高等数学方明亮3.6 函数图形的描绘
chap3-6函数图形的描绘 共22页
第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1
3-6 函数图形的描绘(高等数学)
§3.6 函数图形的描绘教学内容：一．曲线的渐近线1.定义：如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．2．水平渐近线如果曲线()y f x =的定义域是无限区间，且有lim ()x f x b →-∞=或lim ()x f x b →+∞=，则直线y b =为曲线()y f x =的渐近线，称为水平渐近线．3．铅直渐近线设曲线()y f x =在点x a =的一个去心邻域(或左邻域，或右邻域)中有定义，如果lim ()x a f x -→=∞或lim ()x a f x +→=∞，则直线x a =称为曲线()y f x =的铅直渐近线．4．斜渐近线如果lim[()()]0x f x kx b →∞-+=，则称直线y kx b =+是曲线()y f x =的斜渐近线，其中()lim x f x k x→∞=，lim[()]x f x kx b →∞-=.二．函数作图利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：1．求出函数()y f x =的定义域，确定图形的范围；2．讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；3．计算函数的一阶导数()f x '和二阶导数()f x ''；4．求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大，从左到右插入定义域内，得到若干个子区间；5．列表讨论函数在各个子区间内的单调性、凹凸性、极值点和拐点；6．确定函数图形的水平、铅直渐近线，确定图形的变化趋势；7．求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等，有时还要求出一些辅助点的函数值，然后根据(5)中的表格描点绘图．三．例题讲解例1．判定曲线arctan y x x =⋅的凹凸性．例2．讨论曲线43425y x x x =-+-的凹凸区间和拐点．例3．求曲线y =例4．问曲线4y x =是否有拐点？例5．求反正切曲线arctan y x =的水平渐近线．。
高等数学-函数图形的描绘
= ∞，
所以直线 = −1是曲线 =
1
的垂直渐近线.
+1
9
本节内容
01 渐近线
02 描绘函数图形
10
02 描绘函数图形
描绘函数图形的步骤：
（1）确定函数 = ()的定义域；
（2）讨论函数的奇偶性、周期性，确定函数图形的对称特征；
（3）讨论函数图形的单调性和凹凸性，并求出函数的极值和拐点；
为曲线 = ()的水平渐近线.
注 水平渐近线最多有两条.
3
01 渐近线
例1 求曲线 = 的水平渐近线.
解 因为 = 0,
→−∞
所以直线 = 0是曲线 = 的水平渐近线.
4
例2 求曲线 =
解
1
因为
→∞ +1
1
的水平渐近线.
+1
= 0，
2. 垂直渐近线
垂直渐近线
若函数 = ()在0 的某去心邻域（或左侧邻域，或右
侧邻域）内有定义，当 () = ∞（或 − = ∞
→0
→0
或 + () = ∞）时，则称直线 = 0 为曲线 =
→0
的垂直渐近线.
注 1.垂直渐近线可以有无数条.
所以直线 = 0是曲线 =
1
的水平渐近线.
+1
5
01 渐近线
例3 求曲线 = 的水平渐近线.
解 因为 =
→+∞
=
→−∞
所以直线 =
和
2
=
，
2
− ，
2
− 是曲线
2
高等数学3.6函数图形的描绘
2( x 2)( x 3) 的渐近线 例1 求 f ( x ) x 1 f ( x ) lim 2( x 2)( x 3) 2, 解 lim x x ( x 1) x x 2(x 2)(x 3) lim[ 2x ] x (x 1) 2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
( 2 ,0 )
0
不存在
( 0 , )
0
( 3 ,
9 )
0
补充点 :
(1 3 ,0),
(1 3 ,0);
拐点 26
极值 3 点
间 断 点
A ( 1,2),
y
B (1,6),
C ( 2,1).
得水平渐近线 y 2;
作图
4( x 1) 2 f ( x) 2 x
' " 描出与方程 和 f ( x ) 0 f ( x ) 0 的根对应的曲 第五步 线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四 步讨论的结果画出函数的图形.
4( x 1) 2 的图形 例2 绘,且无对称性.
