江西省吉安市2020届高三第一次模拟考试 数学理

2019届高三模拟试卷数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）1．已知i是虚数单位，则2013在复平面内对应的点位于A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．执行如图所示的程序框图，若输入x==2，则输出y的值为A. 5B. 9C. 14D. 413．设221:1,:0||xp x qx-≤<，则q⌝是pA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线5．已知函数()f x对定义域R内的任意x都有()f x=(4)f x-，且当2x≠时其导函数()f x'满足()2(),xf x f x''>若24a<<则A．2(2)(3)(log)af f f a<<B．2(3)(log)(2)af f a f<<C．2(log)(3)(2)af a f f<<D．2(log)(2)(3)af a f f<<6．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等比数列，这个数的所有可能值的和为A. 9B. 3C. 20D. -117．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是21,FF21QFF∠A ．B ．C ．D ．8．如果幂函数()ay x a R =∈图像经过不等式组4340602x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的区域，则a 的取值范围是A ．[)11,0,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．(]1,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[)11,0[,2]2- D ．(]1,1[,2]2-∞-9．设数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,)(),1(2*N n n nS a n n ∈-+=,若2013)1(322321=--++++n nS S SS n ,则n 的值为A.1007B.1006C.2012D.201910．如图，三棱锥P ABC -的底面是正三角形，各条侧棱均相等，60APB ∠<︒．设点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，且//DE BC ，记PD x =，ADE ∆周长为y ，则()y f x =的图象可能是AB C D第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知实数x ，y 满足1(10)||,(,)()2cos (0)||12x x x x y f x x x y ππ---≤<⎧⎧≤⎪⎪=⎨⎨≤<⎪⎪≤⎩⎩则点在函数的图象与坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为12．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为13．如图,在扇形OAB 中,60AOB ︒∠=,C 为弧AB 上的一个动点.OC -→xOA y OB -→-→=+，则3x y +的取值范围是 ．14．若函数()f x 在给定区间M 上存在正数t ，使得对于任意x M ∈，有x t M +∈，且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的t 级类增函数。

给出4个命题 ①函数4()(1,)f x x x=++∞是上的3级类增函数 ②函数2()|log (1)|(1,)f x x =-+∞是上的1级类增函数③若函数()sin ,2f x x ax π⎡⎫=++∞⎪⎢⎣⎭是上的3π级类增函数，则实数a 的最小值为2④设)(x f 是定义R 在上的函数，且满足：1.对任意[]1,0∈x ，恒有0)(>x f ；2.对任意[]1,0,21∈x x ，恒有2)1()1()()(2121≤--+x f x f x f x f ；3. 对任意R x ∈，1()1()2f x f x =+，若函数)(x f 是[)1,+∞上的t 级类增函数，则实数t 的取值范围为),0(+∞。

以上命题中为真命题的是三、选做题：请考生在下列两题中选一题，则按所做的一题评分。

本题共5分 15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）A ．（不等式选讲）已知函数)212(log )(2m x x x f -+++=．若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，则的取值范围是B ．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线θρcos 2=与直线3c o s 4s i n a ρθρθ++=相切，则实数a 的值为_______四、解答题：（本大题共6小题，共75分，其中第16—19小题每题12分，第20题13分，第21题14分） 16．（本小题满分12分）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边，且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. （Ⅰ）证明：a c b 2=+；（Ⅱ）若c b =，设θ=∠AOB ，(0)θπ<<, 22OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值.(第13题)17．(本小题满分12分)某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口。

安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作。

假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵。

逃犯在每层选择出口是等可能的。

已知他被三楼警员抓获的概率为91。

（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。

设抓到逃犯时，他已下了ξ层楼，写出ξ的分布列，并求ξE 。

18．（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（Ⅰ）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）已知N n *∈,数列{}n d 满足2)1(3nn d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+；又知数列{}n b 中，21=b ，且对任意正整数n m ,，nmm n b b =. （Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）将数列{}n b 中的第．1a 项，第．2a 项，第．3a 项，……，第．n a 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2013项和.20．(本题满分13分) 如图，F 1，F 2C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 在直线l 上，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q 两点． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 是否存在点M ，使以PQ 为直径的圆经过点F 2理由．21．（本小题满分14分）已知函数()ln()f x a x b =+，()e 1x g x a =-（其中0a ≠，0b >），且函数()f x 的图象在 点(0,(0))A f 处的切线与函数()g x 的图象在点(0,(0))B g 处的切线重合． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若0x ∃，满足00()1x mg x -+，求实数m 的取值范围；2019届高三模拟试卷 数学（理）试卷参考答案11、34π 12、 13、[1,3] 14、①④ 15、A ：21-≤m ；B ：2或8- 三、解答题16．解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ………………………2分AC B A C B cos cos -cos -2sin sin sin =+A C AB A AC A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴……………………………………6分 （Ⅱ）因为2bc a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ …………8分435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=，……………10分 (0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为24+………12分 17．解：（1）设四层下到三层有n 个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。

