第三课时：§1.3简单绝对值不等式与一元二次不等式的解法

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高考数学含绝对值的不等式1(修正)

2
2x + 2kx + k 1 < 0 2 4x + 6x + 3
恒大于零）（∵4x2+6x+3恒大于零）恒大于零 2(k 3)x + 3 k > 0
取任何实数均成立， ∴原不等式对 x 取任何实数均成立，等价于不等式 2 取任何实数均成立。 2x 2(k 3)x + 3 k > 0 对 x 取任何实数均成立。 ∴△=[-2(k-3)]2 -4×2×(3-k) <0 - × × 1<k<3 的取值范围是（，） ∴k的取值范围是（1，3）的取值范围是
判别式 = b 2 4ac
>0
y
=0
y
<0
y
二次函数 y = ax 2 + bx + c (a > 0)的图像
x1 0 x 2 x
0 x1 = x2
x
0
没有实根
x
ax 2 + bx + c = 0 有两相异的实根有两相等的实根 b (a > 0)的解 x1，x2 (且x1 < x2 ) x1 = x2 = 2a b ax 2 + bx + c > 0 {x | x < x1或x > x2} {x | x ≠ } 2a (a > 0)的解集
当 > 2时不式解为{x | x > 2或 < a} a ，等的集： x
练习：练习：
{x｜ 2.已知不等式ax2-5x+b＞0的解集是{x｜-3＜x＜-2}, 已知不等式ax x+b＞的解集是{x 求不等式bx x+a＞求不等式bx2-5x+a＞0的解集

高三数学第一轮复习教案(第一章集合与简易逻辑7课时)

1.3含绝对值的不等式的解法 1.4一元二次不等式的解法1.5简易逻辑第3课时含绝对值的不等式的解法一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：（一）主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->．解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--．（2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞．（3）当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-；当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<；当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥．综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞．例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞；（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；（2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b+≤⇒≤+②，当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b≤+；当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+；当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+．综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-，当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b-∞+．例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围．解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a ax a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102aa a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩，综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．（四）巩固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞；4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．第4课时一元二次不等式的解法一．课题：一元二次不等式的解法二．教学目标：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式．三．教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法．四．教学过程：（一）主要知识：1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零； 3．高次不等式要注重对重因式的处理．（二）主要方法：1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．（三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）260x x --<；（2）23100x x -++<；（3）(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-．解：（1）23x -<<；（2） 5 2x or x ><-；（3）原不等式可化为(1)(2)(2)(1)02 1 0 1 2(2)(1)0x x x x x x or x or x x x +-+-≥⎧⇒-<≤-≤<≥⎨+-≠⎩．例2．已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤，（1）若A B ⊂≠，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围．解：{|12}A x x =≤≤，当1a >时，{|1}B x x a =≤≤；当1a =时，{1}B =；当1a <时，{|1}B x a x =≤≤．（1）若A B ⊂≠，则122a a a >⎧⇒>⎨>⎩；（2）若B A ⊆，当1a =时，满足题意；当1a >时，2a ≤，此时12a <≤；当1a <时，不合题意．所以，a 的取值范围为[1,2)．例3．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）24(2)16004a a ∆=--<⇒<<；（2）(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩，解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1(,4)2-．例4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为．解法一：∵(2)(4)0x x --<即2680x x -+->的解集为11{| }24x x or x ><， ∴不妨假设1,6,8a b c =-==-，则20c x b x a ++<即为28610x x -+-<，解得11{|}42x x <<．解法二：由题意：00364188a cb b ac c a a c ⎧⎧<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴20cx bx a ++<可化为20b a x x c c ++>即231048x x -+>，解得11{| }24x x or x ><．例5．（《高考A 计划》考点4“智能训练第16题”）已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？解：假设存在常数,,a b c 满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ①又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ②由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-，由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立，∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ， ∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩， ∴14a =，∴14c =，∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立．（四）巩固练习：1．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的取值范围是(2,2]-． 2．若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根，则a ∈(1,1)-．五．课后作业：《高考A 计划》考点4，智能训练3，4，5，9，13，14，15．第5课时简易逻辑一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．四．教学过程：（一）主要知识： 1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题； 2．由真值表判断复合命题的真假； 3．四种命题间的关系．（二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式； 4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“23≤”解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平分， ∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题．（2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=， ∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零逆命题：若,x y 全为零，则220x y +=逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠ 注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解：方法一：原命题是真命题， ∵0m >，∴140m ∆=+>，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题；又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根∴140m ∆=+<即104m <-≤，故原命题的逆否命题是真命题．例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题p 可以得到：240m m ⎧∆=->⎨>⎩ ∴2m >由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<< ∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，262,6m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．（四）巩固练习：1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（） A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确 C. 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确2．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是（） A. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根 B. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根 C. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 D. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根五．课后作业：《高考A 计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．第6课时充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假； 3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）． 4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：sin sin a bA B=∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件．（3）取120,30A B ==，p 不能推导出q ；取30,120A B ==，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂，所以，p 是q 的充分非必要条件．例2．设,x y R ∈，则222x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+ 如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++ 得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件．解：∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++，则1221n n n a a a a a -->>>>>，欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立，只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可，又因为11194520a =+=，即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<，解得1log (1)(1)t t t t -<-<>，即101(2)t t t t<<-<≠，解得实数t 应满足的关系为t >且2t ≠．例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12mx x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m-≤-即2m ≥，故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12mx x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的，故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的条件．2．05x <<是|2|3x -<的条件．3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（） A.//,//a b αα B.//,//,//a b αβαβ C. ,,//a b αβαβ⊥⊥ D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥五．课后作业：《高考A 计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．。

