2-2、数列的递推公式

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(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：5.1.2数列中的递推含解析

5.1.2 数列中的递推必备知识·素养奠基1.数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).数列递推公式与通项公式有什么区别和联系? 提示: 不同点相同点通项公式可根据某项的序号,直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所有的项2.数列的前n 项和(1)定义:一般地,给定数列{a n },称S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 为数列{a n }的前n 项和.(2)关系:a n =1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)递推公式不能用来表示数列. ( )(2)所有的数列都有递推公式. ( )(3)由公式a n+1=a n-2(n≥1)可写出数列{a n}的所有项.( )(4)若数列{a n}满足a n+1=a n,则该数列是常数列. ( )提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.(3)×.还需知道数列中至少一项的值.(4)√.该数列每一项都相同.2.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n+n,则a3的值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由a1=1,a n+1=a n+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.3.已知数列{a n}满足a1<0,=2(n∈N+),则数列{a n}是________数列(填“递增”或“递减”).【解析】由已知a1<0,a n+1=2a n(n∈N+),得a n<0(n∈N+).又a n+1-a n=2a n-a n=a n<0,所以数列{a n}是递减数列.答案:递减关键能力·素养形成类型一由递推公式写数列的项【典例】1.数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N+),那么a4的值为( )A.4B.8C.15D.312.已知数列{a n},a1=1,a2=2,a n=a n-1+a n-2(n≥3),则a5=________.3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,a n+1=a n+(2n-1)(n∈N+);(2)a1=1,a n+1=(n∈N+);(3)a1=3,a n+1=3a n-2(n∈N+).【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.【解析】1.选C.因为数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N+),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.答案:83.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以a n=(n-1)2.(2)因为a1=1,a2=,a3==,a4=,a5==,所以a n=.(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32,a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,所以a n=1+2×3n-1.【内化·悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.【类题·通】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【习练·破】设数列{a n}满足写出这个数列的前五项. 【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=1+=.类型二由递推公式求通项公式角度1 累加法【典例】在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln,求数列的通项公式a n. 【思维·引】将递推公式整理为a n+1-a n=f(n),累加求通项公式.【解析】a n+1-a n=ln=ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…a n-a n-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),以上各式相加得a n=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)].所以a n=2+ln n(n≥2).因为a1=2也适合上式,所以a n=2+ln n.【素养·探】在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+(n≥2)”,求数列的通项公式.【解析】因为a n=a n-1+(n≥2),所以a n-a n-1==-,所以a1=1,a2-a1=-,a3-a2=-,a4-a3=-,…a n-a n-1=-.所以a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a n-a n-1)=1+(-)+(-)+(-)+…+(-)=-+1.当n=1时a1=1也适合上式,所以a n=-+1.角度2 累乘法【典例】设数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1(n≥2),求数列的通项公式a n.【思维·引】将递推公式整理为=f(n),累乘求通项公式.【解析】因为a1=1,a n=a n-1(n≥2),所以=,a n=×××…×××a1=×××…×××1=.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以a n=.【类题·通】1.用“累加法”求数列的通项公式当a n-a n-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项a n.2.用“累乘法”求数列的通项公式当=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用a n=···…··a1累乘来求通项a n.