231 2直线与平面垂直的判定
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案
课题：直线与平面垂直的判定
教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修2
1.教学目标
根据本节地位和作用的重要性，结合高一年级学生的认知规律，我制定了以下的教学目标：
☆知识目标:
1.正确理解直线与平面垂直的定义。
2. 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理。
☆技能目标：
1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，
2.运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“转化”这一数学思想。
☆情感态度和价值观目标：
让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
2.教学重点、难点
教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：概括直线与平面垂直的定义和判定定理时如何将直线和平面的垂直转化为直线与直线的垂直。
3.教学方法与手段
本节课采用“引导—探究式”教学方法,教学过程中突出“问”、“动”两方面。
“问”—精心设计了一些问题，让学生在问题的带动下，概括出直线与平面垂直的定义，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用。
“动”—我设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心的探究活动。首先课前安排学生收集有关“直线与平面垂直”的例子，其次在课堂上让学生操作折纸实验，让其在动的过程中对直观感知概念本质，并操作确认了判定定理。
课前准备：要求学生收集”直线和平面垂直”的例子及准备一块三角形纸片。
人教版高中数学必修二 第2章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
学习目标核心素养
1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用
其判断直线与平面垂直．(难点)
3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决
简单的线面角问题．(易错点)
1.通过学习直线与平面垂直的
判定，提升直观想象、逻辑推理
的数学素养.
2.通过学习直线与平面所成的
角，提升直观想象、数学运算的
数学素养.
1．直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与
平面α互相垂直
记法l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的
公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形
的一边垂直
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
垂直
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形
语言
3.直线和平面所成的角
有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A
斜足斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和
斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜
线P A在平面α上的射影为AO
直线与
平面所
成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平
面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范
围
[0°，90°]
有直线”“无数条直线”？
[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
[新知初探]
1．直线与平面垂直的定义
(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．
(2)图形语言：如图．
画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.
[点睛]
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
[点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条
直线和这个平面所成的角．
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.
(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
[点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
高中数学人教A版必修二231线面垂直的判定
线面垂直的定义：
P
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面互相垂直，记作l 直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面.
直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足
线面垂直的条件常这样使用
l
a
l
a
l a
简记：线面垂直，则线线垂直
线面垂直判定定理：
B1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
D
C
O
A
B
反思： 1、入手指南：碰到证明线线垂直线面垂直的问
题，也可转化为先证明线面垂直； 2、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ ①勾股定理的逆定理（已知长度） ②等腰三角形的三线合一 ③利用线面垂直的性质 ④正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直
例3.如图所示,
a
b
已知a//b,a
内容结构
线线垂直
线面垂直的定义 线面垂直
线面垂直的判定定理
直线与平面所成的角及相关概念
P
O
A
一条直线和一个平面 相交但不垂直，这条直线 叫做这个平面的斜线，斜 线和平面的交点叫做斜足。
斜斜线线上上一任点意与一斜点足在间 的平线面段上叫的做射这影点，到一这定个在平 面斜的线斜的线射段影。上。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
2.3.1直线与平面垂直的判定
2.3.1直线与平面垂直的判定
知识点
1．直线与平面垂直的有关概念
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
(2)相关概念：若直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(3)画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图：
(4)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.
其中“任意直线”等同于“所有直线”．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
3．直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．
线面垂直的判定定理的应用
已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
1．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若P A＝PB＝P C，∠C＝90°，则点O是AB边的________点；
(2)若P A＝PB＝P C，则点O是△ABC的________心．
直线与平面所成的角
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
231直线与平面垂直的判定公开课
问题一：如何确定直线与平面是否垂直？
观察法
通过直观观察直线与平面的位置 关系，判断是否存在垂直关系。
斜率法
利用直线与平面法线的斜率关系， 判断直线是否与平面垂直。若直线 斜率与平面法线斜率互为负倒数， 则直线与平面垂直。
向量法
利用向量的点积性质，判断直线方 向向量与平面法向量是否垂直。若 两向量点积为零，则直线与平面垂 直。
向量的运算、空间角的计算等。
02
挑战与机遇
随着学习的深入，将面临更加复杂的问题和挑战，需要学生保持积极的
学习态度和探索精神，同时也将获得更多的机遇和成就。
03
学习建议
建议学生多做相关练习题，加深对知识点的理解和记忆；积极参与课堂
讨论和交流，拓展思路和视野；保持良好的学习习惯和心态，不断提高
自己的学习能力和水平。
定理证明
对于第一种情况，可以通过证明该直线与平面内两条相交直线的方向向量都垂直 ，从而证明该直线与平面垂直。
对于第二种情况，可以通过证明该直线在平面内的射影与平面内的一条直线重合 ，且该射影与这条直线的方向向量垂直，从而证明该直线与平面垂直。
定理应用举例
在建筑设计中，常常需要判断建筑物的立柱是否与地面垂直 。这时可以在地面上画出两条相交的直线，如果立柱与这两 条直线都垂直，那么就可以判断立柱与地面垂直。
谢谢聆听
04 判定方法及其应用
数学必修2 第二章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定及其性质
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂 直． A．0 C．2 B．1 D．3
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[解析] 由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与 平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α 内的无数条直线垂直，故③不对；④正确． [答案] D
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直线与平面所成的角 [提出问题]
斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔
上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合 起来的一种结构体系．其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性 支承连续梁．其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻 了结构重量，节省了材料。斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组
由PC⊥PA且PC⊥PB―→PC⊥平面PAB ―→PC⊥AB―→由H为△ABC垂心，接连 CH，CH⊥AB―→AB⊥平面PHC―→
AB⊥PH―→同理BC⊥PH―→得出结论.