4( x 2) , f ( x ) 3 x
x x0
x x0 是函数 y f ( x ) 图形的铅直渐近线
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
一、渐近线 2.水平渐近线
平行于 x 轴的渐近线
如果 lim f ( x ) 定义：
x
c , 或 lim f ( x ) c , 则直线
' "
高等数学 上、下册3_6 函数图形的描绘
铅直渐近线
2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
作业
P141 1, 3(3), (4)
渐近线来描绘.
定义 若 lim f (x) A或 lim f (x) A，则直线 y A是曲
x
x
线 y f (x)的水平渐近线.
若 lim x x0
f
(x) 或 lim x x0
f
(x) ，直线 x
x0是曲线 y
f (x)
的铅直渐近线.
例如，因为 lim 1 ， lim 1 0 ，所以直线 x 0是曲线
3
3
曲 线 为 凹 的 .当 x 1 时 ， y 16 .故 (1 , 16 ) 为 拐 点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲 线 没 有 渐 近 线 . x
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时 ， y0.当 x0时 ， y1.曲 线 与 x轴 交 于 点 (1,0)及 (1,0)， 与 y轴 交 于 点 (0,1).极 大 值 yx10.
例 1 描 绘 函 数 y x 3 x 2 x 1 的 图 形 .
解 （ 1） 函 数 定 义 域 为(,)
（ 2） y 3 x 2 2 x 1 (3 x 1)( x 1) ， 驻 点 x 1 , x 1 将 3
定 义 域 分 为 ( , 1 ),( 1 ,1),(1,+ )，在 ( , 1 ),(1,+ )内 ，
x0 x
x x
y 1 的一条铅直渐近线，直线 y 0是曲线的一条水平渐近线 x
（图 3-9）
又如，因为
lim
x
ex x2 1
0 ， lim x1
高等数学方明亮63曲面及其方程
2019年9月14日星期六
6
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C:
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
z 轴的平面.
o y
o y
(且 z 轴在平面上) x
x
2019年9月14日星期六
12
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一般地,在三维空间
z
1:方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴;
x l1
准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0.
2:方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴;
2019年9月14日星期六
2
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定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
2019年9月14日星期六
5
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二、旋转曲面 (Surface of Revolution)
高等数学 函数图形的描绘
将 a 代入 lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 ，得
x→+∞
b = lim [ f (x) − ax].
x→ +∞
2009年7月3日星期五
5
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例 1 求曲线 f (x) = 2(x − 2)(x + 3) 的渐近线． x −1
提示：（1）水平渐近线公式
（补充题）
∵lim sin x = 1 ≠ ∞ x→0 x
∴ x = 0不是函数曲线的渐近线.
2009年7月3日星期五
18
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曲线和坐标轴的交点；
由 f (x) =
1
− x2
e2
算出曲线上一些点的坐标；
2π
M 1 (0,
1 ), 2π
1 −1
M 2 (1,
e 2 ), 2π
M3 (2,
1 e−2 ) 2π
（6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．
综合上述讨论结果，可描绘函数 f (x) =
1
− x2
e2
2π
在[0, +∞) 上的图形， 最后，利用图形的对称性，
f ′′(x)
负 0正
递减 正正
递增 正
f (x) 的图形 凸 拐点 凹 间断 凹 极小值点 凹
2009年7月3日星期五
14
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（4）讨论曲线的渐近线；
曲线有铅直渐近线 x = 1 ；斜渐近线 y = 1 x + 1 2
（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点；
高等数学课件D3_6函数图形的描绘
例
描绘
y
1 3
x3
x2
2
的图形.
解: 1) 定义域为(, ),无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0, 得 x 0, 2
令 y 0, 得 x 1
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
x 0 (0, 1) 1 (1, )y 0 Nhomakorabeay
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
思考与练习
y
y
x 1 3
4)
y
2 3
2
2
(极大)
0
4 3
(拐点)
2 3
(极小)
例
描绘函数 y
1
e
x2 2
的图形.
2π
解: 1) 定义域为 (, ), 图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2π
令 y 0得 x 0; 令 y 0 得 x 1
高等数学-习题答案-方明亮-第一章.