【习练·破】已知数列{a n}中,a1=1,当n∈N+且n≥2时,(2n+1)a n=(2n-3)a n-1,求通项公式a n.【解析】当n≥2时,因为(2n+1)a n=(2n-3)a n-1,所以=,所以···…··=···…··=.所以=,所以a n=,当n=1时符合上式,所以a n=,n∈N+.【加练·固】若a1=2,a n+1=a n,求该数列{a n}的通项公式.【解析】由a n+1=a n,可得=,则a n=···…··a1=···…··2=,n=1时,a1=2也满足上式,所以a n=.类型三数列相关概念的应用角度1 S n与a n的关系【典例】已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,求通项公式a n.【思维·引】利用前n项和S n与通项公式a n的关系求通项公式. 【解析】因为S n=n2-9n,所以n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以a n=2n-10(n∈N+).【素养·探】本例中,若S n=n2-9n+1,试求通项公式a n.【解析】因为S n=n2-9n+1,所以n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.所以a n=(n∈N+).角度2 数列的单调性【典例】已知函数f(x)=(x+1)(x∈R),设数列{a n}的通项公式a n=f(n)(n∈N+).(1)试探究数列{a n}的项的增减有何规律.(2)求该数列的最大项.【思维·引】(1)利用a n,a n+1之间的关系进行判断.(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.【解析】(1)a n=f(n)=(n+1).所以a n+1-a n=(n+2)-(n+1)=,当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.则a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>….所以数列{a n}的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.(2)由(1)可知,数列{a n}有最大项,为第9项和第10项.a9=a10=10×.【内化·悟】数列{a n}的通项a n=f(n),如何求数列{a n}的最大项?提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据a n=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{a n}的最大项.【类题·通】1.关于S n与a n的关系数列{a n}的前n项和S n与通项公式a n的关系为a n=求通项公式时注意两个方面,一是书写a n=S n-S n-1要注明n≥2,因为当n=1时,S n-1无意义;二是要验证n=1时a1=S1是否适合a n=S n-S n-1.2.数列单调性的判断方法根据定义判断:若a n+1>a n,则{a n}是单调递增数列;若a n+1<a n,则{a n}是单调递减数列;若a n+1=a n,则{a n}是常数列.作差法:若a n+1-a n>0,则数列{a n}是单调递增数列;若a n+1-a n<0,则数列{a n}是单调递减数列;若a n+1-a n=0,则数列{a n}是常数列.3.求数列的最大项和最小项的方法方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.方法二:解不等式(组):设a n是最大项,则有对任意n∈N+且n≥2均成立,解不等式组即可.【习练·破】1.数列{a n}中,a n=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是( )A.107B.108C.108D.109【解析】选B.由已知,得a n=-2n2+29n+3=-2+108,由于n∈N+,故当n取距离最近的正整数7时,a n取得最大值108.所以数列{a n}中的最大值为a7=108.2.若数列{a n}的前n项和S n=n2+1,则a4=________,通项公式a n=________.【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,a n==.答案:7【加练·固】数列{a n}的通项公式为a n=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,a n有最小值?并求出最小值.【解析】(1)令a n=n2-5n+4<0,得1<n<4,n∈N+,所以数列中仅有两项a2,a3是负数.(2)a n=n2-5n+4=-,其对称轴为n=,又n∈N+,所以n取2,3时,a n有最小值-2.课堂检测·素养达标学1.符合递推关系式a n=a n-1的数列是( )A.1,2,3,4,…B.1,,2,2,…C.,2,,2,…D.0,,2,2,…【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式a n=a n-1.2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则数列{a n}为( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性【解析】选 B.因为a n==2+,所以n≥2时,a n-a n-1=2+-2-=-<0,所以a n<a n-1,所以数列{a n}为递减数列.3. 已知数列{a n}满足a n=4a n-1+3,且a1=0,则a5=________.【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:2554.已知数列{a n}中,a1=2,a n=-(n≥2),则a2020=________.【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,所以{a n}的周期为2,所以a2 020=a2=-.答案:-【新情境·新思维】两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为a n,则当n≥3时,a n和a n+1满足( )A.a n+1=4a n-3nB.a n+1=4a n-1C.a n+1=2a n+1D.a n+1=2a n+n【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为a n,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需a n次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需a n次,故总次数为a n+1=2a n+1.。

