非线性控制系统课件
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自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第九章非线性控制系统PPT课件
02
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
EXIT
第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
非线性控制系统PPT课件
32
1. 210时
z2 cz12 1
●当t→∞时， e1t 0,e2t 0
● e2t比 e1t较 快 趋 于 零 ， 称λ2为快特征值，λ1为慢特征值
称V2为快特征向量，V1为慢特征向量
●当z1>1时，z2变化快，曲线斜率>1，当z1<1时，z2变化慢， 曲线斜率<1.
dz2 dz1
c2 1
z1(2
第一种情况 两个特征值都为实数，1 2 0
线性坐标变换： zM1x
z1 z2
1
z1
2
z2
z1 1z1 z2 2z2
zz1 2eJrt zz1 20 0e1t
z10 e2tz20
z1 (t ) z10e1t z2 (t) z20e2t
z 2 c z 1 2 1 , c z 2 0(z 1 0 )2 1
● 以上模型有一组平衡点 ● 以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。
当x2>0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
当x2<0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
20
1.2.4 负阻振荡器
h ( ) 满足以下条件： h (0 )0 , h '(0 )0 h (v) 当 v , h (v) 当 v
无摩擦单摆系统：
x1 x2 x2 10 sin x1
所有轨线或解的曲线称为系统的相图。 30
2.1 线性系统的特性
线性系统： xAx
解：
x(t)M exp(Jrt)M 1x0
1. 210时
z2 cz12 1
●当t→∞时， e1t 0,e2t 0
● e2t比 e1t较 快 趋 于 零 ， 称λ2为快特征值，λ1为慢特征值
称V2为快特征向量，V1为慢特征向量
●当z1>1时，z2变化快，曲线斜率>1，当z1<1时，z2变化慢， 曲线斜率<1.
dz2 dz1
c2 1
z1(2
第一种情况 两个特征值都为实数，1 2 0
线性坐标变换： zM1x
z1 z2
1
z1
2
z2
z1 1z1 z2 2z2
zz1 2eJrt zz1 20 0e1t
z10 e2tz20
z1 (t ) z10e1t z2 (t) z20e2t
z 2 c z 1 2 1 , c z 2 0(z 1 0 )2 1
● 以上模型有一组平衡点 ● 以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。
当x2>0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
当x2<0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
20
1.2.4 负阻振荡器
h ( ) 满足以下条件： h (0 )0 , h '(0 )0 h (v) 当 v , h (v) 当 v
无摩擦单摆系统：
x1 x2 x2 10 sin x1
所有轨线或解的曲线称为系统的相图。 30
2.1 线性系统的特性
线性系统： xAx
解：
x(t)M exp(Jrt)M 1x0
第8章 非线性控制系统分析PPT课件
2.描述函数的求取步骤
1）绘制输入—输出波形图，写出输入为e(t)Asiω nt
时非线性输出表达式
2）由波形图分析 x (t )的对称性，并计算
A1 B1 X 1 1
3）描述函数为 N(A)B1jA1X1ej1
A AA
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
例 非线性元件的静特性方程为
x(t)1e(t)1[e(t)]3 24
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生 一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在物 理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡。
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
非线性系统与线性系统的区别（4）
线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量 也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念 并用它来表示系统固有的动态特性。
有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程, 而 从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的解法, 再由于 第二个特征, 对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设 计的方法, 只能具体问题具体对待.
