输出反馈极点配置ppt
状态反馈和极点配置
为了根据期望的闭环极点位置来设计输出反馈矩阵h的参数，只需将期望的 系统特征多项式与该输出反馈系统特征多项式 hC) 相比较即可。
15
输出反馈到参考输入
设被控对象的状态方程为 x Ax Bu
y Cx
输出量反馈到参考输入时， u=r-hy，则该输出反馈系统的动态
方程为 x (A BhC)x Bv
为
0 0 1
Q [ B AB A2 B ] 0
1
6
1
6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的，可任意
配置极点。
下面用两种方法求解。
11
极点配置 例1
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多项式，求特征值。
7
极点配置定理_充分性
a0 k0 a0 a1 k1 a1
an1
kn1
a n1
求解上述方程组，得到 ki 的值，则
K KP1 [k0 k1
kn 1 ]P 1
[ a0 a0 a1 a1
an1 an1 ] P1
如果系统是状态完全可控的，则通过对应于上式所选取的矩阵K，可任意 配置所有的特征值。
充分性得证。
8
极点配置定理_必要性
即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。 现利用反证法证明。 先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK 的特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设原线性系统 x Ax Bu 状态不可控，则其可控性矩阵的 秩小于n，即
rank[ B AB An1B ] q n
◆考察系统的可控性条件。如果系统是状态完全可控的，则可按下列步骤继续。
输出反馈
C H
T
T
(5-15)
(5-15）是一个q个未知量，n个方程的方程组，而 是 任意的n维向量，它由所期望的极点所决定。
方程（5-15）对任意的 有解，显然要求 C 是n×n可逆方阵。
一般来说当q<n 时，对于任意 ，（5-15）无解。
对于给定的 ，方程（5-15）有解的条件是它们 相容，亦即当C的秩为q时，q个方程的唯一解应满足 剩下的n-q个方程。这时，这n-q个等式给出了加在
用静态输出反馈配置极点 首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态 输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是 用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入 多输出系统动态方程为
Ax bu x y Cx
（5-11）
(5-12)
u=Hy+v
联合（5-11）和（5-12）可得闭环系统的动态方程为
i
i , i 0 使得扰动后的S非奇异，由于 C 的秩为q，
这总是可以做到的。式（5-17）给出了H的一个明显 表达式，并且 i H i 是给定的 1 , 2 ,, q 的函数， i S非奇异，则可精确地使闭环 如果所给的 能使
全维状态观测器及其设计
状态观测器 状态估计器 状态重构
^
2n阶复合系统：
. x . A ^ L HC x
y C
Bk x B ^ v A Bk HC L x B
x 0 ^ x
ˆ x x ( A Hc )( x x ) L 由(1)-(2):
3. 分离定理： . cx 原系统 x Ax Bu y ^ 引入状态反馈： u v k x
x Ax Bk x Bv, y cx . ^ ^ ^ 全维观测器：
极点配置问题-24页PPT资料
CC T c1
0 1
0
b
..
0
... n1
1
5.2 极点配置问题
2) 加入状态反馈增益阵
K k 0 ,k 1 ,.k n . 1 .
x (AbK)xbu
ycx
0
1
0
AbK
0
0
0 ... 0
0
1
(a0k0) (a1k1) ... (an1kn1)
i 1
f * ( ) 是期望特征多项式.
* i
是期望的闭环极点.
5.2 极点配置问题
若 0 状态完全能控,必存在非奇异变换
x Tc1x
将 0 化为能控标准型
x A x b u
y cx
0 1
0
A
0
0
0 ...
0
0
1
a0
a1
...
an1
KK
5.2 极点配置问题
状态反馈极点配置的步骤:
1 将原系统化为能控标准型 x Tc1x
2 求出原系统的特征多项式的系数 i.i1,2,.n..1
3 求出期望特征多项式的系数 i*.i1,2,..n.1
4 使闭环极点与给定的期望极点相等
K [0 0 * ,1 1 * ,.n . 1 .n * 1 ]
5 求出原系统的增益阵K
K KTc11
x (A B)x K b,y v cx
5.2 极点配置问题
例题５－２的另一种解法.