高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式人教A版必修5

(1)“基础”——数列{an}的第 1 项或前几项; (2)递推关系——数列{an}的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.如果两个条件缺一个,数列就不能确定. 2.数列递推公式的主要题型: (1)根据数列的递推公式和第 1 项(或其他项)求数列的前几项; (2)根据数列的递推公式求数列的通项公式.
第2课时数列的递推公式
课程目标
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列增减性的方法. 2.知道递推公式是给出数列的一种形式. 3.能够根据递推公式写出数列的前几项.
学习脉络
递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或
前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2).当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}的一个
通项公式为 an=2n-1,an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是单调递增数列.
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
探究四
探究一判断数列的单调性
数列的单调性一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来判断,具体为: an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}单调递增;
an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}单调递减.
探究一
探究二
探究三
探究四

高中数学第二课时-数列的递推公式

第二课时数列的递推公式课标要求素养要求1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.新知探究历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.第一个月，只有1对兔子；第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；问题1过了一年之后，会有多少对兔子？提示我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.问题2 兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n 项a n ，第n ＋1项a n ＋1，第n ＋2项a n ＋2有何关系？提示 a n ＋a n ＋1＝a n ＋2.1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 2.数列的前n 项和(1)数列{a n }的前n 项和：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(2)数列的前n 项和公式：如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式. 3.a n 与S n 的关系式 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.拓展深化[微判断]1.数列{a n }中，若a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 2＝2a 1.(√)2.利用a n ＋1＝2a n ，n ∈N *可以确定数列{a n }.(×) 提示只有给出a 1的值，才可以确定数列{a n }.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1.(×) 提示 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[微训练]1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1，∴a 8＝29－1＝511. 答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.[微思考]1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？提示 (1)“基础”，即第1项(或前几项)； (2)递推关系，即递推公式.2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？提示相同点不同点通项公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项给出n 的值，可求出数列中的第n 项a n 递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n 项a n题型一由数列的递推公式求数列的项【例1】若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，n ∈N *，求a 2 021.解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13， a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1， ∴{a n }是周期为4的数列， ∴a 2 021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.规律方法递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.【训练1】 (多选题)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，能使a n ＝3的n可以为( ) A.22 B.24 C.26D.28解析由a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，得a 2＝－14，a 3＝－43，a 4＝3.所以数列{a n }是周期为3的数列，故a 22＝a 28＝3. 答案 AD题型二由递推公式求数列的通项【例2】 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，n ∈N *，求通项a n ；(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .解 (1)当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×…×n －1n ＝1n . a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ，n ∈N *.规律方法形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式；形如a n ＋1a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法. 【训练2】设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n . 答案 1n题型三由S n 与a n 的关系求a n【例3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式. 解根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12， ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，n ∈N *.【迁移1】把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＋1＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.【迁移2】把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝2n －1，求数列{a n }的通项公式.解 ∵S n ＝2n －1，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1符合上式，∴a n ＝2n －1.规律方法已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.【训练3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n ＋3，求数列{a n }的通项公式. 解 ∵S n ＝2n 2＋n ＋3，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 当n ＝1时，a 1不符合上式， ∴a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2.一、素养落地1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.3.利用a n 与S n 的关系求通项所应用公式为a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，注意其步骤有三：①求n ＝1时的项，即a 1；②求n ≥2时a n 的表达式；③验证a 1是否满足n ≥2时的表达式. 二、素养训练1.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析由题知a 2＝12×1＋12＝1，a 3＝12×1＋14＝34. 答案 C2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推；D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.已知数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 对∀n ∈N *成立，且a 3＝12，则a 1＝________. 解析 ∵a 3＝2a 2＝12，∴a 2＝6，a 2＝2a 1＝6，∴a 1＝3. 答案 34.已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，则a 4＝________，猜想其通项公式是________.解析 ∵数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ＝1，2，3，…)，∴a 2＝a 11＋a 1＝12，同理可得a 3＝13，a 4＝14.猜想其通项公式是a n ＝1n . 答案 14 a n ＝1n5.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，求a n . 解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3(n －1)＝3，又a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3.基础达标一、选择题1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23解析由题知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23. 答案 D2.已知数列{a n }，a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，则a 1＋a 3的值为( ) A.4 B.5 C.6D.8解析由a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，可得a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1＋a 3＝4. 答案 A3.已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *).若数列{a n }是常数列，则a ＝( )A.－2B.－1C.0D.(－1)n解析 ∵数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝a 2－2a ＋1.∵数列{a n }是常数列，∴a ＝a 2－2a ＋1，解得a ＝－2.故选A.答案 A4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34D.33解析 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a 2＋a 18＝34. 答案 C5.设S n 为数列{a n }的前n 项和.若2S n ＝3a n －3，则a 4＝( ) A.27 B.81 C.93D.243解析根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n .当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，则a 4＝3a 3＝32a 2＝33a 1＝81. 答案 B 二、填空题6.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 57.已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 解析 a 1a 2…a 8＝82，① a 1a 2…a 9＝92，② ②÷①得，a 9＝9282＝8164. 答案 81648.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29×2＝210＝1 024. 答案 1 024 三、解答题9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *).解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9. 猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52. 猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14. 猜想a n ＝－1n (n ∈N *).10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式. (1)S n ＝3n ＋2；(2)S n ＝n 2－n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2)－(3n －1＋2) ＝2·3n －1，故a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n )－[(n －1)2－(n －1)]＝2n －2，又a 1＝0满足a n ＝2n －2，故a n ＝2n －2.能力提升11.已知各项不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0， ∴1a n －1a n －1＝1. ∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *).答案1n ＋112.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解 ∵a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，∴a 2－a 1＝11－12， a 3－a 2＝12－13， a 4－a 3＝13－14， …，a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，将以上n －1个式子相加，得∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，即a n －a 1＝1－1n (n ≥2，n ∈N *).∴a n ＝a 1＋1－1n ＝－1＋1－1n ＝－1n (n ≥2，n ∈N *)，又当n ＝1时，a 1＝－1也符合上式. ∴a n ＝－1n ，n ∈N *.创新猜想13.(多选题)已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，则下列结论正确的是( ) A.x 2 020＝a B.x 2 022＝a －b C.x 11＝x 2 021D.x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝2b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ， x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2， ∴{x n }是周期数列，周期为6， ∴x 2 020＝x 4＝－a ，A 不正确； x 2 022＝x 6＝a －b ，B 正确； x 2 021＝x 5＝x 11，C 正确；x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a ，D 正确. 答案 BCD14.(多选题)已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数，若a 4＝4，则m 所有可能的取值为( ) A.4 B.5 C.21D.32解析若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)，若a 1为偶数，则a 12＝2，a 1＝4；若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8；若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去). 若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 故m 所有可能的取值为4，5，32.答案ABD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

