奉贤区高三数学二模参考答案

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上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]【答案】C 【解析】【分析】求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x ≥时，()()()'12xf x x e =---，令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(],2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即1x ln22e-≤<， ∴1e22m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.2．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG，1DQ 则PM PQ +的最小值为（）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-【答案】C 【解析】【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈．正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上，显然M 关于直线AC 的对称点为E ，22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+=，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251．故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 3．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（）A B ．3C ．1D ．5【答案】C 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】由52i 12ia =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.4．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍【答案】B 【解析】【分析】设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==，所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B 【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.5．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅u u u r u u u u r的取值范围为（） A ．[]0,8 B ．[]0,9 C ．[]1,8 D ．[]1,9【答案】A 【解析】【分析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得()()212121212129AB MN O O AO O B O O AO O B AO O B -⎡⎤⋅=++⎡⎤⋅=⎣⎦-⎣⎦++u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u u u u r u u u u r u v u u u r u u u v u ，结合12AO O B +u u u u v u u u u v的范围即可求解【详解】如图，()()()()1122112212121212AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B ⎡⎤⎡⎤⋅⎣⎦⎣⎦⋅=++⋅++=++-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r 2221212129O O AO O B AO O B =-+=-+u u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v 其中[][]1221,211,3AO O B +∈-+=u u u u v u u u u v ，所以[]2293,910,8AB MN ⋅∈-⎡⎤⎣-=⎦u u u r u u u u r .故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题 6．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】【分析】【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >，又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ． 7．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（） A ．43π B ．4π C ．323πD ．43π【答案】A 【解析】【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】由题,因为2,1,AC BC AC BC ==⊥,所以223AB AC BC =+=,设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.8．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在()0,+?上单调递增,则()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1ex axx -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1eaxh x =-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111mf m m m '=-=++（0m >），所以()f m 在()0,+?上单调递增，所以()()01f m f >=-，故问题转化为至少存在两个正整数x ，使得()1e 1e x ax x -≤-成立，设()()1e x g x x =-，()1eax h x =-，则()e x g x x '=，当0x >时()0g x ¢>，()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e2a +≥.故选:B. 【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.9．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 10．已知命题p:直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q:直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m.下列命题为真命题的是（） A ．p ∧qB ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）【答案】C 【解析】【分析】首先判断出p 为假命题、q 为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项. 【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题:p 若直线//a b ，直线b ⊂平面α，则直线//a 平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题:q 若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题.故:A 命题“p q ∧”为假命题；B 命题“()p q ∨⌝”为假命题；C 命题“()p q ⌝∧”为真命题；D 命题“()p q ∧⌝”为假命题. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.11．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．【答案】C 【解析】【分析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误；对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D 正确.故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.12．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =；当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=，所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6，故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题（二模）一、填空题1．已知复数z 满足()1i 1i z -=+，则复数z 的虚部为__________.【正确答案】1-【分析】由题意知，求复数z 的虚部可转化为先求z ，从而解得．【详解】因为()1i 1i z -=+，所以()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+，故i z =-，故复数z 的虚部为1-.故答案为.1-2．已知{}{}2|01x x mx n -+==，则m n +=__________.【正确答案】3【分析】由二次方程的根只有一个，则Δ0=，且根为1，代入即可求解.【详解】因为{}{}2|01x x mx n -+==，所以二次方程20x mx n -+=有两个相等的实数根，则240m n ∆=-=①，且方程的根为1，所以10m n -+=②，联立①②解得：2, 1.m n ==所以 3.m n +=故答案为.33．分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是__________．【正确答案】8【分析】根据每枚硬币的情况数，即可求出分别抛郑3枚硬币的所有情况数．【详解】每枚硬币都有2种情况，即正面和反面，则分别抛掷3枚硬币，{Ω=（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，所有8Ω=，故8．4．已知向量(),1a x =，()2,3b =- ,若a b ⊥ ，则实数x =__________．【正确答案】32/1.5【分析】直接由向量垂直的坐标运算公式计算即可．【详解】因为a b ⊥，所以230a b x ⋅=-+= ，解得32x =，故32．5．已知,,A B C 是同一直线上三个不同的点，O 为直线外一点，在等差数列{}n a 中，26OA a OB a OC =+，则数列{}n a 的前7项和7S =__________.【正确答案】72/3.5【分析】由题意261a a +=，然后利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的性质求解.【详解】因为,,A B C 是同一直线上三个不同的点，O 为直线外一点，且26OA a OB a OC =+，所以261a a +=，则()()2776172227a a a a S +⨯⨯+===.故答案为.726．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【正确答案】y =【分析】根据离心率求得ba，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则2=b a =故双曲线的渐近线方程为y =.故答案为.y =7．珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是__________．【正确答案】①【分析】由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答案．【详解】数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，这里我们需要测量观察者距离珠穆朗玛峰多远，主要关注的应该是珠穆拉玛峰的高度，此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量结果影响很小，故假设①最不重要，故①．8．安排4名男生和3名女生参与完成3项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式种数为__________．【正确答案】216【分析】首先根据捆绑法将男生分为3组，然后男生与女生分别全排列，根据分步计数乘法原理计算即可．【详解】由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2人一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有2343C A 36=，女生的安排方法共有33A 6=，故不同的安排共有233433C A A 366216=⨯=种．9．若3030(21)kk k x a x =+=∑，则30k k a =∑被10除所得的余数为__________.【正确答案】9【分析】令1x =，可得30301515039(101)k k a ====-∑，结合二项展开式，即可求解.【详解】令1x =，可得303015150151141411515151515039(101)C 10C 10C 10C kk a====-=-+⋅⋅⋅+-∑015114141151515C 10C 10C 101=-+⋅⋅⋅+-，所以30k k a =∑被10除所得的余数为9.故答案为.910．已知函数()2ln f x x x =-，直线l ：40x y +-=，若直线0x y m -+=与()f x 的图象交于A 点，与直线l 交于B 点，则A ，B 之间的最短距离是__________.【正确答案】【分析】根据题意两直线垂直所以A ，B 之间的距离即为A 到直线l 的距离，即为与l 平行且与()f x 相切的直线的切点到直线l 的距离.【详解】因为函数()2ln f x x x =-，直线l ：40x y +-=，若直线0x y m -+=与()f x 的图象交于A 点，与直线l 交于B 点，直线0x y m -+=的斜率为1，直线l ：40x y +-=的斜率为1k =-，所以两直线垂直，所以函数()f x 图象上的点A 到直线l 的最短距离，即为,A B 之间的最短距离由题意可得()12f x x x'=-，0x >.令()121f x x x'=-=-，解得1x =（12x =-舍去）.因为()11f =-，取点()1,1A -，所以点A 到直线40x y +-=的距离d =则A ，B 之间的最短距离是故11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，114，AB AA ==，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为_____.【分析】过1C 做与直线1B E 垂直的平面α，则点P 的轨迹的长即为平面α与正四棱柱的交线长.【详解】如图，连接11B D ，11AC ，由题可知，1111AC B D ⊥，1ED ⊥平面1111D C B A .因11AC ⊂平面1111D C B A ，则111ED AC ⊥.又11B D ⊂平面11EB D ，1ED ⊂平11EB D ，1111∩ED B D D =，则11A C ⊥平面11EB D .又1B E ⊂平面11EB D ，则111C A B E ⊥；如图，过E 做11D C 平行线，交1CC 于F ，则F 为1CC 中点.连接1，EF B F ，过1C 做1B F 垂线，交1BB 于G .由题可得，11D C ⊥平面11BCC B ，又11EF D C ∥，则EF ⊥平面11BCC B .因1C G ⊂平面11BCC B ，则1C G EF ⊥.又1B F ⊂平面1B FE ，FE ⊂平面1B FE ，1∩FE B F F =，则1C G ⊥平面1B FE .因1B E ⊂平面1B FE ，则11C G B E ⊥；因1C G ⊂平面11C GA ，11C A ⊂平面11C GA ，1111∩C A C G C =，则1B E ⊥平面11C GA .连接1A G ，则点P 轨迹为平面11C GA 与四棱柱的交线，即11AC G △.注意到1111111111B C G GC F GC F B FC B C G B FC ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠，1111C B G FC B ∠=∠，则1111C B F FC B ，故1111111122C B FC B G B G C B ==⇒=.则点P的轨迹的长为1111A G C G A C ++=+=.故答案为+关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大.本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做空间直线所在平面的垂线.12．数列{}n a 共有M 项（常数M 为大于5的正整数），对任意正整数k M ≤，有10k M k a a +-+=，且当2Mn ≤时，12n n a =．记{}n a 的前n 项和为n S ，若10231024n S ≤对任意1,2,3,,n M =⋅⋅⋅⋅⋅⋅都成立，则M 的最大值是__________．【正确答案】21【分析】根据已知得出数列{}n a 的性质，再分类讨论当M 为偶数和M 为奇数的情况即可得出答案．【详解】根据条件可知，数列{}n a 具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0．下面对M 讨论：当M 为偶数（数列{}n a 各个数非零），()2max 21112210231102412Mn MS S ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==≤-，解得20M ≤；当M 为奇数（数列{}n a 中120M a +=），()1211max 2211023121024M n M M S S S -+-⎛⎫===-≤⎪⎝⎭，解得21M ≤，故M 最大值为21，故21．二、单选题13．已知集合{}21A x x =<，202x a B x x ⎧⎫-⎪⎪=<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >C ．11a -<<D ．01a <<【正确答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，依题意可得A B ，即可得到0a >，再求出集合B ，即可求出参数的取值范围.【详解】由21x <，解得11x -<<，所以{}{}21|11A x x x x =<=-<<，因为222x ≥+，所以不等式202x ax -<+，等价于0x a -<，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，所以AB ，所以B ≠∅，则0a >，所以不等式0x a -<，即x a <，解得a x a -<<，所以{}20|,02x a B x x a x a a x ⎧⎫-⎪⎪=<=-<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，又A B ，所以1a >.故选：B14．已知,,x y z 是空间的直线或平面，要使命题“若,x z y z ⊥⊥，则//x y ”是真命题，,,x y z 可以是（）A ．,,x y z 是三个不同的平面B ．,x z 是两条不同的直线，y 是平面C ．,,x y z 是三条不同的直线D ．,x y 是两条不同的直线，z 是平面【正确答案】D【分析】根据线面、面面的、线线的垂直关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A ：若,,x y z 是空间中三个不同的平面，且,x z y z ⊥⊥，则平面x 和平面y 的位置不确定，故A 错误；对于C ：若,,x y z 是空间中三条不同的直线，且,x z y z ⊥⊥，则直线x 和直线y 的位置不确定，故C 错误；对于B ：,x z 是空间中两条不同的直线，y 是空间的平面，且,x z y z ⊥⊥，则直线x 和平面y 的关系为直线x//平面y 或直线x ⊂平面y ，故B 错误；对于D ：,x y 是空间中两条不同的直线，z 是空间的平面，且,x z y z ⊥⊥，则//x y ，故D 正确，故选：D.15．