输出反馈极点配置ppt
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现代控制系统课件第5章
由等式两边 同次幂系数对应相等．可解出反馈阵各系数：
于是得
ki
i
* i
(i 0,1,
, n 1)
K
[0
* 0
,1
1*,
,
n1
] *
n1
2021/1/4
25
4)最后，把对应于 x的K ，通过如下变换，得到对应于状态 x的K ：
K KTcl 1
这是由于 u v Kx v KTcl 1x 的缘故。
镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况， 它只要求闭环极点配置在根平面的左侧，而并 不要求将极点严格地配置在期望的位置上。
2021/1/4
36
定理5.3.1对系统o (A, B,C)，采用状态反馈能
镇定的允要条件是其不能控子系统为渐近稳定。
证明 (1)设系统 o (A, B,C)不完全能控，因此通
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于是得
ki
i
* i
(i 0,1,
, n 1)
K
[0
* 0
,1
1*,
,
n1
] *
n1
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4)最后，把对应于 x的K ，通过如下变换，得到对应于状态 x的K ：
K KTcl 1
这是由于 u v Kx v KTcl 1x 的缘故。
镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况， 它只要求闭环极点配置在根平面的左侧，而并 不要求将极点严格地配置在期望的位置上。
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定理5.3.1对系统o (A, B,C)，采用状态反馈能
镇定的允要条件是其不能控子系统为渐近稳定。
证明 (1)设系统 o (A, B,C)不完全能控，因此通
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状态反馈与输出反馈
闭环系统的状态能控性q由状态能控性模态判据定理33被控系统??abc采用状态反馈后的闭环系统??kabkbc的能控性可由条件rank??iabkbn??来判定而0rrriiabkbiabiabki??????????????????????上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性
Ch.6 线性系统综合
下面分别讨论两种闭环系统的
状态能控性
状态能观性
闭环系统的状态能控性(1/1)
1. 闭环系统的状态能控性
由状态能控性模态判据(定理3-3),被控系统(A,B,C)采用状态 反馈后的闭环系统K(A-BK,B,C)的能控性可由条件 rank[I-A+BK B]=n 来判定,而
v + u B + + A H 开环系统 x'
x C
y
图6-2 输出反馈系统的结构图
输出反馈的描述式(2/3)
输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为
x Ax Bu y Cx u Hy v
u=-Hy+v y=Cx
概述(7/12)
系统综合问题,无论是对优化型还是非优化型性能指标函数, 首先存在2个主要问题。 一个是控制的存在性问题,即所谓可综合条件、控制规律 存在条件。 显然,只有对可综合的问题,控制命题才成立,才有必 要去求解控制规律。 对不可综合的问题,可以考虑修正性能指标函数,或 改变被控系统的机理、结构或参数,以使系统可综合 条件成立。
Ch.6 线性系统综合
下面分别讨论两种闭环系统的
状态能控性
状态能观性
闭环系统的状态能控性(1/1)
1. 闭环系统的状态能控性
由状态能控性模态判据(定理3-3),被控系统(A,B,C)采用状态 反馈后的闭环系统K(A-BK,B,C)的能控性可由条件 rank[I-A+BK B]=n 来判定,而
v + u B + + A H 开环系统 x'
x C
y
图6-2 输出反馈系统的结构图
输出反馈的描述式(2/3)
输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为
x Ax Bu y Cx u Hy v
u=-Hy+v y=Cx
概述(7/12)