第3讲一元二次不等式与绝对值不等式的解法

第3讲一元二次不等式与绝对值不等式的解法教学设计：1、一元二次方程：20ax bx c ++= (0)a ≠（1）解法：（根所在区间的讨论）（2）判别式（指定区间内根情况的判定）（3）根与系数的关系、根与函数的关系、根与不等式的关系2、二次函数：2y ax bx c =++ (0)a ≠（1）开口方向（2）顶点与对称轴（3）图象与x 轴交点（4）y 的正、负号3、一元二次不等式：（1）一般式：2200ax bx c ax bx c ++>++<或(0)a ≠（2）解法：（函数法）4、分式不等式的解集：（1）一般式：()00()f x f x g x ><（）或g(x)（2）解法：符号法则商化积⇒序轴标根法5、无理不等式的解集：（1）解题依据：0a b >>⇒n n a b >化为有理不等式组（2）常见题型及解法：22()0()0()()0()0()()()0()()0()()f x f xg x g x g x f x g x f x g x g x f x g x ⎧≥≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩⎧≥⎪<⇔≥⎨⎪<⎩或[说明]“式”化“组”是为了等价转化。

一元二次不等式与绝对值不等式的解法6、含绝对值的不等式解法(1)定义法：(2)公式法：)()()()()()()()()()()()0()0(x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x f a x a x a a x ax a a a x −<>⇔><<−⇔<−<>⇔>><<−⇔><或或例题分析：例1. 解不等式：（1）22320x x −−>（2）2362x x −+>（3）24410x x −+>（4）2230x x −+−>（5）(1)()0x x a −−< （6）(1)(1)0x ax −−>（7）(1)(1)0x x −+>（8）2(69)(1)0x x x +++> 例2. 解不等式：（1）37x x −<+（2）1204x x −≤+（3）28x x x −−≥（431>（5）7340x x +−−+>（6）42280x x −−>（7）2560x x −+<（8）500 5 x −≤（9）257x +>（10）x a b −<（11）2124x x ++−>例3. （1）求集合{013,}x x x Z <−<∈的真子集个数（2x 的集合（3）已知{}{}2,13A x x a B x x A B =−≤=−≥=Φ∩且，则实数a 的范围（4）若0a >，43x x a −+−<使不等式的解集不是空集的a 的范围例4. 已知：方程2(1)2(2)240m x m x m ++−++= ()m R ∈，求：m 为何值时，一根大于3 ,一根小于3.例5. 解关于x 的不等式（1）2220x ax a −−≤参考答案例1．解不等式：（1）解：()(21)0x x x −+> ∴解集为：122x x x ⎧⎫><−⎨⎬⎩⎭或（2）解：等价于23620x x −+<方程23620x x −+=的根为121 133x x =+=−解集为：1133x x ⎧⎪−<<+⎨⎪⎪⎩⎭（3）解：等价于2(21)0x −>解集为：12x x x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且（4）解：等价于2230x x −+<解集为：∅（5）解：①当1a >时，解集为：{}1x x a <<②当1a =时，解集为：∅③当1a <时，解集为： {}1x a x <<（6）解：①当0a =时，解集为：{}1x x <②当01a <<时，11a >，解集为：11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或③当1a =时，2(1)0x −>，解集为：{}1x x x ∈≠R 且④当1a >时，11a <，解集为：11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或⑤当0a <时，解集为：11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（7）解：200(1)(1)0(1)0x x x x x <≥⎧⎧⎨⎨+−<+>⎩⎩或∴解集为：{}11x x x <≠−且（8）解：2(3)(1)0x x ++>解集为：{}1x x >−例2．