人教版_2021中考热点专题训练与圆有关的证明问题

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2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(四)

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（四）1．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．2．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2＝CE•AC；（2）若AE＝2EC，求之值；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S △ACH＝9，求EC之长．3．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．（1）求⊙M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．5．如图所示，已知P是直线y＝﹣x+4上位于第一象限内的动点，P′是点P关于x轴的对称点．（1）设P点坐标是（x，y），△OPP′的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）设⊙O′为△OPP′的外接圆，当直线AB和⊙O′相切于点P′时，求△OPP′的外接圆半径R的值．（3）求△OPP′周长C的最小值．6．已知：△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．（1）如图1，求证：∠DAB＝∠DBC；（2）如图2，过点D作DM⊥AB于点M，连接AO，交BC于点N，BM＝AM+AD，求证：BN＝CN；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为⊙O上一点，过点E的切线交DB的延长线于点P，连接CE，交AO的延长线于点Q，连接PQ，点F为AN上一点，连接CF，若∠DCF+∠CDB＝90°，tan∠ECF＝2，，PQ+OQ＝6，求CF的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC 于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．8．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．（1）AG＝；（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．9．如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．（1）求证：OD∥AC；（2）求证：DC2＝DE•DA；（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使∠ACD＝∠B．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；（3）在（2）的条件下，若BC＝4，AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBD＝90°，∴∠FBA+∠ABD＝90°，∴∠FBA＝∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝∠D，∴∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABD＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝＝2，∴CH＝DA；（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE，∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15，∵AD，BC交于E，∴AE•DE＝BE•CE，∴CE＝＝＝．2．解：（1）如图1，∵CD＝BC，∴，∴∠BDC＝∠DAC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•AC；（2）设CE＝x，∵AE＝2CE，∴AE＝2x，∴AC＝AE+CE＝3x，由（1）知，CD2＝CE•AC，∴CD2＝x×3x＝3x2，∴CD＝x，∴BC＝CD＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，根据勾股定理得，AB＝＝2x，∴OA＝OB＝AB＝x，∴OB＝OC＝BC，∴△BOC是等边三角形，∵，∴OC⊥BE，∴OF＝OB＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠OFB，∴OF∥AD，∵OA＝OB，∴AD＝2OE＝x，∴＝＝1；（3）由（2）知，△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵CH是⊙O的切线，∴∠OCH＝90°，∴∠CHO＝30°，∴OH＝2OC，∵OH＝OB+BH＝OC+BH，∴OB＝BH，∴OA＝OB＝BH，∴S △ACH＝3S△BOC＝9，∴S △BOC＝3，∵S △BOC＝OB2＝×（x）2＝3，∴x＝﹣2（舍）或x＝2，∴EC＝2．3．解：（1）如图1，连接MH，∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，∴∠OEF＝30°，∵EF是⊙M的切线，∴∠EHM＝90°，∴sin∠MEH＝sin30°＝，∴MH＝ME＝2，即r＝2；（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，∴△PCH∽△PQD，∴，由（1）可知，∠HEM＝30°，∴∠EMH＝60°，∵MC＝MH＝2，∴△CMH为等边三角形，∴CH＝2，∵CD是⊙M的直径，∴∠CQD＝90°，CD＝4，∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，∴QD＝CD＝3，∴；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），∴MG＝CM＝1，∴，又∵∠PMG＝∠EMP，∴△MPG∽△MEP，∴，∴PG＝PE，∴PF+PE＝PF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，∴FG＝＝＝．∴PF+PE的最小值为．4．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2××4×4﹣，＝16﹣．5．解：（1）∵P（x，y），∴S＝xy＝x（﹣x+4）＝x2+4x．（2）∵⊙O′为△OPP′的外接圆，直线AB和00外切于P．∴PO'⊥AB．在△APO'和△AOB中，∠PAO'＝∠OAB，∠APO'＝∠AOB＝90°，∴△APO'∽△AOB，∴，即PO'＝AP，在Rt△OBO'和Rt△PBO'中，OO'＝PO'，BO'＝BO，∴Rt△OBO'≌Rt△PBO'（HL），∴PB＝OB＝4．∵AB＝＝＝4，∴PO'＝AP＝（AB﹣PB）＝（4﹣4）＝2﹣2，即R的值是2﹣2．（3）如图．作∠BAC＝∠BAO，并作OD⊥AC于D．交AB于P，∵∠BAC＝∠BAO，∠AOB＝∠ODA＝90°，∴△ABO∽△APD，∴，由y＝﹣x+4上得OA＝8，OB＝4，∵∠BPO＝∠APD＝∠OBP，∴OP＝OB＝4．设PD＝a，则AD＝2a．在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，∴（a+4）2+4a2＝64，解得a﹣2.4（a＝﹣4舍去），即PD＝2.4．∴△OPP'周长C的最小值＝2OD＝2（OP+PD）＝2×（4+2.4）＝12.8．6．解：（1）如图1，延长BO交⊙O于G，连接CG，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠DBC+∠CBG＝90°，∵BG为⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠G＝90°，∴∠DBC＝∠G，∵四边形ABGC为⊙O的内接四边形，∴∠DAB＝∠G，∴∠DAB＝∠DBC；（2）如图2，在MB上截取一点H，使AM＝MH，连接DH，∴DM垂直平分AH，∴DH＝AD，∴∠DHA＝∠DAH，∵BM＝AM+AD，BM＝MH+BH，∴AD＝BH，∴DH＝BH，∴∠HDB＝∠HBD，∴∠DHA＝∠HDB+∠HBD＝2∠HBD，由（1）知∠DAB＝∠DBC，∴∠DHA＝∠DAB＝∠DBC，∴∠DBC＝2∠HBD，∵∠DBC＝∠HBD+∠ABC，∴∠HBD＝∠ABC，∠DBC＝2∠ABC，∴∠DAB＝2∠ABC，∵∠DAB＝∠ABC+∠C，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∵点O也在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BN＝CN；（3）如图3，延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，∵∠DCF+∠CDB＝90°，∴∠DMC＝90°，∵∠OBD＝90°，∴∠DMC＝∠OBD，∴CF∥OB，∴∠BGE＝∠ECF，∠CFN＝∠BON，∴tan∠BGE＝tan∠ECF＝2，由（2）知OA垂直平分BC，∴∠CNF＝∠BNO＝90°，BN＝CN，∴△CFN≌△BON（AAS），∴CF＝BO，ON＝FN，设CF＝BO＝r，ON＝FN＝a，则OE＝r，∵，∴OQ＝2a，∵CF∥OB，∴△QGO∽△QCF，∴，即，∴OG＝r，过点O作OE′⊥BG，交PE于E′，∴OE′＝OG•tan∠BGE＝r＝OE，∴点E′与点E重合，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝90°，∵PB和PE是圆O的切线，∴∠OBP＝∠OEP＝∠BOE＝90°，OB＝OE＝r，∴四边形OBPE为正方形，∴∠BOE＝90°，PE＝OB＝r，∴∠BCE＝∠BOE═45°，∴△NQC为等腰直角三角形，∴NC＝NQ＝3a，∴BC＝2NC＝6a，在Rt△CFN中，CF＝＝a，∵PQ⊥OQ，∴PQ∥BC，∴∠PQE＝∠BCG，∵PE∥BG，∴∠PEQ＝∠BGC，∴△PQE∽△BCG，∴，即，解得：PQ＝4a，∵PQ+OQ＝6，∴4a+2a＝6，解得：a＝∴CF═×＝10．7．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG；②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△BDE与Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵D是弧AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE与Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．8．解：（1）连接OG，如图1，∵正方形ABCD中，AB＝10，∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，∵CE＝2，DO＝3，∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，∴DG＝，∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，故答案为：6；（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD 于点Q，则∠QHC＝90°，根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，∴四边形QHCD是矩形，∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，∵DE＝8，∴，∴O'H＝6，∵CE＝2，DO＝3，∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，∴MH＝1，即点M到BC的最短距离为1；②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，由题意得，的长为＝，∴∠PO'R＝60°，∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，∴，∵O'R＝PO'，∴△O'RP是等边三角形，∴，∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为；③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，∴O′G＝5﹣2＝3，∴CN＝GE＝，∴，NE＝，∵，∴，∴NH＝，∴tan∠END＝；当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，∵AB∥CD，∴EF′⊥CD，∴tan∠END＝，综上，tan∠END＝．9．解：（1）因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵D是的中点，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD2＝DE•DA；（3）∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝.＝8，∵OD∥AC，∴△BOF∽△BAC，∴，即＝，∴BF＝4．即BF的长为4．10．（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠ACO+∠B＝90°，又∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∴∠DCO＝90°，∴DC是⊙O的切线；（2）解：连接BE．∵BC＝EC，∴＝，∴∠CAB＝∠CBE，∵四边形CAEB内接于圆，∴∠CBE+∠CAE＝180°，又∵∠CAD+∠CAB＝180°，∴∠CAD＝∠CAE，又∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，∴△ACD∽△AEC，∴．∴AC2＝AE•AD；（3）解：设AD＝5k，AE＝9k，则AC＝3k，∵△ACD∽△AEC，∴＝，∴＝，∴CD＝，∵∠D＝∠D，∠ACD＝∠CBD，∴△DCA∽△DBC，∴CD2＝DA•DB，∵DB＝，∴AB＝﹣5k，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（3k）2+（4）2＝（）2，整理得：81k4+684k2﹣320＝0，∴（9k2+80）（9k2﹣4）＝0，∴k2＝，∵k＞0，∴k＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．。

2021年九年级中考专题训练：圆的有关性质(含答案)

2021中考专题训练：圆的有关性质一、选择题1. 如图，AB为☉O的直径，C，D为☉O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为()A.60°B.50°C.40°D.20°2. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为()A.32°B.31°C.29°D.61°3. 如图，线段AB经过☉O的圆心，AC，BD分别与☉O相切于点C，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则圆弧CD的长度为 ()A.πB.2πC.2πD.4π4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于()A．29°B．31°C．59°D．62°5. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立．．．的是()A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED.BD ︵＝BC ︵6.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°7. 2019·天水如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°8. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5B.5 32C ．5 2D ．5 3二、填空题9. 如图所示，AB 为☉O 的直径，点C 在☉O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC=65°，连接AD ，则∠BAD= 度.10.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝________°.11. 如图，C ，D两点在以AB 为直径的圆上，AB ＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝________．12. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．13. 如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上，且∠ADC ＝30°，则∠AOB 的度数为________．14. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm ，下雨前水面宽为60 cm ，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.链接听P39例4归纳总结15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________．16. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是________．三、解答题17.如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．18. 已知：如图5，在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，AB＝CD，AB 不平行于CD.求证：∠AMN＝∠CNM.19.如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵的长．(结果保留π)20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作半圆O 交AC 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE. (1)求证：DE 是半圆O 的切线；(2)若∠BAC ＝30°，DE ＝2，求AD 的长．21. (2019•辽阳)如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，连接AE ，AD ，DE ，过点A 作射线交BE 的延长线于点C ，使EAC EDA ∠=∠． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若23CE AE==，求阴影部分的面积．22. 已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a ≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2021中考专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]如图，连接AD，∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°.∵∠A和∠BCD都是所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B.2. 【答案】A[解析]记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.3. 【答案】B[解析]连接CO ，DO ，因为AC ，BD 分别与☉O 相切于C ，D ，所以∠ACO=∠BDO=90°，所以∠AOC=∠A=45°，所以CO=AC=4，因为AC=BD ，CO=DO ，所以OD=BD ，所以∠DOB=∠B=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB -∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故选B .4. 【答案】B5. 【答案】C6.【答案】C【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA ＝12(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.7. 【答案】C8. 【答案】D[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB＝AB 可知PB ︵＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.二、填空题9. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ， ∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ， ∴∠BAD=20°.10.【答案】62 【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD ＝28°，可得∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD ＝∠ACD ＝62°.11. 【答案】1[解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠ACD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝12×2＝1.12. 【答案】40°13. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.14. 【答案】10或70 [解析] 对于半径为50 cm 的圆而言，圆心到长为60 cm 的弦的距离为40 cm，到长为80 cm的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm或70 cm.15. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73.综上所述，PA的长为3或73.16. 【答案】34[解析] 如图，当CD∥AB时，PM的长最大，连接OM，OC.∵CD∥AB，CP⊥AB，∴CP⊥CD.∵M为CD的中点，OM过点O，∴OM⊥CD，∴∠OMC＝∠PCD＝∠CPO＝90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM＝OC.∵⊙O的直径AB＝8，∴半径OC＝4，∴PM＝4.三、解答题17. 【答案】(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，解图∴∠DAC＝x，∠AOD＝2∠ABC＝2x，∴∠OAD＝180°－2x2＝90°－x，(2分)∴∠OAC＝90°－x＋x＝90°，∴OA⊥AC，又∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．(4分)(2)解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3,∠ABC＋∠ADB＝90°，∴∠ABC＋3∠ABC＝90°，(6分)解得∠ABC＝22.5°，∴∠ADB＝67.5°，∠ACB＝45°，∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝22.5°.(8分)18. 【答案】证明：连接OM，ON，OA，OC，如图所示．∵M，N分别为AB，CD的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，AM ＝12AB ，CN ＝12CD.又∵AB ＝CD ，∴AM ＝CN.在Rt △AOM 和Rt △CON 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，AM ＝CN ，∴Rt △AOM ≌Rt △CON(HL)，∴OM ＝ON ，∴∠OMN ＝∠ONM ，∴∠AMO ＋∠OMN ＝∠CNO ＋∠ONM ，即∠AMN ＝∠CNM.19. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD ，(1分)∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，解图∴OD ⊥DF ，∴∠ODF ＝90°，(2分)∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，(3分)∴OD ∥AC ，∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°，∴DF ⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF ＝30°，由(1)得∠ODF ＝90°，∴∠ODB ＝180°－∠CDF －∠ODF ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，(7分)∴∠BOD ＝60°，∴lBD ︵＝n πR 180＝60π×5180＝53π.(8分)20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接BD ，OD ，OE.∵AB 为半圆O 的直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴DE ＝BE.在△OBE 和△ODE 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，OE ＝OE ，BE ＝DE ，∴△OBE ≌△ODE(SSS)，∴∠ODE ＝∠ABC ＝90°，即OD ⊥DE.又∵OD 是半圆O 的半径，∴DE 是半圆O 的切线．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AC. ∵BC ＝2DE ＝4，∴AC ＝8.又∵∠C ＝90°－∠BAC ＝60°，DE ＝BE ＝EC ，∴△DEC 为等边三角形，∴DC ＝DE ＝2，∴AD ＝AC －DC ＝6.21. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE ==∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，∴OAE △是等边三角形，∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴260π2π360=AOE S ⋅⨯=扇形，在Rt OAE △中，sin 3OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π33-．22. 【答案】（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1, 0)、B(4, 0)两点，所以y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a．所以－4a＝－2，b＝－3a．所以12a=，32b=-．所以221313252()22228y x x x=--=--。

