式的法则：_______。
八年级数学上册 13.3.1两数和乘以这两数的差精品同步作业 华东师大版
13.3.1两数和乘以这两数的差◆随堂检测1、观察下列各式，能用平方差公式计算的是（）A.（a+b）(b-a)B. (2x+1)(-2x-1)C. (－5y+3)(5y+3)D. (－2m+n)(2m－n)2、乘积等于m2－n2的式子是（）A. (m－n)2B.(m－n)(－m－n)C.(n － m)(－m－n)D.(m+n)(－m+n)3、用平方差公式计算：1999×2001+1=_______4、（x+1）（x－1）（x2+1）=________5、计算:(1)（－1+4m）(－1－4m) (2) (x－3)(x+3)(x2+9)6、解方程 x(9x－5)－(3x+1)(3x－1)=51．◆典例分析计算 (1)、(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)（2）、2004×2006－20052分析：（1）先利用平方差公式进行乘法运算，再去括号合并同类项（2）利用平方差公式进行简便运算解：(1)、(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=（4x2－25）—（9x2－16）=4x2－25－9x2+16=－5x2+9（2）、2004×2006－20052=(2005－1)(2005+1)－20052=20052－1－20052=-1◆课下作业●拓展提高1、下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A.(x－2y)(2y+x)B.(x－2y)(－2y+x)C. (x+y)(y－x)D. (2x－3y)(3y+2x)2、下列各式中计算正确的是（）A.(a+b)(－a－b)=a2－b2B. (a2－b3)(a2+b3)=a4－b6C.(－x－2y)(－x+2y)=-x2－4y2D.(2x2+y)(2x2－y)=2x4－y43、如果a+b=2006,a－b=2,那么a2－b2=________.4、已知x2-y2=6,x+y=3,则x-y=__________.5、化简求值－2x(x－2y)(x＋2y)－x(2x－y)(y＋2x) 其中x=1；y=2.6、试求（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1的值.●体验中考1、（2009年宁波市）先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a-+--，其中1a=-．2、（2009年嘉兴市）化简：)8(21)2)(2(babbaba---+．参考答案：随堂检测1、根据平方差公式的特征，选C2、C3、1999×2001+1=(2000-1)(2000+1)+1=20002-1+1=20002=40000004、（x+1）（x－1）（x2+1）=（x2－1）（x2+1）=x4－15、(1)1－16m2(2) (x－3)(x+3)(x2+9)=(x2－9) (x2+9)=x4－816、x=－10拓展提高1、B2、B3、a 2－b 2=(a －b)(a+b)=2006×2=40124、25、当x=1 y=2时，－2x(x －2y)(x ＋2y)－x(2x －y)(y ＋2x)= －2x （x 2-4y 2）－x(4x 2-y 2) =-2x 3+8xy 2-4x 3+xy 2=-6x 3+9xy 2,代入得30.6、原式=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1=（24-1）（24+1）…（22n +1）+1=……=24n -1+1=24n 体验中考1、原式2242a a a =--+ 24a =-．当1a =-时，原式2(1)4=⨯--2、)8(21)2)(2(b a b b a b a ---+2224214b ab b a +--=ab a 212-=。
最新华东师大版八年级数学上册《两数和乘以这两数的差》同步练习及解析.docx
华师大版数学八年级上册第十二章第二节12.3.1两数和乘以这两数的差同步练习一、选择题1．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）A．(x+y)(－x－y) B．(2x+3y)(2x－3z)C．（－a－b)(a－b) D．(m－n)(n－m)答案：C解答：只有两数和乘以两数差时才能用平方差公式，由此只有C符合要求．故选C．分析：根据平方差公式的形式直接找出答案．2．在下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（）A．(x+1)(1+x) B．(12a+b)(b-12a) C．(-a+b)(a-b) D．(x2-y)(x+y)答案：B解答：根据平方差公式的定义可知，一定要是两数和乘以两数积的形式,故选B．分析：根据平方差公式的定义直接找出答案．3．观察下列各式，能用平方差公式计算的是（）A.（-a+b）(b-a)B. (2x+1)(-2x-1)C. (－5y+3)(5y+3)D. (－2m+n)(2m－n)答案：C解答：根据平方差公式的定义可知，一定要是两数和乘以两数积的形式,，故选C．