解不等式：（1）解：等价于(3)(7)0x x −+<解集为：{}73x x −<<（2）解：等价于(21)(4)040x x x −+≥⎧⎨+≠⎩∴解集为：142x x x ⎧⎫≥<−⎨⎬⎩⎭或（3）解：等价于28x x x −−≥或28x x x−−≤−即2280x x −−≥或280x −≤解集为：{}4x x x ≤≥（431>31−<−4>2<20 216x x −≥⎧∴⎨−>⎩或2024x x −≥⎧⎨−<⎩ ∴解集为：{}2618x x x ≤<>或（5）解：73410x x +−−+−>等价于①432100x x ⎧≥⎪⎨⎪−+>⎩②47420x x ⎧−≤<⎪⎨⎪++>⎩③72120x x <−⎧⎨−+>⎩解得：①的解集：4532x x ⎧⎪≤<+⎨⎪⎪⎩⎭②的解集：2443x x ⎧⎫+⎪⎪−<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭③的解集：∅ ∴原式解集2542x x ⎧⎪−<<+⎨⎪⎪⎩⎭（6）x 4－2x 2－8＞0，则（x 2－4）（x 2+2）＞0，即x 2－4＞0∴解集为（－∞，－2）∪（2，+∞）另解：设2x t =（t ＞0）则原不等式化为 t 2－2t －8＞00)2)(4(>+−t t ，∴2−<t 或4>t∵t ＞0，∴4>t ，∴x 2 ＞ 4∴解集为（－∞，－2）∪（2，+∞）（7）设t x =（0≥t ）则原不等式为t 2－5t +6＜0，即（t －2）（t －3）＜0，∴2＜t ＜3∴2＜|x |＜3，∴解集为（－3，－2）∪（2，3）（8）解：等价于55005x −≤−≤即495505x ≤≤∴解集为：{}495505x x ≤≤（9）解：等价于257x +>或257x +<− 即1x >或6x <− ∴解集为：{}16x x x ><−或（10）解：当0b ≤时，解集为∅；当0b >时，解集为{}x a b x a b −<<+（11）解：等价于121x x ⎧<−⎪⎨⎪<−⎩或1221x x ⎧−≤≤⎪⎨⎪>⎩或253x x >⎧⎪⎨>⎪⎩∴解集为：{}11x x x <−>或例3．（1）解：由013x <−<得{}241x x x −<<≠且 x Z ∈∵{}1, 0, 2, 3∴− ∴集合的真子集的个数为42115−=个（2）由题意得：302140x x ⎧−≥⎪⎨+−>⎪⎩即333522x x x −≤≤⎧⎪⎨><−⎪⎩或即533322x x x ⎧⎫−≤<−<≤⎨⎬⎩⎭或（3）解：{}22A x a x a =−≤≤+{}42B x x x =≥≤−或 A B =Φ∵∩22 24a a −>−⎧∴⎨+<⎩∴a 的取值范围是()0, 2a ∈（4）解：设()43f x x x =−+−min ()1f x =∵∵ 不等式43x x a −+−<有解1a ∴>a ∴取值范围是()1, a ∈+∞ 例4．方法一解：设2()(1)2(2)24f x m x m x m =++−++由题意可知1010(3)0(3)0m m f f +>+<⎧⎧⎨⎨<>⎩⎩或即1155m m m m >−<−⎧⎧⎨⎨<−>−⎩⎩或 m ∴的取值范围是()5, 1m ∈−−方法二解：设方程的两根分别为12, x x ，由题意可知21211004(2)4(1)(24)0(3)(3)0242(2)39011m m m m m x x m m m m ⎧⎪≠−+≠⎧⎪⎪Δ>⇔−−++>⎨⎨⎪⎪−−<+−⎩+×+<⎪++⎩解之得()5, 1m ∈−−例5．（1）解：2220x ax a −−≤即(2)()0x a x a −+≤∴12x a =，2x a =−当12x x > 即2a a >−, a ＞0时，解集为[－a ,2a ] 当12x x =即2a =－a , a =0时，原不等式为20x ≤，解集为{}0 当12x x <即2a a <−, a ＜0时，解集为[]2,a a −。