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()23sin 12x xf x x =+B ．()22sin 1x xf x x =+C ．()223cos 12x xf x x =+D ．()22cos 1x xf x x =+【正确答案】D【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可.【详解】由图可知，()f x 在[]π,π-上的图象关于y 轴对称，所以()f x 在[]π,π-上为偶函数，故应先判断各选项中函数()f x 的奇偶性.对A ，()()223()sin()3sin 12()12x x x x f x f x x x ---===+-+，()23sin 12x xf x x ∴=+为偶函数，故A 选项的函数()f x 为其定义域内的偶函数.同理：对C 、D 选项的()f x 均为其定义域内的偶函数，只有B 选项的()f x 为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.又π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对A 选项：22ππ3π3sinπ2220ππ212()12()22f ⨯⋅⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭++，所以排除A.而由图可知()1f >-π，对C 选项：22212ππ2π+>+ ，()22222223πcos π3π2πππ1121π12π2πf +∴-+===-<-++，故排除C.故选：D.16．如图所示，已知()()010,0,4,0A A ，对任何n N ∈，点2n A +按照如下方式生成：121211,32n n n n n n n A A A A A A A π+++++∠==，且12,,,n n n A A A ++按逆时针排列，记点n A 的坐标为()(),n n a b n N ∈，则(lim ,lim )n n n n a b →∞→∞为A．207⎛ ⎝⎭B．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．3⎛ ⎝⎭D．207⎛ ⎝⎭【正确答案】A【分析】利用向量的定义，推导知112231n n n OA OA A A A A A A -=+++的向量坐标，然后求出an ，bn 的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，1,4731,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变.25832,,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加.36933,,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又112231n n n OA OA A A A A A A -=+++ ，所以123n a a a a =+++ =4-11112cos 601cos 60cos 60cos 6024816-⋅+--+=344111111421222222-⨯-⨯+--++=3691113222⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ =3-11112088317718n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎪=-= ⎪- ⎪⎝⎭123n b b b b =+++ =1102sin 601sin 600sin 60sin 60048+-⋅++-+ +L=11112148326411186411181218827n ⎫-+-+-⎪⎝⎭⎫=+++⎪⎝⎭⎫⎛⎫⋅- ⎪⎪⎝⎭⎪= ⎪- ⎪⎝⎭== 所以选A.本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三、解答题17．如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP.(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.【正确答案】(1)(2)(π2sin 20,23S θ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；（2）由正弦定理求出AP ，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.【详解】（1）由π3θ=，且ABC 是边长为2的正三角形，则2π3PAB ∠=，且2PA CP CA ===，所以在PAB 中，由余弦定理得22212cos 448122PB PA AB PA AB PAB ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以PB =（2）由CP CA =，则CAP CPA θ∠=∠=，则π2PCA θ∠=-，在PAC △中，由正弦定理有()2sin π2sin sin AP BC θθθ==-，得()2sin π24cos sin AP θθθ-==，所以1ππsin 4cos sin 233S PA AB θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2sin cos 2sin 22sin 23θθθθθθ⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，又0πθ<<，且0π2πθ<-<，则π02θ<<，所以ππ4π2333θ<+<，所以πsin 2,132θ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(π2sin 20,23θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故S 的取值范围为(0,2⎤+⎦.18．如图，线段1AA 是圆柱1OO 的母线，BC 是圆柱下底面O 的直径.(1)若D 是弦AB 的中点，且112AE AA = ，求证：DE //平面1A BC ；(2)若2,30BC ABC =∠=︒，直线1AC 与平面ABC 所成的角为π3，求异面直线1AO 与AB 所成角的大小.【正确答案】(1)证明见解析(2)arccos4【分析】（1）证明1//DE A B ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）取线段AC 的中点F ，连接1,A F OF ，证明//OF AB ，则1AOF ∠即为异面直线AB 与1AO 所成角，证明OF ⊥平面1AAC ，再解1Rt AOF △即可.【详解】（1）因为D 是弦AB 的中点，且112AE AA =，可知E 是线段1AA 的中点，故在1AA B 中，DE 为边1A B 的中位线，则1//DE A B ，又1A B ⊂面1A BC ，且直线DE 不在面1A BC ，则DE //平面1A BC ；（2）取线段AC 的中点F ，连接1,A F OF ，在ABC 中，线段OF 是AB 的中位线，故//OF AB ，则1AOF ∠即为异面直线AB 与1AO 所成角，由题意知，111,,22AC AF AB OF AB =====，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，因为BC 是圆柱下底面O 的直径，所以AB AC ⊥，又11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AAC ，所以AB ⊥平面1AAC ，所以OF ⊥平面1AAC ，又因1A F ⊂平面1AAC ，所以1OF A F ⊥，在1Rt AOF △中，1π3ACA ∠=，故1AA =12AO ==，故11cos 4OF AOF OA ∠==，则异面直线1AO 与AB所成角的大小为19．某学校有,A B 两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晩餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天为了吸引学生就餐，A 餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为13，而B 餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张.假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)A 餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去A 餐厅就餐的概率为23，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在A 餐厅就餐的概率为p ，若A 餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去A 餐厅就餐的概率是59，求p .【正确答案】(1)0.3，0.4(2)() 1.2E X =，分布列见解析(3)12p =【分析】（1）根据古典概型公式计算即可.（2）求得X 的可能取值及对应概率完成分布列，根据离散型随机变量的期望公式求解即可.（3）根据全概率和条件概率公式求解即可.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐”，事件D 为“乙员工午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐的天数为40，所以()()30400.3,0.4100100P C P D ====.（2）由题意知，X 可以取的值为：0，1，2()00.2P X ==，()10.4P X ==，()20.4P X ==，故X 的分布为：X012P0.20.40.4()00.210.420.4 1.2E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设M 表示事件“去A 餐厅就餐获奖”，N 表示事件“学生甲午餐去A 餐厅就餐”，由题知，()13P M =，()23P M =，()23P N M =，()59P N =，则()()()()()P N P N M P M P N M P M =+，解得()12p P N M ==.即如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在A 餐厅就餐的概率12p =.20．已知A 是椭圆22:14x C y +=的左顶点，P Q 、是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆C 的焦距和离心率；(2)设()()()0,,0,,1,0E t F s M ，若MF ME ⊥，且A 、P 、E 和A 、Q 、F 分别共线，求证：P O Q 、、三点共线；(3)若H 是椭圆C 上的点，且0OP OQ OH ++=，求PQH 的面积．【正确答案】(1)焦距为(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接由椭圆的方程得出a 和b ，再由c c ，即可得出焦距和离心率；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，首先由MF ME ⊥得出1st =-，方法一：由A P E 、、三点共线和A Q F 、、三点共线，得出()()1212224x x y y ++=-，再将,P Q 代入椭圆方程，联合整理得120x x +=，12y y =-，即可证明结论；方法二：写出直线AE 的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点P 和Q 的坐标，进而得出120x x +=，120y y +=，即可证明结论；（3）设()()()1122,,,,,H H P x y Q x y H x y ，由0OP OQ OH ++=，得出H x 和H y ，①当直线PQ 的斜率不存在时，得出111,x y PQ =±==PQH 的面积；②当直线PQ 的斜率存在时，设:PQ l y kx m =+，与椭圆方程联立，得出H x 和H y ，结合点H 在椭圆C 上，得出21,2H H k x y m m==-，再根据弦长公式得出PQ ，根据点到直线距离公式得出点(),H H H x y 到直线PQ 的距离，根据12PQH S PQ d =△即可得出面积．【详解】（1）由22:14x C y +=可知，2a =，1b =，故c ==所以焦距2c =2c e a ==．（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由题意，(2,0)A -，()1,MF s =- ，()1,ME t =- ，11(2,)AP x y =+ ，(2,)AE t =，22(2,)AQ x y =+ ，(2,)AF s =，又MF ME ⊥，所以0MF ME ⋅=，得1st =-，方法一：由A P E 、、三点共线，则AP AE∥，即11(2)2x t y +=，同理可得，A Q F 、、三点共线，则AQ AF∥，即()2222s x y +=，故()()1212224ts x x y y ++=，即()()1212224x x y y ++=-，又221114x y =-，222214x y =-，所以22222212121(1)(1)44()y y x x y y ==--22114444x x --=⋅1122(2)(2)(2)(2)16x x x x -+-+=，所以()()2212112222(2)(2)(2)(2)1166x x x x x x ++-+-+=，由12,[2,2]x x ∈-，整理得120x x +=，所以有2212y y =，又()()121220,20,0x x y y +≥+≥≤，故12y y =-，所以()()1122,,OP x y x y OQ ==--=- ，所以P O Q 、、三点共线．方法二：因为1st =-，()0,F s ，则10,F t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由(2,0),(0,)A E t -得直线AE 的方程为2ty x t =+，与椭圆C 联立22214t y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222214440t x t x t +++-=，则2124421t x t --=+，所以222222,11t t P t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理得222222,11t t Q t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以120x x +=，120y y +=，即P O Q 、、三点共线．（3）设()()()1122,,,,,H H P x y Q x y H x y ，因为0OP OQ OH ++=，()12H x x x =-+，()12H y y y =-+，①当直线PQ 的斜率不存在时，则1212x x y y =⎧⎨=-⎩，所以12H x x =-，0H y =，又H 是椭圆C上的点，此时111,2x y PQ =±==故132PQH S ==△，②当直线PQ 的斜率存在时，可设:PQ l y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，所以2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++，()121222214m y y k x x m k +=++=+，所以2282,1414H Hkm mx y k k ==-++，又点H 在椭圆C 上，代入整理得，22414k m +=，从而21,2H H k x y m m==-，于是PQ ===，点(),H H H x y 到直线PQ的距离d ==所以12PQH SPQ d ==△．21．已知函数()()()()2e e 2,,,x xf x b xg x ax b a b -=++-=+∈R .(1)()()()()10,10g f g f '==，求实数,a b 的值；(2)若1,2a b ==，且不等式()()e 22xf x kg -+'≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围；(3)设2b =，试利用结论2e e 2x x x -+≥+，证明：若12π,,,0,2n θθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭L ，其中*2,n n ≥∈N ，则()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅++⋅ ()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.【正确答案】(1)1,1a b ==(2)12k ≤(3)证明见解析【分析】（1）求得()2g x ax '=，根据题意得到方程组222a ab =⎧⎨+=⎩，即可求解；（2）把()()e 22xf x kg -+'≥-转化为即22e e 2e 2e 12e 44e 2x x x x x x k --++++≤=++对任意x ∈R 恒成立，设e xt =，设()22142t t h t t ++=+，利用导数求得函数()h t 在单调性，结合()()0h t h >，即可求解；（3）解法1：由不等式2e e 2x x x -+≥+，推得()()221212224f x f x x x ⋅≥++，进而利用累加法，即可得证；解法2：由2e e 2x x x -+≥+，得到()()()()222212121222224f x f x x x x x ≥++≥++，结合累加法，即可得证.【详解】（1）由函数()2g x ax b =+，可得()2g x ax '=，所以()1g a b =+，()12g a '=.又由()02f =，所以222a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==.（2）若1,2a b ==，可得()()2e e ,2x xf xg x x -=+=+，则()2g x x '=，则不等式()()e 22x f x kg -+'≥-可化为()e e 2e 22x x xk --+≥+-，即22e e 2e 2e 12e 44e 2x x x x x xk --++++≤=++对任意x ∈R 恒成立，令e xt =，则0t >，设函数()22142t t h t t ++=+，可得()22(21)t t h t t '+=+，因为0t >，所以()0h t '>恒成立，所以函数()y h t =在()0,∞+上严格递增，所以()()102h t h >=，故12k ≤，即实数k 的取值范围为1(,]2-∞.（3）解法1：由()()()()()12112212122112e e e e e e e ex x x x x x x x x x x xf x f x -+--+--⋅=++=+++，因为2e e 2x x x -+≥+，可得()()1212212e e2x x x x x x -+++≥++，当且仅当120x x +=时，等号成立；所以()1221212e e 2x x x x x x --+≥-+，当且仅当120x x -=时，等号成立，故()()()()22221212121222224f x f x x x x x x x ⋅≥+++-+=++，当且仅当120x x ==时等号成立.因此有()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++，()()222121sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ-->++，，()()2211sin cos 2sin 2cos 4,n n f f θθθθ>++以上n 个式子相加得：()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.解法2：由2e e 2x x x -+≥+，可得()()()()22222222121212121222224224f x f x x x x x x x x x ≥++=+++≥++，当且仅当120x x ==时等号同时成立.故()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++，()()222121sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ-->++，，()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++以上n 个式子相加得：()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

