2016年高考数学二轮复习专题十二推理与证明、算法初步考题溯源教材变式理

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【福建省】2016届高考数学(理科)-数列、不等式、算法初步及推理与证明-专题练习-答案

11．证明：（Ⅰ）当1n =时，211=左边=，01(11)(1)12⨯+-⨯=右边=，左边=右边，等式成立．（Ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，等式成立即22221212(1)1234...(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k --+-+-++-=-+-+．则当1n k =+时，222212212(1)1234...(1)(1)(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k k k --+-+-++-+-+=-+-+ 2(1)[(1)1]()(1)[(1)](1)22kk k k k k k +++=-++-=- ∴当1n k =+时，等式也成立根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对于任何*n ∈N 等式均成立．12．解：（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，又1221a ==⨯，∴2n a n =由21log 02n n b a +=得1()2n n b =（Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==01221111111()2()3()...(1)()()22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯（1）121111111()2()...(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯（2）(1)(2)-得12111()11111121()()...()()()122222212nn n n n T n n --=++++-⨯=-⨯- ∴114()(2)2n n T n -=-+．13．解：（Ⅰ）当12a =时，有不等式23()102f x x x =-+≤，∴1()(2)02x x --≤，∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤；（Ⅱ）∵1(1)(1)a a a a a+--=且0a >∴当01a <<时，有1a a >；当1a >时，有1a a <；当1=a 时，1a a=；（Ⅲ）∵不等式1()()()0f x x x a a=--≤当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤；当1>a 时，有1a a <，∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤；当1a =时，不等式的解集为{1}x ∈．福建省2016届高考数学（理科）-专题练习数列、不等式、算法初步及推理与证明解析一、选择题．1．【解析】由等差数列的性质可得4681012240a a a a a ++++=，解得848a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，()911888112332333a a a d a d a -=+-+==，故选C ．2．【解析】因为21102,4,n n a a a n +=-=所以214a a -=，解得198a =，由累加方法求得数列22298n a n n =-+，所以222989822226n a n n n n n n -+==+-≥=，而982n n =解得249n =，当n=7时，na n 由最小值263．【解析】∵4a 与14a 的等比中项为，∴8=，∴711288a a a +≥=，∴7112a a +的最小值为8．4．【解析】依题约束条件表示的平面区域如下图目标函数22x y +表示可行域内任一点(),A x y 到原点O 距离的平方，由图可知当OA 垂直于直线l ：30x y +-=时，目标函数有最小值，又点O 与直线l=，所以目标函数的最小值为92，故选（B ）OxyA11 -133 l5．【解析】由题可知，第一步，359,11≠==S k S ，，进入循环，第二步，358,20≠==S k S ，，进入循环，第三步，357,28≠==S k S ，，进入循环，第四步，356,35===S k S ，，循环结束，综上分析可得，判断框中应填入6>k ； 6．因为)2(log 1+=+n a n n ，所以()()()1232lg 2lg 3lg 4lg 5....log 2lg 2lg 3lg 4lg 1k k a a a a k k +==++，又因为123..k a a a a 为整数，所以k+2必须是2的n 次幂，即22nk =-，又[]1,2011k ∈，所以1222011n≤-≤，所以解得210n ≤≤，则在区间[]2011,1内所有的“期盼数”的和为：()()()()21123410222222222229202612--+-+-+-=-⨯=- ，故选择D 二、填空题．7．【解析】由已知，111411,4(),2(1)(2)12n n n n a a a n n n n ++===-++++所以，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111124[()()...()]4()233412222nn n n n -+-++-=-=++++． 8．【解析】因为(0,1)a b ∈、且,a b ≠根据基本不等式ab b a 222≥+，又ab ab >，有ab b a 222>+，又因为22,b b a a >>，所以22b a b a +>+，所以a b +最大．9．【解析】由于m m y x x y 2822+>+恒成立，需m m y x x y 2822m i n+>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由基本不等式得882282≥⋅≥+yxx y y x x y ，因此m m 282+>，∴24<<-m ．10. 【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列，，和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列，，，和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列，，，，……依此类推；由于9(19)129452⨯++++==，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对(5,6)；故答案为：．三、解答题．(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1))6,5(11．【解析】由归纳推理不难写出第个等式．用数学归纳法证明：分两步进行，第一步验证时等式成立，第二步假设时，等式成立，证明当时等仍然成立即可．第个等式为：＝()n n *∈N 1n =(*)n k k =∈N 1n k =+n 2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+。

2016届高考数学理命题猜想专题04算法、推理证明、排列、组合与二项式定理(解析版)

命题猜想四算法、推理证明、排列、组合与二项式定理【考向解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.【命题热点突破一】程序框图(1)（2015·全国卷Ⅰ）执行图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)执行如图所示的程序框图，其输出结果是( )A ．－54 B.12 C.54 D ．－12【答案】（1）C（2）A【解析】【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用．【变式探究】某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的S的值为72，则判断框内填入的条件可以是()A．n≤8? B．n≤9? C．n≤10? D．n≤11?【答案】A【解析】【命题热点突破二】合情推理与演绎推理例2、(1)（2015·山东卷）观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－1＝________．2n－1(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y－3)＝0，化简得x－2y＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n－1（2）x－2y＋3z－6＝0【解析】（1）归纳可知，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－1＝4n－1.2n－1（2）类比直线方程的求解方法，可得平面的方程为（－1）×（x－1）＋2×（y－2）＋（－3）×（z－3）＝0，即x－2y＋3z－6＝0.【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos nπ2n ＋1＝12n （n ∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n ＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n 的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos nπ2n ＋1＝12n （n ∈N *）.【命题热点突破三】排列与组合例3、四名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种【答案】D【解析】每家企业至少录用一名大学生的情况有两类：一类是每家企业均只录用一名大学生，有C 34A 33＝24（种）；一类是其中有一家企业录用两名大学生，有C 24A 33＝36（种）.所以一共有24＋36＝60（种）情况.【感悟提升】解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法．直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解，间接法是从问题的对立面求解．不论是直接法还是间接法，都要遵循“特殊元素、特殊位置优先考虑”的原则．注意几种典型的排列组合问题：相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等．【变式探究】已知直线x a ＋y b ＝1(a ，b 是非零常数)与圆x 2＋y 2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条.【答案】60 【解析】【命题热点突破四】二项式定理例4、(1)（2015·天津卷）在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的二项式系数之和为64，则其常数项为( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20【答案】（1）1516 （2）C【解析】【感悟提升】(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2) 二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．【变式探究】（2015·全国卷Ⅱ）(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．【答案】3【解析】（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a，第二个因式取C14x及C34x3；另一部分来自第一个因式取x，第二个因式取C04x0，C24x2及C44x4.所以系数之和为aC14＋aC34＋C04＋C24＋C44＝8a＋8＝32，所以a＝3.【高考真题解读】1．(2015·重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)【答案】 B【解析】2．(2015·福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1【答案】 C【解析】当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S ＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.3．(2015·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524【答案】 C【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此s ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填s ≤1112，选C.4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】 B 【解析】5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【答案】 116【解析】6．(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．【答案】 1 560【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言．7．(2015·北京，9)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．【答案】 40【解析】展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r ，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40. 8．(2015·天津，12)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．【答案】 1516【解析】 ⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－14x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ；当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 9．(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个【答案】 B【解析】10. (2015·陕西，4)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n （n －1）2＝15，解得n ＝6.。

2016届高考数学理命题猜想专题04算法、推理证明、排列、组合与二项式定理(原卷版)

命题猜想四算法、推理证明、排列、组合与二项式定理【考向解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.【命题热点突破一】程序框图(1)（2015·全国卷Ⅰ）执行图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)执行如图所示的程序框图，其输出结果是( )A ．－54 B.12 C.54 D ．－12【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用．【变式探究】某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的S的值为72，则判断框内填入的条件可以是()A．n≤8? B．n≤9? C．n≤10? D．n≤11?【命题热点突破二】合情推理与演绎推理例2、(1)（2015·山东卷）观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，＝________．C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【命题热点突破三】排列与组合例3、四名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种【感悟提升】解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法．直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解，间接法是从问题的对立面求解．不论是直接法还是间接法，都要遵循“特殊元素、特殊位置优先考虑”的原则．注意几种典型的排列组合问题：相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等．【变式探究】已知直线x a ＋y b ＝1(a ，b 是非零常数)与圆x 2＋y 2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条.【命题热点突破四】二项式定理例4、(1)（2015·天津卷）在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的二项式系数之和为64，则其常数项为( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20【感悟提升】(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2) 二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．【变式探究】（2015·全国卷Ⅱ）(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．【高考真题解读】1．(2015·重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)2．(2015·福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()A．2 B．1 C．0 D．－13．(2015·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.6．(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．7．(2015·北京，9)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．8．(2015·天津，12)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 9．(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个10. (2015·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．4 B．5 C．6 D．7。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

2016届高考数学理专题复习导练测第12章推理证明、算法、复数阶段测试(17)(新人教A版)