系统综合问题,无论是对优化型还是非优化型性能指标函数, 首先存在2个主要问题。 一个是控制的存在性问题,即所谓可综合条件、控制规律 存在条件。 显然,只有对可综合的问题,控制命题才成立,才有必 要去求解控制规律。 对不可综合的问题,可以考虑修正性能指标函数,或 改变被控系统的机理、结构或参数,以使系统可综合 条件成立。
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
输出反馈至状态微分
反馈的形式
输出反馈至参考输入
一、 单输入-单输出系统的极点配置
定理 利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控。
证 明： （1）充分性：
若系统( ，
)可控, 则通过非奇异线性变换
可变换为可控
标准形
式中
用状态反馈配置系统闭环极点
引入状态反馈
其中
续
则引入状态反馈后闭环系统的状态阵为
输出内反馈及状态可观测性
若加上状态反馈
则S：
此时系统可控不可观。
用状态反馈配置系统闭环极点
用输出内反馈进行极点配置
一、用输出内反馈对系统进行极点配置
定理: 由输出至 的反馈任意配置极点的充要条件是原系统能观．
定理: 输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性,但可能 改变系统的可控性。
输出内反馈及状态可观测性
状态反馈
设有
维线性定常系统
一、状态反馈
加入状态反馈后的系统结图
反馈的形式
系统的控制量
取为状态变量的线性函数，
称之为状态反馈。
二、输出反馈
输出反馈的目的使系统闭环成为稳定系统, 进一步改善闭环系统性能。
输出反馈有两种形式：一种是将输出量反馈至状态微分,另一种是将输出量
反馈至参考输入。
目录
1.线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响 2.系统的极点配置 3.全维状态观测器及其设计 4.分离特性
反馈的形式
输出反馈至参考输入
一、 单输入-单输出系统的极点配置
定理 利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控。
证 明： （1）充分性：
若系统( ，
)可控, 则通过非奇异线性变换
可变换为可控
标准形
式中
用状态反馈配置系统闭环极点
引入状态反馈
其中
续
则引入状态反馈后闭环系统的状态阵为
输出内反馈及状态可观测性
若加上状态反馈
则S：
此时系统可控不可观。
用状态反馈配置系统闭环极点
用输出内反馈进行极点配置
一、用输出内反馈对系统进行极点配置
定理: 由输出至 的反馈任意配置极点的充要条件是原系统能观．
定理: 输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性,但可能 改变系统的可控性。
输出内反馈及状态可观测性
状态反馈
设有
维线性定常系统
一、状态反馈
加入状态反馈后的系统结图
反馈的形式
系统的控制量
取为状态变量的线性函数，
称之为状态反馈。
二、输出反馈
输出反馈的目的使系统闭环成为稳定系统, 进一步改善闭环系统性能。
输出反馈有两种形式：一种是将输出量反馈至状态微分,另一种是将输出量
反馈至参考输入。
目录
1.线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响 2.系统的极点配置 3.全维状态观测器及其设计 4.分离特性
极点配置与状态观测器课件
影响。
通过状态观测器的实时反馈，可 以实现对极点配置的在线优化和
调整。
二者结合的优势与挑战
优势
极点配置和状态观测器相结合，可以充分发挥各自的优势，实现系统性能的最优控制。
挑战
二者的结合需要考虑到系统的复杂性和实际运行环境，设计合理的控制策略和算法，以实现最 优的控制效果。
案例分析
案例一
1. 无人机控制系统的特点
极点配置与状态观测器的重要性
极点配置是控制系统设计的重要环节，通过对系 统进行极点配置，可以有效地改善系统的性能和 稳定性。
状态观测器是实现系统状态估计的重要手段，通 过对系统状态进行观测，可以获得对系统运行状 态的准确估计。
课程目标
掌握极点配置与状态观测器的基本原理和方法。 01
熟悉极点配置与状态观测器在控制系统设计和分 02 析中的应用。
3. 通过计算或仿真验证，确保系统稳定 且满足性能指标。
2. 选择合适的极点，确保满足系统要求。
步骤 1. 根据系统要求，确定所需的响应特性。
极点配置的算法实现
01 根据选择的极点，利用拉普拉斯变换或Z变换等方
法，对系统进行建模并求解。
02 根据求解结果，利用编程语言实现极点配置算法，
并验证其正确性和有效性。
值