人教版-数学-高一-必修一-1.3-7-一元二次不等式与分式不等式的解法.

含有一个未知数，且未知数最高次数为2的不等式。
一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二次不等式。
常见形式：
1, ax2 bx c＞0(a＞0)
2, ax2 bx c ＜0(a＞0)
3, ax2 bx c ＞0(a＜0)
4, ax2 bx+c ＜0(a＜0)
1.求函数y x2 4x 9的定义域.
2.若关于x的一元二次方程x2-(m+1)xm=0有两个不等实根，求m的取值范围.
3.
若不等式ax2
bx
2
0的解集是x
1 2
x
1 3
则a -12 , b -2 .
例3：解不等式 x2 2x 3 0 化正x2 2x 3 0
解一元二次不等式的基本步骤（1）化正——把二次项系数化成正数；
回顾：一元一次不等式的解法画图——求根——定范围
根据一次函数y=2x-8的图象，填空：当x =4 时，y=0；当x >4 时，y>0；解2x-8>0 当x <4 时，y<0.
1. 已知函数y=x2-5x
(1)画出函数的图像
(2)当x取何值时，y=0;
y
当x取何值是,y>0;
当x取何值时，y<0 ?
判别式 =b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c
（a>0）
>0 y
x1
x2 x
0 y
x x1=x2
<0 y
x
一元二次方程 ax2+bx+c=0
有两个相异的
实根x1，x2 x1<x2
有两个相等实根 x1=x2

含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（2）一元二次不等式的解法〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B→．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．（2）区间的概念及表示法①设,a b是两个实数，且a b<，我们规定满足a x b≤≤的实数x的集合叫做闭区间，记做[,]a b；满足a x b<<的实数x的集合叫做开区间，记做(,)a b；满足a x b≤<，或a x b<≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b；a b，(,]的实数x的集合分别记做满足,,,≥>≤<x a x a x b x b+∞+∞-∞-∞．a ab b[,),(,),(,],(,)（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x是整式时，定义域是全体实数．②()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．例1：已知函数1()2f x x =+，（1）求函数的定义域；（2）求(3)f -，2()3f 的值；（3）当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值。

一元二次不等式的解法(第三课时)

题型与解法
（二）二次不等式的恒成立例1 已知关于x下列不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 恒为非负 ∈R都成立 ≥0对任意x ≥ 0恒成立， ≥0的解集为R 试求a的取值范围. 解：令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,
①当a=2时，y=1符合题意； ②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
解： (3) ∵两根都小于1,
0 m 1 2 f (1) 0
m 6或m 2 即 m 2 2 m 4 0
x=m/2
x1
x2 1
∴ m≤ -6.
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m≤-6}.
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
0 f (0) 0
m 6或m 2 即 t;3.
x2
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m>3}.
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合： (3)两根都小于1;
题型与解法
（一）含参数的二次不等式例5 解关于x下列不等式：a2x2 – ax – 2 >0.
例6 解关于x下列不等式：x2 +ax +4 >0.
例7 解关于x下列不等式：ax2 – (a+1)x +1 >0.
题型与解法
归纳小结（一）含参数的二次不等式解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R), 把讨论对象逐级讨论，逐步解决。
一元二次不等式的解法
（第三课时）
含参数的不等式