2016高考数学专题复习导练测第十二章推理证明、算法、复数阶段测试（十七）理新人教A 版 (范围：§12.4～§12.6)一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.13 D.23答案 C解析设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，则成功率为2p .由p ＋2p ＝1得p ＝13，故应选C.2．设随机变量X 的分布列如下若E (X )＝158，则y 等于( )A.38B.18C.12D.5564 答案 A解析 ∵E (X )＝158，∴由随机变量X 的分布列，知：⎩⎪⎨⎪⎧0.5＋x ＋y ＝1，1×0.5＋2x ＋3y ＝158，解得x ＝18，y ＝38.3．已知ξ的分布列为且设η＝2ξ＋1，则η的均值是( ) A.23 B ．－16 C ．1 D.2936 答案 A解析由ξ的分布列知：E (ξ)＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，∵η＝2ξ＋1，∴E (η)＝2E (ξ)＋1＝2×(－16)＋1＝23.∴η的均值是23.4．已知随机变量ξ～N (0，a 2)，且P (ξ>1)＝ P (ξ<a －3)，则a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．1 答案 A解析由题意，∵ξ～N (0，a 2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0. ∵P (ξ>1)＝P (ξ<a －3)， ∴a －3＋1＝0，∴a ＝2.5．甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的概率为( )A.3714B.3544C.2544D.544 答案 B解析甲袋中的白球没有减少的两种情形：一是从甲袋中取出的球为黑球，记作事件A ，另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，并由乙袋取白球放入甲袋，记作事件B ，依题意得P (A )＝58，P (B )＝38×511，所以概率P ＝P (A )＋P (B )＝3544.二、填空题6．将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，B 为“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )＝________，P (B |A )＝________. 答案6091 12解析 P (A )＝6×5×46×6×6＝59，P (B )＝1－5×5×56×6×6＝91216，P (AB )＝5×4×36×6×6＝60216，P (A |B )＝P ABP B ＝6021691216＝6091，P (B |A )＝P ABP A ＝6021659＝12.7．若随机变量X 服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D (X )＝________. 答案 0.21解析 ∵X 服从两点分布，且成功的概率为0.7， ∴D (X )＝0.7×(1－0.7)＝0.21.8．随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ<0)＝0.3，则P (0≤ξ≤1)＝________. 答案 0.2解析随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)， ∴曲线关于x ＝1对称，∵P (ξ<0)＝0.3，∴P (0≤ξ≤1)＝0.5－0.3＝0.2. 三、解答题9．(2014·江苏)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P .(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数．求X 的分布列和均值E (X )．解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的分布列如下表：因此随机变量X 的均值E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209. 10．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？(3)设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的均值E (ξ)．(结果可以用分数表示)解 (1)记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.答甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927.(2)记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，故P (A 2)＝14×34×14×14＋34×34×14×14＝364.答乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是364.(3)方法一根据题意ξ服从二项分布，E (ξ)＝3×23＝2.方法二 P (ξ＝0)＝C 03·(13)3＝127，P (ξ＝1)＝C 13·(23)·(13)2＝627， P (ξ＝2)＝C 23·(23)2·(13)1＝1227， P (ξ＝3)＝C 33·(23)3·(13)0＝827，所以ξ的分布列如下表：∴E(ξ)＝0×127＋1×627＋2×27＋3×27＝2.。

2016年高考数学(文)二轮复习精品资料(新课标版)专题8 算法、推理与证明、复数计(测试卷)含解析

【高效整合篇】（一）选择题(12＊5=60分）1. 【2016届学年江西省新余一中等校高三联考】已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20151a i i++的值为（ )A ．1B ．—1C ．iD ．i - 【答案】D【解析】根据题意可求得1a =,所以20151a i i ++11ii i-==-+，故选D ．2。

【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数，若2)1(=-z i ，则z 为（） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +2 D ．i -2 【答案】B 【解析】∵22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+,∴1z i =-． 3。

【2015届湖北省武汉华中师大附中高三5月】设a 是实数,且211ii a +++是实数,则=a ( ）A ．1B ．21C ．23D ．2【答案】A【解析】211i i a +++(1)1111(1)(1)22222a i i a ai i a a i i i -+-++-=+=+=++-,则题意102a-=，1a =，选A ．４．【2015届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】已知z 是复数z 的共轭复数，0z z z z ++⋅=，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是（ )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A５．【2015届北京市石景山区高三3月统一测试（一模）】有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手,甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”,丁说：“是乙获奖了"。

四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是．【答案】丙６．【2016届重庆市巴蜀中学高三10月月考】下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提:π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提:无限不循环小数是无理数;小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提:π是无限不循环小数；小前提:无限不循环小数是无理数;结论：π是无理数D．大前提:π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【答案】B【解析】对于A,小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确;对于C和D，均为大前提错误；故选B．７．【2014届辽宁省实验中学高考前最后模拟】如图所示,程序框图的输出值S=（）A．55B．55-C．25D．45【答案】B【解析】根据题中所给的程序框图，可知222222S=+-+-++-(12310)5501234910=-++++=-，故选B８．【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为10，则输出的=x．【答案】4．９．【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】在如图所示的程序框图中，如果任意输入的t ∈,那么输出的s 取值范围是（ )A ．B ．C ．D ．（-6，6］【答案】C【解析】由程序框图可知：25,024,0t t S t t t <⎧=⎨-≥⎩，∴当[2,0)t ∈-时，1050t -≤<;当[0,3]t ∈时，22242(1)2[2,6]tt t -=--∈-，∴综上得：106S -≤≤．10．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)ia i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)ih i =，若31241234a aa a k ====，则12342234Sh hh h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)iSi =,此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =,若31241234S S S S K ====,则1234234H H H H +++等于（）A ．2V KB ．3V KC ．2V KD ．3V K【答案】B【解析】根据三棱锥的体积公式13V SH =，112233,3V S HS H S H ∴=++,因为31241234S S S S K ==== ∴1234234HH H H +++=3VK，故选B ．11．【2016届黑龙江省大庆实验中学高三上期末】在下侧的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的是（）A ．2014xx exe + B ．2012xx exe +C ．2013xx exe + D ．2013xex +【答案】C12．【2015高考湖北】已知集合22{(,)1,,}A x y xy x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】因为集合22{(,)1,,}A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素(即9个点）,即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个。

2016届高考数学(理)二轮：第一部分专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计1-6-1

x 2－1>3 [解析] 执行该程序可知 1x －1－2≤3 22 即 8<x≤22，∴输入 x 的最大值是 22.
[答案] 22
x>8 ，解得 x≤22
，
考向二复数运算的技巧
复数的概念与运算
复数代数形式的运算类似于多项式的运算，加法类似于合并同类项，乘法类似于多项式乘多项式，除法类似于分母有理化(实数化)，分子、分母同乘分母的共轭复数．
[答案] (1)C (2)B
[ 探究追问 ]
iπ 例 1(1) 中的“S ＝ S ＋ cos 2 ”改为“S ＝ S ＋
1 ”，其他不变，结果如何？ ii＋1
1 [解析] 通过归纳可知该框图的功能是求数列 an＝前 nn＋1 1 1 1 1 1 1 5 项的和，故输出 S＝＋＋„＋＝1－2＋2－3＋„ 1×2 2×3 5×6 1 1 1 5 ＋5－6＝1－6＝6.
(2)第一次执行，输入 a＝14，b＝8，因为 a<b，所以 b＝18 －14＝4；第二次执行，因为 a＝14，b＝4，a>b，所以 a＝14－4 ＝10；第三次执行，因为 a＝10，b＝4，a>b，所以 a＝10－4＝6；第四次执行，因为 a＝6，b＝4，a>b，所以 a＝6－4＝2；第五次执行，因为 a＝2，b＝4，a<b，所以 b＝4－2＝2，此时 a＝b＝2. 故选 B.
[解析]
[答案]
B．2－i D．－1＋2i
1－3i 1－3i1－i ＝＝－1－2i，故选 C. 2 1＋i
C
1－i 2． (2015· 长春质量监测二)复数的共轭复数对应的点位于 2－i ( ) A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