第2课时数列的通项公式与递推公式

1）可得
n
an+1-an=ln（1+ n1），利用累加法求通项.
【解析】因为a1=2，an+1=an+lnn1（1+ ），所以a2=a1+ln（1+1）=2+ln2, a3=a2+ln（1+12 ）=2+ln2+32ln =2+ln3, a4=a3+ln（1+13 ）=2+ln3+43ln =2+ln4. 可猜想an=2+lnn（n∈N*）.
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4.数列{an}满足
an+1=
1
1 an
,a8=2,则
a1=
1 2
.
【解析】由
an+1=
1
1 an
,可得
an=1-
1 an +1
,又
a8=2, 故
a7= 1 ,……依次下去得 a1= 1 .
2
2
5.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）3,5,7,9,11，….
=
1+
3 5
=
8 5
【即时练习】
在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n≥1）写出此数列的前六项.
【解题关键】通过观察，此题的递推公式是数列中相
邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.
【解析】a1=2，a2=3， a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5， a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9， a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.

2.1.2数列的递推关系

2.1.2数列的递推关系一、内容和内容解析数列是除数、形、三角、函数外又一个重要的数学概念，是数学发展的又一个重要主题.在第一节课的学习中学生已初步接触数列，了解了数列的基本概念，可以发现，数列的简单表示呼应数列是一种特殊函数，类比给出了三种不同的表示法：通项公式、列表法、图象法，而递推公式也是数列的一种表示方法.上一节课学生已经学习了用通项公式来表示数列，这一节课的重点是让学生进一步了解数列的另一种表示方法，即数列的递推关系.递推关系是数列所特有的表示方法，它表示的是数列的某一项和它的前一项或前若干项之间的关系，它紧密的联系着数列的通项，体现着数列项与项之间的某种关系.数列的递推关系同其通项公式的特点类似，即有些数列的递推关系是不唯一的，可以有不同形式.同函数一样，我们还可以根据数列的递推关系研究数列的性质，包括单调性、周期性等等.通过对数列递推关系的进一步研究，可以更好的体会到所有的事物虽在不断变化着，但在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律可循的，我们可以用递推的思想去研究这些变化.二、学生认知基础分析1．学生已有的经验和基础．(1)学生已经学习了函数的知识以及数列的基本概念及其简单表示，为这节课的学习奠定了一定的基础.而且学生在小学时就有了对数列知识的启蒙，比如根据前几项找一列数的规律，通过一列数写出某一项等等，这都蕴含着数列概念及表示法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素以及用代表性元素表示两者或多者之间关系的经验．(3)学生具有学习用递推关系表示一列数的心理需求.2．学生可能遇到的问题与困难．(1)对一列具有复杂规律的数难以直接寻求它们之间的关系.(2)对数列递推关系的理解只停留在表面，难以通过抽象的概念应用到实际问题中.(3)不善于把所有的数学知识形成一个自我的体系，不擅长联系旧知来学习新知，对数学概念的理解停留在表面.(4)由于数学思想的形成需要经历萌芽期、明朗期、成熟期，因此学生难以在一节课或几节课内深刻理解数列的精神实质.三、目标和目标解析结合教学指导意见和教学实际，制定教学目标如下：1.知识与技能：经历通过递推关系写通项公式、通过数列前几项写递推关系以及根据数列递推关系寻找数列的性质，掌握数列递推关系的基础知识和基本技能.2.数学思考：数学是一个融会贯通的整体，学会从函数的角度认识数列，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.3.问题解决：通过例题解析，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，了解并掌握数列简单表示方法的概念以及数列递推关系的应用.4.情感态度：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，强化数学应用意识.