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[名师批注] [规范解答] 如图所示，
①处易漏掉AP∩BP＝P，PC∩CH＝
C和AB∩BC＝B的条件，而直接证 明出线面垂直，虽然结果正确，但 不严密.虽然写清了①的条件，若没 有写清楚②处的条件或漏掉，都是 不全面的，都容易失分. 若漏掉③处而直接由线面垂直得出
人教B版高中数学必修2第一章1.2.3直线与平面垂直的判定
人教B版高中数学必修2第一章1.2.3直线与平面垂直的判定
第一篇：人教B版高中数学必修2第一章1.2.3直线与平面垂直的判
定
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选
教案设计（1.2.3直线与平面垂直的判定）
②观察实例：学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系。
③提出思考问题：如何定义一条直线与一个平面垂直？
（2）观察归纳—形成概念
①学生画图：将旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
②提出问题：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？（学生讨论并交流）
③动画演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体会直线与平面内不过垂足的直线也垂直。
④归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并要求学生用符号语言表示。
（3）辨析讨论—深化概念
判断正误：
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。②若a⊥α,bα，则a⊥b。（学生利用铁丝和三角板进行演示，讨论交流。）
这一环节是本节课的基础。线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，这样，不利于学生思维能力的发展。如何使学生从“线面垂直的直观感知”中抽象出“直线与平面内所有直线垂直”是本环节的关键，因此，在教学中，充分发挥学生的主观能动性，先安排学生课前收集大量图片，多感知，然后，通过学生动手画图、讨论交流和多媒体课件演示，使其经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念，最后，通过辨析讨论加深学生对概念的理解。这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，
直线与平面垂直的概念和判定
理论迁移
例1 已知 a // b, a .求证：b .
a
b
c
α
d
例2 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点， 求证：AD⊥PC.
P
D
C
A
B
例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直
棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 当底面四边形ABCD满足什么条件时，
A
wenku.baidu.com
B
C
思考4：上述旗杆与地面、书脊与桌 面的位置关系，称为直线与平面垂 直.一般地，直线与平面垂直的基本 特征是什么？怎样定义直线与平面 垂直？
如果一条直线与平面内的任意 一条直线都垂直，则称这条直线与 这个平面垂直.
思考5：在图形上、符号上怎样表示 直线与平面垂直？
l
α
l
思考6：如果直线l与平面α垂直，则 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫 做直线l的垂面，它们的交点叫做垂
足.那么过一点可作多少条平面α的
垂线？过一点可作多少个直线l的垂
面？
l
垂线
垂面
A
α
垂足
知识探究（二）：直线与平面垂直的判定
思考1：对于一条直线和一个平面，如果 根据定义来判断它们是否垂直，需要解 决什么问题？如何操作？
思考2：我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直.
2.3.1直线与平面垂直的判定
第二章
2.3
2.3.1
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思路方法技巧
第二章
2.3
2.3.1
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线面垂直的判定
学法指导 线面垂直的判定定理的应用
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂 直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论．
2．判定定理 文字 语言 图形 语言 符号语言 作用 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P ⇒l⊥α 判断直线与平面 垂直 一条直线与一个平面内的两条 相交 直线都垂 直，则该直线与此平面垂直
第二章
2.3
2.3.1
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[破疑点]
直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通
过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为 “线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处 理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平 面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂 直即可．
第二章
2.3
2.3.1
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232平面与平面垂直的判定
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[解析] 取BD的中点为O，分别连接AO、CO.