高考数学二轮复习专题十二推理与证明、算法初步专题强化训练理

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题十二推理与证明、算法初步专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)一、选择题1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C.法一：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，得ab ＝－1，代入三个等式中均符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123，故选C.法二：令a n ＝a n ＋b n，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123，故选C.2．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 016的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125解析：选C.55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5，6，7，8)的后四位数字相同，又2 016＝4×502＋8，所以52 016与58后四位数字相同为0 625，故选C.3．设f (x )＝12x ＋2，利用推导等差数列前n 项和的方法——倒序相加法，得到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为( )A ．3 2B ． 2C ．3 3D ．2 3解析：选A.f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12.设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，又S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝12[f (－5)＋f (6)]＝122，∴S ＝3 2.4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]解析：选B.本题易被题干误导而错选A ，分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k ＋1)2＋k 2.5．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的最大值为( )A ．8B ．9C ．16D ．25 解析：选C.∵a ，b ∈(0，＋∞)且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b)＝10＋(b a ＋9ab)≥10＋29＝16，要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，故μ的最大值为16.6．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为－25时，输出x 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．9解析：选C.执行程序框图，x ＝－25，|x |＝|－25|>1，x ＝|－25|－1＝4，|4|>1， x ＝|4|－1＝1，1>1不成立， ∴x ＝2×1＋1＝3.故选C.7．如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数解析：选C.由于x ＝a k ，且x >A 时，将x 值赋给A ，因此最后输出的A 值是a 1，a 2，…，a N 中最大的数；由于x ＝a k ，且x <B 时，将x 值赋给B ，因此最后输出的B 值是a 1，a 2，…，a N 中最小的数．8．执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为3，则输出的i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.第1次循环，得M ＝100＋3＝103，N ＝1×3＝3，i ＝2；第2次循环，得M ＝103＋3＝106，N ＝3×3＝9，i ＝3；第3次循环，得M ＝106＋3＝109，N ＝9×3＝27，i ＝4；第4次循环，得M ＝109＋3＝112，N ＝27×3＝81，i ＝5；第5次循环，得M ＝112＋3＝115，N ＝81×3＝243，i ＝6，此时M <N ，退出循环，输出的i 的值为6，故选C. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的a ＝( )A ．20B ．14C ．10D ．7解析：选C.依次执行程序框图中的语句，可得：①a ＝10，i ＝1；②a ＝5，i ＝2；③a ＝14，i ＝3；④a ＝7；i ＝4；⑤a ＝20，i ＝5；⑥a ＝10，i ＝6，∵当i ＝2 016时，跳出循环，而2 016＝1＋5×403， ∴输出的a ＝10.10．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B ．11＋x ≤1－12x ＋14x 2C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 2解析：选C.对于A ，分别画出y ＝e x ，y ＝1＋x ＋x 2在[0，＋∞)上的大致图象(如图)，知e x ≤1＋x ＋x 2不恒成立，A 错；对于B ，令f (x )＝1＋x (1－12x ＋14x 2)．f ′(x )＝121＋x (1－12x ＋14x 2)＋1＋x ·(－12＋12x )＝x （5x －2）81＋x .∴x ∈[0，25]，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(25，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )为增函数．∴f (x )最小值为f (25)，f (25)＝1＋25×[ 1－12×25＋14 ×(25)2] ＝75×2125＝ 3 0873 125<1，B 错；对于C ，结合图象(如图)知正确；对于D ，当x ＝4时，ln 5<ln e 2＝2＝4－18×42，D 错．故选C.二、填空题11．观察下列式子：1，1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推出一个一般性结论：对于n ∈N *，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________．解析：∵1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 212．已知1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，由以上不等式推测得到一个一般结论：对于n ≥2，n ∈N *，1＋122＋132＋ (1)2<________．解析：根据已知的三个不等式，推理得出1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.答案：2n －1n13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．解析：由程序框图可知，当T ＝1，i ＝1时，T ＝T i＝1，i ＝2，不满足i >5；T ＝T i ＝12，i ＝3，不满足i >5； T ＝T i ＝16，i ＝4，不满足i >5； T ＝T i ＝124，i ＝5，不满足i >5； T ＝T i ＝1120，i ＝6，满足i >5. 输出T ＝1120.答案：112014．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．解析：当i ＝2，k ＝1时，s ＝1×(1×2)＝2；当i ＝4，k ＝2时，s ＝12×(2×4)＝4；当i ＝6，k ＝3时，s ＝13×(4×6)＝8；当i ＝8时，i <n 不成立，输出s ＝8. 答案：8 三、解答题15．设n ≥2，n ∈N *，求证：n 2<1＋12＋13＋…＋12n －2＋12n －1<n .证明：记S n ＝1＋12＋13＋…＋12n －2＋12n －1，原题就是要证明n 2<S n <n (n ∈N *，n ≥2)．(1)当n ＝2时，22<1＋12＋13<2，显然成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时不等式成立，即k2<S k <k ，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<S k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋12k ＋ (12)＝S k ＋2k·12k ＝S k ＋1<k ＋1；S k ＋1>S k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝S k ＋2k·12k ＋1＝S k ＋12>k 2＋12＝k ＋12.所以k ＋12<S k ＋1<k ＋1，即n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)、(2)可知，对任意n ∈N *，n ≥2，不等式成立．16．数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c ＜0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解：(1)证明：先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1可得c <0.(2)①假设{x n }是递增数列．由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1.由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，② 由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c .由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③ 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1， x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n的性质，得2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.②若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(ⅰ)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．(ⅱ)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时结论成立，即x k <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由①②知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是(0，14)]．。

2016届高考数学理专题复习导练测第12章推理证明、算法、复数章末检测(新人教A版)

2016高考数学专题复习导练测第十二章推理证明、算法、复数章末检测理新人教A版(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2011·浙江)把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·z等于( )A．3－i B．3＋iC．1＋3i D．32．(2010·湖北)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是( )A．E B．F C．G D．H3．(2011·济南模拟)已知复数z1＝cos α＋isin α和复数z2＝cos β＋isin β，则复数z1·z2的实部是( )A．sin(α－β) B．sin(α＋β)C．cos(α－β) D．cos(α＋β)4．(2011·惠州调研)在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )A．(0,3) B．(－∞，－2)C．(－2,0) D．(3,4)5．(2011·陕西)下图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )A．11 B．10C．8 D．76.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是( )A．i>5? B．i>6?C．i>7? D．i>8?7．(2010·青岛一模)若下面的程序框图输出的S是126，则①应为( )A．n≤5? B．n≤6? C．n≤7? D．n≤8?8．(2011·东北三校联考)某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50 kg按0.53元/kg收费，超过50 kg的部分按0.85元/kg收费．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )A．y＝0.85xB．y＝50×0.53＋(x－50)×0.85C．y＝0.53xD．y＝50×0.53＋0.85x9．如图所示的是一个算法的程序框图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是( )A ．9B ．10C ．11D ．1210．(2010·滨州一模)执行如图所示的程序框图，输出的A 为( ) A ．2 047 B ．2 049 C ．1 023 D ．1 025第10题图第11题图 11．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )A ．求数列{1n}的前10项和(n ∈N *)B ．求数列{12n }的前10项和(n ∈N *)C ．求数列{1n}的前11项和(n ∈N *)D ．求数列{12n}的前11项和(n ∈N *)12．(2011·广州模拟)某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2011·茂名模拟)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi 1i ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ＝_______________________________________________________________.14．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.15．(2011·江苏盐城中学月考)已知实数m ，n 满足m1＋i＝1－n i(其中i 是虚数单位)，则双曲线mx 2－ny 2＝1的离心率为________．16．(2009·安徽)程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)计算：(1)3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ；(2)－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 010.18．(12分)设存在复数z 同时满足下列条件： (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )，求a 的取值范围．19．(12分)画出求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值的程序框图．20．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边长，z 1＝a ＋b i ，z 2＝cos A ＋icos B ．若复数z 1·z 2在复平面内对应的点在虚轴上，试判断△ABC 的形状．21．(12分)给出30个数：1,2,4,7,11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依次类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图如图所示．(1)请在图中判断框内①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；(2)根据程序框图写出程序．22．(12分)(2011·黄山模拟)先阅读程序框图，再解答有关问题：(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？(2)当输入已知量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；②输出S的结果是什么？写出求S的过程．第十二章章末检测1．A [(1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.] 2．D [由图知复数z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝＋－＋－＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H .]3．D [∵z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos α·cos β＋icos αsin β＋isin αcos β＋i 2sin αsin β ＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)，∴实部为cos(α＋β)．]4．D [整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.]5．C [x 1＝6，x 2＝9，|x 1－x 2|＝3<2不成立，即为“否”，所以再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x 3－x 1|<|x 3－x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，即为“是”，此时x 2＝x 3，所以p ＝x 1＋x 32，即6＋x 32＝8.5，解得x 3＝11>7.5，不合题意；当x 3>7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，即为“否”，此时x 1＝x 3，所以p ＝x 3＋x 22，即x 3＋92＝8.5，解得x 3＝8>7.5，符合题意，故选C.]6．A [即1＋1＋2＋…＋i ＝16， ∴i (i ＋1)＝30.∴i ＝5.又i ＝i ＋1＝6，∴应填i >5？.]7．B [即21＋22＋ (2)＝126，∴－2n 1－2＝126.∴2n＝64，即n ＝6.n ＝7应是第一次不满足条件．] 8．B9．C [由程序框图知本算法的功能是求两数a 1，a 2的算术平均数，当a 1＝3时，a 1＋a 22＝7，∴a 2＝11.]10．A [即递推数列 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，n ≥2，n ∈N *，求a 11. ∵a n ＋1＝2a n －1＋2＝2(a n －1＋1) (n ≥2)，∴{a n ＋1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1＋1＝2.∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n.∴a 11＝211－1＝2 047.] 11．B 12.D 13．2＋i解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i 1i ＝z i －i ＝1＋i ，故z ＝1＋2ii ＝2－i. ∴z ＝2＋i.14.14解析方法一由z ＝3＋i －32＝3＋i －2－23i，得z ＝3－i－2＋23i，∴z ·z ＝3＋i －2－23i ·3－i －2＋23i ＝3＋14＋12＝14.方法二 ∵z ＝3＋i －32＝3＋i －2－23i， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12.∴z ·z ＝|z |2＝14.15. 3解析 m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1＋n ，1－n ＝0， ∴n ＝1，m ＝2，从而e ＝ 3. 16．127解析由程序框图知，循环体被执行后a 的值依次为3,7,15,31,63,127.17．解 (1)方法一 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝＋＋－－－－＋＝13i －－13＝2i.(5分)方法二 3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝－2－3i －－＋2＋3i＝i －(－i)＝2i.(5分)(2)原式＝＋231＋23i ＋[(21－i )2]1 005＝i ＋(2－2i )1 005＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.(10分) 18．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由(1)知x <0，y >0，(2分) 又z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )，故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝82x ＝a ，即4(y －1)2＝36－a 2，(6分) ∵y >0，∴4(y －1)2≥0，∴36－a 2≥0，即a 2≤36，－6≤a ≤6，又2x ＝a ，而x <0，∴a <0，故－6≤a <0， ∴a 的取值范围为[－6,0)．(12分)19．解这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法，程序框图如图所示．(12分)20．解由题意知z 1·z 2＝(a ＋b i)·(cos A ＋icos B ) ＝(a cos A －b cos B )＋(a cos B ＋b cos A )i ，(6分)所以a cos A －b cos B ＝0，且a cos B ＋b cos A ≠0，(10分) ∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(12分)21．解 (1)①处应填i ≤30？；②处应填p ＝p ＋i .(8分) (2)根据题中程序框图，可设计程序如下： i ＝1p ＝1s ＝0WHILE i<＝30s ＝s ＋pp ＝p ＋i i ＝i ＋1WEND PRINT s END(12分)22．解 (1)当n ＝1时，a ＝13；当n ＝2时，a ＝115；当n ＝3时，a ＝135.(3分)(2)记输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2)，(5分)所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3·…·15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1，n ＝1，a 1＝13适合上式，∴a n ＝14n 2－1(8分)因为a n ＝14n 2－1＝1n ＋n －＝12(12n －1－12n ＋1)，(10分)所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.(12分)。