对电力系统的状态进行实时监测 和估计，及时发现故障和异常情
况
通过状态观测器的实时反馈，可 以实现对极点配置的在线优化和
调整。
二者结合的优势与挑战
优势
极点配置和状态观测器相结合，可以充分发挥各自的优势，实现系统性能的最优控制。
挑战
二者的结合需要考虑到系统的复杂性和实际运行环境，设计合理的控制策略和算法，以实现最 优的控制效果。
案例分析
案例一
1. 无人机控制系统的特点
极点配置与状态观测器的重要性
极点配置是控制系统设计的重要环节，通过对系 统进行极点配置，可以有效地改善系统的性能和 稳定性。
状态观测器是实现系统状态估计的重要手段，通 过对系统状态进行观测，可以获得对系统运行状 态的准确估计。
课程目标
掌握极点配置与状态观测器的基本原理和方法。 01
熟悉极点配置与状态观测器在控制系统设计和分 02 析中的应用。
3. 通过计算或仿真验证，确保系统稳定 且满足性能指标。
2. 选择合适的极点，确保满足系统要求。
步骤 1. 根据系统要求，确定所需的响应特性。
极点配置的算法实现
01 根据选择的极点，利用拉普拉斯变换或Z变换等方
法，对系统进行建模并求解。
02 根据求解结果，利用编程语言实现极点配置算法，
并验证其正确性和有效性。
值
对电力系统的状态进行实时监测 和估计，及时发现故障和异常情
况
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置
1.前言
随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了
广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。状态反馈控制能够将系统的状态
进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的
目的。本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理
状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。状态反馈控制的
基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：
- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使
得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器
再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统
按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制
状态空间模型是状态反馈控制的基础。状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行
为和控制器的模型。对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：
x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T
其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
工程控制原理 第3章 状态反馈与伺服控制
1(n1 n2 )
1
2(n1n2 )
1(n1 n2 )
1
2(n1n2 )
β
11
21
1n1 2 n1
1(n1 1) 2(n1 1)
1(n1n2 ) 2(n1n2 )
Γ
1
12
1
Kc
kc11 kc 21
β
11
21
kc1n1 kc 2 n1
kc1(n1 1) kc2(n1 1)
《工程控制原理》（现代部分）
第3章 状态反馈与伺服控制
《现代控制理论》课程
本章重点
状态反馈与极点配置 通用控制结构“状态观测+状态反馈” 分环结构的多变量伺服控制
3.1 状态反馈与状态观测
状态反馈与极点配置 状态观测器与分离定理
状态反馈与极点配置
经典控制：反馈优势、可以采用简单控制器 未考虑中间变量、选择输出反馈
Βιβλιοθήκη Baidu
系统完全能控：即特征值完全能控， 可通过反馈修改，从而极点任意配置
极点任意配置：等效于性能任意配置 状态比例反馈：最简单的控制器
这也在某种意义下从理论上证 明了，反馈调节原理试图以最 简单的“比例控制”实现复杂 系统具有高性能的要求是可以 做到的，只是需要采取“状态” 的比例反馈，这也再次说明了 状态变量的重要性
