向量的点乘和叉乘以及几何意义

向量相乘几何意义

1. 向量的乘法的几何意义：

向量的乘法，即叉乘，就是两个向量的矢量积，也叫向量积、叉乘。它表示在三维空间中两个向量的交叉影响。叉乘的计算结果是一个新

的向量，它与原来两个向量不共线（垂直），新向量指向与两个向量

夹角关系最小的方向，新向量的模大小取决于原来向量的模和夹角。2. 投影乘法几何意义：

向量投影乘法是为了了解两个向量之间的相似性，它是把一个向量

投影到另一个向量上，然后求出两个向量的内积，它描述的是两个向

量的大小和方向的关系。三维空间中的向量投影，得出的结果是一个

垂直于另一向量的向量，可以表示为一个实值，表示投影后的向量的

模长。

3. 向量的点乘几何意义：

向量的点乘就是两个向量的点积，也叫内积。它表示对两个向量之

间的角度。如果两个向量夹角为90°，说明他们是正交，点乘结果为0。另外，点乘结果大于0，说明他们夹角小于90°；点乘结果小于0，则

说明他们夹角大于90°。

4. 向量的乘法的应用：

（1）在几何中，向量的乘法可以用来求出三角形的重心。

（2）在物理学中，向量的乘法可以用来求出力矩，从而了解力和位

移之间的关系。

（3）在几何中，向量投影乘法可以用来求出过某点的投影线和一条

向量的投影。

（4）在几何中，可以用点乘乘法求出两个向量之间的夹角，求出相交后三角形的重心，也可以用来求出向量的长度。

（5）在数学中，向量的乘法可以用来求解线性方程组的解。

（6）在统计学中，可以通过向量的乘法和投影乘法来求出最小二乘回归。

（7）在仿真中，可以通过向量的乘法来求出任意天体运行的轨迹。

向量的点乘与叉乘的几何意义与计算方法

向量是数学中的重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。在向量运算中，点乘和叉乘是两个常见且重要的运算。本文将探讨向量的点乘和叉乘的几何意义和计算方法。

一、向量的点乘

向量的点乘，也称为内积或数量积，是两个向量之间的一种运算。点乘的结果是一个标量，用于衡量两个向量之间的相似程度。点乘的计算方法如下：设有两个向量A和B，A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)，B的坐标表示为(Bx, By, Bz)。则A和B的点乘结果为：

A·B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz

点乘的几何意义是通过计算两个向量之间的夹角来衡量它们的相似程度。具体来说，点乘的结果等于两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。如果两个向量夹角为锐角，则点乘结果为正值；如果夹角为钝角，则点乘结果为负值；如果夹角为直角，则点乘结果为零。

点乘还有其他重要的应用，例如计算向量的投影。通过点乘可以得到一个向量在另一个向量上的投影长度。这在物理学中常用于计算力的分解和合成。

二、向量的叉乘

向量的叉乘，也称为外积或向量积，是两个向量之间的一种运算。叉乘的结果是一个新的向量，它与原来的两个向量都垂直，并且符合右手定则。叉乘的计算方法如下：

设有两个向量A和B，A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)，B的坐标表示为(Bx, By, Bz)。则A和B的叉乘结果为：

A×B = (Ay * Bz - Az * By, Az * Bx - Ax * Bz, Ax * By - Ay * Bx)

(完整word版)向量的点乘和叉乘,以及几何意义

所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下：

点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“·” 符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？

a.点乘的具体几何意义：

根据公式，我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：

定义向量c=a - b这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边

由于余弦定理我们可以知道c² =a² +b² - 2ab cos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可以推导出c·c=c²(有兴趣的朋友可以去试着推导一下)

所以：c·c=a·a+b·b- 2ab cos(θ)

因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c

c=a - b

c·c=(a -b)·(a - b)

c·c=(a·a-2a·b+b·b)

(a·a - 2a·b + b·b)=a²+b²- 2ab cos(q)

约掉a·a=a²,b·b=b²;

-2a·b= -2ab cos(θ)

a·b=ab cos(θ)

因为a=|a|

所以a·b=|a| |b|cosθ

跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

概念

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交，相互垂直

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

向量点乘和叉乘概念及几何意义解读

向量点乘和叉乘概念及几何意

义解读(总3页)

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概念

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交，相互垂直

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

概念

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交，相互垂直

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

概念

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c 均为向量）有：

即：

向量a，b 的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b 间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交，相互垂直

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是

一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b 的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个

垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

向量点乘、叉乘的定义及几何意义

1、向量的定义

在数学中，向量（也称为矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。

•箭头所指：代表向量的方向；

•线段长度：代表向量的大小。

2、向量的点乘

•向量点乘的数学定义：

•向量点乘的几何意义：

向量的点乘可以用来计算两个向量之间的夹角，进一步判断这两个向量是否正交（垂直）等方向关系。同时，还可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度。

3、向量的叉乘

•向量叉乘的数学定义：

•向量叉乘的几何定义：

叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量，上述结果是它的模，

向量C的方向与A，B所在的平面垂直，方向用“右手法则”判断。判断方法如下：

•右手手掌张开，四指并拢，大拇指垂直于四指指向的方向；

•伸出右手，四指弯曲，四指与A旋转到B方向一致，那么大拇指指向为C向量的方向。

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：叉积等于由向量A和向量B构成的平行四边形的面积。

向量的点乘和叉乘以及几何意义

|b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：定义向量

c=a2abcos(θ)

(这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可

以推导出cc=c(有兴趣的朋友可以去试着推导一下)所以：

cc=aa+bb-2abcos(θ)因为向量的点乘满足分配率：

a(b+c)=ab+acc=ab)(a2ab+bb)(aa2abcos(q)约掉aa=a,bb=b;-2ab= -2abcos(θ)ab=abcos(θ)因为a=|a|所以ab=|a| |b|cosθ跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向

量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断

如下：ab>0方向基本相同，夹角在0到90之间ab=0正交ab<0方向基本相反，夹角在90到180之间所以，点乘的几何意义和用

处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至

于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我

们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面，

如果不是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样

就节省了很多很多计算，能加快效率。向量的叉乘(也叫做叉积)

为什么是这样，上面已经说过，规定就这样。同样，我们给出叉乘的几何解释：在3维几何中，我们可以一眼看出来，叉乘的结果也是一个向量，而且这个向量不是一般的向量，而是大名鼎鼎的"法向量"，3D技术中法向量有多重要我就不吹了，反正是个VIP概念。在2维集合中，axb等于由向量组成的平行四边形的面积（证明很简单，你们可以自己试着证明）总之：向量的叉积最重要的应用就是创建垂直于平面，三角形，或者多边形的向量。

(完整word版)向量的点乘和叉乘,以及几何意义

所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下：

点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“·” 符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？

a.点乘的具体几何意义：

根据公式，我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：

定义向量c=a - b这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边

由于余弦定理我们可以知道c² =a² +b² - 2ab cos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可以推导出c·c=c²(有兴趣的朋友可以去试着推导一下)

所以：c·c=a·a+b·b- 2ab cos(θ)

因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c

c=a - b

c·c=(a -b)·(a - b)

c·c=(a·a-2a·b+b·b)

(a·a - 2a·b + b·b)=a²+b²- 2ab cos(q)

约掉a·a=a²,b·b=b²;

-2a·b= -2ab cos(θ)

a·b=ab cos(θ)

因为a=|a|

所以a·b=|a| |b|cosθ

跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

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概念

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a·b>0 ? ?方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 ? ?正交，相互垂直?

a·b<0 ? ?方向基本相反，夹角在90°到180°之间?

叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

向量的点乘和叉乘以及几何意义

1.点乘（内积）

对于两个n维向量A和B，其点乘表示为A·B，计算方式为：

A·B=A1B1+A2B2+···+AnBn

其中，A1,A2,...,An和B1,B2,...,Bn分别是向量A和B的各个分量。点乘的几何意义：

-点乘的结果是一个实数，代表两个向量之间的数量关系。

-点乘可以用来判断两个向量之间的夹角。具体而言，当两个向量夹

角为锐角时，点乘结果为正；夹角为直角时，点乘结果为零；夹角为钝角时，点乘结果为负。

-点乘可以用来判断向量间的垂直关系。两个向量的点乘结果为零，

则表示两个向量相互垂直。

点乘的应用：

-计算向量的模长：对于一个n维向量A，其模长的平方等于向量自

身与自身的点乘，也即A·A=A1^2+A2^2+···+An^2

-计算向量投影：点乘可以将向量A在向量B上的投影表示为A·B/，B，其中，B，表示向量B的模长。

-判断向量的方向：当两个向量夹角为锐角时，点乘结果为正；当夹

角为钝角时，点乘结果为负。通过点乘可以判断两个向量之间的相对方向。

2.叉乘（外积）

向量的叉乘，也称为外积或向量积，是一种二元运算，结果为一个新

的向量，其方向垂直于原来的两个向量，大小等于两个向量构成的平行四

边形的面积。具体的叉乘定义如下：

对于两个三维向量A和B，其叉乘表示为A×B，计算方式为：

A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)