本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法,
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数，
一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为 N(A, j)
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入的正弦振 荡的振幅A有关，这是非线性特性本质的反映。它与线性环 节的情况正好相反，线性环节的幅相特性（频率特性）与正 弦输入的幅值无关。
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
具有死区的单值继电器特性
功能：改善系统性能的切换元件
具有滞环的继电器特性
第八章 非线性控制系统分析PPT课件
2x(t)sinntd(t)
0
直流分量 n次谐波
Xn (An2Bn2)1/2
narctan(An/Bn)
描述函数的定义
e(t)Asint
x(t)X1sin(t1)
N中(在A基正) =波弦N输分(入A量)下和e，j∠输非N(入A线) 信=性XA号环1 e的节j1复的数B稳1比态Aj输A称1出 为非线性环节的描述函数
N (A )2 M A 1 (m A )2 h1 (A h)2 j2 M A 2(m h 1 )
上节重点内容回顾
描述函数的定义
e(t)Asint
x(t)X1sin(t1)
N中(在A基正) =波弦N输分(入A量)下和e，j∠输非N(入A线) 信=性XA号环1 e的节j1复的数B稳1比态Aj输A称1出 为非线性环节的描述函数
x(t)=Asinωt
死区非线性环节的描述函数
19
典型非线性特性的描述函数
2. 饱和特性的描述函数
x(t)
x(t)
0
π
2π
Kk
a
e(t) 0 ψ
ωt
0
A e x( t )
ψ
π 2π ωt
e(t)Asint
kAsint 0t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(t) ka
t,Aa,Asina
kAsint t
N(A )2 k arcsina Aa A1(a A)2 ,Aa
x(t)A 1co stB 1sint X1sin(t1)
A11X021x=(t)cAos12+tdB( 12t) B 11 a1rc0t2gABx(11t)sintd(t)
负倒 描述函数
r e N(A) x G(s)
非线性控制系统(1)页PPT文档
一阶常微分方程组：
x1 f1 (t, x1, , xn , u1, x2 f2 (t, x1, , xn , u1,
,up) ,up)
xn fn (t, x1, , xn , u1, , u p )
时间变量 状态变量 输入变量
x1
x
x
2
x
n
u1
M1AMJr
M为实满秩矩阵 Jr为实Jordan型
1 0
0
2
k
0
第一种情况 两个特征值都为实数， 1 2 0
线性坐标变换： zM1x z1 1z1 z2 2z2
z1 (t ) z10e1t z2 (t) z20e2t
非线性控制系统
硕士研究生课程 2019年5月
参考书目：
《非线性系统》（第三版），Hassan K. Khalil ，电子工业出版社
《非线性控制系统理论与应用》，胡跃明 编 著，国防工业出版社
《非线性系统的分析与控制》，洪奕光 程代 展 著，科学出版社
第一章 绪论
1.1 非线性模型和非线性现象
dv
dv d2v d2v
d
CL , dt
d2CLdt2
v dv d
vh'(v)vv0, LC
v f( v ) v g ( v ) 0L i e n a r d 方 程
当 h(v)v1 3v3时v(1v2)vv0 Van der Pol方程
x1v, x2 v
•特性的多模式：同一非线性系统显示出两种或多种模式。
第7章非线性控制系统分析自动控制原理课件
本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描 述函数法, 是在非线性控制系统满足一定的条件下, 将 线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的, 因 此具有一定的局限性.
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
率为-1的直线, 见下图. •
e
0.2 p2 0.1
0.1
0
0.2
0.8
p1
特定的相轨迹为 p1 p2
1 p0
e
0
区域 :
•
e
d
•
e/ de
•
e
•
0.8 e
0.8 /(
1)
•
相轨迹与区域 类似, 但所有相轨迹均趋向于 e 0.8
直线, 见下图.
•
e
0
p3
0.8
0.2 p2 0.1 0
•
4m0 0.8 e 0.2 or e 0,e 0.1
区域 :
•
•
•
••
e
d
e
de d
e
•
e
d
e
dt dt de de
•
•
e
d
e
•
e
0.8
de
•
•
令 d e/ de, 则 e 0.8 /( 1)等倾线为一组平
•
行于 e 轴的直线. 当 0时, e 0.8
•
相轨迹为一组平行的曲线, 所由相轨迹均趋向于e 0.8
x
x0 ,
•
x
•
x0
情况下的
•
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
率为-1的直线, 见下图. •
e
0.2 p2 0.1
0.1
0
0.2
0.8
p1
特定的相轨迹为 p1 p2
1 p0
e
0
区域 :
•
e
d
•
e/ de
•
e
•
0.8 e
0.8 /(
1)
•
相轨迹与区域 类似, 但所有相轨迹均趋向于 e 0.8
直线, 见下图.
