第六讲 差异与贫困(1)

∑y
j =1
i
j
= ∑ [Fi (Li − Li −1 ) − (Fi − Fi −1 )Li ]
i =1
i yi 1 1 ∴G = ∑ − n nµ y i =1 n nµ y i 1 n = 2 ∑ iy i − ∑ y j n µ y i =1 j =1
n
第六讲 差异与贫困
本讲主要说明如何测度差异程度和贫困， 并通过测度指标的分解，研究其原因。 差异程度可以是人与人之间的，也可以 是区域与区域之间，可以研究收入差异， 也可以研究消费、财产、GDP以及健康 等； 贫困的测度主要是对区域而言的
一、差异程度的测度
（一）主要测度指标 变异系数 基尼系数 Theil指数 （二）测度指标的比较与使用 （三）指标的分解
i =1
n −1
（1）几何法
由此可以推出如下具有福利意义的Sen公式：
n +1 2 G= − 2 n n µy
n −1 i =1
∑ (n + 1 − i )y
i =1
n
i
G = ∑ (Fi Li +1 − Fi +1 Li ) = ∑ (Fi −1 Li − Fi Li −1 )
i =1 n n
i 1 Q Fi = , Li = n nµ y Fi − Fi −1
基尼系数可表示为： 2 cov( y i , i ) 2 n
G= nµ y
n +1 = ∑ iyi − n nµ y i =1
（4）矩阵方法
G= 1 n2
∑∑ max(0, y
n n i =1 j =1
i
− yj)
µy
该公式分子部分表示一个博弈的平均期望盈余 从所有的yi中随机选择一个，与某人实际收入 相比，如果大于实际收入，该人获得此收入， 如果小于等于，则保持原有收入不变
2 cov( y i , i ) G= nµ y
（3）协方差方法
首先注意：
n +1 1 n i = ∑i = n i =1 2
协方差等于：
1 n 1 n n +1 cov( y i , i ) = ∑ ( y i − µ y )(i − i ) = ∑ iy i − µy n i =1 n i =1 2
2.基尼系数
收入分配、 收入分配、消费分布和财产分布洛伦茨 曲线的关系 在理论上，由于收入的增长速度要快于 收入消费比的增长速度，所以消费分布 的洛伦茨曲线会比收入分配洛伦茨曲线 更接近绝对平均线；而财产作为收入的 累积，其不均等程度要大于收入。
2.基尼系数
（2）基尼系数的含义
收 入 累 计 比 重
（一）主要测度指标
1.变异系数 测度差异程度最直接的方法就是利用统 计中离散趋势的测度指标： a极差：Rm=ymax-ymin b 标准差：
S=
∑ ( y −µ y )
i
2
/n
1.变异系数
变异系数（CV）
V = V =
∑(y
i
− µy) /n
2
µy
pi ( y i − µ y ) 2 ∑
µy
1.变异系数
yi I ( y ) = ∑ pi µ − i =1 y
n
yi ln µ y

可计算G=4/9
（1）几何法
另外一种表达：
G = 1 − ∑ (Fi +1 − Fi )(Li +1 + Li )
i =0 n −1
= 1 + ∑ (Fi Li +1 − Fi +1 Li ) − ∑ (Fi +1 Li +1 − Fi Li )
i =1 i =0
n −1
n −1
= ∑ (Fi Li +1 − Fi +1 Li )
∑ yj j =1
i
yi 1 = , Li − Li −1 = n nµ y
（1）几何法
n i 1 n G = 2 ∑ iy i − ∑ y ijj = 2 ∑ iy i − ∑ (n + 1 − i ) y i y n µ y i =1 j =1 i =1 n µ y i =1
2.基尼系数
3.灰色、黑色收入的存在，对于地下经济 发达的国家或地区，灰色、黑色收入占 国民收入的比重相当大。
2.基尼系数
计量偏差对洛伦茨曲线度量收入分配不 均等程度能力的影响主要体现在两方面： 1.由于真实收入与上报收入之间的差距 与收入水平成正比，会低估收入分配的 不均等程度； 2.不同的国家或地区，非现金福利收入 和灰色、黑色收入占真实收入的比重不 同，这将影响洛伦茨曲线的可比性。
பைடு நூலகம்
低低低低 中中低低 高低低低
3.Theil指数
Theil指数是广义熵指数（generalized entropy ，GE指数）的特殊形式，其最 重要优势在于便于分解。
1 yi I ( y) = ∑ − i =1 n µ y
n
yi ln µ y