四、教学重点、难点重点：数列递推公式的认识与递推公式的应用难点：通过数列递推公式写数列通项公式及研究数列性质五、教学过程设计（一）复习引入，提出课题上一节课我们学习了数列的基本概念，我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，记为{}n a.把表示{}n a的第n项与序号n之间的关系式称为数列的通项公式.（1）在上图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.1a类比于函数，我们把这种数列的表示方法称为解析式法.=n3-n同样，除了解析式法，还可以用列表法、图象法来表示数列.列表法问题：写数列通项公式时，你最先发现这个数列的规律是？后一项是前一项的3倍，即)2(31≥=-n a a n n .我们把这种项与项之间的等式关系称为数列递推关系，它也是数列的一种表示方法.[设计意图] 通过具体例题回顾上一节的知识，从函数的角度类比数列的几种简单表示方法，引出新课内容.（二）分组练习，交流分享分组：分成四个小组，各自完成一道习题，相互交流讨论并选出一名发言人汇报讨论结果.巡视、点拨：了解学生的答题情况，对讨论过程中个别疑难处进行指导.1.根据数列的递推关系，写出数列的前五项并猜想这个数列的通项公式.（1）已知;2,111+==+n n a a a（2）已知;21,211n n a a a ==+ （3）已知);2(1,111≥+==-n a n n a a n n （4）已知.23,5,31221n n n a a a a a -===++[设计意图] 通过练习1让学生进一步体会根据数列的递推关系可以把数列的每一项都表示出来，利用分组练习充分发挥学生合作交流的能力，让学生“动n a 13-k起来”，让课堂“活起来”.2.（1）下面四个图形中的点数依次构成数列的前四项，请写出它的一个递推关系.（2）下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出它的一个递推关系.（3）已知数列的前四项分别为：1,2,6,15，请写出它的一个递推关系.[设计意图] 以图形的形式展现数列的前几项，寻找图形之间的关系从而写出数列的递推关系.以丰富的形式提高学生学习探究的兴趣，激发学生的求知欲.（三）例题解析，思维提升例1.已知正项数列{}n a 满足22,111+==+n n n a a a a . ①求;,,432a a a ②能否判断{}n a 的单调性？可否求证？[设计意图] 数列的递推关系的应用，先尝试通过递推关系写出前几项猜想数列的单调性，再根据数列的递推关系引导学生利用作差法、作商法求证猜想.通过这个例子培养学生大胆猜想，严谨求证的数学能力.例2.已知数列{}n a 满足,11,211n n a a a -==+则)(2016=a .2.A 21.B2.-C 1.-D [设计意图] 数列的递推关系的应用，让学生先通过递推关系写出数列的前几项发现规律，然后猜想第2016项，体会由数列的递推关系判断数列的周期性.找规律找周期性这类问题是学生从小学就开始接触的，这种熟悉的问题更易让学生动手尝试，从而达到知识拓展、思维提升的目的.归纳小结：数列递推关系的应用：①写出数列的通项公式；②判断数列的单调性；③周期性.（板书）[设计意图] 通过教师适当的点拨和小结，让学生站在更高层次去理解数学本质.（四）联系自然，课外拓展1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…提问：你能发现这个数列的规律吗？如果用n a 表示第n 个月的兔子的总对数，可以看出，)3(21≥+=--n a a a n n n这是一个由递推关系给出的数列，我们把这个数列称为斐波那契数列.拓展1：带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，通常顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条，恰为斐波那契数列的相邻两项，这样的螺旋被称为“斐波那契螺旋”，蒲公英和松塔就是以“斐波那契螺旋”的形式排列种子或鳞片的.拓展2：把相邻两项的比值看做一个新的数列，即⋯⋯+,,,2113,138,85,53,32,21,111n n a a当n 趋向于无穷大时，其比值趋向于618.0215≈-，即黄金比值. 故斐波那契螺旋又称为黄金螺旋.拓展3：神奇的是，飓风的卫星云图和银河的形状都与黄金螺旋有着惊人的相似之处.包括在建筑上，美术上甚至在音乐上都体现了它的美妙之处.[设计意图] 数学来源于生活，数学是有用的，数学的美妙也体现在生活中的方方面面.让学生从更多角度认识数列的递推关系.（五）归纳总结，作业布置提问：通过今天这节课你收获了什么？[设计意图]通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．分层布置作业必做题：书P34，第4,5,6题.选做题（探究提升）：阅读了解斐波那契数列相关内容，体会数列的递推关系的应用.。