•
e
0
p3
0.8
0.2 p2 0.1 0
•
4m0 0.8 e 0.2 or e 0,e 0.1
区域 :
•
•
•
••
e
d
e
de d
e
•
e
d
e
dt dt de de
•
•
e
d
e
•
e
0.8
de
•
•
令 d e/ de, 则 e 0.8 /( 1)等倾线为一组平
•
行于 e 轴的直线. 当 0时, e 0.8
•
相轨迹为一组平行的曲线, 所由相轨迹均趋向于e 0.8
x
x0 ,
•
x
•
x0
情况下的
•
自动控制原理—非线性控制系统PPT文档共65页
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
Байду номын сангаас
自动控制原理—非线性控制系统
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
Байду номын сангаас
自动控制原理—非线性控制系统
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
自动控制原理—非线性控制系统PPT课件
R(s) -
x2m -a a
320
Y(s)
s(s+4)(s+8)
3.用描述函数法研究非线性控制系统
解:
查非线性元件描述函数表知具有滞环继电特性 (a/x2m=0.5)的描述函数为
N ( A) 4x2m e j
A sin 1 a
A
1 A e j
N ( A) 4x2m
Aa
3.用描述函数法研究非线性控制系统
=-2.5
C
x
=2 =-1 =-0.4
2. 相平面图的绘制
例9。3 试用等倾线法绘制二阶非线性系统
的相平面图。 解：
x.
x (1 x2 )x x 0
(1
x2)
x x
x
x x
1
(1 x2 )
0.2
2. 相平面图的绘制
3) 法
当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。 当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这 时用法更好。在法中，相轨迹是圆心沿x轴 滑动的一系列圆弧的连续线。
二阶系统的微分方程表达
d2 dt
x
2
a1 (
x,
dx) dt
dx dt
a0
(
x,
dx) dt
x
0
a1，a0为常数时表达线性定常系统。 a1，a0不为常数时表达非线性系统。
1. 基本概念
二阶系统的状态方程表达
令x1=x，x2=x. 1, 有
x1 x2ห้องสมุดไป่ตู้
x2 a0 (x1, x2 )x1 a1(x1, x2 )x2 a0x1 a1x2
Ⅱ)不稳定系统
Im o
Re
Ⅲ)自激振荡
G0(j)
非线性控制系统分析教学课件
01
定义
相平面分析法是一种在二维平面上研究非线性控制系统动 态行为的方法。通过图形的方式展示系统的状态变量随时 间的变化，可以直观地观察系统的稳定性和动态性能。
02 03
步骤
首先，根据非线性控制系统的方程，构造相平面坐标系。 然后，根据不同初始条件下的系统运动轨迹在相平面上绘 制图形，形成相图。通过分析相图的形状和特征，可以确 定系统的平衡点、极限环等关键信息，进而评估系统的性 能。
应用领域
谐波平衡法广泛应用于电力电子 、通信等领域中的非线性控制系 统分析。例如，对于变换器、振 荡器等包含周期性非线性的系统 ，可以采用谐波平衡法进行稳态 和动态性能的分析。
注意事项
在使用谐波平衡法时，需要根据 实际情况选择合适的谐波次数和 逼近精度。同时，对于强非线性 和非周期性的系统，谐波平衡法 可能不适用，需要结合其他方法 进行分析。
非线性控制系统的智能化：随着人工智能技术的 发展，未来非线性控制系统的设计与分析将更加 智能化，能够自适应地处理系统的非线性和不确 定性。
课程总结与回顾：通过本课程的学习，我们深入 了解了非线性控制系统的前沿与展望，掌握了非 线性控制系统的基本理论和分析方法，为未来从 事相关领域的研究和应用打下了坚实的基础。
解的存在性和唯一性
探讨非线性微分方程解的存在性和唯一性定理，并 解释其在实际系统中的应用。
数值解法
简要介绍针对非线性微分方程的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔法等。
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫第一方法
阐述李雅普诺夫第一方法的基本原理，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫第二方法
非线性模块的使用
详细介绍MATLAB/Simulink中用于非线性控制系统仿真的模块， 如非线性传递函数模块、饱和非线性模块等。
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= 0, f ( x, x ) = 0,则该点 若相平面中的某点，同时满足 x