状态观测器与分离定理
现代控制理论 极点配置
−
=
=
,
−
= −
1 1
18 −14
（6）状态反馈增益
ഥ − = − 25 9
=
−
1
18
1
−14
−3
= −5.6
24
7.8
−3
24
5.2
极点配置问题
算法2 给定线性定常系统 ሶ =A+B 和一组期望的闭环极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ 确定状
5.2
极点配置问题
三.单输入单输出系统状态反馈极点配置的算法
算法1 给定线性定常系统ሶ =A+B 和一组期望的闭环极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ 确定状
态反馈矩阵K，实现极点配置的算法如下:
1. 判断系统的能控性，若系统完全能控则继续下一步。
2. 计算受控系统矩阵A的特征多项式，即 − = + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0
⋱
…
⋯
ഥ
ഥ = =
取
ഥ
ഥ− = ∗ −
⋯
ഥ = − A
0
⋮
1
−−1
0
ഥ = − = ⋮
0
1
∗ −
ഥ = =
输出反馈极点配置
第五章
静态输出反馈、观测器和静态输出反馈观测器和
动态补偿器
§5-1静态输出反馈和极点配置
一、静态输出反馈的性质
若给定线性时不变系统方程为
=+=A B C x
x u y x （5-1）
若取静态输出反馈控制律u =K y +v （5-2)
可以得到闭环系统的动态方程为
(),(53)
A BKC
B
C x
x v y x =++=−
(),=++=A BKC B C x
x v y x x
C
B
v
y
x
∫
A
K
闭环系统结构图
）不改变系统的可观测性定理5-1反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。证明根据等式
()−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤
I A BCK I
BK I A s s (5-4)0
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
C I C (54)
由于（5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此）式右端第个矩阵是非奇异阵，因此对任意的s 和K ，均有
⎡()(55)
s s rank rank −+−⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
I A BKC I A C C 证完。可见，系统（A +BKC , C ）可观测的充分必要条件）可观测这表明是系统（A , C ）可观测。这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。
）不可观测由（55）可知如果系统（A , C ）不可观测，由（5-5）可知，静态输出反馈不会改变系统的不可观测模态。推论：u =K y +v 的反馈律不改变系统的可控性。把中看作态馈证明：把（A +BKC ）中的KC 看作是状态反馈增益阵，而状态反馈不改变系统的可控性。证完。
二、循环矩阵
定义：称为是循环的系指其最小多项式1. 循环矩阵的定义:
反馈的基本概念与分类(共59张PPT)
7.2.1 负反馈放大电路的方框图
2. 信号的单向化传输
信号的正向 传输
Xs 变 换 网 络 Xi +
X id 基 本 放 大 X o
K –
电 路 A
Xf
单向化
反馈网络 F
信号的反向 传输
7.2.1 负反馈放大电路的方框图
3. 开环时反馈网络的负载效应
对输入口的影响
考虑到输入端的负载效 应时，应令输出量为0。 （电压－短路：电流－开
所以
A FS
X o X s
X o X i / K
KAF
对信号源的增益
7.2.2 负反馈放大电路增益的一般表达式
1. 表达式推导
Xs
K Xi + Xid
A
Xo
–
Xf
F
信号 X在四种反馈阻态中的具体形式
电压串联 电压并联 电流串联 电流并联
X id
Vid
Iid
Vid
Iid
X i
Vi
I i
Vi
I i
P295表7.3.2
为改善性能引入负反馈的一般原则
• 要稳定直流量—— 引直流负反馈
• 要稳定交流量—— 引交流负反馈
• 要稳定输出电压—— 引电压负反馈
• 要稳定输出电流—— 引电流负反馈 • 要增大输入电阻—— 引串联负反馈 • 要减小输入电阻—— 引并联负反馈