2016届高三(新课标版)数学(理)二轮专题复习(讲解练习)：专题二十推理与证明

1．(2015·广东，8，中)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5【答案】 B (排除法)当n ＝4时，4个点可以看作正四面体的4个顶点，显然符合题意．排除A ，C ，D.故选B.2．(2015·山东，11，易)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．【解析】当n ＝1时，C 01＝40＝41－1；当n ＝2时，C 03＋C 13＝41＝42－1；当n ＝3时，C 05＋C 15＋C 25＝42＝43－1； ……∴C 02n －1＋C 12n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1. 【答案】 4n －11．(2014·北京，8，中)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合适”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人【答案】B由已知，各同学之间语文成绩、数学成绩各不相同，当有三名同学时，设三名同学分别为A，B，C，优秀、合格、不合格分别为1，2，3，由于三名同学两科成绩各不相同，设B的语文成绩介于A和C的语文成绩之间，不妨设A<B<C，则数学成绩C<B<A，所以A的成绩为(3，1)，B的成绩为(2，2)，C的成绩为(1，3)．显然，超过四名同学时不符合条件．2．(2012·江西，6，中)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．199【答案】C从给出的式子特点观察推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，得a10＋b10＝123.3．(2014·课标Ⅰ，14，易)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．【解析】由丙可知，乙至少去过一个城市．由甲可知，甲去过A ，C 且比乙多，且乙没有去过C 城市，故乙只去过A 城市．【答案】 A4．(2013·陕西，14，中) 观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为_______________________________________________________．【解析】观察给出的式子可得出如下规律：12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，所以有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2. 【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2思路点拨：本题分析式子的特点归纳出式子，利用等差数列的求和公式进行化简．5．(2012·湖南，16，难)设N ＝2n (n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N依次放入编号为1，2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N 2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N 2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i 段，每段N 2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置；(2)当N ＝2n (n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．【解析】 (1)当N ＝16时，P 0＝x 1x 2x 3x 4x 5x 6…x 16，P 1＝x 1x 3x 5x 7…x 15x 2x 4x 6…x 16，P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15x 2x 6x 10x 14x 4x 8x 12x 16，所以x 7位于P 2中的第6个位置．(2)根据题意可知P 4将这2n 个数分成24段，每段有2n －4个数，每段数下标分别构成公差为16的等差数列．第1段的首项下标为1，其通项公式为16n －15，当16n －15＝173时，n ＝474∉N *；第2段的首项下标为9，其通项公式为16n －7，当16n －7＝173时，n ＝454∉N *；第3段的首项下标为5，其通项公式为16n －11，当16n －11＝173时，n ＝232∉N *；第4段的首项为13，其通项公式为16n －3，当16n －3＝173时，n ＝11∈N *.故x 173位于P 4中的第3×2n －4＋11个位置．【答案】 (1)6 (2)3×2n －4＋11思路点拨：本题结合排列、数列知识，应用归纳推理求解．6．(2012·福建，17，13分，中)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)方法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14·sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.方法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.7．(2014·北京，20，13分，难)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m ＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.考向1 类比推理的应用类比推理的特点类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(1)(2015·陕西西安模拟，13)若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2.类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列________为等比数列，通项为________．(2)(2015·山东烟台模拟，14)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________．【思路导引】解题(1)的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联；解题(2)的关键是熟练掌握类比推理及正四面体的外接球与内切球半径的大小关系．【解析】 (1)因为在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项，且写成了S n n＝a 1＋(n －1)·d 2，所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 方的形式，等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，类比可得：数列{n T n }为等比数列，通项为n T n ＝b 1·(q )n －1.(2)从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，故正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127. 【答案】 (1)n T n n T n ＝b 1·(q )n －1 (2)127类比推理应用的类型及相应方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．(2015·广东中山质检，10)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________．【解析】构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，得a1＋a2＋…＋a n ≤n.【答案】a1＋a2＋…＋a n≤n考向2归纳推理的应用归纳推理的特点(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠．其结论的正确性往往通过演绎推理来证明．(3)它是一种发现一般性规律的重要方法．其思维过程大致如下：实验、观察→概括、推广→猜测、一般性结论(1)(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是______________．(2)(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n＋1）2＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝12n2＋12n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝32n2－12n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【解析】(1)∵5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F，V，E满足等式F＋V－E＝2.(2)已知各式可化为如下形式：N(n，3)＝12n2＋12n＝3－22n2＋4－32n，N(n，4)＝n2＝4－22n2＋4－42n，N(n，5)＝32n2－12n＝5－22n2＋4－52n，N(n，6)＝2n2－n＝6－22n2＋4－62n，由归纳推理可得N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，故N(10，24)＝24－22×102＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.【答案】(1)F＋V－E＝2(2)1 000【点拨】解题(1)的关键是观察出F，V，E的变化规律；解题(2)的关键是通过观察、联想、对比，再进行归纳．常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．(1)(2011·山东，15)设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________． (2)(2015·陕西咸阳质检，14)观察下列特殊的不等式： 52－225－2≥2×72， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125， 910－51095－55≥2×75， ……由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r ≥________．【解析】 (1)由f (x )＝xx ＋2(x >0)得， f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4＝x（22－1）x ＋22，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16＝x（24－1）x ＋24，所以归纳可得，当n ∈N *且n ≥2时， f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n －1）x ＋2n.(2)52－225－2≥2×72＝21×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋222－1，45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋325－2，98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝83×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋228－3，910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5，由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r ≥s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r.【答案】 (1)x（2n －1）x ＋2n(2)s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r考向3 演绎推理的应用演绎推理的理解(1)演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．(2)演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理．(2014·辽宁，21，12分)已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x π.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.【证明】 (1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )(π＋2x )－2x －23cos x <0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．又f (0)＝π－83>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2－163<0，∴存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)考虑函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x －4ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，令t ＝π－x ，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）.由(1)得，当x ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，u ′(t )<0，在(0，x 0)上u (t )是增函数．又u (0)＝0，从而当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2，使u (t 1)＝0，所以存在唯一的t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使u (t 1)＝0，因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，1＋sin x >0，∴g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点， ∴存在唯一的x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0.∵x 1＝π－t 1，t 1>x 0，∴x 0＋x 1<π.【点拨】证明本题的关键是证明所给函数在给定的区间上单调且端点值异号，由零点存在定理这个大前提就可得出．演绎推理的应用方法(1)在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．(2)用三段论证明的基本模式是： ①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．在证明的过程中，往往大前提不写出来．(2014·湖北黄冈调研，20，12分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c .若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：(1)a >0且－2<ba<－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．证明：(1)∵f (0)>0，f (1)>0， ∴c >0，3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0， ∴－2<ba <－1.(2)方法一：∵抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a，3ac －b 23a ， ∵－2<b a <－1，∴13<－b 3a <23. 又∵f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ＝3ac －b23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c 243a <0，∴方程f (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．方法二：∵f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝－14a <0.故抛物线与x 轴的两个交点落在区间(0，1)内，即方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．方法三：∵Δ＝4b 2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c 2>0，∴方程f (x )＝0有两个实根．设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2b 3a >0，x 1x 2＝c3a >0，故两根为正．又∵(x 1－1)＋(x 2－1)＝－2b3a －2<0， (x 1－1)(x 2－1)＝3a ＋2b ＋c3a>0，故两根均小于1，命题得证．1．(2015·河南洛阳模拟，5)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【答案】 C ∵大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.2．(2015·广东珠海模拟，6)在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 013＋a2 014＋a2 015＝()A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009【答案】B由直角坐标系可知A(1，1)，B(－1，2)，C(2，3)，D(－2，4)，E(3，5)，F(－3，6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a2 014＝1 007，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1个奇数和第2个奇数互为相反数，且从－1开始逐渐递减的，则2 014÷4＝503余2，则a2 013＝504，a2 015＝－504，a2 013＋a2 014＋a2 015＝504＋1 007－504＝1 007.3．(2015·陕西西安模拟，7)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r＝()A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【答案】 C 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ， ∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.4．(2014·山西四校期中检测，14)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式： x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4， ……类比得，x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________．【解析】由已知三个式知n ＝1时，a ＝1；n ＝2时，a ＝22＝4；n ＝3时，a ＝33＝27，由此归纳可得a ＝n n .【答案】 n n5．(2015·福建泉州质检，15)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解式中最小的数是73，则m 的值为________．【解析】根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从23起，m 3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m 3的首数为m 2－m ＋1.∵m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73， ∴m 2－m ＋1＝73， ∴m ＝9. 【答案】 96．(2015·江西南昌一模，13)记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ， S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ， S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2， S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ， S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2， ……可以推测，A ＝________．