w(s)
10
s(s1)(s2)
输出反馈极点配置
第五章静态输出反馈、观测器和静态输出反馈观测器和动态补偿器§5-1静态输出反馈和极点配置一、静态输出反馈的性质若给定线性时不变系统方程为=+=A B C xx u y x （5-1）若取静态输出反馈控制律u =K y +v （5-2)可以得到闭环系统的动态方程为(),(53)A BKCBC xx v y x =++=−(),=++=A BKC B C xx v y x xCBvyx∫AK闭环系统结构图）不改变系统的可观测性定理5-1反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。
证明根据等式()−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤I A BCK IBK I A s s (5-4)0=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦C I C (54)由于（5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此）式右端第个矩阵是非奇异阵，因此对任意的s 和K ，均有⎡()(55)s s rank rank −+−⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦I A BKC I A C C 证完。
可见，系统（A +BKC , C ）可观测的充分必要条件）可观测这表明是系统（A , C ）可观测。
这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。
）不可观测由（55）可知如果系统（A , C ）不可观测，由（5-5）可知，静态输出反馈不会改变系统的不可观测模态。
推论：u =K y +v 的反馈律不改变系统的可控性。
把中看作态馈证明：把（A +BKC ）中的KC 看作是状态反馈增益阵，而状态反馈不改变系统的可控性。
证完。
二、循环矩阵定义：称为是循环的系指其最小多项式1. 循环矩阵的定义:n ×n 方阵A 称为是循环的，系指其最小多项式就是特征多项式。
等价的提法有：1).s I −A 的Smith 标准形只有一个非1的不变因子；2)A 的若当形中一个特征值只有一个若当块2).A 的若当形中一个特征值只有一个若当块。
特别地，有：1A A ）若的所有特征值互异，则为循环阵。
为循环矩阵则存在向量b 2)若A 为循环矩阵，则存在向量b , 使221,,,,,−−"b Ab A b Ab Abn n A b n 可张成一个维空间，即(,)可控。
第13讲 反馈与极点配置
➢ 状态反馈闭环系统的系统结构可如图5-1所示
vu
+
B
x'
+
-
+
A
x
y
C
开环系统
K
图5-1 状态反馈系统的结构图
状态反馈的描述式(2/3)
u=-Kx+v 状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下:
➢ 设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为
x Ax Bu
y
Cx
u Kx v
其中K为rn维的实矩阵,称为状态反馈矩阵;v为r维的输入向 量,亦称为伺服输入。
❖ 该问题称为系统鲁棒性问题。
❖ 基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁 棒控制方法。
下面,本章将就这些系统综合的主要问题,如 ➢ 极点配置、 ➢ 镇定、 ➢ 解耦与 ➢ 观测器问题,
基于状态反馈理论作细致讨论。
概述(12/12)
5.1 状态反馈与输出反馈
状态反馈与输出反馈(1/3)
控制理论最基本的任务是,对给定的被控系统设计能满足所 期望的性能指标的闭环控制系统,即寻找反馈控制律。
➢ 状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈 策略,其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以 构成反馈律,实现对系统的闭环控制,以达到期望的对系 统的性能指标要求。
➢ 在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成 反馈律,即输出反馈。
➢ 在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态 变量来构成反馈律,即状态反馈。
rank[I-A+BK B]=n
来判定,而
r[I -A BK
B] r [I -A
I B] K
0IBiblioteka r[I-A
6.2 反馈控制和极点配置 共64页
其中
[K1 K2]KPc
状态反馈极点配置定理(9/11)
由上式可知,状态完全不能控子系统的系统矩阵 A~22的特征 值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。 虽然状态完全能控子系统的 A~11的特征值可以任意配 置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 A 的特
2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
p2 p1
p3
反馈控制与极点配置(4/5)
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统 x AxBu
确定反馈控制律 uKxv
使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为
被控系统(A,B,C)状态完全能控。
□
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。
即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。