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(二)

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（二）1．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，E是AC上一点，⊙O经过点C、D、E，分别与AD、BC相交于点F、G，连接ED、EF、EG，延长GE交AD于点H．（1）求证△HEF∽△DEC；（2）若AB＝6，BC＝9，①当△HEF是等腰三角形时，求CE的长；②当⊙O与AB相切时，则CE的长为．2．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD 为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．6．如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，证明r 2＝AD •OE ；（3）若DE ＝4，sin C ＝，求AD 之长．7．如图，在∠DAM 内部做Rt △ABC ，AB 平分∠DAM ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点N 为BC 的中点，动点E 由A 点出发，沿AB 运动，速度为每秒5个单位，动点F 由A 点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F 作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM＝AC；（2）填空：①若AC＝3，MC＝；②连接BM，当∠AMB的度数为时，四边形AMBC是菱形．9．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设N（x，y）是抛物线上的一个动点（不与C、G重合）．当∠CNG≤30°时，请求出点N的横坐标的取值范围．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+ BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．参考答案1．（1）证明：如图1，∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，∴∠DFE+∠DCE＝180°，∵∠DFE+∠EFH＝180°，∴∠EFH＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DHE＝∠BGE，∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，∴∠BGE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DHE，∴△HEF∽△DEC；（2）解：①由（1）知：△HEF∽△DEC，∴，i）当HF＝EF时，∵，∴EC＝DC，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∴CE＝DC＝6；ii）当HE＝EF时，∵，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，∴∠ADE＝∠EAD，∴AE＝ED＝EC，Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，∴AC＝＝3，∴CE＝AC＝；iii）当HE＝HF时，∵，∴DE＝DC＝6，如图2，连接DG，交AC于M，∵∠DCG＝90°，∴DG是⊙O的直径，∵DE＝DC，∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，cos∠DCM＝，即，∴CM＝，∴CE＝2CM＝，综上，CE的长为6或或；②如图3，设AB与⊙O相切的切点为N，连接NO并延长交CD于P，连接OC，过O作OK ⊥AC于K，。

2021年中考数学专题训练：与圆有关的性质(含答案)

2021 中考数学专题训练：与圆有关的性质一、选择题1. 如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A．50°B．55°C．60°D．65°2. 已知⊙O的半径为5 cm，P是⊙O内一点，则OP的长可能是()A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm3. 下列语句中不正确的有()①过圆上一点可以作圆中最长的弦无数条；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心的距离都相等；④在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长．A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°5. 2019·赤峰如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．5B ．4C ．13D ．4.87. 下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②菱形的四个顶点在同一个圆上；③平行四边形的四个顶点在同一个圆上．其中正确的有( )链接听P37例3归纳总结 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°9. (2019•镇江)如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒10. 2019·天水如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°二、填空题11.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.12. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.︵13. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是BAC 上一点，则∠D＝________．14. 如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB.若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD 的距离为________．15. 如图所示，OB ，OC 是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.16. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．17. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.18. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.三、解答题19.如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥B C.20.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．21. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE2021 中考数学专题训练：与圆有关的性质-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】B[解析] ①②不正确．4. 【答案】A[解析]连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°.∵=，∴∠CAB=∠DAB=35°.∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A .5. 【答案】D6. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．7. 【答案】B[解析] 矩形的两条对角线的交点到矩形的四个顶点的距离相等，故它的四个顶点在以对角线的交点为圆心、对角线长的一半为半径的圆上．8. 【答案】B9. 【答案】A【解析】如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°， ∵DC CB =，∴∠CAB=12∠DAB=35°， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A ．10. 【答案】C二、填空题11.【答案】50°【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt △BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.12. 【答案】52°[解析]∵圆内接四边形对角互补，∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°. ∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.13. 【答案】40°【解析】AC 是⊙O 的直径⇒∠ABC ＝90°⇒⎭⎪⎬⎪⎫ ∠A ＝90°－50°＝40°∠A 和∠D 都是BC ︵所对的圆周角 ⇒∠D ＝∠A ＝40°. 14. 【答案】315. 【答案】50 [解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.16. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=．故答案为：1．17. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.18. 【答案】58[解析] 方法一：如图①，连接OB.∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB ＝32°，∴∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.又∵∠C ＝12∠AOB(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)， ∴∠C ＝58°.方法二：如图②，过点A作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∴∠C＝∠D ＝90°－32°＝58°(同弧所对的圆周角相等)．三、解答题19. 【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO＝90°，∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB，∴∠MOP＝∠B,故MO∥BC.20. 【答案】(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD＝∠A，(2分)解图又∵∠DEA＝∠CBA，∴∠DEA＋∠DOE＝∠CAB＋∠CBA，又∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，(5分)∴OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD ∽△DBO ， ∴BD BO ＝DF OD ＝BF BD ，(8分)∴BD ＝DF ＝10，∴OB ＝5，(10分)即⊙O 的半径为5.21. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒， ∵OA OE =，∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠， ∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE == ∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠， ∴2AEO EAC ∠=∠， ∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠， ∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒， ∴OAE △是等边三角形， ∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴260π2π360=AOE S ⋅⨯=扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π。

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等【含答案】

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等1．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，E是AC上一点，⊙O经过点C、D、E，分别与AD、BC相交于点F、G，连接ED、EF、EG，延长GE交AD于点H．（1）求证△HEF∽△DEC；（2）若AB＝6，BC＝9，①当△HEF是等腰三角形时，求CE的长；②当⊙O与AB相切时，则CE的长为．2．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB 相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．6．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．7．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F 由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO 的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM＝AC；（2）填空：①若AC＝3，MC＝；②连接BM，当∠AMB的度数为时，四边形AMBC是菱形．9．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA　所在直线为x 轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设N（x，y）是抛物线上的一个动点（不与C、G重合）．当∠CNG≤30°时，请求出点N的横坐标的取值范围．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠ △ ∽△ ∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P 是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．答案1．（1）证明：如图1，∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，∴∠DFE+∠DCE＝180°，∵∠DFE+∠EFH＝180°，∴∠EFH＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DHE＝∠BGE，∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，∴∠BGE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DHE，∴△HEF∽△DEC；（2）解：①由（1）知：△HEF∽△DEC，∴，i）当HF＝EF时，∵，∴EC＝DC，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∴CE＝DC＝6；ii）当HE＝EF时，∵，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，∴∠ADE＝∠EAD，∴AE＝ED＝EC，Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，∴AC＝＝3，∴CE＝AC＝；iii）当HE＝HF时，∵，∴DE＝DC＝6，如图2，连接DG，交AC于M，∵∠DCG＝90°，∴DG是⊙O的直径，∵DE＝DC，∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，cos∠DCM＝，即，∴CM＝，∴CE＝2CM＝，综上，CE的长为6或或；②如图3，设AB与⊙O相切的切点为N，连接NO并延长交CD于P，连接OC，过O作OK⊥AC于K，∴PN⊥AB，∴PN⊥CD，∴PD＝CP＝CD＝3，设⊙O的半径为r，则OC＝ON＝r，OP＝9﹣r，Rt△COP中，由勾股定理得：OC2＝OP2+CP2，∴r2＝32+（9﹣r）2，解得：r＝5，∴OP＝4，ON＝OC＝5，∵PN＝9，NL＝PL＝4.5，∴OL＝4.5﹣4＝0.5，∵AD∥PN∥BC，DP＝PC，∴AN＝BN＝3，AL＝CL＝，∵∠ALN＝∠OLK，∴sin∠ALN＝sin∠OLK＝，即，OK＝，由勾股定理得：CK＝＝＝，∴CE＝2CK＝．故答案为：．2．解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B＝＝，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x2+9x2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵OB2＝OD2+BD2，∴（6﹣OC）2＝OC2+4，∴OC＝，故⊙O的半径为；（3）AF＝CE+BD，理由如下：连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．3．解：（1）∵点A（0，4），∴AO＝4，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3，AB＝5，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BFA＝∠AFC，∴△BFA∽△AFC∴＝＝，设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴32+x2＝[（4+x）]2，解得：x＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴BD垂直平分AF，∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴∠ADF＝∠CAB＝90°，∴DF相切⊙Q，∴∠DAE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，∴OG＝FH，∵△ABE≌△ABO，∴∠OAB＝∠EAB，∵AB⊥AD，∴∠DAE＝∠CAO，∵∠CAO＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，∴AG＝AE＝4，∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．4．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠DAE＝∠ACE，∴∠DAC+∠DAE＝90°，即∠CAE＝90°，∴AP是⊙O的切线；（2）连接DB，如图1，∵PA和PB都是切线，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，∵PD＝PD，∴△DPA≌△DPB（SAS），∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵∠ACD＝∠ABD，又∠DAE＝∠ACE，∴∠DAF＝∠DAE，∵AC是直径，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△FAD∽△DAE；（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，∴△AOF∽△POA，∴，∴，∴PA＝2AO＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，∴△AFD∽△CAE，∴，∴，∵，不妨设OF＝x，则AF＝2x，∴，∴，∴，∴．5．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴EA2+CF2＝EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3，∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴+＝，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝AB＝6，∴⊙O的半径为6．6．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．7．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，∴△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，解得：a＝，在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，∴AG＝，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，解得：x＝t，∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，解得：t＝，∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，故答案为：1＜t≤．8．（1）证明：连接OA，如图1：∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM＝90°，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOM＝60°，∴∠M＝30°，∴∠OCA＝∠M，∴AM＝AC；（2）解：①作AG⊥CM于G，如图2：∵∠OCA＝30°，AC＝3，∴AG＝AC＝，∴CG＝AG＝，则MC＝2CG＝3；故答案为：3．②当∠AMB的度数为60°时，四边形AMBC是菱形；理由如下：连接OA，作OB'⊥BM于B'，如图3：则∠OB'M＝∠OAM＝90°，由（1）得：AM＝AC，∠OCA＝∠AMO＝30°，∠MAC＝180°﹣∠AMC﹣∠OCA＝120°，∵∠AMB＝60°，∴∠MAC+∠AMB＝180°，∴AC∥BM，∴∠BMO＝∠OCA＝30°，∴∠AMO＝∠BMO，在△OB'M和△OAM中，∴△OB'M≌△OAM（AAS），∴OB'＝OA＝OB，B'M＝AM，∴B'与B重合，∴BM＝AM＝AC，又∵AC∥BM，∴四边形AMBC是平行四边形，∵AM＝AC，∴四边形AMBC是菱形．故答案为：60°．9．解：（1）解：如图甲，连接PE、PB，设PC＝n，∵正方形CDEF的面积为1，∴CD＝CF＝1，根据圆和正方形的轴对称性知：OP＝PC＝n，∴BC＝2PC＝2n，∵而PB＝PE，∴PB2＝BC2+PC2＝4n2+n2＝5n2，PE2＝PF2+EF2＝（n+1）2+1，∴5n2＝（n+1）2+1，解得：n＝1或n＝﹣（舍去），∴BC＝OC＝2，∴B点坐标为（2，2）；∴A（0，2），C（2，0），∵A，C在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵正方形CDEF的面积为1，∴CF＝1，∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2与x轴交于点C，点G，∴x1＝2，x2＝4，∴点G（4，0）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2＝（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴为x＝3，即EF所在直线，∵C与G关于直线x＝3对称，∴CF＝FG＝1，∴MF＝FG＝，在Rt△PEF与Rt△EMF中，∵＝，∴，且∠EFM＝∠EFP，∴△PEF∽△EMF，∴∠EPF＝∠FEM，∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°，∴ME是⊙P的切线（3）如图，以CG为边在x轴上方作等边三角形ICG，以I为圆心，IC为半径作圆，当点N是抛物线点C左侧一点，连接NG，交⊙I于点H，连接CH，CN，∵∠CHG＝∠CIG＝30°，∠CHG＝∠CNG+∠NCH，∴∠CNG＜30°，同理当点N在抛物线点G左侧一点，可得∠CNG＜30°，∴当∠CNG≤30°时，则x＜2或x＞4．10．解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝，AF＝，∴DF＝CF﹣CD＝3﹣＝2，∴AD＝＝∴AP+BP的最小值为；故答案为：；（2）如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，∴＝＝，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴＝＝，∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝2，∴，AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；（3）如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴＝＝，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴＝＝，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2PA+PB的最小值为．。

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(一)

