高中数学 平面向量基本定理gsp课件 新人教A版必修4

O
N
B
OC 1 e1 2 e2 即 a 1 e1 +2 e2
N
A
B C
e1
e2
a
O
如图 OC OM ON M OM 1OA 1 e1 ON 2 OB 2 e2










D.若实数1、2 使1 e1 2 e2 0,则1 2 0
这里1、2是实数


小结:
平面向量基本定理
作业:
课本P110 6，7
平面向量基本定理：
如果e1、是同一平面内的两个不共线的向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对 实数1、2，可使 a 1 e1 +2 e2
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.
说明： 1、把不共线的非零向量 e1 , e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
2、基底不唯一，关键是不共线.
3、由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下进行分解.
4、基底给定时，分解形式唯一.
练习
1.
2.
3.设 a, b 是两个不共线向量，已知 AB 2a k b, CB a 3b, CD 2a b, 若A,B,D三点共线， 求实数 k ？
作法:
例1：已知向量e1, e2 （如图），求作向量-2.5e1 3e2 . 1.如图，任取一点O , 作OA 2.5e1
无数对
实数 1 , 2 , 是否相同？ 可以相同,也可不同
OC OF OE
OC 2OA OE
OC 2OB ON
F
A B
C
a
N E
O
E
例2 : 如图， ABCD的两条对角线相交于点M , 且 AB a， b AD ，用a、 b表示MA MB、 和MD. 、 MC
M
a
B
2 2 2 2 1 a b a b MB DB 2 2 2 2 1 a b MC AC MA 2 2 2 1 a b MD DB MB 2 2 2
练习:
1.在 AD ABCD中，设 AC a, BD b,则 AB
a b .(用a、 b来表示) 2 a b , 2
D
C
2.如图，已知向量e1、，求作下列向量: e2 e1 (1). 3e1 2e2 ; (2). 4e1 e2 ;
1.复习:
⑴向量共线充要条件 向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0 时， b 与 a 同向， 且 | b |是| a | 的 倍; 当 0 时， b 与 a 反向， 且 | b |是| a | 的| | 倍; 当 0 时， b 0 ，且 | b | 0 。
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.
在 性
a 1 e1 2 e2
1, 2
是否唯一？
思考： 上述表达式中的
２）平面向量基本定理的理解
⑴
若 a 0, 有且只有 1 2 0, 使 0 1 e1 2 e2 若
a
与 e1 (e2 ) 共线，则 2 0(1 0), 使
a 1 e1 2 e2
解：在
D ABCD中， b AC AB AD a b DB AB AD a b A 1 ab a b MA AC C
OC 1 e1 2 e2 即 a 1 e1 +2 e2
a 1 e1 +2 e2
这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成1 e1 +2 e2的形式
平面向量基本定理：
如果e1、是同一平面内的两个不共线的向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对 实数1、2，可使 a 1 e1 +2 e2
⑵
基底：把不共线的向量 e , e , 叫做这一平面内 1 2 所有向量的一组基底．
正交基底：一个平面向量用一组基底 e , e2 , 1 称它为向量的分解． 当 e1 , e2 , 互相垂直时，称为向量的正交分解． 表示成：a 1 e1 2 e2
⑶
３）平面向量基本定理的拓展
♦ 探究２： 一组平面向量的基底有多少对？ ♦ 探究３： 若基底选择不同，则表示同一向量的
, OB 3e2 .
2.作
OACB.
则， 就是所求的向量 OC
C
3e2
B
e1
e2
A
-2.5e1
O
１）平面向量基本定理的内容
如果 e1 , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 , 是同一平面内的两个不共线向量， 存
唯 一 性
那么对于这一平面的任意向量 a,
存在 有且只有 一对实数， 1 , 2 , 使
A
B
e2
3.如果e1、 是平面内所有向量的一组基底， e2 那么（D ）
的实数1、2 有无数对 A.对平面中的任一向量 a，使 a 1 e1 2 e2 B.对实数1、2，1 e1 2 e2不一定在平面内 C .空间任一向量 a可以表示为a 1 e1 2 e2，
⑵向量的加法：
b a
O
b
B
ab
C
a
A
平行四边形法则
ab
B
O
A a 三角形法则
b
思考：一个平面内的两个不共线的向量 e1、2 与该平面 e 内的任一向量 a 之间的关系.
M
e1
a
C
A
e2
如图 OC OM ON OM 1OA 1 e1 ON 2 OB 2 e2