极点配置
* * K = a0 −a0 a* −a L an−1 −an−1 1 1
[
]
极点配置
镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况。 镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况。 镇定只要求闭环极点配置在复数平面的左半平面 不必配置在具体指定的位置。 内，不必配置在具体指定的位置。即镇定只要求 闭环极点都具有负的实部。 闭环极点都具有负的实部。
实例： 实例：倒摆控制
& & 选择状态变量： 选择状态变量： x1 = y, x2 = y, x3 = θ , x4 = θ
系统状态方程为： 系统状态方程为：
0 & x1 0 & x2 = & x3 0 x4 & 0 1 0 mg 0 − M 0 0 g 0 l 0 0 1 0 x1 x2 + M u (t ) 1 x3 0 x 1 0 4 − Ml
利用MATLAB进行辅助运算 进行辅助运算 利用
4、求能控性和能观性矩阵： 、求能控性和能观性矩阵： Qc=ctrb(A,B) Qo=obsv(A,C)
Qc = 1 0 -3 7 16 36 Qo = 1 -1 15 2 9 31 1 4 13
-1 -16 -86
5、求矩阵的秩 、 rank(Qc)
u = sin z
[
]
极点配置
镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况。 镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况。 镇定只要求闭环极点配置在复数平面的左半平面 不必配置在具体指定的位置。 内，不必配置在具体指定的位置。即镇定只要求 闭环极点都具有负的实部。 闭环极点都具有负的实部。
实例： 实例：倒摆控制
& & 选择状态变量： 选择状态变量： x1 = y, x2 = y, x3 = θ , x4 = θ
系统状态方程为： 系统状态方程为：
0 & x1 0 & x2 = & x3 0 x4 & 0 1 0 mg 0 − M 0 0 g 0 l 0 0 1 0 x1 x2 + M u (t ) 1 x3 0 x 1 0 4 − Ml
利用MATLAB进行辅助运算 进行辅助运算 利用
4、求能控性和能观性矩阵： 、求能控性和能观性矩阵： Qc=ctrb(A,B) Qo=obsv(A,C)
Qc = 1 0 -3 7 16 36 Qo = 1 -1 15 2 9 31 1 4 13
-1 -16 -86
5、求矩阵的秩 、 rank(Qc)
u = sin z
(完整版)极点配置与状态观测器
x~ x A EC x~ x
观测器设计问题也是个 极点配置问题!
v
u
-
K
6.3 状态观测器
x
x
y
B
∫
C
+
A
+
E
B
+ x~ ∫ x~ C ~y -
+
A
观测器
6.3 状态观测器 需要面临两个问题：
1. 状态反馈配置的极点是否受影响； 2. 观测器配置的极点是否受影响。
感谢大家对本人的支持！ 祝愿大家研究生期间 充实、快乐！
2 1
0
Re
λA
1 3i
6.2 极点配置
sys=ss(A,B,C,D) [y,t,x]=step(sys,10); plot(t,y)
6.3 状态观测器
6.3 状态观测器
v
uB
x
x
y
∫
C
-
+
A
状态 观测器
~x
K
6.3 状态观测器
用 ~x 代替 x
自然要求：
x~ x
渐近意义下： lim~x x 0 t
6.2 极点配置
零输入响应：
xt eAt x0
x0
1 0
x1 t x2 t
2et 2et
e2t 2e2t
x1t 2et e2t
观测器设计问题也是个 极点配置问题!
v
u
-
K
6.3 状态观测器
x
x
y
B
∫
C
+
A
+
E
B
+ x~ ∫ x~ C ~y -
+
A
观测器
6.3 状态观测器 需要面临两个问题：
1. 状态反馈配置的极点是否受影响； 2. 观测器配置的极点是否受影响。
感谢大家对本人的支持！ 祝愿大家研究生期间 充实、快乐！
2 1
0
Re
λA
1 3i
6.2 极点配置
sys=ss(A,B,C,D) [y,t,x]=step(sys,10); plot(t,y)
6.3 状态观测器
6.3 状态观测器
v
uB
x
x
y
∫
C
-
+
A
状态 观测器
~x
K
6.3 状态观测器
用 ~x 代替 x
自然要求：
x~ x
渐近意义下： lim~x x 0 t
6.2 极点配置
零输入响应：