由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形。
由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不
改变系统的状态能观性。
SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法。
输出反馈极点配置
第五章静态输出反馈、观测器和静态输出反馈观测器和动态补偿器§5-1静态输出反馈和极点配置一、静态输出反馈的性质若给定线性时不变系统方程为=+=A B C xx u y x （5-1）若取静态输出反馈控制律u =K y +v （5-2)可以得到闭环系统的动态方程为(),(53)A BKCBC xx v y x =++=−(),=++=A BKC B C xx v y x xCBvyx∫AK闭环系统结构图）不改变系统的可观测性定理5-1反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。
证明根据等式()−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤I A BCK IBK I A s s (5-4)0=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦C I C (54)由于（5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此）式右端第个矩阵是非奇异阵，因此对任意的s 和K ，均有⎡()(55)s s rank rank −+−⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦I A BKC I A C C 证完。
可见，系统（A +BKC , C ）可观测的充分必要条件）可观测这表明是系统（A , C ）可观测。
这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。
）不可观测由（55）可知如果系统（A , C ）不可观测，由（5-5）可知，静态输出反馈不会改变系统的不可观测模态。
推论：u =K y +v 的反馈律不改变系统的可控性。
把中看作态馈证明：把（A +BKC ）中的KC 看作是状态反馈增益阵，而状态反馈不改变系统的可控性。
证完。
二、循环矩阵定义：称为是循环的系指其最小多项式1. 循环矩阵的定义:n ×n 方阵A 称为是循环的，系指其最小多项式就是特征多项式。
等价的提法有：1).s I −A 的Smith 标准形只有一个非1的不变因子；2)A 的若当形中一个特征值只有一个若当块2).A 的若当形中一个特征值只有一个若当块。
特别地，有：1A A ）若的所有特征值互异，则为循环阵。
为循环矩阵则存在向量b 2)若A 为循环矩阵，则存在向量b , 使221,,,,,−−"b Ab A b Ab Abn n A b n 可张成一个维空间，即(,)可控。
状态空间极点配置设计 ppt课件
微分控制可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高， 同时加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统 的动态性能。
应用PID控制，必须适当地调整比例放大系数KP，积分时间TI 和微分时间TD，使整个控制系统得到良好的性能。
ppt课件
23
5.2.3.2 离散化
PID控制器在连续-时间工业控制系统中是由硬件设备实现的。 而在计算机控制系统中，PID控制器是通过计算机PID控制算法 程序实现的。
474212频率畸变现象的预防2tan221122222ttieeeeteetititititititi??????????????????????????2tan2tt?????????????????1212tan221ttt????11ppt课件与?的非线性关系双线性变换造成的频率畸变12ppt课件由47式可知在0处没有频率畸变并且t小时畸变也小
以改进闭环系统的性能。假定离散时间控制器形式如下：
u(kT) M~uc (kT) L~x(kT)
（4.15）
可以采用离散状态空间的极点配置设计方法来实现上述
离散时间控制器（后续章节详细讨论）。这里讨论的是，
如何使用近似方法把（4.14）式控制器转换成离散时间
形式。
ppt课件
15
用连续时间控制器（5.14）式来控制连续系统（5.12）式， 得到的闭环系统为：
x(k 1) x(k) u(k)
ppt课件
5
4.2.1.1 差分法和双线性变换法
连续控制器D(s)在时间域里用微分方程来表示，把微分运算用 等效差分来近似，就可得到逼近微分方程的差分方程。
等效差分有前向差分、后向差分等方法。前向差分法又称为 欧拉法，是用前向差分近似导数：
(第11讲)极点配置与状态反馈
Ao P 1 AP, bo P 1b, co cP
第一能观标准型 四川理工自动化教研室
tgq77@
Review
SISO系统第二能控、能观标准型
第二能控标准型 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Ac 0 0 0 1 0 , b c 0, cc b0 b1 b2 b3 b4 0 0 0 0 1 0 a0 a1 a2 a3 a4 1 1 n 1 1 cAn 1
•在外扰下无静差跟踪。如使状态和控制的 二次型积分函数最小，即最优控制。
J (x, u) xT Qx uT Ru dt
0
四川理工自动化教研室
tgq77@
SISO系统的极点配置：问题表述
已知系统方程
x Ax bv y cx
* * 1 , * ,, * 和n个期望闭环极点值 2 n
A
y
四川理工自动化教研室
tgq77@
Review
0 1 Ac 0 0 0
SISO系统第一能控、能观标准型
T Qc b Ab An 1b
第一能控标准型
Ao