数列的通项公式与递推公式第2课时

×…×aa32
×aa21
n－1 ×a1＝ n
n－2 ×n－1
n－3 ×n－2
2 ×…×3
1 ×2
×1＝n1
.
又因为 n＝1 时，a1＝1，符合上式，所以 an＝1n (n∈N*).
由递推公式求通项公式的方法 1．累差法：形如 an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用 a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；
所以a1n ＝a11 ＋a12－a11 ＋a13－a12 ＋…＋a1n－an1－1
＝2＋
111
n 1个1
＝n＋1.所以a1n ＝n＋1(n≥2)，
又 a1＝12 也适合上式，所以 an＝n＋1 1 .
角度 2 累乘法
【典例】设数列{an}中，a1＝1，an＝1－n1 an－1(n≥2)，求通项公式 an.
n，0
an
1， 2
n－1，12 an 1，
若 a1＝67 ，则 a2 021＝________．
【解析】计算得 a2＝2a1－1＝57 ，a3＝2a2－1＝37 ，a4＝2a3＝76 .
故数列{an}是以 3 为周期的周期数列，又因为 2 021＝673×3＋2，所以 a2 021＝a2＝57 .
2．符合递推关系式 an＝ 2 an－1(n≥2)的数列是( )
A．1，2，3，4，…
B．1， 2 ，2，2 2 ，…
C. 2 ，2， 2 ，2，…
D．0， 2 ，2，2 2 ，…
【解析】选 B.B 中从第二项起，后一项是前一项的 2 倍，符合递推公式 an＝
2 an－1.
3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则 a5＝( )

2-2 递推关系与Fibonacci数列

__________ __________ ________
+)
H ( x) x 2 xH ( x) x 2 /(1 x)
同样可以得到：
x H ( x) . 1 x 1 2 x
下面我们用幂级数展开的方法得到h(n).
假设
x A B H ( x) . 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 利用待定系数法容易得到A=1，B=-1，即 1 1 H ( x) (2 x )n x n 1 2 x 1 x n 0 n 0
因此由二项式展开定理可知
( n)( n 1)( n r 1) C (n, r ) (1) r!
r
n(n 1)(n r 1) C (n r 1, r ). r!
2. Fibonacci数列
Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题，数列的本身有着许多应用。
下面介绍一些关于Fibonacci数列的结论。
(1) 任意正整数N可以表示成Fibonacci数列中的数的有限和，即
N = si Fi ,
i =2 n
满足si=0或1，且si si+1=0。
(2) 边长为Fn的正方形可以分解为若干个边长为Fi和 Fi+1的长方形。参见课本图形。
(3) F1 F2 Fn Fn 2 1;
当n=2时，
第一步把A柱的小圆盘移到B柱；
第二步把A柱的大圆盘移到C柱；第三步把B柱的小圆盘移到C柱，即完成移动。
A
B
C
假定n-1个盘子的转移算法已经确定，对于一般n个圆盘的问题，首先把A柱上面的n-1个圆盘移到B柱；然后把A柱最下面的圆盘移到C柱；最后把B柱的n-1个圆盘移到C柱，即完成移动。

数列递推公式的九种方法

数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。

2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。

如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。

如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。

回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。

6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。

斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。

阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。

8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。

斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。

9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。

卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。

2.1.2数列的递推公式

都有
a1 a2 an n2
（1）求a3+a5；
（2）256 是此数列中的项吗？
225
解法1：（1）因为
a1 a2
an n2
a1 a2 an1 (n 1)2
所以，两式相除得
n≥2，n∈N+，
an
a1 a2 a1 a2
an n2 an1 (n 1)2
所以
a3
9 4
,
(n
n2 1)2
则 16 n
15 n 1
解得n=16.
所以 256 225
是此数列中的一项。
高考链接
已知数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+1+an1=2（an+1）（n≥2），求通项公式。解：由已知，an+1- an = an -an-1+2（n≥2），构造新数列bn=an+1-an，则bn=bn-1+2，即数列{bn} 为公差d=2,首项b1=2的等差数列。即bn=2n，从而an+1-an =2n。再用例3的累加法求出结果得 an=n(n-1)。
n
1 +
1
思考与讨论
本章图中的左图说明，一对小兔子（一雄一雌）一个月后长成一对成年兔，有一个月后生出一对小兔子（一雄一雌）；在过一个月小兔子长成成年兔。同时，成年兔生出一对兔子，在过一个月小兔子长成成年兔，一次规律，每过一个月小兔子长成成年兔，成年兔生出一对小兔子。假定每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个兔子的对数，依次可以排成一个数列，请写出此数列的前六项，你能通过递推公式表示这个数列吗？
（2）a1=1，
an+1