高中数学 1.3 绝对值不等式的解法课件新人教B版选修4

标
(1)作出函数 f(x)的图象；(2)解不等式 f(x)>2.
课
堂
课
互
时
动
作
探
业
究
菜单
RB ·数学选修4-5
4，x≤4，【解】 (1)f(x)＝12－2x，4<x≤8，
课前
堂
课
互动
为 f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)，当然|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．如
时作
探
业
究果 f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值符号．
菜单
RB ·数学选修4-5
解下列不等式：
课前
(1)(2011·江苏高考)x＋|2x－1|<3；
当堂
自
双
达标
【自主解答】 ①当 x<0 时，原不等式可化为－2x＋1<
－x＋1，解之得 x>0，与 x<0 矛盾，此时无解；
课
堂互动
②当 0≤x<12时，原不等式可化为－2x＋1<x＋1，解之得
课时作
探
业
究 x>0，
又∵0≤x<12，从而有 0<x<12；
菜单
RB ·数学选修4-5
课
当
前
堂
自主导
③当 x≥12时，原不等式化为 2x－1<x＋1，
学
双基达标
∴x<2.
课
因此12≤x<2.
堂
课
互动
综合①，②，③知，原不等式的解集是{x|0<x<2}．

含绝对值不等式与一元二次不等式的解法

(a>0)的实根 x1，x2(x1<x2) x1＝x2＝－2ba
不等式 ax2＋bx＋c>0
有两相异实根有两相等实根
没有实根
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(a>0)的解集
{x|x<x1，或
x>x2}
R
不等式 ax2＋bx＋c<0
{x|x≠－2ba}
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也可以这样写：原不等式等价于
①x－＜x－－13，＋x＋1＜1 或 ②－－1x≤－x3＜－3，x＋1＜1 或 ③xx≥－33，－x＋1＜1，
①的解集为∅； ②的解集为{x|12＜x＜3}； ③的解集为{x|x≥3}， ∴原不等式的解集为{x|x＞12}．
综上：当 m＝0 时，原不等式的解集为 R；
当 m＞0 时，原不等式的解集为{x|－m2 ＜x＜m4 }；
当 m＜0 时，原不等式的解集为{x|m4 ＜x＜－m2 }．
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(2)若 a＝0，则原不等式等价于－x＋1＜0⇒x＞1；若 a＜0，则原不等式等价于(x－1a)(x－1)＞0⇒x＜1a，或 x＞1；若 a＞0，则原不等式等价于(x－1a)(x－1)＜0.(*) ①当 a＝1 时，1a＝1，所以不等式(*)的解集为∅； ②当 a＞1 时，1a＜1，所以由不等式(*)⇒1a＜x＜1； ③当 0＜a＜1 时，1a＞1，所以由不等式(*)⇒1＜x＜1a. 综上所述：当 a＜0 时，解集为{x|x＜1a，或 x＞1}；当 a＝0 时，解集为{x|x＞1}；当 0＜a＜1 时，解集为{x|1＜x＜1a}；当 a＝1 时，解集为∅；当 a＞1 时，解集为{x|1a＜x＜1}．

一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法

学科：数学年级: 高一期数:120一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法1.[知识要点]本节要求学生熟练掌握|ax+b|<c, |ax+b|>c(c>0)型和ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0) 型不等式的解法以及与此有关问题的解决.上述几种不等式的解法如下:(1) 型如|x|<a (a>0), |ax+b|<c (c>0)的解法:|x|<a (a>0)的解集是{x|-a<x<a}; |ax+b|<c(c>0) 的解集是{x|-c<ax+b<c},据此再求出原不等式的解集, 此处要注意讨论a的符号。