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（一）1．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△CAB的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝2，AC＝4时，直接写出线段PB的长．4．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D 是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．5．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．6．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．7．如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是的中点，DB交AC于点G，过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F．（1）求证：MD＝GD；（2）填空：①当∠DEA＝时，AF＝FG；②若∠ABD＝30°，当∠DEA＝时，四边形DEBC是菱形．8．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．9．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF •EF的最大值．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．参考答案1．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE•FM＝．2．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2＝OG•OA，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．3．解：（1）连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝45°∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝2×45°＝90°，∵PD∥BC，∴∠DOC＝∠PDO＝90°∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；（3）∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2+AC2＝22+42＝20，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝20，∴DC＝DB＝，∵△PBD∽△DCA，∴，则PB＝＝＝．4．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．5．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．6．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．7．证明：（1）如图，连接BC．∵D是的中点，∴∠DAC＝∠ABD，∵MA是半圆O的切线，∴MA⊥AB，∵AB是半圆O的直径，∴AD⊥DB，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，∴∠M＝∠BAD＝∠DAC+∠BAG＝∠ABD+∠BAG＝∠AGD，∴AG＝AM，∵AD⊥MG，∴MD＝GD；（2）①若AF＝FG，∵∠ADG＝90°，∴AF＝FG＝DF，∴∠DAF＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠ADF+∠EDB＝90°，∴∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠DEA＝90°，故答案为：90°；②若四边形DEBC是菱形，∴∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝30°+30°＝60°，故答案为：60°．8．解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．9．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAF，∴∠OAD＝∠FAD，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AF，∵DE⊥AF，∴DE⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切：（2）解：连接BD，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠ADB，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴AD：AB＝AE：AD，∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：在△AED和△AGD中，，∴△AED≌△AGD（AAS），∴AE＝AG，DE＝DG，∵∠FAD＝∠DAB，∴＝，∴DF＝DB，在Rt△DEF和Rt△DGB中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），∴EF＝BG，∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，即：x+2y＝10，∴y＝﹣x+5，∴AF•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．10．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠BDC＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE+∠BAC＝90°，即∠CAE＝90°，∴AE⊥AC，AE是⊙O的切线；（2）解：DM＝BN，理由如下：∵AN⊥BD，CM⊥BD，∠ADC＝90°，∴∠AND＝∠ANB＝∠DMC＝∠ADC＝90°，∴∠ADN+∠MDC＝∠MCD+∠MDC＝90°，∴∠ADN＝∠MCD，∴△DMC∽△AND，∴＝，∵∠ABN＝∠ACD，∠ANB＝∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ANB，∴＝，即＝，∴＝，∴DM＝BN；（3）解：由（2）知DM＝BN，则BM＝DN，设DM＝BN＝a，∵MN＝2DM，BD＝BC，∴MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，∵∠BMC＝90°，∴CM＝＝＝a，∵AC是⊙O的直径，AN⊥BD，∴∠ABC＝∠AND＝90°，∵∠ADB＝∠ACB，∴△ADN∽△ACB，∴＝＝＝，设AN＝3b，AB＝4b（b＞0），∵∠ANB＝∠ABC＝90°，BN＝a，∴AN2+BN2＝AB2，即（3b）2+a2＝（4b）2，解得：b＝a，∴AN＝a，AB＝a，∵BC＝4a，∴AC＝＝＝a，∴cos∠ACB＝cos∠ADB＝cos∠EAB＝＝＝，∵AE＝，∴AB＝AE×cos∠EAB＝×＝＝a，∴a＝，∴AC＝，∴OC＝AC＝，∵∠ANF＝∠CMF＝90°，∠AFM＝∠MFC，∴△ANF∽△CMF，∴＝＝＝，∴CF＝AC＝，∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．。

2021年中考数学专题复习：与圆有关的证明题和解答题

2021年中考数学专题复习：与圆有关的证明题和解答题1．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作OD⊥AC于D，连接BC．（1）求证：OD＝BC；（2）若∠BAC＝40°，求∠ABC的度数．2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE ⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DC＝2，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．3．如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？4．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，CD与⊙O相切于点D．连接BD，AD．（1）求证：∠A＝∠BDC；（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出线段AC的长．5．如图，A是圆O外一点，C是圆O一点，OA交圆O于点B，∠ACB＝∠BOC．（1）求证：AC是圆O的切线；（2）已知AB＝1，AC＝2，求点C到直线AO的距离．6．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且＝＝，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，求⊙O的半径．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD 交AB于点E，以AE为直径作⊙O．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的直径为4，求阴影部分面积．8．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O 于点E，点E不与点A重合，（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）若∠B＝60°，BD＝3，求AB的长．9．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝4，弦AB⊥OC，劣弧AB所对的圆周角度数为60°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，∠A＝60°，求BD的长．参考答案1．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，OA＝OB，又∵OD⊥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴AD＝CD，∴OD＝BC；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∠A＝40°，∴∠C＝90°，∴∠B＝50°．2．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴ED是圆O的切线；（2）∵在Rt△CDO中，∠D＝30°，DC＝2，∴OD＝4，OC＝2，在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，∴∠BOC＝60°，∴S阴影＝S△COD﹣S扇形OBC＝×﹣＝2﹣π．3．解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D则AD＝30，BD＝CD＝40，设最大圆半径为r，则S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC，∴，解得：r＝；（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，∴BD＝CD＝40，AD＝＝30，∴O′在AD直线上，连接O′C，在Rt△O′DC中，由R2＝402+（R﹣30）2，∴R＝；若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，∴最小为40cm．4．（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠BDC+∠ODB＝90°，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠OBD＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠A＝∠BDC；（2）在Rt△ODC中，∠C＝45°，∴OC＝OD＝，∴AC＝OA+OC＝1+．5．解：（1）证明：作OD⊥BC于点D ∵OB＝OC∴∵∴∠ACB＝∠COD∵∠COD+∠OCB＝90°∴∠ACB+∠OCB＝90°∴∠ACO＝90°（2）作CM⊥AO于点M，设圆O的半径为R，则AO＝R+1在Rt△AOC中，（R+1）2＝R2+22，∴，∵∴即点C到直线AO的距离为．6．解：（1）证明：连结OC，如图1，∵，∴∠F AC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠F AC＝∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是圆O的切线；（2）连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵＝＝，∴∠BOC＝×180°＝60°，∴∠BAC＝30˚，∴∠DAC＝30˚，在Rt△ADC中，CD＝，∴AC＝2CD＝，在Rt△ACB中，BC＝AC＝＝8，∴AB＝2BC＝16，∴⊙O的半径为8．7．（1）证明：连接OD，如图所示．在Rt△ADE中，点O为AE的中心，∴DO＝AO＝EO＝AE，∴点D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAO，∴∠ADO＝∠CAD，∴AC∥DO，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的直径为4，∴AE＝4，DO＝AO＝EO＝AE＝2，∵∠ABC＝30°，∴∠CAD＝∠DAO＝30°，∴CD＝AD，DE＝AE＝2，AD＝＝＝2，∴CD＝，AC＝＝＝3，∵tan∠ABC＝，∴BC＝3，∴阴影部分面积＝S△ABC﹣S梯形ODCA﹣S扇形ODE ＝AC•BC﹣（OD+AC）•CD﹣＝×3×3﹣（2+3）×﹣＝2﹣π．8．解：（1）AB＝AC．理由如下：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵BD＝CD，∴AB＝AC；（2）在Rt△ABD中，∵∠B＝60°，∴AB＝2BD＝2×3＝6．9．（1）解：连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB所对的圆周角度数为60°，∴劣弧AB的度数为60°，∴弧BC与弧AC的度数为：60°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OC＝4；（2）证明：∵OC＝CP，BC＝OC，∴BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP+∠OBC＝90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．10．（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD是△BAC的中位线，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴BD＝AB＝×10＝5，即BD长为5．。

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：圆周角定理练习(八)

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：圆周角定理练习（八）一．选择题1．如图，⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，∠BOD＝50°，则∠BAC的度数是（）A．100°B．50°C．40°D．25°2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2DE，若∠COD＝90°，则∠E的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°3．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠AOC＝110°，则∠D的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．70°4．如图，圆心为C、直径为MN的半圆上有不同的两点A、B，在CN上有一点P，∠CBP ＝∠CAP＝10°，若的度数是40°，则的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB＝α，那么CD：AB等于（）A．sinαB．cosαC．tanαD．6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于（）A．45°B．60°C．30°D．55°7．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣B．4﹣C．8﹣D．8﹣8．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．不存在9．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°10．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（）A．52°B．60°C．72°D．76°二．填空题11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD ＝．12．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝．13．如图，△ABC内接于⊙O，半径为5，BC＝6，CD⊥AB于D点，则tan∠ACD的值为．14．如图，⊙O的半径为6，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝45°，则弦AB的长是．15．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为．16．如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C旋转，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC 分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是．三．解答题17．已知：如图，在△ABC中，BC＝AC＝6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）求点O到直线DE的距离．18．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝2，⊙O的半径为4，求BC的长．19．如图，在半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CP的长；（2）当点P运动到弧AB的中点时，求CP的长；（3）点P在弧AB上运动时，求CP的长的取值范围．20．已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；（2）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．参考答案一．选择题1．解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BAC＝∠BOD＝×50°＝25°．故选：D．2．解：∵AB是⊙O的直径，∵AB＝2DO，而AB＝2DE，∴DO＝DE，∴∠DOE＝∠E，∵OC＝OD，∠COD＝90°∴△COD为等腰直角三角形，∴∠CDO＝45°，∵∠CDO＝∠DOE+∠E，∴∠E＝∠CDO＝22.5°．故选：B．3．解：∵∠AOC＝110°，∴∠BOC＝180°﹣110°＝70°，∴∠D＝∠BOC＝35°，故选：B．4．解：∵的度数是40°，∴∠ACM＝40°∵∠CBP＝∠CAP＝10°，∴A、C、P、B四点共圆，∴∠ACM＝∠ABP＝40°，∵∠CPB＝10°，∴∠ABC＝40°﹣10°＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，∴∠BCN＝180°﹣∠ACM﹣∠ACB＝20°，∴的度数是20°．故选：C．5．解：连接BD，由AB是直径得，∠ADB＝90°．∵∠C＝∠A，∠CPD＝∠APB，∴△CPD∽△APB，∴CD：AB＝PD：PB＝cosα．故选：B．6．解：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BEC等于90°÷2＝45°．故选：A．7．解：连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠A＝2∠P＝80°，∴S扇形AEF＝＝π，S△ABC＝AD•BC＝4，∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形AEF＝4﹣π．故选：A．8．解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，取PA的中点O，以O为圆心OA 为半径作⊙O交直线l于P，P′，由圆周角定理可知：∠APB＝∠AP′B＝30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．9．解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：A．10．解：连接OC，OD，∵∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠EDO＝α，∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BCO＝α，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝180°﹣2α，∴4∠AOB+∠AOE＝360°，∴∠AOB＝76°，∴在等腰三角形AOB中，∠α＝∠BAO＝＝52°．故选：A．二．填空题（共6小题）11．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠ABC＝50°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°．故答案为：40°．12．解：∵∠A＝40°，∠APD＝75°，∴∠C＝75°﹣40°＝35°，∴∠B＝35°，故答案为：35°．13．解：作直径BE，连接CE，作CF⊥BE于点F．∵CF⊥BE，CD⊥AB又∵∠A＝∠E，∴∠ECF＝∠ACD．∵BE是直径，CF⊥BE，∴∠BCE＝90°，∠EBC＝∠ECF＝∠ACD，∴EC＝＝8，∴tan∠EBC＝＝＝．∴tan∠ACD＝tan∠EBC＝．故答案是：．14．解：连接OA，OB，∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，则AB＝＝＝6．15．解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，故答案为：110°．16．解：①设CD′交AB于E，设AB的中点为O，连接OD′当EB＝EC，此时∠EBC＝∠ECB＝40°，易知∠BOD′＝2∠BCD′＝80°，∴点D′在量角器上对应的度数是80°；②设CD″交AB于F，连接OD″，当BF＝BC时，∠BCD″＝70°，易知∠BOD″＝2∠BCD″＝140°，∴点D″在量角器上对应的度数是140°；故答案为80°或140°三．解答题（共4小题）17．（1）证明：连接CD，∵BC是圆的直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，又∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）证明：连接OD，∵AD＝BD，OB＝OC，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，∴点O到直线DE的距离为3．18．（1）证明：延长CE交⊙O于点M，∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，∴＝，∵C是的中点，∴＝，∴＝，∴∠BCM＝∠CBD，∴CF＝BF；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，∴∠BEF＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠FBE，∴Rt△ADB∽Rt△FEB，∴，∵AD＝2，⊙O的半径为4，∴AB＝8，∴，∴BF＝4EF，又∵BF＝CF，∴CF＝4EF，利用勾股定理得：BE＝＝EF，又∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∠ABC＝∠CBE，∴△EBC∽△ECA，∴，∴CE2＝AE•BE，∴（CF+EF）2＝（8﹣BE）•BE，∴25EF2＝（8﹣EF）•EF，∴EF＝，∴BC＝＝2．（本题可以连接OC交BD于H，解直角三角形△CBH即可）19．解：（1）∵点P与点C关于AB对称，∴CP⊥AB，设垂足为D．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴AB＝10，BC：CA＝4：3，∴BC＝8，AC＝6．又∵AC•BC＝AB•CD，∴CD＝4.8，∴CP＝2CD＝9.6；（2）当点P运动到弧AB的中点时，连接PB，过点B作BE⊥PC于点E．∵P是弧AB的中点，∴AP＝BP＝5，∠ACP＝∠BCP＝45°，∵BC＝8，∴CE＝BE＝4，∴PB＝5，∴PE＝＝3，∴CP＝CE+PE＝7；（3）点P在弧AB上运动时，恒有CP＞CA，当CP过圆心O，即PC取最大值10，∴CP的取值范围是6＜CP≤10．20．解：（1）∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°，∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，∴四边形ABCD为正方形，∴BD＝CD＝AB＝AC＝6；（2）连接OC，OB，OD，过O点作OE⊥BD，∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，∴BC为直径，∴BC＝6，∴BO＝CO＝DO＝BC＝3，∵∠BAD＝2∠DAC，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝120，∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，∴CD＝CO＝DO＝3，在直角三角形CDB中，BD＝CD＝3，则BE＝，∴BD＝2BE＝3．。

