2-2复合函数的微商与反函数的微商

1 = = (loga y)′
x
1
1 yln a
= yln a
′ = ex 特别当 a = e 时, ( e )
小结: 小结
( arcsin x)′ = ( arctan x)′ =
(a )′ = a ln a
x x
( arccos x)′ = ( arccot x)′ =
′ = ex (e )
x
例 8 证明
例 11 设 求 解 两边取绝对值然后取对数 , 得
两边对 求导数,得 1 y′ y
y′
注:取对数好处就是将乘法运算化为加法运算.
�
1 = x α = α xα1. x
α
α
基本求导法则与导数公式
1. 常数和基本初等函数的导数
(C)′ = 0 (sin x)′ = cos x (tanx)′ = sec2 x
′ = ax ln a (a )
x
(x )′ = x (cos x)′ = sin x (cot x)′ = csc2 x
(Cu)′ = Cu′ ( C为常数 ) u ′ u′v uv′ (v ≠ 0) ( )= 2 v v
说明: 说明 最基本的公式 (C)′ = 0
3. 复合函数求导法则
y = f (u) , u = (x)
dy dy du = = f ′(u) ′(x) dx du dx
4. 若初等函数在其定义域 内可导,则其导函数仍为 内可导 则其导函数仍为 初等函数
其中
z = g( y0 + y) g( y0 ) = g( f (x0 + x)) g( f (x0 )).
z f (x0 + x)) f (x0 ) lim = lim [g′( y0 ) x→0 x x→0 x f (x0 + x)) f (x0 ) +η(y) ] = g′( y0 ) f ′(x0 ). x
说明: 说明:在上述证明过程中 (1) 将 限 程 x →0能 成 y →0.这 要 定 条 , 极 过 换 需 一 的 件 即 x →0 时 有 y →0.因为 f (x)在 0点可 ,则 (x)在 0 当 应 x 导 f x 必 续 所以有 连 ,
y = f (x0 + x) f (x0 ) →0(x →0).
dx
x= x0
或写作
dz dz = dx x= x0 dy
dy , dx x= x0 y = y0
x0 ∈(a, b)及 自变 x的 量 一个 增量 x ≠ 0, 要求 z = g( f (x))在 0点的 x 导数, 实际上就是要求极限
证
g( f (x0 + x)) g( f (x0 )) z lim = lim . x→0 x x→0 x 令 0 = f (x0 ), y = f (x0 + x) f (x0 ), 则f (x0 + x) = y0 + y, y
例9
为任意实数, 设 α 为任意实数,则有
证
(x )′ = α x (x > 0). α 故其导数为0,等于上式右端 等于上式右端. 当 α = 0时, ≡ 1,故其导数为 等于上式右端 x
α
α 1
设 α ≠ 0,,则有
x =e
α
α lnx
,
故有复合函数微商公式有
(x )′ = (eα lnx )′= eα lnx (α ln x)′
例 3 求 (x2 + 3x3 )5的导数. 解
[(x2 + 3x3 )5 ]′ = 5(x2 + 3x3 )4 (x2 + 3x3 )′ 2 3 4 (2x + 9x2 ). = 5(x + 3x )
例 3 求 cos 2x tan x 的导数.
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2
(cos 2x tan x2 )′ 解 = (cos 2x)′ tan x2 + cos 2x (tan x2 )′ = 2 sin 2x tan x2 + 2x cos 2x sec x2.
这两个记号含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
练习: 练习 设 y = f ( f ( f (x))) , 其中f (x)可导, 求y′.
例6 设 解
求
关键: 搞清复合函数结构 关键 由外向内逐层求导 思考
定理2 定理
且其值域为( A, B ) ,又设其反函数x=g ( y ) 在
设y = f ( x ) 在 ( a, b )内连续且严格单调
2-2 复合函数的微商与反函数的微商 定理1. 设y = f ( x ) 在( a, b ) 上有定义,若其值域包含在 定理
( A, B ) 之中,又设z=g ( y ) 在( A, B ) 上有定义,若 y = f ( x ) 在一点x0 ∈ ( a, b ) 处可导, 且z=g ( y ) 在相应的点 y0 = f ( x0 ) 处可导, 则复合函数g ( f ( x ) ) 在x0处可导, 且有 dg ( f ( x ) ) = g′ ( y0 ) f ′ ( x0 ) ,
补 定 η(0) = 0,则 式 仅 y ≠ 0时 立而 对 y = 0 充 义 上 不 对 成 ,且 于
时也成立这样,不 y = f (x0 + x) f (x0 )是 . 论 否等于零 ,当
x ≠ 0时我们总有
z f (x0 + x)) f (x0 ) f (x0 + x)) f (x0 ) +η(y) , = g′( y0 ) x x x
于是上式化成 z g( y0 + y) g( y0 ) y g( y0 + y) g( y0 ) lim = lim = lim x→0 x→0 x x→0 y x x
g( y0 + y) g( y0 ) f (x0 + x) f (x0 ) = lim [ ] y→0 x y g( y0 + y) g( y0 ) f (x0 + x) f (x0 ) = lim lim y→0 x→0 y x = g′( y0 ) f ′(x0 ).