dx = 0 0,为不定值，这类特殊点称为奇点。 相轨迹的斜率 dx
通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。 二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。 二阶非线性系统：奇点可能不止一个。
例： 二阶系统
x x0 x
相平面图 D C E
0
B
1 A
x
p
由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋 向原点（0,0）,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。 （2）如果初始条件为： x(0)=1， (0) = 0 。则相应的 x 相轨迹为ABCDE0。系统的 瞬态响应为阻尼振荡形式， 最大超调量为p，稳态误差 为零。
x
dx 02 x dx x
相平面
析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可 采用图解法绘制相平面图。它有： （1）等倾线法 （2）园弧近似法(略) 下面介绍等倾线法: 原理：任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似， 如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜 率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及 其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的 切线来近似相轨迹曲线了。
x (t )
x
t 方程的解
x
作为平面的直角坐标，则 1.相轨迹：如果我们取 x 和 x 系统在每一时刻的 ( x , x ) 均相应于平面上的一点。当 t 变 化时，这一点在 x x 平面上将绘出一条相应的轨迹----相轨迹。它描述系统的运动过程。
2.相平面: x x 平面称为相平面。对于一个系统，初始条件 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可 以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件， 则可得到一组相轨迹族。 3.相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统 的相平面图。它表示系统在各种初始条件下的 运动过程。
时，采用一次积分法得相轨迹方程作图 x
f ( x) 0 x
dx dx d 2 x dx dx x x 2 dt dt dx dt dx
dx f ( x )dx x
代入方程
两边一次积分，得相轨迹方程
x d x f ( x)dx
) f ( x, x ) f ( x, x x x ) f ( x, x ) f ( x, x
x
) ( x, x
0
) ( x, x
x
) 是 即 f ( x, x
条件。
x
的奇函数
----相轨迹对称于 x 轴的
轴 相轨迹对称于 x
3）若相轨迹对称于原 点，其条件是：对称点
二阶系统微分方程： 两个独立变量： 构成相平面
= f ( x, x ) x
位置量 速度量
x
x
x(0) x0 为相变量。给定初始条件 x(0) = x x, x 0
相变量
在相平面上的 x, x
0 ) ( x0 , x
运动坐标轨迹称为相轨迹。
x
x
0
相平面 相轨迹
例： 二阶系统为 解 方程不显含
02 x 0 作相平面图。 x
，由解析法有
dx 2 x 0 x 0 dx 2 一次积分 x d x 0 x dx
1 2 1 2 2 0 x c1 x 2 2
相轨迹方程为椭圆方程
2 2 2 x 0 x c2
作出该系统的相平面图。 2 d x 解： 因为 斜率方程
x(0) x0 (0) x 0 x
dx 2 x x dx dt
(0,10)
dx xx dx x
x
x
0
相平面
初值（0, 10）和（0, -10）。
(0,-10)
二、解析法作图 方程不显含 方程为 因为
x(t) 1 A B E 0 t C
D
可将其状态转化为转化 为时间响应曲线x(t)来验证如图所示
时间响应曲线
2 相轨迹的绘制方法
一、相轨迹的共同特性
1.相轨迹的对称性 相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。 设二阶系统的方程为：
改写为：
+ f (x, x )= 0 x
dx dx dx dx , x= = = x dt dx dt dx
2 x x 等倾线方程. 2
可见，等倾线为过原点、斜率为 2 ( 2 ) 的直线。 若给定系统参数： =0.5, =1.