数列的求和公式和递推公式

数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。

2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。

3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。

4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。

5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。

二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。

2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。

4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。

5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。

习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。

数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结

的前n项和为
，
为等比数列，且
（Ⅰ）求数列
和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和 .
例2．已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）数列的前项和．
2．设数列的前n项和为，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和
的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和
. 三、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和 3：求数列的前n项和。
数列求和练习
1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及前n项和Tn.
3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则S13的值为( )
5、已知数列是等差数列，且，是数列的前
项和． (Ⅰ)求数列
的通项公式及前项和；
(Ⅱ) 若数列满足，且是数列的前项和，求与．
6．设是正数组成的数列，其前n项和为并且对于所有的自然数与2 的等差中项等于与2的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)令求证：
7、已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝________________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝ _________________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d． e．

2-2第1课时____等差数列的定义及通项公式

该数列有什么规律呢？
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第二章数列
栏目导引
2．(1)鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5，…； (2)某月星期日的日期为2,9,16,23,30； (3)一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度(单位：cm)，为 89,83,77,71,65,59,53,47. 上面几个数列有什么共同的特点？
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第二章数列
栏目导引
方法二：∵an＝am＋(n－m)d， ∴d＝ann－－mam， ∴d＝a88－－5a5＝5－311＝－2， a10＝a8＋2d＝5＋2×(－2)＝1.
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第二章数列
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第二章数列
栏目导引
在等差数列{an}中， (1)已知 a1＝6，d＝3，求 a8； (2)已知 a4＝10，a10＝4，求 a7 和 d； (3)已知 a2＝12，an＝－20，d＝－2，求 n； (4)已知 a7＝12，d＝－2，求 a1.
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第二章数列
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利用等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d及其变形公式求解．
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第二章数列
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[解题过程] (1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3. ∴a8＝3×8＋3＝27. (2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝a1100－－a44＝－66＝－1， ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7. (3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14， ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18. (4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝12，∴a1＝225.
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高中数学数列知识点总结(精华版)

一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序〞排列的，在这里，只强调有“次序〞，而不强调有“规律〞．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果数列{}n a 的第一项〔或前几项〕，且任何一项n a 与它的前一项1-n a 〔或前几项〕间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、*2()156n n a n N n =∈+，那么在数列{}na 的最大项为__〔答：125〕； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，那么n a 与1+n a 的大小关系为___〔答：n a <1+n a 〕；3、数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围〔答：3λ>-〕；4、一给定函数)(x f y =的图象在以下图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，那么该函数的图象是〔〕〔答：A 〕二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列的递推公式课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

1
3 8
a5 1 =1 =
a4
5 5
总结：递推公式也是给出
数列的一种方法，根据数
列的递推公式，可以逐次
写出数列的所有项.
探究新知
问题2 通项公式与递推公式有什么差别与联系呢？
回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？
课本P8
小试牛刀
1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在
3
3
2
2
a3 1 3 1 3，
3
3
2
2
a4 1 3 1 3.
3
3
课本P8
小试牛刀
3.已知数列{an }满足a1 2,an 2
1
an 1
( n 2),写出它的前5项,并猜想它的通项公式.
解：a1 2,
1
2 4
1
1 3
2 ，
a2 2 2 ， a3 2
4n 3
2
2
当n = 1时，a1 S1 2 12 1 1 2，
不符合上式
2 , ( n 1)
故数列{an}的通项公式为 an
*
4
n

3,(
n

2
且
n

N
)

拓展训练
3. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1，（2）Sn = log2 (n＋1)
从第二项起，后一项是前一项的3倍
1
3
3
1
0
×3
1 = 1

人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件第四章数列 4.1 第2课时数列的递推公式

探究点一
由递推公式求前若干项
【例1】 [苏教版教材例题]试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:
(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;
1
(2)a1=2,an+1=2- ,其中

n∈N*.
解 (1)因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以
所以a2=3+2=5,a3=5+2=7,a4=7+2=9,a5=9+2=11,综上所
述,a1=3,a2=5,a3=7,a4=9,a5=11.
知识点2
数列的通项公式与前n项和
共有n项
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作
Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应
思考辨析
已知数列{an}的前n项和Sn=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n,那么a1, Sn -1
(n≥2),an分别是什么?(Sn-1可以用一个式子表示)
提示 a1=1,Sn-1=1+2+3+…+(n-2)+(n-1),an=n.
自主诊断
1.[人教B版教材习题改编]已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1,则
式.
3, = 1,
∴an=
2 , ≥ 2.
★【例3-2】已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n∈N*),求数列{an}