xt eAt x0
x0
1 0
x1 t x2 t
2et 2et
e2t 2e2t
x1t 2et e2t
自动控制原理控制系统分析与设计-状态空间方法2——综合与设计
det0
s
0
1
1
0
0
k1
k2
k3
0 0 s 0 1 3 0
s3 ( k1 3 )s2 ( k2 2k1 2 )s ( k3 3k2 3k1 6 )
而系统希望的特征多项式为
f * ( s ) ( s 1 )( s 2 )( s 3 ) s3 5s2 17s 13
x xˆ
引入线性变换
x
xˆ e
In
I
n
0 x
I
n
xˆ
得
x xˆe
A
BK 0
A
BK H
C
x xˆ e
B 0
r
y C
0
x xˆ e
28
极点配置的分离性原理
带状态观测器的状态反馈系统的特征多项式为
detsI
A
BK 0
BK A HC
det( sI A BK )det( sI A HC )
xˆ 3 x3
结论：存在扰动 时，即使模型准 确，也不能保证 状态变量的误差
→0
45
有模型误差时观测器状态变量的收敛性
受控对象模型失配：
1.02 时发散
1 1 0 1
x 1
1
0
x
0
u
0 1 3 0
受控对象模型
极点配置
rank[ B AB An1 B ] q n
则必有状态变量与控制u无关，因此，不可能实现全状态反馈， 则不可控子系统的特征值就不能任意配置。所以，为了任意 配置矩阵A-BK的特征值，此时系统必须是状态完全可控的。 必要性得证。
极点配置的算法
给定线性定常系统
Ax Bu ，若线性反馈控制律为 x
则 a1 6, a2 5, a3 1
s 3 a1 s 2 a 2 s a3 0
期望的特征方程为 ( s 2 j 4)(s 2 j 4)(s 10) s 3 14s 2 60s 200
* * 60, a3 200 则 a1* 14, a2
0 0 1 Ac P AP 0 an 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a1 0 0 1 Bc P B 0 1
an 1 an 2
如果系统是状态完全可控的，则通过对应于上式所选取 的矩阵K，可任意配置所有的特征值。 充分性得证。
极点配置定理_必要性
即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。 现利用反证法证明。 先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK 的特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设原线性系统 状态不可控，则其可控性矩阵 Ax Bu x 的秩小于n，即
第六章状态反馈与状态观测器
状态反馈（增 益）矩阵
r×n
参考输入， r×1 维矩阵
5
6.1 状态反馈和输出反馈
代入可得，状态反馈系统： = (A - BK)x + Bv x
y = (C - DK)x + Dv
2、基本结构
D
v
—
u
x
B +
∫
A
x
y
C
—
原系统
K
状态反馈控制律：
u v Kx
闭环状态反馈系统
6
6.1 状态反馈和输出反馈 若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则： = (A - BK)x + Bv x
例6.2、 已知系统状态方程为
2, 1 j1 。
0 1 0 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1
试设计状态反馈控制器，使闭环极点为
0 0 1 0 1 3 2 解：（1）判断系统能控性 Qc B AB A B 1 2 4 rankQc n 3
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
16
6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获 得所希望的动态性能。
r×n
参考输入， r×1 维矩阵
5
6.1 状态反馈和输出反馈
代入可得，状态反馈系统： = (A - BK)x + Bv x
y = (C - DK)x + Dv
2、基本结构
D
v
—
u
x
B +
∫
A
x
y
C
—
原系统
K
状态反馈控制律：
u v Kx
闭环状态反馈系统
6
6.1 状态反馈和输出反馈 若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则： = (A - BK)x + Bv x