上海市奉贤区高考数学二模试卷解析版

高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.在等差数列{a n}中，设k，l，p，r∈N*，则k+l＞p+r是a k+a l＞a p+a r的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分非必要条件2.如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证，如图为鼎足近似模型的三视图（单位：cm），经该鼎青铜密度为a（单位：kg/cm3），则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量=体积×密度，单位：kg）（）A. 1250aπB. 5000aπC. 3750aπD. 15000aπ3.已知△ABC的周长为12，B（0，-2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（）A. （x≠0）B. （y≠0）C. （x≠0）D. （y≠0）4.设有△A0B0C0，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形△A1B1C1，再作△A1B1C1的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形△A2B2C2，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列△A n B n C n（n=1，2，3，…），它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 与原三角形相似D. 以上均不对二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.计算行列式=______．6.在的展开式中常数项为______．7.设函数y=f（x）=log2x+c的图象经过点（2，5），则y=f（x）的反函数f-1（x）=______．8.参数方程（θ为参数，θ∈[0，2π））表示的普通方程为______．9.若关于x、y的二元一次线性方程组的增广矩阵是，该方程组的解为，则a+c=______．10.若x、y满足约束条件，则x+3y的最小值为______．11.设等比数列{a n}中，首项a1＜0，若{a n}是递增数列，则公比q的取值范围是______．12.双曲线的右焦点恰好是y2=4x的焦点，它的两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为______．13.已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递减，当x+y=2019时，恒有f（x）+f（2019）＞f（y）成立，则x的取值范围是______．14.随机选取集合{地铁5号线，BRT，莘南线}的非空子集A和B且A∩B≠∅的概率是______．15.实系数一元二次方程ax2+bx+1=0（ab≠0）的两个虚根z1、z2，z1的实部Re（z1）＜0，则的模等于1，则实数m=______．16.设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含B、C两个端点），，且，x+y+xy的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知sinθ、sinα、co sθ成等差数列，sinθ、sinβ、cosθ成等比数列．（1）若，求θ；（2）求的值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD，PA=PD，AD的中点是E，PE⊥面ABCD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，．（1）求异面直线PC与AB所成角的大小；（2）求面PDC与平面PAB所成二面角的大小．19.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，该函数近似模型如下：，又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整分钟计算）20.已知两点F1（-2，0），F2（2，0），动点P在y轴上的射影是H，且，（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线PF1、PF2的两个斜率存在，分别记为k1、k2，若k1k2=1，求点P的坐标；（3）若经过点N（-1，0）的直线l与动点P的轨迹有两个交点为T、Q，当时，求直线l的方程21.统计学中将n（n≥2，n∈N*）个数x1、x2、…、x n的和记作，（1）设b n=|3n-13|（n∈N*），求；（2）是否存在互不相等的非负整数a1，a2，a3，…，a n，0≤a1＜a2＜a3…＜a n，使得=2019成立，若存在，请写出推理过程；若不存在请证明；（3）设x1，x2，x3，…，x n（n≥3）是不同的正实数，x1=a，对任意的n∈N*（n≥3），都有，判断x1，x2，x3，…，x n是否为一个等比数列，请说明理由答案和解析1.【答案】D【解析】解：在等差数列0，0，0，……中，3+4＞1+2，则a3+a4＞a1+a2不成立，即充分性不成立，在等差数列中，a k+a l=2a1+（k+l-2）d，a p+a r=2a1+（p+r-2）d，由a k+a l＞a p+a r得2a1+（k+l-2）d＞2a1+（p+r-2）d，即（k+l-2）d＞（p+r-2）d，当d＜0时，k+l-2＜p+r-2，即k+l＜p+r，即必要性不成立，即k+l＞p+r是a k+a l＞a p+a r的既不充分也不必要条件，故选：D．根据等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：由三视图可知，鼎足可看成一个中空圆柱体，外半径为10cm，内半径为5cm，则其重量为：（100π-25π）×50a=3750a，故选：C．根据三视图得到中空圆柱体，容易计算．此题考查了三视图，圆柱体体积等，属容易题．3.【答案】A【解析】解：∵△ABC的周长为12，顶点B（0，-2），C（0，2），∴BC=4，AB+AC=12-4=8，∵8＞4，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=4，c=2∴b2=12，∴椭圆的方程：（x≠0）故选：A．根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．4.【答案】A【解析】解：设第n个内切圆的圆心为O n，第n个三角形的内角，∠B n A n C n=a n，∠A n B n C n=b n，∠A n C n B n=c n，在四边形O n A n+1B n C n+1中，∵A n+1C n+1⊥O n B n，O n A n+1⊥B n C n，∴∠O n A n+1C n+1=∠A n+1B n O n=，同理∠O n A n+1B n+1=，所以a n+1=∠B n+1A n+1C n+1=∠O n A n+1C n+1+∠O n A n+1B n+1==，∴，设，令k=-2k-π，得，k=-，即，所以{}是以为首项，以-为公比的等比数列．∴，所以==，同理当n→+∞时，b n，c n都→，故三角形的极限为等边三角形．故选：A．根据相等的圆周角所对的弦长相等，将三角形边的问题转换为内角的问题．解决本题需要用的圆的性质：相同的圆周角所对的弦长相等，从而把判断边的关系转化为判断交的关系，在利用构造数列的方法解决问题，本题综合性较强，计算能力的要求较高，属于难题．5.【答案】0【解析】解：行列式=cos cos-sin=0．故答案为：0．利用二阶行列式展形法则和三角函数的性质直接求解．本题考查二阶行列式求值，考查二阶行列式展形法则和三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】160【解析】解：在的展开式中的通项公式为T r+1=•2r•x6-2r，令6-2r=0，求得r=3，可得常数项为•23=160，故答案为：160．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.【答案】2x-4，x∈R【解析】解：因为函数y=f（x）=log2x+c的图象经过点（2，5），代入得c=4，则f（x）=y=log2x+4，则y-4=log2x，x=2y-4，互换位置，则y=f（x）的反函数f-1（x）=2x-4．故答案为f-1（x）=2x-4．由函数y=f（x）=log2x+c的图象经过点（2，5），代入得c=4，得f（x）解析式，再反解得反函数．本题考查了反函数的性质属于简单题．8.【答案】（x-2）2+y2=1【解析】解：根据题意，参数方程，则有，变形可得：（x-2）2+y2=1；故答案为：（x-2）2+y2=1．根据题意，将参数方程变形可得，结合同角三角函数的基本关系式分析可得答案．本题考查圆的参数方程，关键是掌握圆的参数方程的形式．9.【答案】5【解析】解：由题意，可将增广矩阵还原成二元一次线性方程组的形式为：，且方程的解为：．将方程的解代入二元一次线性方程组，可得：，解得：．∴a+c=5．故答案为：5．本题可根据增广矩阵的定义将线性方程组还原，然后通过将方程的解代入方程组，可得到参数的值，即可得到结果．本题主要考查增广矩阵的定义以及与线性方程组的关系、互相转化等知识，本题属基础题．10.【答案】-2【解析】解：画出x、y满足约束条件可行域如下图，由z=x+3y得y=-x+；平移直线y=-x+，由图象可知当直线经过点A时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，由解得，A（4，-2）；故此时z=4-3×2=-2；故答案为：-2．作出x、y满足约束条件可行域，再由z=x+3y得y=-x+，从而求z的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．属于中档题．11.【答案】0＜q＜1【解析】解：由题意可得，∴，解得0＜q＜1，故答案为：（0，1）．由题意可得，即，由此解得公比q的取值范围．本题主要考查等比数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．12.【答案】．【解析】解：双曲线的右焦点恰好是y2=4x的焦点，可得c=1，双曲线的两条渐近线的夹角为，可得a=b，所以a=b=，可得双曲线方程为：．故答案为：．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的半焦距，利用双曲线的渐近线的夹角，可得ab 关系，然后求解即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查．13.【答案】（-∞，0）【解析】解：根据题意，函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，又由f（x）在[0，+∞）单调递减，则f（x）在（-∞，0]上也为减函数，则f（x）在R上为减函数，则f（2019）＜0，当x＜0时，y=2019-x＞2019，即f（x）＞f（2019）＞f（y），则恒有f（x）+f（2019）＞f（y）成立，当x=0时，y=2019，此时f（x）+f（2019）=f（2019）=f（y），f（x）+f（2019）＞f（y）不成立，当x＞0时，y=2019-x＜2019，此时不能满足f（x）+f（2019）＞f（y）恒成立，故x的取值范围为（-∞，0）；故答案为：（-∞，0）．根据题意，由奇函数的性质可得f（x）在R上为减函数且f（0）=0，据此对x进行分情况讨论，分析f（x）+f（2019）＞f（y）是否成立，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意奇函数的性质，属于综合题．14.【答案】【解析】解：集合{地铁5号线，BRT，莘南线}的非空子集有23-1=7个，故A，B都有7种选择，∴基本事件的总数为7×7=49个，其中A∩B=∅，包含①当A为单元素集合时，B可以是A的补集或B为单元素集合（不取A的元素）共有3×（1+2）=9．②当A为双元素集合时，B只能是它的补集，故A∩B=∅，包含12个基本事件．∴A∩B≠∅包含49-12=37个基本事件．故p=，故填：．分类讨论，计算出A∩B≠∅包含的基本事件的个数，再计算出基本事件的总数，即可求出概率本题考查古典概型的概率计算，计算A∩B≠∅包含的基本事件个数时需要分类讨论，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：设z1=c+di，z2=c-di（c＜0且c，d∈R），∵的模等于1，∴|20m+21m-2020z1|=|29m-2020z2|，∴|20m+21m-2020（c+di）|=|29m-2020（c-di）|，∴，∵c＞0，且c，d∈R，∴20m+21m=29m，解方程得：m=2．故答案为：2．设z1=c+di，z2=c-di，根据的模等于1，得到方程20m+21m=29m，解方程即可．本题考查本题考查复数的基本概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】[1，3]【解析】解：建立以点A为直角坐标系为原点，AB为x轴，AB为y轴的直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（-，），P（cosθ，sinθ），（0），又，所以，即，所以x+y+xy=cosθ+sinθ+sinθcosθ+sin2θ=2sin（θ+）+，又y1=2sin（θ+），y2=都在[0，]为增函数，在[，]为减函数，则当θ=0或时，x+y+xy取最小值1，当θ=时，x+y+xy取最大值3，即x+y+xy的取值范围为：[1，3]，故答案为：[1，3]由平面向量的坐标运算得：，所以，即，由三角函数求值及辅助角公式问题得：x+y+xy=cosθ+sinθ+sinθcosθ+sin2θ=2sin（θ+）+，又y1=2sin（θ+），y2=都在[0，]为增函数，在[，]为减函数，则当θ=0或时，x+y+xy取最小值1，当θ=时，x+y+xy取最大值3，即x+y+xy的取值范围为：[1，3]，得解本题考查了平面向量的坐标运算、三角函数求值及辅助角公式问题，属中档题17.【答案】解：（1）若，由sinθ、sinα、cosθ成等差数列，得sinθ+cosθ=2sinα=，即，∴=，由sinθ、sinβ、cosθ成等比数列，则sinθcosθ=sin2β＞0，则或，k∈Z．则∈（，）∪（，），k∈Z．此时∈[-1，）∪（，1]．∴θ∈空集；（2）依题意可知2sinα=sinθ+cosθ，sin2β=sinθcosθ，∵cos2α-cos2β=1-2sin2α-（1-2sin2β）=1-2-（1-sin2θ）=1--sin2θ-+sin2θ=0．【解析】（1）由，结合sinθ、sinα、cosθ成等差数列，得到∴=．由sinθ、sinβ、cosθ成等比数列，则sinθcosθ=sin2β＞0，求得θ的范围，可得sin（）的范围，说明θ∈∅；（2）利用等差中项和等比中项的性质求得sinα，sinβ与sinθ与cosθ的关系，进而利用同角三角函数的基本关系构造出等式，利用二倍角公式整理，即可得解．本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，考查了同角三角函数基本关系的运用，等差中项和等比中项的性质，属于中档题．18.【答案】解：由PA=PD，AD的中点是E，得PE⊥AD，∵，连接CE，则CE⊥AD，又PE⊥面ABCD，∴PE⊥EC．以E为坐标原点，分别以EC，EA，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知可得：A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1），（1），，∵cos＜＞==，∴异面直线PC与AB所成角的大小为；（2），，，．设平面PAB的一个法向量为，由，取z=1，得；设平面PCD的一个法向量为，由，取c=1，得．∵，∴面PDC与平面PAB所成二面角的大小为．【解析】首先证明EP，EC，EA两两互相垂直．（1）分别求出，的坐标，由数量积求夹角公式求解异面直线PC与AB所成角的大小；（2）分别求出面PDC与平面PAB一个法向量，由两法向量所成角求解面PDC与平面PAB所成二面角的大小．本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2；此时，………………（1分）又f（1）=44.42，所以a+47.42=44.42，解得a=-12；……………………………………（2分）所以，当时，函数f（x）取得最大值为y max=47.42，故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值47.42毫克/百毫升；……………（4分）（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x ＞2；由54.27•e-0.3x+10.18＜20，得，………………………（7分）两边取自然对数，得，………………………（8分）即-0.3x＜ln9.82-ln54.27，所以x＞==5.7；……………………（11分）故喝啤酒后需5小时42分钟后才可以合法驾车．………………（12分）注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分（2分）．【解析】（1）由图知函数f（x）取得最大值时对应的解析式，代入（1，44.42）求得f （x）的解析式，再计算f（x）的最大值；（2）由题意列不等式求出x的取值范围，即可得出结论（注：如果根据图象猜出正确答案，可给结果分）．本题考查了分段函数模型应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）设P（x，y），∵，∴（x+2）（x-2）+y2=，整理为：．（2）设p（x，y），则，=1．联立解得，x=，y=±．∴或或或；（3）设直线l的方程为：，（α为直线l的倾斜角，t为参数）．把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：（1+sin2α）t2-2t cosα-7=0，∴t1+t2=，t1t2=，，不妨设=t1＞0，=-t2＞0．∴=-=t1+t2=±，化为：2cos2α±7cosα-4=0，解得cosα=，可得α=或．∴直线l的方程为．【解析】（1）设P（x，y），由，可得（x+2）（x-2）+y2=，即可得出．（2）设p（x，y），则，=1．联立解出．（3）设直线l的方程为：，（α为直线l的倾斜角，t为参数）．把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：（1+sin2α）t2-2t cosα-7=0，可得t1+t2=，t1t2=，由，不妨设=t1＞0，=-t2＞0．可得=-=t1+t2，即可得出．本题考查了椭圆点标准方程及其性质、一元二次方程点根与系数点关系、直线参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）当n≤4时b n=13-3n，当n＞4时，b n=3n-13，则=10+…+1+2+…+17=79，（2）20+21+22+…+210=211-1=2047，2047-2019=28，22+23+24=28，则a1=0，a2=1，a3=5，a4=6，a5=7，a6=8，a7=9，a8=10时成立．（3）令q=＞0且q≠1，下面证明对任意的正整数k，a k=aq k-1：①当k=1，2时，显然成立；②假设对任意的k≤n-1，a k=aq k-1，下面证明a n=aq n-1：令x n=p•x n-1=apq n-2，=q-1，=p+=p+•=p+qp2•=p+qp2•，=，所以=⇔+•p2=⇔（q2-1）p+q（q2n-4-1）p2=q（q2n-4p2-1）⇔-qp2+（q2-1）p+q=0；解得q=p或q=-（舍）所以，a n=aq n-1．由归纳法，x1，x2，x3，…，x n是一个等比数列．【解析】（1）代值计算结果．（2）距离2019最近的2的幂次为211=2048，而2019小于2048，所以a n≤10，但是2048和2019的差不大，所以可以研究他们的差如何表示．（3）用一般的方法证明x1，x2，x3，…，x n是一个等比数列基本很难做到，所以我们采用数学归纳法，要归纳的结论并不困难，只需要把公比找到即可．（2）与二进制有关，（3）因为已知要证明的结论是等比数列，所以在用数学归纳法时结论比较明确，如果没有这个条件，则需要先算出数列的第三项，对数列的通项合理猜测．在用数学归纳法时，计算较为复杂，最好分成若干部分分别化简．。

2020年上海市奉贤区高考数学二模试卷(有答案解析)

解析：解：由题意，可将增广矩阵还原成二元一次线性方程组的形式为：
，且方程的解为：
．
将方程的解代入二元一次线性方程组，可得：
，
解得：
．
∴a+c=5．故答案为：5．本题可根据增广矩阵的定义将线性方程组还原，然后通过将方程的解代入方程组，可得到参数的值，即可得到结果．本题主要考查增广矩阵的定义以及与线性方程组的关系、互相转化等知识，本题属基础题．
似模型如下：
，又已知刚好过 1 小时时测得酒精含量值
为 44.42 毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）试计算喝 1 瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝 1 瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整分钟计算）
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20. 已知两点 F1（-2，0），F2（2，0），动点 P 在 y 轴上的射影是 H，且
∴椭圆的方程：
（x≠0）
故选：A．根据三角形的周长和定点，得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值，得到点 A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在 y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
，
（1）求动点 P 的轨迹方程；（2）设直线 PF1、PF2 的两个斜率存在，分别记为 k1、k2，若 k1k2=1，求点 P 的坐标；
（3）若经过点 N（-1，0）的直线 l 与动点 P 的轨迹有两个交点为 T、Q，当
时，
求直线 l 的方程
21. 统计学中将 n（n≥2，n∈N*）个数 x1、x2、…、xn 的和记作
（1）若，求 θ；

上海市奉贤区高三二模数学试题(解析版)