【解析】记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，可得：最高次项为2次，按n 的降幂排列，奇次项系数12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，可得：最高次项为3次，按n 的降幂排列，奇次项系数和13＋16＝12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，可得：最高次项为4次，按n 的降幂排列，奇次项系数12，偶次项系数和14＋14＝12，12＝12，相等；S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，可得：最高次项为5次，按n 的降幂排列，奇次项系数和15＋13－130＝12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，可得：最高次项为6次，按n 的降幂排列，奇次项系数和与偶次项系数和相等，均为12，则有16＋512＋A ＝12，得A ＝－112.【答案】－1127．(2014·山东泰安模拟，15)已知cos π3＝12， cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7·cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________．【解析】 (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cosπ2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10. 【答案】 (1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)108．(2015·湖北宜昌一模，14)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一发现作为条件，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 的对称中心为________；(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 015＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝________.【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋3，f ″(x )＝6x －6，令6x －6＝0，得x ＝1， ∵f (1)＝1，∴f (x )的对称中心为(1，1)． (2)令h (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，k (x )＝1x －12，则h ′(x )＝x 2－x ＋3，h ″(x )＝2x －1，由2x －1＝0，得x ＝12， ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1，∴h (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴h (x )＋h (1－x )＝2. 又∵k (x )＋k (1－x )＝1x －12＋112－x ＝0，x ＝12 015，22 015，…，2 0142 015， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡k ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015＝2×1 007＋0×1 007＝2 014. 【答案】 (1)(1，1) (2)2 014(2015·重庆，22，12分，难)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n ＋λa n ＋1＋μa 2n ＝0(n ∈N ＋)．(1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{a n }的通项公式； (2)若λ＝1k 0(k 0∈N ＋，k 0≥2)，μ＝－1，证明：2＋13k 0＋1＜ak 0＋1＜2＋12k 0＋1. 解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有a n ＋1a n ＝2a 2n (n ∈N ＋)．若存在某个n 0∈N ＋，使得an 0＝0，则由上述递推公式易得an 0－1＝0，重复上述过程可得a 1＝0，这与a 1＝3矛盾，所以对任意n ∈N ＋，a n ≠0.从而a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，即{a n }是一个公比q ＝2的等比数列．故a n ＝a 1q n －1＝3·2n －1.(2)证明：由λ＝1k 0，μ＝－1，数列{a n }的递推关系式变为a n ＋1a n ＋1k 0a n ＋1－a 2n ＝0，变形为a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1k 0＝a 2n (n ∈N ＋)．由上式及a 1＝3＞0，归纳可得 3＝a 1＞a 2＞...＞a n ＞a n ＋1＞ 0因为a n ＋1＝a 2na n ＋1k 0＝a 2n －1k 20＋1k2a n ＋1k＝a n －1k 0＋1k 0·1k 0a n ＋1，所以对n ＝1，2，…，k 0求和得ak 0＋1＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(ak 0＋1－ak 0)＝a 1－k 0·1k 0＋1k 0·⎝ ⎛1k 0a 1＋1＋1k 0a 2＋1⎭⎪⎫＋…＋1k 0ak 0＋1＞2＋1k 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 0＋1＋13k 0＋1＋…＋13k 0＋1k 0个＝2＋13k 0＋1. 另一方面，由上已证的不等式知a 1＞a 2＞…＞ak 0＞ak 0＋1＞2，得 ak 0＋1＝a 1－k 0·1k 0＋1k 0·⎝ ⎛1k 0a 1＋1＋⎭⎪⎫1k 0a 2＋1＋…＋1k 0ak 0＋1＜2＋1k0⎝⎛⎭⎪⎫12k0＋1＋12k0＋1＋…＋12k0＋1k0个＝2＋12k0＋1.综上，2＋13k0＋1＜ak0＋1＜2＋12k0＋1.1．(2014·山东，4，易)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.2．(2012·辽宁，12，难)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()A．e x≤1＋x＋x2 B.11＋x≤1－12x＋14x2C．cos x≥1－12x2D．ln(1＋x)≥x－18x2【答案】C对于A，分别画出y＝e x，y＝1＋x＋x2在[0，＋∞)上的大致图象(如图)，知e x≤1＋x＋x2不恒成立，A错误．对于B ，令f (x )＝ 1＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＋14x 2，f ′(x )＝121＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＋14x 2＋1＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12x ＝x （5x －2）81＋x. ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝1＋25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12×25＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝75×2125＝3 0873 125<1，B 错误．对于C ，结合图象知正确．对于D，当x＝4时，ln 5<ln e2＝2＝4－18×42，D错误．故选C.3．(2014·天津，19，14分，中)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i ＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)·q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0.所以s<t.思路点拨：(1)把n和q的值代入，用列举法表示出集合A；(2)s与t作差，根据a n<b n利用放缩法证明．4．(2012·陕西，18，12分，中)(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：方法一(向量法)：如图(1)，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μ n，图(1)则a·c＝a·(λb＋μ n)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a⊂π，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.方法二(反证法)：如图(2)，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.图(2)因为PO⊥π，a⊂π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO.又c⊂平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．5．(2013·江苏，19，16分，难)设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S n是其前n项的和．记b n＝nS nn2＋c，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k，n∈N*)；(2)若{b n}是等差数列，证明：c＝0.证明：由题意得，S n＝na＋n（n－1）2d.(1)由c＝0，得b n＝S nn＝a＋n－12d.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎨⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0. ①②③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.考向1分析法的应用分析法的定义及框图表示(1)定义：从要求证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫作分析法．分析法是一种“执果索因”的证明方法．(2)框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2013·江苏，21，10分)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.【证明】要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.【点拨】在证明时，无法直接找到思路，可用分析法证明或用分析法找出证明途径，再用综合法证明．利用分析法证明时应注意的问题(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．(2015·四川绵阳质检，18，12分)下列各式：1＋0.12＋0.1>12，0.2＋30.5＋3>0.20.5，2＋73＋7>23，72＋π101＋π>72101. 请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明．解：已知a >b >0，m >0，求证：b ＋m a ＋m >b a. 证明如下：∵a >b >0，m >0，欲证b ＋m a ＋m >b a，只需证a (b ＋m )>b (a ＋m )，只需证am >bm ，只需证a >b ，由已知得a >b 成立，所以b ＋m a ＋m >b a 成立．考向2 综合法与分析法的综合应用1．综合法(1)定义：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论，这种证明方法叫作综合法．综合法是一种“由因导果”的证明方法．(2)框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示条件，Q 表示要证的结论)．2．综合法与分析法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的证明方法．分析法侧重于结论提供的信息，综合法则侧重于条件提供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息，才能找到合理的解题思路．没有分析，就没有综合，分析是综合的基础，它们相辅相成是对立统一的．(2014·江苏，20，16分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．【思路导引】 (1)利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，根据“新定义”证明． (2)求出数列的通项a n ，根据数列为“H 数列”列出关于公差d 和项数n 的等式分析求解．(3)将等差数列的通项a n 分解构造证明．【解析】 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n . 于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数， n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．综合法与分析法应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显．同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题．(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证．(2013·北京，20，13分)给定数列a1，a2，…，a n，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为A i，后n－i 项a i＋1，a i＋2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i－B i.(1)设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，d n－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，d n－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，a n－1是等差数列．解：(1)当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1－B1＝2，同理可求得d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，…，a n是递增数列．因此，对i＝1，2，…，n－1，A i＝a i，B i＝a i＋1.于是对i＝1，2，…，n－1，d i＝A i－B i＝a i－a i＋1＝a1(1－q)q i－1.因此d i≠0且d i＋1d i＝q(i＝1，2，…，n－2)，即d1，d2，…，d n－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2，…，d n－1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i≤B i＋1，d>0，所以A i＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d>B i＋d i＝A i.＋1＝max{A i，a i＋1}，又因为A i＋1＝A i＋1>A i≥a i.所以a i＋1从而a1，a2，…，a n－1是递增数列．因此A i＝a i(i＝1，2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<a n－1.因此a n＝B1.所以B1＝B2＝…＝B n－1＝a n.所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1，2，…，n－2都有a i－a i＝d i＋1－d i＝d，＋1即a1，a2，…，a n－1是等差数列．思路点拨：(1)d1，d2，d3的值可根据所给定义进行求解；(2)需根据题意求出d n的通项后利用定义证明；(3)利用等差数列的定义证明．考向3反证法1．反证法的适用范围(1)否定性命题．(2)结论涉及“至多”“至少”“无限”“唯一”等词语的命题．(3)命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明．(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．2．反证法中可能导出的矛盾(1)与假设矛盾．(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与已知条件自相矛盾．3．使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：(2013·陕西，17，12分)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．【思路导引】 (1)利用等比数列的概念及错位相减法推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．【解析】 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n）1－q ，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1. ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立．(2015·浙江温州质检，19，14分)已知等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d >0.(1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列，求整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列．解：(1)∵a 1＝1，d ＝2，∴a 4＝7，a m ＝2m －1. ∵1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1722＝1（2m －1）2，∴(2m －1)2＝492. ∵a 1>0，d >0，∴m ＝25.(2)证明：假设存在m ∈N *，使1a 2m ，1a 2m ＋1，1a 2m ＋2成等差数列，即2a 2m ＋1＝1a 2m＋1a 2m ＋2，∴2a 2m ＋1＝1（a m ＋1－d ）2＋1（a m ＋1＋d ）2＝2a 2m ＋1＋2d2（a 2m ＋1－d 2）2，化简，得d 2＝3a 2m ＋1，又a 1>0，d ＞0，∴a m ＋1＝a 1＋md >d ，∴3a 2m ＋1>3d 2>d 2，与d 2＝3a 2m ＋1矛盾，因此假设不成立，故原命题得证．1．(2015·山东济南模拟，4)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数【答案】B“至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.2．(2015·广东佛山质检，6)对于正实数α，Mα为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：∀x1，x2∈R且x2>x1，有－α(x2－x1)<f(x2)－f(x1)<α(x2－x1)，下列结论中正确的是()A．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)·g(x)∈Mα1·α2B．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，且g(x)≠0，则f（x）g（x）∈Mα1α2C．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)＋g(x)∈Mα1＋α2D．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，且α1>α2，则f(x)－g(x)∈Mα1－α2【答案】C－α(x2－x1)<f(x2)－f(x1)<α(x2－x1)，即有－α<f（x2）－f（x1）x2－x1<α，令k＝f（x2）－f（x1）x2－x1，则－α<k<α，不妨设f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，即－α1<k f <α1，－α2<k g <α2，因此有－α1－α2<k f ＋k g <α1＋α2，因此有f (x )＋g (x )∈Mα1＋α2.3．(2014·湖北武汉联考，13)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________．【解析】 ①⎭⎬⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β，又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直于α时，则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎬⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时， l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．【答案】 ①③4．(2014·山东潍坊高三期中，13)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．【解析】由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，。