叉乘的几何意义：

-叉乘的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，并且方向

符合右手螺旋法则。具体来说，如果右手的四指沿着向量A的方向伸出，

向量的点乘和叉乘以及几何意义

一、向量的点乘

1.定义：

向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的

夹角。

2.计算方法：

（1）向量坐标表示计算方法：

如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们

的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。

（2）向量模和夹角计算方法：

如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b

之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。

3.几何意义：

（1）判断两个向量是否相互垂直：

如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。

（2）计算向量在一些方向上的投影：

如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量

b的方向上的投影长度为，a，cosθ。

（3）计算两个向量之间的夹角：

如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之

间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。

二、向量的叉乘

1.定义：

向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法

运算。对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，

sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a

和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。

向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义

向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及⼏何意义

向量的内积（点乘）

定义

概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执⾏点乘运算，就是对这两个向量对应位⼀⼀相乘之后求和的操作，如下所⽰，对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

这⾥要求⼀维向量a和向量b的⾏列数相同。注意：点乘的结果是⼀个标量(数量⽽不是向量)

定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是⾮零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。向量内积的性质：

a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）

a·b = b·a. （对称性）

(λa + µb)·c = λa·c + µb·c，对任意实数λ, µ成⽴. （线性）

cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).

|a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成⽴.

向量内积的⼏何意义

内积（点乘）的⼏何意义包括：

表征或计算两个向量之间的夹⾓

b向量在a向量⽅向上的投影

有公式：

推导过程如下，⾸先看⼀下向量组成：

定义向量c：

根据三⾓形余弦定理（这⾥a、b、c均为向量，下同）有：

根据关系c=a-b有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从⽽有a和b间的夹⾓θ：

进⽽可以进⼀步判断两个向量是否同⼀⽅向或正交(即垂直)等⽅向关系，具体对应关系为：

向量的外积（叉乘）

定义

概括地说，两个向量的外积，⼜叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是⼀个向量⽽不是⼀个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平⾯垂直。

向量点乘与叉乘的概念及几何意义

向量点乘：（内积）点乘（Dot Product）的结果是点积，又称数量积或标量积（Scalar Product）。在空间中有两个向量： \vec a=(x_1,y_1,z_1) ， \vec

b=(x_2,y_2,z_2)， \vec a 与 \vec b之间夹角为 \theta。从代数角度看，点积是

对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积。\vec a\cdot \vec

b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2从几何角度看，点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。\vec a\cdot \vec b=\left |\vec a \right |\left |\vec b \right |\cos\theta

几何意义：点乘的结果表示 \vec a 在 \vec b 方向上的投影与 \left |\vec b

\right | 的乘积，反映了两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系为：\vec a\cdot

\vec b>0则方向基本相同，夹角在0°到90°之间\vec a\cdot \vec b=0则正交，相互垂直\vec a\cdot \vec b<0则方向基本相反，夹角在90°到180°之间点乘代数定

义推导几何定义：（常用来求向量夹角）设 \vec a 终点为 A(x_1,y_1,z_1) ， \vec b 的终点为B(x_2,y_2,z_2) ,原点为 O ，则 \vec {AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)在 \triangle OAB 中，由余弦定理得：\left |\vec {AB}\right |^2=\left |\vec a \right |^2+\left |\vec b \right |^2-2\left |\vec a \right |\left |\vec b \right |\cos\theta使用距离公式进行处理，可得：\left |\vec a \right |\left

向量点乘和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

概念

向量是由n个实数组成的一个n行1歹0 (n*1)或一个1行n歹0 (1*n)的有序数组；

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两

个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对丁向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行歹U数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的火角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b (a、b、c均为向量)有：

即：

向量a, b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b问的火角0：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的火角。从而就可以进一步判断这

两个向量是否是同一方向，是否正交他就是垂直)等方向关系,具体对应关系为：ab>0 ? ?方向基本相同，火角在0°到90°之间

ab=0 ? ?正交，相互垂直？

ab<0 ? ?方向基本相反，火角在900到180°之间？

叉乘公式

两个向量的义乘，乂叫向量积、外积、义积，义乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的义积与这两个向量组成的坐标平■面垂直。

对丁向量a和向量b：

a和b的义乘公式为：

其中：

根据i、j、k问关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的义乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直丁a和b向量构成的平■面。

在3D图像学中，义乘的概念非常有用，可以通过两个向量的义乘，生成第三个

垂直丁a, b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：