9141)11)(311(=⨯--∴n ，解得3=n ………………………3分 （2）ξ可能取值为0,1,2,3,4,5 9231)311()1(,31)0(=⨯-====ξξp p 9141)311)(311()2(=⨯--==ξp12141)411)(311)(311()3(=⨯---==ξp24161)411)(411)(311)(311()4(=⨯----==ξp 2452411219192311)5(=-----==ξp ………………………8分 所以，分布列为………………………………………………………………………………10分72137245524141213912921310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分18．解：（1）解法1：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥所以BC ⊥平面ABE ，则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角………2分 设BC=a ，则AB=2a ，a 2=BE ，所以a 3=CE则直角三角形CBE 中，3331sin ===∠CE CB CEB3解法2：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥， 所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=EC ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =．…………3分 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ， 所以 ||3sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为3． …………………………6分 （2）存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． 证明如下：由 )31,0,31(31--==，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ．………………………………9分 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ．……………………………………12分 19．解： 2)1(3nn d -+=,∴1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+3232n n ⨯== …………………3分 又由题知：令1m = ，则22212b b ==,33312b b ==12n n n b b == ……………5分若2nn b =，则2m nm n b =，2n mn m b =，所以m nn m b b =恒成立若2nn b ≠,当1m =,m nn m b b =不成立,所以2nn b = …………………………………6分（Ⅱ）由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{}n c 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是12b =，24b =公比均是,8 …………9分201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+1007100610062(18)4(18)208618187⨯-⨯-⨯-=+=--………………………………………12分20．解：(Ⅰ) 设F2(c ，0)，则1212c c -+＝13，所以c ＝1．因为离心率e2，所以a．所以椭圆C 的方程为2212x y +=． …………………………………………4分(Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，……………………6分 此时P(2-，0)、Q(2,0) ，221F P F Q ⋅=-．不合； 当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点M(－12，m ) (m ≠0)，直线AB 的斜率为k ， ),(11y x A ， ),(22y x B ．由 221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得12112212()2()0y y x y x y x x -+++⋅=-，则 －1＋4mk ＝0， 故k ＝14m．此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为)21(4+-=-x m m y ．即 m mx y --=4．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12422y x mmx y 消去y ，整理得 2222(321)16220m x m x m +++-=． 所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -=+．………………………………8分 由题意=⋅F F 220，于是=⋅Q F P F 22(x1－1)(x2－1)＋y1y2)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-=22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m m m m +---=+++++22191321m m -=+=0．1919±=∴m 因为M 在椭圆内，872<∴m 1919±=∴m 符合条件；……………………12分 综上，存在两点M 符合条件，坐标为)1919,21(±-M ．……………………13分 21．解：（Ⅰ）∵()ln()f x a x b =+，∴()af x x b'=+， 则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线的斜率(0)ak f b'==，切点(0,ln )A a b ， 则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线方程为ln ay x a b b=+，……………………2分 又()e 1x g x a =-，∴()e x g x a '=，则()g x 在点(0,1)B a -处切线的斜率(0)k g a '==，切点(0,1)B a -，则()g x 在点(0,1)B a -处切线方程为1y ax a =+-，…………………………4分 由,ln 1,a ab a b a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得1a =，1b =．…………………………………………6分（Ⅱ）由()1x m g x ->+得ex x m->e x m x <-在[0,)+∞上有解，令()e x h x x =，只需max ()m h x <．……………………………………8分 ①当0x =时，()e 0x h x x ==，所以0m <；………………………………10分 ②当0x >时，∵()1e )1x x x h x '=-=-，∵0x >=e 1x >，∴x >故()10x h x '=-<，即函数()e x h x x =-在区间[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，此时0m <．…………………………………………13分 综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞．………………14分。