习题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）；解：依题意有，则函数定义域．（2）；解：依题意有，则函数定义域．（3）；解：依题意有，则函数定义域．（4）；解：依题意有，则函数定义域．（5）解：依题意有定义域．（6）.解：依题意有，则函数定义域．2．已知定义域为，求(的定义域．解：因为定义域为，所以当时，得函数的定义域为；当时，得函数定义域为；当时，得函数定义域为；当时，得函数定义域为：（1）若，；（2）若，；（3）若，．3．设其中求函数值．解：因为，则，．4．设，求与，并做出函数图形．解：，即，，即，函数图形略．5．设试证：证明：，即，得证．6．下列各组函数中，与是否是同一函数？为什么？（1）；不是，因为定义域和对应法则都不相同．（2）；是．（3）；不是，因为对应法则不同．（4）；不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：（1），；解：当时，函数单调递增，也是单调递增，则在内也是递增的．（2），．解：，当时，函数单调递增，则是单调递减的，故原函数是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．（1）；解：因为，所以是奇函数．（2）；解：因为，所以是偶函数．（3）；解：因为，，所以既非奇函数，又非偶函数．（4）.解：因为，所以函数是偶函数．9．设是定义在上的任意函数，证明：（1）是偶函数，是奇函数；（2）可表示成偶函数与奇函数之和的形式.证明：（1）令，则，所以是偶函数，是奇函数．（2）任意函数，由（1）可知是偶函数，是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间上有界的充分与必要条件是：函数在上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数在区间上有界，则存在正数，使得，都有成立，显然，即证得函数在区间上既有上界又有下界（充分性）设函数在区间上既有上界，又有下界，即有，取，则有，即函数在区间上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）；周期函数，周期为．（2）；周期函数，周期为2．（3）；不是周期函数．（4）.周期函数，周期为．12．求下列函数的反函数：（1）；解：依题意，，则，所以反函数为．（2）；解：依题意，，则反函数．（3）；解：依题意，，所以反函数．（4）．解：依题意，，所以反函数．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值和的函数值：（1）；（2）．解：（1）（2），，．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为，高为．当倒进溶液后液面的高度为时，溶液的体积为．试把表示为的函数，并指出其定义区间．解：依题意有，则．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有，所以．习题 1-21．设，（1）求的值；（2）求，使当时，不等式成立；（3）求，使当时，不等式成立．解：(1．（2）要使即，则只要取N＝故当n>1110时，不等式成立．（3）要使成立，取，那么当时，成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）；（2）．解：（1），要使，只要取，所以，对任意，存在，当时，总有，则.(2 ,要使, 即,只要取,所以,对任意的>0,存在, 当, 总有, 则.3．若证明．并举例说明：如果数列有极限，但数列未必有极限．证明: 因为, 所以, , 当时, 有.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:, 当时, 有, 取, 则对, , 当时, 有.故. 同理可证时, 成立.反之,如果数列有极限, 但数列未必有极限.如：数列,，显然, 但不存在．4．设数列有界，又．证明：．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n都有，又, 对, 存在,当时, , 因为对上述, 当时, ,由的任意性, 则．5．设数列的一般项，求．解: 因为, , 所以.6．对于数列，若，，证明：．证明: 由于, 所以, , , 当时，有, 同理, ,, 当时, 有．取=max, , 当时, 成立, 故．习题 1-31．当时，．问等于多少，使当时，？解：令，则，要使，只要，所以取，使当时，成立．2．当时，．问等于多少，使当时，？解：要使<0.001, 只要, 即. 因此,只要就可以了,所以取．3．根据函数极限的定义证明：（1）；（2）；（3）；（4）.证明:(1 由于, 任给,要使,只要．因此取,则当时, 总有,故．(2 由于,任给, 要使,只要,即或, 因为,所以, 取，则当时, 对,总有,故有．(3由于,任给,,要使,只要,因此取,则当时,总有,故.(4 由于,任给,要使,只要,即,因此取,则当x>M时,总有,故.4．用或语言，写出下列各函数极限的定义：（1）；（2）；（3）；（4）．解: (1 , 当x<-M时, 总有;(2 , 当, 总有;(3 , 当时, 总有;(4 当时, 总有．5．证明:.证明: 由于, ,所以.6．证明：若及时，函数的极限都存在且都等于，则．证明: 由于,则对,,当时,有．又,则,当,有.取那么对,当时,总有,故有.习题 1-41．根据定义证明：（1）为当时的无穷小；（2）为当时的无穷小；（3）为当时的无穷大．证明:(1 ,因为,取,则当时, 总有,故．(2 ,因为,取, 则当时, 总有, 故.(3 , ,当时,总有,所以.2．函数在内是否有界？该函数是否为时的无穷大？解答: 取,则,因此当时, 故函数当时,不是无穷大量．下证该函数在内是无界的. ,且,，取, ,有，所以是无界的.3．证明：函数在区间上无界，但这函数不是时的无穷大．证明: 令,类似第2题可得．习题 1-51．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）．解:(1 = ．(2 == ．(3 =．(4 =．(5 ==．(6 =．(7 ===．(8 =．(9 ==．(10 ===．(11 =．(12===．(13 =．(14 =．(15 =．2．设问当为何值时，极限存在．解：因为，所以，当，即时，存在．3．求当时，函数的极限．解：因为所以不存在。
第11讲——函数图形的描绘
偶函数,
图形关于y轴对称.