1 x 则等倾线为： x 1
取不同的 值，求得等倾 线如右图所示： 若给定初始条件为A,则 可作出相轨迹为ABCDE ..... 注意：两等倾线之间用其平 均值来表示相轨迹。
1 相平面法的基本概念
设二阶系统的常微分方程如下：
= f ( x, x ) x
式中,
(t ) 的线性或非线性函数. ) 是 x (t ), x f ( x, x 由微分方程的理论可知，只要 f ( x, x ) 是解析的，那么在
给定的初始条件下，方程的解是唯一的。这个唯一的解可以 写成时间解的形式——x(t), 也可以写成以t为参变量的形式， = f ( x)来表示。 用x
二、线性系统的奇点与相轨迹 二阶线性系统的方程为：
2x 2x 0 x
可见，原点为奇点或稳定点。 由线性理论可知，系统的特征根不同，则其稳定性及瞬 态响应性能不同。在相平面中则表现为相轨迹的形状和奇点 性质不同。
奇点邻域的运动性质 由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。 相轨迹在奇点邻域的运动可以分为 1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
dx x f x, x dx
dx f x, x dx = x 两边除以 可得： ----相轨迹的 dt dx x 斜率方程
1）若相轨迹对称于x轴。则在所有的对称点 ( x , x ) 和 ( x , x ) 上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：
相平面法概述
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法,即 二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象 地转化为相平面上一个点的移动, 通过研究这个点移动的轨 迹, 就能获得系统运动规律的全部信息. 相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳 定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数 对系统运动的影响.
3 奇点与极限环
一、奇点 由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有 多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点。
0 x 奇点必须同时满足: 奇点的求法 f(x, ) 0 x x 0 , 则 : 0 , x const 由于 x x
所以奇点是平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系 统的稳定性问题。
) f ( x, x f ( x, x ) x x
给定一个 α 值,可由上式求得一条等倾 线 ; 给定一组 α 值,则可求得一组等倾线族 , 它们确定了 相平面中相轨迹斜率的分布 .
2x 0 设系统方程为 : x 2 x dx dx dx dx 2 2 x x 0 上式改写为 : x x dx dt dx dt dx 令 代入上式 : dx 2 x 2x 0 x
= -1 A
x
B
=-1.4 =-1.6 C D E =-2 =-3 =∞ x =2 =1 =0
0
等倾线和相轨迹
所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率
用等倾线绘制相轨迹时，必须注意以下几点：
1、为使导数 dx / dx 等于轨迹的几何斜率，必须对相平面上 轴采用相同的坐标比例。 的 x 轴和 x 2、相平面上，当 x 0 时，相轨迹的走向应沿着 x增加的 方向由左向右；当 x 0 时，相轨迹的走向应沿着 x 减 少的方向自右向左。 3、绘图时可利用相轨迹的对称性减少作图的工作量。 4、在斜率变化很快的区域，必须画出更多的等倾线，以 期改善作图的精确程度。
等倾线法作图步骤： 1）首先画出等倾线----确立相平面中相轨迹斜率的分布； 2）从初始条件开始，用连续的切线段来近似画出相轨迹曲线。 等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线,即 等倾线应满足方程：
dx (常数 ) dx ) dx f ( x, x 由前述可知，相轨迹的斜率方程为： dx x 则等倾线方程为： ) f ( x, x f ( x, x ) x x
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程， 因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
例2-1.设系统的微分方程为：
x
+ x +x=0 x
其相平面图如右 图所示（绘制方法在 下节介绍） 图中的箭头表示 系统的状态沿相轨迹 的移动方向。