中考专题复习——圆的相关证明(附答案)

中考复习专题——圆的相关证明题1．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若P ∠︒=42，求∠CAB 的大小；（Ⅱ）如图②，D 为上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ︒=10，求∠P 的大小．2.已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①，连接AC ，BC ，若OB BP =，求A ∠和∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，过点P 作⊙O 的切线PD ，切点为D ，连接CD ，BD ，若∠BDC ＝32°，求BDP ∠的大小．图①图②O B COB D CPE AC3.已知点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，︒=∠120AOB . （Ⅰ）如图①，若AC =BC ，求C ∠和CAO ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，若AC =AD ，求CAO ∠的大小.4.已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）如图①，求证：AC 平分DAB ∠；（Ⅱ）如图②，过B 作BF AD ∥交⊙O 于点F ，连接CF ，若45AC =4DC =，求CF 和⊙O 半径的长． ABCDEO图①ABCDEO图②F5.已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E=30°，求∠BDC的度数.①②6.已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.7.在ABC △中90B ∠=︒D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 与AB 相切于点E ，与BC 相交于点F ，连接CE ．（Ⅰ）如图①，若27ACE ∠=︒，求A ∠和ECB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，连接EF ，若//EF AC ，求A ∠的大小．8. 已知：在⊙O 中OA BC ⊥垂足为E ，点D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①若50AOB ∠=︒，求ADC ∠和∠CAO 的大小；（Ⅱ）如图②CD ∥AO ，过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点P ，若26∠=︒ABC 求∠P 的大小．图①图②ABCF OED ABCOED F 图①O EDCBA图②POE DCBA9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，58ABC ∠=︒. （Ⅰ）如图①若85AEC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②若CD AB ⊥过点D 作⊙O 的切线DF ，与AB 的延长线相交于点F ，求F ∠的大小．10. 已知AB 是⊙O 的直径，CD 、CB 是⊙O 的弦，且AB CD ∥.（Ⅰ）如图①若25ABC ∠=︒，求BAC ∠和ODC ∠的大小；（Ⅱ）如图②过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点F 若OD CF ∥求ABC ∠的大小．图①图②EABO DCFE ABO DC图②图①11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 切⊙O 于点A ，AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．（Ⅰ）如图①，若∠C =71°，求∠E 的大小；（Ⅱ）如图②，当AE =AB ，DE =2时，求∠E 的大小和⊙O 的半径．12. 已知DA 、DC 分别与⊙O 相切于点A 点C ，延长DC 交直径AE 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①若DC =PC ，求∠P 的度数；（Ⅱ）如图②在⊙O 上取一点B ，连接AB 、BC 、BE ，当四边形ABCD 是平行四边形时，求∠P 及∠AEB 的大小． OEEDCBAD O C BA图①图②DECAPOB图① 图②ECAPOD13.如图①，AB 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，垂足为P ，交AB 于点E ，且OP =3PE ，AB =74．（Ⅰ）求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②过点E 作⊙O 的切线CD ，连接OB 并延长与该切线交于点D ，延长OA 交CD 于C ，求OC 的长．图②图①EP A BCODP EOBA参考答案1.解：（Ⅰ）如图，连接OC∵ ⊙O 与PC 相切于点C ∴ OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒ ∵ 42P ∠=︒∴ 9048COB P ∠=︒-∠=︒ 在Rt OPC △中，48CAB ACO COP ∠+∠=∠=︒ ∵OA =OC ∴∠CAB =∠ACO ∴ 24CAB ∠=︒（Ⅱ）∵ E 为AC 的中点∴ OD AC ⊥，即90AEO ∠=︒在Rt AOE △中，由10EAO ∠=︒得9080AOE EAO ∠=︒-∠=︒ ∴ 1402ACD AOD ∠=∠=︒∵ ACD ∠是ACP △的一个外角∴ 30P ACD CAP ∠=∠-∠=︒2. 解：（Ⅰ）如图①连接OC ∵PC 是⊙O 的切线∴︒=∠90OCP ∵OB BP =∴OB BC =∵OC OB =∴BOC ∆为等边三角形， ∴∠BOC=60° ∴︒=∠=∠3021BOC A ∠P=90°－∠COB ＝30°（Ⅱ）如图② 连接OC 、OD 设CD 交OP 于点E∵PC ，PD 是⊙O 的切线∴PD PC = ︒=∠=∠90ODP OCP ∵OD OC =∴OP 为CD 的垂直平分线 ∴︒=∠=∠90DEP CEP∵∠BDC ＝32°∴∠OBD ＝90°－∠BDC ＝58° ∵OB OD =∴∠ODB ＝∠OBD ＝58° ∴∠BDP ＝90°－58°＝32°3.解：（Ⅰ）∵︒=∠120AOB ∴∠ACB= 12 ∠AOB=60°如图① 连接OC∵AC =BC ∴∠AOC=∠BOC∵∠AOC+∠BOC +∠AOB=360° ∴∠AOC =12 （360°-120°）=120° ∵OA OC ∴∠CAO=∠ACO=12（180°-120°）=30°O AB PCOAB D CPE（Ⅱ）如图② 连接OC设∠ACD= x ∵ACAD ∴∠ACD =∠ADC= x∴∠CAB=2x ∵∠AOB=120°OAOB ∴∠OAB =∠OBA= 12（180°-120°）=30°∵CD 是⊙O 的切线∴∠OCD=90° ∵OAOC ∴∠OCA =∠OAC∴90°－x=2x －30° 解得x=40° ∴∠CAB=80°∴∠CAO=∠CAB －∠OAB =50°4.（Ⅰ）证明：连接OC ∵CD 为⊙的切线∴OC CD ⊥即90OCM OCD ∠=∠=︒ ∵AD CD ⊥垂足为D ∴90ADC ∠=︒ ∵90ADC OCM ∠=∠=︒∴OC AD ∥ ∴DAC ACO ∠=∠∵OC OA =∴CAO ACO ∠=∠∴DAC CAO ∠=∠∴AC 平分DAB ∠ （Ⅱ）解：连接AF 延长CO 交AF 于G ∵AB 为⊙的直径 ∴=90AFB ∠︒ ∵OC AD BF AD ∥，∥ ∴CO BF ∥∴90AFB AGC ∠=∠=︒ ∴OC AF ⊥由垂径定理可得AC=CF∴45AC CF == ∵90ADC ∠=︒22O O ABC DEOF GABCDEOM∴90ADC DCO AGC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ADCG 是矩形∴8AD CG == 4CD AG == 在Rt AGO 中，得222AG OG AO += 设OC x =则,8OA x OG x ==- 可得方程()22248x x +-=解得5x =． ∴⊙半径的长为545CF =．5.（Ⅰ）解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠DAB +∠C ＝180° ∵∠EAD +∠DAB ＝180° ∴∠C ＝∠EAD ∵∠EAD ＝75° ∴∠C ＝75° ∵DB ＝DC∴∠DBC ＝∠C ＝75°∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30°（Ⅱ）解：连结OB OD∵EB ED 与⊙O 相切于点B 点D∴ED OD ⊥⊥，EB OB ∴ ︒=∠︒=∠90ODE 90，OBE∵︒=∠+∠+∠+∠360BOD ODE E OBE ︒=∠30E ∴︒=∠150BOD∴︒=∠=∠7521BOD C ∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠C ＝75°，∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30° O6. （I ）解：连接OB∵P A 、PB 与圆O 相切于点A 点,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34° ∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68°又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC = 62)56180(21=-∴∠APB =68°∠BDC= 62 （II ）连接OB∵BC ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB∵∠BCP ＝28° ∴∠CBE ＝76228180=-∵OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° ∵P A 与圆O 相切于点A∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42°7.解：（Ⅰ）如图连接OE ．∵ AB 与⊙O 相切∴ OE AB ⊥，即90AEO ∠=︒ ∵ 27ACE ∠=︒∴ 254AOE ACE ∠=∠=︒ ∴ 9036A AOE ∠=︒-∠=︒ ∵ OE OC =∴ OEC OCE ∠=∠∵ 90B ∠=︒∴ //OE BC ∴ ECB OEC ∠=∠ ∴ 27ECB ∠=︒ （Ⅱ）如图，连接OE OF∵ //OE BC //EF AC ∴ 四边形OEFC 为平行四边形 ∴ OE CF = ∴ OC OF CF == ∴ 60ACB ∠=︒∴ 9030A ACB ∠=︒-∠=︒ABCOED F ABCF OED8. 解：（Ⅰ）∵OA BC ⊥ ∴AB AC = 90∠=︒AEC∴∠=∠ACB ADC ∵1252∠=∠=︒ACB AOB∴25∠=∠=︒ADC ACB9065∠=︒-∠=︒CAO ACB（Ⅱ）连接BD . 由OA BC ⊥知，90∠=∠=︒AEB BEO∴ 9064∠=︒-∠=︒OAB ABC ∵AO ∥CD ∴90∠=∠=︒BCD BEO ∴BD 是⊙O 的直径又PD 与⊙O 相切∴⊥BD PD . 即90∠=︒BDP∵=OA OB ∴64∠=∠=︒OBA OAB∴642636∠=∠-∠=︒-︒=︒CBD ABO ABC ∴9052∠=︒-∠=︒P CBD9. （Ⅰ）∵∠AEC 是ΔBEC 的一个外角 58ABC ∠=︒85AEC ∠=︒27C AEC ABC ∴∠=∠-∠=︒∵在⊙O 中BAD C ∠=∠27BAD ∴∠=︒ AB 为⊙O 的直径90ADB ∴∠=︒ ∵在⊙O 中58ADC ABC ∠=∠=︒ 又CDB ADB ADC ∠=∠-∠32CDB ∴∠=︒（Ⅱ）连接OD∵CD ⊥AB 90CEB ∴∠=︒．9032E E CB BC =-∴∠=∠︒︒∴264DOB DCB ∠=∠=︒ ∵DF 是⊙O 的切线∴90ODF ∠=︒90906426F DOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒图②POE DCBA图①O E DCBA10. 解：（Ⅰ）如图连接OC ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ 90ACB ∠=︒∴ 90BAC ABC ∠+∠=︒由25ABC ∠=︒得65BAC ∠=︒又AB CD ∥得25ABC BCD ∠=∠=︒ ∵ OB OC = ∴ 25OCB ABC ∠==∠=︒ 则50OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒ 由OC OD =得50ODC OCD ∠=∠=︒（Ⅱ）如图，连接OC∵CF 切⊙O 于点C ∴OC FC ⊥则90OCF ∠=︒∵ OD CF ∥ ∴ 90DOC OCF ∠=∠=︒ 又OC OD =则45ODC OCD ∠==∠=︒ 由AB CD ∥得45BOD ODC ∠=∠=︒∴135BOC DOC BOD ∠=∠+∠=︒ ∵ OC OB = ∴22.5ABC OCB ∠=∠=︒11. 解：（Ⅰ）连接OA .∵AE 切⊙O 于点A ∴OA ⊥AE ，∴∠OAE =90° ∵∠C =71° ∴∠AOB =2∠C =2×71°=142° 又∵∠AOB +∠AOE =180° ∴∠AOE =38° ∵∠AOE +∠E =90° ∴∠E =90°﹣38°=52° （Ⅱ）连接OA 设∠E = x .∵AB =AE ∴∠ABE =∠E = x ∵OA =OB ∴∠OAB =∠ABO = x ∴∠AOE =∠ABO +∠BAO =2x∵AE 是⊙O 的切线∴OA ⊥AE ，即∠OAE =90°在△OAE 中∠AOE +∠E =90°即2x +x =90°解得30x =︒∴∠E =30° 在Rt △OAE 中OA =21OE∵OA =OD ∴OA =OD =DE∵DE =2∴OA =2即⊙O 的半径为212.解：（Ⅰ）∵DA 、DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC OA ⊥DA ∴∠DAO ＝90°∵DC =PC ∴DA ＝DC =PC ∵∠DAP ＝90° ∴sin P=DP AD =21∴∠P=30° （Ⅱ）连接OC 、AC∵DA ，DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是菱形 ∴DA =DC =CB =AB ∠ABC =∠ADC ∵∠AOC =2∠ABC ∴∠AOC =2∠ADC∵DA 、DC 是⊙O 的切线∴OA ⊥AD OC ⊥DC ∴∠DAO ＝∠DCO ＝90°∵∠ADC +∠DCO+∠AOC +∠DAO =360° ∴∠ADC +∠AOC =180°∴3∠ADC ＝180°∴∠ADC ＝60°∴∠P ＝90°－∠ADC ＝30°，∠ABC =60°又AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB ＝60° ∴∠AEB ＝∠ACB=60°13. 解：（Ⅰ）∵OE ⊥AB∴1272APAB 设PE =x 则OP =3x OA =OE =4x在Rt OAP △中222OA OP AP =+即2216928x x =+ 解得x =2（负舍）∴4x =8 ∴半径OA 为8 （Ⅱ）∵ CD 为⊙O 的切线 ∴OE ⊥CD又∵OE ⊥AB ∴AB //CD ∴34OA OP OCOE∴323OCECAPODB。

2021年九年级数学中考复习：与圆相关的证明与计算(含答案) (1)