x2 2
x (x) e , 2π
令 0, (x) 令 0, (x)
x x
(x 1)(x 1) (x) e . 2π
x2 2
得驻点 x 0,
得特殊点 x 1,x 1.
x2 2
（6）根据上述结果，适当地描出一些点，即可描
绘函数的图形．
例5．作函数
y f (x) = x 3 3x
的图形
解：函数定义域为 , ，函数为奇 函数，所以它的图像关于原点对称．因为
2 f (x) = 3 x 2 3 = 3( x 1) = 3( x 1)( x 1) ，
垂直渐近线 当 x 趋近一点 a 时，函数会愈来愈大，或愈来 愈小(小至 )，则其图形会愈来愈接近垂直线 x a ，而此垂直线即为其垂直渐近线。 水平或斜渐近线
x ) 或 愈 来 愈 小 时 ( x )，函数图形会与一直线 y ax b 愈来愈靠近， 而此直线即称为水平或斜渐近线 (若 a 0 )。
1 lim (x) lim e 0, 得水平渐近线 y 0. 2π
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1)
( x ) ( x )
( x )
1
(1,0)
0 0
极大值
(0,1)
0
拐点
1 ( 1, ) 2e
1 2
1
(1,)
↘
↘
例7
作函数 y
x 1 x
2
的图形
解 (4)曲线有水平渐近线y0
y0是曲线的水平渐近线
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f (x)
有
或 lim
x c
lim f ( x )
f ( x)
，
则称直线 x
例如，
y
c
为曲线 y
f (x)
的铅直渐近线。
1 ( x 2 )( x 3)
,
有铅直渐近线两条:
x 2,
2012年9月8日星期六
x 3.
4
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3. 斜渐近线
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一、曲线的渐进线（Asymptote of
Curve)
定义 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该 点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近 线．
1. 水平渐近线（平行于x 轴的渐近线）
如果曲线 y
则称直线 y
例如，
b
f (x)
x
lim f ( x )
由
f (x)
1 2π
1 2π
x
2
e
2
算出曲线上一些点的坐标；
1 2π
1 2
M 1 (0,
),
M 2 (1,
e
),
M 3 (2,
1 2π
e
2Leabharlann )（6）根据上述讨论，描绘函数 f
(x)
的图形．
f (x) 1 2π
x
2
可描绘函数 综合上述讨论结果，
e
2
在 [0 , ) 上的图形， 最后，利用图形的对称性， 便可得到函数在 ( , 0 ] 上的图形。
在中学数学中， 我们学过用“五点法”来画函数的图形
在高等数学中， 我们学会了利用函数的导数来确定函 数的单调区间和极值点； 学会了利用函数的二阶导数来 确定函数的凹凸区间及拐点…… 知道了这些知识后，我们就能较准确地描绘出函数 的图形。
不能准确地画出函数的图形 但“五点法”有着固有的局限性，
为了更准确地描绘函数的图形，我们再来学习一个
； .