2016届高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法初步、

阶段回扣练 13推理与证明、算法初步、复数卷( 建议用时： 35 分钟 )1．(2015 ·苏北四市调研) 若( x＋ i) 2是实数 ( 此中 i 是虚数单位 ) ，则实数x＝________.分析由 ( x＋ i) 2＝x2－ 1＋ 2x i 是实数，得x＝0.答案02．(2015 ·南通调研 ) 设复数z知足 ( z－ 1)i ＝－ 1＋ i ，此中 i 是虚数单位，则复数z的模是________．－1＋ i 1分析因为 z－1＝i＝1－i＝1＋i，所以z＝2＋i，∴|z| ＝ 22＋ 12＝ 5.答案 53．(2015 ·盐城模拟) 以下是一个算法的伪代码，输出的结果是________．分析伪代码表示的算法是S＝2＋4＋8＝14，所以输出S＝14.答案144．(2015 ·扬州中学模拟) 如图，该程序运转后输出的结果为________．分析逐次写出运转结果．该流程图运转 3 次，各次的b和a的值挨次是2,2 ；4,3 ；16,4 ，所以输出的b＝16.5．(2014 ·辽宁卷改编 ) 设复数 z 知足 ( z － 2i)(2 － i) ＝ 5，则 z ＝ ________.5＋＋分析 ∵ ( z － 2i)(2 － i) ＝ 5，∴ z ＝ 2－ i ＋2i ＝－＋＋ 2i ＝5＋ 2i＝ 2＋ i ＋ 2i ＝ 2＋ 3i.答案 2＋ 3i6．(2014 ·天津卷改编 )i是虚数单位，复数 7＋i＝ ________.3＋4i7＋ i＋－ 25－25i ＝ 1－ i.分析 3＋ 4i ＝＋－＝25 答案 1－ i7．(2014 ·江西卷改编 ) 阅读以下贱程图，运转相应的程序，则程序运转后输出的结果为________．分析i ＝ 1，＝ 0，第 1 次运转，＝ 0＋lg1i＝3，＝＝－ lg 3＞－ 1；第 2 次运转，SS3Slg 1＋ lg3＝ lg1＝－ lg 5 ＞－ 1；第 3 次运转， i ＝ 5，S ＝ lg 1＋lg5＝ lg1＝－ lg 735 557 7171＞－ 1；第 4 次运转； i ＝ 7， S ＝ lg 7＋lg 9＝ lg 9＝－ lg 9＞－ 1；第 5 次运转， i ＝ 9，S ＝ lg 1 9 ＝ lg 1 ＜－ 1，停止循环，输出 i ＝ 9.＋ lg ＝－ lg 119 11 11 答案 98．(2015 ·镇江模拟 ) 下边是依据所输入的x 值计算 y 值的一个算法程序，若输入的x 值为－ 1，则输出的 y 值为 ________．1＋ x ，x ＞ 0，分析该程序代表分段函数 y ＝1－ x ，x ≤0，因为 x＝－1，所以 y＝2.答案 29．(2014 ·金陵中学模拟 ) 察看以下各式9－ 1＝8,16 － 4＝12,25 －9＝ 16,36 － 16＝ 20，，这些等式反应了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用对于n 的等式表示为________．分析9－ 1＝ (1 ＋ 2) 2－ 12＝ 4(1 ＋ 1) ， 16－ 4＝ (2 ＋ 2) 2－ 22＝ 4(2 ＋ 1) ，25－9＝(3 ＋2) 2 － 32＝ 4(3 ＋ 1) ， 36－ 16＝ (4 ＋ 2) 2－ 42＝4×(4 ＋ 1) ，，一般地，有( n＋ 2) 2－n2＝ 4( n ＋1)( n∈N*)．答案( n＋2) 2－n2＝ 4( n＋ 1)( n∈N* )10．(2014 ·苏州调研) 若复数 ( a＋ i) 2对应点在y 轴的负半轴上(此中i是虚数单位)，则实数 a 的值是________．分析由题意， ( a＋ i) 2＝a2－ 1＋ 2a i 是纯虚数，且a＜0，所以由 a2－1＝0且 a＜0，得a＝－1.答案－ 1S1 1 11．在平面几何中有以下结论：若正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.S2 4 推行到空间几何能够获得近似结论：若正四周体A－ BCD的内切球体积为V1，外接球体积V1为 V2，则＝________.V2分析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与V 1球的半径的立方成正比，所以 1 ＝ .V2 271答案2712．(2014 ·沈阳质量监测 ) 若 [ x] 表示不超出x 的最大整数，如[2.1] ＝ 2，[ － 2.1] ＝－ 3.履行以下图的流程图，则输出的S值为________．分析运转该程序，第一次循环，＝ 1＋2＝ 1，＝ 2；第二次循环，＝ 1＋4＝ 1，nS 4 n S 56 8＝3；第三次循环，S＝ 1＋6＝2，n＝ 4；第四次循环，S＝ 2＋7＝ 3，n＝ 5，此时循环结束，输出 S＝3.答案 313．(2015 ·泰州检测 ) 用数学概括法证明“对全部n∈N*，都有2n＞n2－2”这一命题，证明过程中应考证 ________．分析假定 n＝ k 时不等式建立，即 2 k＞ k2－2，当 n＝ k＋1时，2 k＋1＝2·2k＞ 2( k2－ 2) ，由 2( k2－2) ≥(k＋1) 2－ 2? k2－2k－3≥0? ( k＋ 1)( k－3) ≥0? k≥3，所以需要考证n＝1,2,3时命题建立．答案n＝1， n＝2， n＝3时命题建立．14． (2014 ·无锡调研 ) 察看以下等式12＝112－22＝－ 312－22＋ 32＝ 612－22＋ 32－ 42＝－ 10照此规律，第n 个等式可为________________________________________．分析察看规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋.2答案12－ 22＋32－ 42＋＋ ( － 1) n＋1n2＝ ( － 1) n＋1n n＋2。

高考数学二轮变式复习——推理与证明(DOC)