(2)型如|x|>a (a>0) , |ax+b|>c(c>0)的解法:|x|>a (a>0)的解集是{x|x>a,或x<-a};|ax+b|>c(c>0)的解集是{x| ax+b>c,或ax+b<-c}据此再求出原不等式的解集, 此处也要注意讨论a的符号.(3)一元二次不等式的解法:22, 型如ax2+bx+c<0(a<0) 可化成ax2+bx+c>0(a>0)后再求解.2. [典型例题]例1: 解不等式|4-2x|>7分析: 此不等式解法可参照|ax+b|>c(c>0)的解法.解: 原不等式等价于|2x-4|>7由此得2x-4>7,或2x-4<-7解得x>112, 或x<-32所以, 原不等式的解集是{x| x>112, 或x<-32}例2: 解不等式-x2+5x-6≥0分析: 首先把二次项系数变为正数, 然后再解.解: 两边都乘以-1, 得x2-5x+6≤0因∆>0,方程x2-5x+6=0的解是x1=2 x2=3所以, 原不等式的解集是{x|2≤x≤3}例3: m是何值时, 不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0 (m ≠ -1)对于任何x∈R都成立?分析: 由于m≠-1, 由此使此题转化为不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0的解集为R需要满足什么条件? 这里只需使∆≤0且m+1>0即可解: 因m≠-1且(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0对于任何x∈R都成立, 则只要满足∆=[-2(m-1)]2-4(m+1)⨯3(m-1) ≤0且m+1>0即可解这个不等式得m≥2所以, 当m≥2 时, 不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ````≥0(m≠-1) 对于任何x∈R都成立.3. [巩固训练](一) 选择题(1) 不等式|x-4|+1>0的解集是( )A. {x|x>5,或x<3}B. {x|3<x<4}C. RD. ∅(2) 下列一元二次不等式中, 解集为∅的是( )A. (x-3)(1-x)<0B. x2-2x+3<0C.(x+4)(x-1)<0D.2x2-3x-2>0(3) 不等式-|x-5|>-15的解集是( )A. {x|-10<x<20}B.{x|x<20}C.{x|x<-10或x>20}D. {x|x>-10}(4) 若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1}那么a的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4(5) 不等式1≤|x-3|≤6的解集是( )A. { x|-3≤x≤9}B. {x|x≤2或x≥4}C. {x|-3≤x≤4}D. {x|-3≤x≤2或4≤x≤9}(6)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A, 不等式x2+x-6<0的解集是B, 不等式x2+ax+b<0的解集是A⋂B, 那么a+b等于( )A. -3B. 1C. -1D. 3(二) 填空题:(7) 不等式x2+5x+m<0的解集是{x|-7<x<2},则m=______(8) 不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-1,或x>2}, 那么不等式ax2-bx+c>0的解集是_________(9) 不等式|x2-2x-3|>x2-2x-3的解集是_____________(10) 不等式x2-(a+1)x+a>0(a>1)的解集是___________(三) 解答题:(11) 解不等式|x-a|>2(12) 证明对于任何实数K, 方程x2-(k+2)x+2k=0有实根(13) 若不等式mx2+(2m+1)x+9m+4<0的解集为R, 求实数m的取值范围.(14) 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>04. 参考答案(一) 选择题(1) C (2) B (3) A (4) C (5) D (6) A(二) 填空题(7) -14 (8) {x|x>1或x<-2} (9) {x|-1<x<3} (10) {x|x>a或x<1}(三)解答题(11) 提示: 由|x-a|>2得x-a>2或x-a<-2解得x>a+2 或x<a-2 所以, 原不等式的解集为{x|x>a+2或x<a-2}(12) 提示: 因为∆=(k+2)2-4⨯2k=k2-4k+4=(k-2)2≥0对任何实数k都成立, 所以对任何实数k, 方程x2-(k+2)x+2k=0有实根(13) 提示: 分类讨论①当m=0时, 原不等式变为2x+4<0, 显然它的解集不是R,所以m=0不满足条件②当m≠0时, 只要满足∆=[2(m+1)]2-4m(9m+4)<0m<0即可, 解得m<-12由①②知, m<-12(14) 提示: 原不等式变形(x-a)(x-a2)>0①当a>1或a<0时, 有a2>a, 故原不等式解集为{x|x>a2或x<a}②当0<a<1时, 有a2<a, 故原不等式解集为{x|x>a或x<a2}③当a=0或a=1时, 有a2=a, 故原不等式解集为{x|x≠a}.。