上海市奉贤区高三二模数学试题一、单项选择题1．如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是〔〕A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与AB D ．PA 与CD【答案】A【分析】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证PB DA ⊥、AB PD ⊥、PA CD ⊥，而BD 不一定与PC 垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项.【详解】由PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，A ：AD ⊂面ABCD ，那么PA AD ⊥，而AC 与AD 不一定垂直，不一定有BD ⊥面PAC ，故BD 不一定与PC 垂直，所以PC 与BD 数量积不一定为0，符合题意；B ：由A 知PA AD ⊥，又DA AB ⊥且AB PA A ⋂=，那么DA ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，所以PB DA ⊥，即PB 与DA 数量积为0，不合题意；C ：由上易知PA AB ⊥，又DA AB ⊥ 且DAPA A =，那么AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAB ，所以AB PD ⊥，即PD 与AB 数量积为0，不合题意；D ：由上知PA AB ⊥，而//AB CD ，所以PA CD ⊥，即PA 与CD 数量积为0，不合题意；应选：A.2．以下选项中，y 可表示为x 的函数是〔〕 A ．230yx -=B ．23x y = C ．()sin arcsin sin x y = D ．2ln y x =【答案】D【分析】根据函数的概念判断即可.【详解】选项A ，当3x =时，2y =±，故不正确；选项B ，当4x =时，8y =±，故不正确；选项C ，当12x =时，26y k ππ=+等等，故不正确；选项D ，由2ln y x =，可得2x y e =，为指数型函数，所以正确. 应选：D.3．1x ､2x ､1y ､2y 都是非零实数，()()()2222212121122x x y y x y xy +=++成立的充要条件是〔〕A ．212110100110x x y y = B ．1122101000y x y x =- C ．1122101000y x x y -= D ．211210100110x x y y =- 【答案】C【分析】将条件()()()222221212112212120x x y y x y xy x y y x +=++⇔-=，然后对四个选项逐个验证即可得出结果.【详解】因为1212,,,x x y y 都是非零实数，所以，()()()()()()()()()222221212112222222212121212121212122x x y y x y x y x x x x y y y y x x x y y x y y +=++⇔++=+++()()()22121212122121212122000x y x y y x y x x y y x x y y x ⇔-⋅+=⇔-=⇔-=对于选项A ：11221211221212112211221121010010101001111011000x x x x x x x y y y y y y y y x y x y x y x y y y =⨯-⨯+⨯=+=+⇔=⇔+=故A 错误；对于选项B ：1111121222221221010010101000xy x y x x y y y x y x x y x =⨯-⨯+⨯=-=---，故B 错误；对于选项C ：1111121222221221010010101000xy x y x y y x x y x y x x y ---=⨯-⨯+⨯=-=，故C 正确；对于选项D ：11221212112121211221122121010010101001111011000x x x x x x x y y y y y y y y x y x y x y x y y y =⨯-⨯+⨯=+=---+⇔=⇔+=故D 错误. 应选：C4．设点A 的坐标为(),a b ，O 是坐标原点，向量OA 绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA '，那么A '的坐标为〔〕A ．()cos sin sin cos a b a b θθθθ-+，B ．()cos sin cos sin a b b a θθθθ+-，C ．()sin cos cos sin a b a b θθθθ+-，D ．()cos sin sin cos b a b a θθθθ-+，【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得A '的坐标．【详解】根据题意，设||OA r =，向量OA 与x 轴正方向的夹角为α，又由点A 的坐标为(,)a b ，那么cos a r α=，sin b r α=，向量OA 绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA '，那么(cos()A r αθ'-，sin())r αθ-．而()cos cos cos sin sin cos sin r r r a b αθαθαθθθ-=+=+， sin()sin cos cos sin cos sin r r r b a αθαθαθθθ-=-=-，故A '的坐标为(cos sin ,cos sin )a b b a θθθθ+-，应选：B【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用模不变，两角差的正余弦公式求解即可，属于中档题.二、填空题5．经过点()2,4的抛物线2y ax =焦点坐标是__________. 【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】把点(2, 4)代入抛物线方程可得a ,进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标. 【详解】抛物线2y ax =经过点()2,4，1a ,∴抛物线标准方程为2x y =, ∴抛物线焦点坐标为1(0,)4故答案为: 1(0,)46．把一个外表积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥(假设没有任何损耗)，那么圆锥的高是__________厘米. 【答案】8【分析】由球体的变面积公式求球的半径，再根据实心铁球铸成圆锥前后体积不变，求圆锥的高即可.【详解】假设实心铁球的半径为r ，那么2416r π=π，可得2r ，∴其体积为343233V r ππ==，将其铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥， ∴假设设圆锥的高是h ，且底面积24S r ππ==，由前后体积不变知：3233Sh π=，故答案为：8. 7．11izi(i 是虚数)是方程210x ax -+=()a R ∈的一个根，那么z a -=__________.【答案】1【分析】先利用复数的除法运算求出z ，然后代入方程求出a ,利用共轭复数和模的定义求解即可. 【详解】(1)(1)2(1)(1)211i i ii i i z i i ---===-+--=+， 210i ai ∴++=，解得 0a =，1z a z i ∴-===，故答案为：18．正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25760a a a +-=，那么11S =________．【答案】22【分析】根据等差数列的性质可得62a =，再根据求和公式即可求出．【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S .由25760a a a +-=得26620a a -=，所以62a =，60a =〔舍〕611111211112222a a a S +=⨯=⨯= 故答案为：22【点睛】此题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于根底题．9．某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元.【分析】将表格中各区间家庭收入的中间值乘以频率，然后加总即可. 【详解】由表格数据知：家庭的平均年收入(4.5 5.5 6.5)0.27.50.26(8.59.5)0.07 6.51++⨯+⨯++⨯=万元.故答案为：6.51.10．某参考辅导书上有这样的一个题：△ABC 中，tan A 与tan B 方程2310x x --=的两个根，那么tan C 的值为〔〕 A ．32-B ．32C ．12-D ．12你对这个题目的评价是_______________________________________.(用简短语句答复) 【答案】无正确选项，条件与结论有矛盾，是错题，无解【分析】由根与系数关系得tan tan 3A B +=，tan tan 1A B =-，结合两角和正切公式求tan C ，根据三角形内角和性质即可判断条件与结论有矛盾.【详解】由题设知：tan tan 3A B +=，tan tan 1A B =-，而()C A B π=-+，∴tan tan 3tan tan()1tan tan 2A B C A B A B +=-+=-=--，又A B C π++=，由上知：A 、B 必有一个角大于90°，同时C 也大于90°，显然不符合三角形的内角和为180°. ∴无正确选项，条件与结论有矛盾.故答案为：无正确选项，条件与结论有矛盾，是错题，无解.11．用0，1两个数字编码，码长为4〔即为二进制四位数，首位可以是0〕，从所有码中任选一码，那么码中至少有两个1的概率是_______.【答案】1116【分析】由中用0，1两个数字编码，码长为4，我们可以计算出编码的所有种数，由于所有码中任选一码，那么码中至少有两个1情况复杂，我们可以先计算其对立事件：从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1的概率，进而根据对立事件概率减法公式进行求解．【详解】设从四位编码中任选一码，那么码中至少有两个1为事件A ；那么它与从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1互为对立事件；由于用0，1两个数字编码，码长为4时不同的编码共有4216=种；其中码中至多有一个1包括两种情况：一是不含1，共有1种情况，另一种是只含一个1，共有4种情况故它与从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1的概率()516P A =，那么从四位编码中任选一码，那么码中至少有两个1的概率511()1()11616P A P A =-=-=，故答案为1116. 【点睛】此题主要考查的知识点是对立事件的概率以及古典概型概率公式，属于难题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中根本领件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个根本领件m ，然后根据公式mP n=求得概率． 12．设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS S +=+，1q >，对任意的1n ≥，n N ∈均有+14n n S a ≤，那么q 的取值为__________. 【答案】2【分析】由递推式，结合n a 与n S 的关系及等比数列的定义，可判断{}n a 是公比为q 的正项等比数列，写出n a 、1n S +，根据题设不等式恒成立可得12(2)1n q q --≤恒成立，即可求q 值.【详解】由题设知：当1n =时，221111(1)S a a qS S q a =+=+=+，即21a qa =，当2n ≥时，111()n n n n n n a S S q S S qa ++-=-=-=，综上知：{}n a 是公比为q 的正项等比数列，即11n n a a q-=，而()11111(0)1n n a q S aq++-=>-，∴由题设知：对任意的1n ≥，n N ∈有11141n n q q q+--≤-成立，又1q >， ∴1114()n n n q q q +--≤-，整理得：12(2)1n q q --≤恒成立，而n →+∞时1n q -→+∞， ∴2q.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：由n a 与n S 的关系及等比数列的定义求n a 、1n S +，根据数列不等式恒成立求q 值即可.13．函数331xxay =++在0,内单调递增，那么实数a 的取值范围是__________.【答案】(],4-∞【分析】讨论0a <、0a =、0a >：显然根据解析式知0a <、0a =，函数在0,内单调递增；0a >，利用根本不等式(注意等号成立的条件)，结合对勾函数的性质判断函数的单调增区间，即可求a 的范围. 【详解】当0a <时，在0,上，()3x f x =单调递增，()31xag x =+单调递增，即331x x ay =++单调递增，符合题意；当0a =时，3x y =在0,内单调递增，符合题意；当0a >时，3111131x x a y =++-≥=+，∴11≤，04a <≤时，等号不成立，此时y 在0,内单调递增，符合题意；11>，4a >时，假设当且仅当3log 1)x =时等号成立，此时y 在()3og ),l 1∞+内单调递增，不符合题意.综上，有(],4a ∈-∞时，函数331xxay =++在0,内单调递增.故答案为：(],4-∞.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，当0a <、0a =时，根据函数解析式直接判断单调性，当0a >时，综合应用根本不等式、对勾函数的性质判断函数的单调区间，进而求出参数范围.14．假设1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，那么1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________. 【答案】126x-【分析】由二项展开式通项，结合指定项系数求n ，利用二项式的对称性确定系数最小的项的r 值，即可求系数最小的项. 【详解】由二项式知：211()(1)r n rr r r n r r n n T C xC x x--+=-=-，而3x 项的系数是84-，∴23n r -=时，有2384rr C +=且r 为奇数(0)r >，又由399!98 (1)=843!(93)!(321)(6...1)C ⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯，∴可得3239r n r =⎧⎨=+=⎩.∴9219(1)r r rr T C x -+=-，要使系数最小，r 为奇数，由对称性知：=5r ，∴55169126(1)T C x x-=-=-. 故答案为：126x-. 【点睛】关键点点睛：根据指定项系数求二项式的指数，利用二项式的对称性确定系数最小项的参数r ，即可求项. 15．函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，那么非零整数n 的值是_________.【答案】10±，11±【分析】由题设可得()f x 最小正周期为||T n =，又x ∈Z 且()f x 值域有6个实数组成，即||[0,]2n 上一定存在6个整数点，讨论n 为奇数或偶数，求n 值即可. 【详解】由题设知：()f x 的最小正周期为2||2||T n nππ==，又x ∈Z ， ∴n 为非零整数，在||[0,]2n 上()f x 的值域有6个实数组成，即()f x 的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数， ∴当n 为偶数，有||52n =，即10n =±；当n 为奇数，有||562n <<，即11n =±；故答案为：10±，11±【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的性质可求()f x 最小正周期为||T n =，结合有||[0,]2n 内有6个整数点，讨论n 的奇偶性求值. 16．如图，P 是半径为2圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，假设2AB BC =，那么PC PA ⋅的值域是__________.【答案】5213,0⎡⎤-⎣⎦【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可．【详解】以圆心为原点，平行AB 的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，那么(3)A -，3)C ，设(2cos ,2sin )P θθ，233ππθ，那么(22cos PC PA θ⋅=-，32sin )(12cos θθ⋅--，32sin )52cos 43sin θθθ=--5213sin()θα=-+，且330tan α<=<，06πα∴<<，∴536ππθα<+<， sin()y θα=+在(3π，]2π上递增，在[2π，5)6π上递减，∴当2πθα=-时，PC PA ⋅的最小值为5213-当23πθ=时，PC PA ⋅的最大值为2252cos 43sin 033ππ--=，那么[5213PC PA ⋅∈-，0]，故答案为：[5213-，0]．【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．M ､N 是正四棱柱1111ABCD A BC D -的棱11B C ､11C D的中点，异面直线MN 与1AB 所成角的大小为10arccos 10〔1〕求证：M ､N ､B ､D 在同一平面上；〔2〕求二面角1C MN C --的大小. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕arctan 42.【分析】〔1〕根据MN //DB 可知四点共线，即可求证；〔2〕先证明1COC ∠是二面角1C MN C --的平面角，解三角形求解即可. 【详解】〔1〕连接MN ､DB ､11D B ，取MN 的中点O ，连接1,CO C O ,如图，M 是棱11B C 的中点.N 是棱的11C D 的中点，那么MN //11D B ，DB //11D B 所以MN //DB ，所以M ､N ､B ､D 确定一个平面，即M ､N ､B ､D 在同一平面上.〔2〕由〔1〕可知11AB D ∠(或其补角)是异面直线MN 与1AB 所成的角设底面ABCD 的边长为a ，正四棱柱高h1AB =1AD =11B D =，2222211cos AB D ∠==2h a = 取MN 的中点O ，因为CM CN =，11C M C N =，那么CO MN ⊥，1C O MN ⊥，1COC ∠是二面角1C MN C --的平面角14C O a =，1Rt COC中，111tan 4CC COC OC ∠===二面角1C MN C --的大小为arctan 【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义，作出或证明二面角，利用直角三角形求解即可，属于中档题.18．设函数()()()lg 1cos2cos f x x x θ=-++，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭〔1〕讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；〔2〕设0θ>，解关于x 的不等式3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕3352,22,24444k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈. 【分析】〔1〕应用分析法：假设()f x 为偶函数有()()fx f x -=，易得2sin sin 0x θ=恒成立；假设()f x 为奇函数有()()000f x f x +-=0θ=恒成立；再根据θ的取值范围即可确定()f x 分别为奇、偶函数是否能成立. 〔2〕由函数不等式，将自变量代入化简得2cos cos 04x πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合题设及余弦函数的性质即可求解集.【详解】〔1〕由对数的性质，得1cos 20x ->，∴cos 21x ≠，即()x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称， 1、偶函数，那么有()()f x f x -=，即()()()()lg 1cos 2cos log 1cos 2cos x x x x θθ--+-+=-++⎡⎤⎣⎦，可得()()cos cos x x θθ-+=+，∴整理得：要使2sin sin 0x θ=对一切()x k k Z π≠∈恒成立，在0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭中有0θ=.2、奇函数，那么定义域内，任意0x 有()()000f x f x +-=，如04x π=，∴044f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而lg 1cos()cos cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，lg 1cos cos =cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0θ=，显然在[0,)2πθ∈上不成立，综上，当0θ=时为偶函数；当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时既不是奇函数又不是偶函数.〔2〕由3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入得33lg 1cos 2cos lg 1cos 2cos 04444x x x x ππππθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-----+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，∴()()3lg 1sin 2cos lg 1sin 2cos 044x x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫++++-+--+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简为cos cos 044x x ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开整理得：2cos cos 04x πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即cos 0θ>， ∴可得1122cos 04,,434x x k k Z k Z x k πππππ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+≠∈∈⎨⎪⎪-≠⎪⎩∴解集为3352,22,24444k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈. 【点睛】关键点点睛：〔1〕利用分析法，假设()f x 为奇或偶函数，将问题转化为说明在θ的范围中是否有使2sin sin 0x θ=、2cos 0θ=成立的区间即可.〔2〕将自变量代入函数式，结合三角恒等变换化简，根据余弦函数的性质求解集. 19．假设在一个以米为的空间直角坐标系O xyz -中，平面xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人T 的控制台A ，A 的位置为()170,200,0.上午10时07分测得飞行机器人T 在()150,80,120P 处，并对飞行机器人T 发出指令：以速度113v =米/秒沿向量131********d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达Q 点，再发出指令让机器人在Q 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿向量2121222d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人T 最终落在平面xOy T 近似看成一个点.〔1〕求从P 点开始出发20秒后飞行机器人T 的位置；〔2〕求在整个飞行过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离(精确到米). 【答案】〔1〕()212,200322,48-；〔2〕73米. 【分析】(1)利用向量的坐标运算性质即可求解；(2) 当Q 点与4点处于同一垂直线上时，与控制台4的距离最近,然后求出两点间的距离即可求解.【详解】〔1〕设飞行时间为t 秒，T 的位置()x y z ，，当010t ≤≤时，113v =111,13PT d t λλ==，()3124150,80,12013,,131313x y z t ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭当010t ≤≤时，所以150380121204x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩10t =得()180200,80Q ，当1012t <≤时()180200,80Q ，当1232t <≤时22QT d λ=，()2812t λ=-，()()11180,200,80812,22x y z t ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭所以())()180412132420012200804121284x t ty t z t t ⎧=+-=+⎪=--=+⎨⎪=--=-⎩20t =秒后飞行机器人T的位置()212,200-〔2〕当010t ≤≤时(150AT =169AT =定义域内单调递减∴10t =，min 81AT AQ ==≈ 当1012t <≤时min 81AT AQ ==≈当1232t <≤时()1324200,1284T t t ++-， (132AT =(4AT =64AT =64AT =∴16.375t =，min 73AT ≈答：在整个行驶过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离73米.20．曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=()0a >在第一象限的交点为A .曲线C 是2211x y a -=(1A x x ≤≤)和22149x y a+=(A x x ≥C 与x 轴的左交点为M ､右交点为N .〔1〕设曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=()0a >具有相同的一个焦点F ，求线段AF 的方程；〔2〕在〔1〕的条件下，曲线C 上存在多少个点S ，使得NS NF =，请说明理由. 〔3〕设过原点O 的直线l 与以(),0D t ()0t >为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T .直线l 与曲线C 在第一象限的两个交点为P .Q .当22211+=OT OPOQ对任意直线l 恒成立，求t 的值. 【答案】〔1〕()375545y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤≤；〔2〕一共2个，理由见解析；〔3〕答案见解析.【详解】〔1〕线段AF 的方程42075335y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≤≤ 724,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5,0F -，线段AF 的方程()375545y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤≤〔2〕方法一：()7,0N ，2NF =假设点S 在曲线221124x y -=上()()()2222277724125145015SN x y x x x x x ⎫=-+-+-=-+⎪⎭≤≤单调递增 ∴6SN ≥所以点S 不可能在曲线221124x y -=上所以点S 只可能在曲线2214924x y +=上，根据NF NS =得()22227414924x y x y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩可以得到16148,2525S ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 当F 左焦点，12NF =，同样这样的S 使得NF NS =不存在所以这样的点S 一共2个〔3〕设直线方程y kx =，圆方程为()()22201x t y r r -+=<<r =2222221t OT OT OD DT k ==-=+ 22221P y kxa x y a k x a =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩，()()222221111P a k k x k a OP -==++ 22224949149Q y kx a x x y a k a =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，()()2222211491491Q a k k x k a OQ +==++ ()()22222211491491a k a k k a k a OP OQ -++=+++()()222214950491491a k a k a a k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭根据22211+=OTOPOQ得到25049t t =∴= 补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数a 的影响，蕴含着如下关系，∵r ==0k << 当2212001117649ar a <+≤，存在T ，否那么不存在T 这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线C 有两个交点的大前提，当共焦点时()0,0,135r ⎛∈⊂ ⎝⎭存在t=135r ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭不存在 21．设数列{}n a 满足，()()111sin cos n n n n n nn n n a k a a a a a k a a a -+-⎧+>⎪=⎨+<⎪⎩，1+≠n n a a ，设1a a =，2a b =.〔1〕设5=6b π，k π=-，假设数列的前四项1a ､2a ､3a ､4a 满足1423a a a a =，求a ；〔2〕0k >，4n ≥，n N ∈，当02a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，02b π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，a b <时，判断数列{}n a 是否能成等差数列，请说明理由；〔3〕设4a =，=7b ，1k =，求证：对一切的1n ≥，n N ∈，均有72n a π<. 【答案】〔1〕53a π=-；〔2〕数列不可能成等差数列，理由见解析；〔3〕证明见解析. 【分析】〔1〕分a b <和a b >讨论，求出3a ，4a ，根据条件1423a a a a =求得a ；〔2〕用反证法证明：假设数列{}n a 成等差数列，推得()d l m ππ=-≥与102n n d a a π+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，矛盾，即可得到结论；〔3〕先求出3a 、4a ，利用反证法证明，假设数列{}n a 中有不小于72π的项，设k a 是第一个不小于72π的项，(4k ≥，k ∈N )，经过推理得到73,2k a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭产生矛盾即可证明.【详解】〔1〕当a b <时，3225sin 623a a a ππππ=-=-=，433cos 326a a a ππππ=-=-=-根据条件得1423a a a a =∴53a π=- 当ab >时，(32255cos 66a a a πππ+=-=+=，43sin 0a a π-=->⎝⎭所以43a a >，∴341a a < 根据条件得1423a a a a =，∴3224a a a a a =⋅<与a b >不符合，舍去所以53a π=-〔2〕假设数列{}n a 成等差数列，设公差为d因为a b <，所以2102d a a b a π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，那么{}n a 是单调递增的正数列因此1sin n n n d a a k a +=-=，211sin n n n d a a k a +++=-= 所以1sin sin n n a a +=得到12n n a a m π+=+0m ≥，m Z ∈(舍去)或者12n n a a m ππ++=+，0m ≥，m Z ∈ 从而122n n a a l ππ+++=+，0l ≥，l Z ∈，l m >推得()2=22n n a a l m d π+--=，∴()d l m ππ=-≥与102n n d a a π+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，矛盾所以数列不可能成等差数列. 〔3〕设4a =，=7b ，1k = 得到37=7+sin7<82a π<得到()4337=+sin =7+sin7+sin 7+sin792a a a π<< 假设数列{}n a 中有不小于72π的项，设k a 是第一个不小于72π的项，(4k ≥，k ∈N )，即172k k a a π-<≤. 根据运算性质可以得()()111sin cos n n n n n n n n a a a a a a a a -+-⎧>⎪-=⎨<⎪⎩，即数列中的任何相邻两项的差都不大于1，因此1773122k a πππ-<-<≤，即173,2k a ππ-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而在这个区间中11sin 0,cos 0k k a a --<<，从而()()1121112sin 0cos k k k k k k k k a a a a a a a a -------⎧>⎪-=<⎨<⎪⎩，得到173,2k k a a ππ-⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭产生矛盾所以对一切的n N ∈，均有72na π<. 【点睛】〔1〕等差〔比〕数列问题解决的根本方法：根本量代换和灵活运用性质；。