0 0 0 a0 1 Ac T 1 AT , b c T 1b, c c cT 0 0 0 0 a1 1 0 0 a2 , b c 0, c c 1 2 3 4 5 0 1 0 a3 0 0 0 0 1 a4 T T T T P 1 Qo c cA cAn1 A ,b c ,c b
u
B
x
A
H
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Step5.对{A,B}，任意指定n个实部为负期望闭环特征
值 {1*，*2，，*n1 }，按多输入情形极点配置算法，计
算 p n 镇定状态反馈矩阵K，计算停止。
三、状态反馈动态解耦
1、系统和假定
(1)受控系统为方系统，即输入变量和输出变量具有相同个 数，即p＝q 。
(2)控制规律取为“状态反馈”结合“输入变换”形式，
yˆi (s) gii (s)vˆi (s)，i 1,2,..., p
三、状态反馈动态解耦
3、系统的结构特征量（结构特性指数 & 结构特性向量）
一、输出反馈极点配置
3、输出反馈极点配置 结论3【输出反馈极点配置】对完全能控和完全能观测n维 LTI受控系统，设 rankB p，rankC q ，采用输出反 馈：U v FY ，可对数目为 min{n,p q 1} 的闭环系统极点 进行“任意接近”式配置，即使其可任意地接近任给的期望 极点位置。
又由于 (s) 0 (s) 0 的根为开环传递函数：
c(sI A)1b (s) / (s)
的极点与零点。
再由根轨迹法可知，闭环极点只能分布于以开环极点为起 点、开环零点与无穷远为终点，当输出反馈系数f 0 和
f 0 - 时在复平面上导出的一组根轨迹线段上，而不能 位于根轨迹以外。
1*，*2，，*n
确定一个反馈矩阵F，使输出反馈闭环系统：
X (A BFC)X Bv Y CX
的所有特征值实现期望配置，即有： i (A BFC) *i，i 1,2,..., n
一、输出反馈极点配置
2、输出反馈局限性
结论1【输出反馈局限性】对完全能控的连续时间LTI受控 系统，采用输出反馈一般不能任意配置系统全部极点
4、扩大输出反馈配置功能的途径
二、状态反馈镇定
1、问题的属性 属于极点区域配置问题，要求将极点全部配置到复平面的左 半开平面。
2、问题的提法 考虑连续LTI受控系统，状态方程为：
X Ax Bu，x(0) x0 , t 0
所谓状态反馈镇定就是，找到一个状态反馈型控制率：
u Kx v，v为参考输入
u v fy v fcx
只能使闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能配置到根轨 迹以外位置上。 【证明】导出闭环系统传递函数：g f (s) c(sI Abfc)1b ，以 及闭环系统特征多项式：a f (s) det(sI cA(sIbfcA) )1b (s) / (s) 推导得：a f (s) det(sI A bfc) det(sI A) det[I (sI A)1bfc]
U KX Lv
v
L
U B
X C Y
A K
(3) 输入变换矩阵L为非奇异，即有 det L 0
三、状态反馈动态解耦
2、问题的提法 GKL (s) C(sI A BK )1 BL
（1）对于多输入多输出连续时间线性时不变受控系统，所 谓动态解耦控制就是，寻找一个输入变换和状态反馈矩阵
A12 ]，B A
C
PB
[BC ]，其中dim 0
AC
n1，dim
A c
n2
Step3.判断 {Ac, Bc}，任意指定 n个1 实部为负期望闭环特征值
{1*，*2，，*n1 }，按多输入情形极点配置算法，计算 p n1 极点配置状态反馈矩阵 K1
二、状态反馈镇定
Step4.计算 p n 镇定状态反馈矩阵 K [K1,0]P ，计算
二、状态反馈镇定
4、镇定算法 给定n维LTI受控系统{A,B}，设其满足可镇定条件，要求综 合 p n 镇定状态反馈矩阵K。
Step1.判断{A,B}能控性。若完全能控跳至Step5；否则进入下
一步。
Step2.对{A,B}构造按能控性分解变换矩阵 P-1，计算：
A PAP1 [ AC 0
det(sI A) det[1 fc(sI A)1b]
令：(s) det(sI A), (s) cb 得： f (s) (s) f (s)
一、输出反馈极点配置
续： 根据闭环系统特征多项式得出输出反馈闭环极点为方程
的根。
(s) f (s) 0
使得所导出的状态反馈闭环系统
x (A BK)x Bv
为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部
二、状态反馈镇定
3、可镇定条件
结论1【可镇定的充要条件】连续时间LTI受控系统可由 状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为渐近稳定。
结论2【可镇定的充分条件】连续时间LTI受控系统可由 状态反馈镇定的一个充分条件是系统为完反馈和输出反馈闭环系统的关系得：FC K 其中，F为 p q 维矩阵，K为 p n 维矩阵，而一
般 q n ，从而一般不存在F使得等式 FC K成立。
一、输出反馈极点配置
2、输出反馈局限性 结论2【输出反馈局限性】对完全能控单输入单输出连续 时间线性时不变受控系统，采用输出反馈：
{L R pp , K R pn} ，使所导出的闭环系统传递函数矩阵
GKL (s) 为非奇异对角有理分式矩阵，即：
GKL
(
s)
C
(sI
A
BK
)1
BL
g11
(
s)
g pp (s)
gii (s) 0,i 1,2,..., p
（2）问题的实质。在整个时间区域内，把一个p输入p输出 的耦合系统，化为p个独立的单输入单输出系统，且一个输 出y由且仅由一个输入v所控制
输出反馈极点配置 状态反馈镇定 状态反馈解耦
一、输出反馈极点配置
主要内容：输出反馈在极点配置上的局限性
1、问题的提法 考虑能控多输入多输入连续时间线性时不变受控系统：
X AX BU，X Rn，U R p Y CX，Y Rq
输出反馈型控制率： U FY v 所谓输出反馈极点配置就是，对任意给定期望极点组：