第三课时一元二次不等式及其解法1

解不等式①： ∵方程x2＋2x＝0的两根为x1＝－2，x2＝0， ∴不等式x2＋2x>0的解集为{x|x<－2或x>0}．
• 解不等式②： • ∵方程x2＋2x－3＝0的两根为x3＝－3，x4＝1 ， • ∴不等式x2＋2x－3≤0的解集为{x|－3≤x≤1}． • 故原不等式的解集为 { x | x < － 2 或 x >0 }∩{ x | － 3≤x≤1}＝{x|－3≤x<－2或0<x≤1}．
• 迁移变式1 解不等式－3x2＋6x>2.
解：整理得3x2－6x＋2<0. 因为Δ>0，方程3x2－6x＋2＝0的解是 3 3 x1＝1－ 3 ，x2＝1＋ 3 . 所以，原不等式的解集是 3 3 {x|1－ <x<1＋ }． 3 3
• • • •
[例2] 解下列关于x的不等式： (1)x2－(a2＋a)x＋a3>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. [ 分析] 在(1) 中，显然有两根 a和 a 2 ，因而只需要以两根的大小作为分类标准即可；而在 (2) 中，首先它不一定是一元二次不等式，即使是也不一定有二次项系数大于零，因此应首先以二次项系数与零的大小为分类标准进行分类讨论，转化为标准形式后，还应考虑判别式与零的大小，再就是两根的大小关系．
• 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y
6
0
－4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
• 5．解不等式－1<x2＋2x－1≤2.

一元二次不等式及绝对值不等式的解法

解析（1）若a=0时，解为x>0.
（2）若a>0时，Δ=4-4a2.
①当Δ>0时，即0<a<1时，
方程ax2-2x+a=0的两根为 1 1 a，2
所以不等式的解集为
a
{1x| 1 a2 <x<1 1 a2 };
a
a
②当Δ=0，即a=1时，x∈ ；
③当Δ<0，即a>1时，x∈ .
（3）若a<0时，
为(ax-1)(x+1)<0，然后根据a的不同取值进行分类讨论，与不等式的解集进行比较，确定a 的值.
解析
axx又11其<解 0集为(a(-x∞-1,-)1(x)∪+1()<01. ,+∞)，
2
可知a<0，
故(ax-1)(x+1)<0 (x1- )(x+1)>0.
a
结合原不等式的解集，有故填-2.
故填{x|0<x<2}.
题型二含绝对值不等式
例2 (2009·重庆卷）不等式|x+3|-|x-
1|≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为（） A A.（-∞，-1］∪［4，+∞) B.（-∞，-2］∪［5，+∞) C.［1，2］ D.（-∞，1］∪［2，+∞）
（方法二）求|x+3|-|x-1|的最值时，还可以利用绝对值不等式求解.绝对值不等式是 |a|-|b|≤||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,只要利用其中
⑧.. 或{xx|x＞＜xx2}1
等实根无实根
x1=x2= b
⑨
{.x|x≠

含绝对值不等式与一元二次不等式的解法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

解下列绝对值不等式： (1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋1|＋|x－2|>4.
解析：
[变式训练] 1.已知一次函数f(x)＝ax－2. (1)当a＝3时，解不等式|f(x)|<4. (2)解有关x旳不等式|f(x)|<4. 解析： (1)若a＝3，则f(x)＝3x－2. ∴|f(x)|<4 |3x－2|<4 －4<3x－2<4
解析： (1)∵Δ＝42－4×2×3＝16－24＝－8<0. ∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根．
解析： (1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为3>0，
此类问题主要是将一元二次方程旳根，一元二次不等式旳解集以及二次函数旳图象结合起来，来处理问题．即一元二次方程根旳分布转化为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数旳值域问题来求解．
1．不等式|x－4|＋1>0旳解集是( )
A．{x|x>5或x<3}
B．{x|3<x<4}
C．R
D．
答案： C
2．不等式3＋2x－x2>0旳解集为( )
A．{x|－1<x<3} B．{x|x<－1，或x>3}
C．{x|－3<x<1} D．{x|x<－3，或x>1}
解析： 3＋2x－x2>0 x2－2x－3<0 (x＋1)(x－3)<0 －1<x<3.
3．解含参数旳一元二次不等式环节： (1)二次项若具有参数应讨论是等于0、不不小于0、还是不小于0，然后将不等式转化为二次项系数为正旳形式． (2)判断方程旳根旳个数，讨论鉴别式Δ与0旳关系． (3)拟定无根时可直接写出解集，拟定方程有两个根时，要讨论两根旳大小关系，从而拟定解集旳形式．