分析：根据平方差公式的定义直接找出答案．4．乘积等于m2－n2的式子是（）A. (m－n)2B.(m－n)(－m－n)C.(n －m)(－m－n)D.(m+n)(－m+n)答案：C解答：解：(m－n)2=m2－2mn+n2; (m－n)(－m－n)= -m2+n2; (n －m)(－m－n)= m2－n2; (m+n)(－m+n)= -m2+n2,故选C．分析：将各选项中的式子展开即得．5．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A.(x－2y)(2y+x)B.(x－2y)(－2y+x)C. (x+y)(y－x)D. (2x－3y)(3y+2x)答案：B解答：(x－2y)(2y+x)=x2-4y2; (x－2y)(－2y+x)= (x－2y)2; (x+y)(y－x)=y2-x2; (2x－3y)(3y+2x)=4x2-9y2,故选B．分析：根据平方差公式形式直接选出．6．下列各式中计算正确的是（）A.(a+b)(－a－b)=a2－b2B. (a2－b3)(a2+b3)=a4－b6C.(－x－2y)(－x+2y)=-x2－4y2D.(2x2+y)(2x2－y)=2x4－y4答案：B解答：(a+b)(－a－b)=-a2-b2+2ab; (a2－b3)(a2+b3)=a4－b6; (－x－2y)(－x+2y)=x2-4y2; (2x2+y)(2x2－y)=4x4－y2，故选B．分析：先根据平方差公式计算得出结果．7．下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a －b)(－b+a)B.(xy+z)(xy －z)C.(－2a －b)(2a+b)D.(0.5x －y)(－y －0.5x)答案：C解答：(－2a －b)(2a+b)=- (2a+b)2,其他选项都符合，故选C ．分析：根据平方差公式形式直接得出答案．8．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ）A. )6)(6(x y x y --+-B. (6)(6)y x y x -+-C. (6)(6)x y x y ++D. )6)(6(x y x y ---答案：D解答：22(6)(6)36y x y x y x -+--=-,222(6)(6)(6)3612y x y x y x y xy x -+-=--=-+-，22(6)(6)1236x y x y x xy y ++=++，22(6)(6)36y x y x y x ---=-+，故选D ．分析：根据平方差公式将各式展开．9．(4x 2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )A.－4x 2－5yB.－4x 2+5yC.(4x 2－5y)2D.(4x+5y)2答案：A解答：所选式子必须与(4x 2－5y)有一项相同，一项互为相反数，故选A ．分析：根据平方差公式直接得出．10．有下列运算：①2229)3(a a =②2251)51)(15(m m m -=++-③532)1()1()1(--=--a a a④626442++=⨯⨯n m n m ，其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C.③④D. ②④答案：B解答：222(3)81a a =，故①错误，2251)51)(15(m m m -=++-，故②正确，532)1()1()1(--=--a a a ，故③正确，2624642m n m n ++⨯⨯=，故④错误，故选B ．分析：分别计算出每一个式子的值．11．有下列式子：①)3)(3(y x y x +-- ②)3)(3(y x y x ---③)3)(3(y x y x -+- ④)3)(3(y x y x ++-，其中能利用平方差公式计算的是（ ）A. ①②B. ②③C.③④D. ②④答案：D解答：)3)(3(y x y x +--=-(3x+y)2,故①不能，22(3)(3)9x y x y x y ---=-+，故②能，2(3)(3)(3)x y x y x y -+-=--，故③不能，22(3)(3)9x y x y x y -++=-+，故④能，故选D ． 分析：利用平方差公式计算既可得出．12．a 4+(1－a)(1+a)(1+a 2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a 4－1D.1－2a 4答案：B解答：a 4+(1－a)(1+a)(1+a 2)= a 4+(1－a 2) (1+a 2)= a 4+(1－a 4)=1，故选B ．分析：利用平方差公式计算既可得出．13．用平方差公式计算))((d c b a d c b a ++--++，结果是（ ）A. 22)()(d c b a --+B. 22)()(d b c a --+C. 22)()(d c d a --+D. 22)()(d a b c --+答案：B22()()[()()][()()]()()a b c d a b c d a c b d a c b d a c b d ++--++=++-+--=+--故选B ．