中考复习与圆相关的证明与计算强化训练（含答案）̂的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°.求：1.如图，AB(1) 弦AB的长；̂的长．(2) AB2.如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB.(1) 求证：EC是⊙O的切线；̂的长(结果保留π)．(2) 若AD＝2√3，求AM3.如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB.(1) 判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2) 若∠A＝30°，OP＝1，求图中涂色部分的面积．4.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE.(1) 求证：DE与⊙A相切；(2) 若∠ABC＝60°，AB＝4，求涂色部分的面积．5.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.(1) 求证：BE是⊙O的切线；(2) 设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求EF的长；(3) 在(2)的条件下，求涂色部分的面积．6.中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以 1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s)．(1) 求证：四边形PBQE为平行四边形；(2) 求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比7.如图，OM是⊙O的半径，过点M作⊙O的切线AB，且MA＝MB， OA，OB分别交⊙O于点C，D.求证：AC＝BD.8.如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．9.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.(1) 如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的度数；(2) 如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的度数．10.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上不同于A ，B 的两点，AD ＝BC ，AC 与BD 相交于点F. BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E. (1) 求证：△CBA ≌△DAB ；(2) 若BE ＝BF ，求证：AC 平分∠DAB.11.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 在AC 上，以OA 为半径的半圆O 交AB 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F. (1) 求证：BF ＝DF ；(2) 若AC ＝4，BC ＝3，CF ＝1，求半圆O 的半径长12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D.(1) 求证：∠CAD ＝∠CAB ；(2) 若ADAB ＝23，AC ＝2√6，求CD 的长．̂于点D，13. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.(1) 求证：DE是⊙O的切线．(2) 过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长14. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B.(1) 求证：CD是⊙O的切线；(2) 若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形̂＝CD̂＝DB̂，连接14. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两个点，ACAD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1) 求证：DE是⊙O的切线；(2) 若直径AB＝6，求AD的长．̂上一点，DE⊥AB于15. 如图①，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC点E，交AC于点F，连接BD，交AC于点G，且AF＝FG.̂.(1) 求证：点D平分AC(2) 如图②，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH.若E是线段AO的中点，求证：DH是⊙O的切线．16. 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC.(1) 请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；(2) 若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2√3a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点，OG⊥BC，垂足为G，OG＝a，连接OB，OE，OF.(1) 若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；(2) 若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A.̂的中点，过18. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是BC点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D，连接OP.(1) 求证：DP是⊙O的切线；(2) 若AC＝5，sin ∠APC＝5，求AP的长．1319. 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O 为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA，DC于点M，N.点E在边BC上，OE交̂的中点．⊙O于点G，G为MN(1) 求证：四边形ABEO为菱形；(2) 已知cos ∠ABC＝1，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长3答案1.解：(1)∵ OC ⊥AB ，∠AOC ＝60°，∴ ∠OAC ＝90°－∠AOC ＝30°.∴ OC ＝12OA＝1.∴ AC ＝√OA 2−OC 2＝√3.∵ OA ＝OB ，OC ⊥AB ，∴ AB ＝2AC ＝2√3(2) ∵ OA ＝OB ，OC ⊥AB ，∴ ∠AOB ＝2∠AOC ＝120°.∵ OA ＝2，∴ AB̂的长为120π×2180＝4π32.解：(1) 如图，连接OB.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∠D ＝60°，∴ ∠ABC ＝∠D ＝60°.∵ BE ＝AB ，∴ ∠E ＝∠BAE.∵ ∠ABC ＝∠E ＋∠BAE ＝60°，∴ ∠BAE ＝∠E ＝30°.∵ OA ＝OB ，∴ ∠ABO ＝∠OAB ＝30°.∴ ∠OBC ＝∠ABC ＋∠ABO ＝90°.∴ OB ⊥CE.∴ EC 是⊙O 的切线(2) 如图，连接OM ，过点O 作OH ⊥AC 于点H.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ BC ＝AD ＝2√3.∵ AC ⊥BC ，∠E ＝30°，∴ ∠EAC ＝60°.∵ OA ＝OM ，∴ △AOM 是等边三角形．∴ ∠AOM ＝60°.∵ OH ⊥AC ，∠OBC ＝ 90°，AC ⊥BC ，∴ 四边形OBCH 是矩形．∴ OH ＝BC ＝2√3，OH ∥EC.∴ ∠AOH ＝∠E ＝30°.∴ 在Rt △AHO 中，AH ＝12AO. 根据勾股定理，得AH 2＋OH 2＝AO 2，即(12AO)2＋(2√3)2＝AO 2，解得AO ＝4(负值舍去)．∴ AM̂的长＝60·π×4180＝4π33.解：(1) 直线BC 与⊙O 相切理由：连接OB.∵ OA ＝OB ，∴ ∠OAB ＝∠OBA.∵ CP ＝CB ，∴ ∠CPB ＝∠CBP.∵ ∠CPB ＝∠APO ，∴ ∠CBP ＝∠APO.∵ OC ⊥OA ，∴ 在Rt △AOP 中，∠OAB ＋∠APO ＝90°.∴ ∠OBA ＋∠CBP ＝90°，即∠OBC ＝90°.∴ OB ⊥CB.又∵ OB 是⊙O 的半径，∴ 直线BC 与⊙O 相切．(2) ∵ 在Rt △AOP 中，∠A ＝30°，OP ＝1，∴ OA ＝OP tan 30°＝√3.∵ OA ＝OB ＝√3，∠A ＝30°，∴ ∠A ＝∠OBA ＝30°.∴ 在△OAB 中，∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.∵ OC ⊥OA ，∴ ∠AOP ＝90°.∴ ∠COB ＝30°.∴ 在Rt △OBC 中，BC ＝OB ·tan 30°＝1.∴ S 涂色＝S △OBC －S 扇形OBD ＝12×1×√3−30·π×(√3)2360＝√32−π44.解：(1) 连接AE.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝BC ，AD ∥BC.∴ ∠DAE ＝∠AEB.∵ AE ＝BA ，∴ ∠AEB ＝∠CBA.∴ ∠DAE ＝∠CBA.∴ △AED ≌△BAC(SAS)．∴ ∠DEA ＝ ∠CAB.∵ ∠CAB ＝90°，∴ ∠DEA ＝90°.∴ DE ⊥AE. ∵ AE 是⊙A 的半径，∴ DE 与⊙A 相切(2) ∵ ∠ABC ＝60°，AB ＝AE ＝4，∴ △ABE 是等边三角形．∴ ∠EAB ＝60°.∵ ∠CAB ＝90°，∴ ∠CAE ＝90°－∠EAB ＝90°－60°＝30°.∵ ∠CAB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴ ∠ACB ＝30°.∴BC ＝2AB ＝8.∴ AC ＝√BC 2−AB 2＝4√3.∴ S 涂色＝S △CAB －S △ABE － S 扇形EAF ＝12×4×4√3−√34×42－30π×42360＝4√3−4π35.解：(1) 连接OC.∵ CE 为⊙O 的切线，∴ OC ⊥CE.∴ ∠OCE ＝90°.∵ OC ＝OB ，OD ⊥BC ，∴ CD ＝BD ，即OD 垂直平分BC.∴ EC ＝EB. ∵ OC ＝OB ，OE ＝OE ，∴ △OCE ≌△OBE(SSS)．∴ ∠OBE ＝∠OCE ＝90°.∴ OB ⊥BE.∴ BE 是⊙O 的切线(2) ∵ BC ＝4√3，CD ＝BD ，∴ BD ＝12BC ＝2√3.设⊙O 的半径为x ，则OD ＝OF －DF ＝x －2，OB ＝x.∵ 在Rt △OBD 中，OD 2＋BD 2＝OB 2，∴ (x －2)2＋(2√3)2＝x 2，解得x ＝4.∴ OD ＝2，OB ＝4.∴ 在Rt △OBD 中，OD ＝12OB.∴ ∠OBD ＝30°.∴ ∠BOD ＝60°.∴ 在Rt △EBO 中，∠BEO ＝30°.∴ OE ＝2OB ＝8.∴ EF ＝OE －OF ＝8－4＝4(3) 在Rt △EBO 中，BE ＝√OE 2−OB 2＝4√3.∵ △OCE ≌△OBE(SSS)，∴ ∠COE ＝∠BOE ＝60°. ∴ ∠BOC ＝120°. ∴ S 涂色＝S 四边形OBEC －S 扇形OBC ＝2S △EBO －S 扇形OBC ＝2×12×4×4√3−120·π×42360＝16√3−16π36.中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以 1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s)．(1) 求证：四边形PBQE为平行四边形；(2) 求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比解：(1) ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C 运动，∴ AP＝DQ＝t cm，PF＝QC＝(6－t)cm.在△ABP和△DEQ中，{AB=DE，∠A=∠D，AP=DQ，∴△ABP≌△DEQ(SAS)．∴ BP＝EQ.同理，可证PE＝QB，∴四边形PBQE为平行四边形(2) 连接BE，OA，则∠AOB＝360°6＝60°.∵ OA＝OB，∴△AOB是等边三角形.∴ AB＝OA＝OB＝6 cm，BE＝2OB＝12 cm.当t＝0 s时，点P与点A重合，点Q 与点D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图①所示，则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°－30°＝90°.∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形.当t＝6 s时，点P与点F 重合，点Q与点C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图②所示，同理可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形.∴当t＝0 s或6 s时，四边形PBQE是矩形．∴ AE＝√BE2−AB2＝6√3 cm.∴S矩形PBQE ＝S矩形ABDE＝AB·AE＝6×6√3＝36√3(cm2)．∵ S正六边形ABCDEF＝6S△AOB ＝6×14S矩形ABDE＝6×14×36√3＝54√3(cm2)，∴ S矩形PBQE∶S正六边形ABCDEF ＝√354√3＝237.如图，OM是⊙O的半径，过点M作⊙O的切线AB，且MA＝MB， OA，OB分别交⊙O于点C，D.求证：AC＝BD.解：∵OM是⊙O的半径，过点M作⊙O的切线AB，∴OM⊥AB.∵MA＝MB，∴直线OM垂直平分AB.∴ OA＝OB.∵ OC＝OD，∴ OA－OC＝OB－OD，即AC＝BD8.如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．解：连接OB.∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB.∵四边形OABC是平行四边形，∴ AB∥OC，OA∥BC.∴ OB⊥OC.∴∠BOC＝90°.∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形．∴∠C＝∠OBC＝45°.∵ AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°.∠AOB＝22.5°∴∠E＝129.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.(1) 如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的度数；(2) 如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的度数．解：(1) ∵∠APC是△PBC的一个外角，∴∠APC＝∠C＋∠ABC.∵∠ABC＝63°，∠APC＝100°，∴∠C＝∠APC－∠ABC＝100°－63°＝37°.