2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 2.1.1 合情推理

定义
的全部对象都具有这些特 对象的某些已知特征， 征的推理，或者由个别事实 推出另一类对象也具
概括出一般结论的推理，称 有这些特征的推理，称
为归纳推理(简称归纳) 为类比推理(简称类比)
归纳推理是由部分到 类比推理是由特殊
特征 整体，由个别到一般 到特殊的推理
的推理
温馨提示 根据部分对象归纳得出的结论不一定正 确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一 步判断．
于是把结论类比到四面体 P-A′B′C′中，我们猜想，三 棱锥 P-A′B′C′中，若三个侧面 PA′B′，PB′C′，PC′A′两两 互相垂直，且分别与底面所成的角为 α，β，γ，则 cos2 α＋cos2β＋cos2γ＝1.
[迁移探究 2] (变换条件)如图，作 CD⊥AB 于 D， 则有C1D2＝a12＋b12.类比该性质，试给出空间中四面体性质 的猜想(不证明)．
又 2 S2＝a2＋1，所以 2 a1＋a2＝a2＋1，所以 a22－ 2a2－3＝0.
因为对一切的 n∈N*，an>0，所以 a2＝3. 同理可求得 a3＝5，a4＝7， 猜测出 an＝2n－1(n∈N*)． 答案：(1)(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n －1) (2)2n－1.
[变式训练] (1)由下列各式： 13＝12， 13＋23＝32， 13＋23＋33＝62， 13＋23＋33＋43＝102， … 请你归纳出一般结论．
(2)已知数列{an}的第 1 项 a1＝1，且 an＋1＝1＋anan(n＝ 1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解：(1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋… ＋n)2， 则 13＋23＋33＋…＋n3＝n（n2＋1）2.
1．对归纳推理的理解： (1)归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判 断，而结论是关于该类事物或现象的普遍性的判断，从而 归纳推理是一种由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)因此，归纳推理要在观察和试验的基础上进行．其 基本过程如下：
试验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
2．类比推理的三个特点： (1)类比推理结论的猜测性，类比推理是从人们已经 掌握了的事物的特征，推测正在被研究的事物的特征， 所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠． (2)类比在数学发现中具有重要作用． (3)类比推理的关键点．由于类比推理的前提是两类 对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类 比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特 征．
由 n＝2，3，4，5，6 的图形特点归纳得 an＝3n－3(n ＞1，n∈N*)．
答案：15 3n－3
类型 3 类比推理及其应用(互动探究)
[典例 3] 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.设 a， b，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得 c2＝a2＋ b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四 面体性质的猜想．
2．合情推理
(1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然 后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程： 从具体问 观察、分析 题出发 → 比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想
温馨提示 合情推理得出的结论不一定是唯一的，侧 重点不同，结论也会不同．
故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋ 5×(6－1)＝31.
答案：B
[变式训练] 如图所示，由若干个点组成形如三角 形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N*)个 点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝ ________(n＞1，n∈N*)．
解析：依据图形特点，可知第 5 个图形中三角形各 边上各有 6 个点，因此 a6＝3×6－3＝15.
解：类比直角三角形的勾股定理，在四面体 D-PEF 中，DP、DE、DF 两两垂直，即∠PDF＝∠PDE＝∠EDF ＝90°.
设 S1，S2，S3 和 S 分别表示△PDF，△PDE，△EDF 和△PEF 的面积，
相应于直角三角形的两条直角边 a，b 和 1 条斜边 c， 图中的四面体有 3 个“直角面”S1，S2，S3 和 1 个“斜 面”S.
于是，类比勾股定理的结构，我们猜想 S2＝S21＋S22＋ S23成立．
[迁移探究 1] (变换条件)把题设条件“由勾股定理， 得 c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中， 给出四面体性质的猜想．
解：如图，在 Rt△ABC 中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2 a2＋b2 ＝ c2 ＝1.
(2)当 n＝1 时，a1＝1；
当 n＝2 时，a2＝1＋1 1＝12；
1 当 n＝3 时，a3＝1＋2 12＝13；
1 当 n＝4 时，a4＝1＋3 13＝14.
通过观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒 数，由此归纳出 an＝n1.
类型 2 几何图形中的归纳推理 [典例 2] 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的 规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六 边形的个数是( )
答案：b2n＝bn－1·bn＋1(n≥2，且 n∈N*)
5．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想 an ＝________．
解析：因为 a1＝0＝21－2，an＋1＝2an＋2， 所以 a2＝2a1＋2＝2＝22－2， a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2， … 猜想 an＝2n－2. 答案：2n－2
类型 1 数、式中的归纳推理(自主研析)
[典例 1] (1)观察下列等式
(1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 … 照此规律，第 n 个等式可为________．
(2)已知数列{an}对一切的 n∈N*，an>0，设前 n 项和 为 Sn，且 2 Sn＝an＋1，则通过前几项猜想出数列的通项 公式为 an＝________．
3．归纳与类比推理的结论不一定可靠，还需要经过 逻辑证明和实践检验．但它们是创造性的推理，通过归 纳类比能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重 要手段．
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第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳推 理和类比推理等进行简单的推理(重点).2.了解合情推理 在数学发现中的作用(难点)．
1．归纳推理和类比推理
类别
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具 由两类对象具有某些
有某些特征，推出该类事物 类似特征和其中一类r2l2A来自 2B.2lr
l＋r
C.2
D. 2
解析：三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应
扇形的弧长，所以可猜测为 S＝12rl＝l2r. 答案：C
4 ． 等 差 数 列 {an} 中 有 2an ＝ an － 1 ＋ an ＋ 1(n≥2 且 n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是 ________．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．数列 5，9，17，33，x，…中的 x 等于( )
A．47
B．65
C．63
D．128
解析：5＝22＋1，9＝23＋1，17＝24＋1，33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
答案：B
3．已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面
积公式 S＝底×2 高，可推知扇形面积等于( )
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计 总体，这种估计属于归纳推理. ( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．( ) (3)归纳推理是由个别得到一般的推理．( )
解析：(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般， 所以，这种估计属于归纳推理．(2)错，类比推理的结论 不一定正确．(3)对，由归纳推理的概念知说法正确．
[自主解答](1)左边为 n 项的乘积；等号右边为两部
分：
一部分为 2n，另一部分为 n 个连续奇数的乘积．
∴第 n 个等式为(n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝ 2n·1·3·5·…·(2n－1)．
(2)因为 2 Sn＝an＋1，所以 2 S1＝a1＋1，即 2 a1＝ a1＋1，所以 a1＝1.
归纳升华 1．归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认 知功能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通 项公式或前 n 项和公式，其具体步骤是：(1)通过条件求 得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律， 猜测数列的通项公式并加以证明．
2．由已知数、式进行归纳推理的基本方法： (1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方 面的变化规律或结构形式的特征． (2)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (3)运用归纳推理得出一般结论．
解：如图在四面体 A-BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两互相垂直， 且 AE⊥底面 BCD.
相应于斜边 AB 上的高 CD，AE 是以△BCD 为底面 的棱锥的高．于是猜想A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2.
归纳升华 1．类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、 类推→猜测新的结论． 2．类比推理的一般步骤．
A．26
B．31
C．32
D．36
解析：法一：有菱形纹的正六边形个数如表：
图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成 一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数是 6＋5×(6－1)＝31.