分析：利用平方差公式计算得出，把(a+c)看成一个整体，把（b-d ）看成一个整体．14．对于任意的正整数n ，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n ）（3+n ）的整数是（）A ．3B ．6C ．10D ．9答案：C解答：（3n+1）（3n-1）-（3-n ）（3+n ）=9n 2-1-9+n 2=10n 2-10所以代数式能被10整除，故选C ．分析：利用平方差公式计算得出．15．)12()12)(12)(12(242+⋅⋅⋅+++n 的值是（ ）A ．12-nB ．122-nC ．421n -D ．1222-n答案：C解答：解：原式=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n +1）=（24-1）（24+1）…（22n +1），=（28-1）（28+1）…（22n +1），=（22n -1）（22n +1），=24n -1，故选C ．分析：利用平方差公式，逐步计算．二、填空题 16．已知622=-y x ，3=+y x ，则=-y x ．答案：2解答：22()()3()6x y x y x y x y -=+-=-=，所以2x y -=，故填：2.分析：利用平方差公式的逆运算得出．17．计算：(2x+5)(2x －5)－(4+3x)(3x －4)= ．答案: －5x 2-9 解答：(2x+5)(2x －5)－(4+3x)(3x －4)=（4x 2－25）—（9x 2－16）=4x 2－25－9x 2+16=－5x 2-9故填－5x 2-9.分析：先利用平方差公式进行乘法运算，再去括号合并同类项.18．如果a+b=2006,a －b=2,那么a 2－b 2=________.答案：4012分析：利用平方差公式的逆运算计算得出．19．若))(())((B A B A c b a c b a +-=+-++，则=A ，=B . 答案：a+c;b解答：()()[()][()]()()a b c a b c a c b a c b A B A B ++-+=+++-=-+．分析：利用单平方差公式把原式变形，注意a+c 看成是一个整体．20．2004×2006-20052= ．答案：-1 解答：2004×2006－20052=(2005－1)(2005+1)－20052=20052－1－20052=-1．分析：利用平方差公式进行简便运算．三、解答题21．运用平方差公式计算：（1）)4)(4(-+ab ab ；答案：2216a b -解答：解：2222(4)(4)()416ab ab ab a b +-=-=-（2）)14)(14(---a a ；答案：2116a -解答：222(41)(41)(1)(4)116a a a a ---=--=-（3）)4)(2)(2(422++-n n n y y y ；答案：816n y -解答：解：224448(2)(2)(4)(4)(4)16n n n n n n y y y y y y -++=-+=-（4）)12()12)(12)(12(42++++n．答案：解： 2424224224442(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)21n n n n n n n n ++++=-++++=-+++=-+++=-++=-+=- 分析：利用平方差公式计算得出．22．化简：1(2)(2)(8)2a b a b b a b +---． 答案：解答：解：)8(21)2)(2(b a b b a b a ---+2224214b ab b a +--=ab a 212-= 分析：利用平方差公式和整式乘法运算法则计算．23．两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数..答案：解：设这个两个数的十位上的数字是x,则这两个两位数是(10x+6)和(10x+4),由题意得：(10x+6)2-(10x+4)2=220解这个方程得：x=5答：这两个两位数分别是：56和54.分析：根据题意列出方程，利用平方差公式将方程化为一元一次方程，解出既得．24．先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．答案：解：原式2242a a a =--+ 24a =-．当1a =-时，原式2(1)4=⨯--=-6分析：先利用平方差公式和整式乘法法则化简，再代入求值．25．观察：32-12=8;52-32=16;52-32=16;72-52=24;92-72=32.……（1）根据上述规律，填空：132-112=,192-172= .答案：48 72解答：解：132-112=（13+11）（13-11）=24×2=48192-172=（19+17）（19-17）=36×2=72 （2）你能用含n 的等式表示这一规律吗？你能说明它的正确性吗？答案：解：（2n+1）2-（2n-1）2=8n ．证明：∵（2n+1）2-（2n-1）2=4n 2+4n+1-4n 2+4n-1=8n答：两个连续奇数的平方差是8的整数倍分析：先利用平方差公式将式子展开，再合并同类项即可．。