注意： 1）等倾线法在作图过程中会产生积累误差。一般来说, 等倾线越密，则近似程度越好。但等倾线过密，绘图条数增 多，致使积累误差加大。所以，一般间隔5°～10°画一条等 倾线较合适。 2）为减少作图误差，可事先在等倾线上画好表示切线 方向的平行短线，然后从初始状态开始逐步仔细地将它们联 成光滑的相轨迹曲线。 3）一般，线性系统的等倾线是直线。因此用等倾线法 比较方便。非线性系统的等倾线则有可能是曲线,甚至是比较 复杂的图形-----不适用于等倾线法。
x
) f ( x, x ) f ( x, x x x ) f ( x, x ) f ( x, x
dx = 0 0,为不定值，这类特殊点称为奇点。 相轨迹的斜率 dx
通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。 二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。 二阶非线性系统：奇点可能不止一个。
例： 二阶系统
x x0 x
相平面图 D C E
0
B
1 A
x
p
由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋 向原点（0,0）,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。 （2）如果初始条件为： x(0)=1， (0) = 0 。则相应的 x 相轨迹为ABCDE0。系统的 瞬态响应为阻尼振荡形式， 最大超调量为p，稳态误差 为零。
x
dx 02 x dx x
相平面
析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可 采用图解法绘制相平面图。它有： （1）等倾线法 （2）园弧近似法(略) 下面介绍等倾线法: 原理：任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似， 如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜 率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及 其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的 切线来近似相轨迹曲线了。
x (t )
x
t 方程的解
x
作为平面的直角坐标，则 1.相轨迹：如果我们取 x 和 x 系统在每一时刻的 ( x , x ) 均相应于平面上的一点。当 t 变 化时，这一点在 x x 平面上将绘出一条相应的轨迹----相轨迹。它描述系统的运动过程。
2.相平面: x x 平面称为相平面。对于一个系统，初始条件 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可 以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件， 则可得到一组相轨迹族。 3.相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统 的相平面图。它表示系统在各种初始条件下的 运动过程。
时，采用一次积分法得相轨迹方程作图 x
f ( x) 0 x
dx dx d 2 x dx dx x x 2 dt dt dx dt dx
dx f ( x )dx x
代入方程
两边一次积分，得相轨迹方程
x d x f ( x)dx
) f ( x, x ) f ( x, x x x ) f ( x, x ) f ( x, x
x
) ( x, x
0
) ( x, x
x
) 是 即 f ( x, x
条件。
x
的奇函数
----相轨迹对称于 x 轴的
轴 相轨迹对称于 x
3）若相轨迹对称于原 点，其条件是：对称点
二阶系统微分方程： 两个独立变量： 构成相平面
= f ( x, x ) x
位置量 速度量
x
x
x(0) x0 为相变量。给定初始条件 x(0) = x x, x 0
相变量
在相平面上的 x, x
0 ) ( x0 , x
运动坐标轨迹称为相轨迹。
x
x
0
相平面 相轨迹
例： 二阶系统为 解 方程不显含
02 x 0 作相平面图。 x
，由解析法有
dx 2 x 0 x 0 dx 2 一次积分 x d x 0 x dx
1 2 1 2 2 0 x c1 x 2 2
相轨迹方程为椭圆方程
2 2 2 x 0 x c2
作出该系统的相平面图。 2 d x 解： 因为 斜率方程
x(0) x0 (0) x 0 x
dx 2 x x dx dt
(0,10)
dx xx dx x
x
x
0
相平面
初值（0, 10）和（0, -10）。
(0,-10)
二、解析法作图 方程不显含 方程为 因为
x(t) 1 A B E 0 t C
D
可将其状态转化为转化 为时间响应曲线x(t)来验证如图所示
时间响应曲线
2 相轨迹的绘制方法
一、相轨迹的共同特性
1.相轨迹的对称性 相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。 设二阶系统的方程为：
改写为：
+ f (x, x )= 0 x
dx dx dx dx , x= = = x dt dx dt dx
2 x x 等倾线方程. 2
可见，等倾线为过原点、斜率为 2 ( 2 ) 的直线。 若给定系统参数： =0.5, =1.