∵AB＝AD，BC＝CD
∴AO⊥BD，CO⊥BD
∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角
∵AB＝AD＝a，BD＝ 2a
∴AO＝
2 2a
∵BC＝CD＝a，BD＝ 2a
∴OC＝
2 2a
第二章 2．3 2．3.2
第二章 2．3 2．3.2
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图示 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂
平 文 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射
面 字 线，则这两条射线构成的 角 叫做这个二
角 面角的平面角
第二章 2．3 2．3.2
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图示
平
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，
[知识拓展](1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面 的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与 二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
第二章 2．3 2．3.2
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在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面 角是( )
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直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定
一、教材分析
1.内容与内容解析
《直线与平面垂直的判定》选自普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修2第二章第三节，本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。
2.地位与作用解析
线面垂直是继研究线面平行之后的另一种空间中的重要关系。直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。它是直线与直线垂直的拓展，又是平面与平面垂直判定的基础，是空间立体几何中垂直关系的转化重心。
二、学情分析
学生已有的生活经验是能直观的判断出日常生活中具体的直线与平面的垂直关系。学生在初中已经学习了直线与直线垂直的定义，在高中又学习了直线与平面平行的判定定理，这为本节内容的研究提供了经验和方法，即可将直线与平面的关系转化为直线与直线的关系。同时，学生具备了一定观察分析能力，也能初步地运用将线面问题转化为线线问题的思想。
但学生抽象能力不足，很难从线面垂直的直观形象中提炼出线面垂直的定义，也很难从折纸试验中想到一条直线与平面内两条相交直线垂直。同时，学生很容易受上一节线面平行判定的影响，得出一条直线垂直于平面内一条直线即可的错误判定方法。
三、教学目标
①能准确描述直线与平面垂直的定义。能初步运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题。
②经历观察探索、操作确认、归纳概括、合情推理等数学活动，发展用符号语言刻画定义、定理的能力。领悟线面问题转化为线线问题、无限转化为有限的数学思想。
③学生在认识到数学源于生活的同时，体会到数学中的严谨细致之美。
四、教学重难点
①重点：直线与平面垂直的判定定理的理解掌握。
231直线与平面垂直的判定(一)
求证：AB⊥CD.
A
B
D
C
练习题
2.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且
PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交
点O的连线PO垂直于平面ABCD.
P
A
D
O
B
C
练习 1. P.66探究； 2. P.67练习第2题.
课堂小结
直线与平面垂直的判定方法： 1.定义； 2.定理； 3.两条平行线中的一条与平面垂直，
来自百度文库m，n，则l⊥.
m
B
n
练习1.判断下列命题是否正确
A.若一条直线垂直于平面内的两条直线， 则这条直线垂直于这个平面；
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线，则这条直线垂直于这个平面；
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于 这个平面的直线必定垂直于这条直线；
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于 这条直线的另一直线必垂直于这个平面.
思考：
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（ ）
l
C
B
2. a ,b a b (✓ )
直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线
练习2 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
§231直线与平面垂直的判定定理.docx
§2.3.1直线与平面垂直的判定
—、课标要求
（1）掌握直线与屏幕垂直的定义及判定定理；
（2）能灵活应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直；
（3）知道百线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题。
二、教学重、难点
重点：直线与平面垂直的定义；
难点：直线与平面垂直的判定定理的探究。
三、设计思路
肓线与平面垂肓问题是肓线与平面的重要内容，也是高考考杳的重点。求解的关键是根据线与曲之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定力
的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学而思的空间想彖力和逻辑推理能力。
四、教学过程
（一）情境设置
问题1：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
答：不一定，当平面内的无数条直线都相互平行时，该直线与平面的位置关系可能是平行，相交，垂直。
设计意图：归纳总线与平而垂直的定义，强调定义中的“任意性”。
问题2：如何判断一条直线是否与一个平而垂直？能不能像判定直线与平面平行那样，利用直线与平血内的一条直线垂直来判定在线与平面垂在呢？
答：直线I垂直于平面以内的直线m,但1不垂直于平面久。如图：
问题3：—条直线不行，那么又能不能像判断平面与平而平行那样，利用直线与平而内两条直线都垂直来判定直线与平面垂直呢？
答：当平面内的两条直线互相平行时，结论是否定的，如图：
肓线1垂肓于平面a内的直线m、n, m//n,但1不垂肓于平而a .
设计总图：通过探索，归纳出直线与平面垂直的判定定理，强调定理的关键是：找到两条相交直线与己知直线垂直。同时，定理体现了线而垂直与线线垂直互相转化的思想。