例6.2、 已知系统状态方程为
2, 1 j1 。
0 1 0 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1
试设计状态反馈控制器，使闭环极点为
0 0 1 0 1 3 2 解：（1）判断系统能控性 Qc B AB A B 1 2 4 rankQc n 3
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
16
6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获 得所希望的动态性能。
状态反馈与闭环极点配置条件-自动控制原理
1 2 3 1
15
解： 状态反馈系统的特征多项式为
f ( s ) det[ sI A BK ] s3 ( k1 3 )s2 ( k2 2k1 2 )s ( k3 3k2 3k1 6 ) 而系统希望的特征多项式为 f * ( s ) ( s 1 )3 s3 3s2 3s 1
17
仿真结果：零状态响应
x3
r( t ) 1( t ) x2
x1
18
程序：ac8no2
仿真结果：零输入响应
x3
x2
10
初始状态
x( 0
)
0.5
x1
1
19
例：设系统的状态方程为
x
1 0
1 2
x
11u
极点为 1，2
能否通过状态反馈任意配置系统的闭环极点？ 若不能任意配置，试确定哪些极点无法改变。
令 f * ( s ) f ( s ) 得 k1 6 , k2 17 , k3 64
所以状态反馈阵为 K 6 17 64
16
比较反馈前后的状态传递函数
无反馈时 X ( s ) G( s )U ( s ),
G( s ) ( sI
A )1 B
1
( s 1 )( s 3 ) s3
23
三、状态观测器及状态反馈
为何需要状态观测器？
状态反馈需要状态信息，而状态变量一般不能 直接测量，可利用状态观测器来估计系统状态 目标:利用受控系统可直接测量的输出 y(t)和
15
解： 状态反馈系统的特征多项式为
f ( s ) det[ sI A BK ] s3 ( k1 3 )s2 ( k2 2k1 2 )s ( k3 3k2 3k1 6 ) 而系统希望的特征多项式为 f * ( s ) ( s 1 )3 s3 3s2 3s 1
17
仿真结果：零状态响应
x3
r( t ) 1( t ) x2
x1
18
程序：ac8no2
仿真结果：零输入响应
x3
x2
10
初始状态
x( 0
)
0.5
x1
1
19
例：设系统的状态方程为
x
1 0
1 2
x
11u
极点为 1，2
能否通过状态反馈任意配置系统的闭环极点？ 若不能任意配置，试确定哪些极点无法改变。
令 f * ( s ) f ( s ) 得 k1 6 , k2 17 , k3 64
所以状态反馈阵为 K 6 17 64
16
比较反馈前后的状态传递函数
无反馈时 X ( s ) G( s )U ( s ),
G( s ) ( sI
A )1 B
1
( s 1 )( s 3 ) s3
23
三、状态观测器及状态反馈
为何需要状态观测器？
状态反馈需要状态信息，而状态变量一般不能 直接测量，可利用状态观测器来估计系统状态 目标:利用受控系统可直接测量的输出 y(t)和
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又由于 (s) 0 (s) 0 的根为开环传递函数：
c(sI A)1b (s) / (s)
的极点与零点。
再由根轨迹法可知，闭环极点只能分布于以开环极点为起 点、开环零点与无穷远为终点，当输出反馈系数f 0 和
f 0 - 时在复平面上导出的一组根轨迹线段上，而不能 位于根轨迹以外。
{L R pp , K R pn} ，使所导出的闭环系统传递函数矩阵
GKL (s) 为非奇异对角有理分式矩阵，即：
GKL
(
s)
C
(sI
A
BK
)1
BL
g11
(
s)
g pp (s)
gii (s) 0,i 1,2,..., p
（2）问题的实质。在整个时间区域内，把一个p输入p输出 的耦合系统，化为p个独立的单输入单输出系统，且一个输 出y由且仅由一个输入v所控制
1*，*2，，*n
确定一个反馈矩阵F，使输出反馈闭环系统：
X (A BFC)X Bv Y CX
的所有特征值实现期望配置，即有： i (A BFC) *i，i 1,2,..., n
一、输出反馈极点配置
2、输出反馈局限性
结论1【输出反馈局限性】对完全能控的连续时间LTI受控 系统，采用输出反馈一般不能任意配置系统全部极点
二、状态反馈镇定