十四、推理与证明变式题、合情推理1 .人教A 版选修2-2第79页例1 :已知数列啣的第1项a^1 ,且a n 1也（n 二1, 21丨，）试归纳出这个数列的通项公式.1 a n变式1:已知数列的第1项印=1，且=—^ （n =1,2川I ），试归纳出这个1 +2a n数列的通项公式.11 1 解：a 2, a 3，…，一般地有 a n :352n-1本题也可以直接求出通项公式. 由a n 「亠得，丄=』」・2，即丄1+2a n a n 卅 a n a n a^I 111 1所以数列丄是首项为丄，公差为2的等差数列，贝y 丄=丄• 2（n -1）,J a na 1a n a 11而 a 1 = 1，则 a n ：2n -1理科学生还可以先归纳，提出猜想，然后用数学归纳法证明.列的通项公式.本题也可以直接求出通项公式.「,a n变式2:已知数列 a :的第2a n 2 a n(n =1,2,I)，试归纳出这个数解:般地有a n 口由a n12a n2 a n得,丄二―」1，即丄-丄Ja n 1 2a na n2a n 1 a n 2「1 ' 1 1所以数列—是首项为丄，公差为1的等差数列，则 ,aja12a n1 a 1(n -1)-,2由变式（1 ）、变式（2）你能总结出什么规律?aa n（abc = 0）型的数列〈aJ ，当a 二b 时采取取倒数的方法即可得出数列丄是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列a变式3 : （ 2005年高考湖南卷）已知数列laj 的第1项a^Q ，且c . -、、3列江［是以3为周期的数列，则a 20=氏3.2 =a 2 = i'、3，选 B .解法 2： 01 卅=_7=^3，令 a n1 +V3a nJI二 tan ： n ,则 tan :「1 二 tan (： n _§),n则〉n 1=「n -石 k 二，即:n^：'n331 31k 二石，：20「1 19（「），而冷=0，贝U : 20 = 19k 二-7二-3已知数列CaJ 满足a^2 , a n 1n( n ・N * ),1 —a n1 1 a 3、a 4、a 5 = 2，可以发现 a 5 = 6，且23a 1 曰2 a a 4 W ，故 a 1 空日382007 二 a 2oo5 ^200602007 =a 1 a 2 a^ = 3.【思路2】由a n 1 = 1—弘,联想到两角和的正切公式，设a 1=2 = tan 71，则有1 —a n解法 1 ：由于a n 11 ；3a na^i = 0 ,则 a 2 - - 3 , a^ _3 , a 4= 0 ,由此归纳出数a 2 二 tan | — + 日,a 3=tan | — + 日,12丿14 丿，a5 二 ta n 二 J - a 1，对满足an 1一 b ca na n 11 ；3a(n = 1,21,,则 a 20 =1 a n变式4: （ 2007年广州市高考二模）则a 3的值为,a 1 0233 I I ( 02007 的值为【思路1】分别则a1 a2 a3 a4 - 1，故a1 a2 a^ HI a2007 = a2005 a2006 曰2007 = 4 a2 曰3 = 3•从以上变式3到变式5，你能受到什么启发呢？结构与两角和或差正切公式相似，这样的数列一定是周期数列.2 .人教A 版选修2-2第83页例3:类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式1直角三角形与直角四面体的性质类比1=1.1 1 SO 2 SA 2 SB 2 SC 2以上结论的证明如下：(1)由题设SA SB, SC 两两垂直，则三角形 SBC 为直角三角形，则斜边BC 边上的高SD 在三角形SBC 内，即点D 在BC 上, 连结AD ,贝U BC 丄平面SAD,则平面 ABC 丄平面 ASD,过点S 在面SAD 内作SO_AD 于0,贝U SO 丄平面 ABC,即点S 在平面ABC 的射影为 0;由于三角形SAD 为直角三角形，则斜边 AD 上的高的垂足0在线段AD 上，即卩0在三角形 ABC 内.平面内直角三角形的性质空间中在厶ABC 中，/ BCA=90°,点C 在AB 上的射影为 D ,则有下列结论： (1)点D 在线段AB 上.⑵ AB>AC,AB>BC 即直角三角形三边中斜边最长.在四面体 SABC 中，三个平面 SAB 平面SBC 平面SAC 两两垂直，点S 在底面上的射影为 0,则有类似结论：(1) 点0在△ ABC 内.(2) △ ABC, △ ABS, △ SBC △ ASC 中，△ ABC的面积最大；(3)射影定理: AC^ADAB, CU=DBAB,C D^ADDB2S.'SAB = S QAB S.ABC2S 「SAC = S 'OAC S ABC 2S .'SBC = S 'OBC S ABC1=1.1CD 2 AC 2 CB 2C1 1(2)由于 S SBCBC SD , S ABC BC AD ,SAD 为直角三角形，则斜边 AD - SD ，故S -ABC - S SBC ;1 2 2 2 BC SD ，而在直角三角形 ASD 中，SD -AD DO , SD 2 二-BC 2 AD DO =1 BC AD - BC DO ,42 22 2 2因此 S©BC=S^)BC S 舉BC•,同理可证S霑AC =S^)AC S 涉BC, S 皆AB = S ^A B S建BC •1 1 1SAD 中，由于SO_AD 于O ,贝USO 2 SA 2 SD21 1 1SBC 中,由于 SD_BC 于 D ,贝U- --,SD 2 SB 2 SC2SO 2 "SA 2 SB 2 SC冋理可证：ABC - S SBA ，S 'ABC - S 'SAC-2(3)S 护4 21 2•- S S BCBC 2 .S ：BC4 (4)在直角三角形在直角三角形以上性质，限于篇幅，不再一一证明.变式3:平面内三角形与空间中的三棱柱性质类比以上性质证明的关键是构造直截面(与侧棱垂直的截面)E ,F ,则 EDF = ： , DEF = 1 , . DFE 二,、直接证明与间接证明1人教A 版选修2-2第96页例1在厶ABC 中，三个内角A,B,C 对应的边分别为a,b,C , 且A , B , C 成等差数列，a,b,c 成等比数列，求证 △ ABC 为等边三角形.变式1:在厶ABC 中，三个内角A , B , C 对应的边分别为a,b,C ，且A , B , C 成等差数列，a,b,c 也成等差数列，求证 △ ABC 为等边三角形.：:. 2 2 2证明：由A , B, C 成等差数列知， B 二一，由余弦定理知b 二a c-ac ,3a + c又a,b,c 也成等差数列，••• b = ------ ，代入上式得2 4整理得 3(a -c)2 =0 ,.•• a 二 c ，从而 A = C ，而 B =从而△ ABC 为等边三角形.证明：由于c o A , cBO s ,Cc^o 等比数列，则c o 2sB 二c oAs (Co s 即理的拓广为例，其余的类似证明. (6)如图4,在三棱柱 ABC — A -B i C i 中，二面角 B —AA -—C 、 c — BBi — A 、 B — CG —A 所成的二面角分别为 J.、则 SgC i C si n a S AA iC iC S BB iC iC sin ：sin ' AA i ，证明：作平面DEF 与三棱柱ABC-A i B i C i 侧棱垂直，分别交侧棱B H 4,CG 于点D ,，转化为平面问题，以正弦定在, ：DEF 中，根据正弦定理EF DFsin J sin :EF AA 1sin 二DF AA i DE AA i sin ?而 AA| = BB-i = CC 1，且 AA-i =BB<)= CC 1 , S BB iC iC因此sin :-S_ AA 1C 1CS BBQCsin ： sinAA ^C [C变式2:在厶ABC 中，三个内角A , B, C 对应的边分别为 a, b, c ,且 cos Acos Bos C成等比数列，a,b, c 成等差数列，求证 △ ABC 为等边三角形.2 22 1 1)得：2cos B cosB-1=0 cosB 或 cosB =-1 (舍去)•-(3)将(3)代入(1)得：cos(A-C)=1 ,由于-一A -C — •••A C 因此,从而△ABC 为等边三角形.变式4：在厶ABC 中，三个内角 A , B , C 对应的边分别为 a, b, c ，且cos A, cos B,cos C 成等差数列，a,b,c 成等差数列，求证 △ ABC 为等边三角形.由于 cos A, cosB,cosC 成等差数列，则2cosB=cosA cosC =2cosA^cos^C2 22cos B =cos(A C) cos(A-C) • 2cos B = -cosB cos(A-C) (1)又a,b,c 成等差数列，则2sin B 二sin A • sinC B B A C A -C 贝U 4sin cos 2sin cos — 2 2 2 2 AC . s s i , n2 由于 c -o 二 2 2 A — C 2 B cos(A-C) =2cos 1 =8si n 1 =3-4cosB 2 2 A-C n 22将(2)式代入(1)式得：2cos B 5cos B -3 = 0 , 1…cosB 或 cos B - -3 （舍去），而 0 ：：：B ：：：二， 2 (3)将（3）代入（1）得：cos （A —C ） =1，由于一二：:：A —C :：:二因此A =B =C 「，从而△ ABC 为等边三角形. 变式3:在厶ABC 中，三个内角 A , B , C 对应的边分别为 a,b,c ，且 cos A, cos B,cos C 成等比数列, a,b,c 成等比数列，求证 △ ABC 为等边三角形. 由于c o A , cBo s ,0成□等比数列，则c o 2sB = c GAS (Co s 即 2 c As (C ) A o C( ••• 2co)s B =-cosB cos(A-C) (1)2 2又 a,b, c 成等比数列，则 sin B =si n Asi nC ，二 2s in B = cos(A-C) cosB , 即 cos(A -C) 2= 2sin B -cosB (2)将（2）代入（而 0 ::: Ba,b,c 成等比数列，求证 △ ABC 为等边三角形.A C A-C 2cosB 二 cos A cosC =2cos cos 22 2sin B 二sin AsinC ，二 2sin B 二cos(A-C) cosB即 cos(A-C)=2sin 2B-cosB (2)将(1)代入⑵整理得：5cos 2 B 4cos B -3 =2cos 3 B 即 4cos 2 B ■ 4cos B -3 二 2cos 3 B -cos 2 B ，分解因式得(2cosB-1)(cosB-3)(cosB 1)=0,.・.o或 cosB =-1 (舍去)或 cs B32（舍去）而 0 ：：： B ：：：「：，••• B（3）将（3）代入（2）得：cos （A —C ） =1 ,3兀由于-二：::A -C n , • A = C ，因此A = B = C ，从而△ ABC 为等边三角形.32 .人教A 版选修2-2第101页例5:求证\ 2是无理数由于 cos A, cosB,cos C 成等差数•- coscosB(1) .B sin 2a,b, c成等差数2si n B = si nA sin C4 .I由于 B I -A2B cos sin —— 2 2A Jo ,A. s i 2 B•- 2sin coscosA-C2 2将（1）代入（2）得cs B2n（3）将（3）代入（2）得: 2B2A-C 彳亠十二 cos 1，由于 -::: 2 21B ，而 0 ：：： B •；：■】,•- B =- 2 3 "Jo ,JT因此,从而△ ABC 为等边三角形.变式5: 在厶ABC 中, 三个内角A ，B ，C 对应的边分别为 a, b, c ，且 cs Aos ,cB成等差A — C cosB …cossinh22A — C 2cos B则 cos(A-C) = 2cos1 1(1)2 .2 B sin —2又a,b,c 成等比数列，则变式1:求证.3 是无理数证明：假设...3是无理数，则存在互质的数m,n，使得,3 = m，从而m = •、3n,即n2 小 2m = 3n ，* 2 2 2 2所以m为3的倍数，于是可设m =3k (k • N )，因此，9k =3n，即n =3k，所以n也为3的倍数，这与m,n互质矛盾，由此可知假设是错误的，从而.3是无理数.变式2：若p为奇数，则..莎"是无理数.证明：假设、2^1是有理数，则存在互质的数m, n ,使得..不，=m，贝Un2 2 2 2 2 2m = (2 p 1)n，二m _n = 2pn ,(m - n)(m n) = 2 pn ,(m - n)(m n)为偶数，由于(m -n) • (m • n) =2m为偶数，说明，m-n与m • n同为偶数或同为奇数，由于它们的积为偶数，贝U m-n与m • n同为偶数，设m-n = 2k , m，n = 2t(k,t・N*)，从而有2r 2t = 2 pn2即pn2=2rt ,••• n2为偶数，••• n为偶数，则m也为偶数，这与m,n互质矛盾，由此可知假设是错误的，从而是无理数.三、数学归纳法人教A版选修2-2第106页例1:用数学归纳法证明1222•川n2=n(n 1)(2n 1 .6 变式1:是否存在常数a,b, c ,使得12• 22JI I • n2 = an3■ bn2 cn对一切正整数n都成立？并证明你的结论.1 二a b c解：假设存在常数a,b,c使等式成立，令n = 1,2,3得：打+22 =8a+4b+c 解之J +22+32 =27a+9b+ca =—3得卩二1，下面用数学归纳法证明：12+22十川+『=E(n +1)(2 n+1)对一切正整数n都2 6—1C 二一6成立.(略)1 1 1 *变式2:已知a n=1 n・N ,是否存在n的整式g(n)，使得等式n2 3 n aa1 ' a^ll - 3n^-g(n)(a.-1)对于大于1的一切正整数n都成立？并证明你的结论.解：假设g(n)存在，令n = 2 ,求得g (2) = 2，令n = 3 ,求得g(3) = 3，令n = 4 ,求得g(4) = 4 ,由此猜想：g(n) = n，下面用数学归纳法证明：a1 - a2- a nJ = n(a n-1)对一切大于1的正整数n都成立.(略)。