上海市奉贤区高三二模数学试题及答案

学年第二学期奉贤区调研测试高三数学卷201704考试时间120分钟，满分150分一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f 2cos π的最小正周期是________． 2．若关于,x y 的方程组⎩⎨⎧=+=+21y x y ax 无解，则=a ________．3．已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为________．4．设集合{}{}23A x x ,B x x t =-≤=<，若A B=∅I ，则实数t 的取值范围是______．5．设点()9,3在函数()()()log 10,1a f x x a a =->≠的图像上，则()f x 的反函数()1f x -=________．6．若,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数2z x y =+的最大值是________．7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为06=-+y x ，圆C 的参数方程为[)()πθθθ2,02sin 2cos 2∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆心C 到直线l 的距离为________．8．双曲线2213yx -=的左右两焦点分别是12,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________．9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．10．已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的x 的系数，公比是复数iz 311+=的模，其中i 是虚数单位，则n n S ∞→lim =_____．11．已知实数x 、y 满足方程()()22111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为________．12．设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足 643214321=-+-+-+-x x x x ，则这样的排列有________个．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13．已知x ，y R ∈，且0x y >>，则下列不等式中成立的是（）A ．110x y -> B ．sin sin 0x y -> C ． 11()()022x y -< D ．ln ln 0x y +>14．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（）A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+15．矩形纸片ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；……；依次将宽BC n 等分，每个小矩形按图（1）分割并把n 2个小扇形焊接成一个大扇形．当n ∞→时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A ．小于2π B ．等于2π C ．大于2πD ．大于6.116．如图，在ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===．O 是ABC ∆的外心，OD BC⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（）A ．::a b cB ．111::a b cC ．s :s :s inA inB inCD ．cos :cos :cos A B C三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O ，直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，且222AB PO ==．（1）求异面直线PC 与OE 所成的角的大小；（2）求二面角P AC E --的大小．18．已知美国苹果公司生产某款iphone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()x R 万美元，且()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=40,400007400400,64002x x xx x x R （1）写出年利润W （万美元）关于年产量x （万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ．（1）若3=⋅，求cos AOC ∠的值；（2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*n N ∈）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1122++-=n n n b b ，81=b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥恒成立；（3）设11(1)(1)n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ<恒成立，求λ的最小值．21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，左焦点是1F .（1）若左焦点1F 与椭圆E 的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3Q 在椭圆E 上.求椭圆E 的方程；（2）过原点且斜率为()0t t >的直线1l 与（1）中的椭圆E 交于不同的两点,G H ，设()()0,2,1,011A B ，求四边形11AGB H 的面积取得最大值时直线1l 的方程；（3）过左焦点1F 的直线2l 交椭圆E 于,M N 两点，直线2l 交直线()0x p p =->于点P ，其中p 是常数，设1MF λ=，1NF μ=，计算μλ+的值（用b a p ,,的代数式表示）.奉贤高三二模练习卷参考答案一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1、2π；2、1；3、n a =82n -；4、1t ≤-；5、21x +；6、3；7、 8、,22⎛⎫⎛+∞-∞- ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭U ；9、28π； 10、70；11、2； 12、9；二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13、C; 14、A;15、C; 16、D;三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17、【解答】（1）证明：方法（1）∵PO 是圆锥的高，∴PO ⊥底面圆O ，根据中点条件可以证明OE ∥AC ，2分PCA ∠或其补角是异面直线PC 与OE 所成的角；1分2222222,222AC OA OC PC PA OP OC =+=+===+=+= 2分所以3PCA π∠=1分异面直线PC 与OE 所成的角是3π1分（1）方法(2)如图,建立空间直角坐标系,()()()()0,0,2,0,2,0,0,2,0,2,0,0P B A C-,3分()1,1,0E1分xyz()0,1,1=OE ,()2,0,2-=PC ,()0,2,2=AC ,设PC 与OE 夹角θ,21222cos =⨯=⋅=OEPC OE PC θ 2分异面直线PC 与OE 所成的角3π1分（2）、方法（1）、设平面APC 的法向量()1111,,z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011AC n PC n 1111220220x z x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，()1,1,11-=∴n 3分平面ACE 的法向量()1,0,02=n 1分设两平面的夹角α,则33131cos 2121=⨯=⋅⋅=n n n n α 2分所以二面角P AC E --的大小是arccos3． 1分方法（2）、取AC 中点为D ，连接,PD OD ，又圆锥母线PA AC =，∴PD AC ⊥∵底面圆O 上OA OC =∴OD AC ⊥又E 为劣弧CB 的中点，即有E ∈底面圆O∴二面角P AC E --的平面角即为PDO ∠ 3分∵C 为半圆弧AB 的中点，∴090AOC ∠=又直径AB =∴112OD AC == ∵PO ⊥底面圆O 且OD ?底面圆O ，∴PO OD ⊥又PO =Rt PDO ∆中，PD = 3分∴3OD cos PDO PD ∠== 所以二面角P AC E --的大小是arccos 31分18、【解答】（1）当040x <≤时，()()21640(4006)(1640)638440W xR x x x x x x x =-+=--+=-+-； 3分当40x >时，()()()27400400004000016401640736016W xR x x x x x xx x ⎛⎫=-+=--+=-- ⎪⎝⎭ 3分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-+-=40,40000167360400,4038462x x x x x x W ；（2）当040x <≤时，()226384406326104W x x x =-+-=--+；∴当32x =时，()max 326104W W ==； 3分当40x >时，400007360167360W x x =--≤-当且仅当4000016x x=，即50x =时，()max 505670W W ==5760 3分 ∵61045760>∴当32x =时，W 的最大值为6104万美元． 2分19、【解答】（1）以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设AOC θ∠=，()2,0A()cos ,sin C θθ，()cos2,sin 2B θθ， 2分 ()θθsin ,2cos -=， ()θθ2sin ,22cos -= 2分()()cos 2cos 22sin sin 2AC AB θθθθ⋅=--+uu u r uu u rcos cos22cos22cos sin sin 24θθθθθθ=--++22cos 2cos 44cos cos 6θθθθ=--+=--+ 2分 24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去）（不舍扣1分） 3分（2）,,A B C 三点共线，所以cos 22sin 2cos 2sin θθθθ-=- 2分3cos 4θ∴=1分214212cos 2AC θ∴=+-⨯⨯⨯=AC ∴=分19（1）方法二、设AOC θ∠=，+=，+=2分()()OB OC AO OC OB AO AO OB AO OC AO AB AC ⋅+⋅+⋅+=+⋅+=⋅∴22分()()412cos 212cos cos 42cos 2cos πθπθθθθ=+⨯⨯-+⨯⨯-+=-- 2分24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去）3 分20、【解答】（1）由22n n S a =-，得1122n n S a ++=- 两式相减，得1122n n n a a a ++=-∴12n n a a +=2分数列{}n a 为等比数列，公比2q =又1122S a =-，得1122a a =-，12a =∴ 2n n a = 2分（2）1122++-=n n n b b 11122n nn n b b ++=- 1分()()111122n n b b n =+-⨯-，()25n n b n =- 2分方法一当5n ≤时，()25n n b n =-0≥1分因此，1234T T T T <<<Λ>>=65T T 1分∴ 对任意*n N ∈均有45n T T T =≥，故4k =或5。