( A, B )内y0处有导数且不为零,则 y = f ( x ) 在对应点x0 =g ( y0 ) 处有导数,且
1 f ′ ( x0 ) = g′ ( y0 ) 或 f ′ ( x0 ) = 1
g′ ( f ( x0 ) )
证
.
证
令 y = f (x0 + x) f (x0 ), 由函数的 y 单调性知, ≠ 0.
证
1 (ln | x |)′ = , (x ≠ 0) x y 的反函数, 当 x > 0 时, = lnx (x > 0)是 x = ey 的反函数,
那么根据定理2有 那么根据定理 有
1 1 1 (ln x)′ = y = lnx = (x > 0). e e x 当 x < 0 时,令 t = x, 则 t > 0 且 ln | x |= lnt 则 d d dt 1 1 (ln | x |) = (ln t) = (1) = (x < 0). dx dt dx t x
g( y0 + y) g( y0 ) lim [ g′( y0 )] = 0. 即 y→0 y g( y0 + y) g( y0 ) 令 η(y) = g′( y0 ) (y ≠ 0), y 那 lim η(y) = 0,且 么 y→0 g( y0 + y) g( y0 ) = g′( y0 )y +η(y)y (y ≠ 0).
例4 设 解
1 x + x +1
2
( 1+
2x 2 x2 +1
1
)
=
1 x2 +1
例5 设 解
求
1 = (sin(ex )) ex cos(ex )
= e tan(e )
x x
思考: 若 思考
存在 , 如何求 f (lncos(ex )) 的导数?
df = f ′( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex ))′ = dx
等 0 (2) 用 y作 母 这 求y = f (x0 + x) f (x0 )不 于 . 分 , 要 然而,在x →0的过程中,y有可能为 , 这时用y去除z 0
就变得没有意义这是上述推导过程中的一个重要漏洞为了 . . 弥补这个漏洞,我们采 取下述证明方法,其中避免了用y 去除z的步骤 .
因 ( y)在 0处 导 ,故 g y 有 数 g( y0 + y) g( y0 ) lim = g′( y0 ), y→0 y
(sin x)′ = cos x
(ln x)′ =
1 x
由定义证 , 其它公式 用求导法则推出.
对数求导法 例 10 求 解 的导数 . 利用复合函数求导法则,得
补例 求 解 两边取对数 , 得
的导数 .
两边对 x 求导
∴
1 ′ = cos x ln x + sin x y y x sin x sin x y′ = x (cos x ln x + ) x
x = g( y0 + y) g( y0 ), 由g( y0 )存在 再 并不等 0, 于 立即推出 y 1 1 f ′(x) = lim = lim = lim
x→0
x
y→0
x y
g( y0 + y) g( y0 ) y 1 = . g′( y0 )
y→0
例
求反三角函数及指数函数的导数. 则
1
′ = ex (e )
x
1 (loga x)′ = xln a 1
(arcsinx)′ =
1 (ln x )′ = x
2
x≠0
1
1 x 1 (arctanx)′ = 1+ x2
(arccosx)′ =
1 x2 1 (arccot x)′ = 1+ x2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + uv′
推广:此法则可推广到多个中间变量的情形. 推广 例如,
y
dy dy d u dv = dx d u dv dx
u v x
= f ′(u) ′(v) ψ′(x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
dz . 例 1 已知 z = sin 2x, 求 dx 解 令 y = 2x, 则 z = sin y. dz dz dy = = (sin y)′ (2x)′= cos y 2= 2cos 2x. dx dy dx dz x2 . 例 2 已知 z = e ,求 dx 解 引入中间变量 y = x2 , 则 z = ey . dz dz dy y = = e 2x = 2xex2 . dx dy dx
解: 1) 设
∴ cos y > 0 , 则
y ∈( , ) , 2 2
1 1 sin2 y
π π
1 = = (sin y)′ cos y
利用 π arccos x = arcsin x 2 类似可求得
y = ax (a > 0 , a ≠ 1) , 则 x = loga y , y ∈( 0 , + ∞) 2) 设
可导,则对于任意一点 x ∈ ( a , b ) ,有 dg ( f ( x ) ) dx 或
dz ∴ |x=x0 = g′( y0 ) f ′(x0 ). dx 如果 y = f ( x ) 及z=g ( y ) 在各自的定义域内
= g′ ( f ( x ) ) f ′ ( x ) ,
dz dz dy dz = dz dy , = , dx dy dx dx dy dx