2016届高考数学二轮复习课件：1-6-第一部分专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计2

果为：(乙，丙，甲，乙)，(乙，丙，甲，丙)，(乙，丙，乙，丙)，
(乙，甲，乙，丙)，(乙，甲，丙，乙)，(丙，甲，乙，丙)，(丙，
重甲，丙，乙)，(丙，乙，甲，乙)，(丙，乙，甲，丙)，(丙，乙，名
点
透丙，乙)，共 10 种．
师微
析
课
[答案] 10
第19页
第一部分专题六第二讲
第十九页，编辑于星期五：二十点四十五分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
考向二二项式定理 1．二项式定理
(a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnn
重 a0bn(r＝0,1,2，…，n)．
名
点
透
2．二项展开式的通项
师微
析
课
Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数．
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
重点透析难点突破
名
师
微
课
第6页
第一部分专题六第二讲
第六页，编辑于星期五：二十点四十五分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
考向一排列与组合问题解排列、组合应用题的途径
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元
重素．
A．10 B．20 C．30 D．60
重点透
(2)(2015·重
庆
卷
)
x3＋2 1
x
5
的展开式中
x8
的系数是
名师微
析
课
________(用数字作答)．

2016年高考数学(文)二轮复习精品资料(新课标版)专题8 算法、推理与证明、复数(教学案)含解析

【高效整合篇】一．考场传真1. 【2015高考新课标1,文9】执行右面的程序框图，如果输入的t=0。

01，则输出的n=( ）（A）5 (B）6 （C)7 （D)8【答案】C2．【2015高考安徽，文7】执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为（）（A )3 （B )4 （C )5 (D ）6【答案】B3．【2015高考新课标1，文3】已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（）(A) 2i -- (B ）2i -+ (C)2i - （D ）2i +【答案】C【解析】∴(1)1z i i -=+，∴212(12)()2i i i z i i i ++-===--，故选C 。

4．【2015高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（）A ．3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4-【答案】A【解析】由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ．5．【2015高考上海,文3】若复数z 满足i z z +=+13,其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】i 2141+6．【2015高考陕西,文16】观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+ 1－1111111123456456+-+-=++ …………据此规律，第n 个等式可为______________________.【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 【解析】观察等式知:第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正,偶数项为负,且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数,等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++. 故答案为111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 7．【2015高考山东,文14】定义运算“⊗”: 22x y x y xy-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时,(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是。

2016届广东省高考数学二轮专题复习推理与证明02

1．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．答案 2 013【详细分析】观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有 a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝4， a 4－a 3＝6， a 5－a 4＝8， ……a n －a n －1＝2(n －1)．将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)，所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________．答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)【详细分析】类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．答案 a n ＝n (n ＋1)2【详细分析】从图中观察五角星构成规律， n ＝1时，有1个； n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个； n ＝4时，有10个；…所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2．已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM 等于________．答案 3【详细分析】设四面体内部一点O 到四面体各面都相等的距离为d ，则题意知d ＝OM ，设各个面的面积为S ，则由等体积法得：4·13S ·OM ＝13S ·AM,4OM ＝AM ＝AO ＋OM ，从而AOOM ＝31＝3. 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________．答案 (5,7)【详细分析】依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数时，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数时，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．4．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________．答案正四面体的内切球的半径是其高的14【详细分析】原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法， V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.5．把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 014，则i ，j 的值的和为________．答案 79【详细分析】观察偶数行的变化规律，2 014是数列：2,4,6,8，…的第1 007项，前31个偶数行的偶数的个数为(2＋62)×312＝32×31＝992，所以2 014是偶数行的第32行第15个数，即三角形数表中的第64行第15个数，所以i ＝64，j ＝15，所以i ＋j ＝79. 6．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________．答案 a n ＝n 3【详细分析】由题意知a 1＝1＝13，a 2＝3＋5＝8＝23，a 3＝7＋9＋11＝27＝33，a 4＝13＋15＋17＋19＝64＝43，….因此可归纳出a n ＝n 3.7．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)【详细分析】由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)．8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．答案1360【详细分析】由上面的规律可知第n 行的第一个数为1n ，第二个数为1n (n －1)，所以第9行的第二个数为18×9，第10行的第一个数为110，第二个数为19×10＝190，设第3个数为x ，即x ＋190＝19×8⇒x ＝1360.9．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8【详细分析】由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8 时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8. 二、解答题10．已知a >0且a ≠1，f (x )＝1a x＋a. (1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )．解 (1)f (0)＋f (1)＝11＋a ＋1a ＋a ＝1a ＝aa， f (－1)＋f (2)＝1a －1＋a ＋1a 2＋a ＝1a ＝aa .(2)由(1)归纳得到对一切实数x ，有f (x )＋f (1－x )＝a a. 证明如下f (x )＋f (1－x )＝1a x ＋a ＋1a 1－x ＋a＝1a x ＋a ＋a xa (a ＋a x ) ＝a ＋a x a (a ＋a x )＝1a ＝a a. (3)设S ＝f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )，又S ＝f (n )＋f (n －1)＋…＋f (2)＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－(n －1))，两式相加，得(由(2)的结论) 2S ＝2n ·a a ，∴S ＝n a a.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并加以证明；(3)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). (1)解分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3，∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. (2)解猜想：a n ＝n ，由2S n ＝a 2n ＋n ，① 可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)，②①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1. (ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2；(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k . 那么当n ＝k ＋1时，⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时也成立， ∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也适合．故对于n ∈N *，均有a n ＝n .(3)证明要证a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). 即证nx ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)，只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)，即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋n (x ＋y )＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2，即要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2，即4xy ≤1. ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立．。

2016年高三数学二轮复习考点汇编专题1.21推理与证明(原卷版)

热点21 推理与证明【热点考法】推理与证明类的题目，一般是在小题中独立考查的同时，在大题中体现对推理证明思想方法的考查．对于独立考查的小题，其难度较多是中等，并与平面几何、立体几何、解析几何、三角函数、数列等相结合，预测2016年高考中会有小题．应在认真掌握好相关基础知识的同时，注意体会各种基本方法的运用.【热点考向】考向一逻辑推理【解决法宝】1.常见逻辑判断题我们可以用假设某个结论成立然后推断是否会出现矛盾的方法进行验证。

2.合情推理与演绎推理的区别．归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论．（3）演绎推理是由一般到特殊的推理．数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性．归纳、类比推理是根据个别事实，通过分析提出猜想的推理，其结论可能是错误的．演绎推理是由一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，其结论一般是准确的．例1【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末】将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在（）A ．第44行第78列B ．第45行第78列C ．第44行第77列D ．第45行第77列例2【南通中学2015届高三第二次月考】有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：3-是整数；结论：3-是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是错误.（从“大前提”、“小前提”、“结论”中择一填写）.考向二数学归纳法【解决法宝】数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行： (i)证明当n 取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(ii)假设n ＝k(k ≥n0，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立．运用数学归纳法特别注意观察n ＝k 与n ＝k+1之间的联系，这是数学归纳法的关键。