高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)

1 自主学习
PART ONE
知识点一递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项_a_n_与它的前一项 an－1 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数 n的恒等式. (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
第二章 §2.1 数列
2.1.2 数列的递推公式(选学)
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习题型探究达标检测
12345
课小结
KETANGXIAOJIE
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记情势.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法 (1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反应an和n之间的关系，即an 是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反应数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
思考辨析判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU

高中数学《数列的递推公式与前n项和》课件

＝n2，则 a3＋a5 等于
()
25 A. 9
D．2156
61 C.16
D．3115
解析：由题意 a1a2＝22，a1a2a3＝32，
a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，则 a3＝2322＝94，a5＝5422＝2156.故 a3＋a5＝6116. 答案：C
＝4n－5，
由于 a1 也适合此式，所以 an＝4n－5.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当 b＝－1 时，a1 适合此式．当 b≠－1 时，a1 不适合此式．所以当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；
根据数列的前 n 项和公式求通项 [例 4] 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
[想一想] an＝Sn－Sn－1 的适用条件是什么？提示：n≥2 且 n∈N *.
[做一做] 已知数列{an}的前 n 项和公式为 Sn＝2n2＋n，则 an＝ ________. 解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n
－1)＝4n－1.当 n＝1 时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，
[跟踪训练]
1．已知数列{an}满足 an＋1＝22aann，－01≤ ，12a≤n<12a，n<1，
若 a1＝67，
则 a2 020＝________. 解析：计算得 a2＝2a1－1＝57，a3＝2a2－1＝37，a4＝2a3＝67.

高中数学选修2(人教A版)课件4.1.2数列的递推公式

状元随笔
变形为：an＋1－an＝n＋1，照此递推关系写出前 n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求．
变式探究 2 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝n＋n 1an”，则 an＝________.
解析：∵an＋1＝n＋n 1an，a1＝1，∴aan＋n 1＝n＋n 1， ∴aan－n 1＝n－n 1，aann－－21＝nn－－21，…，aa21＝12，以上式子两边分别相乘得：aan1＝n－n 1×nn－－21×…×12＝1n ∴an＝1na1＝1n. 答案：1n
＝lnn－n 1·nn－－12·…·21＋2＝2＋ln n. 故选 A.
答案：A
易错辨析数列中忽视 n 的限制条件致误例 4 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，log2(Sn＋1)＝n＋1，则 an ＝________. 解析：由 log2(Sn＋1)＝n＋1 得 Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1 当 n≥2 时 an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．
∴an＝32， n，nn＝≥12.
答案：23n，，nn＝≥12
【易错警示】
出错原因
纠错心得
忽视 n＝1 的情况致错，得到错误答案：an＝2n.
已知 an 与 Sn 的关系求 an 时，常用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)来求 an，由数列递推公式求通项公式——师生共研例 3 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝ ________.
解析：∵an＋1＝an＋n＋1，a1＝1，∴an＋1－an＝n＋1， ∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a2－a1＝2 以上式子相加得： an－a1＝2＋3＋…＋n ∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1. 答案：nn2＋1

人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件第五章数列 5.1.2 数列中的递推

--1 , ≥ 2.
(3)数列{an}前(n+1)项的和减去其前n项的和,差是 Sn+1-Sn=an+1 .(列式表示)
3.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(
A.15
B.16
解析:a8=S8-S7=64-49=15.
答案:A
C.49
)
D.64
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
1 , = 1,
分段表示为 an=
[如本例(2)].
--1 , ≥ 2
【变式训练 3】已知数列{an}的前 n 项和
3 2 205
Sn=-2n + 2 n,求数列{an}的通项公
式.
解:由题意知
3 2 205
a1=S1=- ×1 + ×1=101,
2
2
3
3 2 211
2 205
Sn-1=- (n-1) + (n-1)=- n + n-104.
分析:已知数列{an}的通项
计算 an+1-an
确定单调性
大项
10 +1
10
10 9-
解:方法一:∵an+1-an=(n+2)·
-(n+1)·
=
· ,
11
11
11
11
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an,
都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公