2020-2021年上海市奉贤区高三数学二模试卷含答案

2020学年奉贤区学科教学质量调研高三数学（2021.4）（完卷时间120分钟，满分150分）一．填空题(本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分, 7-12题每个空格填对得5分) 1、经过点()2,4的抛物线2y ax =焦点坐标是__________．2、把一个表面积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是__________厘米．3、已知11i z i-=+（i 是虚数单位）是方程210x ax -+=()a R ∈的一个根，则z a -=__________．4、已知各项为正的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25760a a a +-=，则11S =_______．5、已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元．家庭年收入（以万元为单位） [)4,5[)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[)9,10频率f0.20.20.20.260.070.076、某参考辅导书上有这样的一个题：你对这个题目的评价是________________________________________．（用简短语句回答） 7、用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件}{1A =码中至少有两个的概率是__________．8、设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS S +=+，1q >,对任意的1n ≥，n N ∈均有+14n n S a ≤，则q 的取值为__________．9、函数331xx ay =++在()0,+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 10、假如1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________．11、函数()2cosf x x nπ=(x Z ∈)的值域有6个实数组成，则非零整数n 的值是_________． 12、如图，已知P 是半径为2圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，若2AB BC =，则PA PC ⋅的值域是__________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13、如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC 、BD 、PB 、PC 、PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与AB D ．PA 与CD 14、下列选项中，y 可表示为x 的函数是（）A ．230y x -= B ．23x y =C ．()sin arcsin sin x y =D ．2ln y x =15、已知1x 、2x 、1y 、2y 都是非零实数，()()()2222212121122x x y y x y xy +=++成立的充要条件是（）A ．212110100110x x y y =B ．1122101000y x y x =-C ．1122101000y x x y -= D ．211210100110x x y y =-16、设点A 的坐标为()b a ,，O 是坐标原点，向量OA 绕着O 点顺时针旋转θ后得到A O '，则A '的坐标为（）A ．()cos sin sin cos a b a b θθθθ-+，B ．()cos sin s a b bcos a in θθθθ+-，C ．()sin cos cos s a b a b in θθθθ+-，D ．()cos s sin cos b a in b a θθθθ-+，题图12题图13三．解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分） 17、已知M 、N 是正四棱柱1111ABCD A B C D -的棱11B C 、11C D 的中点异面直线MN 与1AB所成角的大小为（1）、求证：M 、N 、B 、D 在同一平面上；（2）、求二面角 1C MN C --的大小．18、设函数()()()lg 1cos2cos f x x x θ=-++，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭（1）、讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）、设0θ>，解关于x 的不等式3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19、假设在一个以米为单位的空间直角坐标系O xyz -中，平面xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人T 的控制台A ，A 的位置为()0,200,170．上午10时07分测得飞行机器人T 在()120,80,150P 处,并对飞行机器人T 发出指令:以速度113v =米/秒沿单位向量13124131313d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达Q 点，再发出指令让机器人在Q 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量211222d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T 最终落在平面xOy 内发出指令让它停止运动．机器人T 近似看成一个点．（1）、求从P 点开始出发20秒后飞行机器人T 的位置；（2）、求在整个飞行过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离（精确到米）．z x y APO 题图1920、曲线221 1x ya-=与曲线22149x ya+=()0a>在第一象限的交点为A．曲线C是2211x ya-=（1Ax x≤≤）和22149x ya+=（Ax x≥）组成的封闭图形．曲线C与x轴的左交点为M、右交点为N．（1）、设曲线2211x ya-=与曲线22149x ya+=()0a>具有相同的一个焦点F，求线段AF 的方程；（2）、在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NS NF=，请说明理由．（3）、设过原点O的直线l与以(),0D t()0>t为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T．直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q．当22211+=OTOP OQ对任意直线l恒成立，求t的值．21、设数列{}n a满足，()()111sincosn n n nnn n n na k a a aaa k a a a-+-⎧+>⎪=⎨+<⎪⎩，1n na a+≠，设1a a=，2a b=．（1）、设5=6bπ，kπ=-，若数列的前四项1a、2a、3a、4a满足1423a a a a=，求a；（2）、已知0k>，4n≥，n N∈，当02aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，02bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，a b<时，判断数列{}n a是否能成等差数列，请说明理由；（3）、设4a=，=7b，1k=，求证：对一切的1n≥，n N∈，均有72naπ<．2020届高三数学二模参考答案一、填空1、10,4⎛⎫⎪⎝⎭2、83、14、225、6.516、无正确选择支，条件自相矛盾，是错题，无解（意思对即可）7、1116 8、2 9、(],4-∞ 10、126x - 11、10,11±±、 12、5213,0⎡⎤-⎣⎦二、选择题13、A 14、D 15、C 16、B 三、解答题17（1）画出图连接MN 、DB 、11D BM 是棱11B C 的中点、N 是棱的11C D 的中点， MN 平行11D BDB 平行11D B所以MN 平行DB M 、N 、B 、D 确定一个平面即M 、N 、B 、D 在同一平面上（2）、由（1）可知11AB D ∠（或其补角）是异面直线MN 与1AB 所成的角设底面ABCD 的边长为a ，正四棱柱高h221AB a h =+，221AD a h =+，112B D a =， 22222112210cos 1022AB D a h a∠==+⋅，解得2h a =取MN 的中点O ，因为CM CN =，11C M C N =，则1,CO MN C O MN ⊥⊥，1COC ∠是二面角 1C MN C --的平面角124C O a =，1Rt COC ∆中，111tan 4224CC COC OC a ∠=== 二面角 1C MN C --的大小为arctan 4218（1）根据对数有意义，得1cos20x ->，cos21x ∴≠()x k k Z π≠∈定义域关于原点对称，当函数是偶函数，那么有()()f x f x -=，()()()()lg 1cos 2cos log 1cos 2cos x x x x θθ--+-+=-++⎡⎤⎣⎦()()cos cos x x θθ-+=+展开整理得2sin sin 0x θ=对一切()x k k Z π≠∈恒成立，O0,02πθθ⎡⎫∈∴=⎪⎢⎣⎭当函数是奇函数，那么任意定义域内0x 有()()000=-+x f x f ，例如40π=x ，044f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，lg 1cos()cos cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ lg 1cos cos =cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭044f f ππ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，推得cos 0θ=显然这样02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是不存在的，所以当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时既不是奇函数又不是偶函数说明假命题只能举反例（2）3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入得 33lg 1cos 2cos lg 1cos 2cos 04444x x x x ππππθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-----+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦这一步没有分()()3lg 1sin2cos lg 1sin2cos 044x x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫++++-+--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简cos cos 044x x ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+++<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得2cos cos 04x πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ cos 0θ∴>，所以cos 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭1122cos 04,434x x k k Z k Z x k πππππ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪∴+≠∈∈⎨⎪⎪-≠⎪⎩，所以不等式解集为3352,22,2,4444m m m m m Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭19、（1）设飞行时间为t 秒，T 的位置()x y z ，，当010t ≤≤时，13v =11,13PT d t λλ==，()3124150,80,12013,,131313x y z t ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭当010t ≤≤时，所以150380121204x t y tz t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩10t =得()180200,80Q ，当1012t <≤时()180200,80Q ，当1232t <≤时()22,812QT d t λλ==-，()()11180,200,80812,222x y z t ⎛⎫---=--- ⎪ ⎪⎝⎭所以())()180412132420012200804121284x t t y t z t t=+-=+⎧⎪⎪=--=+⎨⎪=--=-⎪⎩20t =秒后飞行机器人T的位置()212,20048-（2）当010t ≤≤时(150AT =169AT=定义域内单调递减min 10,81tAT AQ ∴===≈当1012t <≤时min81AT AQ ==≈ 当1232t <≤时()1324200,1284T t t++-，(132AT =(4AT =64AT =64AT ==min 16.375,73t AT ∴==答：在整个行驶过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离73米．20、（1）线段AF 的方程42075335y x x ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭724,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5,0F -，线段AF 的方程()375545y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭（2）方法一：()7,0N ，2NF =假设点S 在曲线221124x y -=上 715SN x ⎫===≤≤⎪⎭单调递增6SN ∴≥所以点S 不可能在曲线221124x y -=上所以点S 只可能在曲线2214924x y +=上，根据NF NS =得()22227414924x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩可以得到16148,2525S ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 当F 左焦点，12NF =,同样这样的S 使得NF NS =不存在所以这样的点S 一共2个（3）设直线方程y kx =，圆方程为()()22201x t y r r -+=<<r=1222222+=-==k t DT OD OT OT22221P y kx a x y a k x a =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩，()()222221111P a k k x k a OP -==++ 22224949149Q y kx a x x y a k a =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，()()2222211491491Q a k k x k a OQ +==++ ()()22222211491491a k a k k a k a OP OQ-++=+++()()222214950491491a k a k a a k k⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭根据22211+=OT OPOQ得到25049t t =∴=补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数a的影响，蕴含着如下关系，22504912001,117649r k ar T Ta ==<<<≤+当，存在否则不存在这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线C 有两个交点的大前提，当共焦点时 ()0,1r ⎛∈⊂ ⎝⎭存在275=t 1r ⎫∈⎪⎪⎣⎭不存在 21、（1）当a b <时，3225sin 623a a a ππππ=-=-=，433cos 326a a a ππππ=-=-=-根据条件得142353a a a a a π=∴=-当a b >时，(32255cos 66a a a πππ+=-=+=， 06)335(sin 34>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-ππa a所以34a a >，341aa∴<根据条件得31423224,a a a a a a a a a =∴=⋅<与a b >不符合，舍去所以53a π=-（2）假设数列{}n a 成等差数列，设公差为d因为a b <，所以2102d a a b a π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，则{}n a 是单调递增的正数列因此1sin n n n d a a k a +=-=，211sin n n n d a a k a +++=-=所以1sin sin n n a a +=得到Z m m m a a n n ∈≥+=+,0,21π（舍去）或者12,0,n n a a m m m Z ππ++=+≥∈ 从而122,0,,n n a a l l l Z l m ππ+++=+≥∈>推得()()2=22,n n a a l m d d l m πππ+--=∴=-≥与102n n d a a π+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，矛盾所以数列不可能成等差数列．（3）设4a =，=7b ，1k =得到37=7+sin7<82a π<得到()4337=+sin =7+sin7+sin 7+sin792a a a π<<假设数列{}n a 中有不小于72π的项，设k a 是第一个不小于72π的项，(4,k k N ≥∈)，即172k k a a π-<≤．根据运算性质可以得()()111sin cos n n n n n n n n a a a a a a a a -+-⎧>⎪-=⎨<⎪⎩，即数列中的任何相邻两项的差都不大于1，因此1773122k a πππ-<-≤<，即173,2k a ππ-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而在这个区间中11sin 0,cos 0k k a a --<<，从而()()1121112sin 0cos k k k k k k k k a a a a a a a a -------⎧>⎪-=<⎨<⎪⎩，得到173,2k k a a ππ-⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭产生矛盾所以对一切的n N ∈，均有72n a π<．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

2022年上海市奉贤区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2022年上海市奉贤区高考数学二模试卷1. 已知，其中i为虚数单位，则______.2. 已知集合，，则______.3. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为______.4. 若关于x，y的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是______.5. 抛物线上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则__________.6. 满足线性约束条件的目标函数的最大值是______.7. 若一个圆锥的主视图如图所示是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的表面积是______.8. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则的反函数______.9. 已知数列的通项公式为，则______ .10. 已知三角形的三边分别是5，7，8，则该三角形的内切圆的半径是______.11. 设项数为4的数列满足：，且对任意，，，都有，则这样的数列共有______个．12. 构造一个二元二次方程组，使得它的解恰好为，，要求与的每个方程均要出现x，y两个未知数．答：______.13. 在中，三个内角A，B，C所对应的边分别是a，b，已知：，：，则是的.( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是( )A. 平面B. 平面C. 平面D. 平面15. 已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①，，；②ab，bc，cd；③，，中，必成等比数列的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 316. 已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为( )A. 4B. 2C.D. 117. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，，四棱锥的体积为，M为BC的中点．求异面直线AM与PB所成的角；求直线PM与平面PBD所成的角．18. 已知数列和，其中，，数列的前n项和为若，求；若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．19. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．，为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内含边界且与A、B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，记铺设管道的总长度为设弧度，将y表示成的函数并求函数的定义域；假设铺设的污水管道总长度是，请确定污水处理厂的位置．20. 椭圆上有两点和，，点A关于椭圆中心O的对称点为点B，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．若点P在直线AT上，求点P坐标；是否存在一个点P，满足，若满足求出点P坐标，若不存在请说明理由；设的面积为，的面积为，求的取值范围．21. 对于函数，如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在非负实数a，使得恒成立，称函数具有性质判别函数，和，是否具有性质，请说明理由；函数，，若函数具有性质，求a满足的条件；若函数的定义域为一切实数，的值域为存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：由已知利用复数的基本概念及加法运算求解．本题考查复数的基本运算，考查复数的概念，是基础题．2.【答案】【解析】解：，，故答案为：由已知直接利用并集运算得答案．本题考查并集及其运算，是基础题．3.【答案】160【解析】解：二项式的通项为，第四项是常数项，即时为常数项，，，该常数项为，故答案为：先求出二项式的通项，根据第四项是常数项求出n的值，进而求出常数项．本题主要考查了二项展开式的通项，属于基础题．4.【答案】【解析】解：由，可得，由关于x，y程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件．本题考查了二元一次方程组解的情况，属于易做题．5.【答案】2【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．根据抛物线的性质即可得解．【解答】解：因为抛物线上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以，所以故答案为6.【答案】2【解析】解：先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，z最大值为故答案为：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.【答案】【解析】解：圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形圆锥的母线长是3，底面直径是2，所以半径是1，圆锥的侧面积是，底面积是，故该圆锥的表面积是故答案为：根据圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径是2，代入圆锥的侧面积公式，结合底面积，进而得到结果．本题考查由三视图求表面积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题．8.【答案】【解析】解：，幂函数为奇函数，且在上递减，是奇数，且，，，的反函数故答案为：先利用幂函数的性质求出的值，再利用反函数的定义求出即可．本题考查幂函数的性质，反函数的定义，是基础题．9.【答案】【解析】解：，故答案为：利用等比数列的求和公式，结合极限，即可得出结论．本题考查等比数列的求和公式，考查极限方法，属于中档题．10.【答案】【解析】解：设中、、，由余弦定理可得，即，所以，则，所以，设的内切圆的半径为r，则，即，解得；故答案为：利用余弦定理求出，根据同角三角函数的基本关系即可求出，根据面积公式及等面积法求出内切圆的半径．本题考查余弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】31【解析】解：当，时，，所以可能情况如下：1、一个1，三个：，、，，4个；2、两个1，一个和：，，，，，，，，，，，，12个；3、一个，三个：、、、，4个；4、两个，一个1和：、、、、，，，，，，，个；5、四个：个；6、两个，两个：、、、、、，6个；7、两个0，一个1和：、、、，，，，、，、，，12个；综上，数列共有51个．当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，所以、、、、、、、、，，，、，，、、、、、，20个不满足；综上，满足要求的数列有31个．故答案为：根据列举出所有可能的数列，再结合、、、同时成立，排除不满足条件的，即可得答案．本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于难题．12.【答案】【解析】解：过、两点的直线为，整理得，又因为、两点间距离为，、两点的中点坐标为，则以、两点为直径的圆为，则可令为，为，故答案为：不妨令为过、两点的直线，为以、两点为直径的圆，即可满足题意．本题属于开放型问题，考查了学生的理解、分析问题能力，也考查了转化思想，属于中档题．13.【答案】C【解析】解：，由正弦定理可得，，即，同理可得，当时，，故是的充要条件．故选：根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．14.【答案】D【解析】【分析】本题考查线面平行的判定定理，属基础题．线面平行的判定定理逐项判断即可．【解答】解：在直三棱柱中，可得，平面，平面，平面，故A正确；平面ABC，在直三棱柱中，可得平面平面，所以平面，故B正确；取中点N，又E是中点，所以，且，又F是棱BC的中点，所以，，，所以四边形BFEN是平行四边形，所以，平面，平面，平面，故C正确；因为，但，所以AE所在直线与所在直线相交，从而有AE不平行于，故D错误．故选：15.【答案】B【解析】解：对于①，当a，b，c，d成公比等于的等比数列时，、、都是0，不能构成等比数列；对于②，由于公比，所以，且，可得，得ab，bc，cd成等比数列；对于③，当a，b，c，d成公比等于1的等比数列时，、、都是0，不能构成等比数列综上所述，只有②中的三项能成等比数列，故选：根据题意，当已知条件的等比数列公比为时，①中的三个数不能成等比数列；而公比为1时②中的三个数不能成等比数列；而②中的三个数利用等比数列的定义加以证明，可得必定成等比数列．由此可得本题答案．本题给出四个数成等比数列，求由它们生成的数列是否能成等比．着重考查了等比数列的通项与性质、及其应用的知识，属于中档题．16.【答案】C【解析】解：设的起点均为O，以O为原点建立平面坐标系，如图所示，不妨设，则，由可得，即，的终点M在以为圆心，以为半径的圆上，同理的终点N在以为圆心，以为半径的圆上．显然当OM，ON为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．设圆心为A，则，，则，，设MN与x轴交于点B，由对称性可知轴，且，，即当与的夹角最大时，，故选：以O为原点建立平面坐标系，设，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量m，的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：由四棱锥的体积为，得，，，，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，异面直线AM与PB所成的角为；由知，，，设平面PBD的一个法向量为，则，令，则，，平面PBD的一个法向量为，又，设直线PM与平面PBD所成为，直线PM与平面PBD所成的角为【解析】利用四棱锥的体积为，可求得，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线AM与PB所成的角；利用建立的坐标系，求得平面PBD的一个法向量与直线PM的方向向量，可求直线PM 与平面PBD所成的角．本题考查线线角的求法，以及线面角的求法，属中档题．18.【答案】解：当时，，从而是等差数列，，，所以是等比数列，又，则，所以是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为q，由，可得，则，定值则数列为等差数列，设其首项为，公差为d，由数列的前n项和，可得方程组，整理得，解得：，，，则，由，可得，则，则数列的通项公式为；数列的通项公式为【解析】先判定数列和分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列的前n项和利用数列的前n项和列出方程组，解之即可求得、d、、q，进而求得数列和的通项公式．本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题．19.【答案】解：矩形ABCD中，，，，，，则，，则；令，，，则，又，即，则，则，此时，所以确定污水处理厂的位置是在线段AB的中垂线上且离AB的距离是【解析】依据题给条件，先分别求得OA、OB、OP的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置．本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由点和，，在椭圆上，可得，，则直线AT方程为，又点在直线AT上，则，解之得，则；椭圆的两焦点，；假设存在一个点P，满足，则点P一定在双曲线的左半支上，由，可得，又，则，解得，又因为点P在椭圆内部，所以，得，所以满足条件的点P不存在；两点、和在椭圆上，点在椭圆内部，，则直线OA的方程为，点到直线OA的距离，则，同理直线BT的方程为，点到直线BT的距离，则，令，，则，由，可得，，，即，由，可得，，，即，综上，的取值范围为，则的取值范围为【解析】先求得A、T两点坐标，进而可得直线AT的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点P坐标；假设存在符合条件的点P，列方程去求点P坐标，再以点在椭圆内部去判别是否存在；先求得的表达式，再去求的值域，进而求得的取值范围．本题考查了直线与椭圆、双曲线的综合应用及利用函数思想求值域，综合性较强，计算量也较大，属于难题．21.【答案】解：，所以，则，故，不具有性质；，恒成立，故，具有性质由，则，对任意恒成立，显然时，上式不等式成立；时，则，对任意不恒成立，舍去；综上，因为具有性质，所以，因为函数的值域为所以，，则，，，所以，即具有性质【解析】由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可；根据已知条件有对任意恒成立，讨论、判断不等式是否恒成立，即可得参数范围；由的性质可得，再根据对数函数的单调性及性质定义判断是否具有性质本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于难题．。