P
D
O
0
0.
0.
0.
0.8
1
F
2.基尼系数
洛伦茨曲线中包含了收入分配不均等程度 的大量信息，这些信息主要蕴涵于两处： 1.曲线与绝对平均线的接近程度； 2.最大差异点的位置
2.基尼系数
在最大差异点相应的收入者累计比重范围内的 收入者，其收入低于平均水平，而在此之外的 收入者，其收入高于平均水平。 最大差异点的位置靠近Y轴，存在少数收入明 显低于其他人的相对贫困人口；远离Y轴，说 明收入高于平均水平的收入者所占比重较小， 所反映的收入分配状况是收入集中于少数人手 中，存在少数相对富裕人口。
1
n
n n = 2 ∑ (n + 1) y i − 2∑ (n + 1 − i ) y i n µ y i =1 i =1
1
n +1 2 = − 2 n n µy
∑ (n + 1 − i )y
i =1
n
i
（2）平均差方法
基尼系数总是相对平均差的1/2，通过这 种计算方法，可以知道与离散趋势指标 的关系和差别 绝对平均差：
2.基尼系数
绝对平均线并不是绝对平等线 收入平均并不意味着平等，多劳少得， 少劳多得才是不平等
2.基尼系数
洛伦茨曲线的计量偏差 计量偏差指调查所获得的收入资料与真实收入 之间的差距。此种差距的产生有三个原因： 1.调查对象出于种种顾虑，往往将收入低报； 2.非现金福利收入的存在； 公费医疗、公费住房以及其他由公费报销的支 出都属于非现金福利收入，这一部分隐性收入 在进行调查时并不计入居民收入之中；
L
1
G=A/（A+B） =2A
A B
1
=1-2B
F
2.基尼系数
（3）基尼系数的计算 如果知道洛伦兹曲线的函数形式：
1 1 G = 2 − ∫ L(F )dF 2 0
2.基尼系数
四种计算方法 （1）几何法 （2）平均差方法 （3）协方差法 （4）矩阵方法
（1）几何法
如果离散且已知构成洛伦兹曲线上每个 点的坐标 (Fi , Li ) ，则有如下公式：
2 ∆= 2 n ∴G = 1
∑∑ (y
n i =1 j ≤i
i
− yj ) − yj)
1 n µy
2 n
∑∑ (y
n i =1 j ≤i
i
i = 2 ∑ iy i − ∑ y j n µ y i =1 j =1
（3）协方差方法
几何法直观，平均差方法有统计意义， 协方差方法便于计算
1 n −1 B = ∑ (Fi +1 − Fi )(Li +1 + Li ) 2 i =0 G = 1 − 2 B = 1 − ∑ (Fi +1 − Fi )(Li +1 + Li )
i =0 n −1
（1）几何法
假定有三个人，收入分别为0，1，2，则：
1 (F1 , L1 ) = ,0 3 2 1 (F2 , L2 ) = , 3 3 ((F31,, L3 ) = (1,1) F 1
2.基尼系数
收入累积百分比
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 25 50 75 100 收入者累积百分比
第一种分配 第二种分配
2.基尼系数
世界各国基尼系数一般在0.2到0.6之间
基基基基基基基基基
12 11 10 9 8 7
No of obs
6 5 4 3 2 1 0 <= 0.20 (0.25,0.30] (0.35,0.40] (0.45,0.50] (0.55,0.60] > 0.65 (0.2,0.25] (0.30,0.35] (0.40,0.45] (0.50,0.55] (0.60,0.65]
2.基尼系数
a 将所调查的收入者（家庭或个人）按收 入水平由低到高顺序排列； b 计算相应的收入累计比重； c 以收入者累计比重为X轴，以收入累计比 重为Y轴，可以得到一系列的点； d 将这些点连接在一起的平滑曲线即洛伦 茨曲线。
2.基尼系数
收 入 累 计 比 重
0.8 0. 0. 0. 0
L
1
G=0.21
2.基尼系数
（4）基尼系数不能完全反映差异状况 反映完全不同收入分配状况的形状差异 很大的洛伦茨曲线，有可能具有相同的 基尼系数。
收入 最低的25% 第2个25% 第3个25% 最高的25% 基尼系数 第一种收入分配 7.5 7.5 42.5 42.5 0.35 第二种收入分配 13.3 13.3 13.3 60.0 0.35
1 ∆ = E yi − y j = 2 n
∑∑ y
i =1 j =1
n
n
i
− yj
相对平均差：
∆
µy
=
E yi − y j
µy
（2）平均差方法
基尼系数G为：
G= 1 n2 ∆ 2µ y
∑∑ max(0, y
n n i =1 j =1
i
− yj)
=
µy
（2）平均差方法
平均差与几何法的结果是一致的
上述离散趋势测度指标的有效性都以正 态分布为条件，而收入是最为典型的偏 态分布，所以在研究差异程度时，这些 指标应用并不多
（一）主要测度指标
2.基尼系数（Gini coefficients） 基尼系数是在洛伦茨曲线（Lorenz curve） 基础上导出的 （1）洛伦茨曲线的概念 将以个人收入差异程度为例，说明洛伦 茨曲线的含义
（4）矩阵方法
分母是总体平均收入： m′p m′ = (mi ) 所以，基尼系数的公式：
G = (m′p ) p ′Ep
−1
（4）矩阵方法
例：有两组a，b，每组两人，a组的收入是1，2； b组的收入是3，4，计算基尼系数：
1.5 m= 3.5 0.5 p= 0.5 2 0.25 E = 0 0.25
（4）矩阵方法
如果总体分k组，第i组人数占总体人数的 pi，平均收入记为mi，则平均期望收益：
∑∑ E (gain
i =1 j =1
k
k
i → j ) Pr (i → j )
Pr (i → j ) = pi p j i → j表示第i组中人与第j组中人比较收入 平均期望收益可以写成： p ′Ep p ′ = ( pi ), E = (E ij )k ×k , Eij = E (gain i → j )