1 x 则等倾线为： x 1
取不同的 值，求得等倾 线如右图所示： 若给定初始条件为A,则 可作出相轨迹为ABCDE ..... 注意：两等倾线之间用其平 均值来表示相轨迹。
1 相平面法的基本概念
设二阶系统的常微分方程如下：
= f ( x, x ) x
式中,
(t ) 的线性或非线性函数. ) 是 x (t ), x f ( x, x 由微分方程的理论可知，只要 f ( x, x ) 是解析的，那么在
给定的初始条件下，方程的解是唯一的。这个唯一的解可以 写成时间解的形式——x(t), 也可以写成以t为参变量的形式， = f ( x)来表示。 用x
二、线性系统的奇点与相轨迹 二阶线性系统的方程为：
2x 2x 0 x
可见，原点为奇点或稳定点。 由线性理论可知，系统的特征根不同，则其稳定性及瞬 态响应性能不同。在相平面中则表现为相轨迹的形状和奇点 性质不同。
奇点邻域的运动性质 由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。 相轨迹在奇点邻域的运动可以分为 1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
dx x f x, x dx
dx f x, x dx = x 两边除以 可得： ----相轨迹的 dt dx x 斜率方程
1）若相轨迹对称于x轴。则在所有的对称点 ( x , x ) 和 ( x , x ) 上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：
相平面法概述
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法,即 二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象 地转化为相平面上一个点的移动, 通过研究这个点移动的轨 迹, 就能获得系统运动规律的全部信息. 相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳 定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数 对系统运动的影响.
3 奇点与极限环
一、奇点 由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有 多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点。
0 x 奇点必须同时满足: 奇点的求法 f(x, ) 0 x x 0 , 则 : 0 , x const 由于 x x
所以奇点是平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系 统的稳定性问题。
) f ( x, x f ( x, x ) x x
给定一个 α 值,可由上式求得一条等倾 线 ; 给定一组 α 值,则可求得一组等倾线族 , 它们确定了 相平面中相轨迹斜率的分布 .
2x 0 设系统方程为 : x 2 x dx dx dx dx 2 2 x x 0 上式改写为 : x x dx dt dx dt dx 令 代入上式 : dx 2 x 2x 0 x
= -1 A
x
B
=-1.4 =-1.6 C D E =-2 =-3 =∞ x =2 =1 =0
0
等倾线和相轨迹
所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率
用等倾线绘制相轨迹时，必须注意以下几点：
1、为使导数 dx / dx 等于轨迹的几何斜率，必须对相平面上 轴采用相同的坐标比例。 的 x 轴和 x 2、相平面上，当 x 0 时，相轨迹的走向应沿着 x增加的 方向由左向右；当 x 0 时，相轨迹的走向应沿着 x 减 少的方向自右向左。 3、绘图时可利用相轨迹的对称性减少作图的工作量。 4、在斜率变化很快的区域，必须画出更多的等倾线，以 期改善作图的精确程度。
等倾线法作图步骤： 1）首先画出等倾线----确立相平面中相轨迹斜率的分布； 2）从初始条件开始，用连续的切线段来近似画出相轨迹曲线。 等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线,即 等倾线应满足方程：
dx (常数 ) dx ) dx f ( x, x 由前述可知，相轨迹的斜率方程为： dx x 则等倾线方程为： ) f ( x, x f ( x, x ) x x
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程， 因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
例2-1.设系统的微分方程为：
x
+ x +x=0 x
其相平面图如右 图所示（绘制方法在 下节介绍） 图中的箭头表示 系统的状态沿相轨迹 的移动方向。
注意： 1）等倾线法在作图过程中会产生积累误差。一般来说, 等倾线越密，则近似程度越好。但等倾线过密，绘图条数增 多，致使积累误差加大。所以，一般间隔5°～10°画一条等 倾线较合适。 2）为减少作图误差，可事先在等倾线上画好表示切线 方向的平行短线，然后从初始状态开始逐步仔细地将它们联 成光滑的相轨迹曲线。 3）一般，线性系统的等倾线是直线。因此用等倾线法 比较方便。非线性系统的等倾线则有可能是曲线,甚至是比较 复杂的图形-----不适用于等倾线法。
x
) f ( x, x ) f ( x, x x x ) f ( x, x ) f ( x, x