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1 时， f ( x ) 0
9
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用点 x
1 把 [0 , )
分为 [ 0 ,1] 和[ 1, ) 两个区间，
曲线在这两个区间上的单调性、凹凸性列表讨论如下：
x
0 0
0 ,1
负
单调减少
1
1,
负
单调减少
f ( x )
f ( x ) 的单调性
f ( x )
负
负
凸
0
正 凹
f ( x ) 的图形 极大值点
拐点
（4）讨论曲线的渐近线； 所以 y 因为 lim f ( x ) 0 ，
x
0
是曲线的水平渐近线．
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2012年9月8日星期六
10
（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点；
（2）函数是偶函数，故函数图形关于 y 轴对称；
（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区 间与拐点；
f ( x ) 1 2π
x
2
xe
2
, f ( x )
1 2π
x
2
e
2
( x 1)
2
在 [0, ) 上，当 x 当x
2012年9月8日星期六
0
时，
f ( x ) 0
sin x x
解： lim x
lim sin x x
sin x x
0
y 0 是曲线的渐近线.
x 0
1
x 0 不是函数曲线的渐近线.
2012年9月8日星期六 18
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1 2
x 1
（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点；
( 1, 1 8 ),
( 0 , 0 ),
1 1 ( , ), 2 4
( 2 , 4 ),
(x)
(3 ,
27 8
)
（6）根据上述讨论，描绘函数 f
的图形．
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y
4
3
2
1
lim [ f ( x ) ( a x b )] 0
b f (x) l im x a 0 x x x
f (x) lim a x x
b 0 x
a lim
f (x) x
x
将 a 代入
x
lim [ f ( x ) ( a x b )] 0
概念 —— 渐近线， 然后，再来研究函数图形描绘的基 本步骤和技巧！
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第三章
第六节 函数图形的描绘
（Plot of Functional Graph）
水平渐近线 一、曲线的渐进线 铅直渐近线 斜渐近线 二、函数图形的描绘
三、小结与思考练习
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，得
b lim [ f ( x ) a x ] .
x
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例 1 求曲线
f (x)
2 ( x 2 )( x 3) x 1
的渐近线． （补充题）
（1）水平渐近线公式 提示：
x
lim f ( x ) b
或
x
lim f ( x ) b
（2）无奇偶性，无周期性；
（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区 间与拐点；
f ( x ) x ( x 3)
2
2 ( x 1)
3
,
f ( x )
3x ( x 1)
4
令
f ( x ) 0
，得 x
0
与 3，令
f ( x ) 0 ，得 x 0
，
点x
（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点； （6）根据上述讨论，描绘函数 f ( x ) 的图形．
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例 2 作出函数
f (x)
1 2π
x
2
e
2
的图形． （课本 例 3）
（1）函数定义域为 ( , ) 解：
1
(1, 3)
3
(3, )
f ( x )
f ( x ) 的单调性
f ( x )
正
正
负
递减
0
正
递增
负 凸
0
递增
正
递增
正 正
正
f ( x ) 的图形
拐点 凹 间断 凹 极小值点 凹
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（4）讨论曲线的渐近线；
曲线有铅直渐近线 x
1 ；斜渐近线 y
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y
M1
M
2
M
3
1
o
1 2
x
2
1
2
x
( x )
e
2
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例 3 作出函数
f (x)
x
3 2
2 ( x 1)
的图形． （课本 例 4）
（1）函数定义域为 解：
( ,1) (1, )
（2）铅直渐近线公式
x c
lim f ( x )
或 lim
x c
f ( x)
，
（3）斜渐近线公式
a lim f (x) x
x
b lim [ f ( x ) a x ] .
x
（答案见下页）
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f (x)
2 ( x 2 )( x 3) x 1
有两条渐进线，如下图
自学（练习课本 例 2）
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二、函数图形的描绘
描绘函数的图形可按下列步骤： （1）确定函数的定义域；
（2）确定函数的奇偶性、周期性； （3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区间 与拐点； （4）讨论曲线的渐近线；
如果曲线 y
x
f (x)
有
或
x
lim [ f ( x ) ( a x b )] 0
lim [ f ( x ) ( a x b )] 0 ( a 0 )
，
则称直线 y
ax b
为曲线 y
f (x)
的斜渐近线。
下面来确定 a , b .
x
且有 的定义域是无限区间， b 或 lim f ( x ) b
x
为曲线 y
y 2
f (x)
的水平渐近线。
y arctan
x,
有水平渐近线两条:
2
3
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,
y
.
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2. 铅直渐近线（垂直于x 轴的渐近线）
如果曲线 y
x c
2
1
O
1
2
3
x
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