第1章 1.3 绝对值不等式的解法

作出函数图象(如图)，当x∈时，y≤0，所以原不等式的解集为.
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式可从以下三个方面去解： (1)零点分段讨论法设数轴上与a，b对应的点分别是A，B，以A，B为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集. (2)利用|x－a|的几何意义 |x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差. (3)(构造函数法)数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题关键. [再练一题] 2.解不等式|x＋1|＋|x－2|＜4.
5
【导学号：38000009】【解】当x＜－1时，不等式化为－x－1＋2－x＜4，解得－＜x＜－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋2－x＜4，解得－1≤x≤2；当x＞2时，不等式化为x＋1＋x－2＜4，解得2＜x＜. 所以原不等式的解集为. 含参数的绝对值不等式的综合问题已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 【精彩点拨】
8
(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设 a＜b，于是f(x)＝这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想. (3)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式，此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2 ⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0. 解不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0. 【精彩点拨】去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式. 【自主解答】法一：原不等式可化为 |2x＋1|＞2|x－1|， ∴(2x＋1)2＞4(x－1)2，解得x＞，∴原不等式的解集为. 法二：当x≤－时，原不等式可化为－1－2x＋2(x－1)＞0，整理得－3＞0，无解；当－＜x≤1时，原不等式可化为2x＋1＋2(x－1)＞0，整理得4x－1＞0，即x＞，∴＜x≤1；当x＞1时，原不等式可化为2x＋1－2(x－1)＞0，整理得3＞0.此时不等式的解集为x＞1. ∴原不等式的解集为∪{x|x＞1}＝. [构建·体系]

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法优秀课件

a2x+b2－b2x ≥ a2x+b2(1－x)2 +2abx (1－x) (a2+b2－2ab) x2 － (a2－b2+2b2－2ab) x ≤0 （a－b)2(x2－x) ≤0 y
O
1
x
所求不等式的解集为: {x｜0 ≤x ≤1}
回练习
课堂小结
思考题
简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法
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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法
例1、已知集合A＝｛x｜｜x｜＜1｝，B＝
｛x｜｜5－2x｜＞5｝，则A∩B＝
例题示范
解：由题意可知，集合A是不等式｜x｜＜1的解集，又
由｜x｜＜1 －1＜x＜1有：A＝（－1，1）（如图）同理，可求B＝（－∞，0）∪（5，＋∞）（如图）。 0 x
y
O
x1 x2
y x
O
x x＝－b／2a
回封页
填表
练习
简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
y
O
x1 x2
y x
O
x x＝－b／2a
回封页
填表
练习
简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法
到例3
练习2
练习3
到表思考题
课堂小结
练习3、 (1998年高考题)设a≠b，解关于x 的不等式：
a2x+b2(1－x）≥［a x＋b（1－x）］2 。
解：∴ a2x+b2(1－x)≥［a x＋b(1－x)］2
又∵ a≠b，∴ （a－b)2 ＞ 0 故由（a－b)2(x2－x) ≤0 x2－x ≤0 x (x－1) ≤0 见右图有:

一元二次不等式和简单高次不等式的解法

C.
6
4.已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为(1,+∞)，则关
于x的不等式(ax-b)(x-2)＜0的解集是
{x|-1＜x＜2} .
【解析】由题设，得a＞0，b=-a， ∴不等式(ax-b)·(x-2)＜0，可化为(x+1)(x-2)＜0，解得-1＜x＜2.
2019/2/2
7
5.不等式(x+3)(x+1)2(x-1)(x-2)(x2+x+1)≤0的解集是
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3.如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取值范围是 (
C
)
A．-1≤k≤0
C．-1＜k≤0
B．-1≤k＜0
D．-1＜k＜0
【解析】若k=0时,不等式为-2＜0，对x∈R成立, ∴k=0. 若k≠0时，则k＜0,Δ＜0，-1＜k＜0.
故-1＜k≤0
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根为x1，x2且x1＜x2.
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3 7 故a、b的取值范围分别为［- ，-2］，［-3, ］. 2 2
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【小结】关于二次不等式的求解问题，要注意利用“三个二次”之间的联系(如一元二次不等式的解区间端点是对应二次方程的根)，结合二次函数的图象、数轴和韦
达定理等知识灵活求解.
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基础训练
1．设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( A) A．{x|1≤x≤2或3≤x≤4} B．{1，2，3，4} C．{x|1≤x≤4} D．R 【解析】∵A={x|1≤x≤4}， B={x|x≤2或x≥3}， ∴A∩B= {x|1≤x≤2或3≤x≤4}.