∵BD̂＝BD̂，∴∠BAD＝∠C＝37°.∵AĈ＝AĈ，∴∠ADC＝∠ABC＝63°.∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－63°＝27°(2) 连接OD.∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°.∴∠PCB＝90°－∠ABC＝90°－63°＝27°.∴∠BOD＝2∠PCB＝54°.∵ DE是⊙O的切线，∴ DE⊥OD.∴∠ODE＝90°.∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°10.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F. BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.(1) 求证：△CBA≌△DAB；(2) 若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB.解：(1) ∵ AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△CBA与Rt△DAB中，{BC=AD，BA=AB，∴ Rt△CBA≌Rt△DAB(HL)(2) 由(1)，知∠ACB＝90°，∴BC⊥EF.∵BE＝BF，∴∠EBC＝∠FBC.∵CD̂＝CD̂，∴∠FBC＝∠DAC.∵ BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°.∴∠EBC＋∠ABC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴在△ACB中，∠BAC＋∠ABC＝90°.∴∠EBC＝∠BAC.∴∠DAC＝∠BAC.∴ AC平分∠DAB11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB 于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F.(1) 求证：BF＝DF；(2) 若AC ＝4，BC ＝3，CF ＝1，求半圆O 的半径长解：(1) 连接OD.∵ 过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ，∴ ∠ODF ＝90°.∴ ∠ADO ＋∠BDF ＝90°.∵ OA ＝OD ，∴ ∠OAD ＝∠ODA.∴ ∠OAD ＋∠BDF ＝90°.∵ ∠C ＝90°，∴ ∠OAD ＋∠B ＝90°.∴ ∠B ＝∠BDF.∴ BF ＝DF(2) 连接OF.设半圆O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r.∵ AC ＝4，BC ＝3，CF ＝1，∴ OC ＝4－r ，DF ＝BF ＝3－1＝2.在Rt △ODF 和Rt △OCF 中，由勾股定理，得OD 2＋DF 2＝OF 2＝OC 2＋CF 2，即r 2＋22＝(4－r)2＋12，解得r ＝138.∴ 半圆O 的半径长为13812.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D.(1) 求证：∠CAD ＝∠CAB ；(2) 若AD AB ＝23，AC ＝2√6，求CD 的长．解：(1) 连接OC.∵ CD 是⊙O 的切线，∴ OC ⊥CD.∵ AD ⊥CD ，∴ AD ∥OC.∴ ∠DAC ＝∠ACO.∵ OA ＝OC ，∴ ∠CAO ＝∠ACO.∴ ∠DAC ＝∠CAO ，即∠CAD ＝∠CAB(2) 连接BC.∵ AD AB ＝23，∴ 设AD ＝2x ，AB ＝3x.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∵ AD ⊥DC ，∴ ∠ADC ＝90°.∴ ∠ADC ＝∠ACB.∵ ∠DAC ＝∠CAB ，∴ △ACD ∽△ABC.∴ AD AC ＝AC AB .∴ 2√6＝2√63x ，解得x 1＝2，x 2＝－2(不合题意，舍去).∴ AD ＝4.∴ CD ＝√AC 2−AD 2＝2√213. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠CAB 的平分线AD 交BĈ于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 的延长线于点E.(1) 求证：DE 是⊙O 的切线．(2) 过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长解：(1) 连接OD.∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵ DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°.∵ OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO.∵ AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD. ∴∠ADO＝∠DAE.∴ OD∥AE.∴∠E＋∠ODE＝180°.∴∠ODE＝180°－∠E＝90°，即OD⊥DE.∴ DE是⊙O的切线(2) ∵ OF＝1，BF＝2，∴ OD＝OB＝3.∵ DF⊥AB，∴∠OFD＝∠BFD＝90°.∴在Rt△OFD中，DF2＝OD2－OF2＝8.∴ BD2＝DF2＋BF2＝8＋22＝12.∴ BD＝2√314. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B.(1) 求证：CD是⊙O的切线；(2) 若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形解：(1) 连接OC.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A.∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA＋∠DCA＝∠OCD＝90°.∴ OC⊥CD.∴ CD是⊙O的切线(2) ∵∠OCA＋∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，∴∠A＋∠DCA＝90°.∵ DE⊥AB，∴∠A＋∠EFA＝90°.∴∠DCA＝∠EFA.∵∠EFA＝∠DFC，∴∠DCA＝∠DFC.∴ DC＝DF.∴△DCF是等腰三角形̂＝CD̂＝DB̂，连接14. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两个点，ACAD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1) 求证：DE是⊙O的切线；(2) 若直径AB＝6，求AD的长．解：(1) 连接OD.∵ AB 为⊙O 的直径，AC ̂＝CD ̂＝DB ̂，∴ ∠BOD ＝13×180°＝60°.∵ ∠BOD 是△AOD 的外角，∴ ∠OAD ＋∠ADO ＝60°. ∵ OA ＝OD ，∴ ∠ADO ＝∠DAB ＝30°.∵ CD̂＝DB ̂，∴ ∠EAD ＝∠DAB ＝30°.∵ DE ⊥AC ，∴ ∠E ＝90°. ∴ 在Rt △AED 中，∠EDA ＝90°－∠EAD ＝60°.∴ ∠EDO ＝∠EDA ＋∠ADO ＝90°.∴ OD ⊥DE.∴ DE 是⊙O 的切线(2) 连接BD.∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°.∵ ∠DAB ＝30°，AB ＝6，∴ BD ＝12AB ＝3.∴ AD ＝√AB 2−BD 2＝3√315. 如图①，AB 是半圆O 的直径，AC 是一条弦，D 是AĈ上一点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，连接BD ，交AC 于点G ，且AF ＝FG.(1) 求证：点D 平分AĈ. (2) 如图②，延长BA 至点H ，使AH ＝AO ，连接DH.若E 是线段AO 的中点，求证：DH 是⊙O 的切线．解：(1) 连接AD.∵ AB 是半圆O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°.∴ ∠ADE ＋∠BDE ＝90°.∵ DE ⊥AB ，∴ 在Rt △DEB 中，∠ABD ＋∠BDE ＝90°.∴ ∠ADE ＝∠ABD.又∵ 在Rt △ADG 中，AF ＝FG ，∴ DF ＝AF.∴ ∠DAC ＝∠ADE.∴ ∠ABD ＝∠DAC.∴ AD̂＝DC ̂.∴ 点D 平分AC ̂ (2) 连接OD ，AD.∵ DE ⊥AB ，E 是线段OA 的中点，∴ DE 垂直平分AO.∴ AD ＝OD.∵ AO ＝OD ，∴ AD ＝OD ＝AO.∴ △OAD 是等边三角形．∴ ∠ADO ＝∠DAO ＝60°.∵ AH ＝AO ，∴ AH ＝AD.∴ ∠H ＝∠ADH ＝30°.∴ ∠HDO ＝∠ADH ＋∠ADO ＝90°.∴ HD ⊥OD.∴ DH 是⊙O 的切线16. 如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，以BD 为直径的⊙O 经过点A ，且∠CAD ＝∠ABC.(1) 请判断直线AC 是否是⊙O 的切线，并说明理由；(2) 若CD ＝2，CA ＝4，求弦AB 的长．解：(1) 直线AC 是⊙O 的切线理由：如图，连接OA.∵ BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°＝∠OAB ＋∠OAD.∵ OA ＝OB ，∴ ∠OAB ＝∠ABC. 又∵ ∠CAD ＝∠ABC ，∴ ∠OAB ＝∠CAD.∴ ∠OAC ＝∠OAD ＋∠CAD ＝90°.∴ AC ⊥OA.又∵ OA 是半径，∴ 直线AC 是⊙O 的切线．(2) 如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E.设⊙O 的半径为r.∵ 在Rt △OAC 中，OC 2＝AC 2＋OA 2，∴ (r ＋2)2＝16＋r 2，解得r ＝3.∴ OC ＝5，BC ＝8.∵ S △OAC ＝12OA ·AC ＝12OC ·AE ，∴ AE ＝3×45＝125.∴ 在Rt △AEO 中，OE ＝√OA 2−AE 2＝95.∴ BE ＝OB ＋OE ＝245.∴ 在Rt △AEB 中，AB ＝√AE 2+BE 2＝12√5517. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3a ，∠ABC ＝60°，过点B 的⊙O 与边AB ，BC 分别交于E ，F 两点，OG ⊥BC ，垂足为G ，OG ＝a ，连接OB ，OE ，OF.(1) 若BF ＝2a ，试判断△BOF 的形状，并说明理由；(2) 若BE ＝BF ，求证：⊙O 与AD 相切于点A.解：(1) △BOF 为等腰直角三角形理由：∵ OB ＝OF ，OG ⊥BC ，BF ＝2a ， ∴ △BOF 为等腰三角形，BG ＝FG ＝12BF ＝a.∵ OG ＝a ，∴ BG ＝OG ，FG ＝OG.∴ △BGO 和△OGF 都是等腰直角三角形．∴ ∠BOG ＝∠FOG ＝45°.∴ ∠BOF ＝90°.∴ △BOF 为等腰直角三角形．(2) 连接EF.∵ ∠EBF ＝60°，BF ＝BE ，∴ △BEF 为等边三角形.∴ EB ＝EF.∴ 点E 在BF 的垂直平分线上．∵ OB ＝OF ，OG ⊥BC ，∴ 直线OG 垂直平分BF.∴ 点E ，O ，G 共线，即EG ⊥BF.∴ ∠BEG ＝90°－∠ABC ＝30°.∵ OB ＝OE ，∴ ∠EBO ＝∠BEG ＝30°.∴ ∠OBG ＝∠ABC －∠EBO ＝30°.∴ 在Rt △BGO 中，OB ＝2OG ＝2a ，BG 2＝(2a)2－a 2＝3a 2.∴ EG ＝OE ＋OG ＝OB ＋OG ＝3a.∴ 在Rt △BGE 中，BE ＝√BG 2+EG 2＝2√3a.∵ AB ＝2√3a ，∴ 点A 与点E 重合.∵ AD ∥BC ，AG ⊥BF ，∴ AG ⊥AD.∴ ⊙O 与AD 相切于点A18. 如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，P 是BĈ的中点，过点P 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点D ，连接OP.(1) 求证：DP 是⊙O 的切线；(2) 若AC ＝5，sin ∠APC ＝513，求AP 的长．解：(1) ∵ P 是BĈ的中点，∴ PC ̂＝PB ̂.∴ ∠PAD ＝∠PAB.∵ OA ＝OP ，∴ ∠APO ＝∠PAO.∴ ∠DAP ＝∠APO.∴ AD ∥OP.∵ PD ⊥AD ，∴ PD ⊥OP.∴ DP 是⊙O 的切线(2) 连接BC ，交OP 于点E.∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∴ ∠DCE ＝180°－∠ACB ＝90°.∵ PD ⊥AD ，PD ⊥OP ，∴ ∠D ＝∠DPE ＝90°.∴ 四边形CDPE 是矩形.∴ CD ＝PE ，PD ＝CE ，∠CEP ＝90°.∴ OP ⊥BC.∴ CE ＝BE ＝12BC.∵ AO ＝OB ，∴ OE ＝12AC ＝52.∵ AĈ＝AC ̂，∴ ∠APC ＝∠ABC.∴ sin ∠APC ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝513.∵ AC ＝5，∴ AB ＝13，BC ＝√132−52＝12.∴ PD ＝CE ＝12×12＝6，PE ＝OP －OE ＝132−52＝4，即CD ＝4.∴ AD ＝AC ＋CD ＝9.∴ 在Rt △ADP 中，AP ＝√AD 2+PD 2＝√92+62＝3√1319. 如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BO 交边AD 于点O ，OD ＝4，以点O 为圆心，OD 长为半径作⊙O ，分别交边DA ，DC 于点M ，N.点E 在边BC 上，OE 交⊙O 于点G ，G 为MN̂的中点． (1) 求证：四边形ABEO 为菱形；(2) 已知cos ∠ABC ＝13，连接AE ，当AE 与⊙O 相切时，求AB 的长解：(1) 如图①，连接MN.∵ G 为MN̂的中点，∴ OE ⊥MN.∵ MD 是⊙O 的直径，∴ ∠MND ＝90°.∴ MN ⊥CD.∴ CD ∥OE.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，BC ∥AD.∴ AB ∥OE ，BE ∥AO.∴ 四边形ABEO 是平行四边形．∵ BO 平分∠ABC ，∴ ∠ABO ＝∠OBC.∵ AD ∥BC ，∴ ∠OBC ＝∠AOB.∴ ∠ABO ＝∠AOB.∴ AB ＝AO.∴ 四边形ABEO 为菱形(2) 如图②，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，AE 交OB 于点P.∵ 四边形ABEO 是菱形，∴ AB ∥OE ，BO ＝2OP ，BE ＝OE.∴ ∠ABC ＝∠OEH.∵ cos ∠ABC ＝13，∴ cos ∠OEH ＝13.∴ 在Rt △OEH 中，EH OE ＝13.设EH ＝a ，则OE ＝3a ，OH ＝2√2a ，BH ＝BE ＋EH ＝4a.当AE 与⊙O 相切时，OP ⊥AE ，∴ OP ＝OD ＝4，OB ＝8.∴ 在Rt △OBH 中，OH 2＋BH 2＝OB 2，即(2√2a)2＋(4a)2＝82，解得a ＝2√63(负值舍去)．∴ AB ＝3a ＝2√6。