4、镇定算法 给定n维LTI受控系统{A,B}，设其满足可镇定条件，要求综 合 p n 镇定状态反馈矩阵K。
Step1.判断{A,B}能控性。若完全能控跳至Step5；否则进入下
一步。
Step2.对{A,B}构造按能控性分解变换矩阵 P-1，计算：
A PAP1 [ AC 0
det(sI A) det[1 fc(sI A)1b]
令：(s) det(sI A), (s) cb 得： f (s) (s) f (s)
一、输出反馈极点配置
续： 根据闭环系统特征多项式得出输出反馈闭环极点为方程
的根。
(s) f (s) 0
U KX Lv
v
L
U B
X C Y
A K
(3) 输入变换矩阵L为非奇异，即有 det L 0
三、状态反馈动态解耦
2、问题的提法 GKL (s) C(sI A BK )1 BL
（1）对于多输入多输出连续时间线性时不变受控系统，所 谓动态解耦控制就是，寻找一个输入变换和状态反馈矩阵
u v fy v fcx
只能使闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能配置到根轨 迹以外位置上。 【证明】导出闭环系统传递函数：g f (s) c(sI Abfc)1b ，以 及闭环系统特征多项式：a f (s) det(sI cA(sIbfcA) )1b (s) / (s) 推导得：a f (s) det(sI A bfc) det(sI A) det[I (sI A)1bfc]
停止
Step5.对{A,B}，任意指定n个实部为负期望闭环特征
值 {1*，*2，，*n1 }，按多输入情形极点配置算法，计
算 p n 镇定状态反馈矩阵K，计算停止。
三、状态反馈动态解耦
1、系统和假定
(1)受控系统为方系统，即输入变量和输出变量具有相同个 数，即p＝q 。
(2)控制规律取为“状态反馈”结合“输入变换”形式，
一、输出反馈极点配置
3、输出反馈极点配置 结论3【输出反馈极点配置】对完全能控和完全能观测n维 LTI受控系统，设 rankB p，rankC q ，采用输出反 馈：U v FY ，可对数目为 min{n,p q 1} 的闭环系统极点 进行“任意接近”式配置，即使其可任意地接近任给的期望 极点位置。
4、扩大输出反馈配置功能的途径
二、状态反馈镇定
1、问题的属性 属于极点区域配置问题，要求将极点全部配置到复平面的左 半开平面。
2、问题的提法 考虑连续LTI受控系统，状态方程为：
X Ax Bu，x(0) x0 , t 0
所谓状态反馈镇定就是，找到一个状态反馈型控制率：
u Kx v，v为参考输入
使得所导出的状态反馈闭环系统
x (A BK)x Bv
为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部
二、状态反馈镇定
3、可镇定条件
结论1【可镇定的充要条件】连续时间LTI受控系统可由 状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为渐近稳定。
结论2【可镇定的充分条件】连续时间LTI受控系统可由 状态反馈镇定的一个充分条件是系统为完全能控 （完全能控系统必定可以由状态反馈任意配置全部极点）
输出反馈极点配置 状态反馈镇定 状态反馈解耦
一、输出反馈极点配置
主要内容：输出反馈在极点配置上的局限性
1、问题的提法 考虑能控多输入多输入连续时间线性时不变受控系统：
X AX BU，X Rn，U R p Y CX，Y Rq
输出反馈型控制率： U FY v 所谓输出反馈极点配置就是，对任意给定期望极点组：
yˆi (s) gii (s)vˆi (s)，i 1,2,..., p
三、状态反馈动态解耦
3、系统的结构特征量（结构特性指数 & 结构特性向量）
A12 ]，B A
C
PB
Hale Waihona Puke Baidu
[BC ]，其中dim 0
AC
n1，dim
A c
n2
Step3.判断 {Ac, Bc}，任意指定 n个1 实部为负期望闭环特征值
{1*，*2，，*n1 }，按多输入情形极点配置算法，计算 p n1 极点配置状态反馈矩阵 K1
二、状态反馈镇定
Step4.计算 p n 镇定状态反馈矩阵 K [K1,0]P ，计算
【证】由状态反馈和输出反馈闭环系统的关系得：FC K 其中，F为 p q 维矩阵，K为 p n 维矩阵，而一
般 q n ，从而一般不存在F使得等式 FC K成立。
一、输出反馈极点配置
2、输出反馈局限性 结论2【输出反馈局限性】对完全能控单输入单输出连续 时间线性时不变受控系统，采用输出反馈：