奉贤二模高三数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 答案：A解析：根据题意，函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，当x < -1时，f(x) = -2x；当-1 ≤ x ≤ 1时，f(x) = 2；当x > 1时，f(x) = 2x。

所以f(x)的最小值为2。

2. 答案：B解析：由题意得，a > 0，b < 0，c > 0，所以a + b + c > 0，故选B。

3. 答案：C解析：设复数z = x + yi，根据复数乘法得z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 +2xyi。

由于z^2 = 1 + 2i，所以x^2 - y^2 = 1，2xy = 2，解得x = 1，y = 1。

故选C。

4. 答案：D解析：由题意得，a^2 + b^2 + c^2 = 2，所以(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 2 + 2(ab + ac + bc)。

因为a + b + c = 0，所以ab + ac + bc = -1/2，代入得(a + b + c)^2 = 2 - 1 = 1，所以a + b + c = ±1。

故选D。

5. 答案：B解析：由题意得，sinα = 1/2，cosα = √3/2，所以sin(2α) = 2sinαcosα= 1。

故选B。

二、填空题（每题10分，共40分）6. 答案：2解析：由题意得，a^2 + b^2 + c^2 = 2，所以(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 2 + 2(ab + ac + bc)。

因为a + b + c = 0，所以ab + ac + bc = -1/2，代入得(a + b + c)^2 = 2 - 1 = 1，所以a + b + c = ±1。

7. 答案：-2解析：由题意得，x^2 - 2x + 1 = 0，解得x = 1。

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=【答案】A 【解析】【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ．【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．2．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭【答案】A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1xx f x x x x -===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 3．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（） A．2B．3C．5D．5【答案】C 【解析】【分析】在长方体中11//AB C D ，得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,Rt ADD DD AA AD AD ∆==∴111cos DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 4．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（）A ．13B ．23C ．23D ．2【答案】C 【解析】【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值．【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，由2AM BN =，则2FA FB =，点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为122B ⎛⎝，把122B ⎛ ⎝代入直线()()10y k x k =+>，解得223k =，故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 5．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =【答案】C 【解析】【分析】分析函数y x=的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2xy =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.6．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f >B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f >C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f <D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f < 【答案】A 【解析】【分析】设()()x f x g x e=，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增，得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解. 【详解】由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '''--'==，又由()()f x f x '<，所以()()()0xf x f xg x e '-'=>，即函数()g x 在R 上单调递增，则()0(3)(2018)g g g <<，即032018(0)(3)(2018)(0)f f f f e e e =<<，变形可得32018(3)(0),(2018)(0)f e f f e f >>.故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.7．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．12D ．2【答案】D 【解析】【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r. 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以22e =. 即椭圆C 的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.8．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（）A ．1B ．0C ．2π D ．ln 2【答案】D 【解析】试题分析：11 1ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

2024届上海市奉贤区高三二模数学试题及答案

第10题图第11题图上海市奉贤区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知复数 34z i i （i 为虚数单位），则z ．2.不等式21x 的解集为．3.抛物线24y x 上一点到点 1,0的距离最小值为．4.5.6.7.，假设8.9.03a 10.中挖去4量为g ．11.点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 棱上一点，则满足12PA PC 的点P 的个数为．第12题图第14题图第16题图12.函数 sin y x （0 ，π2）的图像记为曲线F ，如图所示．A 、B 、C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ，则直线AB 的斜率为．（用1k 、2k 表示）二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13. ,i i x y （i （）.A y .B .C .D 14.（.Ay f xg x 1f x g x ．15.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）.A 甲与乙相互独立；.B 乙与丙相互独立；.C 甲与丙相互独立；.D 乙与丁相互独立．16.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD ，BC m （1m ），3ABC.点E 是线段AB 上的一点，点F 在线段DC 上，DFt DC．命题①：若12AE EB ，则EF AD随着t 的增大而减少．命题②：设AE x AB ，若存在线段EF 把梯形ABCD 的面积分成上下相等的两个部分，那么12m x m， t f x 随着x 的增大而减少．则下列选项正确的是（）.A 命题①不正确，命题②正确；.B 命题①、命题②都不正确；.C三、17.已知 a 11 ，426b b ．（1）（2）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）3或4，则）0.05第19题图1第19题图2如左下图1是由两个三角形组成的图形，其中90APC ，30PAC ，2AC AB ，30BCA ．将三角形ABC 沿AC 折起，使得平面PAC 平面ABC ，如右下图2．设O 是AC 的中点，D 是AP 的中点．（1）求直线BD 与平面PAC 所成角的大小；（2）连接PB ，设平面DBO 与平面PBC 的交线为直线l ，判别l 与PC 的位置关系,并说明理由．第20题（2）图第20题（3）图已知曲线22:142x y C ，O 是坐标原点,过点 1,0T 的直线1l 与曲线C 交于P 、Q 两点．（1）当1l 与x 轴垂直时，求 OPQ 的面积；（2）过圆226x y 上任意一点M 作直线MA 、MB ，分别与曲线C 切于A 、B 两点，求证：MA MB （3）过点 ,0N n （2n ）的直线2l 与双曲线2214x y 交于R 、S 两点（1l 、2l 不与x 轴重合）．记直线TR 的斜率为TR k ，直线TS 斜率为TS k ，当ONP ONQ 时，求证：n 与TR TS k k 都是定值．；已知定义域为R 的函数 y f x ，其图像是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数 'y f x ．（1）求函数 e exxf x 在点0,0f 的切线方程：（2）已知 cos sin f x a x b x ，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得f x kf x 恒成立？（3）若函数 y f x 是奇函数，且满足 23f x f x ．试判断 22f x f x 对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由．上海市奉贤区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案一、填空题1、4+3i .2、 1,33、14、5、0.146、7、208、1122，9、110、132511、612、12122k k k k 二、选择题13、D 14、A 15、A 16、A三、解答题17、（1）因为2d ，且5154522S a，所以11a ，所以23n a n .4分因为11b ，且36q q ，所以2q ，所以12n n b .8分（2）由题可知，2321522=48n n nn c ，10分1nn i c 为等比数列求和，首项为152c ，公比4q ， 15145241146n nn ni c .14分18、（1）由题可知，1002003003550045350100，所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为350.6分（2）10分计算出9x 11分假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.人次≤400人次>400总计空气质量好363975空气质量不好19625总计5545100221003661939 5.93935545257512分因为2 3.841 ，所以拒绝原假设，所以一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.14分19、（1）过B 作BHAC 于H ，连接DH ，因为平面PAC 平面ABC ，且平面PAC 平面ABCAC ，又因为BH AC ，所以BH 平面PAC ，所以BDH 为直线BD 与平面PAC 所成角.3分因为2AC AB ，不妨设,2AB a AC a ，在ABC 中，90sin 30sin AB AC B B.4分在RT BDH中，1,22BH a DH a，所以tan BH BDH DH7分所以直线BD 与平面PAC 所成角的大小为3.8分（2）因为O 是AC 的中点，D 是AP 的中点，所以//DO PC ；又因为PC PBC 平面，DO 不在平面PBC 上，所以//DO PBC 平面；11分又因为DBO PBC l 平面平面，所以//DO l ，13分所以//l PC .14分20、（1）由题可知，直线为1x ，1分代入椭圆方程22142x y，得2y ，3分所以1122S5分（2）设00(,)M x y ，当02x时，0y MA MB ，成立.6分当02x 时，设MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，直线00:MA y y k x x 由 0022142y y k x x x y2220000(21)4()2()40k x k y kx x kx y ,7分因为直线MA 与椭圆相切，所以0 ，即2222000016()4(21)[2()4]0k kx y k kx y ，化简可得2200()2(21)0kx y k ，化为关于k 的一元二次方程为22200004220x k x y k y ，所以20122024y k k x .9分因为00(,)M x y 在圆上，所以22006x y ，代入上式可得，2012206214x k k x .所以MA MB .11分（3）设11(,)P x y 、22(,)Q x y 、34(,)R x y 、44(,)S x y ，直线PN 、QN 的斜率分别为PN k 、QNk 设直线1:1l x ky ，与椭圆联立得22(2)230k y ky ，0 ，12222ky y k，12232y y k ，由ONP ONQ 得0PN QN k k ，13分即1212211212(1)(1)(1)(1)y y y ky n y ky n x n x n ky n ky n ，计算分子部分：12211212(1)(1)2(1)()y ky n y ky n ky y n y y 22232822(1)0222k k kn k n k k k，所以4n ，16分设直线2:4l x py ，与双曲线联立得22(4)8120p y py ，240p ，0 ，34284p y y p ，342124y y p ，3344343434(1)(1)11(1)(1)TR TS y y x y x yk k x x x x ，计算分子部分344334433434(1)(1)(3)(3)23()y x y x y py y py py y y y 2212823044pp p p 0 ，因为4n ，所以0TR TS k k 18分21、（1）由题可知，'()x x f x e e ，1分所以切线的斜率为'(0)0f ，2分且(0)2f ，3分所以函数在点0,0f 的切线方程为 200y x ，即2y .4分（2）由题可知 'sin cos f x a x b x ，6分又因为定义域上对任意的实数x 满足 f x kf x ，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x ，即b ak a bk8分当k R 且1k 时，0a b .9分当1k 时，0a b ；10分当1k时，0a b .11分（3）因为函数 x f y 在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x ，所以'()()''()f x x f x ，所以'()'()f x f x ，所以 'y f x 是偶函数.13分因为 23f x f x ，所以 ''22'3'f x f x x ，即''20f x f x ，即''2f x f x 15分因为'()'()f x f x ，所以 ''2f x f x ，即 ''2f t f t ，所以 'y f x 是周期为2的函数.17分所以 ''2'2f x f x f x ，所以 '2'''2f x f x f x f x .18分。