2021中考数学热点题型专练圆含解析

热点13 圆【命题趋势】圆在中考数学中分值各个省市有所不同，大约占到8—12分左右，考查的重点在于圆周角定理、切线的判定与性质定理、垂径定理、圆锥和扇形以及弧长公式这几部分内容，虽然圆的内容考的不是太多但也是必考内容之一，难度一般不大。

【满分技巧】一、重点把握四个内容：1．圆周角定理；2．切线的判定与性质定理；3．垂径定理；4．圆锥的侧面积，扇形面积以及弧长公式；二、圆中的计算部分——垂径定理关于圆的计算题，一定离不开垂径定理，而把握好这一定理的关键在于用好一个特殊的三角形。

——由弦心距、半径、半条弦组成的特殊三角形，综合勾股定理或三角函数，从而能顺利地解决问题半径弦心距半条弦三、解决问题的秘诀:将问题转化成三角形问题平面几何的几乎所有问题，不论是四边形问题，还是圆的问题最终都要转化成三角形问题，在三角形中用勾股定理或三角函数结合方程的思想解决。

【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1.如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O 相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，⊥G是BC的中点，⊥AG=DG，⊥GH垂直平分AD，⊥点O在HG上，⊥AD⊥BC，⊥HG⊥BC，⊥BC与圆O相切；⊥OG=OG，⊥点O不是HG的中点，⊥圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊥O的内接矩形，⊥AF与DE的交点是圆O的圆心；⊥（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．2.⊥O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】过点O 作OF⊥CD 于点F ，OG⊥AB 于G ，连接OB 、0D ，如图所示：则DE=CF,AG=BG=12 AB=3⊥EG=AG -AE=2在Rt BOG ∆中，2OG ==， ⊥EG=OG ，EOG ∴∆是等腰直角三角形，45OEG ∴∠=︒，OE ==， 75DEB ∠=︒， 30OEF ∴∠=︒，12OF OE ∴==在Rt ODF ∆中，DF ==2CD DF ∴==故选：C ．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是的中点，且CD ＝10m ，则这段弯路所在圆的半径为（）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A【解析】⊥OC ⊥AB ， ⊥AD ＝DB ＝20m ，在Rt⊥AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，设半径为r 得：r 2＝（r ﹣10）2+202，解得：r ＝25m ， ⊥这段弯路的半径为25m 故选：A ．4.如图，P A 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A．P A＝PB B．⊥BPD＝⊥APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【答案】D【解析】⊥P A，PB是⊥O的切线，⊥P A＝PB，所以A成立；⊥BPD＝⊥APD，所以B成立；⊥AB⊥PD，所以C成立；⊥P A，PB是⊥O的切线，⊥AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD⊥PB，BD⊥P A时，AB平分PD，所以D不一定成立．故选：D．5.如图，AB为⊥O的直径，C，D为⊥O上两点，若⊥BCD＝40°，则⊥ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，⊥AB为⊥O的直径，⊥⊥ADB＝90°．⊥⊥BCD＝40°，⊥⊥A＝⊥BCD＝40°，⊥⊥ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．6.如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果⊥A ＝70°，那么⊥DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°【答案】C【解析】连接CD，如图所示：⊥BC是半圆O的直径，⊥⊥BDC＝90°，⊥⊥ADC＝90°，⊥⊥ACD＝90°﹣⊥A＝20°，⊥⊥DOE＝2⊥ACD＝40°，故选：C．7.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊥O的半径为（）A．2B．3C．4D．4﹣【答案】A【解析】设⊥O与AC的切点为E，连接AO，OE，⊥等边三角形ABC的边长为8，⊥AC＝8，⊥C＝⊥BAC＝60°，⊥圆分别与边AB，AC相切，⊥⊥BAO＝⊥CAO＝BAC＝30°，⊥⊥AOC＝90°，⊥OC＝AC＝4，⊥OE⊥AC，⊥OE＝OC＝2，⊥⊥O的半径为2，故选：A．8.如图，AB是⊥O的直径，AC是⊥O的切线，A为切点，BC与⊥O交于点D，连结OD．若⊥C＝50°，则⊥AOD 的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】C【解析】⊥AC是⊥O的切线，⊥AB⊥AC，⊥⊥BAC＝90°，⊥⊥C＝50°，⊥⊥ABC＝40°，⊥OD＝OB，⊥⊥ODB＝⊥ABC＝40°，⊥⊥AOD＝⊥ODB+⊥ABC＝80°；故选：C．9.如图，AB，AC分别是⊥O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4C．2D．4.8【答案】C【解析】⊥AB为直径，⊥⊥ACB＝90°，⊥BC＝＝＝3，⊥OD⊥AC，⊥CD＝AD＝AC＝4，在Rt⊥CBD中，BD＝＝2．故选：C．10.如图，AB是⊥O的弦，OC⊥AB交⊥O于点C，点D是⊥O上一点，⊥ADC＝30°，则⊥BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【解析】如图，⊥⊥ADC＝30°，⊥⊥AOC＝2⊥ADC＝60°．⊥AB是⊥O的弦，OC⊥AB交⊥O于点C，⊥＝．⊥⊥AOC＝⊥BOC＝60°．故选：D．二、填空题11.如图，已知⊥ABC的内切圆⊥O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若⊥ABC=40°，则⊥BOD的度数是．【答案】70°【解析】⊥⊥ABC的内切圆⊥O与BC边相切于点D，⊥OB平分⊥ABC，OD⊥BC，⊥⊥OBD=⊥ABC=×40°=20°，⊥⊥BOD=90°﹣⊥OBD=70°．故答案为70°．12.直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．【答案】2【解析】直角三角形的斜边＝＝13，所以它的内切圆半径＝＝2．故答案为2．13.如图，五边形ABCDE是⊥O的内接正五边形，AF是⊥O的直径，则⊥BDF的度数是°．【答案】54【解析】连接AD，⊥AF是⊥O的直径，⊥⊥ADF＝90°，⊥五边形ABCDE是⊥O的内接正五边形，⊥⊥ABC＝⊥C＝108°，⊥⊥ABD＝72°，⊥⊥F＝⊥ABD＝72°，⊥⊥F AD＝18°，⊥⊥CDF＝⊥DAF＝18°，⊥⊥BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．14.如图，⊥O的两条相交弦AC、BD，⊥ACB＝⊥CDB＝60°，AC＝2，则⊥O的面积是．【答案】16π【解析】⊥⊥A＝⊥BDC，而⊥ACB＝⊥CDB＝60°，⊥⊥A＝⊥ACB＝60°，⊥⊥ACB为等边三角形，⊥AC＝2，⊥圆的半径为4，⊥⊥O的面积是16π，故答案为：16π．15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，⊥ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】2﹣π【解析】⊥四边形ABCD是菱形，⊥AC⊥BD，⊥ABO＝⊥ABC＝30°，⊥BAD＝⊥BCD＝120°，⊥AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，⊥AC＝2，BD＝2，⊥阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．三、解答题16.如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．⊥求证：DC是⊥O的切线．⊥若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．⊥在⊥的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．【解析】⊥过点O作OG⊥CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分⊥BCD，⊥OH⊥BC，OG⊥CD，⊥OH＝OG，⊥OH、OG都为圆的半径，即DC是⊥O的切线；⊥⊥AC＝4MC且AC＝8，⊥OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，⊥OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，⊥⊥OCH＝30°，⊥COH＝60°，⊥HC＝，S阴影＝S⊥OCH﹣S扇形OHM＝CH•OH﹣OH2＝2﹣；⊥作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，⊥PM＝NP，⊥PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，⊥ON＝OM＝OH，⊥MOH＝60°，⊥⊥MNH＝30°，⊥⊥MNH＝⊥HCM，⊥HN＝HC＝2，即：PH+PM的最小值为2，在Rt⊥NPO中，OP＝ON tan30°＝，在Rt⊥COD中，OD＝OC tan30°＝，则PD＝OP+OD＝2．17.如图，AB为⊥O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊥O的切线；（2）若⊥O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）证明：⊥点C、D为半圆O的三等分点，⊥，⊥⊥BOC＝⊥A，⊥OC⊥AD，⊥CE⊥AD，⊥CE⊥OC，⊥CE为⊥O的切线；（2）解：连接OD，OC，⊥，⊥⊥COD＝×180°＝60°，⊥CD⊥AB，⊥S⊥ACD＝S⊥COD，⊥图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝．18.（1）如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，设AB是该残缺圆O的直径，C是圆上一点，CAB∠的角平分线AD交O于点D，过D作O的切线交AC的延长线于点E．⊥求证：AE DE⊥；⊥若3AC=，求残缺圆的半圆面积．DE=，2【解析】（1）解：如图1：点O即为所求．（2）⊥证明：如图2中，连接OD交BC于F．AD平分BAC∠，∴∠=∠，DAC DAB=，∴CD BD∴⊥，OD BCCFD∠=︒，CF BF∴=，90DE是切线，DE OD∴⊥，EDF∴∠=︒，90AB是直径，ACB BCE∴∠=∠=︒，90∴四边形DECF是矩形，∴∠=︒，90E∴⊥．AE DE⊥四边形DECF是矩形，DE CF BF∴===，3在Rt ACB∆中，AB==∴残缺圆的半圆面积21202ππ=••=．。

最新2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(四)

2021人教版中考数学总复习专题四圆的相关证明与计算

解：(1)∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠ADC＋2∠ACD＝180 °，又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ ABC＝2∠ACD (2)连接OD交AC于点E，∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝ 90°，又∵ AD ＝ CD ，∴OD⊥AC，AE＝EC，∴∠DEC＝90°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECP＝90°，∴四边形
专题四圆的相关证明与计算
圆的基本性质证明与计算【例1】(2020·菏泽)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：DE⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【思路引导】(1)连接AD，OD.先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知 ∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD＋∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA ＝90°，于是可得到DE⊥AC；(2)由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
解：(1)连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝ 45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC (2)过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，
∴sin
∠ADB＝AADB
【思路引导】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACD，由圆内接四边形的性质得出∠ABC＋∠ADC＝180°，则可得出答案；(2)连接OD 交AC于点E，由切线的性质得出∠ODP＝90°，由垂径定理得出∠DEC ＝90°，由圆周角定理∠ACB＝90°，可得出四边形DECP为矩形，则 DP＝EC，求出EC的长，则可得出答案．

最新2021年数学九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(五)

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（五）1．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O 上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP 的长．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．3．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为．4．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C，D，E均在⊙O上（不与A，B重合），EA 的延长线交DC的延长线于点F，过点A作⊙O的切线AG交DF于点G，连接AC，AD，DE，DB．（1）求证：∠DAG＝∠FCA．（2）填空：①当DB＝，△ACG是等腰直角三角形；②当DB＝，四边形ODCA是平行四边形．5．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．6．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）求证：CD2＝CG•CA；（3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB．7．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM 于点C，点E为BC的中点，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若DC＝4，tan A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG ⊥AD于G，连接BG，求BG的最小值．8．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P作PE ⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．9．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD 和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．10．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，AB＝AD（1）如图1，求证：CA平分∠BCD；（2）如图2，连接BD交AC于点E，若BD为⊙O直径，求证：tan∠CAD＝；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为BC中点，连接AF并延长交⊙O于G，若FG ＝2，tan∠GAD＝，求DE的长．参考答案1．解：∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）如图1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，设∠COD＝n°，∵的长为π，∴，∴n＝45，∴∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，∴∠BPC＝∠OPE，∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴点D，P，E三点共线，∴∠CED＝∠COD＝22.5°，∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，（3）①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，∴PF＝PC，同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，连接OC，OD，∴∠COD＝120°，过点O作OG⊥CD于G，∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，∴DG＝OD sin∠DOG＝13×sin60°＝，∴CD＝13，∵△PCD的周长为24+13，∴PD+PC＝24，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，过O作OH⊥DF于H，∴DH＝DF＝12，在Rt△OHD中，OH＝＝5，在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．2．解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．3．（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中点，∴AE＝AB．∵CD是⊙O的直径，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四边形AECO为平行四边形．（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF ∴△AOD≌△AOF（SAS）．∴∠ADO＝∠AFO．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵点F在⊙O上，∴AH是⊙O的切线．（3）∵CD为⊙O的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD，BC为⊙O的切线，又∵AH是⊙O的切线，∴CH＝FH，AD＝AF，设BH＝x，∵CH＝2，∴BC＝2+x，∴BC＝AD＝AF＝2+x，∴AH＝AF+FH＝4+x，在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2，∴62+x2＝（4+x）2，解得x＝．∴．故答案为：．4．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵AG是⊙O的切线，∴∠OAG＝90°，即∠DAG+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠DAG，∵四边形ACDB是⊙O的内接四边形，∴∠DCA+∠DBA＝180°，又∵∠DCA+∠FCA＝180°，∴∠FCA＝∠DBA，∴∠DAG＝∠FCA；（2）解：①如图1所示：∵△ACG是等腰直角三角形，∴CG＝AG，AG⊥CG，∴∠CAG＝∠GCA＝45°，∵AG是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠CDA＝∠CAG＝45°，∴点D与点C重合，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝×4＝2，故答案为：2；②如图2所示：连接OC，∵四边形ODCA是平行四边形，∵OA＝OD，∴平行四边形ODCA是菱形，∴OC＝OA＝AC，∴△OAC是等边三角形，∴∠BAD＝∠OAC＝×60°＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴DB＝AB＝×4＝2，故答案为：2．5．证明：（1）∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ABD，∴∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AO是半径，∴AC为⊙O的切线；（2）∵DE2＝EF•EA，∴，且∠DEF＝∠DEA，∴△DEF∽△AED，∴∠EDF＝∠DAE，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，∴DF＝FH＝2，∵S△ABF＝AB×FH＝×BF×AD，∴2AB＝4BF，∴AB＝2BF，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）∴AB＝，∴⊙O的半径为．6．解：（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，∴∠OEB＝∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE＝90°，∴∠OEB+∠EBF＝90°，∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OF⊥BD，∴＝，∴∠DAC＝∠CDB，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DCG∽△ACD，∴＝，∴CD2＝AC•CG；（3）∵OA＝OB，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠CDB＝∠CAO，∴∠ACO＝∠CDB，而∠CFD＝∠GFC，∴△CDF∽△GCF，∴＝，又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，∴△DCG∽△ABG，∴＝，∴＝，∵r＝，BG＝，∴AB＝2r＝5，∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝＝．7．（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BC＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD，∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∵DC＝4，tan A＝，∴tan∠CBD＝tan A＝，∴BD＝8，∴BC＝＝4，∴DE＝，∴AB＝，∴BO＝OD＝4，又∵DE是⊙O的切线，∴∠HDE＝90°，∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，则，∴BH＝2x，在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，即，解得：x＝或x＝0（舍去），∴DH＝；（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，∵FG⊥AD于点G，∴当点D在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，∵AB＝8，点F是弧AB的中点，∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝，∴NG＝NF＝，BN ＝＝＝2，∴BG＝BN﹣NG＝2．8．（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，即∠OCB+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵PE⊥AB，∴∠B+∠BPE＝90°，∵∠BPE＝∠DPC，∴∠OCB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠BCD，∴DC＝DP，∴△DCP是等腰三角形；（2）解：①连接AC，如图2，∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝AC＝6，Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，∴PE＝BE＝，PB＝2 PE＝2，∴CP＝BC﹣PB＝6 ﹣2 ＝4，∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴DC＝CP＝4 ；②连接OF，如图3所示：，∵四边形OCFB是菱形，∴OB＝OC＝CF＝BF，OF⊥BC，∠BOF＝∠COF，∵∠CBA＝30°，∴∠BOF＝∠COF＝60°，∴的长＝＝2π．9．（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．10．（1）证明：∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACB＝∠ACD，∴CA平分∠BCD；（2）证明：如图2，过点D作AC的平行线交BC延长线于Q，∵＝，∴∠CAD＝∠CBD，∵BD为直径，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝，∵DQ∥AC∴∠Q＝∠ACB，∠ACD＝∠CDQ，由（1）得∠ACB＝∠ACD，∴∠Q＝∠CDQ，∴CD＝CQ，∵CE∥DQ，∴DE：EB＝CQ：BC，即DE：EB＝CD：CB，∴tan∠CAD＝；（3）如图3，过点D、B分别作DH⊥AG于H，BN⊥AG于N，过O作OM⊥AG于M，∵tan∠GAD＝，∴设AH＝3k，DH＝4k，∵∠BAN+∠NAD＝90°，∠NAD+∠ADH＝90°，∴∠BAN＝∠ADH，又∵∠BNA＝∠AHD＝90°，AB＝AD，∴△ADH≌△BAN（AAS），∴BN＝AH＝3k，AN＝DH＝4k，∵DH∥OM∥BN，且OB＝OD，∴MH＝MN，NH＝AN﹣AH＝k，∵OM⊥AG，∴MA＝MG，∴AH＝NG＝3k，∴FN＝3k﹣2，连接CG，过点C作CP∥AB，则∠ABF＝∠PCF，∠BAF＝∠P，又BF＝CF，∴△ABF≌△PCF（AAS），∴FA＝FP，∵＝，∴∠BAF＝∠GCB，∴∠GCF＝∠P，∴△FCG∽△FPC，∴CF2＝FG•FP，CF＝BF，即BN2+FN2＝FG•FA，∴（3k）2+（3k﹣2）2＝2（4k+3k﹣2），解得k＝1 或k＝（∵FN＞0∴舍去），∴在Rt△AHD中，AH＝3，DH＝4，∴AD＝＝5，∴BD＝AB＝5，∴BF2＝BN2+FN2＝（3k）2+（3k﹣2）2＝10，∴BF＝，∴BC＝2，∴在Rt△BCD中，CD ＝＝，∴tan∠CBD＝＝＝，∴DE＝BD＝．1、最困难的事就是认识自己。