上海市奉贤区高三数学二模考试试题文(含解析)新人教A版

上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（•奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x 的最小正周期是π．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式吧函数的解析式化为1﹣cos2x，由此可得它的最小正周期为．解答：解：函数f（x）=2sin2x=1﹣cos2x，故它的最小正周期为=π，故答案为π．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的最小正周期的求法，属于基础题．2．（4分）（•奉贤区二模）在的二项展开式中，常数项是70 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：在的二项展开式中，通项公式为T r+1=•x8﹣r•（﹣1）r x﹣r=（﹣1）r••x8﹣2r．令8﹣2r=0，解得 r=4，故展开式中的常数项是=70，故答案为 70．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．3．（4分）（•奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是 4 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．解答：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．4．（4分）（•奉贤区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为30 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+…+10的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+ (10)又∵2+4+…+10=30．故答案为：30．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（•奉贤区二模）已知直线y=t与函数f（x）=3x及函数g（x）=4•3x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为log34 ．考点：两点间的距离公式；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．解答：解：令 3x =t，可得x=log3t 43x =t 可得x=，故A、B两点之间的距离为 log3t ﹣=log3t﹣（ log3t﹣log34）=log34，故答案为 log34．点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（4分）（•奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45°，容器的高为10cm ，制作该容器需要100cm2的铁皮．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由题意可得圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式S=πrl，计算可得．解答：解：由题意可得圆锥的底面半径r=10，由勾股定理可得：圆锥的母线长为l=10，故圆锥的侧面积S=πrl==100，故答案为：点评：本题考查圆锥的侧面积的求解，求出底面半径和母线长是解决问题的关键，属基础题．7．（4分）（•奉贤区二模）若函数f（x）=8x的图象经过点，则f﹣1（a+2）= ．考点：反函数；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的图象经过的点，求出a的值，利用反函数的定义域与值域的对应关系，求出f﹣1（a+2）的值即可．解答：解：因为函数f（x）=8x的图象经过点，所以a=2，所以f﹣1（a+2）=f﹣1（4），由函数与反函数的对应关系可得：4=8x，所以x=．故答案为：．点评：本题考查函数与反函数的对应关系的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．（4分）（•奉贤区二模）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），则m+n= ﹣1 ．考点：函数的零点．分析：把x=1+ni代入已知方程x2+mx+2=0，结合n＞0，根据复数相等的条件可得关于m，n的方程，可求m，n进而可求m+n解答：解：∵x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴（1+ni）2+m（1+ni）+2=0整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni=0∵n＞0根据复数相等的条件可得，m+2=0，3+m﹣n2=0∴m=﹣2，n=1则m+n=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了复数相等条件的简单应用及基本运算，属于基础试题9．（4分）（•奉贤区二模）若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为y=2x ﹣1 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：弦MN所在直线与CP垂直，先求出CP的斜率，即可求得MN的斜率，用点斜式求直线MN的方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣6x=0 即（x﹣3）2+y2=9，表示以C（3，0）为圆心，半径等于3的圆．∵点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线与CP垂直．由于CP的斜率为=﹣，故弦MN所在直线的斜率等于2，故弦MN所在直线方程为 y﹣1=2（x﹣1），即 y=2x﹣1，故答案为 y=2x﹣1．点评：本题主要考查圆的标准方程特征，直线和圆的位置关系，用点斜式求直线的方程，属于中档题．10．（4分）（•奉贤区二模）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是[0，2] ．考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，=﹣1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．11．（4分）（•奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f （2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f （x ）=f（x ﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．解答：解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），所以f （2﹣x ）==，又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，故答案为：y=．点评：本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．12．（4分）（•奉贤区二模）设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d= ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题目给出的条件{an}和{}都是等差数列，且公差相等，把与都用a1和d表示，两边平方后求解a1和d，则答案可求．解答：解：由题意知数列{a n}的首项为a1，公差为d．因为数列{a n}的前n项和是S n，所以，，．又{}也是公差为d的等差数列，则，两边平方得：①，两边平方得：②②﹣①得：③，把③代入①得：d（2d﹣1）=0．所以d=0或d=．当d=0时，a1=0，不合题意，当d=时，代入③解得．所以．故答案为．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．13．（4分）（•奉贤区二模）已知函数f（x）=6x﹣4（x=1，2，3，4，5，6）的值域为集合A，函数g（x）=2x ﹣1（x=1，2，3，4，5，6）的值域为集合B，任意a∈A∪B，则a∈A∩B的概率是0 ．考点：古典概型及其概率计算公式；函数的值域．专题：概率与统计．分析：由函数解析式可得到函数值域A，B．进而得到A∪B，A∩B，利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：∵f（1）=6×1﹣4=2，同理f（2）=8，f（3）=14，f（4）=20，f（5）=26，f（6）=32，∴A={2，8，14，20，26，32}．∵g（1）=2×1﹣1=1，同理g（2）=3，g（3）=5，g（4）=7，g（5）=9，g（6）=11．∴B={1，3，5，7，9，11}．∴A∪B={1，3，5，7，9，11，2，8，14，20，26，32}，而A∩B=∅．∴任意a∈A∪B，则a∈A∩B的概率P=0．点评：熟练掌握函数值的计算、值域、并集、交集是解题的关键．14．（4分）（•奉贤区二模）已知椭圆：，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则的最大值为．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：如图所示，利用椭圆的定义得到=12﹣．因此只有当取得最小值时，取得最大值，分AB⊥x 轴和AB 与x 轴不垂直两种情况讨论，当AB 与x 轴不垂直时，利用弦长公式即可得出，通过比较得到的最小值．解答：解：如图所示，由椭圆的定义可知：=，∴=12﹣．好当AB⊥x 轴时，把x=﹣c 代入椭圆的方程得，解得，此时，，则=12﹣=；当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=k （x+c ），A （x 1，y 1）， B （x 2，y 2）．联立，消去y 得到（b 2+9k 2）x 2+18k 2cx+9k 2c 2﹣9b 2=0，∴，，∴==．综上可知：只有当AB⊥x 轴时，取得最小值，此时取得最大值．故答案为．点评：熟练掌握椭圆的定义、分类讨论的思想方法、直线与圆锥曲线相交时的弦长公式的应用是解题的关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．（5分）（•奉贤区二模）下列命题中正确的是（） A ．函数y=sinx 与y=arcsinx 互为反函数 B ．函数y=sinx 与y=arcsinx 都是增函数 C ．函数y=sinx 与y=arcsinx 都是奇函数 D ．函数y=sinx 与y=arcsinx 都是周期函数考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数y=sinx ，当x ∈[，]时存在反函数，逐个选项分析可得结论．解答：解：对于正弦函数y=sinx ，当x ∈[，]时存在反函数y=arcsinx ，具有相同的奇偶性和单调性，故选项A 错误；选项B ，函数y=sinx 不单调，故错误；选项C 正确；选项D ，函数y=arcsinx 的定义为[﹣1，1]，故不是周期函数，故错误．故选C点评：本题考查命题真假的判断，涉及反正弦函数和函数的性质，属基础题．16．（5分）（•奉贤区二模）条件“abc＜0”是曲线“ax 2+by 2=c”为双曲线的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件考点：双曲线的简单性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：当条件“abc＜0”成立时，取a=b=1，c=﹣1可得曲线为x2+y2=﹣1，不能表示双曲线，所以充分性不成立；当“曲线ax2+by2=c为双曲线”时，以x2﹣y2=﹣1为例可得abc＞0，不满足条件“abc＜0”，必要性也不成立．由此可得本题的答案．解答：解：先看充分性当“abc＜0”成立时，取a=b=1，c=﹣1此时曲线ax2+by2=c为x2+y2=﹣1，不能表示任何曲线∴“abc＜0”不是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的充分条件；再看必要性当“曲线ax2+by2=c为双曲线”时，取a=1，b=c=﹣1，此时曲线为x2﹣y2=﹣1，表示焦点在y轴上的双曲线但abc＞0，不满足条件“abc＜0”∴“abc＜0”不是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的必要条件因此，“abc＜0”是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的既不充分也不必要条件．故选：D点评：本题给出方程ax2+by2=c，求它能表示双曲线的条件，着重考查了双曲线的标准方程和充分必要条件的概念等知识，属于基础题．17．（5分）（•奉贤区二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n ，若，则公比q的取值范围是（）A．0＜q＜1 B．0＜q≤1C．q＞1 D．q≥1考点：数列的极限．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据等比数列的前n项和公式S n，S n+1列出关于q 的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．解答：解：当q=1时，S n+1=（n+1）a1，S n=na1，所以==1成立，当q≠1时，Sn=，所以=，可以看出当0＜q＜1时，=1成立，故q的取值范围是（0，1]．故选B．点评：本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．18．（5分）（•奉贤区二模）直线x=2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥2B．C．a2+b2≤2D．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定A，B 的坐标，根据，确定坐标之间的关系，可得，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意，A（2，1），B（2，﹣1），设P（x，y），则∵∴x=2a+2b，y=a﹣b∵P为双曲线C上的任意一点，∴∴4ab=1∴∴故选B．点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（•奉贤区二模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，G分别为棱DD1和CC1的中点．（1）求异面直线AE与DG所成的角；（1）求三棱锥B﹣CC1E的体积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间角．分析：（1）先通过作平行线的方法作出异面直线所成的角，再在三角形中求解即可；（2）先判断三棱锥的高与底面，再根据体积公式计算即可．解答：解：（1）连接BG 、EG 、BD ，∵E、G 分别是中点，∴EG∥AB 且EG=AB ，∴四边形ABGE 为平行四边形，∴AE∥BG，∠DGB 是所求的异面直线所成的角正方体的棱长为1，，∴∴所求的异面直线的角大小．（2）∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∴BC⊥面EGC∴BC 是三棱锥B ﹣C 1CE 的高， ∴=．点评：本题考查异面直线所成的角及棱锥的体积． 20．（14分）（•奉贤区二模）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距20海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C 处，．在离观测站A 的正南方某处E ，cos∠EAC=﹣（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v （海里/小时）．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC 的值，根据，利用两角差的余弦公式求得结果．（2）利用余弦定理求得BC 的值，而且BC 这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．解答：解：（1）∵，∴．（2分） ∴=．（6分）（2）利用余弦定理求得 BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•AC•cosθ=125，∴．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时）．（14分）点评：本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．21．（14分）（•奉贤区二模）三阶行列式，元素b （b ∈R ）的代数余子式为H （x ），P={x|H（x ）≤0}，（1）求集合P ；（2）函数的定义域为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．考点：三阶矩阵；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）三阶行列式，元素b （b ∈R ）的代数余子式为H （x ）小于等于0，可得关于x的二次不等式，解之即可；（2）P ⊆Q ，问题等价于说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在上恒成立，采用变量分离法，可得实数a 的取值范围．解答：解：（1）根据三阶矩阵代数余子式的定义，得=2x 2﹣5x+2（3分）解不等式2x 2﹣5x+2≤0，得，∴（7分）（2）若P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在上恒成立，（8分）即不等式在上恒成立，（9分）令，则只需a ＞u max 即可．（11分）又．当时，，从而，（13分）∴．（14分）点评：本题考查行列式，代数余子式的概念，考查解不等式、对数函数的定义域，属于中档题．22．（16分）（•奉贤区二模）已知数列{a n }对任意的n≥2，n ∈N *满足：a n+1+a n ﹣1＜2a n ，则称{a n }为“Z 数列”．（1）求证：任何的等差数列不可能是“Z 数列”；（2）若正数列{b n }，数列{lgb n }是“Z 数列”，数列{b n }是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列{c n }，使得{c n }是“Z 数列”；（3）若数列{a n }是“Z 数列”，设s ，t ，m ∈N *，且s ＜t ，求证求证a t+m ﹣a s+m ＜a t ﹣a s ．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：新定义．分析：（1）利用等差数列的通项公式和“Z 数列”的意义即可证明；（2）利用对数的运算法则、“Z 数列”的定义、等比数列的性质即可证明；由“Z 数列”的意义：若a n+1﹣a n ＜a n ﹣a n ﹣1，则，根据几何意义只要c n =f （n ）的一阶导函数单调递减就可以．（3）分别计算出a t ﹣a s ，a t+m ﹣a s+m ，设b s =a s+1﹣a s ，利用数列{b n }满足对任意的n ∈N *b n+1＜b n ，即可证明．解答：解：（1）设等差数列{a n }的首项a 1，公差d ， ∵a n =a 1+（n ﹣1）d ，a n+1+a n ﹣1﹣2a n =a 1+nd+a 1+（n ﹣2）d ﹣2a 1﹣2（n ﹣1）d=0，所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”．或者根据等差数列的性质：a n+1+a n ﹣1=2a n 所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”．（2）∵a n 是“Z 数列”，∴lga n+1+lga n ﹣1＜2lga n ∴，所以{a n }不可能是等比数列．等比数列只要首项c 1＜0公比q≠1．[其他的也可以：（a ＜0）或]等比数列{c n }的首项c 1，公比q ，通项公式=恒成立，∴c 1＜0．（3）因为b s =a s+1﹣a s ，b s+1=a s+2﹣a s+1，b s+2=a s+3﹣a s+2，…，b t ﹣1=a t ﹣a t ﹣1∴同理：因为数列{b n }满足对任意的n ∈N *b n+1＜b n ，所以b t ﹣1＞b t+m ﹣1，b t ﹣2＞b t+m ﹣2，…，b s+m ＞b s ， ∴a t ﹣a s ＞a t+m ﹣a s+m ．点评：正确理解“Z 数列”的定义，数列掌握等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算法则是解题的关键．本题需要较强的逻辑推理能力和计算能力． 23．（18分）（•奉贤区二模）动圆C 过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．设圆心C 的轨迹Γ方程为F （x ，y ）=0（1）求F （x ，y ）=0；（2）曲线Γ上一定点P （1，2），方向向量的直线l （不过P 点）与曲线Γ交与A 、B 两点，设直线PA 、PB 斜率分别为k PA ，k PB ，计算k PA +k PB ；（3）曲线Γ上的一个定点P 0（x 0，y 0），过点P 0作倾斜角互补的两条直线P 0M ，P 0N 分别与曲线Γ交于M ，N 两点，求证直线MN 的斜率为定值．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）过点C 作直线x=﹣1的垂线，垂足为N ，由题意知：|CF|=|CN|，由抛物线的定义知，点C 的轨迹为抛物线．（2）设 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由题得直线的斜率﹣1，过不过点P 的直线方程为y=﹣x+b ，代入抛物线方程得y 2+4y ﹣4b=0，利用根与系数的关系及斜率公式，计算的值，从而得出结论．（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），计算的解析式．设MP 的直线方程为y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），代入抛物线方程利用根与系数的关系求得 y 1+y 2的值，从而求得k MN 的值，从而得出结论．解答：解：（1）过点C 作直线x=﹣1的垂线，垂足为N ，由题意知：|CF|=|CN|，即动点C 到定点F 与定直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义知，点C 的轨迹为抛物线．其中（1，0）为焦点，x=﹣1为准线，所以轨迹方程为y 2=4x ．（2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率﹣1．过不过点P的直线方程为y=﹣x+b，由得 y2+4y﹣4b=0，则y1+y2=﹣4．由于P（1，2），====0．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则==（***）．设MP的直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由，可得，则，∴．同理，得．代入（***）计算得：y1+y2=﹣2y0 ，∴（为定值）．点评：本题主要考查抛物线的定义，圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，直线的斜率公式，属于中档题．。

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