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：垂径定理

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：垂径定理一．选择题（共10小题）1．如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．2．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P（0，﹣3），那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为（）A．4 B．5 C．8 D．103．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD ＝OE＝，则AB的最大值为（）A．B．C．D．5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，BE＝2，则CD＝（）A．5 B．8 C．2D．46．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．67．如图，⊙O的直径AB＝10，E在⊙O内，且OE＝4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（）A．4 B．6 C．8 D．108．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝（）A．5 B．7 C．9 D．119．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C．D．10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．2二．填空题（共6小题）11．如图，有半径分别为2和4的两个同心圆，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，那么矩形ABCD面积的最大值为．12．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．14．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为．15．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．①AD AN（填“＞”，“＝”或“＜”）；②AB＝8，ON＝1，⊙O的半径为．16．如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点．作PS ⊥AB，QT⊥AB，垂足分别为S，T，并且∠SRT＝60°，则的值等于．三．解答题（共4小题）17．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．18．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．19．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE＝OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？20．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．参考答案一．选择题1．解：设OA与BC相交于D点．∵AB＝OA＝OB＝6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD＝＝3所以BC＝6．故选：A．2．解：过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的⊙O的最短的弦，连接OB，则由垂径定理得：AB＝2AP＝2BP，在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理得：PB＝4，则AB＝2PB＝8，故选：C．3．解：∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE，∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，∴∠OCE＝90°﹣40°＝50°．故选：D．4．解：如图，当OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大，AB最大，连接OC，∵⊙O的半径为2，OD＝，∴∠ACO＝30°，∴AC＝2CD＝2＝2＝2，同理可得∠BCO＝30°，∴∠ACB＝60°，∵OD＝OE，OD⊥AC、OE⊥BC，∴AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2，即AB的最大值为2．故选：A．5．解：连接OD，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CD＝2DE．∵AE＝8，BE＝2，∴⊙O的半径＝5，∴OE＝5﹣2＝3，在Rt△ODE中，∵OE＝3，OD＝5，∴DE＝＝4，∴CD＝2DE＝8．故选：B．6．解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故选：B．7．解：∵AB＝10，∵OB＝OA＝OC＝5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO＝90°，由勾股定理得：CE＝＝＝3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD＝2CE＝6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB＝10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1＝8，故选：C．8．解：由题意可得，OA＝13，∠ONA＝90°，AB＝24，∴AN＝12，∴ON＝，故选：A．9．解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．10．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r﹣2，∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N，根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝＝＝6，S＝＝×OM＝＝，△AODOM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的面积的最大值是AB•AD＝8×＝48．故答案为：48．12．解：∵CD⊥OB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案为8．13．解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．14．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴PA＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．15．解：（1）AD＝AN，证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD，（2）设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为，故答案为．16．解：连结OP，OQ，OR，如图，∵R是PQ的中点，∴OR⊥PQ，∵OP＝OQ，∴∠POR＝∠QOR，∵PS⊥AB，∴∠PSO＝∠PRO＝90°，∴点P、S、O、R四点在以OP为直径的圆上，∴∠PSR＝∠POR，同理可得∠QTR＝∠QOR，∴∠PSR＝∠QTR，∴∠RST ＝∠RTS ，而∠SRT ＝60°，∴△RST 为等边三角形，∴∠RST ＝60°，∠RTS ＝60°，∴∠RPO ＝∠RSO ＝60°，∠RQO ＝∠RTO ＝60°，∴△OPQ 为等边三角形，∴PQ ＝OP ，∴AB ＝2PQ ，∴＝．故答案为．三．解答题（共4小题）17．解：（1）连接AO ，如右图1所示，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB ＝8，∴AG ＝＝4，∵OG ：OC ＝3：5，AB ⊥CD ，垂足为G ，∴设⊙O 的半径为5k ，则OG ＝3k ，∴（3k ）2+42＝（5k ）2，解得，k ＝1或k ＝﹣1（舍去），∴5k ＝5，即⊙O 的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ， ∵∠ECD ＝15°，由对称性可知，∠DCM ＝30°，S 阴影＝S 弓形CBM ，连接OM ，则∠MOD ＝60°，∴∠MOC ＝120°，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．18．解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3，∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，∴OD＝＝4，即线段OD的长为4．（2）存在，DE保持不变．理由：连接AB，如图（2），∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，∴AB＝＝5，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE＝AB＝，∴DE保持不变．19．（1）解：OE＝OF，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD，∵在△EOB和△FOD中，∴△EOB≌△FOD（AAS），∴OE＝OF．（2）解：弧AB＝弧CD，AB＝CD，∠AOB＝∠COD，理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），∴BE＝DF，由垂径定理得：AB＝2BE，CD＝2DF，∴AB＝CD，∴弧AB＝弧CD，∠AOB＝∠COD．20．解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，∴OF为梯形ABCD的中位线，∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，即⊙O的半径长为3；（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：则BM＝AD＝1，∴CM＝BC﹣BM＝4，∴DC＝＝＝2，∵四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，整理得：y＝；（3）△ODG能成为等腰三角形，理由如下：∵点G为DC的中点，OA＝OB，∴OG是梯形ABCD的中位线，∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得：OD＝＝，分三种情况：①DG＝DO时，则＝，无解；②OD＝OG时，如图2所示：＝3，解得：r＝2；③GD＝GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：∠GOD＝∠GDO，∵OG∥AD，∴∠ADO＝∠GOD，∴∠ADO＝∠GDO，在△ADO和△HDO中，，∴△ADO≌△HDO（AAS），∴OA＝OH，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r＝2．。

中考热点专题训练与圆有关的证明问题及答案

中考热点专题训练一一与圆有关的证明问题（时间：100分钟总分：100分）、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 已知AB CD 是O O 的两条直径，则四边形 ADB （一定是（）A .等腰梯形B .正方形C .菱形D .矩形() A. 3 对 B . 2 对 C . 1 对 D3•垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧•由上述四条性质组成的命题中，假命题是（）A .①②=③④B .①③=②④C .①④=②③D .②③=①④4. Rt △ ABC 中，/ C=90°, AC=3cm BC=4cm 给出下列三个结论：①以点 C 为圆心，？2.3cm 长为半径的圆与 AB 相离；②以点 C 为圆心，2.4cm 长为半径的圆与 AB 相切；？③以点C 为圆心，2.5cm 长为半径的圆与 AB 相交，则上述结论正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5.在0。

中，C 是的中点，D 是2上的任意一点（与A C 不重合），则（）A . AC+CB=AD+DB B . AC+CB<AD+DBC . AC+CB>AD+DBD . AC+CB 与 AD+DB 勺大小关系不确定6.如图2,梯形ABCD 内接于O 0, AD// BC, EF 切O O 于点C ,则图中与/ ACB 相等的角（不包括/ ACB 共有（） .A. 1个 B . 2个 C .3个 D . 4个7.如图3,在厶ABC 中, AD 是高，AE 是直径，AE 交BC 于G,有下列四个结论：？①AD 2=BD-CD ； ②BE 2=EG ・AE :③AE -AD=AB- AC :④AG ・EG=BGCG .其中正确结论的有（）A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个& 如图4, AB 是O O 的直径，CD 为弦，AE 丄CD 于 E , BF 丄CD 于 F ,交O O 于 G. ?下面的结论：①EC=DF ②AE+BF=AB ③AE=GF ④FG- FB=EC- ED.其中正确的有（）A.①②③ B .①③④ C .②③④ D .①②④9.如图5,圆内接△ ABC 的外角/ ACH 的平分线与圆交于 D 点，DP I AC ?垂足是P , DHL BH, 垂足是H,下列结论：①CH=CP ②AD=BD :③AP=BH ④DH 为圆的切线，其中一定成 2.如图1, DE 是O O 的直径，弦 AB 丄ED 于C ,连结AE 、BE AO BO 则图中全等三角形有(1) (2) ⑶0对立的是（）A.①②④ B .①③④ C .②③④ D .①②③二、填空题11. 在O O 中，若 AB 丄MN 于C, AB 为直径，MN 为弦，？试写出一个你认为正确的结论:12. 已知O 和O 02的半径分别为10cm , 6cm , 00的长为3cm ,则O 与O 02的位置关玄阜系是 __________ .13. 如图7, C 是O 0的直径AB 延长线上一点，过点C 作O 0的切线CD D 为切点，连结AD 0D BD,请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论 ____________ .14. __________________________________________________________________________ 已知O 0的直径为10, P 为直线L 上一点，0P=5那么直线L 与O 0?勺位置关系是 ________________ .15. 在△ ABC 中，/ C=90°, AC=3 BC=4,点0是厶ABC 的外心，现以 0为圆心，？分别以2,2. 5, 3为半径作O 0,则点C 与O 0的位置关系分别是 _____________ .16. ___________ 以等腰厶ABC 的一腰AB 为直径作圆，交底边 BC 于D,则/ BAD 与/ CAD 的大小关系是 Z BAD Z CAD17. 在△ ABC 中，AB=5 AC=4, BC=3以C 为圆心，以2 J3为半径的圆与直线 AB?的位置关玄阜系是 _____________ .18. __________________________________________________________________ 如图8所示，A B 、C 是O 0上的三点，当 BC 平分Z AB0时得结论 ________________________ .三、解答题（本大题共46分，19〜23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 如图，AB 是O O 的弦（非直径），C D 是AB 上两点，并且OC=OD 求证：AC=BDA. AB 2CD ； C . AB -2CD ; D. AD 与2CD 的大小关系可能不确定8小题，每小题3分，共24 分）（本大题共 fl B D C ⑹ 在O 0中, (5) 10.如图6, B . AB :：: 2CD ； (7) (8) AB=2CD 那么(20. 已知：如图，在△ ABC中，AB=AC以AB为直径的O O与BC交于点D,与AC?交于点E, 求证：△ DEC为等腰三角形.21. 如图，AB是O 0的直径，弦AC与AB成30°角，CD与O 0切于C,交AB?勺延长线于D,求证：AC=CD22. 如图20-12，BC为O 0的直径，AD丄BC,垂足为D, AB = AF，BF和AD交于E,求证：AE=BE23. 如图，AB是O O的直径，以0A为直径的O 0<!与O 02的弦相交于D, DEI 0C垂足为E.(1)求证：AD=DC ( 2)求证：DE是O 0的切线.25.如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, AC=5 BC=12 O 0的半径为3.(1)若圆心0与C重合时，O 0与AB有怎样的位置关系？(2)若点0沿CA移动，当0C等于多少时，O O与AB相切？答案：一、选择题1 . D2 . A3 . B4 . D5 . C6 . D7 . B8 . B9 . D 10 . A二、填空题11. BM=BF等12 .内含13 •上ADO* BDC等14 .相交或相切15.在圆外、？在圆上、在圆内16 . = 17 .相交18 . OC// AB等三、解答题19.证明：过点O作OE// AB于E,贝U AE=BE 在厶OCD中，OEL CD OC=OD••• CE=?DE ? ••• AC=BD20 .证明：•••四边形ABDE是圆内接四边形，•/ DEC* B.又••• AB=AC B=* DEC* C,「. DE=CD• △ DEC为等腰三角形. 'E |H24.如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点(1)求/ ACM的度数.(2)在MN上是否存在一点C,/ A=28°D,使AB •21. 证明：连结BC由AB是直径可知，ACB =90=■ * ABC=60 .A =30CD 是切线=* BCD=/ A=30° = * D=30° =* A : AC=CD22. 证明：连结AB AC,BC是直径二BAC = 90 = ABC • ACB 二90AD _ BC= ADB =90 = • ABC BAD = 90二.ACB —BAD | —-= / BAD* ABF ： AE=BE AB =AF = ACB ▼ ABFADO - 90 ?I23. 证明：(1)连结OD AO是直径r AD=DCAO=COJ(2)连结OD,OQ =0小二A 二ADO1OA = OC = A = C二C n/ADO rDE _CE 二C CDE =90二ADO「CDE =90 = OQE =90亠口t DE是切线.D 在L O1±24. 解：(1)连结BCAB是直径二ACB = 90=/ B=62°.A = 28MN 是切线一/ ACM* B=62°.(2)过点B作BDL MN贝UBDG =90'/ACB△ACB^A CNBMN是切线二.BCN =/A—AC AB -AB • CD=AC • BC.CD1 BC过点A作AD丄MN贝UADQ =90、/ACB | -二△AB3A ACDMN 是切线二.MCA=/CBAAC CD22 = CD • AB=AC- CBAB CB25. 解：(1)过点C作CH丄AB于H,由三角形的面积公式得AB- CH=AC BC •••CH=MBC =60，即圆心到直线的距离d=60.AB 13 13•/ d=-0>3,AO O与AB相离.13(2)过点O作OE丄AB于E,贝U OE=3•••/ AEO N C=90°,Z A=Z A,." AO0A ABC_ OELJAB 3X13 13BC 12 413 7••• OC=AC-OA=5-=.4 4•••当OcZ时，O O与AB相切.4。

(2021年整理)专题10圆的有关计算与证明(人教版含答案)

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圆的有关计算与证明圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重,通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现,解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质,特别是切线的性质和判定，利用圆的性质求角度或者计算阴影部分面积．（2015·昆明西山区二模)如图,CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，∠A＝2∠DCE，延长AD交CE的延长线于点B，连接CD，若BE＝OE＝2。

（1)求证:AD为⊙O的切线;(2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】(1)要证AD为⊙O的切线，由点D在⊙O上可知，只需连接OD,证明OD⊥AD.由OC＝OD得∠DOB＝2∠DCE＝∠A。

由AC为⊙O的切线知∠A＋∠B＝90°,从而∠DOB＋∠B＝90°，OD⊥AD即可得证；(2）S阴＝S△ODB－S扇形ODE.代入相关数据即可求出．【解答】(1）证明：连接OD，如图．∵OC＝OD,∴∠DOB＝2∠DCE.又∵∠A＝2∠DCE，∴∠DOB＝∠A。

∵AC为⊙O的切线，∴AC⊥OC，∴∠A＋∠B＝90°。

∴∠DOB＋∠B＝90°.∴∠ODB＝90°，即OD⊥AB。

∵OD为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．(2)在Rt△ODB中，∵OD＝OE，OE＝BE。